高考调研衡水重点中学同步精讲精练数学必修5112
《高考调研》衡水重点中学同步精讲练数学数学详解
人教A版 ·数学 ·选修1-2
第三章
3.2 3.2.2
高考调研
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探究3
对于复数运算，除了应用四则运算法则之外，对于
一些简单算式要知道其结果，这样起点高，方便计算，达到迅 1＋i 1 速简捷、少出错的效果．比如(1± i)2＝± 2i， i ＝－i， ＝i， 1－i 1－i a＋bi 1 3 1 3 ＝－i， ＝b－ai，(－ ± i)3＝1，( ± i)3＝－1，等 i 2 2 2 2 1＋i 等．
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第三章
3.2 3.2.2
高考调研
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【解析】
i1－i 1＋i 1 1 i 因为z＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i，所以 1＋i 1＋i1－i 1＋1 2 2
1 1 对应点(2，2)在第一象限．故选A.
【答案】 A
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第三章
3.2 3.2.2
高考调研
题型二 共轭复数
) 要点2 设z＝a＋bi，那么z的共轭复数 z ＝ a－bi(a，b∈R．
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第三章
3.2 3.2.2
高考调研
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1．复数乘法满足怎样的运算律？
答：①z1· z2＝z2· z1；②(z1· z2)· z3＝z1· (z2· z3)；③z1(z2＋z3)＝z1· z2 ＋z1· z3
复数的乘方
1＋i7 1－i7 3－4i2＋2i3 (1) ＋ － ； 1－i 1＋i 4＋3i 2＋2i 3 1 (2)(－ 2 －2i)12＋( )8. 1－ 3i
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第三章
3.2 3.2.2
高考调研
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《高考调研》衡水重点中学同步精讲练数学数学1-2课件1-1
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第一章
1.1
高考调研
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授 人 以 渔
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第一章
1.1
高考调研
题型一 概念辨析
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例1 在下列各组量中：①正方体的体积与棱长；②一块农 田的水稻产量与施肥量；③人的身高与年龄；④家庭的支出与 收入；⑤某户家庭的用电量与电价．其中量与量之间是相关关 系的是( ) B．③④ D．②③④
0.2
2.6 －0.4 －2.4 －4.4
5
所以 (yi－ yi) ＝0.3， (yi－ y )2＝53.2.
i＝1 i＝1
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第一章
1.1
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i＝1
yi－yi2
5
5
∧
R2＝1－
≈0.994.
i＝1
yi－ y 2
因为R2≈0.994，所以回归模型的拟合效果很好．
【答案】
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D
第一章 1.1
高考调研
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探究1 (1)相关关系是指当自变量取值一定时，因变量的取 值带有一定随机性的两个变量之间的关系． (2)应注意相关关系是一种非确定性关系，它和函数关系不 同． 判断两个变量是否具有相关关系，应先看它们是否有关， 再看这种关系是否是确定的函数关系．
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第一章
1.1
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思考题1
有下列说法：
①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线，使之贴近 这些样本点的数学方法； ②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否 可以用线性关系表示； ③通过回归方程 y＝bx＋a，可以估计和观测变量的取值和变 化趋势；
《高考调研》衡水重点中学同步精讲练数学数学1-2课件4-2
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第四章
4.2
高考调研
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要点 2 两种不同形式的结构图 常见的结构图的形式有“树”形结构图和“环”形结构 图．“树”形结构图常用来表达 从属 关系，“环”形结构图常 用表达 逻辑先后 关系．
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第四章
4.2
高考调研
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要点3
结构图的分类
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第四章
4.2
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探究1
(1)结构图是一种静态图示，通常用来描述一个系统
各部分和各环节之间的关系．结构图一般由构成系统的若干要 素和表达各要素之间关系的连线构成．一般用图框和文字说明 表示系统的各要素，各图框之间用连线或方向箭头连结起来． (2)由结构图的特征，在阅读结构图时，一般根据系统各要 素的具体内容，按照从上到下、从左到右的顺序或箭头所指的 方向将各要素划分为从属关系或逻辑的先后关系．
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第四章
4.2
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【解析】
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第四章
4.2
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探究3
一般地，组织结构图是“树”形结构，结构图中从
“上位”到“下位”要素，表示各部门间的从属关系，因此图 中一般不含“环”形结构图，且连线不带箭头指向．
第20页
第四章
4.2
第27页
第四章
4.2
高考调研
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课后巩固
第28页
第四章
4.2
第21页
第四章
4.2
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《高考调研》衡水重点中学精讲练选修2-2课件1-2-1.ppt
探究 3 求切线方程必须注意给出的点是不是切点． ①在点 P 处的切线以点 P 为切点． ②过点 P 的切线，点 P 不一定是切点，需要设出切点坐标． 思考题 3 (1)(2010·课标全国)曲线 y＝x3－2x＋1 在点(1,0)处 的切线方程为( ) A．y＝x－1 B．y＝－x＋1 C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2
课时学案
题型一 简单函数的求导
例 1 求下列函数的导数： (1)y＝x12； (2)y＝x14； (3)y＝x x； (4)y＝log2x； (5)y＝2sin2xcos2x.
【思路分析】 对于简单函数的求导，关键是合理转化函数 的关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式，如 y＝x14可以 写成 y＝x－4，y＝5 x3＝x35等，这样就可以直接使用幂函数的求导 公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．
【解析】 由题可知，点(1,0)在曲线 y＝x3－2x＋1 上，求导 可得 y′＝3x2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率 k＝1，切线过 点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线 y＝x3－2x＋1 的 切线方程为 y＝x－1，故选 A.
【答案】 A
(2)(2010·全国卷Ⅱ)若曲线 y＝x2＋ax＋b 在点(0，b)处的切线 方程是 x－y＋1＝0，则( )
思考题 4 已知点 P 为抛物线 y＝x2 上任意一点，当 P 到直 线 l：x＋y＋2＝0 的距离最小时，求点 P 的坐标及点 P 到直线 l 的距离．
【解析】 由图形的直观性可知，当 P 到直线 l：x＋y＋2＝0 的距离最小时，过点 P 的切线与直线 l 是互相平行的，那么它们 的斜率是相等的，即切线的斜率也等于－1.
【解析】 ∵s′＝(3 t2)′＝(t23)＝23t－13， ∴s′|t＝8＝23×8－13＝23×2－1＝13. ∴质点 P 在 t＝8 时的瞬时速度为13 m/s.
《高考调研》衡水重点中学同步精讲精练(数学必修5)2-1-2
高考调研
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第 29页
第二章 2.1 第二课时
高考调研
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第二章 2.1 第二课时
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第二章 2.1 第二课时
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第二章 2.1 第二课时
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第二章 数 列
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第二章 数 列
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2．1 数列的概念与简单表示法(第二课时) 数列的性质和递推公式
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第二章 数 列
高考调研
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第二章 2.1 第二课时
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第二章 2.1 第二课时
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第二章 2.1 第二课时
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第二章 2.1 第二课时
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第二章 2.1 第二课时
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第二章 2.1 第二课时
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第二章 2.1 第二课时
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《高考调研》衡水重点中学同步精讲练数学数学1-2课件2-1-2
第二章
2.1 2.1.2
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(3)平行四边形对角线互相平分．(大前提) 菱形是平行四边形．(小前提) 菱形对角线互相平分．(结论) (4)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为 等差数列．(大前提) 通项公式an＝3n＋2，若n≥2时，则 an－an－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常数)．(小前提) 通项公式为an＝3n＋2的数列为等差数列．(结论)
x1 2 3 2 ＝(x2－x1)x2＋ 2 ＋4x1＋1.
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第二章
2.1 2.1.2
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x1 2 3 2 因为(x2＋ ) ＋ x1＋1>0， 2 4 所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)． 于是根据“三段论”，得f(x)＝x3＋x在(－∞，＋∞)上是增 函数．
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第二章
2.1 2.1.2
高考调研
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(3)等于同一个量的两个量相等(大前提)， ∠2和∠3都等于∠1(小前提)， ∠2＝∠3(结论)，即AC平分∠BCD. (4)同理DB平分∠CBA.
第24页
第二章
2.1 2.1.2
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例3 数．
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第二章
2.1 2.1.2
高考调研
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即f(－x)＝－f(x)，所以是奇函数． 任取x1，x2∈R，且x1<x2， 2 2 则f(x1)－f(x2)＝(1－ )－(1－ ) 2x1＋1 2x2＋1 2x1－2x2 1 1 ＝2( － )＝2· . 2x2＋1 2x1＋1 2x1＋12x2＋1 因为x1<x2，所以2x1<2x2，所以2x1－2x2<0，所以f(x1)<f(x2)， 2x－1 故函数y＝ x 在定义域上是增函数． 2 ＋1
衡水重点中学同步精讲精练(数学必修5)2-1-1
思考题 1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？ 哪些是递增、递减数列？哪些是摆动数列？哪些是常数列？
(1)1,0.84,0.842,0.843，…； (2)2,4,6,8,10，…； (3)7,7,7,7，…； (4)13，19，217，811，…； (5)0,0,0,0,0,0； (6)0，－1,2，－3,4，－5，….
【解析】 (5)是有穷数列； (1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列； (2)是递增数列； (1)(4)是递减数列； (6)是摆动数列； (3)(5)是常数列．
题型二 数列的通项公式 例 2 写出下列数列的一个通项公式： (1)12，34，78，1156，3312，…； (2)12，2，92，8，225，…； (3)0,1,0,1,0,1，…； (4)－1，32，－13，34，－15，36，…； (5)3,33,333,3 333，….
【解析】 (1)是无穷递减数列(1n>n＋1 1)． (2)是无穷递增数列(项随着序号的增加而增大)． (3)是无穷数列，由于奇数项为正，偶数项为负，故为摆动数 列． (4)是有穷递增数列． (5)是无穷数列，也是摆动数列． (6)是无穷数列，且是常数列．
探究 1 数列的主要特征是有序性，观察数列的前 n 项的变 化规律，考查数列的项随序号的变化趋势、符号特征，是刻画数 列性质的重要方面．
1．{an}与 an 有何区别？ 答：{an}表示一个数列，而 an 表示数列的第 n 项．
2．数列与数集有何区别？
答：集合中的元素具有确定性，无序性和互异性，而数列中 的数是按一定次序排列的，同一个数在数列中可以重复出现．次 序对于数列来说是十分重要的，有几个不同的数，由于它们的排 列次序不同，构成的数列就不同．
(4)13，1，95，83，….
《高考调研》衡水重点中学同步精讲练数学选修1-2课时作业4
课时作业(四)一、选择题1．下列表述正确的是()①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤答案 D2．平面内平行于同一直线的两直线平行，由类比推理，我们可以得到()A．空间中平行于同一直线的两直线平行B．空间中平行于同一平面的两直线平行C．空间中平行于同一直线的两平面平行D．空间中平行于同一平面的两平面平行答案 D3．下列推理正确的是()A．把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有log a(x＋y)＝log a x＋log a yB．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin yC．把a(b＋c)与a x＋y类比，则有a x＋y＝a x＋a yD．把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则有a·(b＋c)＝a·b＋a·c答案 D4．在等差数列{a n}中，若a n>0，公差d≠0，则有a4a6>a3a7.类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n>0，公比q≠1，则关于b5，b7，b4，b8的一个不等关系正确的是()A．b5b7>b4b8B．b7b8>b4b5C．b5＋b7<b4＋b8D．b7＋b8<b4＋b5答案 C5．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的()A．一条中线上的点，但不是重心B．一条垂线上的点，但不是垂心C．一条角平分线上的点，但不是内心D．中心答案 D二、填空题6．正方形面积为边长的平方，则立体几何中，与之类比的图形是________，结论是________．答案正方体正方体的体积为边长的立方7．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“__________________”，这个类比命题的真假性是________．答案夹在两个平行平面间的平行线段相等真命题8．半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r看做(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr.①①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径R的球，若将R看做(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：________________________________________________ ____________________；②式可用语言叙述为________________________________________________________________________．答案 ①(43πR 3)′＝4πR 2②球的体积函数的导数等于球的表面积函数9．如图(1)有关系S △P A ′B ′S △P AB ＝P A ′·PB ′P A ·PB ，如图(2)有关系：V P －A ′B ′C ′V P －ABC＝________解析 P A ′·PB ′·PC ′P A ·PB ·PC10．(2010·浙江舟山)已知命题：平面直角坐标系xOy 中，△ABC的顶点A (－p,0)和C (p,0)，顶点B 在椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >n >0，p ＝m 2－n 2)上，椭圆的离心率是e ，则sin A ＋sin C sin B ＝1e .试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题________．解析 在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A (－p,0)和C (p,0)，顶点B 在双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0，p ＝m 2＋n 2)上，双曲线的离心率是e ，则|sin A －sin C |sin B＝1e 11．如图甲，在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，D 是垂足，则AB 2＝BD ·BC ，该结论称为射影定理．如图乙，在三棱锥A -BCD 中，AD ⊥平面ABC ，AO ⊥平面BCD ，O 为垂足，且O 在△BCD 内，类比射影定理，探究S △ABC 、S △BCO 、S △BCD 之间满足的关系式是________．思路分析 常用方法：(1)将点扩展为线；(2)将线(边长)扩展为面(面积)；(3)将面(面积)扩展为体(体积)．解析连结DO 延长交BC 于E ，连AE .∵AD ⊥面ABC ∴AD ⊥BC ∵AO ⊥面ABC ∴AO ⊥BC ∴BC ⊥面ADO 即：BC ⊥面ADE ∴BC ⊥AE△ADE 中由射影定理得：AE 2＝EO ·ED∴(12BC ·AE )(12BC ·AE )＝(12BC ·EO )(12BC ·ED )∴S 2△ABC ＝S △BCO ·S △BCD 12．对于大于1的自然数m 的n 次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中的最小数为a ，而52的“分裂”中最大的数是b ，则a ＋b ＝________.答案 30三、解答题13．观察等式sin 220°＋sin 240°＋sin20°·sin40°＝34； sin 228°＋sin 232°＋sin28°·sin32°＝34.请写出一个与以上两个等式规律相同的等式．解析 ∵20°＋40°＝60°，28°＋32°＝60°，而cos60°＝12，sin60°＝32，∴归纳到一般有：“若α＋β＝γ，则sin 2α＋sin 2β＋sin α·sin β＝sin 2γ”．14．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立；在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立；在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立；猜想在n 边形A 1A 2…A n 中，有怎样的不等式成立？解析 在n 边形A 1A 2…A n 中，有不等式1A 1＋1A 2＋…＋1A n≥n 2(n －2)π·(n ≥3)。
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1．1 正弦定理和余弦定理
1．1.2 余 弦 定 理
授人以渔 课后巩固 课时作业
要点 1 余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两
边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即： a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝ a2＋c2－2accosB ， c2＝ a2＋b2－2abcosC .
题型四
判断三角形的形状
例 4 在△ABC 中，cos2A2＝b＋ 2cc(a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边)，判断△ABC 的形状．
【解析】 方法一 在△ABC 中，∵cos2A2＝b＋ 2cc， ∴1＋2cosA＝2bc＋12，∴cosA＝bc. 又由余弦定理知 cosA＝b2＋2cb2c－a2， ∴b2＋2cb2c－a2＝bc，∴b2＋c2－a2＝2b2.∴a2＋b2＝c2. ∴△ABC 是以 C 为直角的直角三角形．
பைடு நூலகம்
探究 4 已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状， 有两条思路：①化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间 的关系式；②化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的 关系式．两种转化主要应用正弦定理和余弦定理．
思考题 4 (1)在△ABC 中，a＝2，b＝3，c＝4，能判断△ ABC 的形状吗？
(a＋b)2－c2＝3ab，a2＋b2－c2＋2ab＝3ab. 即 a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理，得 cosC＝12. 而 0°<C<180°，∴C＝60°. 又∵A＝B，∴△ABC 为等边三角形．
课后巩固
1．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，下列
等式不成立的是( ) A．a2＝b2＋c2－2bccosA C．cosA＝b2＋2cb2c－a2 答案 D
《高考调研》衡水重点中学同步精讲精练(数学必修5)课时作业24
课时作业（二十四）1．若0<t <1，则不等式(x －t ）（x －错误!）〈0的解集为（ ) A ．｛x ｜错误!〈x 〈t } B ．{x |x >错误!或x <t ｝ C ．｛x ｜x <错误!或x 〉t } D ．｛x ｜t <x <错误!}答案 D2．不等式x 2－ax －12a 2〈0（其中a 〈0）的解集为( ) A ．（－3a,4a ） B ．（4a ,－3a ) C ．（－3,4） D ．(2a ，6a ) 答案 B3．不等式错误!<0的解集为( ） A ．{x ｜x <0或x 〉3｝ B ．｛x ｜x 〈－2或0〈x <3｝ C ．｛x ｜x <－2或x 〉0} D ．｛x |－2<x <0或x >3} 答案 B4．不等式ax 2＋5x ＋c 〉0的解集为{x ｜错误!〈x 〈错误!}，则a 、c 的值．( )A ．a ＝6,c ＝1B ．a ＝－6，c ＝－1C ．a ＝1,c ＝1D ．a ＝－1，c ＝－6 答案 C解析 由题意知，方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两根为x 1＝错误!,x 2＝错误!,由根与系数的关系．得x 1＋x 2＝13＋错误!＝－错误!,x 1·x 2＝错误!×错误!＝错误!.5．若关于x 的不等式ax －b 〉0的解集为（1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋b x －2>0的解集为( ）A．（－1,2) B．（－∞，－1）∪（2,＋∞）C．（1，2）D．(－∞，－2）∪（1，＋∞）答案 B解析因为关于x的不等式ax－b>0的解集为（1，＋∞），所以a〉0，且错误!＝1，即a＝b,所以关于x轴的不等式错误!〉0可化为错误!>0，其解集为（－∞，－1)∪(2，＋∞）．6．不等式f（x）＝ax2－x－c〉0的解集为{x|－2〈x<1}，则函数y＝f（－x）的图像为(）答案 C解析由题意得错误!解得a＝－1,c＝－2.则函数y＝f（－x）＝－x2＋x＋2。
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思考题 1 (1)下列结论不正确的是( )
A．若 y＝3，则 y′＝0
B．若
y＝
1 ，则 x
y′＝－12
x
C．若 y＝－ x，则 y′＝－21 x
D．若 y＝3x，则 y′＝3
【答案】 B
(2)若 f′(x)＝3，则 f(x)＝________. 【答案】 3x＋c(c∈R)
题型二 求瞬时速度 例 2 若质点 P 的运动方程是 s＝3 t2(s 的单位为 m，t 的单 位为 s)，求质点 P 在 t＝8 时的瞬时速度．
【解析】 (1)y′＝(x12)′＝12·x11. (2)y′＝(x14)′＝(x－4)′＝－4x－5＝－x45. (3)y′＝(x32)′＝32x12＝32 x. (4)y′＝(log2x)′＝1x·log2e＝x·l1n2. (5)∵y＝sinx，∴y′＝cosx.
探究 1 运算的准确是数学能力高低的重要标志，也是得分 的保证，要从思想上提高认识，要养成思维严谨、步骤完整的解 题习惯，步子不要太大！
【解析】 由题可知，点(1,0)在曲线 y＝x3－2x＋1 上，求导 可得 y′＝3x2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率 k＝1，切线过 点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线 y＝x3－2x＋1 的 切线方程为 y＝x－1，故选 A.
【答案】 A
(2)(2010·全国卷Ⅱ)若曲线 y＝x2＋ax＋b 在点(0，b)处的切线 方程是 x－y＋1＝0，则( )
【解析】 ∵s′＝(3 t2)′＝(t23)＝23t－13， ∴s′|t＝8＝23×8－13＝23×2－1＝13. ∴质点 P 在 t＝8 时的瞬时速度为13 m/s.
探究 2 瞬时速度是路程关于时间函数的导数，加速度是瞬
《高考调研》衡水重点中学同步精讲练数学选修1-2课时作业10
课时作业(十)一、选择题1．复平面内点A 、B 、C 对应的复数分别为i 、1、4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作平行四边形ABCD ，则|BD →|等于( )A ．5 B.13 C.15 D.17答案 B解析 如图所示，▱ABCD 四个顶点对应复数分别为z 1＝i ，z 2＝1，z 3＝4＋2i ，则有BD →＝BA →＋BC →，BD →＝(z 1－z 2)＋(z 3－z 2)＝2＋3i ，∴|BD →|＝22＋32＝13.故选B.2．复数z 1、z 2分别对应复平面内的点M 1、M 2，且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|线段M 1M 2的中点M 对应的复数为4＋3i ，则|z 1|2＋|z 2|2等于( )A ．10B ．25C ．100D ．200答案 C解析 ∵|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，由复数的几何意义可知：△OM 1M 2为直角三角形，OM 1，OM 2为两条直角边．∴|z 1|2＋|z 2|2＝(2|4＋3i |)2＝(2·5)2＝100.故选C.3．设z ∈C ，且|z ＋1|－|z －i |＝0，则|z ＋i |的最小值为( )A ．0B ．1 C.22 D.12答案 C解析 ∵|z ＋1|－|z －i |＝0，由复数的几何意义可知，z 的轨迹是y ＝－x 直线上的点，设z ＝a －ai ，∴z ＋i ＝a ＋(－a ＋1)i ，∴|z ＋i |＝2a 2－2a ＋1＝2(a －12)2＋12，∴|z ＋i |min ＝22.故选C.4．两个复数z 1＝a 1＋b 1i 和z 2＝a 2＋b 2i (a 1、a 2、b 1、b 2∈R ，z 1≠0，z 2≠0)对应的向量OZ 1→和OZ 2→在同一直线上的充要条件是( )A.b 1a 1·b 2a 2＝－1 B ．a 1a 2＋b 1b 2＝0 C.a 1a 2＝b 1b 2 D ．a 1b 2＝a 2b 1答案 D解析 ∵OZ 1→＝(a 1，b 1).OZ 2→＝(a 2，b 2)，且OZ 1→与OZ 2→在同一直线上，即a 1b 2＝a 2b 1，故选D.5．已知z ＋5－6i ＝3＋4i ，则复数z 为( ) A ．－4＋20i B ．－2＋10i C ．－8＋20i D ．－2＋20i 答案 B6．设m ∈R ，复数z ＝(2m 2＋3i )＋(m －m 2i )＋(－1＋2mi )，若z 为纯虚数，则m 等于( )A ．－1B ．3 C.12D ．－1或3答案 C7．在复平面内，复数1＋i 与1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|＝( )A. 2 B ．2 C.10 D ．4答案 B8．设f (z )＝z －2i ，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)是( ) A ．1－5i B ．－2＋9i C ．－2－i D ．5＋3i答案 D 二、填空题9．(－2＋3i )＋(2－2i )－[(3－2i )＋(3＋2i )]＝________. 答案 －23＋i解析 复数的加减混合运算法则．原式＝(－2＋2－3－3)＋(3－2＋2－2)i ＝－23＋i .10．设x ，y ∈R ，且满足x (1＋i )＋y (1－2i )＝(－x ＋yi )－(3＋19i )，则x ＋y ＝________.答案 1解析 整理得：(x ＋y )＋(x －2y )i ＝(－x －3)＋(y －19)i .则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝－x －3，x －2y ＝y －19，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝5.∴x ＋y ＝1. 三、解答题11．复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应复数是2＋i ，向量BA →对应复数是1＋2i ，向量BC →对应复数是3－i ，求C 点在复平面内的坐标．解析 AC →＝BC →－BA →，∴AC →对应的向量为：(3－i )－(1＋2i )＝2－3i ， 设C (x ，y )，则(x ＋yi )－(2＋i )＝2－3i ， ∴x ＋yi ＝(2＋i )＋(2－3i )＝4－2i ， 故x ＝4，y ＝－2.所以C 点在复平面内的坐标为(4，－2)．12．在复平面内，复数－3－i 与5＋i 对应的向量分别是OA →与OB →，其中O 是原点，求向量OA →＋OB →，BA →对应的复数及A 、B 两点之间的距离．解析 由题可知：OA →＝(－3，－1)，OB →＝(5,1)， ∴OA →＋OB →＝(－3，－1)＋(5,1)＝(2,0)． ∴OA →＋OB →对应复数为2.BA →＝OA →－OB →＝(－3，－1)－(5,1)＝(－8，－2)． 所以BA →对应复数为－8－2iA 、B 两点间的距离d ＝|(－3－i )－(5＋i )|＝|(－8，－2)|＝217.。
《高考调研》衡水重点中学同步精讲练数学数学1-2课件2-2-2
第26页
第二章
2.2 2.2.2
高考调研
人教A版 ·数学 ·选修1-2
【证明】
假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角三
角形，记这四个点为A、B、C、D.考虑△ABC，点D在△ABC之 内或之外两种情况．
第27页
第二章
2.2 2.2.2
高考调研
人教A版 ·数学 ·选修1-2
(1)如果点D在△ABC之内(如图)，根据假设围绕点D的三个 角都是锐角，其和小于270° ，这与一个周角等于360° 矛盾． (2)如果点D在△ABC之外(如图)，根据假设∠BAD、∠B、 ∠BCD、∠D都小于90° ，这和四边形内角之和等于360° 矛盾．
【思路分析】
由题目可获取以下主要信息：
①a与b是异面直线； ②这是一个存在性命题可用反证法． 解答本题可先假设结论反面成立，再根据已知条件和已学 知识推出矛盾．
第24页
第二章
2.2 2.2.2
高考调研
人教A版 ·数学 ·选修1-2
【证明】
如图．
假设过直线a且平行于直线b的平面有两个，分别为α和β， 在直线a上取点A，过b和A确定一个平面γ，且γ与α、β分别交于 过点A的直线c、d，由b∥α，知b∥c，同理b∥d，故c∥d，这与 c、d相交于点A矛盾，故假设不成立，原结论成立．
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第二章
2.2 2.2.2
高考调研
人教A版 ·数学 ·选修1-2
思考题1 则( )
已知α∩β＝l，a⊆α、b⊆β，若a、b为异面直线，
A．a、b都与l相交 B．a、b中至少一条与l相交 C．a、b中至多有一条与l相交 D．a、b都与l不相交
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第二章
2.2 2.2.2
《高考调研》衡水重点中学同步精讲练数学数学1-2课件2-2-1
第二章
2.2 2.2.1
高考调研
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∴上述三个不等式中的“＝”号不能同时成立． ∴2(bc＋ca＋ab)>2( c＋ a＋ b)， 即 bc＋ca＋ab> a＋ b＋ c， 1 1 1 故a＋b＋c> a＋ b＋ c.
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第二章
2.2 2.2.1
高考调研
题型二
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高考调研
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第二章
推理与证明
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第二章
推理与证明
高考调研
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2．2 直接证明与间接证明
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第二章
推理与证明
高考调研
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2．2.1 综合法和分析法
第 3页
第二章
推理与证明
高考调研
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授 人 以 渔
第15页
第二章
2.2 2.2.1
高考调研
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【证明】
∵a>0，b>0，c>0，且 abc＝1，
1 1 1 ∴a＋b＋c＝bc＋ca＋ab. 又 bc＋ca≥2 bc· ca＝2 abc2＝2 c， 同理 bc＋ab≥2 b，ca＋ab≥2 a. ∵a、b、c 不全相等，
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y2)，则直线 OA 的方程为 2p x1＝ k2 ， y＝kx， y＝kx，由 2 得 y ＝2px， y1＝2p， k 1 直线 OB 的方程为 y＝－ x. k 2p 2p 即 A( k2 ， k )．
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第二章
2.2 2.2.1
2023-2024学年河北省衡水市高中数学人教A版 必修二平面向量及应用强化训练-12-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年河北省衡水市高中数学人教A版 必修二平面向量及应用强化训练(12)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）2-21-11. 在中，， 且， 则的值为（ ）． A . B . C . D .2. 已知 是椭圆上一定点， 是椭圆两个焦点，若 ， ，则椭圆离心率为（ ）A .B .C .D .或或3. 在 中，角的对边分别为 ，若 ，则角B的大小为（ ）A .B .C .D .56784. 已知向量满足 ， 则（ ） A . B . C .D .5. 在中，边 ，，分别是角 ， ，的对边，且满足 ，若 ，则的值为（ ）A . B . C . D .1236. 已知向量 是夹角为 的单位向量，则 （ ）A .B .C .D .7. 若在中，角的对边分别为 ，则（ ）或以上都不对A .B .C .D .8. 已知 中， ， ， ，则 与 的夹角是（ ）A .B .C .D .1个2个3个0个9. 在中，若 ， ， ，则满足条件的三角形有（ ）．A . B . C . D .87(3，5)(2，6)10. 已知 =（1，2）， =（2，3），则（ ）A . B . C . D .11. 已知双曲线的左、右焦点分别为 ，左、右顶点分别为A、B，过点 的直线与双曲线C的右支交于P点，且 的外接圆面积为（ ）A .B .C .D .012. 过直线上一点作圆的两条切线 ， ， 若 ， 则点的横坐标为（ ）A .B .C .D .13. 正的边长为1，中心为O，过O的动直线l与边AB，AC分别相交于点M、N， ， ， .给出下列四个结论：①②若， 则③不是定值，与直线l的位置有关④与的面积之比的最小值为.其中所有正确结论的序号是14. 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面 ， ， 则四棱锥外接球表面积为 ；若点是线段上的动点，则的最小值为 ．15. 如图，在直角梯形 中， ∥ ， ， ， ， 是 的中点，则．16. 如图，在等腰△ABC中，AB=AC=3，D ， E与M ， N分别是AB ， AC的三等分点，且 ，则cosA= .17. 假设在一个以米为单位的空间直角坐标系 中，平面 内有一跟踪和控制飞行机器人 的控制台 ，的位置为 .上午10时07分测得飞行机器人 在 处，并对飞行机器人 发出指令：以速度 米/秒沿单位向量 作匀速直线飞行(飞行中无障碍物)，10秒后到达 点，再发出指令让机器人在 点原地盘旋2秒，在原地盘旋过程中逐步减速并降速到 米/秒，然后保持 米/秒，再沿单位向量作匀速直线飞行(飞行中无障碍物)，当飞行机器人 最终落在平面 内发出指令让它停止运动.机器人 近似看成一个点.(1) 求从 点开始出发20秒后飞行机器人 的位置；(2) 求在整个飞行过程中飞行机器人 与控制台 的最近距离(精确到米).18. 已知 .(1) 若 ，且 ，求角 的值；(2) 若 ，求 的值．19. 已知 三点，其中 .(1) 若 三点在同一条直线上，求 的值；(2) 当 时，求 .20. 已知 ， ， 为坐标原点．(1) 若与的夹角为钝角，求实数的取值范围；(2) 当时，求的取值范围．21. 在 中，点 在边 上， ， ， .(1) 若 的面积为3，求 ；(2) 若 ，求 .答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)(1)(2)(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)。
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第一章 1.1 1.1.2
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
思考题 1 在△ABC 中，AB＝1，BC＝2，B＝60°，则 AC ＝________.
【解析】 AC＝ AB2＋BC2－2AB×BCcosB＝ 3.
【答案】 3
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第一章 1.1 1.1.2
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2，
由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋8－2 2×( 6＋ 2)
＝8－4 3.∴c＝ 6－ 2.
∴cosA＝b2＋2cb2c－a2＝ 23.又 0°<A<180°，∴A＝30°.
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第一章 1.1 1.1.2
高考调研
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探究 1 本题是已知两边及夹角解三角形．用正弦定理求角 时，必须注意讨论解的情况，结合三角形大边对大角的性质，由 于三角形中至少有两个锐角，那么小边对的角一定是锐角．在解 三角形问题时，应根据题目中给定的条件，灵活地选择正弦、余 弦定理．
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第一章 1.1 1.1.2
高考调研
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方法二 由方法一知：cosA＝bc， 由正弦定理，得bc＝ssiinnCB，∴cosA＝ssiinnCB. ∴sinCcosA＝sinB＝sin[180°－(A＋C)]＝sinAcosC＋ cosAsinC. ∴sinAcosC＝0，∵A、C 是△ABC 的内角，∴sinA≠0. ∴只有 cosC＝0，∴C＝90°. ∴△ABC 是直角三角形．
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第一章 1.1 1.1.2
高考调研
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(2)在△ABC 中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且 2cosA·sinB ＝sinC，试确定△ABC 的形状．
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第一章 1.1 1.1.2
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【解析】 方法一 (角化边)由正弦定理，得ssiinnCB＝bc.
由 2cosA·sinB＝sinC，得 cosA＝2ssininCB＝2cb. cosA＝c2＋2bb2c－a2，∴2cb＝c2＋2bb2c－a2. 即 c2＝b2＋c2－a2，∴a＝b.
又∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
∴(a＋b)2－c2＝3b2，∴4b2－c2＝3b2，∴b＝c.
∴a＝b＝c，∴△ABC 为等边三角形．
题型三 已知三边解三角形
例 3 在△ABC 中，已知 a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和 sinC.
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第一章 1.1 1.1.2
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【解析】 ∵a>c>b，∴A 为最大角． ∴cosA＝b2＋2cb2c－a2＝322＋×532×－572＝－12.
又∵0°<A<180°，∴A＝120°.∴sinA＝sin120°＝
当 C＝120°时，A＝30°，△ABC 为等腰三角形，
∴a＝3.
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第一章 1.1 1.1.2
高考调研
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探究 2 三角形中已知两边和一角，有两种解法．可比较两 种解法，从中体会各自的优点，从而摸索出适合自已思维的解题 规律和方法．方法一利用余弦定理列出关于 a 的等量关系建立方 程，运用解方程的方法求出 a 边的长，这样可免去判断取舍的麻 烦．方法二直接运用正弦定理，先求角再求边．
题型二 已知两边及一边的对角解三角形 例 2 △ABC 中，已知 b＝3，c＝3 3，B＝30°，求角 A，角 C 和边 a.
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第一章 1.1 1.1.2
高考调研
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【解析】 方法一 由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accosB， 得 32＝a2＋(3 3)2－2a×3 3×cos30°. ∴a2－9a＋18＝0，得 a＝3 或 6. 当 a＝3 时，A＝30°，∴C＝120°. 当 a＝6 时，由正弦定理，得 sinA＝asibnB＝6×3 12＝1. ∴A＝90°，∴C＝60°.
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第一章 1.1 1.1.2
高考调研
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(a＋b)2－c2＝3ab，a2＋b2－c2＋2ab＝3ab. 即 a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理，得 cosC＝12. 而 0°<C<180°，∴C＝60°. 又∵A＝B，∴△ABC 为等边三角形．
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第一章 1.1 1.1.2
3 2.
由正弦定理，得
sinC＝csianA＝5×7
3 2 ＝5143.
∴最大角 A 为 120°，sinC＝5143.
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第一章 1.1 1.1.2
Hale Waihona Puke 高考调研新课标A版 ·数学 ·必修5
探究 3 (1)求 sinC 也可用下面方法： cosC＝a2＋2ba2b－c2＝722＋×372×－352＝1114，∴C 为锐角． sinC＝ 1－cos2C＝ 1－11142＝5143. (2)在解三角形时，有时既可用余弦定理，也可用正弦定理．
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第一章 1.1 1.1.2
高考调研 方法二 由 b<c，B＝30°，
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b>csin30°＝3 3×12＝323知本题有两解．
由正弦定理，得 sinC＝csibnB＝3
33×12＝
3 2.
∴C＝60°或 120°.
当 C＝60°时，A＝90°，由勾股定理，得
a＝ b2＋c2＝ 32＋3 32＝6.
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第一章 1.1 1.1.2
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授人以渔
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第一章 1.1 1.1.2
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题型一 已知两边和夹角解三角形
例 1 在△ABC 中，已知 a＝2，b＝2 2，C＝15°，求 A. 【思路分析】 本题主要考查余弦定理及其应用． 思路一：可用余弦定理求边 c，再用正弦定理求角 A. 思路二：可用余弦定理求边 c，再用余弦定理的推论求角 A.
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第一章 1.1 1.1.2
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2．在△ABC 中，b＝ 19，c＝5，B＝60°，求 a.能用余弦定 理求解吗？
答：能．由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2acosB，得 19＝a2＋25－2×5acos60°. ∴a2－5a＋6＝0，∴a＝3 或 a＝2. 显然，此类题利用余弦定理较为简单．解一元二次方程时， 若两根为正，则有两解，若有非正根，则舍去．
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第一章 1.1 1.1.2
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探究 4 已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状， 有两条思路：①化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间 的关系式；②化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的 关系式．两种转化主要应用正弦定理和余弦定理．
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第一章 1.1 1.1.2
(2)已知两边及一边的对角，解三角形．(先用正弦定理求出 另一边的对角．再用正弦定理或余弦定理求第三边)；
第9页
第一章 1.1 1.1.2
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(3)已知两边及其夹角，解三角形．(先用余弦定理求出第三 边，再用正弦定理或余弦定理求出另两角)；
(4)已知三边，解三角形．(先用余弦定理的推论，求出一角， 再用正弦定理求另外的角)．
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1．1 正弦定理和余弦定理
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第一章 解三角形
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1．1.2 余 弦 定 理
第3页
第一章 解三角形
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授人以渔
课后巩固
课时作业
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第一章 1.1 1.1.2
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要点 2 余弦定理的推论
b2＋c2－a2
a2＋c2－b2
cosA＝
2bc ，cosB＝
2ac ，
a2＋b2－c2 cosC＝ 2ab .
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第一章 1.1 1.1.2
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要点 3 余弦定理与勾股定理 (1)若一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，则第三边 所对的角是 锐 角． (2)若一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，则第三边 所对的角是 钝 角． (3)若一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，则第三边 所对的角是 直 角．
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第一章 1.1 1.1.2
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思考题 2 在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、
b、c，若 A＝3π，a＝ 3，b＝1，则 c 等于(
)
A．1
B．2
C. 3－1
D. 3
【答案】 B
第22页
第一章 1.1 1.1.2
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第7页
第一章 1.1 1.1.2
高考调研
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1．如何选择正弦定理、余弦定理解三角形？
第8页
第一章 1.1 1.1.2
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答：由三角形的已知的边和角求未知的边和角的过程叫解三 角形．解三角形可以分成以下四种类型：
(1)已知两角及一边，解三角形．(先用正弦定理求出一边， 再求其余边和角)；
第27页
第一章 1.1 1.1.2