微积分赵树嫄41页PPT

观察{1数 (1列 )n1}当 n 时的变 . 化 n
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问题: 当 n无限增大时, y n 是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
通过上面演示实验的观察:
当 n无限增 ,yn大 1(时 1n )n1无限接 1. 近于
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻画它.
yn以 A为极 ，亦 限 y称 n收敛 A. 于
注意：
1.不等 yn式 A刻划 yn与 了 A的无限 ; 接
2.N与任意给定的有 正关 数 .
几何解释:
当 nN 时 ,所 有 yn都 的落 (点 A在 , A)内 ,
只 有(至 有多 限 N 个 只 个 )落有 在 . 其 外
A
给定任意0, 只要 nN([1]时 ) , 有yn1成立 .
定义 2.2 如果对于任意给定的正数,总存在一
个正整数 N ,当 n N 时,
yn A
恒成立,则称当 n 趋于无穷大时，数列 yn 以常数
A 为极限，记作
lim
n
yn

A
或
yn A
(n )
如果一个数列有极限，我们就称这个数 列是收敛的，否则就称它是发散的.
证 对于任意给定 0,的 要使
yn 2
2n 1 2
n
1 n

只
要
n取 1就

可
以.
了 因此,对于任意给定0的 ,
取正 N 整 [1]1 数 ,则n当 N 时 ,yn 2 恒成立 .
所
以 ,ynFra Baidu biblioteknn1以2为
极,
限 即lim2n12
n n
注意：
一、引例 二、数列的有关概念 三、数列极限的定义 四、小结
一、引例
1. 割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
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正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A 2
R

正62n1形的面积 A n
A 1,A 2,A 3, ,A n,S
二、数列(sequence)的有关概念
1. 1. 定 义 2.1: 一 个 定 义 在 正 整 数 集 合 上 的 函 数 yn f (n) (称为整标函数)，当自变量 n 按正整数 1，2，3，…依次增大的顺序取值时，函数值按相 应的顺序排成一串数：
f (1) , f (2) , f (3),, f (n) ,
称为一个无穷数列，简称数列.数列中的每一个数 称为数列的项, f (n) 称为数列的通项。
例如
yn

1 2n
;
yn 2n;
yn (1)n1;
yn

1(1)n 2
1, 1, 1, 1 2 4 8 16
2, 4, 8, 16
1, 1, 1, 1
0, 1, 0, 1,
三、数列极限的定义(Limit of a sequence)

yn 1
(1)n1 1 n
1 n
给定 1 , 100
由1 n

1, 100
只n 要 10 时 ,0有yn
1 1 , 100
给定 1 , 1000
只n 要 10时 0,0有yn
1 1 , 1000
给定 1 , 10000
只要 n100时 0, 0有yn
1 1 , 10000
第二章
极限与连续
函数是现代数学的基本概念之一， 是高等数学的主要研究对象. 极限概
念是微积分的理论基础，极限方法是 微积分的基本分析方法，因此，掌握、 运用好极限方法是学好微积分的关键. 连续是函数的一个重要性态.
本章将介绍极限与连续的基本知识和有 关的基本方法，为今后的学习打下必要的 基础.
第一节 数列的极限
2
y2 y1
yN 1
A
A
yN2 y3
x
例,当 如 n 时 ,
yn

1 2n
收敛于 0;
yn
1
1收敛 n
1于 ;
而yn 2n无极,所 限以它是发 ; 散的
yn1(21)n时而 0,时 取而 1, 取
我们说它是振荡无 ,因极 而限 也是发.散的
例1 利用定nl 义 im2 证 nn1 明 2.
不能根据极限的定义求出数列的极限,只能 用定义验证某常数是否是某数列的极限.
例2： 数列xn (1)n1是发散的.
当n取偶数时, xn 1 当n取奇数时, xn 1
四、小结
数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想、极限定义、几何意义;
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