信息安全数学基础参考试卷
信息安全数学基础期末考试试卷及答案(A卷)
信息安全数学基础期末考试试卷及答案(A卷)装订线装订线三、解同余方程（本大题共2小题，每小题10分，共20分）1.求解一次同余方程1714(mod21)x 。
2.解同余方程组2(mod3)3(mod5)2(mod7) xxx≡≡≡⎧⎪⎨⎪⎩四、证明题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）2.f是群G到G'的一个同态，{}=∈=，其f a a G f a e'ker|,()中e'是G'的单位元。
证明：ker f是G的正规子群。
3. 证明：如果p 和q 是不同的素数，则111(mod )q p p q pq --+=。
五、应用题（共11分）RSA 公钥加密算法的密钥生成步骤如下：选择 两个大的素数p 和q ，计算n =pq 。
选择两个正整数e 和d ，满足：ed =1(mod ()n )。
Bob 的公钥是（n ，e ），对外公布。
Bob 的私钥是d ，自己私藏。
如果攻击者分解n 得到p =47，q =23，并且已知e =257，试求出Bob 的私钥d 。
答案 一、填空题（每空2分，共24分） 1. 两个整数a ，b ，其最大公因数和最小公倍数的关系为[,](,)ab a b a b =。
2. 给定一个正整数m ，两个整数a ,b 叫做模m 同余，如果|m a b -，记作(mod )a b m ≡；否则，叫做模m 不同余，记作a ≡(mod )b m 。
3. 设m ，n 是互素的两个正整数，则()mn ϕ=()()m n ϕϕ。
4. 设1m >是整数，a 是与m 互素的正整数。
则使得1(mod )e a m ≡成立的最小正整数e 叫做a 对模m 的指数，记做()m ord a 。
如果a 对模m 的指数是()m ϕ，则a 叫做模m 的 原根 。
5. 设n 是一个奇合数，设整数b 与n 互素，如果整数n 和b 满足条件11(mod )n b n -≡，则n 叫做对于基b 的拟素数。
信息安全数学基础期末考试试卷及答案(A卷)
所以3模19的指数为18；
三、解同余方程（每题10分，共20分）
1.解：因为（17，21）=1 | 14故原同余式有解。
又17x≡1（mod21，所以特解x0'≡5（mod21）。
同余式17x≡14（mod21）的一个特解为x0≡14*x0'=14*5≡7（mod21）
6.设 是两个群，f是 到 的一个映射。如果对任意的 ，都有_______________，那么f叫做 到 的一个同态。
7.加群Z的每个子群H都是________群，并且有 或 ______________。
8.我们称交换环R为一个域，如果R对于加法构成一个______群， 对于乘法构成一个_______群。
即pq-1≡1(modq) qp-1≡1(modp)
又 qp-1≡0(modq) pq-1≡0(modp)
所以pq-1+qp-1≡1(modq) qp-1+pq-1≡1(modp)
又[p,q]=pq 所以pq-1+qp-1≡1(modpq)
3. 证明：对任意 ，有 ，从而，
。
因此， ， 是群 的子群。
=(13/67)(5/67)
=(-1)12*66/4(-1)4*66/4(2/13)(2/5)
=1*1*(-1)(13*13-1)/8(-1)(5*5-1)/8
=-1*(-1)=1
所以-2是67的平方剩余
所以x2≡-2(mod67)有2个解。
3.解：因为 (19)=18,所以只需对18的因数d=1,2,3,6,9,18计算ad(mod19)
信息安全数学基础期末考试试卷及答案（A卷）
信息安全数学基础参考试卷
《信息安全数学基础》参考试卷一．选择题(在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的括号内，多选不给分)：（每题2分，共20分）1．576的欧拉函数值ϕ(576) ＝()。
(1) 96，(2) 192，(3) 64，(4) 288。
2．整数kn和k(n+2)的最大公因数(kn , k(n+2))=()。
(1) 1或2，(2) | kn|，(3) | n|或| kn|，(4) | k|或2| k|。
3．模10的一个简化剩余系是( )。
(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10，(2) 11, 17, 19 , 27(3) 11, 13, 17, 19，(4) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。
4．29模23的逆元是( )。
(1) 2，(2) 4，(3) 6，(4) 11。
5．设m1，m2是两个正整数，x1遍历模m1的完全剩余系，x2遍历模m2的完全剩余系，若( )遍历m1m2的完全剩余系。
(1) (m1，m2)=1，则m1x1＋m2x2(2) m1和m2是素数，则m1x1＋m2x2(3) (m1，m2)=1，则m2x1＋m1x2(4)m1和m2是素数，则m2x1＋m1x26．下面的集合和运算构成群的是( ) 。
(1) <N，＋> （N是自然数集，“＋”是加法运算）(2) <R，×> （R是实数集，“×”是乘法运算）(3) <Z，＋> （Z是整数集，“＋”是加法运算）(4) <P（A），∩> （P(A)＝{U | U是A的子集}是集合A的幂集，“∩”是集合的交运算）7．下列各组数对任意整数n均互素的是( ) 。
(1) 3n+2与2n，(2) n－1与n2＋n＋1，(3) 6n+2与7n，(4) 2n+1与4n+1。
8．一次同余式234x ≡ 30（mod 198）的解数是( )。
最新信息安全数学基础期末考试试卷及答案(A卷)
信息安全数学基础期末考试试卷及答案（A 卷）一、 填空题（本大题共8小题，每空2分，共24分）1. 两个整数a ，b ，其最大公因数和最小公倍数的关系为 ________________。
2. 给定一个正整数m ，两个整数a ,b 叫做模m 同余，如果______________，记作(mod )a b m ≡；否则，叫做模m 不同余，记作_____________。
3. 设m ，n 是互素的两个正整数，则()mn ϕ=________________。
4. 设1m >是整数，a 是与m 互素的正整数。
则使得1(mod )ea m ≡成立的最小正整数e 叫做a 对模m 的指数，记做__________。
如果a 对模m 的指数是()m ϕ，则a 叫做模m 的____________。
5. 设n 是一个奇合数，设整数b 与n 互素，如果整数n 和b 满足条件________________，则n 叫做对于基b 的拟素数。
6. 设,G G '是两个群，f 是G 到G '的一个映射。
如果对任意的,a b G ∈，都有_______________，那么f 叫做G 到G '的一个同态。
7. 加群Z 的每个子群H 都是________群，并且有0H =<>或H =______________。
8. 我们称交换环R 为一个域，如果R 对于加法构成一个______群，*\{0}R R =对于乘法构成一个_______群。
二、计算题（本大题共 3小题，每小题8分，共24分）1. 令1613,a = 3589b =。
用广义欧几里德算法求整数,s t ，使得(,)sa tb a b +=。
2. 求同余方程22(mod 67)x ≡-的解数。
3. 计算3模19的指数19ord (3)。
三、解同余方程（本大题共2小题，每小题10分，共20分）1. 求解一次同余方程1714(mod 21)x ≡。
信息安全数学基础习题答案
信息安全数学基础习题答案信息安全数学基础习题答案1.简答题 a) 什么是信息安全？信息安全是指保护信息的机密性、完整性和可用性，以防止未经授权的访问、使用、披露、干扰、破坏或篡改信息的行为。
b) 什么是加密？加密是指通过对信息进行转换，使其无法被未经授权的人理解或使用的过程。
加密算法通常使用密钥来对信息进行加密和解密。
c) 什么是对称加密算法？对称加密算法是一种使用相同的密钥进行加密和解密的算法。
常见的对称加密算法有DES、AES等。
d) 什么是非对称加密算法？非对称加密算法是一种使用不同的密钥进行加密和解密的算法。
常见的非对称加密算法有RSA、ECC等。
e) 什么是哈希函数？哈希函数是一种将任意长度的数据映射为固定长度的输出的函数。
哈希函数具有单向性，即很难从哈希值逆推出原始数据。
2.选择题 a) 下列哪种算法是对称加密算法？ A. RSA B. AES C. ECC D.SHA-256答案：B. AESb) 下列哪种算法是非对称加密算法？ A. DES B. AES C. RSA D. SHA-256答案：C. RSAc) 下列哪种函数是哈希函数？ A. RSA B. AES C. ECC D. SHA-256答案：D. SHA-2563.计算题 a) 使用AES算法对明文进行加密，密钥长度为128位，明文长度为64位。
请计算加密后的密文长度。
答案：由于AES算法使用的是128位的块加密，所以加密后的密文长度也为128位。
b) 使用RSA算法对明文进行加密，密钥长度为1024位，明文长度为64位。
请计算加密后的密文长度。
答案：由于RSA算法使用的是非对称加密，加密后的密文长度取决于密钥长度。
根据经验公式，RSA算法中加密后的密文长度为密钥长度的一半。
所以加密后的密文长度为1024/2=512位。
c) 使用SHA-256哈希函数对一个长度为128位的明文进行哈希计算，请计算哈希值的长度。
答案：SHA-256哈希函数的输出长度为256位。
2007级信息安全数学基础试卷-B-答案
2007级信息安全数学基础试卷-B-答案名1 / 72007《信息安全数学基础》 B 试卷第1页共7页诚信应考,考试作弊将带来严重后果!华南理工大学期末考试《信息安全数学基础》试卷B -答案1.考前请将密封线内填写清楚; 所有答案请直接答在试卷上;.考试形式：闭卷；本试卷共四大题，满分100分，考试时间120分钟。
题号 -一一二二三三四总分得分评卷人选择题：(每题2分，共20分) 1. (1) 。
2. (4)。
3. (3)。
4. (2)。
5.(2) 。
6. (3) 。
7. (2)。
8. (4)。
9.⑷。
10.(3)二.填空题：(每题2分，共20分)1.设m 是正整数，a 是满足a m 的整数，则一次同余式：ax b (mod m) 有解的充分必要条件是 (a , m)|b 。
当同余式ax b (mod m)有解时，其解数为 d = (a , m) 。
2 .设m 是正整数，则 m 个数0, 1, 2,…，m — 1中与m 互素的整数的个数叫做m的欧拉(Euler)函数，记做 (m)。
3.整数2t + 1和2t — 1的最大公因数(2t + 1，2t — 1)= 1 。
6. __________________________ 设m 是一个正整数，a 是满足 (a , m) =1 ________________________________ 的整数，则存在整数 a ， K a v m ，使得 aa = 1 (mod m)。
7. Wils on 定理：设 p 是一个素数，则——(p — 1)!三一1 (mod p)——。
8. (中国剩余定理)设m 1,…,m k 是k 个两两互素的正整数，则对任意的整数b 1,…,b k 同余式组广x b 1 (mod m”....... ?… ?…注意事项: 2. 3 4. )封题…答…不…内… 线… 封… 密…4 .设a, b 是正整数，且有素因数分解 aP 1S22P s s , i 0,i1,2, ,s ，min( 1, 1)min( 2,2)1min( s , s )b P 「P 22 P s s , i 0,i 1,2, ,s ，则(a,b)P 1P 2L P s-------------------------- ?[a,b] pmax(1,1)p 2max( 2, 2)L pmax( s, s)s5 .如果a 对模m 的指数是 ________ (m) ，则a 叫做模m 的原根。
信息安全数学基础习题集一
信息安全数学基础----习题集一一、填空题1、设a=18、b=12,c=27,求a、b、c的最小公倍数a,b,c= .2、求欧拉函数φ(3000)= .3、设m=9,则模m的最小非负简化剩余系={ }.4、设m=11,则模m的所有平方剩余= .5、设m=22,则模m的所有原根个数= .6. 设m,n是互素的两个正整数,则φmn=________________;7. 设m是正整数,a是满足 m?a的整数,则一次同余式：ax≡b mod m有解的充分必要条件是_________________ ;8. 设m 是一个正整数,a是满足____________的整数,则存在整数a’,1≤a’＜m ,使得aa’≡1 mod m;9. 设a∈Z,(a,m)=1, 如果同余方程x2≡a(mod m)__________, 则a叫做模m的平方剩余.10. 设a,m∈Z,m>1,(a,m)=1, 则使得a e≡1(mod m)成立的最小正整数e叫做a对模m的__________.二、判断题在题目后面的括号中,对的画“√”,错的画“×”1、若k是任意正整数, 则(ak,bk)=(a,b).2、设a1,a2,…,a n是n个不全为零的整数,则a1,a2,…,a n与a1, |a2|, |a3|,…, |a n|的公因数相同3、设m是正整数, 若m│ab, 则m│a或m│b.4、设m为正整数, a,b为整数, a≡b(mod m), d│b且d>0, 则ad≡b d (mod md).5、{1,-3,8,4,-10}是模5的一个完全剩余系.6、设m是素数, 模m的最小非负完全剩余系和最小非负简化剩余系中元素个数相等.7、设p=17为奇素数, 模p的平方剩余和平方非剩余的数量各为8.8、一次同余方程9x≡1(mod 24)有解.9、设p是素数, g是模p的原根, 若g x≡1(mod p), 则x是p−1的整数倍.10、设m>1,(a,m)=1, 则1=a0,a,a2, …, a ord m(a)−1构成模m的简化剩余系.11. b≠0, 则(0,b)＝|b|.12. 设a,b是两个互素正整数, 那么a│m,b│m, 则ab│m.13. 设m是一个正整数, a,b,d都不为0,若ad≡bdmodm;则a≡bmod m;14. 设m为正整数, a是满足(a,m)=1的整数,b为整数. 若r1,r2,…,rφ(m)为模m的一个简化剩余系, 则ar1+b,ar2+b,…,arφ(m)+b也为模m的一个简化剩余系.15. p为素数,n为整数且与p互素,则n2为模p的平方剩余.16. 设p为正整数, 设a∈Z,(a,p)=1, 则a是模p的平方剩余的充要条件是: a p+12≡1(mod p).17. 3是模7的原根;18. 设a,m∈Z,m>1,(a,m)=1,d为正整数, 若a d≡1(mod m),则ord m(a)|d.19. 整数集关于整数的乘法构成群;20. 适当定义加法和乘法,集合{0,1}可以构成一个有限域;三、单项选择题把答案写在题目后面的括号中1. 设a与b是两个整数, 则存在整数s,t, 使得(a,b)=sa+tb,下面关于a与b 线性组合描述错误的是：A. 整数s,t的取值仅有一组唯一的值；B. 整数a,b的线性和所能表示的最小的正整数是a,b最大公因数,即sa+ tb=(a,b)；C. (a,b)的倍数也可以用a,b的线性和表示；D. 整数s,t,可以使用辗转相除法欧几里得算法反推得到;2、下面关于整除的描述错误的是：A. ±1是任何整数的因子；B.设a,b∈Z整数集合,c≠0c|b, c|a, 则c|a±b；C. 0是任何整数的倍数；D. 设a,b∈Z, 若 b|a, b≠0,则b|−a, −b|−a。
信息安全数学基础习题集一
信息平安数学根底----习题集一一、填空题1、设a=18、b=12，c=27，求a、b、c的最小公倍数[a,b,c]= .2、求欧拉函数φ(3000)= .3、设m=9，那么模m的最小非负简化剩余系={ }.4、设m=11，那么模m的所有平方剩余= .5、设m=22，那么模m的所有原根个数= .6. 设m，n是互素的两个正整数，那么φ(mn)=________________。
7. 设m是正整数，a是满足 m∤a的整数，那么一次同余式：ax≡b (mod m)有解的充分必要条件是_________________ 。
8. 设m 是一个正整数，a是满足____________的整数，那么存在整数a’，1≤a’＜m ，使得aa’≡1 (mod m)。
9. 设a∈Z,(a,m)=1, 如果同余方程x2≡a(mod m)__________, 那么a 叫做模m的平方剩余.10. 设a,m∈Z,m>1,(a,m)=1, 那么使得a e≡1(mod m)成立的最小正整数e叫做a对模m的__________.二、判断题〔在题目后面的括号中，对的画“√〞，错的画“×〞〕1、假设k是任意正整数, 那么(ak,bk)=(a,b). 〔〕2、设a1,a2,…,a n是n个不全为零的整数，那么a1,a2,…,a n与a1, |a2|, |a3|,…, |a n|的公因数相同〔〕3、设m是正整数, 假设m│ab, 那么m│a或m│b. 〔〕4、设m为正整数, a,b为整数, a≡b(mod m), d│b且d>0, 那么ad≡b d (mod md). 〔〕5、{1,-3,8,4,-10}是模5的一个完全剩余系. 〔〕6、设m是素数, 模m的最小非负完全剩余系和最小非负简化剩余系中元素个数相等. 〔〕7、设p=17为奇素数, 模p的平方剩余和平方非剩余的数量各为8.〔〕8、一次同余方程9x≡1(mod 24)有解.〔〕9、设p是素数, g是模p的原根, 假设g x≡1(mod p), 那么x是p−1的整数倍.〔〕10、设m>1,(a,m)=1, 那么1=a0,a,a2, …, a ord m(a)−1构成模m的简化剩余系. 〔〕11. b≠0, 那么(0,b)＝|b|. 〔〕12. 设a,b是两个互素正整数, 那么a│m,b│m, 那么ab│m. 〔〕13. 设m是一个正整数, a,b,d都不为0，假设ad≡bd(modm)。
级信息安全数学基础试卷B答案
有唯一解。
令m ＝m 1…m k ，m ＝m i M i ，i ＝1,…,k ，则同余式组的解为： x ≡ M 1? M 1b 1＋…＋ M k ? M k b k (mod m ) ， 其中 M i ? M i ≡1 (mod m i ) , i ＝1 , 2 ,…, k 。
9．正整数n 有标准因数分解式为 k k p p n ααΛ11=，则n 的欧拉函数, b ∈G ，都有 f (ab )=f (a )f (b ) ，那么，f 叫做G 到G ? 的一个同态。
三．证明题 （写出详细证明过程）：（共30分）1．证明：形如4k +3的素数有无穷多个。
（6分）证明 分两步证明。
先证形如4k ＋3的正整数必含形如4k ＋3的素因数。
由于任一奇素数只能写成4n ＋1或4n ＋3的形式，而 (4n 1＋1)(4n 2＋1)＝16n 1n 2＋4n 1＋4n 2＋1＝4(4n 1n 2＋n 1＋n 2)＋1, 所以把形如4n ＋1的数相乘的积仍为4n ＋1形式的数。
因此，把形如4k ＋3的整数分解成素数的乘积时， 这些素因数不可能都是4n ＋1的形式的素数，一定含有 4n ＋3形式的素数。
其次，设 N 是任一正整数，并设p 1, p 2 , … , p s 是不超过N 的形如4k ＋3的所有素数。
令q ＝4p 1 p 2 … p s －1。
显然，每个p i (i ＝1, 2, …, s)都 不是 q 的素因数，否则将会导致 p i |1，得到矛盾。
如果 q 是素数，由于q ＝4p 1 p 2 … p s －1＝4(p 1 p 2 … p s －1)＋3，即 q 也是 形如4k ＋3的素数，并且显然q ? p i (i ＝1, 2, …, s)， 从而 q > N 。
即q 是形如4k ＋3的大于N 的素数。
如果 q 不是素数，由第一步证明知q 含有形如4k ＋31111)(1))的素因数p，同样可证p?p i(i＝1, 2, …, s)，从而p > N。
信息安全数学基础A
广 东 金 融 学 院2011/2012学年第一学期考试试题A 卷课程名称： 信息安全数学基础 课程代码： 16140042 考试方式： 闭卷 考试时间： 120 分钟系别____________ 班 级__________ 学号___________ 姓名___________一、填空题（本题共5小题，每题2分，共10分）1、如果a 对模m 的指数是 ，则a 叫做模m 的原根。
2、3288的素因数分解式是 。
3、=⎪⎭⎫ ⎝⎛257163 。
4、2006年1月18日是星期三，第220060118天是星期 。
5、7222的个位数是 。
二、选择题：（本题共5小题，每题2分，共10分）1、大于20且小于70的素数有 ( ) 个 。
A 9，B 10，C 11，D 15 。
2、模17的平方剩余是 ( )。
A 3，B 10，C 12，D 153、整数5模17的指数ord 17(5)＝( )。
A 16，B 8，C 3，D 324、设a , b 都是非零整数。
若a |b ，b |a ，则 ( )。
A a ＝b ，B a ＝± b ，C a ＝－b ，D a > b 5、模30的简化剩余系是 ( )。
A －1, 0, 5, 7, 9, 19, 20, 29，B －1, －7, 10, 13, 17, 25, 23, 29，C 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29，D －1, 7, 11, 15, 17, 19, 23, 29三、证明题 （写出详细证明过程：本题共4小题，共36分）1、（1）12-n 和12+n （n>2且Z n ∈），证明其中必有一个是合数。
（6分） （2）若2|n ，5|n ，7|n ，那么70|n 。
（6分）2、证明：如果p 是奇素数，那么)(m od )1()2()4(312/)1(2222p p p p +-≡-- ；（8分）3、证明：设p 和q 是两个不相等的素数，证明：111(mod )q p p q pq --+=。
信息安全数学基础参考试卷
《信息安全数学基础》参考试卷一．选择题(在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的括号内，多选不给分)：（每题2分，共20分）1．576的欧拉函数值ϕ(576) ＝()。
(1) 96，(2) 192，(3) 64，(4) 288。
2．整数kn和k(n+2)的最大公因数(kn , k(n+2))=()。
(1) 1或2，(2) | kn|，(3) | n|或| kn|，(4) | k|或2| k|。
3．模10的一个简化剩余系是( )。
(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10，(2) 11, 17, 19 , 27(3) 11, 13, 17, 19，(4) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。
4．29模23的逆元是( )。
(1) 2，(2) 4，(3) 6，(4) 11。
5．设m1，m2是两个正整数，x1遍历模m1的完全剩余系，x2遍历模m2的完全剩余系，若( )遍历m1m2的完全剩余系。
(1) (m1，m2)=1，则m1x1＋m2x2(2) m1和m2是素数，则m1x1＋m2x2(3) (m1，m2)=1，则m2x1＋m1x2(4)m1和m2是素数，则m2x1＋m1x26．下面的集合和运算构成群的是( ) 。
(1) <N，＋> （N是自然数集，“＋”是加法运算）(2) <R，×> （R是实数集，“×”是乘法运算）(3) <Z，＋> （Z是整数集，“＋”是加法运算）(4) <P（A），∩> （P(A)＝{U | U是A的子集}是集合A的幂集，“∩”是集合的交运算）7．下列各组数对任意整数n均互素的是( ) 。
(1) 3n+2与2n，(2) n－1与n2＋n＋1，(3) 6n+2与7n，(4) 2n+1与4n+1。
8．一次同余式234x ≡ 30（mod 198）的解数是( )。
最新信息安全数学基础期末试卷及答案
贵州大学2007-2008学年第二学期考试试卷（标准答案） A信息安全数学基础注意事项：1. 请考生按要求在试卷装订线内填写姓名、学号和年级专业。
2. 请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写答案。
3. 不要在试卷上乱写乱画，不要在装订线内填写无关的内容。
4. 满分100分，考试时间为120分钟。
一、设a,b 是任意两个不全为零的整数，证明：若m 是任一整数，则 [am,bm]=[a,b]m.(共10分) 解：22[,](3(,)(3(,)(2(,)[,](2abm am bm am bm abm a b mabma b a b m ====分）分）分）分）==二、设n=pq,其中p,q是素数.证明：如果22=(mod ),,,a b n n a b n a b -+宎宎 则(,)1,(,)1n a b n a b ->+>（共10分）证明：由2222=(mod ),|-,|()()a b n n a b n a b a b +-得即a a (2分）又n pq =，则|()(),|()|(),pq a b a b p p a b p a b +-+-因为是素数，于是或a a a (2分） 同理，|()|()q a b q a b +-或a a (2分）由于,n a b n a b -+宎?，所以如果|()p a b +a ，则|()q a b -a ，反之亦然. (2分） 由|()p a b +a 得(,)1n a b p +=> (1分） 由|()q a b -a 得(,)1n a b q -=> (1分）三、求出下列一次同余数的所有解.(共10分)32(mod 7)x ≡解：(1)求同余式31(mod 7)x ≡的解，运用广义欧几里得除法得：5(mod7)x ≡ （5分）（2）求同余式32(mod 7)x ≡的一个特解： 10(mod 7)x ≡ （4分） （3）写出同余式32(mod 7)x ≡的全部解： 102(mod7),0x t t ≡+= （1分）四、求解同余式组：(共15分)1234(m o d 5)(m o d 6)(m o d 7)(m o d 11)x b x b x b x b =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩解：令m=5.6.7.11=23101234 6.7.11462(15.7.11385(15.6.11330(15.6.7210(1M M M M ========分）分）分）分）分别求解同余式'M 1(mod ),1,2,3,4i i i M m i ≡=得到：''''12343,1,1,1(4M M M M ====分）故同余式的解为：12343462385330210(mod 2310)(2x b b b b ≡⋅⋅+⋅+⋅+⋅分）五、求满足方程23:51(mod 7)E y x x =++的所有点. (共10分)解:对x=0,1,2,3,4,5,6,分别求出y.22222220,1(mod 7),1,6(mod 7)(21,0(mod 7),(22,5(mod 7),(13(mod 7),(11(mod 7),1,6(mod 7)(25,4(mod 7),2,5(mod 7)(16,2(mod 7),3,4(mod 7)(1x y y x y x y y y y x y y x y y =≡≡=≡≡=≡≡≡≡=≡≡=≡≡分）y 0(mod7)分）无解分）x=3,无解分）x=4,分）分）分）六、判断同余式2137(mod 227)x ≡是否有解.（共15分）解:因为227是素数，2137901235253227227227227227227⎛⎫⋅⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭－－＝＝＝－ （分）又222712262288821(1)=13227⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭－＝（－）＝－－ （分） 又251512271822522721==11322755⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭－－－＝（－）（－）＝－ （分） 因此，13713227⎛⎫⎪⎝⎭＝－ （分）同余式2137(mod 227)x ≡无解. (3分)七、设1m >是整数，a 是与m 互素的整数，假如()m ord a st =，那么()s m ord a t =.（共10分）解: 由()m ord a st =得：()1(mod )5st s ta a m =≡（分）由()m ord a st =知，t 是同余式()1(mod )s ta m ≡成立的最小正整数，故，()sm ord a t =. (5分)八、证明整数环Z 是主理想环. （共10分）证：设I 是Z 中的一个非零理想.当a I ∈时，有00(1)a I a a I =∈=-∈及-.(2分) 因此，I 中有正整数存在. (1分)设d 是I 中的最小正整数，则()I d = (1分) 事实上，对任意a I ∈，存在整数q,r 使得 (1分) ,0a dq r r d =+≤< (1分)这样，由a I ∈及dq I ∈，得到r a dq I =-∈. (1分)但r d <以及d 是I 中的最小正整数.因此，r=0，()a dq d =∈.(1分) 从而()I d ⊂，(1分)又显然()d I ⊂.故()I d =，故Z 是主理想. (1分)九、设p 是素数，则()P p =是整数环Z 的素理想. （共10分）证：对任意整数a,b ，若(),|ab P p p ab ∈=则. (3分) 于是||.p a p b 或 (3分)因此得到，a P b P ∈∈或. (3分)因此，()P p =是整数环Z 的素理想. (1分)。
信息安全数学基础试卷一
《信息安全数学基础》试卷一一、判断题（本题满分10分，共含10道小题，每小题1分，认为命题正确的请在答题表里填写“√”，认为命题错误的请在答题表里填写“×”）1、任何一个交换群必定是循环群。
2、若4mod b a ≡，则有8mod b a ≡。
3、若无向图中的每一对顶点之间都有链，则此无向图为树。
4、存在一个无向图G ，G 既是哈密顿图，又是欧拉图。
5、若G H ≤1，G H ≤2，则G H H ≤⋂21。
6、同余方程 有解 。
7、模n 的缩系中共有)1(-n ϕ个元素。
8、),,⨯+Z （是一个域。
9、对于奇素数p 而言，模p 的两个二次剩余之积为二次剩余，两个二次非剩余之积为二次剩余。
10、对称群3S 有4阶子群。
二、计算题（本题满分15分）1、设T 是一棵无向树且有3个次数是3的点,2个次数是2的点,其余均为次数是1的点，求出该树一共有多少个点？（本小题5分）2、使用扩展的Euclid 算法求解(a,b)及整数s ，t,使得sa+tb=(a,b),其中a=135,b=97。
（本小题10分）三、解答题（本题满分45分）1、利用整数的惟一分解定理求出(45，100)和[45，100]。
（本小题6分）2、写出模7的缩同余类集合，列出其乘法运算表，并求出此集合中所有非零元素关于乘法的逆元。
（本小题15分）3、判断下列二次同余方程是否有解，并给出判断依据。
（本小题15分） （1） （2）)137(mod 62=x )365(mod 12-=x (mod )k x a n ≡⇔(,())|g k n ind a ϕ4、有向图如图1所示，写出其对应的邻接矩阵、关联矩阵，并判断此图是否为连通图，给出判断依据。
（本小题9分）图1四、求解下列同余方程或同余方程组 （本题满分15分）1、)15(mod 93≡x （本小题5分）2、⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡9mod 711mod 57mod 2x x x （本小题10分）五、证明题（本题满分15分）1、证明：若n b a mod ≡，n d c mod ≡，则有n d b c a mod +≡+。
(完整word版)信息安全数学基础试题
一、单项选择题1、设a, b 都是非零整数。
若a |b ，b |a ，则【 】A.a ＝bB.a ＝± bC.a ＝－bD. a > b2、设a, b, c 是三个整数，c ≠0且c |a ，c |b ，如果存在整数s, t, 使得sa ＋tb ＝1，则【 】A.(a, b)= cB. c ＝1C.c ＝sa ＋tbD. c ＝± 13、Fermat 定理：设p 是一个素数，则对任意整数a 有【】 A. a p ＝1 (mod p) B. a ϕ (p)＝1 (mod a)C. a ϕ (p)＝a (mod p)D. a p ＝a (mod p)4、已知模41的一个原根是6，则下列也是41的原根的是【】 A. 26 B. 36C. 46D. 565、已知，),(88+z 是模8的剩余类加群，下述不正确的是【】 A. [1] 是生成元 B.有3阶子群C. [0] 是单位元D.有真子群6、设<R,+,ο>是环，则下列不正确的是【 】A. <F,+ >是可换群B. <F ，ο>是半群C. ο对+是可分配的D. +对ο是可分配的7、模30的简化剩余系是【 】A. －1, 0, 5, 7, 9, 19, 20, 29B. －1, －7, 10, 13, 17, 25, 23, 29C. 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29D. －1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 298、设n 是整数，则 (2n, 2(n ＋1))＝【 】A.1B.2C.nD.2n9、模17的平方剩余是【 】A.3B.10C.12D.1510、整数5模17的指数ord 17(5)＝【 】A.3B.8C.16D.3211、下面的集合和运算是群的是【 】A.<N ，＋> （运算“＋”是自然数集N 上的普通加法）B.<R ，×> （R 是实数集，“×”是普通乘法）C.<Z ，＋> （运算“＋”是整数集Z 上的普通加法）D. <P （S ），∩> （P （S ）是集合S 的幂集，“∩”为集合的交）12、一次同余式234x ≡ 30（mod 198）的解数是【 】A.18B.6C.9D.013、集合F 上定义了“＋”和“ · ”两种运算。
信息安全数学基础期末试卷
B) (a, b, c)
C) (a, c )(b, c) D) (a, b)(b, c)
5. 2017 年 1 月 9 日是星期一（为第 0 天），之后的第 220170109 天是（ ）。
A) 星期二
B) 星期三
C) 星期四
D) 星期五
6. 11 的原根有（ ）个。
A) 1 B) 2
C) 3 D) 4
7. a，b 为互素的整数，则存在唯一的整数 s，t，使得 sa tb 1 。（ ）
8. 设 m 是正整数，如果 ad { bd（mod m），则 a { b（mod m）。（ ）
9. 设 a 是整数，若 x 遍历正整数模 m 的完全剩余系，则 ax 也遍历模 m 的完全剩余系。（ ）
Hale Waihona Puke 10. 设 p，q 是不同的素数，则M( pq) ( p 1)(q 1) 。（
）
11. n 是整数，如果 a2 { b2 (mod n) ，而 n 不整除 (a b) 和 (a b) ，则 n 为合数。（ ）
§ a2 · ¨ ¸1 12. 设 (a, p) 1，则 © p ¹ 。（ ）
13. 设整数 m>1， (a, m) 1，则整数 d 满足 ad { 1 (mod m) 的必要条件是 ordm(a） d 。（ ）
5. 求解 x2≡ 2 (mod 17)。
四、 证明题（25 分，5 分/小题，需写出证明过程）
1. 证明：形如 4k+1 和 4k-1 的素数都有无限个。
2. 证明：对素数 P， P 都是无理数。 3. 证明：设 P1 d P2 d P3 是素数，n 是正整数，若 P1P2P3|n ，则 P1 d n1/3 ， P2 d（n/2）1/2 。
信息安全数学基础参考试卷.doc
《信息安全数学基础》参考试卷一．选择题(在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的括号内，多选不给分)：（每题2分，共20分）1．576的欧拉函数值(576) ＝()。
(1) 96，(2) 192，(3) 64，(4) 288。
2．整数kn和k(n+2)的最大公因数(kn , k(n+2))=()。
(1) 1或2，(2) kn ，(3) n 或kn ，(4) k 或2 k。
3．模10的一个简化剩余系是( )。
(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10，(2) 11, 17, 19 , 27(3) 11, 13, 17, 19，(4) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。
4．29模23的逆元是( )。
(1) 2，(2) 4，(3) 6，(4) 11。
5．设m1，m2是两个正整数，x1遍历模m1的完全剩余系，x2遍历模m2的完全剩余系，若( )遍历m1m2的完全剩余系。
(1) (m1，m2)=1，则m1x1＋m2x2(2) m1和m2是素数，则m1x1＋m2x2(3) (m1，m2)=1，则m2x1＋m1x2(4) m1和m2是素数，则m2x1＋m1x2 6．下面的集合和运算构成群的是( ) 。
(1) <N，＋> （N是自然数集，“＋”是加法运算）(2) <R，×> （R是实数集，“×”是乘法运算）(3) <Z，＋> （Z是整数集，“＋”是加法运算）(4) <P（A），∩> （P(A)＝{U | U是A的子集}是集合A的幂集，“∩”是集合的交运算）7．下列各组数对任意整数n均互素的是( ) 。
(1) 3n+2与2n，(2) n－1与n2＋n＋1，(3) 6n+2与7n，(4) 2n+1与4n+1。
8．一次同余式234x ≡30（mod 198）的解数是( )。
(1) 0，(2) 6，(3) 9，(4) 18。
信息安全数学基础试题
信息安全数学基础试题1. 题目：对称加密与非对称加密的区别是什么？请举例说明。
对称加密和非对称加密是信息安全中常用的两种加密方式，它们的区别主要体现在密钥的管理和使用方式上。
（1）对称加密：对称加密也被称为共享密钥加密。
它使用相同的密钥进行加密和解密操作。
加密和解密过程都使用相同的密钥，因此速度较快，但密钥的管理相对困难。
举例：最常见的对称加密算法是DES（数据加密标准）。
例如，Alice想要将一份秘密文件发送给Bob，她需要事先与Bob共享DES密钥。
当Alice加密文件时，她使用这个密钥对文件进行加密，然后将加密后的文件发送给Bob。
Bob接收到文件后，使用相同的密钥进行解密操作，以获取原始文件。
（2）非对称加密：非对称加密也被称为公钥加密。
它使用一对密钥，其中一个是公钥，另一个是私钥。
公钥用于加密操作，私钥用于解密操作。
非对称加密相对安全，但速度较慢。
举例：非对称加密算法中最常见的是RSA算法。
假设Alice想要将一份秘密文件发送给Bob，Bob首先生成一对密钥（公钥和私钥）。
Bob将公钥发送给Alice，而私钥则保留在自己手中。
Alice使用Bob的公钥对文件进行加密后，将加密后的文件发送给Bob。
Bob收到文件后，使用自己的私钥进行解密操作，以获取原始文件。
2. 题目：什么是哈希函数？请简要介绍哈希函数的概念和应用。
哈希函数是一种将输入转换为固定长度输出的函数。
它将任意长度的输入数据映射到固定长度的哈希值，并具有以下特点：（1）唯一性：不同的输入数据会产生不同的哈希值。
（2）定长输出：无论输入数据的长度是多少，哈希函数始终输出固定长度的哈希值。
（3）不可逆性：从哈希值无法还原得到原始的输入数据。
（4）散列性：输入数据发生轻微改变，哈希值会发生巨大变化。
应用领域：（1）数据完整性验证：哈希函数可以用于验证数据的完整性，通过比对哈希值判断数据是否被篡改。
（2）数字签名：哈希函数与非对称加密算法结合使用，利用私钥对数据的哈希值进行签名，保证签名的真实性和完整性。
信息安全数学基础考试复习题
信息安全数学基础考试复习题第一章27 证明:如果整数a,b,c是互素且非零的整数，那么(ab,c)=(a,b)(a,c)证明:由题(a,b)=1=(a,c), 因为a,b,c 互素，所以(ab,1)=1, 所以(ab,c)=(a,b)(a,c)28 求最大公约数1)(55,85) (解:85=55*1+30 55=30*1+25 25=5*5 所以(55,85)=5(2)(202,282)解:282=202*1+80 202=80*2+42 80=42*1+38 42+38*1+4 38=4*9+2 4=2*2 所以(202,282)=2 29 求最大公因数(1)(2t-1,2t+1)解:2t+1=(2t-1)*1+2 2t-1=2*(t-1)+1 t-1=(t-1)*1 所以(2t-1,2t+1)=1(2)(2n，2(n+1))解: 2(n+1)=2n*1+2 2n=2*n 所以(2n，2(n+1))=232 运用广义欧几里得除法求整数s，t使得sa+tb=(a,b)(1) 1613,35893589=1613*2+363 1613=363*4+161 363=161*2+41 161=41*3+38 41=38*+338=3*12+2 3=2*1+12=1*1+1所以(1613,3589)=11=3-1*2=3-1*(38-3*12)=14*4-14*(161-3*41)= - 14*161+55*(363 -2*161)=55*363+(-124)*(1613 - 4*363)=(-124)*1613+551*(3589 – 2*1613)=551*3589+(-1226)*1613所以S=-1226 t=551(2) 2947,377250 求最小公倍数(1)8,60(3)49,77解:77=49*1+28 49=28*1+21 28=21*1+7 21=7*3 所以(49，77)=7所以[49,77]=49*77/7=53951 求最大公因数与最小公倍数 23577532(1)2357,2357235775322332235775327557解:所以(2357,2357)=2357 [2357,2357]=2357 3713(2)2511，2*3*5*7*11*13 3713解:(2511，2*3*5*7*11*13)=2*5*7 3713373 [2511，2*3*5*7*11*13]=2*3*5*7*11*1360 求7x+4y=100的整数解解:因为 (7,4)|100 所以该方程有解当x=4，y=18时，7x+4y=100成立所以方程的整数解为 X=4-4t t=0,+1,+ -2,……y=18+7t第二章 200805096 2008年5月9日是星期五，问第2天是星期几,228 设p是素数，证明:如果a?b(mod p) 则p|a-b或p|a+b10 设整数a,b,c(c>0),满足a?b(mod c),求证:(a,c)=(b,c)4720032(mod 47)，2(mod 47) 16 计算2(mod 47)，2解:1)设m=47，b=2，令a=1，将32写成二进制 32=25，a0=a=1 b1=b2?4(mod 47) n0=0n1=0，a1=a0=1 b2=b12?16(mod 47)n2=0，a2=a1=1 b3=b22?21(mod 47)n3=0，a3=a2=1 b4=b32?18(mod 47)n4=0，a4=a3=1 b5=b42?42(mod 47)n5=1，a5=a4*b5?42(mod 47)2)由费马小定理得247?2(mod 47)3)2200=24*47+12(mod 47)=216(mod 47)=18(mod 47)22 运用wilson定理，求8*9*10*11*12*13(mod 7)100000024 计算 3(mod 7) 610000006*166666+44解:因为3?1 mod 7 所以3=3(mod 7)?3(mod 7)?4(mod 7) q - 1p - 135 证明:如果p和q是不同的素数，则p+q?1(mod pq)Ψ(n)Ψ(m)36 证明:如果m和n是互素的整数，则m+n?1(mod mn)第三章求求出下列一次同余方程的所有解 1(1)3x?2(mod 7)(2)6x?3(mod 9)解:因为(6,9)=313 所以原同余式有解同余式6x?3(mod 9)的一个特解x?2(mod 9)所以所有解为x?2+3t(mod 9) t=0,1,2 0即x?2,5,8(mod 9)8 求11的倍数，使得该数被2,3,5,7除的余数为1解:由题意得:x?1 mod 2 x?1 mod 3 x?1 mod 5 x?1 mod 7 x=11k?M=2*3*5*7=210 M=3*5*7=105 M’M?1mod 2 ?M’=1 1111M=2*5*7=70 M’M?1mod 3 ?M’=1 2222M=2*3*7=42 M’M?1mod 5 ?M’=1 3333M=2*3*5=30 M’M?1mod 7 ?M’=4 4444X=105*1*1+70*1*1+42*3*1+3*4*1(mod 210)?1?由??得x=2101……解非唯一第四章10 计算下列勒让德符号1)(17/37) 2)(151/373) 3)(191/397) 4)(911/2003)16 判断下列同余方程是否有解 21) x?7(mod 227)25 求所有素数p使得与5为模p的二次剩余 2 解:由题意得:x?5(mod p) (5-1)(p-1)/(2*2)p-1 因为5/p=(-1)*(p/5)=(-1)(p/5)所以当p=2时，(5/2)=(1/2)=1 即p=2成立当p=3时，(5/3)=(2/3)= - 1,即p=3不成立所以p=2.连分数连分数定理使用Shanks小步大步法计算离散对数2是F的一个本原元，在F中求log3 1011012解:m=[]=10(mod 101)j 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9yj 1 2 4 8 16 32 64 27 54 7 y=3穷搜:i 0 1 2 3 4 5 6 ……-pi y*23 94 50 18 59 98 7 ……-10*6 969 所以y*2?2?3=2?log3=69 2。
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《信息安全数学基础》参考试卷
一．选择题(在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的括号内，多选不给分)：（每题2分，共20分）
1．576的欧拉函数值 (576) ＝ ( )。
(1) 96， (2) 192， (3) 64， (4) 288。
2．整数kn和k(n+2)的最大公因数(kn , k(n+2))=( )。
(1) 1或
2，
(2) kn ，
(3) n 或
kn ， (4) k 或2 k 。
3．模10的一个简化剩余系是 ( )。
(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10， (2) 11, 17, 19 , 27
(3) 11, 13, 17, 19， (4) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。
4．29模23的逆元是 ( )。
(1) 2， (2) 4，
(3) 6， (4) 11。
5．设 m1，m2是两个正整数，x1遍历模m1的完全剩余系，x2遍历模m2的完全剩余系，若( )遍历m1m2的完全剩余系。
(1) (m1，m2)=1，则m1x1＋m2x2 (2) m1和m2是素数，则m1x1＋m2x2
(3) (m1，m2)=1，则m2x1＋m1x2 (4) m1和m2是素数，则m2x1＋
m1x2
6．下面的集合和运算构成群的是 ( ) 。
(1) <N，＋> （N是自然数集，“＋”是加法运算）
(2) <R，×> （R是实数集，“×”是乘法运算）
(3) <Z，＋> （Z是整数集，“＋”是加法运算）
(4) <P（A），∩> （P(A)＝{U | U是A的子集}是集合A的幂集，“∩”是集合的交运算）
7．下列各组数对任意整数n均互素的是 ( ) 。
(1) 3n+2与2n，(2) n－1与n2＋n＋1，(3) 6n+2与7n， (4) 2n+1与4n+1。
8．一次同余式234x ≡ 30（mod 198）的解数是 ( )。
(1) 0， (2) 6，
(3) 9， (4) 18。
9．Fermat定理：设p是一个素数，则对任意整数a有 ( )。
(1) a (p)＝a (mod p)， (2) a (p)＝1 (mod a)，
(3) a p ＝a (mod p)， (4) a p＝1 (mod p)
10．集合F上定义了“＋”和“· ”两种运算。
如果( )，则<F, “＋”,“ · ”>构成一个域。
(1) F对于运算“＋”和“ · ”构成环，运算“＋”的单位元是e，且F\{e}对于“ · ”构成交换群
(2) F对于运算“＋”构成交换群，单位元是e；F\{e}对于运算“ · ”构成交换群
(3) F对于运算“＋”和运算“ · ”都构成群
(4) F对于运算“＋”构成交换群，单位元是e；F\{e}对于运算“ · ”构成交换群；运算“＋”和“ · ”之间满足分配律
二．填空题(按题目要求，将正确描述填在上)：（每题2分，共20分）
1．设a, b是正整数，且有素因数分解
，
，则(a, b)＝，
[a, b]＝。
2．模5的3的剩余类C3(mod 5)写成模15的剩余类的并为：
C3(mod 5)
=。
3．整数a，b满足(a，b)=1，那么对任意正整数n，都有(an， bn)
=__________。
4．120, 150, 210, 35的最小公倍数[120, 150, 210, 35]
= 。
5．模8的绝对值最小完全剩余系
是。
6．设n是一个正整数，整数e满足1＜e＜ (n)且，则存在整数d，1≤d＜ (n)，使得ed≡1 (mod (n))。
7．Wilson定理：设p是一个素数，
则。
8．P(A)是集合A的幂集，“”为集合的对称差运算。
P(A)对于运算“”的单位元是，A的逆元是。
9．设m，n是互素的两个正整数，则 ( m，n)
= 。
10．设集合A有n个元素，则集合A×A有__________个元素，集合A上的不同运算有___________种。
三．证明题（写出详细证明过程，共4小题，30分）
1．(1) 证明：形如6k＋5的正整数必含6k＋5形式的素因数。
(2) 证明：形如6k+5的素数有无穷多
个。
（10分）
2．设a, b是任意两个不全为零的整数，证明
(1) 若m是任一正整数，则(am, bm) = (a, b)m。
(2) 若非零整数d满足da，db，则。
（8分）
3．设m是正整数，a≡b (mod m)，如果整数d满足d | (a, b , m)，则有。
（6分）
4．证明：如果m和n是互素的大于1的整数，则m(n)＋n(m) ≡1 (mod mn)。
（6分）
四．计算题（写出详细计算过程，共2小题，30分）
1．设a＝8142，b＝11766，运用广义欧几里得除法
(1) 计算(a, b)； (2) 求整数s，t使得sa＋tb＝(a,
b)。
（15分）
2．计算31000000 (mod
1771)。
（15分）。