新北师大版数学八上教案75三角形内角和定理

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新北师大版数学八上(教案)7.5.三角形内角和定理

针对教学难点与重点，教师应采取以下措施：
-采用直观生动的教学手段，如动态图演示、实际操作等，帮助学生形象地理解三角形内角和定理的证明过程。
-设计具有层次性的练习题，从简单到复杂，逐步引导学生运用内角和定理解决实际问题。
-鼓励学生开展小组讨论，互相启发，共同突破难点。
-教师应针对学生的错误进行针对性讲解，明确易错点，帮助学生建立正确的几何观念和逻辑推理能力。
新北师大版数学八上（教案）7.5．三角形内角和定理
一、教学内容
本节课选自新北师大版数学八上第七章7.5节“三角形内角和定理”。教学内容主要包括以下几部分：
1.三角形内角和定理的引入与证明，使学生理解并掌握三角形内角和为180度的性质。
2.利用三角形内角和定理解决相关问题，如已知两个角的度数，求第三个角的度数；已知一个角的度数及两边长度，求第三边的长度等。
3.引导学生在小组合作与交流中，培养团队合作意识，提高数学交流与表达的核心素养。
4.通过对三角形内角和定理的探索与应用，激发学生数学学习兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的学习态度，增强数学学科的核心素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：三角形内角和定理的理解与证明。
-学生需掌握三角形的定义，理解三角形内角和为180度的性质。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“三角形内角和定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。

北师大版数学八年级上册7.5《三角形内角和定理》教学设计

4.案例分析：设计具有代表性的例题，引导学生运用三角形内角和定理解决问题。在此过程中，教师注意讲解解题思路和方法，强调几何证明的严谨性。
5.练习巩固：布置不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。同时，针对学生的错误，进行及时反馈和指导，提高学生的解题能力。
6.课堂小结：通过提问、讨论等方式，引导学生总结本节课所学内容，强化学生对三角形内角和定理的理解和记忆。
4.课后作业：布置课后作业，要求学生运用三角形内角和定理解决实际问题，巩固所学知识。
五、作业布置
为了巩固学生对三角形内角和定理的理解和应用，特布置以下作业：
1.基础练习题：完成教材第7.5节后的练习题1-5，要求学生熟练运用三角形内角和定理求解角度，加强对定理的理解和记忆。
2.提高拓展题：选取教材第7.5节后的拓展题2-3道，让学生尝试解决具有一定难度的几何问题，培养学生分析问题和解决问题的能力。
3.实践应用题：设计一道与生活实际相关的题目，要求学生运用三角形内角和定理解决实际问题，例如测量不规则图形的面积等，提高学生的应用意识。
4.小组讨论题：布置一道小组讨论题，要求学生在课后分组讨论，共同解决。培养学生团队协作能力和交流沟通能力。
5.思考题：设置一道思考题，引导学生深入思考三角形内角和定理的本质，激发学生的探究欲望。
7.拓展延伸：布置课后思考题，让学生尝试运用三角形内角和定理解决生活中的实际问题，培养学生的应用意识和创新能力。
8.教学评价：采用课堂提问、课后作业、小组讨论等多种形式，全面评价学生的学习效果，关注学生的个体差异，激发学生的学习兴趣。
9.教学策略：
a.注重启发式教学，引导学生主动探究，培养学生的自主学习能力。
作业布置要求：
1.学生需独立完成作业，诚实守信，不得抄袭。

八年级数学上册7.5三角形的内角和定理第1课时三角形内角和定理教学设计 (新版北师大版)

八年级数学上册7.5三角形的内角和定理第1课时三角形内角和定理教学设计（新版北师大版）一. 教材分析《三角形内角和定理》是北师大版八年级数学上册第7.5节的内容，本节课主要让学生掌握三角形的内角和定理，即三角形的三个内角之和等于180°。

这一定理是几何学习中的基础，对于学生理解和掌握后续几何知识具有重要意义。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了角的性质、角的计算等基础知识，具备一定的观察、思考、推理能力。

但部分学生对抽象的几何概念理解不够深入，对于证明过程的逻辑推理能力有待提高。

三. 教学目标1.让学生理解三角形的内角和定理，并能运用定理进行计算和证明。

2.培养学生的观察能力、思考能力和推理能力。

3.激发学生对几何学科的兴趣，提高学习积极性。

四. 教学重难点1.重点：掌握三角形的内角和定理，能运用定理进行计算和证明。

2.难点：理解并证明三角形的内角和定理。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究、发现和解决问题。

2.运用几何画板等软件，直观展示几何图形的变换和性质，增强学生的直观感受。

3.采用合作学习法，让学生在小组内讨论、分享，提高团队协作能力。

4.运用讲解法，清晰阐述三角形的内角和定理及其证明过程。

六. 教学准备1.准备几何画板软件，用于展示几何图形的变换和性质。

2.准备相关教案、PPT、学案等教学资料。

3.准备三角板、直尺等几何绘图工具，方便学生进行实践操作。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用几何画板软件，展示一个三角形的动态变换过程，引导学生关注三角形的内角变化。

提问：你们观察到三角形内角发生了什么变化？引导学生思考三角形的内角和是否为定值。

2.呈现（10分钟）呈现三角形的内角和定理：三角形的三个内角之和等于180°。

引导学生理解定理的意义，并尝试运用定理计算三角形的内角和。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，运用三角形的内角和定理进行计算。

教师巡回指导，解答学生遇到的问题。

7.5《三角形内角和定理》数学北师大版八年级上册第2课时教案

第七章平行线的证明7.5 三角形内角和定理第 2 课时一、教学目标1．掌握三角形内角和定理的两个推理，并能运用这些定理解决简单的问题．2．经历探索与证明的过程，进一步发展推理能力．3．在一题多解、一题多变中，积累解决几何问题的经验，提升解决问题的能力．二、教学重点及难点重点：了解并掌握三角形的外角的定义．难点：掌握三角形内角和定理的两个推论，利用这两个推论进行简单的证明和计算．三、教学用具多媒体课件，三角板、直尺。

四、相关资《三角形外角》动画，《三角形其他外角》动画．五、教学过程【新知导入】△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角.请试着画出△ABC的其他外角.设计意图：外角概念探究意义不大，所以直接明晰这一概念，通过在图中标注其他外B ACDE 角，深化学生对外角概念的理解，同时，在图中标注其他外角的过程也为发现有关外角的结论做了铺垫.【合作探究】图中，∠ACD 与其他角有什么关系？请证明你的结论.通过学生讨论，发现：定理三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.定理三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.已知：△ABC .求证：∠ACD=∠A +∠B ，∠ACD ＞∠A ，∠ACD ＞∠B .证明：∵ ∠A +∠B +∠ACB =180°（三角形内角和定理），∴∠A +∠B =180°－∠ACB （等式的性质），∵ ∠ACD +∠ACB =180°（平角的定义）∴∠ACD =180°－∠ACB （等式的性质）∴∠ACD =∠A +∠B （等量代换）∴∠ACD ＞∠A ，∠ACD ＞∠B .在这里，我们通过三角形的内角和定理直接推导出两个新定理.像这样，由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论.推论可以当做定理使用.设计意图：希望发现有关外角的两个定理.可以对学生进行适当的引导，关系既可以是不等关系，也可以是等量关系.【典例精析】例1 已知，如图，在△ABC 中，∠B =∠C ，AD 平分外角∠EAC ．求证：AD ∥BC分析：要证明AD∥BC,只需证明“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”.证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∠B=∠C（已知）∴∠B=∠EAC（等式的性质）∵AD平分∠EAC（已知）∴∠DAE=∠EAC（角平分线的定义）∴∠DAE=∠B（等量代换）∴A D∥BC（同位角相等，两直线平行）想一想，还有没有其他的证明方法呢？这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证.证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∠B=∠C（已知）∴∠C=∠EAC（等式的性质）∵AD平分∠EAC（已知）∴∠DAC=∠EAC（角平分线的定义）∴∠DAC=∠C（等量代换）∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证.证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∠B=∠C（已知）∴∠C=∠EAC（等式的性质）∵AD平分∠EAC（已知）∴∠DAC=∠EAC∴∠DAC=∠C（等量代换）∵∠B+∠BAC+∠C=180°∴∠B+∠BAC+∠DAC=180°即：∠B+∠DAB=180°∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）设计意图：例题的图形较复杂，可以给出分析过程，鼓励学生先自行解决，同时对有困难的学生给予必要的指导.“想一想”关注解决问题方法的多样化，通过多种解法，开拓学生思维.例2如图，P是△ABC内的一点，求证：∠BPC＞∠A.解析：由题意无法直接得出∠BPC＞∠A，延长BP交AC于D，就能得到∠BPC＞∠PDC，∠PDC＞∠A.即可得证．证明：延长BP,交AC于D，∵∠BPC是△PDC的外角(外角定义)，∴∠BPC＞∠PDC(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)．∵∠PDC是△ABD的外角(外角定义)，∴∠PDC＞∠A(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)．∴∠BPC＞∠A.方法总结：利用推论2证明角的大小时，两个角应是同一个三角形的内角和外角．若不是，就需借助中间量转化求证．设计意图：让学生复习“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”，同时体会某些不等关系的递推和论证过程.鼓励学生寻求多种解法，如还可以连接AP，并延长AP 交BC于点D ,这时∠BPC和∠A分别被分成了两个小角，用“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”可以证明.【课堂练习】1.判断下列命题的对错.（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. （）×（2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍. （）√（3）三角形的一个外角等于两个内角的和. （）×（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（）√（5）三角形的一个外角大于任何一个内角. （）×（6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（）√2.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( )C A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定3.如图所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE 等于( )B A.120° B.115° C.110° D.105°4.如图，AB//CD ，∠A ＝37°, ∠C ＝63°，那么∠F 等于（）A.26° B.63° C.37° D.60°5.如图，如果∠1＝100°，∠2＝145°，那么∠3等于( )A ．110°B ．160°C ．137°D ．115°解析：∠1＝100°∠2＝145°∠BAC ＝80°∠ABC ＝35°∠3＝∠BAC ＋∠ABC ＝115°方法总结：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，而不是等于任意两个内角的和．6.如图，求证：（1）∠BDC >∠A .（2）∠BDC =∠B +∠C +∠A .FEDCB A FA B ECD证法一：（1）连接AD，并延长AD，如图，则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角.∴∠1>∠3.∠2>∠4（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∴∠1+∠2>∠3+∠4（不等式的性质）即：∠BDC>∠BAC.（2）连结AD，并延长AD，如图.则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角.∴∠1=∠3+∠B∠2=∠4+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C（等式的性质）即：∠BDC=∠B+∠C+∠BAC证法二：（1）延长BD交AC于E（或延长CD交AB于E），如图.则∠BDC是△CDE的一个外角.∴∠BDC>∠DEC.（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∵∠DEC是△ABE的一个外角（已作）∴∠DEC>∠A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∴∠BDC>∠A（不等式的性质）（2）延长BD交AC于E，则∠BDC是△DCE的一个外角.∴∠BDC=∠C+∠DEC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠DEC是△ABE的一个外角∴∠DEC=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC（等量代换）设计意图：巩固三角形外角定理.六、课堂小结今天这节课你学到了什么知识？1．外角2．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和3．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角设计意图：通过对三角形外角及性质的学习，使学生的认识有进一步的升华，再一次体会证明格式的严谨，体会到数学的严密性．七、板书设计7.5 三角形内角和定理（2）1．外角2．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和3．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

北师大版八年级上册数学7.5.1《三角形内角和定理证明》教学设计

北师大版八年级上册数学7.5.1《三角形内角和定理证明》教学设计一. 教材分析《三角形内角和定理证明》是北师大版八年级上册数学的一节重要内容。

本节课主要让学生通过证明三角形内角和为180°，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

在教材中，已经给出了三角形的内角和定理，但为了让学生更好地理解和掌握，需要通过证明来让学生感受定理的得出过程。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形的性质，如三角形的定义、三角形的分类等。

但学生对于证明过程可能还存在一定的困难，因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，引导学生积极参与证明过程，提高学生的逻辑思维能力。

三. 教学目标1.让学生了解三角形内角和定理，并能够理解定理的意义。

2.通过证明三角形内角和定理，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

3.提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：三角形内角和定理的证明过程。

2.教学难点：证明过程中角度的转换和逻辑推理。

五. 教学方法1.引导法：教师引导学生思考，激发学生的学习兴趣，培养学生的问题意识。

2.合作学习法：学生分组讨论，共同完成证明过程，培养学生的团队协作能力。

3.案例分析法：通过具体的三角形案例，让学生直观地感受内角和定理的应用。

六. 教学准备1.准备三角形模型，方便学生直观地观察和理解三角形的性质。

2.准备证明过程中的相关素材，如图片、视频等，帮助学生更好地理解证明过程。

3.准备课堂练习题，巩固学生对内角和定理的理解和应用。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾三角形的相关知识，如三角形的定义、分类等。

然后提出本节课的学习目标：证明三角形内角和为180°。

2.呈现（10分钟）教师通过多媒体展示三角形内角和定理的证明过程，引导学生观察和思考。

在证明过程中，注意解释每一步的逻辑关系，让学生理解证明过程。

3.操练（15分钟）学生分组讨论，根据三角形内角和定理，尝试证明给定的三角形内角和为180°。

北师大版数学八年级上册7.5《三角形内角和定理》教案

三角形内角和定理的证明（一）一、学习目标：知识技术：掌握“三角形内角和定理”的证明及简单应用；过程与方法：①对照过去撕纸等研究过程领会思想实验和符号化的理性作用②经过一题多解，一题多变等初步领会思想的多项性，指引学生的个性化发展。

感情、态度、价值观：培育学生创建性，弘扬个性发展，体验解决问题的成就感，是学生感悟逻辑推理的数学价值。

教课要点：理解三角形内角和定理及其简单应用 ;教课难点 :三角形内角和定理的证明及协助线的增添；教课打破：经过学生着手操作和合作沟通，在教师的指引下学生亲身经历研究过程，加深对定理的理解，并领会思想实验和符号的理性作二、教课过程自学检测：随意剪下三角形的三个内角，你能够如何拼成一个平角？（用尽可能多的方法）AAAAC B B CB B（ 1）CAB 型（ 3） BCA 型ABC AB（2） CBA 型自学指导：想想：学我们是如何考证三角形的内角和等于180°的？AB CD证明 :三角形三个内角的和等于已知：如图 ,△ABC求证：∠ A+∠B+∠C=180°E A〖方法 1〗B C D 证明：作 BC 的延长线 CD，点 C 作射线 CE∥BA。

∵C E∥BA∴∠ B=∠ECD （两直线平行，同位角相等）∠A=∠ACE （两直线平行，内错角相等）∵∠ BCA+ ∠ACE+ ∠ ECD=180° (1 平角 =180°) ∴∠ A+∠B+∠ACB=180 °(等量代换 )证明 :三角形三个内角的和等于D AE已知：如图 ,△ABC求证：∠ A+∠B+∠C=180°〖方法 2〗证明：过 A 点作 DE∥ BC B C ∵DE∥BC（已作）∴∠ DAB= ∠B，∠ EAC= ∠C（两直线平行，内错角相等）∵∠ DAB+ ∠BAC+ ∠ EAC=180° (1 平角 =180°)∴∠ BAC+ ∠B+∠C=180°(等量代换 )例 1 已知： Rt△ABC, ∠C=90 °， A求证：∠ A＋∠ B=90A例 2 如下图，在△ ABC 中， AD ⊥BC 垂足为 D，C B AE 均分∠ ABC ，∠ B=65°∠ C= 47°。

北师大版数学八年级上册7.5.2三角形内角和定理教学设计

（四）课堂练习
1.教学活动：
（1）教师设计具有代表性的练习题，涵盖三角形内角和定理的基础知识和拓展应用。
（2）学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
（3）学生互相交流解题思路，分享解题方法。
2.设计意图：通过课堂练习，巩固学生对三角形内角和定理的理解，提高学生的解题能力。
（五）总结归纳
1.教学活动：
（1）教师引导学生回顾本节课所学内容，总结三角形内角和定理及其应用。
（2）学生分享学习收获，教师进行点评和补充。
（3）教师强调三角形内角和定理在实际生活中的重要性，激发学生学习数学的兴趣。
2.设计意图：通过总结归纳，帮助学生巩固所学知识，形成系统的知识体系，提高学生的数学素养。
五、作业布置
1.基础作业：
（3）采用探究式教学法，引导学生通过观察、猜想、验证等过程，自主发现三角形内角和定理，培养学生的探究精神和合作意识。
（4）运用问题驱动法，设计有梯度、富有挑战性的问题，引导学生层层递进地掌握知识，提高解决问题的能力。
2.教学策略：
（1）关注学生的个体差异，创设分层教学情境，使每位学生都能在原有基础上得到提高。
（二）讲授新知
1.教学活动：
（1）教师引导学生通过实际操作，将三角形的三个内角剪下来，拼在一起，观察是否能组成一个平角（180度）。
（2）教师通过几何画板等教学工具，动态展示三角形内角和为180度的过程，帮助学生形成直观认识。
（3）教师引导学生用严谨的数学语言表达三角形内角和定理，并进行证明。
2.设计意图：通过直观演示和动手操作，让学生感受三角形内角和定理的形成过程，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
北师大版数学八年级上册7.5.2三角形内角和定理教学设计

北师大版数学八年级上册7.5三角形内角和定理教学设计

3.讲解与示范环节：
-对学生提出的不同证明方法进行点评，强调证明的逻辑严密性和数学美感。
-给出标准证明过程，解释其中的关键步骤和数学思想。
4.实践与应用环节：
-设计不同难度的习题，让学生独立或合作完成，巩固三角形内角和定理的应用。
-结合实际情境，如地图制作、建筑设计等，让学生体会数学知识在实际问题中的应用。
4.引导学生运用几何画板等教学软件，进行直观演示，激发学生学习兴趣，提高学生的信息技术素养。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对几何图形的审美情趣，激发学生对数学美的追求。
2.通过对三角形内角和定理的探究，培养学生勇于探索、善于思考的科学精神。
3.培养学生面对困难时，保持积极的心态，克服困难，解决问题的信心和决心。
2.学生在解决几何问题时，可能存在空间想象力不足的问题，需要教师通过实物演示、几何画板等辅助手段，帮助学生建立几何直观。
3.学生在运用三角形内角和定理时，可能对定理的适用条件理解不够深刻，需要教师引导学生通过实际操作、举例说明等方式，加深对定理的理解。
4.学生在团队合作中，可能存在沟通不畅、分工不明确等问题，需要教师引导和培养学生的团队协作能力。
4.引导学生认识到数学知识在实际生活中的重要作用，增强学生学以致用的意识，培养学生的社会责任感。
在教学过程中，教师应以学生为主体，关注学生的个体差异，充分调动学生的积极性、主动性和创造性，使学生在轻松愉快的氛围中学习数学，感受数学的魅力。同时，教师还应注重培养学生的动手操作能力、观察思考能力和团队合作能力，为学生的终身发展奠定基础。
3.学生思考：教师给予学生一定时间进行独立思考，鼓励他们大胆猜想和表达自己的观点。
（二）讲授新知
在这一环节中，教师将系统地讲授三角形内角和定理，并通过示范和讲解，帮助学生理解和掌握该定理。

八年级数学上册7.5三角形的内角和定理第1课时三角形内角和定理教案新版北师大版

八年级数学上册7.5三角形的内角和定理第1课时三角形内角和定理教案新版北师大版一. 教材分析《新版北师大版八年级数学上册》第7.5节介绍了三角形的内角和定理。

这一节内容是几何学习中的重要基础，通过探究三角形内角和的关系，引导学生运用归纳推理的方法得出结论，培养学生解决问题的能力。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了基本的几何知识，具备一定的观察、分析和推理能力。

但他们在解决实际问题时，仍可能受到直观思维的局限，难以运用抽象的数学思维来解决问题。

因此，在教学过程中，需要注重培养学生的抽象思维和推理能力。

三. 教学目标1.让学生通过观察、分析和推理，得出三角形的内角和定理。

2.培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。

3.提高学生的抽象思维和归纳推理能力。

四. 教学重难点1.重点：三角形的内角和定理的得出和应用。

2.难点：如何引导学生运用抽象的数学思维来推理和证明三角形的内角和定理。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法和引导发现法，引导学生通过观察、分析和推理，得出三角形的内角和定理。

六. 教学准备1.准备相关几何图形，如三角形、四边形等。

2.准备三角板，以便在课堂上进行实际操作。

3.准备课件，用于展示问题和解答过程。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件呈现一个三角形，引导学生观察三角形的内角，并提出问题：“三角形的内角和是多少？”让学生回顾已学过的知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）通过课件展示多个三角形，让学生观察并总结它们的内角和。

引导学生发现，无论三角形的形状如何，它们的内角和总是等于180度。

从而引导学生归纳出三角形的内角和定理。

3.操练（10分钟）让学生分组合作，利用三角板和剪刀，剪出不同的三角形，并测量它们的内角和。

让学生在实际操作中验证三角形的内角和定理。

4.巩固（10分钟）利用课件呈现一些有关三角形内角和定理的应用题，让学生独立解答。

题目难度可适当调整，以满足不同学生的学习需求。

北师大版八年级上册数学7.5.1《三角形内角和定理证明》教案

北师大版八年级上册数学7.5.1《三角形内角和定理证明》教案一. 教材分析《三角形内角和定理证明》是北师大版八年级上册数学的一节重要内容。

本节课主要让学生掌握三角形的内角和定理，并学会用三角形的内角和定理解决一些简单问题。

本节课的内容对于学生来说是比较抽象的，需要学生有一定的逻辑思维能力和空间想象能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了多边形的概念，对多边形的性质有一定的了解。

同时，学生也学习了角的性质，对角的概念有一定的掌握。

但是，学生对于证明题还有一定的恐惧心理，需要老师在教学过程中给予一定的鼓励和指导。

三. 教学目标1.让学生掌握三角形的内角和定理。

2.培养学生用三角形的内角和定理解决实际问题的能力。

3.培养学生勇于探索、积极思考的科学精神。

四. 教学重难点1.三角形的内角和定理的证明。

2.运用三角形的内角和定理解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等教学方法，引导学生积极探索，提高学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

六. 教学准备1.PPT课件。

2.三角板。

3.练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT课件，展示一些生活中的三角形，让学生感受三角形在我们生活中的重要性。

然后提出问题：“三角形的内角和是多少？”引发学生的思考。

2.呈现（10分钟）引导学生通过小组合作，用三角板拼出各种不同的三角形，并测量出每个三角形的内角和。

通过实验发现，无论三角形的形状如何，其内角和总是180度。

从而引导学生总结出三角形的内角和定理。

3.操练（10分钟）让学生运用三角形的内角和定理解决一些实际问题，如计算一些特定三角形的内角和。

通过解决问题，让学生加深对三角形内角和定理的理解。

4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成，检验学生对三角形内角和定理的掌握情况。

对学生在练习中遇到的问题，进行个别指导。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：如果一个四边形的内角和也是180度，那么它是什么类型的四边形？从而激发学生对多边形内角和的研究兴趣。

北师大版数学八年级上册7.5《三角形内角和定理》优秀教学案例

此外，我还注重培养学生的几何直观能力。通过多媒体展示三角形内角和定理的证明过程，让学生更加直观地理解定理的含义。同时，我鼓励学生动手操作，进行小组讨论，从实践中感受和理解三角形内角和定理。这样的教学方式有助于提高学生的几何思维水平，培养他们的空间想象力。
在教学过程中，我还注重引导学生运用三角形内角和定理解决实际问题。例如，我设计了一些实际问题，让学生运用所学知识进行解答。这样不仅能够巩固学生对三角形内角和定理的理解，还能够培养他们学以致用的能力。
在教学过程中，我注重培养学生的动手操作能力和合作意识。设计了小组讨论和动手实践环节，让学生在合作中发现问题、解决问题。同时，我还运用多媒体教学手段，展示了三角形内角和定理的证明过程，使学生更加直观地理解定理的含义。
针对不同学生的学习情况，我采用了分层教学法，设置了不同难度的题目，让每个学生都能在课堂上发挥自己的优势。对于学困生，我给予了耐心指导，帮助他们克服学习困难；对于优秀生，我则引导他们拓展思维，提升解题能力。
（二）过程与方法
1.培养学生独立思考、合作探讨的学习方式，提高他们的自主学习能力。
2.引导学生运用图形直观分析问题，培养他们的几何直观能力。
3.培养学生运用三角形内角和定理解决实际问题的能力，提高他们的实践操作能力。
为了实现上述目标，我在教学过程中采用了以下方法：
首先，我采用了启发式教学法。通过设计富有挑战性的问题，引导学生独立思考，激发他们的学习兴趣。同时，我鼓励学生积极参与课堂讨论，培养他们的合作精神。
北师大版数学八年级上册7.5《三角形内角和定理》优秀教学案例
一、案例背景
北师大版数学八年级上册7.5《三角形内角和定理》优秀教学案例，以三角形内角和定理为核心内容。本节课主要让学生掌握三角形内角和定理，即三角形的三个内角之和等于180度。通过学习，学生能够理解并运用三角形内角和定理解决实际问题。

八年级数学上册7.5三角形的内角和定理第2课时三角形的外角教学设计 (新版北师大版)

八年级数学上册7.5三角形的内角和定理第2课时三角形的外角教学设计（新版北师大版）一. 教材分析本节课的主要内容是三角形的外角性质。

学生已经学习了三角形的内角和定理，对三角形的内角有了深入的理解。

在此基础上，引入三角形的外角性质，既是对学生已有知识的巩固，也是对知识体系的拓展。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对图形有了一定的认识。

但是，对于三角形的外角性质，他们可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生从已有的知识出发，逐步理解并掌握三角形的外角性质。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握三角形的外角性质，能运用外角性质解决一些简单问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等活动，培养学生的观察能力、操作能力、猜想能力和验证能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、严谨求实的科学态度。

四. 教学重难点1.重点：三角形的外角性质。

2.难点：三角形的外角性质的证明和应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、情境教学法、合作学习法等，引导学生主动探究，合作交流，从而掌握三角形的外角性质。

六. 教学准备1.教师准备：教材、课件、黑板、粉笔、三角板等。

2.学生准备：笔记本、尺子、三角板等。

七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过回顾上节课的内容，引导学生复习三角形的内角和定理。

然后，提出问题：“同学们，你们知道三角形还有一个重要的性质吗？那就是三角形的外角。

”从而引出本节课的内容。

2. 呈现（10分钟）教师通过课件或黑板，呈现三角形的外角性质，让学生初步感知。

3. 操练（15分钟）教师引导学生通过观察、操作，尝试证明三角形的外角性质。

学生在操作过程中，可以发现三角形的外角等于它不相邻的两个内角之和。

4. 巩固（10分钟）教师通过一些例子，让学生运用外角性质解决实际问题，巩固所学知识。

5. 拓展（10分钟）教师引导学生思考：三角形的外角性质有哪些应用？可以解决哪些问题？从而拓展学生的知识视野。

北师大版八年级数学上册：75三角形内角和定理优秀教学案例

1.培养学生对数学的兴趣和热情，使他们体验到数学学习的乐趣。
2.增强学生的自信心，让他们相信自己能够掌握并运用三角形内角和定理。
3.通过小组合作，培养学生的团队协作精神，使他们学会倾听、尊重、关心他人。
3.学生回答问题，教师总结并引入本节课的主题——三角形内角和定理。
（二）讲授新知
1.讲解三角形内角和定理的定义：三角形的三个内角之和等于180度。
2.通过画图、演示，解释三角形内角和定理的原理。
3.举例说明三角形内角和定理在实际问题中的应用，如测量三角形土地的面积等。
4.引导学生掌握三角形内角和定理的证明方法，如平行线性质、同位角相等等。
小组合作是培养学生团队协作能力和交流表达能力的重要途径。在本节课中，我将学生分成若干小组，每组4-6人。各小组成员共同讨论、研究问题，共同完成学习任务。具体操作如下：
1.小组内讨论三角形内角和定理的定义和性质。
2.小组合作画图、测量，验证三角形内角和定理的正确性。
3.小组内分享解题思路，总结三角形内角和定理的应用方法。
（二）问题导向
（三）小组合作
将学生分成4-6人的小组，进行合作学习。小组成员共同讨论、研究问题，分享解题思路，提高学生的团队协作能力和交流表达能力。
（四）注重过程与方法
在教学过程中，教师引导学生通过观察、画图、测量等方法，验证三角形内角和定理的正确性。同时，鼓励学生运用逻辑推理，解决实际问题。
（五）情感态度与价值观
3.教师评价：针对学生的课堂表现、作业完成情况等方面进行全面评价，鼓励学生继续努力。
4.教学反思：教师根据学生的反馈，调整教学策略，以提高教学效果。
四、教学内容与ห้องสมุดไป่ตู้程
（一）导入新课

北师大版数学八年级上册7.5.1三角形内角和定理教学设计

（二）教学设想
1.创设情境，导入新课：
利用学生熟悉的实际生活场景，如拼接三角形的玩具，引出三角形内角和的概念，激发学生的学习兴趣。
2.自主探究，发现规律：
提供不同类型的三角形，让学生通过量角器测量和计算内角和，引导学生观察、思考、总结，发现三角形内角和为180度的规律。
3.互动交流，深化理解：
采用小组合作学习方式，让学生相互交流测量数据，讨论三角形内角和定理的适用范围和条件，加深学生对定理的理解。
4.多元教学，突破难点：
利用多媒体教学手段，如几何画板，动态展示三角形内角和的变化，帮助学生形象地理解定理。
设计具有梯度的问题和练习，引导学生逐步掌握三角形内角和定理的应用，培养学生的几何推理能力。
5.实践应用，巩固知识：
结合实际问题，设计针对性的练习题，让学生运用三角形内角和定理解决问题，巩固所学知识。
4.通过本节课的学习，使学生对几何图形的性质有更深入的认识，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
（二）过程与方法
1.通过引导学生观察、思考、讨论，培养学生主动探究数学规律的能力。
2.利用多媒体教学手段，如几何画板，动态展示三角形内角和的变化，激发学生学习兴趣，提高课堂参与度。
3.设计具有梯度的问题，引导学生由浅入深地掌握三角形内角和定理，培养学生的逻辑思维能力。
4.采用小组合作学习的方式，让学生在交流、互动中共同解决问题，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学几何知识的热爱，激发学生学习数学的兴趣。
2.通过探索三角形内角和定理的过程，让学生体会数学的严谨性和逻辑性，培养学生的科学精神。
3.引导学生运用所学知识解决实际问题，提高学生解决问题的能力和自信心。

北师大版数学八年级上册7.5《三角形内角和定理》说课稿

（二）教学反思
在教学过程中，我预见到可能会出现学生对三角形内角和定理的理解困难、操作实践活动中的问题以及课后作业的完成挑战。对于这些问题，我将采取以下应对措施：
1.对于理解困难，我将提供更多的实例和实际问题，引导学生通过合作和讨论来深入理解三角形内角和定理。
2.对于操作实践活动中的问题，我将提供具体的指导和建议，鼓励学生尝试和探索，帮助他们克服困难。
（三）学习动机
为了激发学生的学习兴趣和动机，我将采取以下策略或活动：
1.创设情境：通过生活中的实际问题，引发学生对三角形内角和定理的思考，让他们感受到数学与生活的紧密联系。
2.引导探究：鼓励学生通过观察、操作、猜想、验证等数学活动，主动探索三角形内角和定理，培养他们的推理能力和创新精神。
3.合作学习：组织学生进行小组讨论和合作，让他们在交流中分享思路，互相启发，增强团队合作的意识。
（一）学生特点
本节课面向的是八年级的学生，他们正处于青少年时期，好奇心强，求知欲旺盛。他们在认知水平上，已经具备了较强的逻辑思维能力和一定的几何基础知识。他们对数学的学习兴趣浓厚，但可能在学习习惯上存在一定的差异，有的学生可能更习惯于被动接受知识，缺乏主动探究的精神。
（二）学习障碍
在学习本节课之前，学生需要具备平面几何的基本知识和一定的逻辑推理能力。他们可能已经学习了角的概念、度的度量等知识，但对三角形பைடு நூலகம்角和定理的证明可能还存在理解上的困难。此外，他们在学习过程中可能对一些抽象的数学概念和证明过程感到困惑，从而影响他们对知识的理解和运用。
北师大版数学八年级上册7.5《三角形内角和定理》说课稿
一、教材分析
（一）内容概述
本节课的教学内容是北师大版数学八年级上册7.5《三角形内角和定理》。这部分内容在整个课程体系中处于八年级上册的教学阶段，是学生学习了平面几何的基本概念和性质之后的一个重要的知识点。它为后续的三角形分类、三角形的度量等知识的学习奠定了基础。

北师大版八年级数学上册：75三角形内角和定理教学设计

3.通过对三角形内角和定理的探究，引导学生发现数学的内在美，体会数学的价值和魅力。
4.培养学生的批判性思维和创新意识，使他们敢于质疑、勇于探索，形成独立思考的习惯。
5.结合生活实际，让学生认识到数学在现实生活中的重要作用，增强他们的应用意识。
本章节教学设计旨在帮助学生掌握三角形内角和定理的知识，提高他们的几何思维能力和解题技巧，同时培养他们积极的学习态度和价值观。在教学过程中，教师应注重启发式教学，引导学生主动探究，关注学生的个体差异，提高教学质量。
示例题目：
（1）填空题：一个三角形的两个内角分别为50度和60度，求第三个内角的度数。
（2）选择题：一个三角形内角和为180度，已知两个内角分别为30度和80度，第三个内角的度数可能是（）。
A. 70度B. 60度C. 50度D. 40度
2.应用提高题：布置一些涉及三角形内角和定理在实际问题中应用的题目，让学生在解决实际问题的过程中，进一步理解三角形内角和定理的重要性。
2.新课呈现：利用几何画板或实物模型，动态展示三角形内角和为180度的过程，让学生在直观感知的基础上，理解并接受内角和定理。
3.证明方法：引导学生运用已学的几何知识，如平行线的性质、同位角相等等，尝试证明三角形内角和定理。在此过程中，教师应关注学生的思维过程，适时给予指导，帮助他们理解证明思路。
4.应用环节：设计具有层次性的例题和练习题，让学生在实际操作中运用三角形内角和定理，提高解题能力。同时，结合生活实际，让学生体会到数学知识在实际生活中的应用价值。
9.教学评价：通过课堂表现、作业完成情况、小组讨论等多方面评价学生的学习效果，关注学生的个体差异，给予针对性的指导和鼓励。
10.教学反思：课后，教师应认真反思教学过程，针对学生的反馈和表现，调整教学策略，以提高教学质量。

北师大版八年级上册第七章7.5.1 三角形内角和定理(教案)

7.5.1三角形内角和定理(教案〕教学目的知识与技能：掌握“三角形内角和定理〞的证明及简单的应用.过程与方法：通过一题多变,建立考虑情境,形成独立考虑、合作交流的学习形式,培养理性说理才能.情感态度与价值观：培养学生创造性,弘扬个性开展,体验解决问题的成就感,使学生感悟逻辑推理的数学价值.教学重难点【重点】理解三角形内角和定理及其简单的应用.【难点】三角形内角和定理的证明方法.教学准备【老师准备】教学导入图片和例题图片.【学生准备】量角器、三角板等作图工具.教学过程一、导入新课导入一:师:我们知道,三角形内角和等于多少度?生:(齐声)三角形的内角和是180°.师:你们还记得这个结论的探究过程吗?请看试验:将三角形纸片的三个角剪下,随意将它们拼凑在一起.生:由试验可知三角形的内角和正好为一个平角.师:但观察与试验得到的结论,并不一定正确、可靠,这样就需要通过数学证明.那么怎样证明呢?这节课我们一起探究一下三角形内角和定理的证明.(老师板书课题)[设计意图]比照过去撕纸等探究过程,体会思维试验和符号化的理性作用.将自己的操作转化为符号语言对于学生来说还存在一定困难,因此需要一个台阶,使学生逐步过渡到严格的证明.导入二:课件出示?三角形家族的“官司〞风波?.故事导入:很久很久以前的一天,数学国际法庭来了三位告状者,它们是锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.“它们干什么来了?〞“是来打官司的.〞这不它们在法庭外刚一见面又争吵起来: 锐角三角形说:“我们锐角三角形的内角和度数最大!〞直角三角形说:“不对!是我们直角三角形的内角和最大!〞钝角三角形说:“你们别吵了!还是我们钝角三角形的内角和最大!〞问题1【课件1】假如你是法庭庭长,你认为该怎样对它们宣判?为什么?问题2【课件2】你们还记得小学是怎样探究三角形内角和的吗?谁能给大家说一说或者展示一下吗?问题3【课件3】小学的证明方法固然好,但是这些方法可靠吗?如今有更加科学严密、更有说服力的证明方法吗?[处理方式]学生观察并读出对话及问题.问题1学生可以顺利解决;问题2学生一次答复出全部答案会有困难,根据学生已有的知识经历,学生间互相补充可以解决,学生边说边在讲台上演示测量法、折拼法、剪拼法(撕拼法).学生答复时语言可能不准确,老师及时引导纠正.老师根据学生答复利用课件展示三种方法.对于问题3,学生通过考虑、联想前面所学,应该可以解决.学生只要可以答复出用推理的方法证明三角形内角和即可,不要求作出详细答复.1.测量法.2.折拼法:3.剪拼法(撕拼法):[设计意图]通过学生动手测量、折纸与剪纸等操作让学生获得直接经历,为下面探究推理证明提供直接经历.导入三:出示下面的投影片工人师傅将凹型零件(图(1))加工成斜面EC与槽底CD成55°角的燕尾槽(图(2))的程序是:将垂直的铣刀倾斜偏转35°角(图(3)),就能得到55°的燕尾槽底角.为什么铣刀偏转35°角就能得到55°的燕尾槽底角呢?[设计意图]通过问题的解答,再现所学知识,为新知识的接纳做心理和知识上的准备,引出新课内容.二、新知构建(1).探究三角形内角和定理[过渡语]我们已经知道三角形内角和等于180°,这个定理是怎样证明的呢?思路一[活动内容1]证明思路的探究分析.(多媒体出示)剪拼法图示(动态):问题1【课件1】如下图,当∠A移到∠1的位置时,残边CD和边AB 有何位置关系?为什么?问题2【课件2】在剪拼法中,通过挪动角拼成了一个平角;假如不实际挪动角,那么你还有其他方法可以到达同样的效果吗?[处理方式]老师先出示图,学生读题答复.对于问题1可让学生到黑板前指图答复,注意语言表达及学生指图的准确性,发现不当处,及时强调.问题2可以让学生合作完成.假如有困惑,老师可作引导.利用课件图形,结合问题1引导学生进展逆向考虑:“假如先挪动角,那么可以得到平行线;反过来,假如我们先画出平行线,会得到什么呢?〞此时老师在空白ΔABC上标准作出射线CD,使CD∥AB,学生自然推出∠1=∠A.老师追问:“你还可以得到哪些角相等?说说理由.〞学生得出∠2=∠B后,一个平角自然就摆放在学生眼前了,到达了移角的效果.此时老师顺势引出辅助线:为了证明的需要,在原来的图形上添作的线叫做辅助线.(老师板书:辅助线)在平面几何里,辅助线通常画成虚线.[设计意图]利用剪撕纸得来的直接经历和逆向思维的方式,引导学生初步感悟辅助线的来源和作用,进步学生分析问题的才能.[活动内容2]说一说,写一写.问题1【课件1】你能用简洁的语言完好地说一说分析思路吗?问题2【课件2】你能用数学推理的方法证明它吗?问题3【课件3】证明的关键是什么?说说你的想法.[处理方式]问题1小组交流后学生代表发言,展示交流成果.学生发言时,老师注意提示学生文字命题的证明步骤以及数学语言表达的标准性.对于问题2,老师引导学生再次明确辅助线的作法及其相关要求:(1)这里的CD称为辅助线;(2)辅助线通常画成虚线.师生合作,老师标准完成辅助线的添加后,余下的证明过程由一名学生在黑板上独立完成,其余学生在练习本上写出完好的证明过程.老师巡视,帮助、鼓励困难学生解决问题.学生板演完成后师生共同评价,评价时重点强调辅助线的作法及证明过程的标准性.对于问题3,学生答复时,可能语言不准确,老师及时引导,让学生自主感悟体会到证明的关键是添加辅助线,把三角形内角和转化成一个平角.【多媒体展示】:如下图,ΔABC.求证:∠A+∠B+∠ACB=180°.证明:如下图,延长BC至D,过点C作射线CE∥AB,那么∠1=∠A(两直线平行,内错角相等),∠2=∠B(两直线平行,同位角相等).∵∠1+∠2+∠ACB=180°(平角的定义),∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换).师:命题“三角形的内角和等于180°〞经过了我们严密地推理证明,它是真命题.此时我们可以理直气壮地称之为三角形内角和定理.【课件展示】三角形内角和定理:三角形的内角和等于180°.[设计意图]用平行线的性质定理来推导出三角形内角和定理,让学生再次体会推理证明的严密性和数学的严谨.同时让学生初步理解添加辅助线的原因及添加辅助线的考前须知,培养学生的分析才能和逻辑推理才能.思路二[过渡语]根据上面给出的根本领实和三角形内角和定理,你能用自己的语言说一说这一结论的证明思路吗?你能用较为简洁的语言写出这一证明过程吗?与同伴交流.接下来同学们来证明:三角形的内角和等于180°这个真命题.这是一个文字命题,证明时需要先干什么呢?生:需要先画出图形,根据命题的条件和结论,结合图形写出、求证.师:对,下面大家来证明,哪位同学上黑板给大家板演呢?生1::如下图,ΔABC.求证:∠A+∠B+∠ACB=180°.证明:作BC的延长线CD,过点C作射线CE∥AB,那么∠ACE=∠A(两直线平行,内错角相等),∠ECD=∠B(两直线平行,同位角相等).∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°(平角的定义),∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换).生2:老师,我的证明过程是这样的:证明:作BC的延长线CD,作∠ECD=∠B,那么EC∥AB(同位角相等,两直线平行),∴∠A=∠ACE(两直线平行,内错角相等).∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°(1平角=180°),∴∠ACB+∠A+∠B=180°(等量代换).师:同学们写的证明过程都很好,在证明过程中,我们仅仅添画了一条射线CE,使处于原三角形中不同位置的三个角,巧妙地拼“凑〞到了一起.为了证明的需要,在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里,辅助线通常画成虚线.我们通过推理的过程,得证了命题:三角形的内角和等于180°是真命题,这时称它为定理,即三角形内角和定理.(2)、想一想,做一做【问题】你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗?[处理方式]学生先尝试独立完成,老师巡视引导.绝大多数学生会想到图形(1)的方法.对于图形(2),可能只有少数学生想到或者全体学生都想不到.当只有少数学生想到时,老师指名学生说说方法和理由.假如全体学生都想不到,老师可以追问:“我们挪动其中一块,能否得到平行线呢?〞并引导学生摆出图形(2).结合图形(2),学生会恍然大悟:应该如何添加辅助线,进而解决图形(2)的证明过程.老师巡视时,有意识寻找证明过程正确标准的作业,全班展示、评价.【参考答案】证法1:过点A作DE∥BC.∵DE∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠C(两直线平行,内错角相等).∵∠1+∠2+∠3=180°(平角的定义),∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换).证法2:过点A作AD∥BC.∵AD∥BC,∴∠1=∠B(两直线平行,内错角相等),∠DAC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补).又∵∠DAC=∠1+∠2,∴∠1+∠2+∠C=180°(等量代换),∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换).[设计意图]通过学生独立运用较简单的方法证明三角形内角和定理,感受体会“辅助线〞的作法和作用,进步一题多解的才能,体会思维的多样性和根本的转化思想.(3)、议一议【问题】综上所述,添加辅助线的目的是什么?你是怎样理解辅助线的?[处理方式]老师先快速地展示三种辅助线的添加图形,学生结合图片先在小组内讨论交流,形成小组成果,然后全班交流、随时互评.学生讨论时,老师参与其中,倾听学生的讨论,引导学生从辅助线的作用、作法、要求去交流.学生通过观察图形得出:添加辅助线的目的是构造180°的平角或同旁内角.【课件展示】添加辅助线的目的:三角形内角和平角、同旁内角【老师总结】(1)辅助线通常画成虚线;(2)辅助线要正确、标准地写出作法,并标明字母,便于书写证明过程;(3)辅助线能把题目中可利用的隐藏条件显露出来,化难为易.为便于学生掌握,总结四句话:小小辅助线,作时画虚线,写清其来源,隐藏条件见.[设计意图]添加辅助线是教学中的一个难点,学生通过考虑、讨论、交流对辅助线的认识,展示思维过程,然后在老师的引导下达成共识,进一步加深了对辅助线的理解,易于打破教学难点,进步学生解决问题的才能.(4)、探究活动刚刚同学们对辅助线掌握得很好.接下来,我将平角或同旁内角的位置挪动或者改造一下,使它再有一些难度,看谁还能攻克它?[处理方式]老师先出示图(1),考虑:怎样添加辅助线?学生考虑讨论,由于图形较直观,学生可以解决辅助线的添加问题;学生完成后老师出示图(2);为便于学生表达证明过程,老师再出示图(3).学生根据图(3)口述证明过程.学生在口述证明过程时,老师注意数学语言表达的标准性和推理证明的逻辑性.(1)(2)[设计意图]用多种方法证明三角形内角和定理,培养一题多解的才能,同时进步学生添加辅助线的技能、技巧,进步解决问题的才能.(5)、典例解析,应用新知[活动内容1]通过刚刚的学习,同学们不仅知道了辅助线,而且利用它用多种方法证明了三角形内角和定理,你们觉得学了这些知识,能解决哪些问题呢?【课件展示】如下图,在ΔABC中,∠B=38°,∠C=62°,AD是ΔABC的角平分线,求∠ADB的度数.[处理方式] 学生先结合图形读题,指图说出条件和要解决的问题,然后说说分析思路及求解过程,最后学生板演,师生共同评价.假如学生有困难,可以先在小组内讨论交流.在学生板演时,老师巡视指导,帮助、鼓励学困生完成任务.集体评价时,老师强调证明过程的标准性和严谨性.解:在ΔABC 中,∠B +∠C +∠BAC =180°(三角形内角和定理). ∵∠B =38°,∠C =62°(),∴∠BAC =180°-38°-62°=80°(等式的性质).∵AD 平分∠BAC (),∴∠BAD =∠CAD =12∠BAC =12×80°=40°(角平分线的定义). 在ΔADB 中,∠B +∠BAD +∠ADB =180°(三角形内角和定理). ∵∠B =38°(),∠BAD =40°(已证),∴∠ADB =180°-38°-40°=102°(等式的性质).[设计意图] 学生通过三角形内角和定理的简单应用,及时加深了对所学知识的理解,标准学生的证明过程,培养了学生良好的学习数学的习惯.三、课堂总结四、课堂练习1.三角形三个内角的和等于.答案:180°2.如以下图所示的是三角形内角和定理的几种证明方法,可分别记作法,法,法.答案:拼凑作平行线折叠3.如下图,AD是∠BAC的平分线,假设∠ADC=110°,且∠DAC=∠C,求ΔABC的三个内角的度数.=35°,∴∠解:∵∠ADC=110°,∠DAC=∠C,∴∠C=180°−110°2BAC=2∠DAC=2∠C=70°,∴∠B=180°-70°-35°=75°.4.在ΔABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5,求∠A,∠B,∠C的度数.解:设∠A,∠B,∠C的度数分别为x,3x,5x,那么x+3x+5x=180°,解得x=20°,∴∠A=20°,∠B=60°,∠C=100°.五、板书设计第1课时1.探究三角形内角和定理2.想一想,做一做3.议一议4.探究活动5.典例解析,应用新知六、布置作业(1)、教材作业【必做题】教材随堂练习第2,3题.【选做题】教材习题7.6第5题.(2)、课后作业【根底稳固】1.以下表达正确的选项是()2.假设一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4,那么这个三角形是()3.如下图,在ΔABC中,∠B=67°,∠C=33°,AD是ΔABC的角平分线,那么∠CAD的度数为()A.40°B.45°C.50°D.55°4.小明在证明“三角形内角和等于180°〞时用了如下图的辅助线,即延长BC 到D ,延长AC 到E ,过点C 作CF ∥AB ,你能接着他的辅助线的作法证明出来吗?【才能提升】5.在ΔABC 中,∠ABC =∠C ,BD ⊥AC ,∠ABD =30°,那么∠C 的度数是多少?4. 如下图,在ΔABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线BE ,CF 交于点I ,求证∠BIC =90°+12∠A.【拓展探究】7.如下图,∠ABC 和∠ACB 的平分线BD ,CE 相交于点O ,∠A =60°,求∠BOC 的度数.【答案与解析】1.C2.C(解析:由3个内角度数比为2∶3∶4,设3个内角度数分别为2x ,3x ,4x ,有2x +3x +4x =180°,解得x =20°,∴3个角分别为40°,60°,80°,故为锐角三角形.)3.A(解析:∵∠B =67°,∠C =33°,∴∠BAC =180°-∠B-∠C =180°-67°-33°=80°.∵AD 是ΔABC 的角平分线,∴∠CAD =12∠BAC =12×80°=40°.)4.解:∵AB ∥CF ,∴∠A =∠ACF ,∠B =∠FCD.又∵∠ACB =∠DCE ,∴∠A +∠B +∠C =∠ACF +∠FCD +∠DCE =180°.5.解:①当ΔABC 为锐角三角形时,如图(1)所示,在ΔABD 中,∵BD ⊥AC (),∴∠ADB =90°(垂直的定义).又∵∠ABD =30°(),∴∠A =180°-∠ADB-∠ABD =180°-90°-30°=60°.又∵∠A +∠ABC +∠C =180°(三角形内角和定理),∴∠ABC +∠C =120°.又∵∠ABC =∠C (),∴∠C =60°.②当ΔABC 是钝角三角形时,如图(2)所示,在直角三角形ABD 中,∵∠ABD =30°(),∴∠BAD =60°,∴∠BAC =120°,又∵∠BAC +∠ABC +∠C =180°(三角形内角和定理),∴∠ABC +∠C =60°.又∵∠ABC =∠C (),∴∠C =30°.综上,∠C 的度数应为60°或30°.6.解析:欲证∠BIC 与∠A 之间的关系,发现它们之间的关系不直接,而∠BIC 与∠IBC ,∠ICB 在同一个三角形中,故有∠BIC =180°-(∠IBC +∠ICB ),而∠A 与∠ABC ,∠ACB 在同一个三角形中,故有∠A =180°-(∠ABC +∠ACB ),又因为BE ,CF 是角平分线,所以∠IBC 与∠ABC 有关系:∠IBC =12∠ABC ,同理,∠ICB =12∠ACB.从而可以通过中间量∠ABC ,∠ACB 或∠IBC ,∠ICB ,找到∠BIC 与∠A 之间的关系.证明:∵在ΔABC 中,∠A +∠ABC +∠ACB =180°(三角形内角和定理),∴∠ABC +∠ACB =180°-∠A (等式性质).∵BE ,CF 分别平分∠ABC 和∠ACB (),∴∠EBC =12∠ABC ,∠FCB =12∠ACB (角平分线的定义).在ΔBIC 中,∠BIC +∠EBC +∠FCB =180°(三角形内角和定理),∴∠BIC =180°-(∠EBC +∠FCB )(等式的性质),∴∠BIC =180°-12(180°-∠A )=90°+12∠A.7.解:在ΔABC 中,∠A =60°,∴∠ABC +∠ACB =120°,∴∠ABC +∠ACB 的一半等于60°.∴在ΔBOC 中,∠BOC =120°.。

北师大版八年级数学上册7.5三角形内角和定理1教案

7．5 三角形内角和定理第1课时三角形内角和定理1．理解并掌握三角形内角和定理及其证明过程；(重点)2．能利用三角形内角和定理进行简单的计算和证明．(难点)一、情境导入星期天，小明和几位同学一起做作业时，其中一位同学不小心把三角板的两个角给压断了．小明将两个角和剩余的一个角放在一起，发现这三个角之和是一个平角．我们知道一个平角是180°，即这个三角形的三个内角之和为180°，那其他的三角形也是这样吗？如何证明呢？下面让我们一起进入本节的学习，一起探究如何证明三角形的内角和等于180°.二、合作探究探究点一：三角形内角和定理在△ABC 中，如果∠A＝12∠B ＝12∠C ，求∠A、∠B、∠C 分别等于多少度？解析：这是一道利用三角形内角和求各角度的计算题，由已知得∠B ＝∠C ＝2∠A.因此可以先求∠A ，再求∠B 、∠C.解：∵∠A＝12∠B ＝12∠C(已知)，∴∠B＝∠C＝2∠A(等式的性质)．∵∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形的内角和等于180°)，∴∠A ＋2∠A ＋2∠A ＝180°(等量代换)．∴∠A＝36°，∠B ＝72°，∠C ＝72°.方法总结：求三角形内角度数时，要充分利用各角之间的关系，用其中一个角表示另外两个角，再借助三角形的内角和定理构建方程．探究点二：三角形内角和定理的证明已知：如图，在△ABC 中．求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°. 解析：要证明三角形的内角和是180°，需要从涉及180°角的知识去考虑，涉及180°角的知识有：①平角；②邻补角；③两直线平行下的同旁内角．可从这三个方面分别考虑，添加辅助线．证明：证法1：(如图①)过点A 作PQ∥BC，则∠1＝∠B，∠2＝∠C(两直线平行，内错角相等)．∵∠1＋∠BAC＋∠2＝180°(平角的定义)，∴∠B ＋∠BAC＋∠C＝180°(等量代换)．证法2：(如图②)过点C 作CE∥AB，则∠1＝∠A(两直线平行，内错角相等)，∠B ＋∠BCE＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∵∠BCE＝∠BCA＋∠1，∴∠B ＋∠BCA ＋∠1＝180°(等量代换)，∴∠B ＋∠BAC＋∠A＝180°(等量代换)．证法3：(如图③)过BC 边上的一点P 作QP∥AC，RP ∥AB ，交AB 于Q ，交AC 于R ，则∠1＝∠B，∠2＝∠C(两直线平行，同位角相等)．∠A＝∠BQP＝∠QPR(两直线平行，同位角相等，内错角相等)．∵∠1＋∠2＋∠QPR＝180°(平角的定义)，∴∠A ＋∠B＋∠C＝180°(等量代换)．方法总结：三角形内角和定理的证明方法很多，但指导思想都是通过添加辅助线，利用平行线的性质，把三角形三个内角集中起来．探究点三：三角形内角和定理的应用如图，已知五边形ABCDE.你知道五边形的内角和等于多少度吗？你能运用三角形的内角和定理证明吗？解析：我们可以通过先添加辅助线将五边形分割成几个三角形，再利用三角形的内角和定理进行证明．解：五边形的内角和等于540°.证明如下：如图，连接AC，AD.由三角形内角和定理可知∠1＋∠2＋∠B＝180°，∠3＋∠4＋∠5＝180°，∠6＋∠7＋∠E＝180°，∴∠1＋∠2＋∠B＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＋∠E＝540°.又∵∠1＋∠5＋∠7＝∠BAE，∠2＋∠3＝∠BCD，∠4＋∠6＝∠CDE，∴∠BAE＋∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E ＝540°.∴五边形的内角和等于540°.方法总结：求多边形的内角和时，通常利用一个顶角与其他顶角的连线将其分割成几个三角形，转化为三角形的内角和来解决．三、板书设计三角形内,角和定理)⎩⎪⎨⎪⎧定理：三角形的内角和等于180°定理的证明：作平行线，将三个内角拼成一个平角定理的应用通过自主探究与合作交流的学习方式，使学生形成一定的逻辑思维能力和推理能力；用多种方法证明三角形内角和定理，培养学生一题多解的能力；对比过去撕纸等探索过程，体会几何证明的严密性和数学的严谨性，培养学生的逻辑推理能力．。

新北师大版数学八上教案75三角形内角和定理