时间序列分析方法 第3章 kalman滤波
系统辨识 第三章 状态估计—Kalman滤波方法
定理 若 z 的协方差阵 Rzz 有逆 则 z 对 x 的线性无偏最小方差估计唯一地表示为 −1 ˆ = E ( x | z ) = m x + Rxz Rzz ( z − mz ) x (3.1.16) 且误差协方差阵为 −1 ~~ T ˆ ˆ T R~ x = cov{x x } = cov{( x − x )( x − x ) } = R xx − R xz R zz R zx (3.1.17)E[T * (Y ) − x] ≤ E[T (Y ) − x] 2 则称 T (Y ) 为最小方差估计 定理 设 x 和 Y 是两个联合分布的随机向量 期望值 ˆ = E[ x | y ] = ∫ x p( x | y )dx x
−∞ ∞
ˆ 就是 x 的条件 则 x 的最小方差估计 x (3.1.8)
估计值能够落在真值的任一
定义 如果对于任意实数 ε > 0 式 3.1.1 ˆ (N ) − x > ε} = 0 lim P{ x
N →∞
得到的估计量依概率收敛于真值
即 (3.1.4)
则称该估计为一致估计 充分估计 ˆ 包含了样本 { y (1), y (2),L , y ( N )} 关于 x 的全部信息 则称 x ˆ (N ) 为 x 的 如果 x 充分估计
−1
−1
−1
结合式
(3.1.18)
定理得证
5 定理 如果 z = { y (1),L , y ( N )} 是 Y 的一组子样 且 y (i ), i = 1, L , N 对 x 的线性无偏最小方差估计为 ˆ = E{x | z} = ∑ E ( x | y (i )) − ( N − 1)m x x
证明 假定 f ( y ) 为 x 的一个估计 其中 y 为随机向量 Y 的某一实现 则估计误差为 ~ x = x − f ( y) 且 E[ ~ x~ x T ] = E{[ x − f ( y )][ x − f ( y )]T = E{[ x − E ( x | y ) + E ( x | y ) − f ( y )] • [ x − E ( x | y ) + E ( x | y ) − f ( y )]T } = E{[ x − E ( x | y )][ x − [ x − E ( x | y )]T } + E{[ E ( x | y ) − f ( y )][ E ( x | y ) − f ( y )]T } + E{[ x − E ( x | y )][ E ( x | y ) − f ( y )]T } + E{[ E ( x | y ) − f ( y )][ x − E ( x | y )]T } 下面说明上式的最后两项为零 E{[ x − E ( x | y )][ E ( x | y ) − f ( y )]T }
第三章卡尔曼(Kalman)滤波
引入
在讨论维纳滤波时，提出一个基本概念： 任何具有有理功率谱密度的随机信号都可看作 是白色噪声通过一个线性网络所形成。 由此得到维纳滤波器的信号模型
w(n)
s(n)
A(z)
v(n)
w(n)
s(n)
x(n)
A(z)
w(n)
B(z)
x(n)
为了得到卡尔曼过滤的信号模型，必须 首先讨论状态方程和量测方程。
当已知初始状态x(0)、激励e j以及A与B矩阵，
即可求得x(k )。。
如果用k0表示起始点的k值从x(k )开始递推，从而有
k 1
x(k) k,k0x(k0 ) k, j1Be( j) j k0
k0 0：表示从初始状态x(0)开始递推。
k ,k 0：代表从k0状态到k 状态的转移矩阵。
在卡尔曼滤波中： 希望得到xk的估计值xˆk与xk间 最小均方误差。有了xˆk也就得到了sˆk。
提问：sk 和xk的关系？
来估计信号的当前值 以均方误差最小条件下求解 系统的传递函数H(z)或单位冲激响应h(
只根据前一个估计值 xˆk -1 和最近一个观察数据 yk 来估计信号的当前值 它是用状态空间法描述系统， 即由状态方程和量测方程组成。
解是以估计值(是状态变量的估计值)的形式给出的
第三章 卡尔曼(Kalman)滤波
第一节 引言
卡尔曼生平
卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈 牙利数学家，1930年出生于匈牙利 首都布达佩斯。1953，1954年于麻 省理工学院分别获得电机工程学士 及硕士学位。1957年于哥伦比亚大 学获得博士学位。我们在现代控制 理论中要学习的卡尔曼滤波器，正 是源于他的博士论文和1960年发表 的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》 （线性滤波与预测问题的新方法）。
卡尔曼滤波 金融时间序列-概述说明以及解释
卡尔曼滤波金融时间序列-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述在金融领域，时间序列分析是一种重要的方法，用于预测未来的价格走势、分析市场趋势以及评估风险。
然而，由于金融时间序列数据的特点，如噪声、非线性、非正态性等，传统的时间序列分析方法在处理金融数据时存在一定的局限性。
为了克服这些问题，卡尔曼滤波成为了一种常用的金融时间序列分析方法。
卡尔曼滤波是一种基于概率推断的方法，能够通过对先验知识和观测数据的不断更新，实现对金融时间序列进行准确估计和预测。
本文将介绍卡尔曼滤波的原理及其在金融时间序列中的应用。
首先，我们将讨论金融时间序列的特点，包括随机性、非线性和异方差性等。
接下来，我们将详细介绍卡尔曼滤波的原理，包括状态空间模型和观测方程。
然后，我们将探讨卡尔曼滤波在金融时间序列中的应用，包括金融市场的预测和风险评估。
最后，我们将总结卡尔曼滤波的优势和局限性，并提出未来研究的方向。
通过本文的阅读，读者将能够了解卡尔曼滤波在金融时间序列分析中的重要性和应用价值，以及如何利用卡尔曼滤波来提高金融预测的准确性和风险评估的可靠性。
同时，读者也将对卡尔曼滤波的优势和局限性有一个清晰的认识，为进一步研究和应用提供指导。
1.2 文章结构文章结构部分是对整篇文章的基本框架进行介绍，以帮助读者了解文章的主要内容和组织结构。
在本文中，文章结构主要分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分是对文章的背景和目的进行概述，旨在引起读者的兴趣并明确文章的研究方向。
本文的引言部分将通过介绍金融时间序列的重要性和复杂性，引出使用卡尔曼滤波进行金融时间序列分析的需求，并说明本文将重点探讨卡尔曼滤波在金融时间序列中的应用。
正文部分将详细介绍金融时间序列的特点以及卡尔曼滤波的原理。
首先，我们将分析金融时间序列的特点，包括非线性、非平稳、噪声干扰等，说明这些特点对金融数据分析和预测的挑战。
然后，我们将详细介绍卡尔曼滤波的原理，包括状态空间模型、观测方程和滤波算法等，以及卡尔曼滤波如何通过递推更新和利用观测数据对系统状态进行估计和预测。
卡尔曼滤波方法资料课件
线性最小方差估计方法的优 点
适用于线性系统状态估计，计算量较小，易于实现。
线性最小方差估计方法的 缺点
对非线性系统效果不佳，需要先验知识或模 型参数。
04
卡尔曼滤波方法的实现 和应用案例
卡尔曼滤波方法的软件实现
软件平台
可以使用Python、C、Matlab等编程语言实现卡尔曼滤波算法。
卡尔曼滤波方法在控制系统中的应用案例
应用场景
卡尔曼滤波方法在控制系统中主要用于估计系统的状态变量。
案例分析
通过实际控制系统的数据和实验，验证卡尔曼滤波方法在控制系统中的可行性和稳定性。
卡尔曼滤波方法在雷达系统中的应用案例
应用场景
卡尔曼滤波方法在雷达系统中主要用于 目标跟踪和运动参数估计。
VS
案例分析
卡尔曼滤波方法的基本概念和原理
基本概念
卡尔曼滤波方法是一种递归估计方法，通过建立状态方程和观测方程，对系统状态进行最优估计。
原理
卡尔曼滤波方法基于最小均方误差准则，通过不断更新估计值来逼近真实值，具有计算量小、实时性 强的优点。
卡尔曼滤波方法的应用领域
机器人
用于机器人的定位、路径规划、 避障等。
描述系统状态和观测之间的关系。
定义初始状态和误差协方差
02
确定系统初始状态和误差协方差的估计值，为后续的滤波过程
提供初始条件。
选择合适的模型参数
03
根据实际情况选择合适的模型参数，如系统动态参数、观测参
数等，以更好地描述系统特性。
预测步骤
01
根据上一时刻的状态和误差协方 差，预测当前时刻的系统状态和 误差协方差。
第三章卡尔曼(Kalman)滤波
(2)设它们之间的差yk 称为新息（innovation):
yk =yk -yˆk'
显然：新息的产生中包含了:动态噪声wk-1
和量测噪声k的信息成分。
因此，可用新息yk
乘以一个修正矩阵H
k
,来代替wk
。
-1
对xk 进行估计：
xˆk Ak xˆk 1 wk -1
yk为新息， yk 为新息过程。再此先介绍新息过程的重要性质。
新息过程的性质
性质1：n时刻的新息 yn 与所有过去的
观测数据y1, y2 , y3, , yn-1正交，即
Eyn yk 0, 1 k n -1
表明：新过程 yk 与原观测过程 yk
的线性空间正交。
性质2 新息过程由彼此正交的随机序列 yn 组成，
m为yk的维数，
n为k的维数，
ck xk是信号真值， 它是状态变量xk 各分量的线性组合。
即： sk ck xk
将式子代入 ： yk＝ck xk＋k＝sk＋k
含义：观察或量测到的信号yk包括信号的真值与噪声。
信号的真值是一个多维矢量， 它是状态变量xk 各分量的线性组合。
在维纳滤波中： 希望得到s(n)的估计值sˆ(n) 与真值s(n)间的均方误差最小。
来估计信号的当前值 以均方误差最小条件下求解 系统的传递函数H(z)或单位冲激响应h(n)
卡尔曼滤波
不需要全部过去的观察数据
只根据前一个估计值 xˆk -1 和最近一个观察数据 yk 来估计信号的当前值 它是用状态空间法描述系统， 即由状态方程和量测方程组成。
解是以估计值(是状态变量的估计值)的形式给出的
x(1) Ax(0) Be(0) x(2) Ax(1) Be(1) A2x(0) ABe(0) Be(1)
时序预测中的卡尔曼滤波技巧
时序预测中的卡尔曼滤波技巧在时序预测中，卡尔曼滤波是一种常用的技巧，它能够利用历史数据和观测值来进行预测，尤其在金融、天气预测、机器人导航等领域有着广泛的应用。
本文将介绍卡尔曼滤波的基本原理以及如何在时序预测中应用这一技巧。
卡尔曼滤波的基本原理卡尔曼滤波是由Rudolf Kalman在1960年提出的一种用于状态估计的算法。
它的基本原理是结合系统动力学方程和观测方程，通过递归地更新估计值来实现对系统状态的预测和校正。
具体来说，卡尔曼滤波有两个主要步骤：预测和校正。
在预测步骤中，利用系统动力学方程对当前状态进行预测，得到预测状态和预测误差协方差矩阵。
在校正步骤中，利用观测值对预测状态进行校正，得到估计状态和估计误差协方差矩阵。
通过不断地预测和校正，卡尔曼滤波能够逐步提高对系统状态的估计精度。
在时序预测中应用卡尔曼滤波在时序预测中，我们通常会有一系列历史观测值，希望利用这些观测值来预测未来的状态或观测值。
卡尔曼滤波可以很好地适用于这种情况，因为它能够利用历史观测值和系统动力学方程来动态地更新状态估计值。
首先，我们需要建立系统动力学方程和观测方程。
系统动力学方程描述了系统状态之间的演化规律，可以是线性或非线性的。
观测方程描述了观测值与系统状态之间的关系，通常是线性的。
然后，我们利用卡尔曼滤波算法对系统状态进行预测和校正。
值得注意的是，卡尔曼滤波对系统动力学方程和观测方程有一定的要求，例如线性系统和高斯噪声假设。
如果系统动力学方程和观测方程不满足这些要求，可能需要对卡尔曼滤波进行适当的修改或选择其他滤波算法。
在实际应用中，我们还需要考虑一些问题，例如观测值的采样频率、观测误差的大小、系统动力学方程和观测方程的精度等。
这些因素都会影响卡尔曼滤波的性能，需要根据具体情况进行合理的选择和调整。
结语卡尔曼滤波是一种强大的时序预测技巧，它能够利用历史观测值和系统动力学方程来动态地更新状态估计值，适用于许多领域的时序预测问题。
kalman滤波 原理
kalman滤波原理Kalman滤波是一种用于估计系统状态的算法，广泛应用于信号处理、导航和控制领域。
它的原理基于贝叶斯定理和线性系统的动态模型。
本文将为您详细介绍Kalman滤波的原理和它的应用。
一、贝叶斯定理贝叶斯定理是一种基于先验概率和观测数据来更新我们对事件发生概率的方法。
在Kalman滤波中，我们使用贝叶斯定理来更新对系统状态的估计。
贝叶斯定理公式如下：P(A B) = (P(B A) * P(A)) / P(B)其中，P(A B)表示已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B A)表示已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。
二、线性系统模型Kalman滤波的原理基于线性系统模型，即系统的状态转移和观测模型都是线性的。
线性系统模型可以用下面的方程表示：状态转移模型：x(k) = F(k-1) * x(k-1) + B(k-1) * u(k-1) + w(k-1)观测模型：z(k) = H(k) * x(k) + v(k)其中，x(k)表示系统在时刻k的状态向量，u(k)表示控制输入向量，z(k)表示时刻k的观测向量，F(k-1)和H(k)分别表示状态转移矩阵和观测矩阵，B(k-1)表示控制输入矩阵，w(k-1)和v(k)分别表示状态转移和观测噪声。
三、Kalman滤波的步骤Kalman滤波的基本步骤包括两个阶段：预测和更新。
在预测阶段，根据系统的状态转移模型和控制输入，我们通过预测当前状态的概率分布。
在更新阶段，我们根据观测数据对状态进行修正。
1. 初始化阶段：首先，我们对系统的状态变量进行初始化，即设置初始状态向量x(0)和初始状态协方差矩阵P(0)。
2. 预测阶段：a. 状态预测：根据状态转移模型，我们通过计算状态的预测值x'(k) = F(k-1) * x(k-1) + B(k-1) * u(k-1)来估计状态。
b. 协方差预测：根据状态转移模型和状态协方差矩阵，我们计算协方差矩阵的预测值P'(k) = F(k-1) * P(k-1) * F(k-1)^T + Q(k-1)。
卡尔曼(kalman)滤波算法特点及其应用
Kalman滤波算法的特点：（1）由于Kalman滤波算法将被估计的信号看作在白噪声作用下一个随机线性系统的输出，并且其输入/输出关系是由状态方程和输出方程在时间域内给出的，因此这种滤波方法不仅适用于平稳随机过程的滤波，而且特别适用于非平稳或平稳马尔可夫序列或高斯-马尔可夫序列的滤波，所以其应用范围是十分广泛的。
（2）Kalman滤波算法是一种时间域滤波方法，采用状态空间描述系统。
系统的过程噪声和量测噪声并不是需要滤除的对象，它们的统计特征正是估计过程中需要利用的信息，而被估计量和观测量在不同时刻的一、二阶矩却是不必要知道的。
（3）由于Kalman滤波的基本方程是时间域内的递推形式，其计算过程是一个不断地“预测-修正”的过程，在求解时不要求存储大量数据，并且一旦观测到了新的数据，随即可以算的新的滤波值，因此这种滤波方法非常适合于实时处理、计算机实现。
（4）由于滤波器的增益矩阵与观测无关，因此它可预先离线算出，从而可以减少实时在线计算量。
在求滤波器增益矩阵时，要求一个矩阵的逆，它的阶数只取决于观测方程的维数，而该维数通常很小，这样，求逆运算是比较方便的。
另外，在求解滤波器增益的过程中，随时可以算出滤波器的精度指标P，其对角线上的元素就是滤波误差向量各分量的方差。
Kalman滤波的应用领域一般地，只要跟时间序列和高斯白噪声有关或者能建立类似的模型的系统，都可以利用Kalman滤波来处理噪声问题，都可以用其来预测、滤波。
Kalman滤波主要应用领域有以下几个方面。
（1）导航制导、目标定位和跟踪领域。
（2）通信与信号处理、数字图像处理、语音信号处理。
（3）天气预报、地震预报。
（4）地质勘探、矿物开采。
（5）故障诊断、检测。
（6）证券股票市场预测。
具体事例：（1）Kalman滤波在温度测量中的应用；（2）Kalman滤波在自由落体运动目标跟踪中的应用；（3）Kalman滤波在船舶GPS导航定位系统中的应用；（4）Kalman滤波在石油地震勘探中的应用；（5）Kalman滤波在视频图像目标跟踪中的应用；。
卡尔曼滤波平滑时间序列-概述说明以及解释
卡尔曼滤波平滑时间序列-概述说明以及解释1.引言1.1 概述卡尔曼滤波是一种用于估计系统状态的最优滤波器，它基于对过去和当前观测数据的加权处理，能够有效地估计出系统的未知状态。
在时间序列分析中，卡尔曼滤波也被广泛应用于平滑时间序列数据。
本文将探讨卡尔曼滤波在平滑时间序列中的应用。
首先，我们将介绍卡尔曼滤波的基本原理，包括状态预测和更新步骤，并解释其在时间序列平滑中的作用。
随后，我们将详细探讨卡尔曼滤波在时间序列平滑中的应用。
通过对观测数据和系统模型的建立，卡尔曼滤波可以根据过去观测值和当前观测值，通过加权计算得出对未来状态的最优估计。
这种基于历史数据和当前数据的综合分析，使得卡尔曼滤波能够准确地平滑时间序列数据。
最后，我们将讨论卡尔曼滤波平滑时间序列的优势。
相比其他平滑方法，卡尔曼滤波具有许多优点，例如能够处理非线性和非高斯系统、能够自适应地更新参数以适应不同的观测环境等。
这些特点使得卡尔曼滤波成为平滑时间序列的一种重要工具。
综上所述，本文将详细介绍卡尔曼滤波在时间序列平滑中的应用，并探讨其优势。
通过对卡尔曼滤波原理和应用的深入了解，我们可以更好地利用卡尔曼滤波技术来处理平滑时间序列数据，提高数据分析的准确性和效率。
1.2文章结构文章结构的内容应该包括以下几个方面：1. 引言：介绍卡尔曼滤波在时间序列平滑中的应用，并解释为什么选择这个主题进行研究。
同时简述该篇文章的结构和内容。
2. 卡尔曼滤波的基本原理：对卡尔曼滤波算法的原理进行详细介绍，包括状态估计、观测模型、系统动力学方程等基本概念。
3. 卡尔曼滤波在时间序列平滑中的应用：具体说明卡尔曼滤波在时间序列平滑中的应用场景，例如股票市场、气象预测等，以及其在这些领域中的具体方法和实现。
4. 卡尔曼滤波平滑时间序列的优势：对比卡尔曼滤波与其他平滑方法，分析和阐述其优势所在，包括精度、计算效率等方面，同时讨论可能的改进空间。
5. 总结卡尔曼滤波在时间序列平滑中的应用：总结卡尔曼滤波在时间序列平滑中的应用情况，对其优缺点进行分析，以便读者能够更好地理解该方法的适用范围和局限性。
卡尔曼滤波 金融时间序列
卡尔曼滤波金融时间序列全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：随着金融市场的高度复杂性和波动性，金融时间序列的预测变得尤为重要。
在金融领域，时间序列数据通常涉及多个变量之间的相互关系和随时间变化的趋势。
传统的统计方法在处理这种复杂的数据时往往存在一些局限性，金融领域也开始应用更加先进的技术来处理时间序列数据。
卡尔曼滤波是一种用于动态系统状态估计的统计方法，最初是由例程·卡尔曼于1960年提出的。
卡尔曼滤波通过将系统的状态表示为一个高斯分布，利用观测数据不断更新系统状态的估计值，从而实现对系统状态的预测和估计。
在金融领域，卡尔曼滤波已经被广泛应用于时间序列数据的预测和分析中。
卡尔曼滤波在金融领域的应用主要包括以下几个方面：1. 股价预测：股市是一个高度不确定的领域，价格波动十分频繁。
卡尔曼滤波可以通过对历史股价数据进行分析，从中提取出隐藏的趋势和规律，从而实现对未来股价的预测。
通过将卡尔曼滤波与技术分析和基本面分析相结合，投资者可以更准确地预测股价的走势，从而做出更为明智的投资决策。
2. 高频交易：高频交易是金融市场中一种快速交易策略，通过对市场价格和交易量进行实时监测和分析，以获取利润。
卡尔曼滤波在高频交易中具有重要作用，它可以帮助交易者快速准确地捕捉市场走势的变化，及时调整交易策略，从而获得更大的交易机会。
3. 风险管理：金融市场存在着多种风险，包括市场风险、信用风险和操作风险等。
卡尔曼滤波可以通过对金融市场数据的实时监测和分析，识别潜在的风险，并及时采取措施进行风险控制。
通过将卡尔曼滤波与风险模型相结合，金融机构可以更有效地管理风险，保护资产安全。
卡尔曼滤波在金融领域的应用具有广泛的前景和重要性。
通过运用卡尔曼滤波这一先进技术，金融机构和投资者可以更准确地预测市场走势，更有效地管理风险，从而获得更高的收益和更稳定的投资回报。
在未来的金融发展中，卡尔曼滤波无疑将继续发挥着重要的作用，为金融市场的稳定和发展提供有力支持。
卡尔曼滤波在时间序列分析中的应用
论文摘要卡尔曼滤波理论是经典的最优滤波理论之一，在工程控制、信号分析等方面有着广泛的应用。
近些年来，把卡尔曼滤波的方法应用到经济金融模型中进行分析也有了极大的发展。
本文系统的讨论了卡尔曼滤波的方法及其在时间序列状态空间模型中的应用。
首先对卡尔曼滤波、卡尔曼平滑、参数估计的EM方法及其拓展进行了系统的分析与概括。
接着，对卡尔曼滤波的进一步发展，如扩展卡尔曼滤波、无迹卡尔曼滤波和粒子滤波做了讨论，对扩展卡尔曼滤波给出了噪声统计自适应的改进方法；通过详细的理论阐述，对卡尔曼滤波的各项技术做了比较全面的归纳。
其次，对时间序列的状态空间表达式做了介绍，对结构时间序列的趋势、季节、循环分量的建模、判别和分离方法作了详细的剖析；对ARMA、ARIMA和SARIMA 给出直接的状态空间表达式；并对非高斯非线性时间序列模型做了简要的分析。
在此基础之上，把卡尔曼滤波和平滑的方法用于实证分析；通过对GDP数据的预测，表明状态空间模型合并卡尔曼滤波算法更加准确；接着适当选取各成分模型建立结构时间序列的状态空间模型，通过EM算法和卡尔曼平滑迭代方程用极大似然法估计参数，并把分离出的成分和传统的季节调整和滤波方法进行了比较，总结了各自的优缺点。
用卡尔曼滤波对GARCH的状态空间形式进行迭代，检验了结果。
关键词：卡尔曼滤波；状态空间；ARIMA；结构时间序列；实证分析AbstractKalman Filtering theory is a classical optimal filtering theory which is widely used in engineering control, signal analysis and many other areas. In recent years, the analysis of economics and finance models with Kalman Filtering theory has become popular. This paper gives some analysis and discuss the fundamental theory of the Kalman filtering and its applications in time series analysis area.First, the fundamental theory of Kalman filter and its extension, EKF, UKF，Particle filtering and modified EKF method has been shown. And also the parameter estimation method of a state space has been discussed.Second, for applying filtering technique in time series analysis, this paper has introduced the state space expressions of the ARMA type models and the structural time series models. And we summarize the trend, seasonal and cycle component modeling expression, give two examples of non-Gaussian non-linear models.At last, this paper applies the state space model and Kalman filtering in the model of GDP data, and we verify that the Kalman filtering method is exacter in forecasting, and uses the Kalman Smoothing method to estimate the trend, cycle and seasonal components in the structural time model, and contrasts them with the traditional method. The result has shown that the advantage of Kalman Filteing. And apply the kalman filtering method to estimate volatility of a GARCH model by its state space expression.Keywords: Kalman Filtering, Structural time series, ARIMA, State space.卡尔曼滤波在时间序列分析中的应用目录第1章 绪论 (1)1.1 论文研究的背景 (1)1.2 文献综述 (2)1.3 本文的主要内容 (3)第2章 卡尔曼滤波的理论和方法 (5)2.1 滤波问题 (5)2.2 稳态卡尔曼滤波 (7)2.3 平滑问题 (8)2.4 缺失值问题 (9)2.5 预报 (10)2.6 参数估计 (10)2.6.1 似然函数 (10)2.6.2 参数估计 (11)2.6.3 EM方法 (11)2.6.4 EM方法的改进 (13)2.7 卡尔曼滤波理论的扩充 (14)2.7.1 扩展卡尔曼滤波(Extended Kalman Filter) (14)2.7.2 无迹卡尔曼滤波(Unscented Kalman Filter) (16)2.7.3 粒子滤波(Particle Filtering) (19)第3章 时间序列的状态空间表达形式 (21)3.1 结构时间序列模型 (21)3.2 ARMA模型的状态空间表示 (27)3.2.1 平稳时间序列模型 (27)卡尔曼滤波在时间序列分析中的应用3.2.2 ARIMA模型 (28)3.2.3 SARIMA模型， (29)3.3 非高斯非线性时间序列 (31)3.3.1 随机波动模型(Stochastic Variable) (32)3.3.2 广义自回归条件异方差模型(Generalized AutoregressiveConditional Heteroscedasticity) (32)第4章 卡尔曼滤波在时间序列中的实证研究 (35)4.1 GDP数据的模型分析 (35)4.1.1 SARIMA模型 (37)4.1.2 状态空间模型 (39)4.1.3 结构时间序列模型 (41)4.2 股指数据的模型分析 (47)第5章 总结与展望 (50)参考文献 (52)致谢 (56)卡尔曼滤波在时间序列分析中的应用第1章绪论1.1论文研究的背景卡尔曼于1960年提出的卡尔曼滤波理论，标志着现代滤波理论的建立。
《卡尔曼滤波方法》课件
优缺点
优点
缺点
• 适用于线性和非线性系统 • 高效且准确的状态估计 • 鲁棒性强，对观测数据的噪声具有较高的容忍度
• 对系统模型和噪声模型的要求较为严格 • 对于非高斯特性的数据，估计结果可能失真
结论
1 总结
卡尔曼滤波方法是一种重要的估计和预测算 法，广泛应用于各个领域。
2 展望
随着人工智能的发展，卡尔曼滤波方法有望 在更多应用场景中发挥重要作用。
《卡尔曼滤波方法》PPT 课件
本课件介绍卡尔曼滤波方法，包括其历史背景、模型、算法以及在人工智能 中的应用。通过本课件，您将了解卡尔曼滤波的优缺点，并展望其未来发展。
什么是卡尔曼滤波方法
卡尔曼滤波方法是一种用于估计和预测系统状态的数学算法。它结合了系统 模型和实时观测数据，通过动态调整权重来获取最优的估计结果。
3
应用场景
卡尔曼滤波算法可以应用于各种场景， 如目标跟踪、导航系统和信号处理。
卡尔曼滤波在人工智能中的应用
机器人定位与导航
卡尔曼滤波可用于准确估计机器人的位置和姿态，实现精确的定位和导航。
航迹预测
通过卡尔曼滤波，可以对目标的运动轨迹进行预测，用于交通流量管理和行车安全。
语音识别
卡尔曼滤波可以应用于语音信号处理，提高语音识别的准确性和鲁棒性。
参考文献
张三, 李四. 卡尔曼滤波理论与应用. 北京：电子工业出版社, 2018.
卡尔曼滤波模型
状态方程
描述系统状态的动态变化，通常使用线性模型。
观测方程
将真实状态映射到观测空间，可以是线性Байду номын сангаас非线性模型。
噪声模型
描述系统和观测中的噪声特性，通常假设为高斯分布。
卡尔曼滤波原理 时间序列
卡尔曼滤波原理与时间序列一、卡尔曼滤波原理概述卡尔曼滤波是一种数学优化算法，主要用于最优估计问题。
它采用递归的方式，通过迭代计算出系统的最优估计值。
卡尔曼滤波在许多领域都有广泛的应用，如航空航天、无人驾驶、机器人等。
该算法基于状态空间模型，通过建立系统的动态模型来描述系统的状态变化。
在卡尔曼滤波中，系统的状态转移和观测模型是已知的，而系统噪声和观测噪声是未知的。
卡尔曼滤波的目标是通过系统的观测数据，估计出系统的状态变量。
二、时间序列数据的处理时间序列数据是一组按照时间顺序排列的数据点。
时间序列数据可以是离散的或连续的，可以包含各种类型的数据，如金融市场数据、气象数据、销售数据等。
时间序列数据分析的目标是通过分析数据的趋势、周期性和相关性等特征，来预测未来的数据点。
在处理时间序列数据时，通常需要对其进行预处理，如缺失值填充、异常值处理等。
此外，还需要对数据进行平稳性检验，以确定是否需要采用差分等方法消除非平稳因素的影响。
三、卡尔曼滤波在时间序列分析中的应用卡尔曼滤波可以应用于时间序列数据的分析和预测。
在金融领域，卡尔曼滤波可以用于股票价格、汇率等金融数据的分析和预测。
在气象领域，卡尔曼滤波可以用于气温、降水等气象数据的分析和预测。
在销售领域，卡尔曼滤波可以用于销售额、客户数量等销售数据的分析和预测。
通过建立时间序列数据的动态模型，卡尔曼滤波可以估计出未来的数据点，并为决策提供支持。
四、卡尔曼滤波的优点和局限性卡尔曼滤波具有许多优点。
首先，它是一种最优估计方法，能够在不完全或带有噪声的观测数据下，估计出系统的状态变量。
其次，它采用递归算法，计算效率高，适合于实时处理和在线估计。
此外，卡尔曼滤波还可以处理多维和多变量的问题，适用于复杂系统的分析和预测。
然而，卡尔曼滤波也存在一些局限性。
首先，它需要建立系统的状态空间模型，这可能需要大量的数据和专业知识。
其次，卡尔曼滤波对系统噪声和观测噪声的假设敏感，如果假设不准确，可能会导致估计结果的不准确。
时间序列分析方法之卡尔曼滤波
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载时间序列分析方法之卡尔曼滤波地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容第十三章卡尔曼滤波在本章中，我们介绍一种被称为卡尔曼滤波的十分有用的工具。
卡尔曼滤波的基本思想是将动态系统表示成为一种称为状态空间表示的特殊情形。
卡尔曼滤波是对系统线性投影进行序列更新的算法。
除了一般的优点以外，这种算法对计算确切的有限样本预测、计算Gauss ARMA模型的确切似然函数、估计具有时变参数的自回归模型等，都提供了重要方法。
§13.1 动态系统的状态空间表示我们已经介绍过一些随机过程的动态表示方法，下面我们在以前的假设基础上，继续分析动态系统的表示方法。
13.1.1 继续使用的假设假设表示时刻观测到的n维随机向量，一类非常丰富的描述动态性的模型可以利用一些可能无法观测的被称为状态向量(state vector)的r维向量表示，因此表示动态性的状态空间表示(state-space representation)由下列方程系统给出：状态方程(state model) (13.1)量测方程(observation model) (13.2)这里，和分别是阶数为，和的参数矩阵，是的外生或者前定变量。
方程(13.1)被称为状态方程(state model)，方程(13.2)被称为量测方程(observation model)，维向量和维向量都是向量白噪声，满足：(13.3)(13.4)这里和是和阶矩阵。
假设扰动项和对于所有阶滞后都是不相关的，即对所有和，有：(13.5)是外生或者前定变量的假定意味着，在除了包含在内的信息以外，没有为和()提供任何新的信息。
例如，可以包括的滞后值，也可以包括与和(任意)不相关的变量。
Kalman滤波
Kalman滤波kalmanmatlab%Kalman滤波clc;clear all;%赋初值N=128;a=1.74;b=-0.81;v1=0.2*randn(1,N);v2=3*randn(1,N);xn=zeros(1,N);yn=zeros(1,N);xn(1)=0;xn(2)=0;%构造过程方程和预测方程for i=3:Nxn(i)=a*xn(i-1)+b*xn(i-2)+v1(i);%过程方程yn(i)=xn(i)+v2(i);%预测方程end%Kalman滤波算法部分,给出F、C、Q1、Q2、K等矩阵F=[0 1;b a];C=[0 1];Q1=[0 0;0 0.04];Q2=[9];K=Q1;xx(:,1)=[0;0];for j=1:NG(:,j)=F*K*C'*inv(C*K*C'+Q2);a(j)=yn(j)-C*xx(:,j);xx(:,j+1)=F*xx(:,j)+G(:,j)*a(j);P=K-inv(F)*G(:,j)*C*K;K=F*P*F'+Q1;end%图示对比figure(1)plot(xn,'r');hold onplot(xx(2,:),'b');legend('输入','滤波输出');title('Kalman滤波预测')grid onfigure(2)plot(G(1,:),'r');title('Kalman增益');grid on运行结果如下：8QAM调制本人专业水平有限，但是也深知交流的重要性。
现在添加些基本的共享（有些地方不见得是自己所做，仅供参考）。
不足之处还请提议。
正交振幅调制是振幅和相位联合调制方式，也即载波的振幅和相位都随两个独立的基带信号而变。
以下是8QAM调制仿真：%8QAM调制clc;clear;fc=0.3; %载波频率fcwc=2*pi*fc;fs=50;ts=1/fs;t=0.1:0.1:100;r=sqrt(2/ts);a=[zeros(1,100),zeros(1,100),zeros(1,100)+2,zeros(1,100)+2,zeros(1,100),zeros(1,100)-2, zeros(1,100)-2,zeros(1,100)-2,zeros(1,100)-2,zeros(1,100)+2];b=[zeros(1,100)+2,zeros(1,100)-2,zeros(1,100),zeros(1,100)-2,zeros(1,100)-2,zeros(1,100 )-2,zeros(1,100),zeros(1,100)+2,zeros(1,100)-2,zeros(1,100)+2];x1=a.*(r*cos(wc*t));x2=b.*(r*sin(wc*t));x=x1+x2;subplot(2,1,1);plot(t,x,'r');title('信号调制图')%画出信号调制图%信号解调部分Wc1=2*wc;W11=x.*sin(wc*t);k1=W11-2*(((1/2*a).*sin(Wc1*t)-1/2*b.*cos(Wc1*t))*r); g1=k1/r;g1=b;W12=x.*cos(wc*t);k2=W11-2*(((1/2*a).*cos(Wc1*t)+1/2*b.*cos(Wc1*t))*r); g2=k2/r;g2=a; %解调时未采用低通滤波截止频率2wc subplot(2,1,2);plot(t,g1,'r');hold on;plot(t,g2,'b');title('信号解调,红色是信号a，蓝色是信号b')%信号星座图M = 8; Fd = 1;Pd = 200; % 点数msg_d = randint(Pd,1,M);msg_a = modmap(msg_d,Fd,fs,'qask',M);rcv = rcosflt(msg_a,Fd,fs);N = fs/Fd;rcv_a = rcv(3*N+1:end-4*N,:);h = scatterplot(rcv_a,N,0,'bx');%绘制信号星座图周期图法功率谱估计周期图法功率谱估计matlab程序以及仿真图如下：clearclcfs=1024; %采样频率fsm=0:(fs-1);n=0:(1/fs)*2*pi:(1-1/fs)*2*pi;nn=0:1/fs:(1-1/fs);xn0=sqrt(20)*sin(2*pi*0.2*m)+sqrt(2)*sin(2*pi*0.213*m); xn=awgn(xn0,0); %产生含有噪声的序列xn%直接法fxw=zeros(1,fs);fxww=zeros(1,fs);fxww(1)=xn(1);for i=1:fsfor k=2:fsfxww(k)=fxww(k-1)+xn(k)*exp(-j*k*n(i));end;fxw(i)=fxww(fs);end;pxw11=(abs(fxw).^2)/fs;%图一：直接法figure(1)%pxw12=10*log(10*(pxw11));plot(nn,pxw11,'r')grid ontitle('直接法功率谱估计')%间接法rxk=xcorr(xn,'unbiased');%计算序列的自相关函数pxw21=fft(rxk,fs);index=0:round(fs/2-1);pxw22=abs(pxw21);%pxw23=10*log(10*(pxw22));%图二：间接法figure(2)plot(nn,pxw22,'r');grid ontitle('间接法功率谱估计')%加窗函数法window=hamming(length(xn));%海明窗pxw31=abs(fft(xn.*window'));%pxw32=10*log(10*(pxw31));%图三：加窗函数法figure(3)plot(nn,pxw31,'r');grid ontitle('加窗函数法功率谱估计')。
卡尔曼滤波 清洗时间序列
卡尔曼滤波清洗时间序列（最新版）目录1.卡尔曼滤波的定义和原理2.卡尔曼滤波在时间序列清洗中的应用3.卡尔曼滤波在时间序列清洗的具体步骤4.卡尔曼滤波在时间序列清洗的优势和局限性正文卡尔曼滤波是一种利用线性系统模型和观测数据，对系统状态进行递归估计的算法。
它的主要原理是在观测数据的基础上，通过预测和更新两个步骤，不断逼近真实系统的状态。
卡尔曼滤波在许多领域都有应用，如导航定位、信号处理、机器人控制等。
其中，在时间序列数据清洗领域，卡尔曼滤波也有着广泛的应用。
时间序列数据是按时间顺序收集的数据，它可以反映出事物发展的规律和趋势。
然而，由于各种原因，如测量误差、数据缺失、异常值等，时间序列数据往往需要进行清洗和预处理，才能进行有效的分析和应用。
卡尔曼滤波正是一种有效的时间序列清洗方法。
卡尔曼滤波在时间序列清洗中的具体应用主要包括以下几个步骤：1.建立系统模型：根据时间序列的特性和规律，建立一个线性动态模型，描述系统的状态转移和观测过程。
2.状态初值设定：根据系统的初始状态和观测数据，设定状态的初值。
3.预测：利用系统模型和状态初值，预测当前时刻的状态值。
4.更新：根据观测数据和预测值，更新状态的估计值。
5.评价：根据预测值和实际观测值的误差，评价卡尔曼滤波的性能。
卡尔曼滤波在时间序列清洗中具有许多优势，如能够处理含有噪声和异常值的数据，能够处理缺失值和多维数据，同时还具有较好的实时性和鲁棒性。
然而，卡尔曼滤波也有其局限性，如对系统模型的准确性和稳定性要求较高，计算复杂度较高等。
总的来说，卡尔曼滤波是一种有效的时间序列清洗方法，它在许多领域都有广泛的应用。
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第十三章 卡尔曼滤波在本章中，我们介绍一种被称为卡尔曼滤波的十分有用的工具。
卡尔曼滤波的基本思想是将动态系统表示成为一种称为状态空间表示的特殊情形。
卡尔曼滤波是对系统线性投影进行序列更新的算法。
除了一般的优点以外，这种算法对计算确切的有限样本预测、计算Gauss ARMA 模型的确切似然函数、估计具有时变参数的自回归模型等，都提供了重要方法。
§13.1 动态系统的状态空间表示我们已经介绍过一些随机过程的动态表示方法，下面我们在以前的假设基础上，继续分析动态系统的表示方法。
13.1.1 继续使用的假设假设t y 表示时刻t 观测到的n 维随机向量，一类非常丰富的描述t y 动态性的模型可以利用一些可能无法观测的被称为状态向量(state vector)的r 维向量t ξ表示，因此表示t y 动态性的状态空间表示(state-space representation)由下列方程系统给出：11+++=t t t v ξF ξ 状态方程(state model) (13.1) t t t w ξH x A y t +'+'= 量测方程(observation model) (13.2) 这里F ，A '和H '分别是阶数为r r ⨯，k n ⨯和r n ⨯的参数矩阵，t x 是1⨯k 的外生或者前定变量。
方程(13.1)被称为状态方程(state model)，方程(13.2)被称为量测方程(observation model)，1⨯r 维向量t v 和1⨯n 维向量t w 都是向量白噪声，满足：⎩⎨⎧≠=='τττt t E t ,,)(0Q v v (13.3) ⎩⎨⎧≠=='τττt t E t ,,)(0R w w (13.4) 这里Q 和R 是r r ⨯和n n ⨯阶矩阵。
假设扰动项t v 和t w 对于所有阶滞后都是不相关的，即对所有t 和τ，有：0w v =')(τt E (13.5) t x 是外生或者前定变量的假定意味着，在除了包含在121,,,y y y --t t 内的信息以外，tx 没有为s t +ξ和s t +w ( ,2,1,0=s )提供任何新的信息。
例如，t x 可以包括t y 的滞后值，也可以包括与τξ和τw (任意τ)不相关的变量。
方程系统中方程(13.1)至方程(13.5)可以表示有限观测值的序列},,,{21T y y y ，这时需要状态向量初始值1ξ。
假设1ξ与t v 和t w 的任何实现都不相关：0ξv =')(1t E ，对任意T t ,,2,1 = (13.6) 0ξw =')(1t E ，对任意T t ,,2,1 = (13.7) 状态方程(13.1)表明，t ξ可以表示成为},,,,{321t v v v ξ 的线性函数：1122221ξF v F v F v F v ξ----+++++=t t t t t t ，T t ,,3,2 = (13.8) 因此，方程(13.6)和方程(13.3)意味着t v 与所有ξ的滞后值都是不相关的：0ξv =')(τt E ，1,,2,1 --=t t τ (13.9) 类似地，可以得到：0ξw =')(τt E ，T ,,2,1 =τ (13.10)0w ξH x A w y w t ='+'+'='])([)(t t t t E E τ，1,,2,1 --=t t τ (13.11)0y v =')(τt E ，1,,2,1 --=t t τ (13.12) 上述系统是相当灵活的，它的一些结论也可以推广到t v 与t w 相关的系统中，而且系数矩阵),,,,(R H A Q F 也可以是时间的函数。
如果我们仅仅关注到上述系统的基本形式，则下面的论述将是十分清晰的。
13.1.2 状态空间表示的例子考虑一元)(p AR 过程：这个)(p AR 过程可以表示成为下面的状态空间模型形式：状态方程(p r =)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---++---+-+0001000010000111112121 t p t t t p p p t t t y y y y y y εμμμφφφφμμμ (13.13) 量测方程： ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+=+--μμμμ11]001[p t t t t y y y y (13.14) 对应地，我们指定：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=+--μμμ11p t t t t y y y ξ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-010000100001121 p p φφφφF ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00 t t εv ，⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000000002 σQ 这里变量和参数矩阵对应为：t t y =y ，μ='A ，1=t x ，[]001 ='H ，0=t w ，0=R 注意到这里的状态方程只是一个一阶向量自回归方程，量测方程只是一个简单的等式。
因此，我们已经看到，状态空间表示只是总结)(p AR 过程的另外一种方式。
将)(p AR 过程表示成为这种方式的原因在于，这样可以获得归纳)(p AR 过程动态性的合适方式，这是我们对任何系统状态空间表示感兴趣的基本原因。
另外一个例子是，我们考虑一元)1(MA 过程：对应地，它可以表示成为状态空间模型形式为：状态方程(2=r )：量测方程(1=n )：这里：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-1t t t εεξ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0100F ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+01t t εv ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0002σQt t y =y ，μ='A ，1=t x ，[]θ1='H ，0=t w ，0=R将给定系统表示成为状态方程的方式有多种。
例如，可以将)1(MA 过程表示成为下面类型的状态空间模型：状态方程(2=r )：量测方程(1=n )：显然上面的)1(MA 过程、两种状态空间模型表示都是具有相同特征的过程表示，这三种表示都具有相同的预测和相同的似然函数值，也就无须讨论哪一种方式更为合适。
更一般地，一元),(q p ARMA 模型可以通过定义}1,max {+≡q p r 进行状态空间模型表示：1122112211)()()(+-------+++++-++-+-=-r t r t t t r t r t t t y y y y εθεθεθεμφμφμφμ (13.15) 这里的参数约束是：当p j >时，0=j φ；当q j >时，0=j θ。
考虑下列状态空间模型表示为：状态方程(}1,max {+≡q p r )： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+-+0001000010000111211t t r r t εφφφφξξ (13.16) 量测方程(1=n )：[]t r t y ξ1211-+=θθθμ (13.15) 为了验证方程(13.16)和方程(13.17)表示了系统与方程(13.15)一致，假设t j ξ表示向量t ξ的第j 个元素，因此状态方程的第2行表示：第3行表明：更一般地，第j 行表示：因此状态方程的第1行意味着：或者：11,1221)1(++=----t t r r L L L εξφφφ (13.18) 量测方程表明：t r r t L L L y ,111221)1(ξ--+++++=θθθμ (13.19) 在方程(13.19)两端乘以算子多项式)1(221r r L L L φφφ---- ，并利用方程(13.18)，可以得到：这就是原来的),(q p ARMA 模型，即方程(13.15)。
状态空间形式是描述随机过程的和，或者测量误差结果的模型的非常合适的方式。
例如，Fama 和Gibbons (1982)开始着手研究事前实际利率(ex ante real interest rate )行为 (事前实际利率是名义利率t i 减去预期通货膨胀率e t π)。
由于经济计量学家通过证券市场推断的预期通货膨胀率的数据，因此这个变量不是可以观测的。
因此在这种应用中状态变量是一个标量，即：μπξ--=e t t t i ，这里μ表示平均事前实际利率。
Fama 和Gibbons (1982)假设事前实际利率服从)1(AR 过程：11+++=t t t v ξφξ (13.20) 经济计量学家可以观测到事后实际利率(名义利率t i 减去真实通货膨胀率t π)，这可以表示为：t t t t e t e t t t t w i i ++=-+-=-ξμππππ)()( (13.21) 这里)(t e t t w ππ-≡是人们预测通货膨胀率时的误差。
如果人们以最优的方式形成通货膨胀率预测，则t w 与自身的滞后值和事前实际利率是无关的。
因此方程(13.20)和方程(13.21)是状态空间模型，这里1==n r ，φ=F ，t t t i y π-=，μ='t x A ，1=H ，t e t t ππ-=w 。
状态空间模型框架的另外一个有趣例子是Stock 和Waston (1991)的研究，他们假设存在表示经济周期状态的不可观测变量t C 。
假设),,,(21nt t t y y y 是n 个可以观测的宏观经济变量，每个都受到经济周期的影响，并且具有与i j y jt ≠,中移动不相关的奇异成分(表示为t i χ)。
如果经济周期和每个奇异成分可以利用一元)1(AR 过程描述，则]1)1[(⨯+n 维状态向量是：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=t n t t t t C χχχ 21ξ (13.22) 该状态变量具有的状态方程为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++++112111,21112111000000000000t n t t t C t n t t t C C C C t n t t t v v v v C C χχχφφφφχχχ (13.23) 量测方程为： ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡t n t t t nn t n t t t C y y y y χχχγγγγμμμμ 21321321321100000010001 (13.24) 因此，参数i γ描述第i 个序列对经济周期反应的敏感性。