最新求数列的前n项和列(教案-例题-习题)

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四.数列求和的常用方法

1. 公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，

特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其 公比与1的关系，必要时需分类讨论.

③常用 公式：1 2

3山 n

n 1 ） 12 22 11（ n 2 二丄n （n 1）（2n 1）,

2 6

13 23 33 川 n 3

1—，求x ■ x 2 ■ x 3亠 亠x n ……的前n 项和. log 2 3

- 1

log 3 x = - log 3 2 =■ x =—

2

1 1

x(1-x n

) = 2(1

—尹)

=J

2

等比数列｛a n ｝的前n 项和S n = 2n - 1,则a 1 a |

2. 分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在 起，再运用公式

法求和.

1 1 1

例2、求数列的前n 项和：1

1, 4,-y ，7,…；n-2 , a a a

1 1 1

解：设 S n = （1 1） （ 4）（亍 7）「…（一3n - 2）

a a a

将其每一项拆开再重新组合得

1 1 1

S n =(1

2

—^)

(1 4 7 囂囂 3n _ 2)

a a a

当a = 1时，S n 沙 虽1n =鲤卫

2 2

练一练：求和：S n =-1 • 3-5 • 7-||「(-1)n (2n-1)

3. 倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关 联，则常

可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前 n 和公式的推 导方法）.

少.

少..

少 •• 少 例 3、求 sin 1 sin 2 sin 3

飞in 88 sin 89 的值

解：由

log 2 3 由等比数列求和公式得

S n 二 X X 2 X 3 池 叫 x n

（利用常用公式）

（分组） （分组求

当a=1时,

__ a 1丄

.(3n -1)n

2 1 _p

a -a (3n -1)n

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解：设S = sin 21 sin2 2 sin2 3 亠亠sin2 88 sin2 89 ................................ . ①将①式右边反序得

S =sin 89 sin 88 飞in 3 sin 2 sin 1 .............................................. .②(反序)

2 2

又因为sin x =cos(90 - x), sin x cos x = 1

①+②得(反序相加)

2 0 2 02。2 02。2。

2S = (sin 1 cos 1 ) (sin 2 cos 2 )爲吒(sin 89 cos 89 ) = 89

S= 44.5

2111

x

练一练：已知f(x) 2，则f(1) f(2) f(3)仁4) f( ) f( ) f ()=

1+x 234

_____ ;

4. 错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）.

例4、求和：S n=1 3x 5x2 7x3…(2n -1)x nJ..................................................... 解：由题可知，｛（2 n- 1）x nd｝的通项是等差数列｛2n —1｝的通项与等比数列｛x n」｝的通项之

积

设xS n =1x +3x2 +5x3 +7x4+ ■ ■ '+（2n - 1）x n ............................................ ②（设制错位）

①—②得（1 -x）S n = 1 2x 2x2 2x3 2x^ — 2x nJ -（2n - 1）x n（错位相减）

1 _ x n」

再利用等比数列的求和公式得：（1 -x）Sn =1 • 2x（2n -1）x n

1 -x

(2n -1)x n 4-(2n 1)x n (1 x)

S n

(1-x)2

2

例5、求数列纟，2,3，

2 22 23

解：由题可知，｛ I? ｝的通项是等差数列｛2n ｝的通项与等比数列 .2 . A . A . 2n ................................................................ 2 2 2 |3 I n

I ? .............................

I 2 I 3 24 2 ? 1

军，…前n 项的和.

2

4?｝的通项之积

2

设S n i Sn 位）

（设制

错

1 2 2 2 2

2 ①—②得(1 -—)S n 二——飞•飞* —n

2 2 22 2

3 24

2n

减) 2n 2*1

(错位相

S n =4

2n

2 n 1

练一练：设｛a .｝为等比数列，T n 二na i • (n - 1)a 2

J11 -

2a .」-a .，已知 h =1 , T ? = 4，①

求数列｛a n ｝的首项和公比；②求数列 ｛T n ｝的通项公

式 5.裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那 么常选用裂项相消法求和 ①」 1 一丄； n(n 1) n n 1

-1 1 ③P 2 k k -1 1

.常用裂项形式有： 1 ___ 1(1 k'n 1 亠)- n k )； 1 1 1 =

-------- <^- < ------ (k 1)k k (k -1)k k -1 n 1 1 ]:⑤ (n 1)! n! (n 1)! - -匕：：

-2 2(、、n 」n -1).

② n(n k) 1 、 _ )， ■ 2 k -1 k 1 1 1 [ 2 n(n 1) (n 1)(n 2) 2 ④ n(n 1)(n 2) ⑥ 2(. n —1 - n) 例6、求数列 解

：设a n 项) 则S n 和) 、n 、n 1 、n , n n -1 1 , ,

1 • .2’、

2 • . n • “1八的前 0 项和. ------ :.n 1 - n

n i n 1

(裂

(裂项求

-n 1「1

例7、在数列｛a n ｝中，a n

—話，又b n

，求数列｛b n ｝的

前

a n a

n 1

n 项的和.