上海市复旦附中2020~2021学年高一上学期期中考试数学试卷及答案详细解析
2022-2023学年上海市浦东复旦附中分校高一上学期期中考试数学试卷含详解
高一数学第一学期拓展考试一、填空题（本大题共有12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.函数()3xf x x =的定义域为______．2.已知集合{}1,21A m =--，{}2B m =，若B A ⊆，则实数m =______．3.已知实数x ，满足123x x +=，22125x x +=，则以12,x x 为根的一元二次方程是__________．4.若()f x 在区间2,22t t t ⎡⎤--⎣⎦上为奇函数，则t 的取值为________．5.若23a -<<，12b <<，则2a b -的取值范围是____________．6.函数20222025y x x =-+-的递减区间是__________．7.函数224xy x x =-+的值域是__________．8.已知Rt ABC ∆的周长为定值2，则它的面积最大值为__________.9.若函数()f x =的值域为[)0,∞+，则实数m 的取值范围为__________．10.函数()()211f x ax a x =-++，11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，若()f x 在定义域上满足：①没有奇偶性；②不单调；③有最大值，则a 的取值范围是_______．11.已知函数()()()221f x x x ax b =-++，若对于任意的x R ∈，都有()()4f x f x =-，则()f x 的最小值是_____.12.设a ∈R ，若存在定义城为R 的函数()f x 同时满足下列两个条件：①对于任意0x ∈R ，()0f x 的值为20x 或0x ；②关于x 的方程()f x a =无实数解．则实数a 不能取．．．的值的集合为__________．二、选择题（本大题共有4小题，每题5分，满分20分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.下列函数中，不是偶函数的是（）A.y =B.53y x x=++-C.()()1,01,0x x x y x x x ⎧-<⎪=⎨+>⎪⎩ D.()()2,0,2,0.x x x y x x x ⎧->⎪=⎨-+<⎪⎩14.存在函数()f x 满足：对任意x ∈R 都有（）A.()f x x= B.()22f x xx=+C.()1fx x+= D.()212fx xx+=+15.已知函数()()22f x x x a a =-+∈R ，若方程()0f x =有实根，则集合(){}0x f f x ⎡⎤=⎣⎦的元素个数可能是（）A.1或3B.2或3C.2或4D.3或416.设()(){2,,|1M a b c axbx c a =--+≤对任意[]1,1x ∈-恒成立}，当(),,a b c M ∈时，函数()f x ax b =+在[]1,1x ∈-上的最大值是(),F a b ，则(),F a b 的最大值为（）A.2B.32C.43 D.54三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.已知函数()31f x x x =--+．（1）求函数()y f x =的值域；（2）若直线23y a a =-与()y f x =的图象有无穷多个交点，求实数a 的取值集合A ．18.已知函数()2()af x x x b =+-，其中,a b ∈R ．（1）讨论函数()2()af x x x b =+-的奇偶性，并说明理由；（2）若12a ≤，0b =，判断函数()y f x =在[)1,+∞上的单调性，并证明．19.某网店有(万件)商品，计划在元旦旺季售出商品x (万件)，经市场调查测算，花费t (万元)进行促销后，商品的剩余量3x -与促销费t 之间的关系为31kx t -=+(其中k 为常数)，如果不搞促销活动，只能售出1(万件)商品.（1）要使促销后商品的剩余量不大于0.1(万件)，促销费t 至少为多少(万元)？（2）已知商品的进价为32(元/件)，另有固定成本3(万元)，定义每件售出商品的平均成本为332x+(元)，若将商品售价定位：“每件售出商品平均成本的1.5倍”与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费t 为多少(万元)时，该网店售出商品的总利润最大？此时商品的剩余量为多少？20.已知函数()1,f x x a a a x=--+∈R ．（1）当1a =时，求方程()0f x =的实数解；（2）若对任意10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若存在两个不相等的正实数1x ，2x ，满足()()12f x f x =，试比较12x x +、2、2a 这三个数的大小关系，并证明你的结论．21.已知定义城为D 的函数()f x ，若存在实数a ，使得对任意1x D ∈，都存在2x D ∈满足12()2x f x a +=，则称函数()f x 具有性质()P a ．（1）判断下列函数是否具有性质()0P ，无需说明理由；①()f x x =；②()1f x x=-（2）若函数()f x 的定义域为D ，且具有性质()1P ，则“()0f x =有解”是“2D ∈”的__________条件（横线上填“充分非必要”、“必要非充分”、“充分必要”、“既非充分又非必要”），并证明你的结论；（3）若存在唯一的实数a ，使得函数2()4f x tx x =++，2[]0，x ∈具有性质()P a ，求实数t 的值．高一数学第一学期拓展考试一、填空题（本大题共有12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.函数()3xf x x =的定义域为______．【答案】(,0)(0,3]-∞⋃【分析】根据给定的函数，直接列出不等式求解作答.【详解】函数()3xf x x =有意义，则300x x -≥⎧⎨≠⎩，解得3x ≤且0x ≠，所以函数()3xf x x=的定义域是(,0)(0,3]-∞⋃.故答案为：(,0)(0,3]-∞⋃2.已知集合{}1,21A m =--，{}2B m =，若B A ⊆，则实数m =______．【答案】1【分析】由集合中元素的互异性可得211m -≠-，由集合相等可得21m =-或221m m =-，再求解即可得解.【详解】解：由集合{}1,21A m =--，{}2B m =，又B A ⊆，则有21121m m ⎧-=⎨-≠-⎩或221121m m m ⎧-=⎨-≠-⎩，解得m 无解或1m =，综上可得实数1m =，故答案为1.【点睛】本题考查了集合相等的充要条件及集合中元素的互异性，重点考查了元素与集合的关系及运算能力，属基础题.3.已知实数x ，满足123x x +=，22125x x +=，则以12,x x 为根的一元二次方程是__________．【答案】2320x x -+=.【分析】本题考查一元二次方程韦达定理得逆向运用【详解】将22125x x +=变形可得()2121225x x x x +-=，可得122x x =即121232x x x x +=⎧⎨=⎩，由一元二次方程的韦达定理可知12,x x 为方程2320x x -+=的两根.故答案为：2320x x -+=.4.若()f x 在区间2,22t t t ⎡⎤--⎣⎦上为奇函数，则t 的取值为________．【答案】1-【详解】奇函数的定义域关于原点对称，且区间的右端点不比左端点小，有222220220022320t t t t t t t t t t t ⎧--=⎧-=-->⎪⇔<⎨⎨<--⎩⎪-->⎩．解得1t =-．5.若23a -<<，12b <<，则2a b -的取值范围是____________．【答案】()6,1-【分析】直接根据不等式的性质即可得结果.【详解】因为23a -<<，12b <<，所以422b -<-<-，621a b -<-<，即2a b -的取值范围是()6,1-，故答案为：()6,1-.6.函数20222025y x x =-+-的递减区间是__________．【答案】(],2022-∞【分析】分别在2022x ≤、20222025x <<和2025x ≥的情况下得到函数解析式，结合一次函数的单调性可确定递减区间.【详解】当2022x ≤时，2022202540472y x x x =-+-=-，此时函数单调递减；当20222025x <<时，202220253y x x =-+-=；当2025x ≥时，2022202524047y x x x =-+-=-，此时函数单调递增；20222025y x x ∴=-+-的递减区间是(],2022-∞.故答案为：(],2022-∞.7.函数224xy x x =-+的值域是__________．【答案】22,53⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】分0,0,0x x x =><三种情况讨论，运用基本不等式求值域.【详解】当0x =时，0y =当0x ≠，222=441x y x x x x=-+-+.若0x >时，44x x +≥=，当且仅当4x x =，即2x =时等号成立，此时22244131y x x=≤=--+，即203y <≤.若0x <时，()444x x x x ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当且仅当4x x -=-，即2x =-时等号成立，此时22244151y x x=≥=----+，即205y -≤<.综上所述，函数的值域为22,53⎡⎤-⎢⎣⎦.故答案为：22,53⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8.已知Rt ABC ∆的周长为定值2，则它的面积最大值为__________.【答案】3-.【分析】设出三角形的边长，根据周长和勾股定理列方程组，利用基本不等式求得ab 的最大值，进而求得三角形面积的最大值.【详解】设Rt ABC ∆三条边长分别为,,a b c ，其中c 为斜边长，所以2222a b c c a b++=⎧⎨=+⎩，2a b +=，2≥，2≤=-，所以6ab ≤-则三角形的面积132ABC S ab ∆=≤-.故答案为3-.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求三角形面积的最大值，考查直角三角形的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.9.若函数()f x =[)0,∞+，则实数m 的取值范围为__________．【答案】[)1,+∞【分析】依题意可得268mx mx m -++能够取到大于等于0的所有数，然后对m 分类求解得答案．【详解】解：因为函数()f x =的值域为[)0,∞+，所以268mx mx m -++能够取到大于等于0的所有数，当0m =时()f x ==，不合题意；当0m ≠时，则()()2Δ6480m m m m >⎧⎪⎨=--+≥⎪⎩，解得m 1≥；综上可得[)1,m ∈+∞.故答案为：[)1,+∞．10.函数()()211f x ax a x =-++，11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，若()f x 在定义域上满足：①没有奇偶性；②不单调；③有最大值，则a 的取值范围是_______．【答案】()1,11,2⎛⎫-∞---⎪⎝⎭【分析】因为函数没有奇偶性，所以一次项系数不为零；因为函数在定义域11,22⎛⎫-⎪⎝⎭上不单调，所以二次项系数不为零，且对称轴在区间11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内；又因为二次函数在开区间11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上有最大值，所以二次项系数小于零，求出a 的取值范围.【详解】因为函数没有奇偶性，所以10a +≠，即1a ≠-；又因为函数在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，所以0a ≠且111,222a a +⎛⎫∈- ⎪⎝⎭；又因为二次函数在开区间11,22⎛⎫-⎪⎝⎭上有最大值，所以a<0，综上，解得()1,11,2a ⎛⎫∈-∞---⎪⎝⎭.故答案为：()1,11,2⎛⎫-∞---⎪⎝⎭.11.已知函数()()()221f x x x ax b =-++，若对于任意的x R ∈，都有()()4f x f x =-，则()f x 的最小值是_____.【答案】16-【分析】根据()()110f f =-=及()()4f x f x =-可得()()350f f ==即可求出函数解析式，令244t x x =-+，将函数转化为二次函数，求出函数的最小值.【详解】解：对任意的x R ∈，都有()()4f x f x =-()()110f f =-= ()()350f f ∴==()()()()()()2221354345f x x x x x x x x ∴=---=-+--令2440t x x =-+≥则()()()()219516g t t t t ∴=--=--()min 16g t ∴=-所以()f x 的最小值为16-故答案为：16-【点睛】本题考查函数的最值，利用换元法将函数转化为二次函数，利用二次函数的性质求函数的最值，属于中档题.12.设a ∈R ，若存在定义城为R 的函数()f x 同时满足下列两个条件：①对于任意0x ∈R ，()0f x 的值为20x 或0x ；②关于x 的方程()f x a =无实数解．则实数a 不能取．．．的值的集合为__________．【答案】{}0,1【分析】根据条件①可知00x =或1，进而结合条件②可得a 的范围，并分析函数()f x 的构成，即可确定a 的范围，从而可得实数a 不能取的值的集合.【详解】解：根据条件①可得()00f =或()11f =，根据条件②关于x 的方程()f x a =无实数解，所以0a ≠且1a ≠；由条件①可知函数()f x 的图象是由函数2y x =和函数y x =的图象分段拼接而成的，若a<0，只需取()2f x x =，则()f x a =无解；若01a <<，只需取()(])(2,,0,x x f x x x ∞∞⎧∈-⋃+⎪=⎨∈⎪⎩，则()f x a =无解；若1a >，只需取()()[)2,,,,x x a f x x x a ∞∞⎧∈-⎪=⎨∈+⎪⎩，则()f x a =无解；故a 的取值范围是()()(),00,11,∞∞-⋃⋃+，则实数a 不能取的值的集合为{}0,1.故答案为：{}0,1．二、选择题（本大题共有4小题，每题5分，满分20分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.下列函数中，不是偶函数的是（）A.y =B.953y x x=++-C.()()1,01,0x x x y x x x ⎧-<⎪=⎨+>⎪⎩ D.()()2,0,2,0.x x x y x x x ⎧->⎪=⎨-+<⎪⎩【答案】C【分析】根据偶函数的定义，对选项逐一判断.【详解】对选项A ，函数()f x 的定义域为221010x x ⎧-≥⎨-≥⎩，解得()f x 的定义域为{}1,1-，定义域关于原点对称，且()()f x f x -=+=+=，故()f x 是偶函数.B 选项，函数()f x 的定义域为290530x x x ⎧-≥⎪⎨++-≠⎪⎩，解得33x -≤≤，定义域关于原点对称，则()8f x =，9()()8f x f x -==，所以函数()f x 是偶函数.C 选项，当0,0x x >-<，()(1)()f x x x f x -=-+=-，所以()f x 不是偶函数.D 选项，()()2,0,2,0.x x x y x x x ⎧->⎪=⎨-+<⎪⎩，()f x 的定义为(,0)(0,)-∞+∞ ，当0,0x x >-<，()(2)()f x x x f x -=-=，当0,0x x <->，()(2)()f x x x f x -=-+=所以函数()f x 为偶函数.故选：C14.存在函数()f x 满足：对任意x ∈R 都有（）A.()f x x = B.()22f x xx=+C.()1fx x += D.()212fx xx+=+【答案】D【分析】根据()f x 的奇偶性可以判断A 和B 选项的正误；再根据()1f x +的对称性判断C 和D.【详解】()fx 必定是一个偶函数，故可以判断A 和B 选项是错误的；()1f x +是由()f x 的图像向左平移一个单位得到，所以()1fx +的图像关于=1x -对称，对于C ，y x =不关于=1x -对称，故舍去；对于D ，()22211y x x x =+=+-关于=1x -对称，故正确，故选：D.15.已知函数()()22f x x x a a =-+∈R ，若方程()0f x =有实根，则集合(){}0x f f x ⎡⎤=⎣⎦的元素个数可能是（）A.1或3B.2或3C.2或4D.3或4【答案】C【分析】根据方程()0f x =有实根可求得18a ≤，根据二次函数性质可求得()18f x a ≥-；设()f x t =，分别在18a =和18a <的情况下，讨论220t t a -+=的根的个数，并根据方程的根与18a -的大小关系，确定()f x t =的根的个数，即为所求集合的元素个数.【详解】()0f x = 有实根，180a ∴∆=-≥，解得：18a ≤；()21112488f x x a a ⎛⎫=--+≥- ⎪⎝⎭；设()f x t =，则()220f t t t a =-+=；①当18a =时，14t =，211284x x ∴-+=，即21208x x --=，解得：124x ±=，(){}110,44x f f x ⎧-⎪⎡⎤∴==⎨⎣⎦⎪⎪⎩⎭；②当18a <时，由220t t a -+=得：114t =，214t =；1138488a a --⎛⎫--=⎪⎝⎭，18a < ，380a ∴->，又()(22238641650a a a --=-+>恒成立，38a ∴->，即2118t t a >>-，()()12,f x t f x t ∴==共有四个不等实根1234,,,x x x x ，(){}{}12340,,,x f f x x x x x ⎡⎤∴==⎣⎦；综上所述：集合(){}0x f f x ⎡⎤=⎣⎦的元素个数可能为2或4.故选：C.16.设()(){2,,|1M a b c axbx c a =--+≤对任意[]1,1x ∈-恒成立}，当(),,a b c M ∈时，函数()f x ax b =+在[]1,1x ∈-上的最大值是(),F a b ，则(),F a b 的最大值为（）A.2B.32C.43 D.54【答案】A【分析】令()()2g x ax bx c a =--+，则任意[]1,1x ∈-都有()01g ≤，()11g ≤，()11g -≤，将a b c 、、用()()()011g g g -、、表示，则可变形得()()()()()()1112102f xg g g x x x =++---，结合绝对值三角不等式即可得出最大值.【详解】令()()2g x ax bx c a =--+，则任意[]1,1x ∈-都有()01g ≤，()11g ≤，()11g -≤，由()()()0,1,1g a c g b c g b c =--=---=-得()()()()()()()11111120,,222g g g g g g g b c a ------+-===，∴()()()()()()11201122g g g f g g x x -+--=+-()()()()()1102121g g g x x x ++---=()()()()()1102121g g g xx x ≤++---+11121122x x x x ≤++-+=+≤.故选：A三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.已知函数()31f x x x =--+．（1）求函数()y f x =的值域；（2）若直线23y a a =-与()y f x =的图象有无穷多个交点，求实数a 的取值集合A ．【答案】（1）[]4,4-（2）{}1,4-【分析】（1）采用分段讨论法去绝对值，求出()f x 解析式，画出图象，可求()f x 值域；（2）要使交点有无数多个，即直线234y a a =-=或4-，解方程即可.【小问1详解】当3x ≥时，()()314f x x x =--+=-；当13x -≤<时，()()3122f x x x x =--+=-+；当1x <-时，()314f x x x =-++=，故()4,122,134,3x f x x x x <-⎧⎪=-+-≤<⎨⎪-≥⎩，如图：可知()[]4,4f x ∈-；【小问2详解】要使直线23y a a =-与()y f x =的图象有无穷多个交点，即234a a -=或234a a -=-（无解），解得4a =或1-，故实数a 的取值集合{}1,4A =-18.已知函数()2()af x x x b =+-，其中,a b ∈R ．（1）讨论函数()2()af x x x b =+-的奇偶性，并说明理由；（2）若12a ≤，0b =，判断函数()y f x =在[)1,+∞上的单调性，并证明．【答案】（1）见解析（2）单调递增，证明见解析【分析】（1）由奇偶性的定义求解，（2）由单调性的定义证明，【小问1详解】()f x 的定义域为{|}x x b ≠，当0b ≠时，()f x 为非奇非偶函数，当0b =时，()2af x x x =+，()2a f x x x-=-+，令()()f x f x -=-，解得0a =，令()()f x f x -=，得a 无解，综上，当0a b ==时，()f x 为奇函数，当0a ≠或0b ≠时，()f x 为非奇非偶函数，【小问2详解】()2af x x x =+，设[)12,1,x x ∞∈+，且12x x <，则1221212122222112()()()()()(1)a x x a af x f x x x x x x x x x +-=+-+=--，由122222*********x x x x x x x x +=+<，12a ≤得122212()10a x x x x +->，而210x x ->，故21()()0f x f x ->，()y f x =在[)1,+∞上单调递增．19.某网店有(万件)商品，计划在元旦旺季售出商品x (万件)，经市场调查测算，花费t (万元)进行促销后，商品的剩余量3x -与促销费t 之间的关系为31kx t -=+(其中k 为常数)，如果不搞促销活动，只能售出1(万件)商品.（1）要使促销后商品的剩余量不大于0.1(万件)，促销费t 至少为多少(万元)？（2）已知商品的进价为32(元/件)，另有固定成本3(万元)，定义每件售出商品的平均成本为332x+(元)，若将商品售价定位：“每件售出商品平均成本的1.5倍”与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费t 为多少(万元)时，该网店售出商品的总利润最大？此时商品的剩余量为多少？【答案】（1）19(万元)；（2）当促销费为7万元时，网店利润的最大为42万元，此时商品的剩余量为0.25(万件).【分析】（1）可得当0=t 时，1x =，解得2k =，则可列不等式求出；（2）根据题意可列出y 关于t 的函数关系，再利用基本不等式可求出.【详解】解：（1）由31k x t -=+，当0=t 时，1x =，得2k =，∴231x t -=+，由20.11t ≤+，解得19t ≥，所以促销费至少为19万元；（2）网店的利润y (万元)，由题意可得：332 1.52(332)xt x x y x x t +⎛⎫⋅+-+ ⎪⎭+⎝=99323215021212t t t t +⎛⎫=--=-+ ⎪++⎝⎭50≤-42=，当且仅当32112t t +=+，即7t =时取等号，此时30.25x -=；所以当促销费为7万元时，网店利润的最大为42万元，此时商品的剩余量为0.25(万件).20.已知函数()1,f x x a a a x=--+∈R ．（1）当1a =时，求方程()0f x =的实数解；（2）若对任意10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若存在两个不相等的正实数1x ，2x ，满足()()12f x f x =，试比较12x x +、2、2a 这三个数的大小关系，并证明你的结论．【答案】（1）1x =；（2）5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（3）1222x x a <+<，证明见解析.【分析】（1）化简后分1x ≥和1x <两种情况求解即可；（2）分0a ≤，12a ≥和102a <<三种情况求解函数的最大值，使其最大值小于零即可；（3）不妨设12x x <，然后根据分段函数的性质将12,x x 分三种情况：1201x x a <<<<，1201x a x <<<<和1201x a x <<<<，可得到1222x x a <+<.【小问1详解】当1a =时，()111f x x x=--+，由()0f x =，得()1110f x x x=--+=，110x x x -+-=，当10x -≥，即1x ≥时，(1)10x x x -+-=，解得1x =或=1x -（舍去），当10x -<，即1x <时，(1)10x x x -+-=，解得1x =（舍去），综上，方程()0f x =的实数解为1x =；【小问2详解】①当0a ≤时，因为10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以11()f x x a a x x x =--+=-，则()f x 在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，所以113()2222f x f ⎛⎫≤=-=-⎪⎝⎭，符合题意，②当12a ≥时，1()2f x a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则由对勾函数的性质可知，()f x 在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以115()222222f x f a a ⎛⎫⎛⎫≤=-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()0f x ≤，所以5202a -≤，得54a ≤，所以1524a ≤≤，③当102a <<时，1,()12,x x a x f x a x x ax ⎧-≥⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，当x a ≥时，1()f a a a =-，当x a <时，1()f a a a=-，所以()f x 在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以113()2222f x f ⎛⎫≤=-=- ⎪⎝⎭，符合题意，综上，54a ≤，即实数a 的取值范围为5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；【小问3详解】不妨设12x x <，当x a >时，11()f x x a a x x x=--+=-在(0,)+∞上单调递增，所以不存在两个不相等的正实数12,x x ，满足()()12f x f x =，舍去，当x a =时，1()f x a a =-为定值，不合题意，当x a <时，1()2f x a x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，由对勾函数的性质可知，当1a ≤时，1()2f x a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在(0,)a 上单调递增，1()f x x x=-在(,)a +∞上单调递增，而两个分段函数在x a =处函数值相同，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以不存在两个不相等的正实数12,x x ，满足()()12f x f x =，舍去，当1a >时，函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，且11()2f a a a a a a ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，即分段函数在x a =处函数值相同，所以要存在两个不相等的正实数12,x x ，满足()()12f x f x =，则12,x x 有三种类型，第一种：1201x x a <<<<，则122x x a +<，令()()(2)h x f x f x =--，则(1)0h =，当(1,)x a ∈时，11()()(2)2222h x f x f x a x a x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-+---+ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦112222a x a x x x =---+-+-11222x x x =--++-任取34,(1,)x x a ∈，且34x x <，则434344331111()()222222h x h x x x x x x x ⎛⎫-=--++---++ ⎪--⎝⎭4344331111222222x x x x x x =--++++----43433411()2(2)(2)x x x x x x ⎡⎤=-+-⎢⎥--⎣⎦因为334443341122(2)(2)(2)(2)22x x x x x x x x +≥≥=-+-+--⋅，当且仅当341x x ==时取等号，因为34,(1,)x x a ∈，所以取不到等号，所以4334112(2)(2)x x x x +>--，所以43433411()20(2)(2)x x x x x x ⎡⎤-+->⎢⎥--⎣⎦，所以43()()0h x h x ->，即43()()h x h x >所以()h x 在(1,)a 上单调递增，所以()(1)0h x h >=，所以()(2)f x f x >-，因为2(1,)x a ∈，所以22()(2)f x f x >-，因为()()12f x f x =，所以12()(2)f x f x >-，因为1201,021x x <<<-<，()f x 在(0,1)上单调递增，所以122x x >-，所以122x x +>，综上，1222x x a <+<，第二种情况：1201x a x <<<<，显然122x x +>，令()()(2)g x f x f a x =--，()0g a =，当(1,)x a ∈时，11()()(2)2(2)2g x f x f a x a x a x x a x ⎛⎫⎡⎤=--=-+--- ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦112x a x=-+-，任取56,(1,)x x a ∈，且56x x <，则6566551111()()22g x g x x a x x a x ⎛⎫-=-+--+ ⎪--⎝⎭65655656(2)(2)x x x x x x a x a x --=+--()65565611(2)(2)x x x x a x a x ⎡⎤=-+⎢⎥--⎣⎦，因为56,(1,)x x a ∈，且56x x <，所以650x x ->，56(2)(2)0a x a x -->，560x x >，所以65()()0g x g x ->，即65()()g x g x >，所以()()(2)g x f x f a x =--在(1,)a 上单调递增，所以()()(2)()0g x f x f a x g a =--<=，因为1(1,)x a ∈，所以11()(2)f x f a x <-，因为()()12f x f x =，所以21()(2)f x f a x <-，因为21,2x a a x a >->，()f x 在(,)a +∞上单调递增，所以212x a x <-，所以122x x a +<，综上1222x x a <+<，第三种情况：1201x a x <<<<，由第一种情况可知122x x +>，则第二种情况可知122x x a +<，所以1222x x a <+<，综上1222x x a <+<.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查函数单调性的应用，第（3）问解题的关键是分情况讨论可得当x a <时，当1a >时，函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，然后再对12,x x 分三种情况求解，考查分类思想和数计算能力，属于较难题.21.已知定义城为D 的函数()f x ，若存在实数a ，使得对任意1x D ∈，都存在2x D ∈满足12()2x f x a +=，则称函数()f x 具有性质()P a ．（1）判断下列函数是否具有性质()0P ，无需说明理由；①()f x x =；②()1f x x=-（2）若函数()f x 的定义域为D ，且具有性质()1P ，则“()0f x =有解”是“2D ∈”的__________条件（横线上填“充分非必要”、“必要非充分”、“充分必要”、“既非充分又非必要”），并证明你的结论；（3）若存在唯一的实数a ，使得函数2()4f x tx x =++，2[]0，x ∈具有性质()P a ，求实数t 的值．【答案】（1）()f x x =不具有性质()0P ，()1f x x=-具有性质()0P （2）必要非充分、证明详见解析（3）0或24--【分析】（1）根据性质()0P 对两个函数进行分析，从而确定正确答案.（2）根据充分、必要条件的知识，结合性质()1P 作出判断.（3）对t 进行分类讨论，求得()f x 的值域，结合性质()P a 以及a 的唯一性求得t 的值.【小问1详解】性质()0P ：对任意1x D ∈，都存在2x D ∈满足12()02x f x +=，()21f x x =-.①()f x x =，取11x =，则11x -=-，而()2210f x x x =≥>-，所以()f x x =不具有性质()0P .②()1f x x=-，()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，值域是()(),00,∞-+∞U ，对于任意()()1,00,x ∈-∞+∞ ，()()1,00,x -∈-∞⋃+∞，即存在()()2,00,x ∈-∞⋃+∞，使()21f x x =-，所以()1f x x=-具有性质()0P .【小问2详解】函数()f x 的定义域为D ，且具有性质()1P ，即使得对任意1x D ∈，都存在2x D ∈满足()1221()1,22x f x f x x +==-+，当“()0f x =有解”时：如()[]31,0,1f x x x D =-∈=，则103f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，033,1312x x ≤≤-≤-≤，即()f x 的值域是[]1,2-，对任意[][][]1110,1,1,0,21,2x x x ∈-∈--+∈[]1,2-，即存在2x D ∈使()212f x x =-+，也即()[]31,0,1f x x x =-∈具有性质()1P ，但2D ∉，所以“()0f x =有解”⇒“2D ∈”.当“2D ∈”时，即对任意12x D =∈，都存在2x D ∈满足()212220f x x =-+=-+=，即“()0f x =有解”，所以“2D ∈”⇒“()0f x =有解”，所以“()0f x =有解”是“2D ∈”的必要不充分条件.【小问3详解】依题意，存在唯一的实数a ，使得函数2()4f x tx x =++，2[]0，x ∈具有性质()P a ，即：存在唯一的实数a ，对任意[]10,2x ∈，都存在[]20,2x ∈满足12()2x f x a +=，()212f x x a =-+，11102,20,2222x x a x a a ≤≤-≤-≤-≤-+≤，记()f x 的值域为F ，则[]22,2a a F -⊆，当0=t 时：()4f x x =+，02,446x x ≤≤≤+≤，即[]4,6F =，所以224326a a a -≥⎧⇒=⎨≤⎩，a 唯一，符合题意.当0t ≠时，2()4f x tx x =++的对称轴为12x t=-，14t ∆=-.当0t >，2()4f x tx x =++在[]0,2上递增，所以[]4,46F t =+，所以224323246a a t a t -≥⎧⇒≤≤+⎨≤+⎩，a 不唯一，不符合题意.当104t -≤<时，122t-≥，2()4f x tx x =++在[]0,2上递增，所以[]4,46F t =+，所以224246a a t -≥⎧⎨≤+⎩，无解.当1124t -≤<-时，1122t ≤-<，所以()f x 的最大值是11424f t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，最小值是()04f =，则14,44F t ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，所以2241244a a t -≥⎧⎪⎨≤-⎪⎩，1328a t ≤≤-，由于a 唯一，所以1123,88t t -==-（舍去）.当21t <-时，1012t <-<，所以()f x 的最大值是11424f t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，最小值是()246f t =+，则146,44F t t⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦，所以22461244a t a t -≥+⎧⎪⎨≤-⎪⎩，12428t a t +≤≤-，由于a 唯一，所以12428t t +=-，解得234t --=（234-+舍去）.综上所述，a 的值为0或234-【点睛】求解含有参数的一元二次函数在闭区间上的值域问题，要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏，分类标准的制定可以考虑二次函数的开口方向、对称轴、判别式、定义域等等.。
复旦中学2020至2021学年高一上学期期中数学试卷
2020-2021学年重庆市复旦中学高一（上）期中数学试卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M={0，1}，N={1，2}，则M∪N=（）A．{0，1} B．{0，2} C．{0，1，2} D．不能确定2．（5分）函数f（x）=lg（3x+1）的定义域是（）A．（﹣，1）B．（﹣，+∞）C．（﹣，）D．（﹣∞，﹣）3．（5分）函数f（x）=log2|x|的图象（）A．关于直线y=﹣x对称B．关于原点对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称4．（5分）函数y=（）x（x≥8）的值域是（）A．R B．（0，]C．（﹣∞，]D．[，+∞）5．（5分）若a=0.32，b=log20.3，c=20.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c6．（5分）函数f（x）=x﹣3+log3x的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，3）C．（﹣∞，0）D．（3，+∞）7．（5分）已知函数，则的值是（）A．﹣3 B．3C．D．8．（5分）如果设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（2）=0，则不等式＜0的解集为（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣2，0）∪（0，2）9．（5分）已知f（x）=3﹣2|x|，g（x）=x2﹣2x，F（x）=，则F（x）的最值是（）A．最大值为3，最小值﹣1 B．最大值为，无最小值C．最大值为3，无最小值D．既无最大值，也无最小值10．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+3）=﹣f（x），f（1）=﹣2，则f=（）A．0.5 B．0C．2D．﹣1二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）若幂函数f（x）的图象过点（2，4），则f（9）=．12．（5分）函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，则点A坐标为．13．（5分）若函数f（x）=kx2+（k﹣1）x+2是偶函数，则f（x）的递减区间是．14．（5分）已知函数，则f（2+log23）的值为．15．（5分）已知函数f（x）=log a（ax2﹣x+3），（a＜1）在[2，4]上是增函数，则实数a的取值范围是．三、解答题（共75分，本大题共6小题，解答时写出必要的文字说明，证明过程或解题步骤．）16．（13分）已知R为全集，A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|﹣2＜x≤3}，求A∩B；（∁R A）∪B．17．（13分）计算：（1）（×）6+﹣（﹣2014）0（2）log2+log212﹣log242+．18．（13分）已知集合A={x|x2﹣5x﹣6＜0}，集合B={x|6x2﹣5x+1≥0}，集合（1）求A∩B；（2）若A∪C=C，求实数m的取值范围．19．（12分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）的值域．20．（12分）设函数y=f（x）的定义域为R，并且满足f（x+y）=f（x）+f（y），，且当x＞0时，f（x）＞0．（1）求f（0）的值；（2）判断函数的奇偶性；（3）如果f（x）+f（2+x）＜2，求x取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣4x+a+3，g（x）=mx+5﹣2m（1）当a=﹣3，m=0时，求方程f（x）﹣g（x）=0的解；（2）若方程f（x）=0在[﹣1，1]上有实数根，求实数a的取值范围；（3）当a=0时，若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围．2020-2021学年重庆市复旦中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M={0，1}，N={1，2}，则M∪N=（）A．{0，1} B．{0，2} C．{0，1，2} D．不能确定考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：利用并集的定义：两个集合的所有元素构成的集合是并集，求出两个集合的并集．解答：解：∵M={0，1}，N={1，2}，∴M∪N={0，1，，2}故选C．点评：本题考查利用并集的定义求两个集合的并集．注意：集合满足的三要素：确定性、互异性、无序性．2．（5分）函数f（x）=lg（3x+1）的定义域是（）A．（﹣，1）B．（﹣，+∞）C．（﹣，）D．（﹣∞，﹣）考点：对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：直接由对数式的真数大于0求解x的取值集合得答案．解答：解：由3x+1＞0，得x＞﹣，∴函数f（x）=lg（3x+1）的定义域是（﹣，+∞）．故选：B．点评：本题考查了函数的定义域及其求法，是基础题．3．（5分）函数f（x）=log2|x|的图象（）A．关于直线y=﹣x对称B．关于原点对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：先判断奇偶性，再考虑图象．解答：解：∵函数f（x）=log2|x|，∴f（﹣x）=f（x），∴函数f（x）=log2|x|为偶函数，∴函数f（x）=log2|x|的图象关于y轴对称，故选：C点评：本题考查了偶函数的图象性质，属于容易题，判断函数的对称性问题．4．（5分）函数y=（）x（x≥8）的值域是（）A．R B．（0，]C．（﹣∞，]D．[，+∞）考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数函数的图象与性质，求出函数y的值域即可．解答：解：根据指数函数的图象与性质，得；函数y=（）x是定义域R上的减函数，∴当x≥8时，0＜y≤；又∵=，∴y的值域是（0，]．故选：B．点评：本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，解题时应利用指数函数的单调性进行解答，是基础题．5．（5分）若a=0.32，b=log20.3，c=20.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c考点：对数值大小的比较；指数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：由0＜a=0.32＜0.30=1，b=log20.3＜log21=0，c=20.3＞20=1，能比较a，b，c的大小关系．解答：解：∵0＜a=0.32＜0.30=1，b=log20.3＜log21=0，c=20.3＞20=1，∴b＜a＜c，故选D．点评：本题考查对数值和指数值大小的比较，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．6．（5分）函数f（x）=x﹣3+log3x的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，3）C．（﹣∞，0）D．（3，+∞）考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：先求f′（x），根据f′（x）的符号容易判断出函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，而零点所在区间的两个端点的函数值的符号应相反，根据这一点便可判断每一选项的区间是否有零点，并找到存在零点的区间．解答：解：x＞0，∴f′（x）=1+＞0；∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；A．x∈（0，1）时，f（x）＜f（1）=﹣2＜0，即f（x）在（0，1）上没有零点；B．f（1）=﹣2＜0，f（3）=1＞0，∴f（x）在（1，3）内有零点；C．f（x）在（﹣∞，0）没定义，所以不存在零点；D．x＞3时，f（x）＞f（3）=1＞0，即f（x）在（3，+∞）上没有零点．故选B．点评：考查通过函数导数符号判断函数单调性的方法，以及根据函数单调性判断一函数在一区间上函数值的符号，以及函数零点的定义及判断一区间存在零点的方法．7．（5分）已知函数，则的值是（）A．﹣3 B．3C．D．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：计算题．分析：把x=代入到函数f（x）=log2x中可先求f（）=﹣1，然后在把x=﹣1代入到f（x）=3x 可求解答：解：由题意可得，f（）==﹣1∴f（f（））=f（﹣1）=3﹣1=故选C点评：本题主要考查了分段函数的函数值的求解，解题的关键是根据不同的自变量的值确定函数的解析式，属于基础试题8．（5分）如果设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（2）=0，则不等式＜0的解集为（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣2，0）∪（0，2）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：由函数f（x）为奇函数，可得不等式即，即x和f（x）异号，故有，或；再结合函数f（x）的单调性示意图可得x的范围．解答：解：由函数f（x）为奇函数，可得不等式即，即x和f（x）异号，故有，或．再由f（2）=0，可得f（﹣2）=0，由函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，可得函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，结合函数f（x）的单调性示意图可得，﹣2＜x＜0，或0＜x＜2，故选D．点评：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．9．（5分）已知f（x）=3﹣2|x|，g（x）=x2﹣2x，F（x）=，则F（x）的最值是（）A．最大值为3，最小值﹣1 B．最大值为，无最小值C．最大值为3，无最小值D．既无最大值，也无最小值考点：函数的最值及其几何意义；二次函数在闭区间上的最值．专题：计算题．分析：将函数f（x）化简，去掉绝对值后，分别解不等式f（x）≥g（x）和f（x）＜g（x），得到相应的x的取值范围．最后得到函数F（x）在三个不同区间内分段函数的表达式，然后分别在三个区间内根据单调性，求出相应式子的值域，最后得到函数F（x）在R上的值域，从而得到函数有最大值而无最小值．解答：解：f（x）=3﹣2|x|=①当x≥0时，解f（x）≥g（x），得3﹣2x≥x2﹣2x⇒0≤x≤；解f（x）＜g（x），得3﹣2x＜x2﹣2x⇒x＞．②当x＜0，解f（x）≥g（x），得3+2x≥x2﹣2x⇒2﹣≤x＜0；解f（x）＜g（x），得3+2x＜x2﹣2x⇒x＜2﹣；综上所述，得分三种情况讨论：①当x＜2﹣时，函数为y=3+2x，在区间（﹣∞，2﹣）是单调增函数，故F（x）＜F（2﹣）=7﹣2；②当2﹣≤x≤时，函数为y=x2﹣2x，在（2﹣，1）是单调增函数，在（1，）是单调减函数，故﹣1≤F（x）≤2﹣③当x＞时，函数为y=3﹣2x，在区间（，+∞）是单调减函数，故F（x）＜F（）=3﹣2＜0；∴函数F（x）的值域为（﹣∞，7﹣2]，可得函数F（x）最大值为F（2﹣）=7﹣2，没有最小值．故选B点评：本题以含有绝对值的函数和分段函数为载体，考查了函数的值域与最值的求法、基本初等函数的单调性和值域等知识点，属于中档题．10．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+3）=﹣f（x），f（1）=﹣2，则f=（）A．0.5 B．0C．2D．﹣1考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：先根据定义在R上的奇函数得到f（0）=0；再结合f（x+6）=f（x），f（x）是周期函数，周期为6，则有f=f（0），可得答案．解答：解：∵f（x）是定义在R上的奇函数∴f（﹣0）=﹣f（0）⇒f（0）=0．由f（x+3）=﹣f（x），可得：f（x+6）=﹣f（x+3）=f（x），∴f（x）是周期为6的周期函数，∴f=f（6×336﹣2）=f（﹣2）=﹣f（﹣2+3）=﹣f（1）=2．故选：C．点评：本题关键“寻规律，找周期”．要特别利用好题中的关系式：f（x+3）=﹣f（x）．基本知识的考查．二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）若幂函数f（x）的图象过点（2，4），则f（9）=81．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：设出幂函数的解析式，由图象过（2，4）确定出解析式，然后令x=3即可得到f（9）的值．解答：解：设f（x）=x a，因为幂函数图象过（2，4），则有4=2a，∴a=2，即f（x）=x2，∴f（9）=（9）2=81故答案为：81．点评：考查学生会利用待定系数法求幂函数的解析式．会根据自变量的值求幂函数的函数值．12．（5分）函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，则点A坐标为（﹣2，﹣1）．考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题意令x+3=1，解得x=﹣2，再代入函数解析式求出y的值为﹣1，故所求的定点是（﹣2，﹣1）．解答：解：令x+3=1，解得x=﹣2，则当x=﹣2时，函数y=log a（x+3）﹣1=﹣1，即函数图象恒过一个定点（﹣2，﹣1）．故答案为：（﹣2，﹣1）点评：本题考查了对数函数图象过定点（1，0），即令真数为1求对应的x和y，则是所求函数过定点的坐标．13．（5分）若函数f（x）=kx2+（k﹣1）x+2是偶函数，则f（x）的递减区间是（﹣∞，0]．考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据偶函数的性质求出k值，再根据二次函数的图象即可求出其单调减区间．解答：解：因为f（x）为偶函数，所以f（﹣x）=f（x）．即kx2﹣（k﹣1）x+2=kx2+（k﹣1）x+2，所以2（k﹣1）x=0，所以k=1．则f（x）=x2+2，其递减区间为（﹣∞，0]．故答案为：（﹣∞，0]．点评：本题考查函数的奇偶性、单调性，属基础题．14．（5分）已知函数，则f（2+log23）的值为．考点：函数的值．专题：计算题．分析：因为所给函数为分段函数，要求函数值，只要判断2+log23在哪个范围即可，代入解析式后，用指对数的运算律进行化简．解答：解：∵2+log23∈（2，3），∴f（2+log23）=f（2+log23+1）=f（3+log23）===×=故答案为点评：本题考查了分段函数求函数值，做题时要看清题意，避免代入错误．15．（5分）已知函数f（x）=log a（ax2﹣x+3），（a＜1）在[2，4]上是增函数，则实数a的取值范围是（，]．考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得t在[2，4]上是减函数，且t＞0，故有≥4，且a•42﹣4+3＞0，由此求得实数a 的取值范围．解答：解：令t=ax2﹣x+3，显然二次函数t的图象的对称轴为x=，由于0＜a＜1，结合题意可得，t在[2，4]上是减函数，且t＞0，故有≥4，且a•42﹣4+3＞0，求得，故答案为：（，]．点评：本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．三、解答题（共75分，本大题共6小题，解答时写出必要的文字说明，证明过程或解题步骤．）16．（13分）已知R为全集，A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|﹣2＜x≤3}，求A∩B；（∁R A）∪B．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：由A与B，求出两集合的交集，找出A补集与B的并集即可．解答：解：∵R为全集，A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|﹣2＜x≤3}，∴A∩B={x|﹣1≤x＜3}，∁R A={x|x＜﹣1或x≥3}，则（∁R A）∪B=R．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．17．（13分）计算：（1）（×）6+﹣（﹣2014）0（2）log2+log212﹣log242+．考点：对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用根式与分数指数幂的性质和运算法则求解．（2）利用对数的性质和运算法则求解．解答：（本小题共13分）解：（1）（×）6+﹣（﹣2014）0=（4×27）+（2）﹣1=108+2﹣1=109．（2）log2+log212﹣log242+=+=+=﹣=0．点评：本题考查指数和对数的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意运算法则的合理运用．18．（13分）已知集合A={x|x2﹣5x﹣6＜0}，集合B={x|6x2﹣5x+1≥0}，集合（1）求A∩B；（2）若A∪C=C，求实数m的取值范围．考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：（1）由A={x|x2﹣5x﹣6＜0}={x|﹣1＜x＜6}，集合B={x|6x2﹣5x+1≥0}={x|x，或x}，能求出A∩B．（2）由A∪C=C，知A⊆C，由此能求出m的取值范围．解答：解：（1）∵A={x|x2﹣5x﹣6＜0}={x|﹣1＜x＜6}，集合B={x|6x2﹣5x+1≥0}={x|x，或x}，∴A∩B={x|﹣1＜x，或}．（2）∵集合={x|m＜x＜m+9}，A∪C=C，∴A⊆C，∴，解得﹣3≤m≤﹣1．∴m的取值范围是{m|﹣3≤m≤﹣1}．点评：本题考查函数的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．19．（12分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）的值域．考点：复合函数的单调性；函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）设t=3+2x﹣x2，则．求出f（x）的定义域，先研究t，y的单调性，再根据复合函数单调性的判定方法即可求得f（x）的单调区间，注意定义域；（Ⅱ）在f（x）的定义域内先求函数t=﹣（x﹣1）2+4的值域，再结合为y=log2t的单调性即可求得f（x）的值域；解答：解：（Ⅰ）设t=3+2x﹣x2，则．由t=3+2x﹣x2＞0得x2﹣2x﹣3＜0，即（x+1）（x﹣3）＜0，解得﹣1＜x＜3．因为t=﹣（x﹣1）2+4，所以抛物线的对称轴为x=1．当x∈（﹣1，1]时，t是x的增函数，y是t的减函数；当x∈[1，3）时，t是x的减函数，y是t的减函数．所以，函数f（x）的单调递增区间为[1，3），单调递减区间为（﹣1，1]．（Ⅱ）如图：由（Ⅰ）知t=﹣（x﹣1）2+4，当x=1时，t max=4．又因为y=log2t在（0，4]上是减函数，所以当t max=4时，．故函数f（x）的值域为[﹣2，+∞）．点评：本题考查复合函数的单调性、对数函数、二次函数的性质及函数值域的求解，属中档题，判断复合函数单调性的方法：“同增异减”．20．（12分）设函数y=f（x）的定义域为R，并且满足f（x+y）=f（x）+f（y），，且当x＞0时，f（x）＞0．（1）求f（0）的值；（2）判断函数的奇偶性；（3）如果f（x）+f（2+x）＜2，求x取值范围．考点：抽象函数及其应用；奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由函数满足f（x+y）=f（x）+f（y），令x=y=0，能求出f（0）．（2）由y=f（x）的定义域为R，f（x+y）=f（x）+f（y），f（0）=0，令y=﹣x，能推导出f（x）是奇函数．（3）利用单调性的定义，结合足f（x+y）=f（x）+f（y），可得函数的单调性，进而将抽象不等式转化为具体不等式，即可求解．解答：解：（1）∵函数满足f（x+y）=f（x）+f（y），∴令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0．∴f（0）=0．…3分．（2）∵y=f（x）的定义域为R，f（x+y）=f（x）+f（y），f（0）=0，∴y=﹣x，得f（﹣x）+f（x）=f（0）=0，∴f（x）是奇函数．…6分（3）∵f（x+y）=f（x）+f（y），，且当x＞0时，f（x）＞0．f（x1）=f（x2）+f（x1﹣x2），令x1＞x2，则f（x1）＞f（x2），所以函数单调递增，∵f（x）+f（2+x）＜2，∴，∴x取值范围是（﹣∞，﹣）．…12分点评：本题考查抽象函数及其应用，考查函数的奇偶性与单调性，考查解不等式，考查赋值法的运用，确定函数的单调性是关键．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣4x+a+3，g（x）=mx+5﹣2m（1）当a=﹣3，m=0时，求方程f（x）﹣g（x）=0的解；（2）若方程f（x）=0在[﹣1，1]上有实数根，求实数a的取值范围；（3）当a=0时，若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：（1）直接把a=﹣3，m=0代入方程，求解一元二次方程得答案；（2）求出函数f（x）的对称轴，得到f（x）在区间[﹣1，1]上是减函数，由函数在区间[﹣1，1]上存在零点得不等式组，求解不等式组得实数a的取值范围；（3）把对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）=g（x2）成立转化为函数y=f（x）的值域为函数y=g（x）的值域的子集，然后求g（x）的值域得答案．解答：解：（1）当a=﹣3，m=0时，求方程f（x）﹣g（x）=0化为x2﹣4x﹣5=0，解得：x=﹣1或x=5；（2）∵函数f（x）=x2﹣4x+a+3的对称轴是x=2，∴f（x）在区间[﹣1，1]上是减函数，∵函数在区间[﹣1，1]上存在零点，则必有：，即，解得﹣8≤a≤0．故所求实数a的取值范围为[﹣8，0]；（3）若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）=g（x2）成立，只需函数y=f（x）的值域为函数y=g（x）的值域的子集．f（x）=x2﹣4x+3，x∈[1，4]的值域为[﹣1，3]，下面求g（x）=mx+5﹣2m的值域．①当m=0时，g（x）=5﹣2m为常数，不符合题意舍去；②当m＞0时，g（x）的值域为[5﹣m，5+2m]，要使[﹣1，3]⊆[5﹣m，5+2m]，需，解得m≥6；③当m＜0时，g（x）的值域为[5+2m，5﹣m]，要使[﹣1，3]⊆[5+2m，5﹣m]，需，解得m≤﹣3．综上，m的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪[6，+∞）．点评：本题考查了函数的零点，考查了函数恒成立问题，训练了数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，是中档题．。
2020-2021上海复旦大学第二附属中学高一数学上期中一模试卷(及答案)
2020-2021上海复旦大学第二附属中学高一数学上期中一模试卷(及答案)一、选择题1．已知函数f (x )＝23,0{log ,0x x x x ≤>那么f 1(())8f 的值为( )A ．27B ．127C ．－27D ．－1272．f (x)＝－x 2＋4x ＋a ，x∈[0,1]，若f (x)有最小值－2，则f (x)的最大值( ) A ．－1B ．0C ．1D ．23．函数()ln f x x x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，若实数a 满足()()120f a f a +->，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,1-B ．()0,1C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭5．设函数3()f x x x =+ ，. 若当02πθ<<时，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1(,1]2B ．1(,1)2C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞6．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递增，且为奇函数，若(1)1f =，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）． A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]7．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝{x |14x x +-＞0}，那么集合A ∩(∁U B )＝( )A ．{x |－2≤x ＜4}B ．{x |x ≤3或x ≥4}C ．{x |－2≤x ＜－1}D ．{x |－1≤x ≤3}8．已知函数2221,2,()2,2,x x x x f x x -⎧-++<=⎨≥⎩且存在三个不同的实数123,,x x x ，使得123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围为（ ）A ．(4,5)B ．[4,5)C ．(4,5]D ．[4,5]9．已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a << 10．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b11．三个数0.377,0.3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>12．函数()245f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞B ．[]2,4C ．[]0,4D ．(]2,4二、填空题13．函数的定义域是 . 14．设函数21()ln(1||)1f x x x=+-+，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是_____.15．已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．16．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,则不等式()()1ln f f x <的解集是________.17．函数()f x 的定义域是__________．18．已知函数()x xf x e e -=-，对任意的[3,3]k ∈-，(2)()0f kx f x -+<恒成立，则x的取值范围为______.19．若幂函数()af x x =的图象经过点1(3)9，，则2a -=__________.20．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程()(1,2,3,4)i f x i =关于时间(0)x x ≥的函数关系式分别为1()21x f x =-，22()f x x =，3()f x x =，42()log (1)f x x =+，有以下结论：①当1x >时，甲走在最前面； ②当1x >时，乙走在最前面；③当01x <<时,丁走在最前面，当1x >时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为 （把正确结论的序号都填上,多填或少填均不得分）．三、解答题21．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike ”计划在甲、乙两座城市共投资160万元，根据行业规定，每个城市至少要投资30万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P 与投入(a 单位：万元)满足6P =，乙城市收益Q 与投入(b 单位：万元)满足124Q b =+，设甲城市的投入为(x 单位：万元)，两个城市的总收益为()(f x 单位：万元)．（1）写出两个城市的总收益()(f x 万元)关于甲城市的投入(x 万元)的函数解析式，并求出当甲城市投资72万元时公司的总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？22．已知二次函数()f x 满足(1)()2f x f x x +-=（x ∈R ），且(0)1f =． （1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()2g x f x tx =-在区间[1,5]-上是单调函数，求实数t 的取值范围； （3）若关于x 的方程()f x x m =+有区间(1,2)-上有一个零点，求实数m 的取值范围． 23．已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><，在同一周期内，当12x π=时，()f x 取得最大值4：当712x π=时，()f x 取得最小值4-. （1）求函数()f x 的解析式； （2）若,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()()21h x f x t =+-有两个零点，求实数t 的取值范围. 24．已知函数24()(0,1)2x x a af x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数.（1）求a 的值：（2）求函数()f x 的值域；（3）当[]1,2x ∈时，()220xmf x +->恒成立，求实数m 的取值范围.25．若()f x 是定义在(0,)+∞上的函数，且满足()()()x f f x f y y=-， 当1x >时，()0f x >. （1）判断并证明函数的单调性；（2）若(2)1f =，解不等式1(3)()2f x f x+-<. 26．已知集合A={x|x ＜-1，或x ＞2}，B={x|2p-1≤x≤p+3}． （1）若p=12，求A∩B； （2）若A∩B=B，求实数p 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】利用分段函数先求f （1)8）的值，然后在求出f 1(())8f 的值． 【详解】 f＝log 2＝log 22－3＝－3，f＝f (－3)＝3－3＝.【点睛】本题主要考查分段函数求值以及指数函数、对数函数的基本运算，属基础题．2．C解析：C 【解析】因为对称轴2[0,1]x =∉，所以min max ()(0)2()(1)31f x f a f x f a ===-∴==+= 选C.3．A解析：A 【解析】 【分析】从图象来看图象关于原点对称或y 轴对称，所以分析奇偶性，然后再用特殊值确定. 【详解】因为函数()ln f x x x =是奇函数，排除C ，D 又因为2x = 时()0f x >，排除B 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数的图象的判断，还考查了数形结合的思想，属于基础题.4．B解析：B 【解析】 【分析】求出函数()y f x =的定义域，分析函数()y f x =的单调性与奇偶性，将所求不等式变形为()()21f a f a >-，然后利用函数()y f x =的单调性与定义域可得出关于实数a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围. 【详解】对于函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，有1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，则函数()y f x =的定义域为()1,1-，定义域关于原点对称，()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-，所以，函数()y f x =为奇函数，由于函数()1ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数，函数()2ln 1y x =-在区间()1,1-上为减函数，所以，函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--在()1,1-上为增函数， 由()()120f a f a +->得()()()1221f a f a f a >--=-，所以，11112121a a a a -<<⎧⎪-<-<⎨⎪>-⎩，解得01a <<.因此，实数a 的取值范围是()0,1. 故选：B. 【点睛】本题考查函数不等式的求解，解答的关键就是分析函数的单调性和奇偶性，考查计算能力，属于中等题.5．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】易得()f x 是奇函数，2()310()f x x f x '=+>⇒在R 上是增函数，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立. 可得11(sin )(1)sin 1,0sin 111sin 1sin f m f m m m m m θθθθθ>-⇒>-⇒<<<⇒⇒≤--， 故选D.6．D解析：D 【解析】 【分析】【详解】()f x 是奇函数，故()()111f f -=-=- ；又()f x 是增函数，()121f x -≤-≤，即()(1)2(1)f f x f -≤-≤ 则有121x -≤-≤ ，解得13x ≤≤ ，故选D.【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为()(1)2f f x -≤-(1)f ≤，再利用单调性继续转化为121x -≤-≤，从而求得正解.7．D解析：D 【解析】依题意A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞4}，故∁U B ＝{x |－1≤x ≤4}，故A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x ≤3}，故选D.8．A解析：A 【解析】不妨设123x x x <<，当2x <时，()()212f x x =--+，此时二次函数的对称轴为1x =，最大值为2，作出函数()f x 的图象如图，由222x -=得3x =，由()()()123f x f x f x ==，，且1212x x +=，即122x x +=，12332,x x x x ∴++=+ 由图可知3323,425x x <<∴<+<， 即123x x x ++的取值范围是()4,5，故选A.9．B解析：B 【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.10．B解析：B 【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gclog c ,log c lg a lg b==，01c <<Q ，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用cy x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.11．B解析：B 【解析】试题分析：根据指数函数和对数函数的单调性知：0.30771a =>=，即1a >；7000.30.31b <=<=，即01b <<；ln0.3ln10c =<=，即0c <；所以a b c >>，故正确答案为选项B ．考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法．12．B解析：B 【解析】 【分析】由函数的解析式可得函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1，当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5，结合题意求得m 的范围． 【详解】∵函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1， 当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5．且f （x ）＝x 2﹣4x +5在区间[0，m ]上的最大值为5，最小值为1， ∴实数m 的取值范围是[2，4]， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质应用，利用函数图像解题是关键，属于中档题．二、填空题13．【解析】试题分析：要使函数有意义需满足函数定义域为考点：函数定义域解析：[]3,1-【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足2232023031x x x x x --≥∴+-≤∴-≤≤，函数定义域为[]3,1- 考点：函数定义域14．【解析】试题分析：由题意得函数的定义域为因为所以函数为偶函数当时为单调递增函数所以根据偶函数的性质可知：使得成立则解得考点：函数的图象与性质【方法点晴】本题主要考查了函数的图象与性质解答中涉及到函数解析：1(1)3， 【解析】试题分析：由题意得，函数21()ln(1)1f x x x=+-+的定义域为R ，因为()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，当0x >时，21()ln(1)1f x x x=+-+为单调递增函数，所以根据偶函数的性质可知：使得()(21)f x f x >-成立，则21x x >-，解得113x <<. 考点：函数的图象与性质.【方法点晴】本题主要考查了函数的图象与性质，解答中涉及到函数的单调性和函数的奇偶性及其简单的应用，解答中根据函数的单调性与奇偶性，结合函数的图象，把不等式()(21)f x f x >-成立，转化为21x x >-，即可求解，其中得出函数的单调性是解答问题的关键，着重考查了学生转化与化归思想和推理与运算能力，属于中档试题.15．-7【解析】分析：首先利用题的条件将其代入解析式得到从而得到从而求得得到答案详解：根据题意有可得所以故答案是点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小来确定有关参数值的问题在求解的过程中需解析：-7 【解析】分析：首先利用题的条件()31f =，将其代入解析式，得到()()2391f log a =+=，从而得到92a +=，从而求得7a =-，得到答案.详解：根据题意有()()2391f log a =+=，可得92a +=，所以7a =-，故答案是7-. 点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.16．【解析】由定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数可得函数在区间上是增函数所以由不等式得即或解得或即不等式的解集是;故答案为解析：()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭【解析】由定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,可得函数()f x 在区间()0+∞，上是增函数,所以由不等式()()1ln f f x <得ln 1x >,即ln 1x >或ln 1x <-,解得x e >或10e x <<,即不等式()()1ln f f x <的解集是()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭;故答案为()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭. 17．【解析】由得所以所以原函数定义域为故答案为 解析：(],0-∞【解析】由120x -≥，得21x ≤，所以0x ≤，所以原函数定义域为(],0-∞，故答案为(],0-∞.18．【解析】【分析】先判断函数的单调性和奇偶性根据单调性和奇偶性化简题目所给不等式利用一次函数的性质求得的取值范围【详解】由于故函数为奇函数而为上的增函数故由有所以即将主变量看成（）表示一条直线在上纵坐解析：11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】先判断函数()f x 的单调性和奇偶性，根据单调性和奇偶性化简题目所给不等式，利用一次函数的性质，求得x 的取值范围. 【详解】由于()()f x f x -=-故函数为奇函数，而()1xxf x e e =-为R 上的增函数，故由(2)()0f kx f x -+<，有()()()2f kx f x f x -<-=-，所以2kx x -<-，即20xk x +-<，将主变量看成k （[3,3]k ∈-），表示一条直线在[]3,3-上纵坐标恒小于零，则有320320x x x x -+-<⎧⎨+-<⎩，解得112x -<<.所以填11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性的运用，考查化归与转化的数学思想方法，考查一元一次不等式组的解法，属于中档题.19．【解析】由题意有：则：解析：14【解析】 由题意有：13,29aa =∴=-， 则：()22124a--=-=. 20．③④⑤【解析】试题分析：分别取特值验证命题①②；对数型函数的变化是先快后慢当x=1时甲乙丙丁四个物体又重合从而判断命题③正确；指数函数变化是先慢后快当运动的时间足够长最前面的动物一定是按照指数型函数解析：③④⑤ 【解析】试题分析：分别取特值验证命题①②；对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而判断命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体；结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知命题④正确．解：路程f i （x ）（i=1，2，3，4）关于时间x （x≥0）的函数关系是：，，f 3（x ）=x ，f 4（x ）=log 2（x+1），它们相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数，和对数型函数模型． 当x=2时，f 1（2）=3，f 2（2）=4，∴命题①不正确； 当x=4时，f 1（5）=31，f 2（5）=25，∴命题②不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而可知当0＜x ＜1时，丁走在最前面，当x ＞1时，丁走在最后面， 命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴命题⑤正确．结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，命题④正确． 故答案为③④⑤．考点：对数函数、指数函数与幂函数的增长差异．三、解答题21．（1）()142364f x x x =-+，30130x ≤≤，66万元（2）甲城市投资128万元，乙城市投资32万元 【解析】 【分析】() 1由题知，甲城市投资x 万元，乙城市投资160x -万元，求出函数的解析式，利用当甲城市投资72万元时公司的总收益；()()12364f x x =-+，30130x ≤≤，令t =，则t ∈，转化为求函数2,6143y t t ∈=-++最值，即可得出结论．【详解】()1由题知，甲城市投资x 万元，乙城市投资160x -万元，所以()()11616023644f x x x =+-+=-+， 依题意得3016030x x ≥⎧⎨-≥⎩，解得30130x ≤≤，故()1364f x x =-+，30130x ≤≤， 当72x =时，此时甲城市投资72万元，乙城市投资88万元，所以总收益()136664f x x =-+=． ()()12364f x x =-+，30130x ≤≤令t =t ∈．2,6143y t t ∈=-++当t =，即128x =万元时，y 的最大值为68万元， 故当甲城市投资128万元，乙城市投资32万元时， 总收益最大，且最大收益为68万元． 【点睛】本题考查实际问题的应用，二次函数的性质以及换元法的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．22．（1）2()1f x x x =-+；（2）39,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（3）{}0[1,4)⋃．【解析】试题分析：（1）设2()f x ax bx c =++（0a ≠）代入(1)()2f x f x x +-=得22ax a b x ++=对于x ∈R 恒成立，列出方程，求得,,a b c 的值，即可求解函数的解析式；（2）由()g x ，根据函数()g x 在[1,5]-上是单调函数，列出不等式组，即可求解实数t 的取值范围；（3）由方程()f x x m =+得2210x x m -+-=，令2()21h x x x m =-+-，即要求函数()h x 在(1,2)-上有唯一的零点，分类讨论即可求解实数m 的取值范围．试题解析：（1）设2()f x ax bx c =++（0a ≠）代入(1)()2f x f x x +-=得22ax a b x ++=对于x ∈R 恒成立，故220a a b =⎧⎨+=⎩， 又由(0)1f =得1c =，解得1a =，1b =-，1c =，所以2()1f x x x =-+；（2）因为22221(21)()()2(21)1124t t g x f x tx x t x ++⎛⎫=-=-++=-+- ⎪⎝⎭， 又函数()g x 在[1,5]-上是单调函数，故2111t +≤-或2151t +≥， 解得32t ≤-或92t ≥，故实数t 的取值范围是39,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（3）由方程()f x x m =+得2210x x m -+-=，令2()21h x x x m =-+-，(1,2)x ∈-，即要求函数()h x 在(1,2)-上有唯一的零点， ①(1)0h -=，则4m =，代入原方程得1x =-或3，不合题意；②若(2)0h =，则1m =，代入原方程得0x =或2，满足题意，故1m =成立； ③若0∆=，则0m =，代入原方程得1x =，满足题意，故0m =成立；④若4m ≠且1m ≠且0m ≠时，由(1)40{(2)10h m h m -=->=-<得14m <<，综上，实数m 的取值范围是{}0[1,4)⋃． 考点：函数的解析式；函数的单调性及其应用．23．（1）()4sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）19t +< 【解析】 【分析】（1）根据三角函数性质确定振幅、周期以及初相，即得解析式； （2）先确定23x π+范围，再结合正弦函数图象确定实数t 满足的条件，解得结果.【详解】（1）解：由题意知74,212122T A πππ==-=，得周期T π= 即2ππω=得，则2ω=，则()()4sin 2f x x ϕ=+当12x π=时，()f x 取得最大值4，即4sin 2412πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，得πsin φ16骣琪+=琪桫得2()62k k Z ππϕπ+=+∈，，得23()k k Z πϕπ=+∈，,ϕπ<∴Q 当0k =时，=3πϕ，因此()4sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）()()210h x f x t =+-=，即()12t f x -= 当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，则220,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦当232x ππ+=时，4sin42π=要使()12t f x -=有两个根，则142t -≤<，得19t +≤<即实数t 的取值范围是19t +< 【点睛】本题考查三角函数解析式以及利用正弦函数图象研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题.24．（1）2a =（2）()1,1-（3）(10,3)+∞ 【解析】 【分析】（1）利用函数是奇函数的定义求解a 即可(2)判断函数的单调性，求解函数的值域即可(3)利用函数恒成立，分离参数m ,利用换元法，结合函数的单调性求解最大值，推出结果即可. 【详解】（1）∵()f x 是R 上的奇函数， ∴()()f x f x -=-即：242422x x x x a a a aa a a a ---+-+=-++. 即2(4)2422x x x x a a a a a a a a+-+⋅-+-=+⋅+整理可得2a =.（2）222212()12222121x x x x xf x ⋅--===-⋅+++在R 上递增 ∵211x +>，22021x∴-<-<+, 211121x ∴-<-<+∴函数()f x 的值域为()1,1-. （3）由()220xmf x +->可得，()2 2xmf x >-，21()2221x x x mf x m -=>-+.当[]1,2x ∈时，(21)(22)21x x xm +->- 令(2113)x t t -=≤≤）， 则有(2)(1)21t t m t t t +->=-+， 函数21y t t=-+在1≤t ≤3上为增函数， ∴max 210(1)3t t -+=， 103m ∴>， 故实数m 的取值范围为(10,3)+∞ 【点睛】本题主要考查了函数恒成立条件的应用，函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，属于中档题.25．（1）增函数,证明见解析；（2）{|01}x x << 【解析】 试题分析：(1)由题意结合所给的抽象函数关系可由120x x >>时有()()120f x f x ->，即()f x 在定义域内为增函数；(2)原问题等价于x 的不等式组(3)43010x x x x⎧⎪+<⎪+>⎨⎪⎪>⎩，求解不等式组可得01x <<.试题解析： （1）增函数证明：令12,x x y x ==，且120x x >>，则121x x > 由题意知：1122()()()x f f x f x x =- 又∵当x >1时，()0f x > ∴12()0x f x > ∴()()120f x f x -> ∴()f x 在定义域内为增函数(2)令x =4,y =2 由题意知：4()(4)(2)2f f f =- ∴()()422122f f ==⨯=()13()((3))(4)f x f f x x f x+-=+<又∵()f x 是增函数，可得(3)43010x x x x⎧⎪+<⎪+>⎨⎪⎪>⎩ ∴01x <<.点睛：抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法． 26．（1）722x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；（2）34.2p p ><-或 【解析】 【分析】(1)根据集合的交集得到结果即可；（2）当A∩B=B 时，可得B ⊆A ，分B 为空集和不为空集两种情况即可. 【详解】 （1）当时，B={x |0≤x ≤}， ∴A∩B={x |2＜x ≤}；（2）当A ∩B=B 时，可得B ⊆A ； 当时，令2p -1＞p +3，解得p ＞4，满足题意； 当时，应满足解得； 即综上，实数p 的取值范围．【点睛】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集;（2）看这些元素满足什么限制条件;（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．。
2020-2021学年上海市复旦附中青浦分校高一(上)月考数学试卷(10月份)(附答案详解)
2020-2021学年上海市复旦附中青浦分校高一（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1. 设不等式√f(x)>g(x)的解集为M ，不等式组{g(x)≥0f(x)>g 2(x)的解集为N ，则M 、N 之间的关系为( )A. M =NB. M ⊇NC. M ⊆ND. M 、N 互不包含2. 已知a 1，a 2，b 1，b 2均为非零实数，集合A ={x|a 1x +b 1>0}，B ={x|a 2x +b 2>0}，则“a 1a 2=b1b 2”是“A =B ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 著名的孪生素数猜想指出：“存在无穷多个素数p ，使得p +2是素数”，用反证法研究该猜想，对于应假设的内容，下列说法正确的是( )A. 只有有限多个素数p ，使得p +2是合数B. .存在无穷多个素数p ，使得p +2是合数C. 对任意正数n ，存在素数p >n ，使得p +2是合数D. 存在正数n ，对任意素数p >n ，p +2是合数4. 设a ∈R ，若不等式|x 2+1x |+|x 2−1x |+ax ≥4x −8恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. [−2,12]B. [−2,10]C. [−4,4]D. [−4,12]二、单空题（本大题共12小题，共60.0分）5. 若集合A ={y|y =x 2−1}，B ={y|y =−x 2−2x}，则A ∩B =______．6. 设集合A ={x|x ∈N|65−x ∈N}，则集合A 的子集的个数是 ． 7. 若a ，b ∈R ，则“(a −b)a 2>0”是“a >b ”的______条件．8. 设a ，b ，c ∈R ，已知不等式ax 2+bx +c <0解集为(2,3)，则不等式cx 2−bx −a >0的解集为______．9. 不等式(2x +1)(x +3)(5−x)>0的解集为______． 10. 不等式(x+7)2x−2≥0的解集为______．11.不等式|2x2−x |≥2xx−2的解集为______．12.不等式(x−1)√x2−x−2≤0的解集为______．13.若不等式x2+mx>x+m对任意m∈(−3,1)恒成立，则实数x的取值范围是______．14.已知集合M={x|ax−5x2−a<0}，若3∈M，5∉M，则实数a的取值范围是______．15.已知−1<a<b<2，则2b−a2的范围是______．16.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数).若不等式f(x)≥2ax+b的解集为R，则b2a2+c2的最大值为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.设集合A={x|x2−3x+2=0}，B={x|x2+2(a+1)x+(a2−5)=0}(1)若A∩B={2}，求实数a的值；(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围；(3)若U=R，A∩(∁U B)=A，求实数a的取值范围．18.设f(x)=(m+1)x2−mx+m−1，m∈R．(1)若方程f(x)=0有实根，求实数m的取值范围；(2)若不等式f(x)>0的解集为⌀，求实数m的取值范围；(3)若不等式f(x)>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．19.某品牌饮料原来每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶．(1)据市场调查，若售价每提高1元，月销售量将相应减少2000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润=月销售总收入−月总成本)，该饮料每瓶售价最多为多少元？(2)为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价x(x≥16)元，并投入334(x−16)万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少0.45(x−15)2万瓶，则当每瓶售价x为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．20.已知关于x的不等式(kx−k2−5)(x−4)>0，(k∈R)设Z为整数集．(1)求不等式的解集A；(2)对于上述集合A，设B=A∩Z，探究B能否为有限集？若能，求出使B元素个数最少时的k的所有取值，及此时的集合B，若不能，请说明理由．21.已知U⊆R为一个数集，集合A={s2+3t2|s,t∈U}．(1)设U={1,3,5}，求集合A的元素个数；(2)设U=Z，证明：若x∈A，则7x∈A；(3)设U=R，x，y∈A，且x=m2+3n2，y=p2+3q2，若mp−3nq=√3，求x+y+mq+np的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：不等式组{g(x)≥0f(x)>g 2(x)等价于{g(x)≥0√f(x)>g(x)，因为不等式√f(x)>g(x)的解集为M ，不等式组{g(x)≥0f(x)>g 2(x)的解集为N ，所以M ⊇N ． 故选：B ．将不等式组等价转化为{g(x)≥0√f(x)>g(x)，结合子集的定义，判断即可．本题考查了不等式的解法，解题的关键是将不等式组进行等价转化，考查了逻辑推理能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵a 1a 2=b1b 2∴取a 1=1，a 2=−1，b 1=−1，b 2=1，A ≠B而A =B ⇒a 1a 2=b1b 2∴“a 1a 2=b1b 2”是“A =B ”的必要不充分条件故选B先根据a 1a 2=b1b 2，进行赋值说明此时A ≠B ，然后根据“M ⇒N ，M 是N 的充分不必要条件，N 是M 的必要不充分条件”，进行判定即可．本题主要考查了以不等式为载体考查两集合相等的充要条件，以及赋值法的运用，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：∵存在无穷多个素数p ，使得p +2是素数的否定为存在正数n ，对任意素数p >n ，p +2是合数，∴应假设存在正数n ，对任意素数p >n ，p +2是合数． 故选：D ．根据已知条件，结合反证法的定义，即可求解．本题主要考查反证法的应用，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：|x2+1x |+|x2−1x|+ax≥4x−8恒成立，即为|x2+1x |+|x2−1x|+8≥(4−a)x恒成立，当x>0时，可得4−a≤|x+1x2|+|x−1x2|+8x的最小值，由|x+1x2|+|x−1x2|+8x≥|x+1x2+x−1x2|+8x=2x+8x≥2√2x⋅8x=8，当且仅当x=2取得最小值8，即有4−a≤8，则a≥−4；当x<0时，可得4−a≥−[|x+1x2|+|x−1x2|−8x]的最大值，由|−x+1x2|+|−x−1x2|−8x≥−2x−8x≥2√2x⋅8x=8，当且仅当x=−2取得最大值−8，即有4−a≥−8，则a≤12，综上可得−4≤a≤12．故选：D．由题意可得|x2+1x |+|x2−1x|+8≥(4−a)x恒成立，讨论x>0，x<0，运用基本不等式，可得最值，进而得到所求范围．本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和分类讨论思想，以及基本不等式，考查转化思想和运算能力，属于难题．5.【答案】[−1,1]【解析】解：集合A={y|y=x2−1}={y|y≥−1}，B={y|y=−x2−2x}={y|y=−(x+1)2+1}={y|y≤1}，则A∩B=[−1,1]，故答案为：[−1,1]．求函数的值域得出集合A、B，再根据交集的定义求A∩B．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．6.【答案】8【解析】【分析】由题意，可求集合A中有2，3，4三个元素．进而可得正确答案．本题考查集合的子集个数问题，对于集合的子集问题：一般来说，若集合中有n个元素，则集合的子集共有2n个．【解答】∈N，则5−x必为6的正约数，解：由于65−x∴5−x=1，2，3，6，∴x=4，3，2，−1；又x∈N，∴x=4，3，2．故集合A={2,3,4}，所以集合A子集个数为8个．故答案为：8．7.【答案】充分不必要【解析】解：∵(a−b)a2>0，又∵a2>0，∴a−b>0，即a>b，故(a−b)a2>0能推出a>b，令a=0，b=−1，满足a>b，但(a−b)a2=0，故a>b不能推出(a−b)a2>0，综上所述，“(a−b)a2>0”是“a>b”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．根据已知条件，结合不等式的性质，即可求解．本题主要考查充分性和必要性，以及不等式的性质，属于基础题．,+∞)8.【答案】(−∞,−1)∪(16【解析】解：∵不等式ax2+bx+c<0解集为(2,3)，∴a>0，且{−ba=5 ca=6，∴b=−5a，c=6a，∴不等式cx2−bx−a>0可化为6ax2+5ax−a>0，又∵a>0，∴6x2+5x−1>0，解得x<−1或x>16，即不等式cx2−bx−a>0的解集为(−∞,−1)∪(16,+∞)．故答案为：(−∞,−1)∪(16,+∞)．根据题意结合韦达定理可知a>0，且b=−5a，c=6a，代入所求不等式，解出x的取值范围即可．本题主要考查了解一元二次不等式，考查了韦达定理的应用，是基础题．9.【答案】(−∞,−3)∪(−12,5)【解析】解：由简单的高次不等式的解法——穿根法可知，不等式(2x+1)(x+3)(5−x)>0的解集为(−∞,−3)∪(−12,5)．故答案为：(−∞,−3)∪(−12,5)．直接利用简单的高次不等式的解法——穿根法，求解即可．本题考查了简单的高次不等式的解法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．10.【答案】{x|x=−7或x>2}【解析】解：不等式(x+7)2x−2≥0等价于{(x+7)2(x−2)≥0x−2≠0，解得x=−7或x>2，所以不等式的解集为{x|x=−7或x>2}．故答案为：{x|x=−7或x>2}．先将分式不等式进行等价转化，然后由简单的高次不等式的解法求解即可．本题考查了分式不等式以及简单的高次不等式的解法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．11.【答案】(−∞,2)∪(2,+∞)【解析】解：由|2x2−x |≥2xx−2，得|2xx−2|≥2xx−2， ∴2xx−2∈R ，即x ≠2．∴不等式|2x2−x |≥2xx−2的解集为(−∞,2)∪(2,+∞)． 故答案为：(−∞,2)∪(2,+∞)．由题意可知2x x−2∈R ，再由分母不为0得答案．本题考查绝对值不等式的解法，考查转化思想方法，是基础题．12.【答案】(−∞,−1]【解析】解：不等式(x −1)√x 2−x −2≤0等价于{x 2−x −2≥0x −1≤0，解得x ≤−1，所以不等式的解集为(−∞,−1]． 故答案为：(−∞,−1]．将不等式进行等价转化，得到{x 2−x −2≥0x −1≤0，求解即可．本题考查了不等式的解法，解题的关键是将不等式进行等价转化，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．13.【答案】(−∞,−1]∪[3,+∞)【解析】解：由不等式x 2+mx >x +m 对任意m ∈(−3,1)恒成立， 得(x −1)m +x 2−x >0对任意m ∈(−3,1)恒成立，令g(m)=(x −1)m +x 2−x ，得{g(−3)=−3(x −1)+x 2−x ≥0g(1)=x −1+x 2−x ≥0，即{x 2−4x +3≥0x 2−1≥0，解得x ≤−1或x ≥3． ∴实数x 的取值范围是(−∞,−1]∪[3,+∞)． 故答案为：(−∞,−1]∪[3,+∞)．把已知不等式变形，可得(x −1)m +x 2−x >0对任意m ∈(−3,1)恒成立，令g(m)=(x −1)m +x 2−x ，得{g(−3)≥0g(1)≥0，得到关于x 的不等式组求解．本题考查函数恒成立问题，考查化归与转化思想，更换主元是关键，是中档题．14.【答案】[1,53)∪(9,25]【解析】解：∵集合M ={x|ax−5x 2−a <0}， 得(ax −5)(x 2−a)<0， 当a =0时，显然不成立， 当a >0时，原不等式可化为 (x −5a )(x −√a)(x +√a)<0，若√a <5a 时，只需满足 {√a <3<5a a ≥1， 解得1≤a <53； 若√a >5a ，只需满足 {5a <3<√a √a ≤5， 解得 9<a ≤25，当a <0时，不符合条件， 综上，故答案为[1,53)∪(9,25]．根据分式不等式的解法，对实数a 进行分类讨论，然后结合条件3∈M ，5∉M 进行求解． 本题重点考查分式不等式的解法，不等式的性质及其应用和分类讨论思想的灵活运用，属于中档题．15.【答案】(−3,4)【解析】解：在平面直角坐标系中画出−1<a <b <2的可行域，如图，令z =2b −a 2，可得b =12a 2+12z ，它表示开口向上的二次函数，对称轴为b 轴，二次函数经过A ，B时，取得最值，A(0,2)，B(−1,−1)，所以2b −a 2的最大值为：4，最小值为：−3，因为A 、B 不在可行域内，所以2b −a 2的范围是：(−3,4)．故答案为：(−3,4)．画出−1<a <b <2不表示的可行域，然后利用2b −a 2的几何意义求解范围即可． 本题考查线性规划的实际应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．16.【答案】2√2−2【解析】解：ax 2+(b −2a)x +c −b ≥0(a >0)，△=(b −2a)2−4a(c −b)≤0，即b 2+4a 2−4ac ≤0，b 2≤4ac −4a 2，∴b 2a 2+c 2≤4ac−4a 2a 2+c 24ac −4a 2≤b 2，∴c ≥a ，求最大值、不妨令c =ka(k >1)∴4ac−4a 2a 2+c 2=4ka 2−4a 2k 2a 2+a 2=4k−1k 2+1(k >1)令k −1=t ，4ac−4a 2a 2+c 2=4t(t+1)2+1=41t+2t +2≤42√2+2=2√2−2即b 2a 2+c 2≤2√2−2，故答案为：2√2−2．根据不等式恒大于等于0，求出c ≥a ，令c =ka(k >1)，再根据基本不等式的性质求出代数式的最大值即可．本题考查了二次函数的性质，考查基本不等式的性质以及转化思想，是一道中档题．17.【答案】解：(1)∵A ∩B ={2}，∴2∈B ，代入B 中方程得a 2+4a +3=0，所以a =−1或a =−3(2分)当a=−1时，B={−2,2}，满足条件；当a=−3时，B={2}，也满足条件综上得a的值为−1或−3；(4分)(2)∵A∪B=A，∴B⊆A(5分)①当△=4(a+1)2−4(a2−5)=8(a+3)<0，即a<−3时，B=⌀满足条件②当△=0即a=−3时，B={2}，满足要求(6分)③当△>0，即a>−3时，B=A={1,2}才能满足要求，不可能故a的取值范围是a≤−3.(9分)(3)∵A∩(C U B)=A，∴A⊆(C U B)，∴A∩B=⌀(10分)①当△<0，即a<−3时，B=⌀，满足条件②当△=0即a=−3时，B={2}，A∩B={2}不适合条件③当△>0，即a>−3时，此时只需1∉B且2∉B将2代入B的方程得a=−1或a=−3将1代入B的方程得a=−1±√3∴a≠−1,a≠−3,a≠−1±√3(12分)综上，a的取值范围是a<−3或−3<a<−1−√3或−1−√3<a<−1或或−1< a<−1+√3或a>−1+√3(14分)【解析】(1)由题目中条件：“A∩B={2}”，知2是方程的一个根，由此可得实数a的值；(2)由题目中条件：“A∪B=A，”，知B⊆A，由此可得实数a的取值范围；(3)由题目中条件：“A∩(C U B)=A，”，知A∩B=⌀，由此可得实数a的取值范围．本题主要综合考查集合的交、并、补以及集合间的包含关系，属于中档题，解题时要善于进行转化．18.【答案】解：(1)若方程f(x)=0有实根，当m+1=0，即m=−1时，f(x)=x−2，f(x)=0有解；当m+1≠0，即m≠−1时，Δ=m2−4(m+1)(m−1)≥0，解得−2√33≤m≤2√33，且m≠−1．综上可得，m的取值范围是[−2√33,2√33]；(2)若m +1=0，即m =−1时，f(x)=x −2，f(x)>0的解为x >2，不符题意；若不等式f(x)>0的解集为⌀，只需m +1<0，且Δ=m 2−4(m +1)(m −1)≤0，解得m ≤−2√33，即m 的取值范围是(−∞,−2√33]； (3)若m +1=0，即m =−1时，f(x)=x −2，f(x)>0的解为x >2，不符题意；若不等式f(x)>0对一切实数x 恒成立，只需m +1>0，且Δ=m 2−4(m +1)(m −1)<0，解得m >2√33．即m 的取值范围是(2√33,+∞)．【解析】(1)考虑二次项系数是否为0，以及二次方程有实根的条件，解不等式可得所求范围；(2)考虑二次项系数是否为0，结合二次函数的图像和判别式的符号，解不等式可得所求范围；(3)考虑二次项系数是否为0，结合二次函数的图像和判别式的符号，解不等式可得所求范围．本题考查二次函数的图像和性质，以及不等式恒成立问题和方程有解问题，考查分类讨论思想和运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)设每瓶定价为t 元，依题意，有[8−(t −15)×0.2](t −10)≥5×8，整理得t 2−65t +750≤0，解得15≤t ≤50．因此要使销售的总收入不低于原收入，每瓶定价最多为50元．(2)设每瓶定价为x(x ≥16)元，月总利润为f(x)，则f(x)=(x −10)[8−(x −15)0.45(x−15)2]−334(x −16) =(x −10)[8−0.45(x−15)]−334x +132 =−14(x −15+15)−0.45(x−15+15)x−15+ 4.5x−15+52 =−[14(x −15)+2.25x−15]+47.8≤−2√14(x−15)2.25x−15+47.8=46.3当且仅当，当且仅当14(x−15)= 2.25x−15，即(x−15)2=9，∴x−15=3或x−15=−3(舍去)，所以x=18，因此当每瓶售价18元时，下月的月总利润最大，最大总利润为46.3万元．【解析】(1)设每瓶定价为t元，依题意列出[8−(t−15)×0.2](t−10)≥5×8，求解即可．(2)设每瓶定价为x(x≥16)元，月总利润为f(x)，得到函数的解析式，化简利用基本不等式求解最值即可．本题考查函数问题的实际应用，函数的解析式的求法以及基本不等式求解最值的方法的应用，是中档题．20.【答案】解：(1)当k=0时，A=(−∞,4]，当k>0，A=(−∞,4)∪(k+5k,+∞)，当k<0时，A=(k+5k,4)，(2)由(1)知，当k≥0时，集合B中的元素个数无限，当k<0时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集k<0时，k+5k≤−2√5，当且仅当k=−√5时取等号，又k∈Z，得k+5k∈[−4,4)，B={−4,−3,−2,−1,0,1,2,3}．【解析】(1)对k的讨论是本题解题的关键，考虑到方程类型，最高次项系数的正负及根的大小等因素，(2)由(1)的讨论为基础，继续分析B中元素的个数并比较元素最少的情况．本题考查的分类讨论的思想，这也是高中数学中经常考查的思想内容，属于容易题．21.【答案】解：(1)解：∵U ⊆R 为一个数集，集合A ={s 2+3t 2|s,t ∈U}． U ={1,3,5}，∴当s =t =1时，s 2+3t 2=1+3=4，当s =1，t =3时，s 2+3t 2=1+27=28，当s =3，t =1时，s 2+3t 2=9+3=12，当s =1，t =5时，s 2+3t 2=1+75=76，当s =5，t =1时，s 2+3t 2=25+3=28，当s =3，t =5时，s 2+3t 2=9+75=84，当s =5，t =3时，s 2+3t 2=25+27=52，当s =t =3时，s 2+3t 2=9+27=36，当s =t =5时，s 2+3t 2=25+75=100，∴A ={4,12,28,36,52,76,84,100}，8个．(2)证明：∵U =Z ，x ∈A ，∴x =s 2+3t 2，∴7x =7(s 2+3t 2)=7s 2+21t 2=(2s +3t)2+3(s −2t)2∈A ．∴7x ∈A ．(3)解：xy =(m 2+3n 2)(p 2+3q 2)=3(mq +np)2+(mp −3nq)2=3(mq +np)2+3， 设mq +np =6，∴y =3b 2+3x ，x +y +mq +np =x +3b 2+3x +b ≥2√3b 2+3+b ，设2√3b 2+3+b =t ，整理得11b 2+2bt +12−t 2=0，判别式法，△=4b 2−44(12−t 2)≥0，得t ≥√11，即(x +y +mq +np)min =√11．∴x +y +mq +np 的最小值为√11．【解析】(1)分别求出s =t =1、s =1，t =3、s =3，t =1、s =1，t =5、s =5，t =1、s =3，t =5、s =5，t =3、s =t =3、s =t =5时，s 2+3t 2的值，由此能求出集合A ．(2)由U =Z ，x ∈A ，求出x =s 2+3t 2，从而推导出7x =7(s 2+3t 2)=(2s +3t)2+3(s −2t)2，由此能证明7x ∈A ．(3)求出xy =(m 2+3n 2)(p 2+3q 2)=3(mq +np)2+3，设mq +np =6，推导出x +y +mq +np =x +3b 2+3x +b ≥2√3b 2+3+b ，设2√3b 2+3+b =t ，得11b 2+2bt +12−t 2=0，利用判别式法，能求出x +y +mq +np 的最小值．本题考查集合的求法，考查元素是集合中的元素的证明，考查代数式的最小值的求法，考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
2020-2021学年上海市复旦附中青浦分校高一(上)月考数学试卷(10月份)(附答案详解)
2020-2021学年上海市复旦附中青浦分校高一（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1. 设不等式√f(x)>g(x)的解集为M ，不等式组{g(x)≥0f(x)>g 2(x)的解集为N ，则M 、N 之间的关系为( )A. M =NB. M ⊇NC. M ⊆ND. M 、N 互不包含2. 已知a 1，a 2，b 1，b 2均为非零实数，集合A ={x|a 1x +b 1>0}，B ={x|a 2x +b 2>0}，则“a 1a 2=b1b 2”是“A =B ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 著名的孪生素数猜想指出：“存在无穷多个素数p ，使得p +2是素数”，用反证法研究该猜想，对于应假设的内容，下列说法正确的是( )A. 只有有限多个素数p ，使得p +2是合数B. .存在无穷多个素数p ，使得p +2是合数C. 对任意正数n ，存在素数p >n ，使得p +2是合数D. 存在正数n ，对任意素数p >n ，p +2是合数4. 设a ∈R ，若不等式|x 2+1x |+|x 2−1x |+ax ≥4x −8恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. [−2,12]B. [−2,10]C. [−4,4]D. [−4,12]二、单空题（本大题共12小题，共60.0分）5. 若集合A ={y|y =x 2−1}，B ={y|y =−x 2−2x}，则A ∩B =______．6. 设集合A ={x|x ∈N|65−x ∈N}，则集合A 的子集的个数是 ． 7. 若a ，b ∈R ，则“(a −b)a 2>0”是“a >b ”的______条件．8. 设a ，b ，c ∈R ，已知不等式ax 2+bx +c <0解集为(2,3)，则不等式cx 2−bx −a >0的解集为______．9. 不等式(2x +1)(x +3)(5−x)>0的解集为______． 10. 不等式(x+7)2x−2≥0的解集为______．11.不等式|2x2−x |≥2xx−2的解集为______．12.不等式(x−1)√x2−x−2≤0的解集为______．13.若不等式x2+mx>x+m对任意m∈(−3,1)恒成立，则实数x的取值范围是______．14.已知集合M={x|ax−5x2−a<0}，若3∈M，5∉M，则实数a的取值范围是______．15.已知−1<a<b<2，则2b−a2的范围是______．16.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数).若不等式f(x)≥2ax+b的解集为R，则b2a2+c2的最大值为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.设集合A={x|x2−3x+2=0}，B={x|x2+2(a+1)x+(a2−5)=0}(1)若A∩B={2}，求实数a的值；(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围；(3)若U=R，A∩(∁U B)=A，求实数a的取值范围．18.设f(x)=(m+1)x2−mx+m−1，m∈R．(1)若方程f(x)=0有实根，求实数m的取值范围；(2)若不等式f(x)>0的解集为⌀，求实数m的取值范围；(3)若不等式f(x)>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．19.某品牌饮料原来每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶．(1)据市场调查，若售价每提高1元，月销售量将相应减少2000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润=月销售总收入−月总成本)，该饮料每瓶售价最多为多少元？(2)为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价x(x≥16)元，并投入334(x−16)万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少0.45(x−15)2万瓶，则当每瓶售价x为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．20.已知关于x的不等式(kx−k2−5)(x−4)>0，(k∈R)设Z为整数集．(1)求不等式的解集A；(2)对于上述集合A，设B=A∩Z，探究B能否为有限集？若能，求出使B元素个数最少时的k的所有取值，及此时的集合B，若不能，请说明理由．21.已知U⊆R为一个数集，集合A={s2+3t2|s,t∈U}．(1)设U={1,3,5}，求集合A的元素个数；(2)设U=Z，证明：若x∈A，则7x∈A；(3)设U=R，x，y∈A，且x=m2+3n2，y=p2+3q2，若mp−3nq=√3，求x+y+mq+np的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：不等式组{g(x)≥0f(x)>g 2(x)等价于{g(x)≥0√f(x)>g(x)，因为不等式√f(x)>g(x)的解集为M ，不等式组{g(x)≥0f(x)>g 2(x)的解集为N ，所以M ⊇N ． 故选：B ．将不等式组等价转化为{g(x)≥0√f(x)>g(x)，结合子集的定义，判断即可．本题考查了不等式的解法，解题的关键是将不等式组进行等价转化，考查了逻辑推理能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵a 1a 2=b1b 2∴取a 1=1，a 2=−1，b 1=−1，b 2=1，A ≠B而A =B ⇒a 1a 2=b1b 2∴“a 1a 2=b1b 2”是“A =B ”的必要不充分条件故选B先根据a 1a 2=b1b 2，进行赋值说明此时A ≠B ，然后根据“M ⇒N ，M 是N 的充分不必要条件，N 是M 的必要不充分条件”，进行判定即可．本题主要考查了以不等式为载体考查两集合相等的充要条件，以及赋值法的运用，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：∵存在无穷多个素数p ，使得p +2是素数的否定为存在正数n ，对任意素数p >n ，p +2是合数，∴应假设存在正数n ，对任意素数p >n ，p +2是合数． 故选：D ．根据已知条件，结合反证法的定义，即可求解．本题主要考查反证法的应用，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：|x2+1x |+|x2−1x|+ax≥4x−8恒成立，即为|x2+1x |+|x2−1x|+8≥(4−a)x恒成立，当x>0时，可得4−a≤|x+1x2|+|x−1x2|+8x的最小值，由|x+1x2|+|x−1x2|+8x≥|x+1x2+x−1x2|+8x=2x+8x≥2√2x⋅8x=8，当且仅当x=2取得最小值8，即有4−a≤8，则a≥−4；当x<0时，可得4−a≥−[|x+1x2|+|x−1x2|−8x]的最大值，由|−x+1x2|+|−x−1x2|−8x≥−2x−8x≥2√2x⋅8x=8，当且仅当x=−2取得最大值−8，即有4−a≥−8，则a≤12，综上可得−4≤a≤12．故选：D．由题意可得|x2+1x |+|x2−1x|+8≥(4−a)x恒成立，讨论x>0，x<0，运用基本不等式，可得最值，进而得到所求范围．本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和分类讨论思想，以及基本不等式，考查转化思想和运算能力，属于难题．5.【答案】[−1,1]【解析】解：集合A={y|y=x2−1}={y|y≥−1}，B={y|y=−x2−2x}={y|y=−(x+1)2+1}={y|y≤1}，则A∩B=[−1,1]，故答案为：[−1,1]．求函数的值域得出集合A、B，再根据交集的定义求A∩B．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．6.【答案】8【解析】【分析】由题意，可求集合A中有2，3，4三个元素．进而可得正确答案．本题考查集合的子集个数问题，对于集合的子集问题：一般来说，若集合中有n个元素，则集合的子集共有2n个．【解答】∈N，则5−x必为6的正约数，解：由于65−x∴5−x=1，2，3，6，∴x=4，3，2，−1；又x∈N，∴x=4，3，2．故集合A={2,3,4}，所以集合A子集个数为8个．故答案为：8．7.【答案】充分不必要【解析】解：∵(a−b)a2>0，又∵a2>0，∴a−b>0，即a>b，故(a−b)a2>0能推出a>b，令a=0，b=−1，满足a>b，但(a−b)a2=0，故a>b不能推出(a−b)a2>0，综上所述，“(a−b)a2>0”是“a>b”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．根据已知条件，结合不等式的性质，即可求解．本题主要考查充分性和必要性，以及不等式的性质，属于基础题．,+∞)8.【答案】(−∞,−1)∪(16【解析】解：∵不等式ax2+bx+c<0解集为(2,3)，∴a>0，且{−ba=5 ca=6，∴b=−5a，c=6a，∴不等式cx2−bx−a>0可化为6ax2+5ax−a>0，又∵a>0，∴6x2+5x−1>0，解得x<−1或x>16，即不等式cx2−bx−a>0的解集为(−∞,−1)∪(16,+∞)．故答案为：(−∞,−1)∪(16,+∞)．根据题意结合韦达定理可知a>0，且b=−5a，c=6a，代入所求不等式，解出x的取值范围即可．本题主要考查了解一元二次不等式，考查了韦达定理的应用，是基础题．9.【答案】(−∞,−3)∪(−12,5)【解析】解：由简单的高次不等式的解法——穿根法可知，不等式(2x+1)(x+3)(5−x)>0的解集为(−∞,−3)∪(−12,5)．故答案为：(−∞,−3)∪(−12,5)．直接利用简单的高次不等式的解法——穿根法，求解即可．本题考查了简单的高次不等式的解法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．10.【答案】{x|x=−7或x>2}【解析】解：不等式(x+7)2x−2≥0等价于{(x+7)2(x−2)≥0x−2≠0，解得x=−7或x>2，所以不等式的解集为{x|x=−7或x>2}．故答案为：{x|x=−7或x>2}．先将分式不等式进行等价转化，然后由简单的高次不等式的解法求解即可．本题考查了分式不等式以及简单的高次不等式的解法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．11.【答案】(−∞,2)∪(2,+∞)【解析】解：由|2x2−x |≥2xx−2，得|2xx−2|≥2xx−2， ∴2xx−2∈R ，即x ≠2．∴不等式|2x2−x |≥2xx−2的解集为(−∞,2)∪(2,+∞)． 故答案为：(−∞,2)∪(2,+∞)．由题意可知2x x−2∈R ，再由分母不为0得答案．本题考查绝对值不等式的解法，考查转化思想方法，是基础题．12.【答案】(−∞,−1]【解析】解：不等式(x −1)√x 2−x −2≤0等价于{x 2−x −2≥0x −1≤0，解得x ≤−1，所以不等式的解集为(−∞,−1]． 故答案为：(−∞,−1]．将不等式进行等价转化，得到{x 2−x −2≥0x −1≤0，求解即可．本题考查了不等式的解法，解题的关键是将不等式进行等价转化，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．13.【答案】(−∞,−1]∪[3,+∞)【解析】解：由不等式x 2+mx >x +m 对任意m ∈(−3,1)恒成立， 得(x −1)m +x 2−x >0对任意m ∈(−3,1)恒成立，令g(m)=(x −1)m +x 2−x ，得{g(−3)=−3(x −1)+x 2−x ≥0g(1)=x −1+x 2−x ≥0，即{x 2−4x +3≥0x 2−1≥0，解得x ≤−1或x ≥3． ∴实数x 的取值范围是(−∞,−1]∪[3,+∞)． 故答案为：(−∞,−1]∪[3,+∞)．把已知不等式变形，可得(x −1)m +x 2−x >0对任意m ∈(−3,1)恒成立，令g(m)=(x −1)m +x 2−x ，得{g(−3)≥0g(1)≥0，得到关于x 的不等式组求解．本题考查函数恒成立问题，考查化归与转化思想，更换主元是关键，是中档题．14.【答案】[1,53)∪(9,25]【解析】解：∵集合M ={x|ax−5x 2−a <0}， 得(ax −5)(x 2−a)<0， 当a =0时，显然不成立， 当a >0时，原不等式可化为 (x −5a )(x −√a)(x +√a)<0，若√a <5a 时，只需满足 {√a <3<5a a ≥1， 解得1≤a <53； 若√a >5a ，只需满足 {5a <3<√a √a ≤5， 解得 9<a ≤25，当a <0时，不符合条件， 综上，故答案为[1,53)∪(9,25]．根据分式不等式的解法，对实数a 进行分类讨论，然后结合条件3∈M ，5∉M 进行求解． 本题重点考查分式不等式的解法，不等式的性质及其应用和分类讨论思想的灵活运用，属于中档题．15.【答案】(−3,4)【解析】解：在平面直角坐标系中画出−1<a <b <2的可行域，如图，令z =2b −a 2，可得b =12a 2+12z ，它表示开口向上的二次函数，对称轴为b 轴，二次函数经过A ，B时，取得最值，A(0,2)，B(−1,−1)，所以2b −a 2的最大值为：4，最小值为：−3，因为A 、B 不在可行域内，所以2b −a 2的范围是：(−3,4)．故答案为：(−3,4)．画出−1<a <b <2不表示的可行域，然后利用2b −a 2的几何意义求解范围即可． 本题考查线性规划的实际应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．16.【答案】2√2−2【解析】解：ax 2+(b −2a)x +c −b ≥0(a >0)，△=(b −2a)2−4a(c −b)≤0，即b 2+4a 2−4ac ≤0，b 2≤4ac −4a 2，∴b 2a 2+c 2≤4ac−4a 2a 2+c 24ac −4a 2≤b 2，∴c ≥a ，求最大值、不妨令c =ka(k >1)∴4ac−4a 2a 2+c 2=4ka 2−4a 2k 2a 2+a 2=4k−1k 2+1(k >1)令k −1=t ，4ac−4a 2a 2+c 2=4t(t+1)2+1=41t+2t +2≤42√2+2=2√2−2即b 2a 2+c 2≤2√2−2，故答案为：2√2−2．根据不等式恒大于等于0，求出c ≥a ，令c =ka(k >1)，再根据基本不等式的性质求出代数式的最大值即可．本题考查了二次函数的性质，考查基本不等式的性质以及转化思想，是一道中档题．17.【答案】解：(1)∵A ∩B ={2}，∴2∈B ，代入B 中方程得a 2+4a +3=0，所以a =−1或a =−3(2分)当a=−1时，B={−2,2}，满足条件；当a=−3时，B={2}，也满足条件综上得a的值为−1或−3；(4分)(2)∵A∪B=A，∴B⊆A(5分)①当△=4(a+1)2−4(a2−5)=8(a+3)<0，即a<−3时，B=⌀满足条件②当△=0即a=−3时，B={2}，满足要求(6分)③当△>0，即a>−3时，B=A={1,2}才能满足要求，不可能故a的取值范围是a≤−3.(9分)(3)∵A∩(C U B)=A，∴A⊆(C U B)，∴A∩B=⌀(10分)①当△<0，即a<−3时，B=⌀，满足条件②当△=0即a=−3时，B={2}，A∩B={2}不适合条件③当△>0，即a>−3时，此时只需1∉B且2∉B将2代入B的方程得a=−1或a=−3将1代入B的方程得a=−1±√3∴a≠−1,a≠−3,a≠−1±√3(12分)综上，a的取值范围是a<−3或−3<a<−1−√3或−1−√3<a<−1或或−1< a<−1+√3或a>−1+√3(14分)【解析】(1)由题目中条件：“A∩B={2}”，知2是方程的一个根，由此可得实数a的值；(2)由题目中条件：“A∪B=A，”，知B⊆A，由此可得实数a的取值范围；(3)由题目中条件：“A∩(C U B)=A，”，知A∩B=⌀，由此可得实数a的取值范围．本题主要综合考查集合的交、并、补以及集合间的包含关系，属于中档题，解题时要善于进行转化．18.【答案】解：(1)若方程f(x)=0有实根，当m+1=0，即m=−1时，f(x)=x−2，f(x)=0有解；当m+1≠0，即m≠−1时，Δ=m2−4(m+1)(m−1)≥0，解得−2√33≤m≤2√33，且m≠−1．综上可得，m的取值范围是[−2√33,2√33]；(2)若m +1=0，即m =−1时，f(x)=x −2，f(x)>0的解为x >2，不符题意；若不等式f(x)>0的解集为⌀，只需m +1<0，且Δ=m 2−4(m +1)(m −1)≤0，解得m ≤−2√33，即m 的取值范围是(−∞,−2√33]； (3)若m +1=0，即m =−1时，f(x)=x −2，f(x)>0的解为x >2，不符题意；若不等式f(x)>0对一切实数x 恒成立，只需m +1>0，且Δ=m 2−4(m +1)(m −1)<0，解得m >2√33．即m 的取值范围是(2√33,+∞)．【解析】(1)考虑二次项系数是否为0，以及二次方程有实根的条件，解不等式可得所求范围；(2)考虑二次项系数是否为0，结合二次函数的图像和判别式的符号，解不等式可得所求范围；(3)考虑二次项系数是否为0，结合二次函数的图像和判别式的符号，解不等式可得所求范围．本题考查二次函数的图像和性质，以及不等式恒成立问题和方程有解问题，考查分类讨论思想和运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)设每瓶定价为t 元，依题意，有[8−(t −15)×0.2](t −10)≥5×8，整理得t 2−65t +750≤0，解得15≤t ≤50．因此要使销售的总收入不低于原收入，每瓶定价最多为50元．(2)设每瓶定价为x(x ≥16)元，月总利润为f(x)，则f(x)=(x −10)[8−(x −15)0.45(x−15)2]−334(x −16) =(x −10)[8−0.45(x−15)]−334x +132 =−14(x −15+15)−0.45(x−15+15)x−15+ 4.5x−15+52 =−[14(x −15)+2.25x−15]+47.8≤−2√14(x−15)2.25x−15+47.8=46.3当且仅当，当且仅当14(x−15)= 2.25x−15，即(x−15)2=9，∴x−15=3或x−15=−3(舍去)，所以x=18，因此当每瓶售价18元时，下月的月总利润最大，最大总利润为46.3万元．【解析】(1)设每瓶定价为t元，依题意列出[8−(t−15)×0.2](t−10)≥5×8，求解即可．(2)设每瓶定价为x(x≥16)元，月总利润为f(x)，得到函数的解析式，化简利用基本不等式求解最值即可．本题考查函数问题的实际应用，函数的解析式的求法以及基本不等式求解最值的方法的应用，是中档题．20.【答案】解：(1)当k=0时，A=(−∞,4]，当k>0，A=(−∞,4)∪(k+5k,+∞)，当k<0时，A=(k+5k,4)，(2)由(1)知，当k≥0时，集合B中的元素个数无限，当k<0时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集k<0时，k+5k≤−2√5，当且仅当k=−√5时取等号，又k∈Z，得k+5k∈[−4,4)，B={−4,−3,−2,−1,0,1,2,3}．【解析】(1)对k的讨论是本题解题的关键，考虑到方程类型，最高次项系数的正负及根的大小等因素，(2)由(1)的讨论为基础，继续分析B中元素的个数并比较元素最少的情况．本题考查的分类讨论的思想，这也是高中数学中经常考查的思想内容，属于容易题．21.【答案】解：(1)解：∵U ⊆R 为一个数集，集合A ={s 2+3t 2|s,t ∈U}． U ={1,3,5}，∴当s =t =1时，s 2+3t 2=1+3=4，当s =1，t =3时，s 2+3t 2=1+27=28，当s =3，t =1时，s 2+3t 2=9+3=12，当s =1，t =5时，s 2+3t 2=1+75=76，当s =5，t =1时，s 2+3t 2=25+3=28，当s =3，t =5时，s 2+3t 2=9+75=84，当s =5，t =3时，s 2+3t 2=25+27=52，当s =t =3时，s 2+3t 2=9+27=36，当s =t =5时，s 2+3t 2=25+75=100，∴A ={4,12,28,36,52,76,84,100}，8个．(2)证明：∵U =Z ，x ∈A ，∴x =s 2+3t 2，∴7x =7(s 2+3t 2)=7s 2+21t 2=(2s +3t)2+3(s −2t)2∈A ．∴7x ∈A ．(3)解：xy =(m 2+3n 2)(p 2+3q 2)=3(mq +np)2+(mp −3nq)2=3(mq +np)2+3， 设mq +np =6，∴y =3b 2+3x ，x +y +mq +np =x +3b 2+3x +b ≥2√3b 2+3+b ，设2√3b 2+3+b =t ，整理得11b 2+2bt +12−t 2=0，判别式法，△=4b 2−44(12−t 2)≥0，得t ≥√11，即(x +y +mq +np)min =√11．∴x +y +mq +np 的最小值为√11．【解析】(1)分别求出s =t =1、s =1，t =3、s =3，t =1、s =1，t =5、s =5，t =1、s =3，t =5、s =5，t =3、s =t =3、s =t =5时，s 2+3t 2的值，由此能求出集合A ．(2)由U =Z ，x ∈A ，求出x =s 2+3t 2，从而推导出7x =7(s 2+3t 2)=(2s +3t)2+3(s −2t)2，由此能证明7x ∈A ．(3)求出xy =(m 2+3n 2)(p 2+3q 2)=3(mq +np)2+3，设mq +np =6，推导出x +y +mq +np =x +3b 2+3x +b ≥2√3b 2+3+b ，设2√3b 2+3+b =t ，得11b 2+2bt +12−t 2=0，利用判别式法，能求出x +y +mq +np 的最小值．本题考查集合的求法，考查元素是集合中的元素的证明，考查代数式的最小值的求法，考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
2019-2020学年上海市复旦附中高一(上)期中数学试卷(解析版)
2019-2020学年上海市复旦附中高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分48分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已知集合A＝{2，0，1，9}，则集合A的非空真子集的个数为．2．U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{x|x2﹣1≤0，x∈Z}，B＝{x|﹣1≤x≤3，x∈Z}，则（∁U A）∩B＝．3．不等式﹣2＜＜3的解集是．4．设集合T＝{∅，{∅}}，则下列命题：①∅∈T，②∅⊆T，②{∅}∈T，④{∅}⊆T中正确的是（写出所有正确命题对应的序号）．5．若集合，则实数a的取值范围是．6．如果全集U含有12个元素，P，Q都是U的子集，P∩Q中含有2个元素，∁U P∩∁U Q 含有4个元素，∁U P∩Q含有3个元素，则P含有个元素．7．已知Rt△ABC的周长为定值2，则它的面积最大值为．8．若f（x）在区间[t，t2﹣2t﹣2]上为奇函数，则实数t的值为．9．已知不等式|x﹣3|﹣|x+4|＜a解集非空，则实数a的取值范围为．10．对于集合M，定义函数，对于两个集合A，B，定义集合A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}．已知集合，B＝{x|x（x﹣3）（x+3）＞0}，则A*B＝．11．若实数x，y≥0满足x+3y﹣xy＝1，求3x+4y的最小值为．12．已知a＞0，且对任意x＞0，有（x﹣a）（x2+bx﹣a）≥0恒成立，则的取值范围为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是（）A．若q不正确，则p不正确B．若q不正确，则p正确C．若p正确，则q不正确D．若p正确，则q正确14．已知a，b∈R，则“|a|＜1，|b|＜1”是“不等式ab+1＞a+b”成立的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既不充分又不必要15．定义在R上的偶函数f（x）满足对任意x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有，则当n∈N*时，有（）A．f（﹣n）＜f（n﹣1）＜f（n+1）B．f（n﹣1）＜f（﹣n）＜f（n+1）C．f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1）D．f（n+1）＜f（n﹣1）＜f（﹣n）16．设集合P1＝{x|x2+ax+1＞0}，P2＝{x|x2+ax+2＞0}，Q1＝{x|x2+x+b＞0}，Q2＝{x|x2+2x+b ＞0}，其中a，b∈R，下列说法正确的是（）A．对任意a，P1是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集B．对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集C．存在a，P1不是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集D．存在a，P1不是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集三、解答题（本大题共有5题，满分38分）17．已知集合A＝{x|x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0}，B＝{x|2x2+（3n+1）x+2＝0}，其中m，n∈R．（1）若A∩B＝A，求m，n的值；（2）若A∪B＝A，求m，n的取值范围．18．设a＞0，b＞0，且．求证：（1）a+b≥2；（2）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．19．如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？20．已知函数，（1）判断f（x）的奇偶性，并给出理由；（2）当a＝2时，①判断f（x）在x∈（0，1]上的单调性并用定义证明；②若对任意x∈（0，+∞），不等式恒成立，求实数m的取值范围．21．设函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x∈[0，+∞）时，f（x）＝﹣x2+2x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求实数a，b，使得函数f（x）在区间[a，b]⊆[1，+∞）上的值域为；（3）若函数f（x）在区间[a，b]上的值域为，则记所有满足条件的区间[a，b]的并集为D，设g（x）＝f（x）（x∈D），问是否存在实数m，使得集合{（x，y）|y＝g （x）}∩{（x，y）|y＝x2+m}恰含有2个元素？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．2019-2020学年上海市复旦附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分48分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已知集合A＝{2，0，1，9}，则集合A的非空真子集的个数为14．【解答】解：∵集合A＝{2，0，1，9}，∴集合A的非空真子集的个数为：24﹣2＝14．故答案为：14．2．U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{x|x2﹣1≤0，x∈Z}，B＝{x|﹣1≤x≤3，x∈Z}，则（∁U A）∩B＝{2，3}．【解答】解：∵A＝{x|x2﹣1≤0，x∈Z}＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1≤x≤3，x∈Z}＝{﹣1，0，1，2，3}，∴∁U A＝{x|x≤﹣2，或x≥2，x∈Z}，∴（∁U A）∩B＝{2，3}，故答案为{2，3}．3．不等式﹣2＜＜3的解集是{x|x或0＜x}．【解答】解：∵﹣2＜＜3，当x＞0时，﹣2x＜1＜3x，解可得，，∴，当x＜0时，﹣2x＞1＞3x，解可得，x，综上可得，不等式的解集为{x|x或0＜x}．故答案为：{x|x或0＜x}．4．设集合T＝{∅，{∅}}，则下列命题：①∅∈T，②∅⊆T，②{∅}∈T，④{∅}⊆T中正确的是①②③④（写出所有正确命题对应的序号）．【解答】解：∵T＝{∅，{∅}}，∴∅∈T，∅⊆T，{∅}∈T，{∅}⊆T．故答案为：①②③④．5．若集合，则实数a的取值范围是（﹣∞，3]．【解答】解：由题意可得，x2+2（a+1）x+a2﹣5≥0恒成立，∴△＝4（a+1）2﹣4（a2﹣5）≤0，解可得，a≤﹣3，故答案为：（﹣∞，3]6．如果全集U含有12个元素，P，Q都是U的子集，P∩Q中含有2个元素，∁U P∩∁U Q 含有4个元素，∁U P∩Q含有3个元素，则P含有5个元素．【解答】解：由全集U含有12个元素，P，Q都是U的子集，P∩Q中含有2个元素，∁U P∩∁U Q含有4个元素，∁U P∩Q含有3个元素，作出维恩图，图中数字代表集合中包含的元素的个数，由维恩图结合题意得：4+x+2+3＝12，解得x＝3．∴集合P中含有的元素个数为：2+x＝2+3＝5．故答案为：5．7．已知Rt△ABC的周长为定值2，则它的面积最大值为3﹣2．【解答】解：设直角边长为a，b，则斜边长为，∵直角三角形ABC的三边之和为2，∴a+b+＝2，∴2≥2+，∴≤＝2﹣，∴ab≤6﹣4，∴S＝ba≤3﹣2，∴△ABC的面积的最大值为3﹣2．故答案为：3﹣2．8．若f（x）在区间[t，t2﹣2t﹣2]上为奇函数，则实数t的值为﹣1．【解答】解：由奇函数的定义域关于原点对称可知，t+t2﹣2t﹣2＝0，且t2﹣2t﹣2＞0，∴t2﹣t﹣2＝0，解可得t＝2（舍）或t＝﹣1，故答案为：﹣1．9．已知不等式|x﹣3|﹣|x+4|＜a解集非空，则实数a的取值范围为（﹣7，+∞）．【解答】解：不等式|x﹣3|﹣|x+4|＜a解集非空，所以|x﹣3|﹣|x+4|的最小值小于a，又|x﹣3|﹣|x+4|≥﹣7，此时x≥3∴a＞﹣7故答案为：（﹣7，+∞）．10．对于集合M，定义函数，对于两个集合A，B，定义集合A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}．已知集合，B＝{x|x（x﹣3）（x+3）＞0}，则A*B＝（﹣∞，1）∪（3，+∞）．【解答】解：A＝（﹣∞，1），B＝（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞），f A（x）•f B（x）＝﹣1，当f A（x）＝1，f B（x）＝﹣1，A*B＝B，当f A（x）＝﹣1，f B（x）＝1，A*B＝[﹣3，1），故A*B＝（﹣∞，1）∪（3，+∞），故答案为：（﹣∞，1）∪（3，+∞）．11．若实数x，y≥0满足x+3y﹣xy＝1，求3x+4y的最小值为．【解答】解：由x+3y﹣xy＝1，得；x+3y﹣xy＝1≥0，，，当y＞1时，；当时，设，＝在[]上单调递减，在处取得最小值，3x+4y取得最小值，综上可得3x+4y取得最小值，故答案为：．12．已知a＞0，且对任意x＞0，有（x﹣a）（x2+bx﹣a）≥0恒成立，则的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．【解答】解：∵对任意x＞0，有（x﹣a）（x2+bx﹣a）≥0恒成立，∴x＝a是方程x2+bx﹣a＝0的根，即a2+ab﹣a＝0，又a＞0，则a+b﹣1＝0，∴（b，a）可理解为直线a+b﹣1＝0上纵坐标大于0的点，则的几何意义即为直线a+b ﹣1＝0上纵坐标大于0的点与原点连线的斜率，如图，直线a+b﹣1＝0的斜率为﹣1，由图象可知，．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是（）A．若q不正确，则p不正确B．若q不正确，则p正确C．若p正确，则q不正确D．若p正确，则q正确【解答】解：命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题是：“若q不正确，则p不正确”其等价命题是它的逆否命题，即“若p正确，则q正确”故选：D．14．已知a，b∈R，则“|a|＜1，|b|＜1”是“不等式ab+1＞a+b”成立的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既不充分又不必要【解答】解：∵“不等式ab+1＞a+b”成立等价于“ab+1﹣a﹣b＝（b﹣1）（a﹣1）＞0”，∴当“|a|＜1，|b|＜1时，则（b﹣1）（a﹣1）＞0成立；当（b﹣1）（a﹣1）＞0时，有a＞1且b＞1；或者a＜1且b＜1；故“|a|＜1，|b|＜1”是“不等式ab+1＞a+b”成立的充分非必要条件；故选：A．15．定义在R上的偶函数f（x）满足对任意x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有，则当n∈N*时，有（）A．f（﹣n）＜f（n﹣1）＜f（n+1）B．f（n﹣1）＜f（﹣n）＜f（n+1）C．f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1）D．f（n+1）＜f（n﹣1）＜f（﹣n）【解答】解：根据题意，函数f（x）是偶函数，且在（﹣∞，0]递增，（0，+∞）递减，因为0＜n﹣1＜n＜n+1，所以f（n﹣1）＞f（n）＞f（n+1），故选：C．16．设集合P1＝{x|x2+ax+1＞0}，P2＝{x|x2+ax+2＞0}，Q1＝{x|x2+x+b＞0}，Q2＝{x|x2+2x+b ＞0}，其中a，b∈R，下列说法正确的是（）A．对任意a，P1是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集B．对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集C．存在a，P1不是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集D．存在a，P1不是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集【解答】解：对于集合P1＝{x|x2+ax+1＞0}，P2＝{x|x2+ax+2＞0}，可得当m∈P1，即m2+am+1＞0，可得m2+am+2＞0，即有m∈P2，可得对任意a，P1是P2的子集；当b＝5时，Q1＝{x|x2+x+5＞0}＝R，Q2＝{x|x2+2x+5＞0}＝R，可得Q1是Q2的子集；当b＝1时，Q1＝{x|x2+x+1＞0}＝R，Q2＝{x|x2+2x+1＞0}＝{x|x≠﹣1且x∈R}，可得Q1不是Q2的子集．综上可得，对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集．故选：B．三、解答题（本大题共有5题，满分38分）17．已知集合A＝{x|x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0}，B＝{x|2x2+（3n+1）x+2＝0}，其中m，n∈R．（1）若A∩B＝A，求m，n的值；（2）若A∪B＝A，求m，n的取值范围．【解答】解：（1）集合A＝{x|x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0}，B＝{x|2x2+（3n+1）x+2＝0}，其中m，n∈R．解x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0得：x＝2，或x＝m+1，若A∩B＝A，则A⊆B，将x＝2代入2x2+（3n+1）x+2＝0得：n＝﹣2，则B＝{x|2x2+（3n+1）x+2＝0，n∈R}＝{x|2x2﹣5x+2＝0}＝{2，}．则m+1＝，则m＝﹣，当A＝{2}时，m+1＝2，解得m＝1，综上m＝﹣，n＝﹣2，或m＝1，n＝﹣2．（2）若A∪B＝A，则非空集合B⊆A，当△＝（3n+1）2﹣16＝0时，n＝﹣，B＝{1}，m+1＝1，m＝0，或n＝1时，B＝{﹣1}，m+1＝﹣1，m＝﹣2；当△＝（3n+1）2﹣16≥0，即n≤﹣，或n≥1时，则2∈B，由（1）得：m＝﹣，n ＝﹣2；当△＝（3n+1）2﹣16＜0时，即﹣时，B＝∅，对m∈R，故成立，综上，或或或．18．设a＞0，b＞0，且．求证：（1）a+b≥2；（2）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．【解答】证明：（1）由，得ab＝1，由基本不等式及ab＝1，有，即a+b≥2．（2）假设a2+a＜2与b2+b＜2同时成立，则a2+a＜2且b2+b＜2，则a2+a+b2+b＜4，即：（a+b）2+a+b﹣2ab＜4，由（1）知ab＝1因此（a+b）2+a+b＜6①而a+b≥2，因此（a+b）2+a+b≥6②，因此①②矛盾，因此假设不成立，原结论成立．19．如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？【解答】解：（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，它的面积y＝x（l﹣3x）；由x＞0，且l﹣3x＞0，可得函数的定义域为（0，）；（2）y＝x（l﹣3x）＝×3x（l﹣3x）≤×（）2＝，当x＝时，这块长方形场地的面积最大，这时的长为l﹣3x＝l，最大面积为．20．已知函数，（1）判断f（x）的奇偶性，并给出理由；（2）当a＝2时，①判断f（x）在x∈（0，1]上的单调性并用定义证明；②若对任意x∈（0，+∞），不等式恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当a＝0时，f（x）＝x2，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，此时f（﹣x）＝f（x）∴f（x）为偶函数；当a≠0时，，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，此时f（1）＝1+a，f（﹣1）＝1﹣a，故f（﹣1）≠f（1），f（﹣1）≠﹣f（1），∴f（x）无奇偶性．（2），任取0＜x1＜x2≤1，则＝，∵0＜x1＜x2≤1，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，x1x2（x1+x2）＜2，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，所以f（x）在区间（0，1]上是递减．（3）由题意得，由（2）知f（x）在区间（0，1]上是递减，同理可得f（x）在区间[1，+∞）上递增，所以f（x）min＝f（1）＝3，所以，即，令，则t2﹣t﹣2＜0，解得﹣1＜t＜2，故0≤t＜2即，即1≤m＜5．21．设函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x∈[0，+∞）时，f（x）＝﹣x2+2x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求实数a，b，使得函数f（x）在区间[a，b]⊆[1，+∞）上的值域为；（3）若函数f（x）在区间[a，b]上的值域为，则记所有满足条件的区间[a，b]的并集为D，设g（x）＝f（x）（x∈D），问是否存在实数m，使得集合{（x，y）|y＝g （x）}∩{（x，y）|y＝x2+m}恰含有2个元素？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为f（x）是奇函数，令x＜0，则﹣x＞0，所以f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+2（﹣x）＝﹣x2﹣2x＝﹣f（x），所以x＜0时，f（x）＝x2+2x，所以f（x）＝；（2）由（1）可知，当[a，b]⊆[1，+∞）时，f（x）＝﹣（x﹣1）2+1，函数f（x）单调递减，则有，解得a＝1，b＝，（3）由（2）知，函数f（x）在[1，+∞）上满足条件的区间为[1，]当区间[a，b]⊆[0，1]时，⊆[1，+∞），而函数f（x）＝﹣x2+2x在[0，1]上的值域为[0，1]，所以函数f（x）在[0，1]上不存在这样的区间，故函数f（x）在[0，+∞）上满足条件的区间为[1，]．当x∈（﹣∞，0）时，同理可知f（x）的倒值区间为[﹣，﹣1]．故g（x）＝．若集合{（x，y）|y＝g（x）}∩{（x，y）|y＝x2+m}恰含有2个元素，即函数g（x）的图象与y＝x2+m的图象有两个不同的交点，则这两个交点分别在第一、三象限，故当交点在第一象限时，方程﹣x2+2x＝x2+m即m＝﹣2x2+2x在区间[1，]内恰有一个解，此时有﹣2≤m≤0；当交点在第三象限时，方程x2+2x＝x2+m即m＝2x在区间[﹣，﹣1]内恰有一个解，有﹣﹣1≤m≤﹣2；综上可得，m＝﹣2．。
2020-2021学年上海市复旦附中高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1．（4分）函数2()(2)f x log x =-的定义域为 ．2．（4分）不等式2233(1)(31)x x ->+的解集为 ．3．（4分）函数2()log (31)f x x =+，[0x ∈，5]的反函数是 ． 4．（4分）对于实数a ，b ，c ，d ，定义&||&a bad bc c d-=．设函数22(1)&1()||&1log x f x log x --=，则方程()1f x =的解为 ．5．（4分）若函数()1axf x x =+在区间(0,)+∞是严格增函数，则实数a 的取值范围是 ． 6．（4分）已知函数24()1,f x min log x x ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，若函数()()g x f x =-恰有两个零点，则的取值范围为 ．7．（5分）已知函数15()||(0)2f x x x x =+->，则()f x 的递减区间是 ． 8．（5分）若函数()232x x f x -=+⋅的图象关于直线x m =成轴对称图形，则m = ． 9．（5分）若关于x 的不等式1|2|02x xm --<在区间[0，1]内恒成立，则实数m 的范围 ． 10．（5分）已知函数22()(815)()(f x x x ax bx c a =++++，b ，)c R ∈是偶函数，若方程21ax bx c ++=在区间[1，2]上有解，则实数a 的取值范围是 ．11．（5分）若函数22()(0)1x x a f x x x ++=+的值域为[a ，)+∞，则实数a 的取值范围是 ． 12．（5分）已知集合[A t =，1][4t t ++，9]t +，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A aλ∈，则t 的值是 ．二、选择题（本大题共4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13．（5分）已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x <时，()3x f x =，则函数()f x 的值域为( ) A ．(1,1)-B ．[0，1)C ．RD ．[0，1]14．（5分）中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2(1)SC Wlog N=+，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至5000，则C 大约增加了( )A ．20%B ．23%C ．28%D ．50%15．（5分）若函数1()f x lnx a x=-+在区间(1,)e （其中 2.71828)e =⋯上存在零点，则常数a 的取值范围( ) A ．01a <<B ．11a e <<C ．111a e -<<D ．111a e+<<16．（5分）设函数()f x 的定义域是R ，已知以下三个陈述句：p ：存在R α∈且0a ≠，对任意的x R ∈，均有(2)(2)x a x f f f -<+（a ）恒成立；1:()q f x 严格递减，且()0f x >恒成立；2:()q f x 严格递增，存在00x <，使得0()0f x =．用这三个陈述句组成了两个命题，命题S ：“若1q ，则P ”；命题T ：“若2q ，则P ”，则关于S ，T ，以下说法正确的是( ) A ．两个命题S ，T 都是真命题 B ．只有命题S 是真命题 C ．只有命题T 是真命题D ．两个命题S ，T 都不是真命题三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）已知函数21()(51)m h x m m x +=-+为幂函数，且为奇函数． （1）求m 的值；（2）求函数()()g x h x =+在1[1,]2x ∈-的值域．18．（14分）已知函数12()||h x log x =．（1）求()h x 在11[,]()22a a >上的最大值；（2）设函数()f x 的定义域为I ，若存在区间A I ⊆，满足：对任何1x A ∈，都存在2x A ∈（其中A 表示A 在I 上的补集）使得12()()f x f x =，则称区间A 为()f x 的“Γ区间”．已知121()||([,2])2h x log x x =∈，若1(,)2A a =函数()h x 的“Γ区间”，求a 的最大值． 19．（14分）新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为400万元，每生产x 万箱，需另投入成本()p x 万元，当产量不足60万箱时，21()502p x x x =+；当产量不小于60万箱时，6400()1011860p x x x=+-，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完． （1）求口罩销售利润y （万元）关于产量x （万箱）的函数关系式； （2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？ 20．（16分）设0a >，函数1()12xf x a =+⋅． （1）若1a =，求()f x 的反函数1()f x -；（2）求函数()()y f x f x =⋅-的最大值（用a 表示）；（3）设()()(1)g x f x f x =--．若对任意(x ∈-∞，0]，()(0)g x g 恒成立，求a 的取值范围． 21．（18分）已知函数()||f x x x a =-，其中a 为常数． （1）当1a =时，解不等式()2f x <；（2）若()f x 是奇函数，判断并证明()f x 的单调性；（3）若在[0，2]上存在2021个不同的实数(1i x i =，2，⋯，2021)，122021x x x <<⋯<，使得122320202021|()()||()()||()()|8f x f x f x f x f x f x -+-+⋯+-=，求实数a 的取值范围．2020-2021学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1．（4分）函数2()(2)f x log x =-的定义域为 (2,4) ．【解答】解：由函数2()(2)f x log x +-，可得4020x x ->⎧⎨->⎩，求得24x <<， 可得定义域为(2,4)， 故答案为：(2,4)．2．（4分）不等式2233(1)(31)x x ->+的解集为 (1,0)- ． 【解答】解：2233(1)(31)x x ->+，22(1)(31)x x ∴->+，2221961x x x x ∴-+>++， 2880x x ∴+<，即8(1)0x x +<，解得：10x -<<， 故答案为：(1,0)-．3．（4分）函数2()log (31)f x x =+，[0x ∈，5]的反函数是 123y =⨯13x -，[0x ∈，4] ．【解答】解：函数2()log (31)f x x =+，[0x ∈，5]，所以函数的值域为[0，4]，312y x +=，可得123x =⨯13y -，所以函数2()log (31)f x x =+，[0x ∈，5]的反函数是：123y =⨯13x -，[0x ∈，4]．故答案为：123y =⨯13x -，[0x ∈，4]．4．（4分）对于实数a ，b ，c ，d ，定义&||&a bad bc c d-=．设函数22(1)&1()||&1log x f x log x --=，则方程()1f x =的解为 2x = ． 【解答】解：222222(1)&1()||log (1)log ()1&1log x f x x x log x x log x --==-+=-=，即22x x -=，且1x >，解得2x =．故答案为：2x =． 5．（4分）若函数()1axf x x =+在区间(0,)+∞是严格增函数，则实数a 的取值范围是 (0,)+∞ ． 【解答】解：设120x x >>， 则1212121212()()()11(1)(1)ax ax a x x f x f x x x x x --=-=++++， 若函数()1axf x x =+在区间(0,)+∞是严格增函数， 则121212()()()0(1)(1)a x x f x f x x x --=>++，110x +>，210x +>，120x x ->，0a ∴>，故答案为：(0,)+∞．6．（4分）已知函数24()1,f x min log x x ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，若函数()()g x f x =-恰有两个零点，则的取值范围为 (1,2) ． 【解答】解设41y x=+，2log y x =， 则41y x=+在(0,)+∞上为减函数，2log y x =在(0,)+∞上为增函数， 当4x =时，41112y x=+=+=，2log 42y ==，此时两个函数值相等， 当04x <时，24log 1x x+，此时2()log (f x x =∈-∞，2]， 当4x >时，24log 1x x >+，此时4()1(1,2)f x x =+∈，即函数22,(0.4]4()1,41,(4,)log x x f x min log x x x x∈⎧⎪⎧⎫=+=⎨⎬⎨+∈+∞⎩⎭⎪⎩．若函数()()g x f x =-恰有两个零点， 则()()0g x f x =-=，即()f x =，恰有两个根，作出函数()f x 与y =的图象，由图象知若两个图象有两个不同的交点， 则12<<，故实数的取值范围是(1,2)， 故答案为：(1,2)．7．（5分）已知函数15()||(0)2f x x x x =+->，则()f x 的递减区间是 1(0,)2，(1,2) ．【解答】解：画出函数()f x 的图象，如图示：，结合图象，函数()f x 在1(0,)2，(1,2)递减，故答案为：1(0,)2，(1,2)．8．（5分）若函数()232x x f x -=+⋅的图象关于直线x m =成轴对称图形，则m = 212log ． 【解答】解：由题意可知0>，因为函数()232x x f x -=+⋅的图象关于直线x m =成轴对称图形， 则()f x m +为偶函数，图象关于y 轴对称， 故()()f m x f m x -=+恒成立， 所以220m m --⋅=，解得212m log =．故答案为：212log ．9．（5分）若关于x 的不等式1|2|02x xm --<在区间[0，1]内恒成立，则实数m 的范围 322m << ． 【解答】解：由1|2|02x x m --<，得1|2|2xxm -<， ∴11222xx xm -<-<， 即112222x x x x m -<<+在区间[0，1]内恒成立， 函数1()22x x f x =-在区间[0，1]内单调递增，()f x ∴的最大值为32； 令1()22x x g x =+，2(12)x t t =， 则1y t t =+在[1，2]上为增函数，由内函数2x t =为增函数，1()22x xg x ∴=+在区间[0，1]内单调递增，()g x 的最小值为2． ∴322m <<． 故答案为：322m <<． 10．（5分）已知函数22()(815)()(f x x x ax bx c a =++++，b ，)c R ∈是偶函数，若方程21ax bx c ++=在区间[1，2]上有解，则实数a 的取值范围是 11[,]83 ．【解答】解：22()(815)()f x x x ax bx c =++++是偶函数，图象关于y 轴对称，令28150x x ++=可得，3x =-或5x =-，根据偶函数图象的对称性可知，3，5是20ax bx c ++=的两个根， 815b ac a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴158c a b a =⎧⎨=-⎩，由21ax bx c ++=可得，28151ax ax a -+=， [1x ∈，2]时，2815[3x x -+∈，8]，2111[,]81583a x x ∴=∈-+ 故答案为：11[,]83．11．（5分）若函数22()(0)1x x af x x x ++=+的值域为[a ，)+∞，则实数a 的取值范围是 (-∞，2] ．【解答】解：函数222(1)11()1111x x a x a a f x x x x x ++++--===+++++， ①当10a -时，函数()f x 在[0，)+∞上单调递增，所以()(0)min f x f a ==， 此时函数的值域为[a ，)+∞， 所以1a ；②当10a ->时，1()(1)211a f x x a x -=++-+，当且仅当111a x x -+=+，即1x 时取等号，又(0)f a =，若()f x 的值域为[a ，)+∞10，即2a ， 所以12a <，综上，实数a 的取值范围为(-∞，2]， 故答案为：(-∞，2]．12．（5分）已知集合[A t =，1][4t t ++，9]t +，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A aλ∈，则t 的值是 1或3- ．【解答】解：当0t >时，当[a t ∈，1]t +时，则[4t aλ∈+，9]t +，当[4a t ∈+，9]t +时，则[t aλ∈，1]t +，即当a t =时，9t aλ+；当9a t =+时，t aλ，即(9)t t λ=+； 当1a t =+时，4t aλ+，当4a t =+时，1t aλ+，即(1)(4)t t λ=++，(9)(1)(4)t t t t ∴+=++，解得1t =．当104t t +<<+时，当[a t ∈，1]t +时，则[t aλ∈，1]t +．当[4a t ∈+，9]t +，则[4t aλ∈+，9]t +，即当a t =时，1t aλ+，当1a t =+时，t aλ，即(1)t t λ=+，即当4a t =+时，9t aλ+，当9a t =+时，4t aλ+，即(4)(9)t t λ=++，(1)(4)(9)t t t t ∴+=++，解得3t =-．当90t +<时，同理可得无解． 综上，t 的值为1或3-． 故答案为：1或3-．二、选择题（本大题共4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13．（5分）已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x <时，()3x f x =，则函数()f x 的值域为( ) A ．(1,1)-B ．[0，1)C ．RD ．[0，1]【解答】解：根据题意，()f x 为定义在R 上的奇函数，则(0)0f =， 当0x <时，()3x f x =，有0()1f x <<， ()f x 为奇函数，则当0x >时，有1()0f x -<<，综合可得：1()1f x -<<， 即函数的值域为(1,1)-， 故选：A ．14．（5分）中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2(1)SC Wlog N=+，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至5000，则C 大约增加了( )A ．20%B ．23%C ．28%D ．50%【解答】解：将信噪比SN从1000提升至5000时， C 大约增加了222(15000)(11000)(11000)Wlog Wlog Wlog +-++ 222500010005001100122100010012lg lg log log lg lg lg log lg --=≈120.2323%3lg -=≈=． 故选：B ．15．（5分）若函数1()f x lnx a x=-+在区间(1,)e （其中 2.71828)e =⋯上存在零点，则常数a 的取值范围( ) A ．01a <<B ．11a e <<C ．111a e -<<D ．111a e+<<【解答】解：函数1()f x lnx a x=-+在区间(1,)e 上为增函数，f （1）110ln a =-+<，f （e ）10lne a e =-+>，可得111a e -<<故选：C ．16．（5分）设函数()f x 的定义域是R ，已知以下三个陈述句：p ：存在R α∈且0a ≠，对任意的x R ∈，均有(2)(2)x a x f f f -<+（a ）恒成立；1:()q f x 严格递减，且()0f x >恒成立；2:()q f x 严格递增，存在00x <，使得0()0f x =．用这三个陈述句组成了两个命题，命题S ：“若1q ，则P ”；命题T ：“若2q ，则P ”，则关于S ，T ，以下说法正确的是( ) A ．两个命题S ，T 都是真命题 B ．只有命题S 是真命题 C ．只有命题T 是真命题D ．两个命题S ，T 都不是真命题【解答】解：对于命题S ：“若1q ，则P ”； 当()f x 单调递减且()0f x >恒成立时，存在0a <，此时22x a x ->，而()f x 单调递减，所以(2)(2)x a x f f -<， 又因为()0f x >恒成立时，则f （a ）0>， 则有(2)(2)x a x f f f -<+（a ）恒成立， 命题S 为真命题；对于命题T ：“若2q ，则P ”，对于命题2q ：当()f x 单调递增，存在00x <使得0()0f x =， 存在0a >，则0a x >，则f （a ）0>，由于0a >，则22x a x -<，而()f x 严格递增，则(2)(2)x a x f f -<， 故(2)(2)x a x f f f -<+（a ）恒成立， 命题T 也为真命题， 两个命题S ，T 都是真命题； 故选：A ．三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）已知函数21()(51)m h x m m x +=-+为幂函数，且为奇函数． （1）求m 的值；（2）求函数()()g x h x =+在1[1,]2x ∈-的值域．【解答】解：（1）函数21()(51)m h x m m x +=-+为幂函数， 2511m m ∴-+=，解得0m =或5，当0m =时，()h x x =是奇函数，符合题意， 当5m =时，6()h x x =是偶函数，不符合题意， 所以m 的值为0．（2）由（1）可得()g x x =，令t ，则212t x -=，112x -，0123x ∴-， 03t∴，22111()222t g t t t t -∴=+=-++(03)t，()g t 在[0，1]上单调递增，在[1上单调递减， ()max g t g ∴=（1）1=，又1(0)2g =，112g =>，1()2min g t ∴=，∴函数()()g x h x =+在1[1,]2x ∈-的值域为1[2，1]．18．（14分）已知函数12()||h x log x =．（1）求()h x 在11[,]()22a a >上的最大值；（2）设函数()f x 的定义域为I ，若存在区间A I ⊆，满足：对任何1x A ∈，都存在2x A ∈（其中A 表示A 在I 上的补集）使得12()()f x f x =，则称区间A 为()f x 的“Γ区间”．已知121()||([,2])2h x log x x =∈，若1(,)2A a =函数()h x 的“Γ区间”，求a 的最大值． 【解答】解：（1）由题意知，1()2h h =（2）1=，①若112a <，则()h x 在1[2，]a 上单调递减， 可得()h x 的最大值为1()12h =；②若12a <，则()h x 在1[2，1]上单调递减，在[1，]a 上单调递增，可得h （a ）h （2）1()12h ==，所以()h x 的最大值为 1；③若2a >，则()h x 在1[2，1]上单调递减，在[1，]a 上单调递增，可得h （a ）h （2）1()2h =，所以()h x 的最大值为h （a ）2|log |a =， 综上，若122a <，则()h x 的最大值为 1； 若2a >，则()h x 的最大值为2|log |a ； （2）由（1）知 ①当112a <时，()h x 在1(2，)a 上的值域为2(|log |a ，1)， ()f x 在1{}[2a ⋃，2]上的值域为[0，1]，由任何1x A ∈，都存在2x A ∈（其中A 表示A 在I 上的补集）使得12()()f x f x =， 可得2(|log |a ，1)[0⊆，1]， 即有2|log |0a ，即为112a <； ②当12a <时，()h x 在1(2，)a 上的值域为(0,1)，()h x 在1{}[2a ⋃，2]上的值域为2[|log |a ，1]，由任何1x A ∈，都存在2x A ∈（其中A 表示A 在I 上的补集）使得12()()f x f x =， 可得2(|log |a ，1][0⊆，1]， 即有2|log |0a ，即为12a <．综上可得，a 的最大值为2．19．（14分）新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为400万元，每生产x 万箱，需另投入成本()p x 万元，当产量不足60万箱时，21()502p x x x =+；当产量不小于60万箱时，6400()1011860p x x x=+-，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完． （1）求口罩销售利润y （万元）关于产量x （万箱）的函数关系式； （2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？【解答】解：（1）当060x <<时，2211100(50)4005040022y x x x x x =-+-=-+-；当60x 时，64006400100(1011860)4001460()y x x x x x=-+--=-+． ∴2150400,060264001460(),60x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩；（2）当060x <<时，221150400(50)85022y x x x =-+-=--+，∴当50x =时，y 取得最大值，最大值为850万元；当60x 时，640064001460()146021300y x x x x=-+-=． 当且仅当6400x x=，即80x =时，y 取得最大值，最大值为1300万元． 综上，当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中获得的利润最大，最大利润为1300万元． 20．（16分）设0a >，函数1()12xf x a =+⋅．（1）若1a =，求()f x 的反函数1()f x -；（2）求函数()()y f x f x =⋅-的最大值（用a 表示）；（3）设()()(1)g x f x f x =--．若对任意(x ∈-∞，0]，()(0)g x g 恒成立，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当1a =时，1()12xf x =+， 112x y∴+=， 即1121x yy y-=-=，则01y <<， 21log ()yx y-∴=；故()f x 的反函数121()log ()xf x x --=，(0,1)x ∈（2）2111()()12121(22)x x x x y f x f x a a a a --=⋅-=⋅=+⋅+⋅+++， 设22x x y -=+，易知，函数22x x y -=+在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， 则当0x =时，22x x y -=+有最小值，最小值为2， ∴当0x =时，()()y f x f x =⋅-有最大值，221112(1)max y a aa ∴==+++；（3）111()()(1)1212x x g x f x f x a a -=--=-+⋅+⋅，令2x t a =⋅，(x ∈-∞，0]，0a >，0t a ∴<．21()2323t h t t t t t--∴==++++，当2a时()h t 在(0，]a 上单调递减，所以2()()32min ah t h a a a -==++对任意(x ∈-∞，0]，()(0)g x g 恒成立，且11(0)1112g a a=-++， ∴211132112a a a a a--++++恒成立，02a∴<当a >1()223223g x t --⋅+，令2113113212a a a aa --=++++不恒成立，舍去综上，a 的取值范围是(0．21．（18分）已知函数()||f x x x a =-，其中a 为常数． （1）当1a =时，解不等式()2f x <；（2）若()f x 是奇函数，判断并证明()f x 的单调性；（3）若在[0，2]上存在2021个不同的实数(1i x i =，2，⋯，2021)，122021x x x <<⋯<，使得122320202021|()()||()()||()()|8f x f x f x f x f x f x -+-+⋯+-=，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）当1a =时，()|1|f x x x =-， 当1x >时，2()2f x x x =-<，解得12x -<<， 所以12x <<，当0x =时，()02f x =<恒成立，当1x <时，2()2f x x x =-+<，解得1x <， 综上，不等式()2f x <的解集为(,2)-∞；（2）因为函数()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-， 令1x =，解得0a =，所以当0x 时，2()f x x =，显然函数在(0,)+∞单调递增， 当0x <时，2()f x x =-，在(,0)-∞上单调递增， 综上，函数()f x 在x R ∈时单调递增．（3）①当0a 时，()f x 在[0，2]上单调递增，所以122320202021|()()||()()||()()|f x f x f x f x f x f x -+-+⋯+- 213220212020(()())(()())(()())f x f x f x f x f x f x =-+-+⋯+-20211()()f x f x f =-（2）， 所以f （2）2(2)8a =-，解得2a -．②当4a 时，()()f x x a x =-是[0，2]上的增函数， 所以122320202021|()()||()()||()()|f x f x f x f x f x f x -+-+⋯+- 20211()()f x f x f =-（2）， 所以f （2）2(2)8a =-，解得6a ． ③当04a <<时，()f x 在[0，2]上不单调，所以122320202021|()()||()()||()()|f x f x f x f x f x f x -+-+⋯+-20211()()2()max f x f x f x =-，所以2()424a a f =<，f （2）2|2|4a =-<，在[0，2]上，(){()2max af x f =，f （2）}4<，所以当4a 时，()()f x x a x =-是[0，2]上的增函数，所以122320202021|()()||()()||()()|2()8max f x f x f x f x f x f x f x -+-+⋯+-<， 求实数a 的取值范围(-∞，2][6-⋃，)+∞．。
2020-2021学年上海中学高一(上)期中数学试卷
2020-2021学年上海中学高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共16.0分） 1. 若a 2x =√2−1，则a 3x +a −3x a x +a −x等于( )A. 2√2−1B. 2−2√2C. 2√2+1D. √2+12. 用反证法证明“已知x ，y ∈R ，x 2+y 2=0，求证：x =y =0.”时，应假设( )A. x ≠y ≠0B. x =y ≠0C. x ≠0且y ≠0D. x ≠0或 y ≠03. 已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题中真命题的个数是( )①若ac 2>bc 2，则a >b ； ②若a ≠b ，则ba +ab >2； ③若a >b >1，则b−1a−1>ba ； ④若a >b >c >0，则1a <1b <1c ．A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知非空集合A ，B 满足以下两个条件．(ⅰ)A ∪B ={1,2，3，4，5，6}，A ∩B =⌀；(ⅰ)A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素，则有序集合对(A,B)的个数为( )A. 10B. 12C. 14D. 16二、单空题（本大题共12小题，共36.0分） 5. 不等式x−2x−3<0的解集为______．6. 已知集合A ={x||x|<1}，B ={−2,−1,0，1，2}，则A ∩B =______．7. 已知a >0，化简：√a 53⋅(1a)52⋅a 56=______．8. 某年级有60人，有30人参加合唱团，有45人参加运动队，其中参加合唱团而未参加运动队的有10人，则参加运动队而未参加合唱团的人数是______． 9. 若关于x 的不等式x 2−ax −a ≤3的解集非空，则实数a 的取值范围是______． 10. 已知“x 2−(2a +2)x +a(a +2)≤0”是“|2x +3|<1”必要非充分条件，则实数a 的取值范围是______．11. 已知正实数a ，b 满足b −ab =1，则1a +2b 的最小值是______．12. 已知集合A ={x|x 2<|x −1|+a}，B ={x|−3<x <3}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是______．13.设实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤x2y ≤9，则x3y4的最大值是______．14.已知集合A={1,2，5，7，11，13，15，16，19}，设x i，x j∈A，若方程x i−x j=k(k>0)至少有三组不同的解，则实数k的所有可能取值是______．15.已知实数x，y满足y≠2x且x≠−2y，若16(2x−y)2+9(x+2y)2=1，则x2+y2的最小值是______．16.若集合A={x|x2−(a+2)x+2−a<0,x∈N}中有且仅有一个元素，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共48.0分）17.已知全集U={2,4，a2−a+1}，集合A={a+4,a2}，A−={7}，求实数a的值．18.解下列不等式：(1)|x−1|>(√2−x)2；(2)2x2−3x−53x2−13x+4≥1．19.为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为：y=12x2−200x+80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？20.已知关于x的方程ax2+x+1=0(a∈R)．(1)若方程在区间[−1,1]上有实根，求实数a的取值范围；(2)若方程有两个实根x1，x2，且x1x2∈[110,10]，求实数a的最大值．21.设n为正整数，集合A={α|α=(t1,t2,…t n)，t k∈{0,1}，k=1，2，…，n}，对于集合A中的任意元素α=(x1,x2,…,x n)和β=(y1,y2,…y n)，记M(α,β)=12[(x1+ y1−|x1−y1|)+(x2+y2−|x2−y2|)+⋯+(x n+y n−|x n−y n|)]．(Ⅰ)当n=3时，若α=(1,1，0)，β=(0,1，1)，求M(α,α)和M(α,β)的值；(Ⅱ)当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素α，β，当α，β相同时，M(α,β)是奇数；当α，β不同时，M(α,β)是偶数．求集合B中元素个数的最大值；(Ⅲ)给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素α，β，M(α,β)=0，写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：a3x+a−3xa x+a−x =(a x+a−x)(a2x−1+a−2x)a x+a−x=a2x+ 1a2x−1 =√2−1√2−11=2√2−1故选：A．将a3x+a−3x按照立方差公式展开，与分母约分，即可求出结果．本题考查立方和公式、指数幂的运算法则，考查运算能力．2.【答案】D【解析】解：用反证法证明“已知x，y∈R，x2+y2=0，求证：x=y=0.”时，应先假设x≠0或y≠0．故选：D．熟记反证法的步骤，直接填空即可．反面有多种情况，需一一否定．此题主要考查了反证法的第一步，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．3.【答案】B【解析】解：对于①若ac2>bc2，则a>b，故①为真命题；②若a≠b，ab>0时，则ba +ab>2，故②为假命题；③若a>b>1，则b−1a−1−ba=a(b−1)−b(a−1)a(a−1)=b−aa(a−1)<0，故③为假命题；④若a>b>c>0，则1a <1b<1c，故④为真命题．故选：B．直接利用不等式的基本性质的应用，作差法的应用，基本不等式的应用判定①②③④的结论．本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，作差法的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：若集合A 中只有1个元素，则集合B 中只有5个元素，则1∉A ，5∉B ，即5∈A ，1∈B ，此时有C 40=1，若集合A 中只有2个元素，则集合B 中只有4个元素，则2∉A ，4∉B ，即4∈A ，2∈B ，此时有C 41=4，若集合A 中只有3个元素，则集合B 中只有3个元素，则3∉A ，3∉B ，不满足题意， 若集合A 中只有4个元素，则集合B 中只有2个元素，则4∉A ，2∉B ，即2∈A ，4∈B ，此时有C 43=4，若集合A 中只有5个元素，则集合B 中只有1个元素，则5∉A ，1∉B ，即1∈A ，5∈B ，此时有C 44=1，故有序集合对(A,B)的个数是1+4+4+1=10， 故选：A ．分别讨论集合A ，B 元素个数，即可得到结论．本题主要考查排列组合的应用，根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键．5.【答案】{x|2<x <3}【解析】解：∵x−2x−3<0， ∴{x −2>0x −3<0或{x −2<0x −3>0，解得：2<x <3，故不等式的解集是：{x|2<x <3}， 故答案为：{x|2<x <3}．根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可．本题考查了分式不等式问题，考查分类讨论思想，是一道基础题．【解析】解：∵A={x|−1<x<1}，B={−2,−1,0，1，2}，∴A∩B={0}．故答案为：{0}．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．7.【答案】1【解析】解：原式=a53⋅a−52⋅a56=a53−52+56=a0=1，故答案为：1．利用有理数指数幂的运算性质求解．本题主要考查了有理数指数幂的运算，是基础题．8.【答案】25【解析】解：因为某年级有60人，有30人参加合唱团，有45人参加运动队，其中参加合唱团而未参加运动队的有10人，根据条件得到对应的图象以及数据，故参加运动队而未参加合唱团的人数是25，故答案为：25．根据条件画出对应的Venn图，进而求出结论．本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，属于基础题．【解析】解：不等式x 2−ax −a ≤3可化为x 2−ax −a −3≤0， 由题意知，△=(−a)2−4×1×(−a −3)≥0， 即a 2+4a +12≥0， 所以(a +2)2+8≥0， 解得x ∈R ．所以实数a 的取值范围是R ． 故答案为：R ．不等式化为x 2−ax −a −3≤0，利用△≥0求出实数a 的取值范围． 本题考查了利用判别式判断一元二次不等式有解的应用问题，是基础题．10.【答案】[−3,−2]【解析】解：∵p 是q 的必要不充分条件，∴q ⇒p ，且p ⇏q ． 记q ：A ={x||2x +3|<1}={x|−2<x <−1}，p ：B ={x|x 2−(2a +2)x +a(a +2)≤0}={x|a ≤x ≤a +2}， 则A 是B 的真子集．从而{a ≤−2a +2≥−1且两个等号不同时成立，解得−3≤a ≤−2．故实数a 的取值范围是[−3,−2]求出p ，q 的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义转化为集合子集关系进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出命题的等价条件，转化为集合关系是解决本题的关键．11.【答案】3+2√2【解析】解：∵正实数a ，b 满足b −ab =1， ∴b =11−a >0， ∴0<a <1，则1a +2b =1a +21−a =a+1−a a+2(a+1−a)1−a=3+1−a a+2a 1−a≥3+2√2，当且仅当1−a a=2a1−a即a =√2−1，b =1+√22时取等号， 故答案为：3+2√2．由已知可得b =11−a ，代入后结合乘1法，利用基本不等式可求． 本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．12.【答案】(−∞,7]【解析】解：设f(x)=x 2−(x −1)−a ，x ≥1，则f(x)≥f(1)=1−a ； g(x)=x 2−(1−x)−a ，x <1，则g(x)≥g(−12)=−54−a ； ①当A =⌀时，−54−a ≥0，即a ≤−54；满足条件A ⊆B ； ②当A ≠⌀时，{f(1)<0f(3)≥0或{g(−12)<0g(−3)≥0； ∴{1−a <07−a ≥0或{−54−a <05−a ≥0； ∴−54<a ≤7；综上所述：a 的取值范围是：(−∞,7]． 故答案为：(−∞,7]．设f(x)=x 2−(x −1)−a ，x ≥1；g(x)=x 2−(1−x)−a ，x <1，要使A ⊆B ，即f(x)<0与g(x)<0的解集的并集是集合B 的子集即可．本题考查了含参数的不等式解法问题以及集合之间关系的理解，运用转化思想，属于中档题．13.【答案】27【解析】解：因为实数x ，y 满足3≤xy 2≤8，4≤x 2y≤9，则有：(x 2y )2∈[16,81]，1xy 2∈[18,13]，再根据x 3y 4=(x 2y )2⋅1xy 2∈[2,27]，即当且仅当x =3，y =1取得等号， 即有x 3y 4的最大值是27． 故答案为：27．首先分析题目由实数x ，y 满足条件3≤xy 2≤8，4≤x 2y≤9.求x 3y4的最大值的问题．根据不等式的等价转换思想可得到：(x 2y )2∈[16,81]，1xy 2∈[18,13]，代入x 3y 4求解最大值即可得到答案．此题主要考查不等式的基本性质和等价转化思想，等价转换思想在考试中应用不是很广泛，但是对于特殊题目能使解答更简便，也需要注意，属于中档题．14.【答案】2，3，4，6，8，14【解析】解：用(x i ,x j )表示符合题意的解． 当k =2时，有(7,5)，(13,11)，(15,13)； 当k =3时，有(5,2)，(16,13)，(19,16)； 当k =4时，有(5,1)，(11,7)，(15,11)，(19,15)； 当k =6时，有(7,1)，(11,5)，(13,7)，(19,13)； 当k =8时，有(13,5)，(15,7)，(19,11)； 当k =14时，有(15,1)，(16,2)，(19,5)． 故符合题意的k 值为2，3，4，6，8，14． 故答案为：2，3，4，6，8，14．采用列举法，将所有符合题意的k 值求出来即可． 本题考查列举法在集合问题中的应用，属于基础题．15.【答案】495【解析】解：根据题意，x =25(2x −y)+15(x +2y)，y =25(x +2y)−15(2x −y)， 则x 2+y 2=[25(2x −y)+15(x +2y)]2+[25(x +2y)−15(2x −y)]2=15(2x −y)2+15(x +2y)2，又由16(2x−y)2+9(x+2y)2=1，则x 2+y 2=15[(2x −y)2+(x +2y)2]×(16(2x−y)2+9(x+2y)2)=15×[25+16(x+2y)2(2x−y)2+9(2x−y)2(x+2y)2]≥15×(25+2√16×9)=495，当且仅当16(x+2y)2(2x−y)2=9(2x−y)2(x+2y)2时等号成立，即x 2+y 2的最小值为495；故答案为：495．根据题意，分析可得x2+y2=15(2x−y)2+15(x+2y)2，进而可得x2+y2=15[(2x−y)2+(x+2y)2]×(16(2x−y)2+9(x+2y)2)，结合基本不等式的性质分析可得答案．本题考查基本不等式的性质以及应用，注意x2+y2的变形，属于中档题．16.【答案】(12,2 3 ]【解析】解：∵x2−(a+2)x+2−a<0，x∈N，∴x2−2x+2<a(x+1)令f(x)=x2−2x+2；g(x)=a(x+1)∴A={x|f(x)<g(x),x∈Z}∴y=f(x)是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线；而y=g(x)一次函数，图象是过一定点(−1,0)的动直线．又∵x∈Z，a>0.数形结合，可得：12<a≤23．故答案为：(12,2 3 ].因为集合A中的条件是含参数的一元二次不等式，首先想到的是十字相乘法，但此题行不通；应该把此不等式等价转化为f(x)<g(x)的形式，然后数形结合来解答，需要注意的是尽可能让其中一个函数不含参数．此题主要考查集合A的几何意义的灵活运用，利用数形结合的数学思想来解决参数取值范围问题．17.【答案】解：∵U={2,4，a2−a+1}，A={a+4,a2}，A−={7}，∴a2−a+1=7，解得a=−2或3，①a=−2时，A={2,4}，满足题意；②a=3时，A={7,9}，不满足题意，舍去，∴a =−2．【解析】根据题意可得出a 2−a +1=7，然后解出a 的值，并检验是否满足题意即可． 本题考查了全集的定义，补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)∵|x −1|>(√2−x)2，∴|x −1|>2−x 且x ≤2，即{x −1>0x −1>2−x x ≤2或{x −1≤01−x >2−x x ≤2，解得32<x ≤2或x ∈⌀，故不等式的解集为{x|32<x ≤2}．(2)原不等式化为2x 2−3x−53x 2−13x+4−1≥0， 整理得(x−9)(x−1)(3x−1)(x−4)≤0，即{(3x −1)(x −1)(x −4)(x −9)≤03x −1≠0且x −4≠0， 如图所以原不等式的解集为{x|13<x ≤1或4<x ≤9}．【解析】本题考查了分式不等式的化简以及等价转化，绝对值不等式的解法，以及穿根法求高次不等式的解集，考查化简、变形能力．(1)不等式等价于|x −1|>2−x 且x ≤2，即{x −1>0x −1>2−x x ≤2或{x −1≤01−x >2−x x ≤2，分别求出这两个不等式组的解集，再取并集，即得所求．(2)先化简分式不等式，再等价转化为对应不等式组，由穿根法求出高次不等式的解集．19.【答案】解：(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：y x =12x +80000x −200 ≥2√12x ⋅80000x−200=200， 当且仅当12x =80000x ，即x =400时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)设该单位每月获利为S ，则S =100x −y (10分)=100x −(12x 2−200x +80000)=−12x 2+300x −80000=−12(x −300)2−35000 因为400≤x ≤600，所以当x =400时，S 有最大值−40000．故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损．【解析】(1)由题意月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为：y =12x 2−200x +80000，两边同时除以x ，然后利用不等式的性质进行放缩，从而求出最值；(2)设该单位每月获利为S ，则S =100x −y ，把y 值代入进行化简，然后运用配方法进行求解．此题是一道实际应用题，考查了函数的最值和不等式的基本性质，及运用配方法求函数的最值．20.【答案】解：(1)当a =0时，x =−1，符合题意；当a ≠0时，令f(x)=ax 2+x +1，要使方程ax 2+x +1=0在区间[−1,1]上有实根，设函数f(x)=ax 2+x +1，则f(−1)⋅f(1)≤0或{△≥0−1≤−12a ≤1f(−1)≥0f(1)≥0， 解得：−2≤a <0或12≤a ≤14，综上所求：实数a 的取值范围为：[−2,0]∪[12,14]．(2)由题意可知a ≠0，所以由韦达定理可得：{x 1+x 2=−1a x 1⋅x 2=1a ， ∴(x 1+x 2)2x 1⋅x 2=x 1x 2⋅x 2x 1+2=(−1a )21a =1a ， 设t =x 1x 2，则t ∈[110,10]，∴1a =t +1t +2，由对勾函数的单调性可得：2≤t +1t ≤10110，∴1a =x1x2+x2x1+2∈[4,12110]，∴a∈[10121,14 ]，又∵△=1−4a≥0，∴a≤14，∴实数a的取值范围为：[10121,14 ]，∴实数a的最大值为14．【解析】(1)分a=0与a≠0讨论，当a=0时显然符合题意，当a≠0时，结合二次函数f(x)=ax2+x+1的图象，利用一元二次方程根的分布列出不等式组，即可解出a的取值范围，(2)利用判别式、韦达定理构造出a的不等式，用x1x2表示出a，然后利用对勾函数的单调性求出函数的值域即可．本题主要考查了二次函数的性质，考查了一元二次方程根的分布，考查了韦达定理的应用，是中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)由题意，当n=3时，若α=(1,1，0)，β=(0,1，1)，则M(α,α)=1+1+0=2，M(α,β)=0+1+0=1．(Ⅱ)考虑数对(x k,y k)只有四种情况：(0,0)、(0,1)、(1,0)、(1,1)，相应的x k+y k−|x k−y k|2分别为0、0、0、1，所以B中的每个元素应有奇数个1，所以B中的元素只可能为(上下对应的两个元素称之为互补元素)：(1,0，0，0 )、(0,1，0，0)、(0,0，1，0)、(0,0，0，1)，(0,1，1，1)、(1,0，1，1)、(1,1，0，1)、(1,1，1，0)，对于任意两个只有1个1的元素α，β都满足M(α,β)是偶数，所以四元集合B={(1,0，0，0)、(0,1，0，0)、(0,0，1，0)、(0,0，0，1)}满足题意，假设B中元素个数大于等于4，就至少有一对互补元素，除了这对互补元素之外还有至少1个含有3个1的元素α，则互补元素中含有1个1的元素β与之满足M(α,β)=1不合题意，故B中元素个数的最大值为4．(Ⅲ)B={(0,0，0，…0)，(1,0，0…，0)，(0,1，0，…0)，(0,0，1…0)…，(0,0，0，…，1)}，此时B中有n+1个元素，下证其为最大．对于任意两个不同的元素α，β，满足M(α,β)=0，则α，β中相同位置上的数字不能同时为1，假设存在B有多于n+1个元素，由于α=(0,0，0，…，0)与任意元素β都有M(α,β)=0，所以除(0,0，0，…，0)外至少有n+1个元素含有1，根据元素的互异性，至少存在一对α，β满足x i=y i=1，此时M(α,β)≥1不满足题意，故B中最多有n+1个元素．【解析】本题考查集合的新定义问题，集合之间的关系，综合性较强，难度较大．(Ⅰ)由定义直接列出即可；(Ⅱ)确定B中元素都含有1，即可列出符合条件的元素；(Ⅲ)根据题意，进行求解即可．。
2020-2021上海复旦初级中学高一数学上期中一模试卷(带答案)
2020-2021上海复旦初级中学高一数学上期中一模试卷(带答案)一、选择题1．设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，2）B ．（﹣∞，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）2．函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间为（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,43．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭4．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（2π，32π）内的图象是( ) A ． B ．C ．D ．5．设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2B ．4C ．6D ．86．若函数()(),1231,1x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭7．已知定义域为R 的函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且(1)f x +为偶函数，若(3)1f =，则不等式(21)1f x +<的解集为（ ） A ．(1,1)- B ．(1,)-+∞ C ．(,1)-∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞U8．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ） A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,4-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]5,5-9．已知()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．[-2,0)C ．(]2,0-D ．（0,1）10．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,311．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a12．函数2y 34x x =--+的定义域为（ ）A ．(41)--，B ．(41)-，C ．(11)-，D ．(11]-， 二、填空题13．设函数()212log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是__________．14．已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += . 15．已知函数()2()lg 2f x x ax =-+在区间(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______. 16．函数的定义域为______________．17．已知()21f x x -=，则()f x = ____.18．已知2()y f x x =+是奇函数，且f （1）1=，若()()2g x f x =+，则(1)g -=___．19．已知()2x a x af x ++-=，g(x)=ax+1 ，其中0a >，若()f x 与()g x 的图象有两个不同的交点，则a 的取值范围是______________.20．设函数()()()2,1{42, 1.x a x f x x a x a x -<=--≥①若1a =，则()f x 的最小值为 ；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题21．已知函数()()221+0g x ax ax b a =-+>在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.(1)求a 、b 的值； (2)设()()2g x f x x =-，若不等式()0f x k ->在x ∈(]2,5上恒成立，求实数k 的取值范围．22．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后，y 与t 之间的函数关系式y ＝f(t)；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．求服药一次后治疗有效的时间是多长？23．已知函数22()f x x x=+. （1）求(1)f ，(2)f 的值；（2）设1a b >>，试比较()f a 、()f b 的大小，并说明理由； （3）若不等式2(1)2(1)1f x x m x -≥-++-对一切[1,6]x ∈恒成立，求实数m 的最大值. 24．设()()()log 1log (30,1)a a f x x x a a =++->≠,且()12f =. （1）求a 的值及()f x 的定义域； （2）求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．25．已知函数()()2log 1f x x -A ，函数()0(11)2xg x x ⎫-⎛=⎪⎭≤ ≤⎝的值域为集合B .（1）求A B I ；（2）若集合{}21C x a x a =≤≤-，且C B B =U ，求实数a 的取值范围.26．已知函数()3131-=+x x f x ，若不式()()2210+-<f kx f x 对任意x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是________.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 试题分析：当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以a 的取值范围为，故选B.考点：集合的关系2．B解析：B 【解析】 【分析】判断函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，求出f （0）=-4，f （1）=-1，f （2）=3＞0，即可判断．【详解】∵函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，∴f（0）=-4，f （1）=-1， f （2）=7＞0，根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是()1,2， 故选B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理的运用，属于容易题．3．C【解析】 【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.4．D解析：D 【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=2tan ,tan sin {2sin ,tan sin x x x x x x<≥分段画出函数图象如D 图示， 故选D ．5．C解析：C 【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．解析：C 【解析】 【分析】由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a 的取值范围. 【详解】当1x >时，x a 为减函数，则01a <<，当1x ≤时，一次函数()231a x -+为减函数，则230a -<，解得：23a >， 且在1x =处，有：()12311a a -⨯+≥，解得：34a ≤， 综上可得，实数a 的取值范围是23,34⎛⎤⎥⎝⎦.本题选择C 选项. 【点睛】对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．7．A解析：A 【解析】 【分析】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，再利用函数的单调性，即可求出不等式的解集． 【详解】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，且在[1，+∞）上单调递增，所以不等式f （2x+1）＜1=f （3）⇔ |2x+1﹣1|）＜|3﹣1|， 即|2x |＜2⇔|x |＜1，解得-11x ＜＜ 所以所求不等式的解集为：()1,1-. 故选A ． 【点睛】本题考查了函数的平移及函数的奇偶性与单调性的应用，考查了含绝对值的不等式的求解，属于综合题．8．C解析：C 【解析】∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]，∴由−2⩽2x−1⩽3，解得−12⩽x⩽2，即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，本题选择C选项.9．C解析：C【解析】【分析】画出函数图像，根据图像得到20a-<≤，1bc=，得到答案.【详解】()201911,02log,0x xf xx x⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，画出函数图像，如图所示：根据图像知：20a-<≤，20192019log logb c-=，故1bc=，故20abc-<≤.故选：C.【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.10．B解析：B【解析】【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可【详解】解：Q 函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…单调递增， ()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 故选：B ． 【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．11．A解析：A 【解析】试题分析：∵函数2()5xy =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.12．C解析：C 【解析】要使函数有意义，需使210{340x x x +>--+>，即1{41x x >--<<，所以1 1.x -<< 故选C二、填空题13．【解析】【分析】【详解】由题意或或或则实数的取值范围是故答案为 解析：(1,0)(1,)-??【解析】 【分析】 【详解】由题意()()f a f a >-⇒2120 log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或()()1220 log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩01a a a >⎧⎪⇒⎨>⎪⎩或11a a a a<⎧⎪⇒>⎨->-⎪⎩或10a -<<，则实数a 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故答案为()()1,01,-⋃+∞.14．【解析】若则在上为增函数所以此方程组无解；若则在上为减函数所以解得所以考点：指数函数的性质解析：32-【解析】若1a >，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+=，此方程组无解；若01a <<，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=-，解得1{22a b ==-，所以32a b +=-.考点：指数函数的性质.15．【解析】【分析】根据复合函数单调性同增异减以及二次函数对称轴列不等式组解不等式组求得实数的取值范围【详解】要使在上递增根据复合函数单调性需二次函数对称轴在的左边并且在时二次函数的函数值为非负数即解得 解析：(],3-∞【解析】 【分析】根据复合函数单调性同增异减，以及二次函数对称轴列不等式组，解不等式组求得实数a 的取值范围. 【详解】要使()f x 在()2,+∞上递增，根据复合函数单调性，需二次函数22y x ax =-+对称轴在2x =的左边，并且在2x =时，二次函数的函数值为非负数，即2222220a a ⎧≤⎪⎨⎪-+≥⎩，解得3a ≤.即实数a 的取值范围是(],3-∞.【点睛】本小题主要考查复合函数的单调性，考查二次函数的性质，属于中档题.16．-11【解析】【分析】根据定义域基本要求可得不等式组解不等式组取交集得到结果【详解】由题意得：1-x2≥02cosx -1>0⇒-1≤x≤1cosx>12cosx>12⇒x ∈-π3+2kππ3+2kπ 解析：【解析】 【分析】根据定义域基本要求可得不等式组，解不等式组取交集得到结果.【详解】 由题意得：，函数定义域为：【点睛】本题考查具体函数定义域的求解问题，关键是根据定义域的基本要求得到不等式组.17．【解析】【分析】利用换元法求函数解析式【详解】令则代入可得到即【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式考查基本代换求解能力 解析：()21?x + 【解析】 【分析】利用换元法求函数解析式. 【详解】 令 1t x -=则 t 1,x =+代入 ()21f x x -=可得到()()21f t t =+ ,即()()21f x x =+. 【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，考查基本代换求解能力.18．-1【解析】试题解析：因为是奇函数且所以则所以考点：函数的奇偶性解析：-1 【解析】试题解析：因为2()y f x x =+是奇函数且(1)1f =，所以， 则，所以．考点：函数的奇偶性．19．(01)【解析】结合与的图象可得点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化生动化能够变抽象思维为形象思维有助于把握数学问题的本质在运用数形结合思想分析和解决解析：(0,1), 【解析】(),,2x x a x a x af x a x a ≥++-⎧==⎨<⎩， 结合()f x 与()g x 的图象可得()0,1.a ∈点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质. 在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念及其几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围20．(1)-1(2)或【解析】【分析】【详解】①时函数在上为增函数且函数在为减函数在为增函数当时取得最小值为-1；（2）①若函数在时与轴有一个交点则则函数与轴有一个交点所以；②若函数与轴有无交点则函数与解析：(1)-1，(2)112a ≤<或2a ≥. 【解析】 【分析】 【详解】①1a =时，()()()2,1{42, 1.x a x f x x a x a x -<=--≥，函数()f x 在(,1)-∞上为增函数且()1f x >-，函数()f x 在3[1,]2为减函数，在3[,)2+∞为增函数，当32x =时，()f x 取得最小值为-1；（2）①若函数()2xg x a =-在1x <时与x 轴有一个交点，则0a >， (1)2g a =->0，则02a <<，函数()4()(2)h x x a x a =--与x 轴有一个交点，所以211a a ≥<⇒且112a ≤<；②若函数()2xg x a =-与x 轴有无交点，则函数()4()(2)h x x a x a =--与x 轴有两个交点，当0a ≤时()g x 与x 轴有无交点，()4()(2)h x x a x a =--在1x ≥与x 轴有无交点，不合题意；当当2a ≥时()g x 与x 轴有无交点，()h x 与x 轴有两个交点，x a=和2x a =，由于2a ≥，两交点横坐标均满足1x ≥；综上所述a 的取值范围112a ≤<或2a ≥.考点：本题考点为函数的有关性质，涉及函数图象、函数的最值，函数的零点、分类讨论思想解题.利用函数图象研究函数的单调性，求出函数的最值，涉计参数问题，针对参数进行分类讨论.三、解答题21．（1）1,0a b ==；（2）4k <. 【解析】 【分析】（1）函数()g x 的对称轴方程为1x =，开口向上，则在[]2,3上单调递增，则可根据最值列出方程，可解得,a b 的值.(2)由题意只需()min k f x <，则只需要求出()f x 在(]2,5上的最小值，然后运用基本不等式求最值即可. 【详解】解：（1）()g x Q 开口方向向上，且对称轴方程为 1x =，()g x ∴在[]2,3上单调递增()()()()min max 2441139614g x g a a b g x g a a b ⎧==-++=⎪∴⎨==-++=⎪⎩.解得1a =且0b =.（2）()0f x k ->Q 在(]2,5x ∈上恒成立 所以只需()min k f x <.有（1）知()()2211112222242222x x f x x x x x x x x -+==+=-++≥-⋅+=---- 当且仅当122x x -=-，即3x =时等号成立. 4k ∴<. 【点睛】本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的位置关系，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式的应用，属于中档题.22．（1）0.8)4,015(,1tt t y t ≤≤⎧=⎨⋅>⎩n ； （2）服药一次后治疗有效的时间是5－＝小时. 【解析】 【分析】（1）由函数图象的奥这是一个分段函数，第一段为正比例函数的一段，第二段是指数函数的一段，由于两端函数均过点(1,4)，代入点(1,4)的坐标，求出参数的值，即可得到函数的解析式；（2）由（1）的结论将函数值0.25代入函数的解析式，构造不等式，求出每毫升血液中函数不少于0.25微克的起始时刻和结束时刻，即可得到结论. 【详解】（1）由题意，根据给定的函数的图象，可设函数的解析式为1)2,01(,1t a kt t y t -≤<⎧⎪=⎨⎪≥⎩n ，又由函数的图象经过点(1,4)，则当1t =时，14k ⨯=，解得4k =， 又由1t =时，11()42a-=，解得3a =，所以函数的解析式为1)324,01(,1t t t y t -≤<⎧⎪=⎨⎪≥⎩n . （2）由题意，令0.25y ≥，即当01t ≤<时，40.25t ≥，解得116t ≥， 当1t ≥时，31()0.252t -≥，解得15t ≤≤，综上所述，可得实数t 的取值范围是1516t ≤≤， 所以服药一次后治疗有效的时间是17951616-=小时. 【点睛】本题主要考查了一次函数与指数函数模型的应用，解答中认真审题，合理设出函数的解析式，代入求解是解答的关键，同时应用指数函数模型应注意的问题：(1)指数函数模型的应用类型.常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决.(2)应用指数函数模型时的关键.关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型. 23．（1）(1)3f =，(2)5f =；（2）()()f a f b >；详见解析（3）1-. 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式,代入即可求值.（2）根据函数解析式,利用作差法即可比较()f a 、()f b 的大小.（3）将解析式代入,化简不等式,转化为关于二次函数的恒成立问题,即可求得实数m 的最大值. 【详解】（1）因为函数()22f x x x=+所以()221131f =+= ()222252f =+= （2）()()f a f b >,理由如下: 因为1a b >> 则()()f a f b -2222a b a b=+-- ()()()2b a a b a b ab-=-++()2a b a b ab ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭因为1a b >>,则2a b +>，1ab >,所以22ab<,即20a b ab +->,()0a b -> 所以()20a b a b ab ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭即()()f a f b >（3）因为函数()22f x x x=+则代入不等式可化为()()22212111x x m x x -+≥-++-- 化简可得243x x m -+≥,即()221x m --≥ 因为对于一切[]1,6x ∈恒成立所以()2min21x m ⎡⎤--≥⎣⎦ 当2x =时,二次函数取得最小值,即1m -≥ 所以实数m 的最大值为1- 【点睛】本题考查了函数的求值,单调性的证明及不等式恒成立问题的综合应用,属于基础题. 24．（1）2a =，定义域为()1,3-；（2）2 【解析】 【分析】（1）由()12f =,可求得a 的值,结合对数的性质,可求出()f x 的定义域;（2）先求得()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性,进而可求得函数的最大值.【详解】（1）()1log 2log l 242og a a a f =+==,解得2a =. 故()()22log 1)g 3(lo f x x x =++-,则1030x x +>⎧⎨->⎩,解得13x -<<, 故()f x 的定义域为()1,3-.（2）函数()()()()()222log 1log 3log 31f x x x x x =++-=-+,定义域为()1,3-,()130,2,3⎡⎤⊆⎥-⎢⎣⎦,由函数2log y x =在()0,∞+上单调递增,函数()()31y x x =-+在[)0,1上单调递增,在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,可得函数()f x 在[)0,1上单调递增,在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 故()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()21log 42f ==.【点睛】本题考查了函数的定义域,考查了函数的单调性与最值,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.25．（1）{}2；（2）3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【解析】 【分析】（1）求出集合A 、B ，然后利用交集的定义可求出A B I ；（2）由C B B =U ，可得出C B ⊆，然后分C =∅和C ≠∅两种情况讨论，结合C B ⊆得出关于实数a 的不等式组，解出即可. 【详解】（1）要使函数()f x ()2log 10x -≥，得11x -≥，解得2x ≥，[)2,A ∴=+∞. 对于函数()12xg x 骣琪=琪桫，该函数为减函数，10x -≤≤Q ，则1122x⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，即()12g x ≤≤，[]1,2B ∴=，因此，{}2A B ⋂=；（2）C B B =Q U ，C B ∴⊆.当21a a -<时，即当1a <时，C =∅，满足条件；当21a a -≥时，即1a ≥时，要使C B ⊆，则1212a a ≥⎧⎨-≤⎩，解得312a ≤≤.综上所述，实数a 的取值范围为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查交集的运算，同时也考查了利用集合的包含关系求参数的取值范围，涉及了对数函数的定义域以及指数函数的值域问题，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.26．(),1-∞-【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及单调性，把函数不等式转化为自变量的不等式，这个问题就转化为2210kx x R +-<在上恒成立，从二次函数的观点来分析恒小于零问题。
2020-2021学年上海市复旦附中青浦分校高一(上)月考数学试卷(10月份)(解析版)
2020-2021学年上海市复旦附中青浦分校高一（上）月考数学试卷（10月份）一、填空题1．若集合A＝{y|y＝x2﹣1}，B＝{y|y＝﹣x2﹣2x}，则A∩B＝．2．设集合，则集合A的子集的个数是．3．若a，b∈R，则“（a﹣b）a2＞0”是“a＞b”的条件．4．设a，b，c∈R，已知不等式ax2+bx+c＜0解集为（2，3），则不等式cx2﹣bx﹣a＞0的解集为．5．不等式（2x+1）（x+3）（5﹣x）＞0的解集为．6．不等式的解集为．7．不等式的解集为．8．不等式的解集为．9．若不等式x2+mx＞x+m对任意m∈（﹣3，1）恒成立，则实数x的取值范围是．10．已知集合，若3∈M，5∉M，则实数a的取值范围是．11．已知﹣1＜a＜b＜2，则2b﹣a2的范围是．12．设二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）．若不等式f（x）≥2ax+b的解集为R，则的最大值为．二.选择题13．设不等式的解集为M，不等式组的解集为N，则M、N 之间的关系为（）A．M＝N B．M⊇NC．M⊆N D．M、N互不包含14．已知a1，a2，b1，b2均为非零实数，集合A＝{x|a1x+b1＞0}，B＝{x|a2x+b2＞0}，则“”是“A＝B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件15．著名的孪生素数猜想指出：“存在无穷多个素数p，使得p+2是素数”，用反证法研究该猜想，对于应假设的内容，下列说法正确的是（）A．只有有限多个素数p，使得p+2是合数B．.存在无穷多个素数p，使得p+2是合数C．对任意正数n，存在素数p＞n，使得p+2是合数D．存在正数n，对任意素数p＞n，p+2是合数16．设a∈R，若不等式|x2+|+|x2﹣|+ax≥4x﹣8恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，12]B．[﹣2，10]C．[﹣4，4]D．[﹣4，12]三、解答题17．设集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+（a2﹣5）＝0}（1）若A∩B＝{2}，求实数a的值；（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围；（3）若U＝R，A∩（∁U B）＝A，求实数a的取值范围．18．设f（x）＝（m+1）x2﹣mx+m﹣1，m∈R．（1）若方程f（x）＝0有实根，求实数m的取值范围；（2）若不等式f（x）＞0的解集为∅，求实数m的取值范围；（3）若不等式f（x）＞0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．19．某品牌饮料原来每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶．（1）据市场调查，若售价每提高1元，月销售量将相应减少2000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润＝月销售总收入﹣月总成本），该饮料每瓶售价最多为多少元？（2）为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价x（x≥16）元，并投入（x﹣16）万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价x为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．20．已知关于x的不等式（kx﹣k2﹣5）（x﹣4）＞0，（k∈R）设Z为整数集．（1）求不等式的解集A；（2）对于上述集合A，设B＝A∩Z，探究B能否为有限集？若能，求出使B元素个数最少时的k的所有取值，及此时的集合B，若不能，请说明理由．21．已知U⊆R为一个数集，集合A＝{s2+3t2|s，t∈U}．（1）设U＝{1，3，5}，求集合A的元素个数；（2）设U＝Z，证明：若x∈A，则7x∈A；（3）设U＝R，x，y∈A，且x＝m2+3n2，y＝p2+3q2，若mp﹣3nq＝，求x+y+mq+np 的最小值．参考答案一、填空题1．若集合A＝{y|y＝x2﹣1}，B＝{y|y＝﹣x2﹣2x}，则A∩B＝[﹣1，1]．【分析】求函数的值域得出集合A、B，再根据交集的定义求A∩B．解：集合A＝{y|y＝x2﹣1}＝{y|y≥﹣1}，B＝{y|y＝﹣x2﹣2x}＝{y|y＝﹣（x+1）2+1}＝{y|y≤1}，则A∩B＝[﹣1，1]，故答案为：[﹣1，1]．2．设集合，则集合A的子集的个数是8．【分析】由题意，可求集合A中有2，3，4三个元素．而集合的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集．可得正确答案．解：由于∈N，则5﹣x必为6的正约数，∴5﹣x＝1，2，3，6，∴x＝4，3，2，﹣1；又x∈N，∴x＝4，3，2．故集合集合A＝{2，3，4}，所以集合A子集个数为8个．故答案为：8．3．若a，b∈R，则“（a﹣b）a2＞0”是“a＞b”的充分不必要条件．【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，即可求解．解：∵（a﹣b）a2＞0，又∵a2＞0，∴a﹣b＞0，即a＞b，故（a﹣b）a2＞0能推出a＞b，令a＝0，b＝﹣1，满足a＞b，但（a﹣b）a2＝0，故a＞b不能推出（a﹣b）a2＞0，综上所述，“（a﹣b）a2＞0”是“a＞b”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．4．设a，b，c∈R，已知不等式ax2+bx+c＜0解集为（2，3），则不等式cx2﹣bx﹣a＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）．【分析】根据题意结合韦达定理可知a＞0，且b＝﹣5a，c＝6a，代入所求不等式，解出x的取值范围即可．解：∵不等式ax2+bx+c＜0解集为（2，3），∴a＞0，且，∴b＝﹣5a，c＝6a，∴不等式cx2﹣bx﹣a＞0可化为6ax2+5ax﹣a＞0，又∵a＞0，∴6x2+5x﹣1＞0，解得x＜﹣1或x＞，即不等式cx2﹣bx﹣a＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）．5．不等式（2x+1）（x+3）（5﹣x）＞0的解集为．【分析】直接利用简单的高次不等式的解法——穿根法，求解即可．解：由简单的高次不等式的解法——穿根法可知，不等式（2x+1）（x+3）（5﹣x）＞0的解集为．故答案为：．6．不等式的解集为{x|x＝﹣7或x＞2}．【分析】先将分式不等式进行等价转化，然后由简单的高次不等式的解法求解即可．解：不等式等价于，解得x＝﹣7或x＞2，所以不等式的解集为{x|x＝﹣7或x＞2}．故答案为：{x|x＝﹣7或x＞2}．7．不等式的解集为（﹣∞，2）∪（2，+∞）．【分析】由题意可知∈R，再由分母不为0得答案．解：由，得，∴∈R，即x≠2．∴不等式的解集为（﹣∞，2）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣∞，2）∪（2，+∞）．8．不等式的解集为（﹣∞，﹣1]．【分析】将不等式进行等价转化，得到，求解即可．解：不等式等价于，解得x≤﹣1，所以不等式的解集为（﹣∞，﹣1]．故答案为：（﹣∞，﹣1]．9．若不等式x2+mx＞x+m对任意m∈（﹣3，1）恒成立，则实数x的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．【分析】把已知不等式变形，可得（x﹣1）m+x2﹣x＞0对任意m∈（﹣3，1）恒成立，令g（m）＝（x﹣1）m+x2﹣x，得，得到关于x的不等式组求解．解：由不等式x2+mx＞x+m对任意m∈（﹣3，1）恒成立，得（x﹣1）m+x2﹣x＞0对任意m∈（﹣3，1）恒成立，令g（m）＝（x﹣1）m+x2﹣x，得，即，解得x≤﹣1或x≥3．∴实数x的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．10．已知集合，若3∈M，5∉M，则实数a的取值范围是[1，）∪（9，25]．【分析】根据分式不等式的解法，对实数a进行分类讨论，然后结合条件3∈M，5∉M进行求解．解：∵集合，得（ax﹣5）（x2﹣a）＜0，当a＝0时，显然不成立，当a＞0时，原不等式可化为，若时，只需满足，解得；若，只需满足，解得9＜a≤25，当a＜0时，不符合条件，综上，故答案为[1，）∪（9，25]．11．已知﹣1＜a＜b＜2，则2b﹣a2的范围是（﹣3，4）．【分析】画出﹣1＜a＜b＜2不表示的可行域，然后利用2b﹣a2的几何意义求解范围即可．解：在平面直角坐标系中画出﹣1＜a＜b＜2的可行域，如图，令z＝2b﹣a2，可得b＝，它表示开口向上的二次函数，对称轴为b轴，二次函数经过A，B时，取得最值，A（0，2），B（﹣1，﹣1），所以2b﹣a2的最大值为：4，最小值为：﹣3，因为A、B不在可行域内，所以2b﹣a2的范围是：（﹣3，4）．故答案为：（﹣3，4）．12．设二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）．若不等式f（x）≥2ax+b的解集为R，则的最大值为2﹣2．【分析】根据不等式恒大于等于0，求出c≥a，令c＝ka（k＞1），再根据基本不等式的性质求出代数式的最大值即可．解：ax2+（b﹣2a）x+c﹣b≥0（a＞0），△＝（b﹣2a）2﹣4a（c﹣b）≤0，即b2+4a2﹣4ac≤0，b2≤4ac﹣4a2，∴4ac﹣4a2≤b2，∴c≥a，求最大值、不妨令c＝ka（k＞1）∴令k﹣1＝t，即，故答案为：2﹣2．二.选择题13．设不等式的解集为M，不等式组的解集为N，则M、N 之间的关系为（）A．M＝N B．M⊇NC．M⊆N D．M、N互不包含【分析】将不等式组等价转化为，结合子集的定义，判断即可．解：不等式组等价于，因为不等式的解集为M，不等式组的解集为N，所以M⊇N．故选：B．14．已知a1，a2，b1，b2均为非零实数，集合A＝{x|a1x+b1＞0}，B＝{x|a2x+b2＞0}，则“”是“A＝B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先根据，进行赋值说明此时A≠B，然后根据“M⇒N，M是N的充分不必要条件，N是M的必要不充分条件”，进行判定即可．解：∵∴取a1＝1，a2＝﹣1，b1＝﹣1，b2＝1，A≠B而A＝B⇒∴“”是“A＝B”的必要不充分条件故选：B．15．著名的孪生素数猜想指出：“存在无穷多个素数p，使得p+2是素数”，用反证法研究该猜想，对于应假设的内容，下列说法正确的是（）A．只有有限多个素数p，使得p+2是合数B．.存在无穷多个素数p，使得p+2是合数C．对任意正数n，存在素数p＞n，使得p+2是合数D．存在正数n，对任意素数p＞n，p+2是合数【分析】根据已知条件，结合反证法的定义，即可求解．解：∵存在无穷多个素数p，使得p+2是素数的否定为存在正数n，对任意素数p＞n，p+2是合数，∴应假设存在正数n，对任意素数p＞n，p+2是合数．故选：D．16．设a∈R，若不等式|x2+|+|x2﹣|+ax≥4x﹣8恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，12]B．[﹣2，10]C．[﹣4，4]D．[﹣4，12]【分析】由题意可得|x2+|+|x2﹣|+8≥（4﹣a）x恒成立，讨论x＞0，x＜0，运用基本不等式，可得最值，进而得到所求范围．解：|x2+|+|x2﹣|+ax≥4x﹣8恒成立，即为|x2+|+|x2﹣|+8≥（4﹣a）x恒成立，当x＞0时，可得4﹣a≤|x+|+|x﹣|+的最小值，由|x+|+|x﹣|+≥|x++x﹣|+＝2x+≥2＝8，当且仅当x＝2取得最小值8，即有4﹣a≤8，则a≥﹣4；当x＜0时，可得4﹣a≥﹣[|x+|+|x﹣|﹣]的最大值，由|﹣x+|+|﹣x﹣|﹣≥﹣2x﹣≥2＝8，当且仅当x＝﹣2取得最大值﹣8，即有4﹣a≥﹣8，则a≤12，综上可得﹣4≤a≤12．故选：D．三、解答题17．设集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+（a2﹣5）＝0}（1）若A∩B＝{2}，求实数a的值；（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围；（3）若U＝R，A∩（∁U B）＝A，求实数a的取值范围．【分析】（1）由题目中条件：“A∩B＝{2}”，知2是方程的一个根，由此可得实数a 的值；（2）由题目中条件：“A∪B＝A，”，知B⊆A，由此可得实数a的取值范围；（3）由题目中条件：“A∩（∁U B）＝A，”，知A∩B＝∅，由此可得实数a的取值范围．解：（1）∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入B中方程得a2+4a+3＝0，所以a＝﹣1或a＝﹣3当a＝﹣1时，B＝{﹣2，2}，满足条件；当a＝﹣3时，B＝{2}，也满足条件综上得a的值为﹣1或﹣3；（2）∵A∪B＝A，∴B⊆A①当△＝4（a+1）2﹣4（a2﹣5）＝8（a+3）＜0，即a＜﹣3时，B＝∅满足条件②当△＝0即a＝﹣3时，B＝{2}，满足要求③当△＞0，即a＞﹣3时，B＝A＝{1，2}才能满足要求，不可能故a的取值范围是a≤﹣3．（3）∵A∩（∁U B）＝A，∴A⊆（∁U B），∴A∩B＝∅①当△＜0，即a＜﹣3时，B＝∅，满足条件②当△＝0即a＝﹣3时，B＝{2}，A∩B＝{2}不适合条件③当△＞0，即a＞﹣3时，此时只需1∉B且2∉B将2代入B的方程得a＝﹣1或a＝﹣3将1代入B的方程得∴综上，a的取值范围是或或18．设f（x）＝（m+1）x2﹣mx+m﹣1，m∈R．（1）若方程f（x）＝0有实根，求实数m的取值范围；（2）若不等式f（x）＞0的解集为∅，求实数m的取值范围；（3）若不等式f（x）＞0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）考虑二次项系数是否为0，以及二次方程有实根的条件，解不等式可得所求范围；（2）考虑二次项系数是否为0，结合二次函数的图像和判别式的符号，解不等式可得所求范围；（3）考虑二次项系数是否为0，结合二次函数的图像和判别式的符号，解不等式可得所求范围．解：（1）若方程f（x）＝0有实根，当m+1＝0，即m＝﹣1时，f（x）＝x﹣2，f（x）＝0有解；当m+1≠0，即m≠﹣1时，Δ＝m2﹣4（m+1）（m﹣1）≥0，解得﹣≤m≤，且m≠﹣1．综上可得，m的取值范围是[﹣，]；（2）若m+1＝0，即m＝﹣1时，f（x）＝x﹣2，f（x）＞0的解为x＞2，不符题意；若不等式f（x）＞0的解集为∅，只需m+1＜0，且Δ＝m2﹣4（m+1）（m﹣1）≤0，解得m≤﹣，即m的取值范围是（﹣∞，﹣]；（3）若m+1＝0，即m＝﹣1时，f（x）＝x﹣2，f（x）＞0的解为x＞2，不符题意；若不等式f（x）＞0对一切实数x恒成立，只需m+1＞0，且Δ＝m2﹣4（m+1）（m﹣1）＜0，解得m＞．即m的取值范围是（，+∞）．19．某品牌饮料原来每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶．（1）据市场调查，若售价每提高1元，月销售量将相应减少2000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润＝月销售总收入﹣月总成本），该饮料每瓶售价最多为多少元？（2）为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价x（x≥16）元，并投入（x﹣16）万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价x为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．【分析】（1）设每瓶定价为t元，依题意列出[8﹣（t﹣15）×0.2]（t﹣10）≥5×8，求解即可．（2）设每瓶定价为x（x≥16）元，月总利润为f（x），得到函数的解析式，化简利用基本不等式求解最值即可．解：（1）设每瓶定价为t元，依题意，有[8﹣（t﹣15）×0.2]（t﹣10）≥5×8，整理得t2﹣65t+750≤0，解得15≤t≤50．因此要使销售的总收入不低于原收入，每瓶定价最多为50元．（2）设每瓶定价为x（x≥16）元，月总利润为f（x），则＝＝＝﹣≤＝46.3当且仅当，当且仅当，即（x﹣15）2＝9，∴x﹣15＝3或x﹣15＝﹣3（舍去），所以x＝18，因此当每瓶售价18元时，下月的月总利润最大，最大总利润为46.3万元．20．已知关于x的不等式（kx﹣k2﹣5）（x﹣4）＞0，（k∈R）设Z为整数集．（1）求不等式的解集A；（2）对于上述集合A，设B＝A∩Z，探究B能否为有限集？若能，求出使B元素个数最少时的k的所有取值，及此时的集合B，若不能，请说明理由．【分析】（1）对k的讨论是本题解题的关键，考虑到方程类型，最高次项系数的正负及根的大小等因素，（2）由（1）的讨论为基础，继续分析B中元素的个数并比较元素最少的情况．解：（1）当k＝0时，A＝（﹣∞，4]，当k＞0，A＝（﹣∞，4）∪（k+，+∞），当k＜0时，A＝（k+，4），（2）由（1）知，当k≥0时，集合B中的元素个数无限，当k＜0时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集k＜0时，k+≤﹣2，当且仅当k＝﹣时取等号，又k∈Z，得k∈[﹣4，4），B＝{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}．21．已知U⊆R为一个数集，集合A＝{s2+3t2|s，t∈U}．（1）设U＝{1，3，5}，求集合A的元素个数；（2）设U＝Z，证明：若x∈A，则7x∈A；（3）设U＝R，x，y∈A，且x＝m2+3n2，y＝p2+3q2，若mp﹣3nq＝，求x+y+mq+np 的最小值．【分析】（1）分别求出s＝t＝1、s＝1，t＝3、s＝3，t＝1、s＝1，t＝5、s＝5，t＝1、s ＝3，t＝5、s＝5，t＝3、s＝t＝3、s＝t＝5时，s2+3t2的值，由此能求出集合A．（2）由U＝Z，x∈A，求出x＝s2+3t2，从而推导出7x＝7（s2+3t2）＝（2s+3t）2+3（s﹣2t）2，由此能证明7x∈A．（3）求出xy＝（m2+3n2）（p2+3q2）＝3（mq+np）2+3，设mq+np＝6，推导出，设，得11b2+2bt+12﹣t2＝0，利用判别式法，能求出x+y+mq+np的最小值．解：（1）解：∵U⊆R为一个数集，集合A＝{s2+3t2|s，t∈U}．U＝{1，3，5}，∴当s＝t＝1时，s2+3t2＝1+3＝4，当s＝1，t＝3时，s2+3t2＝1+27＝28，当s＝3，t＝1时，s2+3t2＝9+3＝12，当s＝1，t＝5时，s2+3t2＝1+75＝76，当s＝5，t＝1时，s2+3t2＝25+3＝28，当s＝3，t＝5时，s2+3t2＝9+75＝84，当s＝5，t＝3时，s2+3t2＝25+27＝52，当s＝t＝3时，s2+3t2＝9+27＝36，当s＝t＝5时，s2+3t2＝25+75＝100，∴A＝{4，12，28，36，52，76，84，100}，8个．（2）证明：∵U＝Z，x∈A，∴x＝s2+3t2，∴7x＝7（s2+3t2）＝7s2+21t2＝（2s+3t）2+3（s﹣2t）2∈A．∴7x∈A．（3）解：xy＝（m2+3n2）（p2+3q2）＝3（mq+np）2+（mp﹣3nq）2＝3（mq+np）2+3，设mq+np＝6，∴，，设，整理得11b2+2bt+12﹣t2＝0，判别式法，△＝4b2﹣44（12﹣t2）≥0，得，即．∴x+y+mq+np的最小值为．。