人教版八年级培优课堂讲义 第01讲 认识三角形(无答案)

第01讲认识三角形

考点·方法·破译

1．了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)，会画出任意三角形的高、中线、角平分线.

2．知道三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边.

3．了解与三角形有关的角(内角、外角) .

4．掌握三角形三内角和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

5．会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题.

6．会从复杂的图形中找到基本图形，从而寻求解决问题的方法.

经典·考题·赏析

【例１】若的三边分别为4，x，9，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________；当周长为奇数时，x＝______________.

【解法指导】运用三角形三边关系，即第三边小于两边之和而大于两边之差故5＜x＜13，18＜l＜26；周长为19时，x＝6，周长为21时，x ＝8，周长为23时，x＝10，周长为25时，x＝12，

【变式题组】

01．若△ABC的三边分别为4，x，9，且9为最长边，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________.

02．设△ABC三边为a，b，c的长度均为正整数，且a＜b＜c，a+b+c＝13，则以a，b，c为边的三角形，共有______________个.

03．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是().

A．1B．2C．3D．4

【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm，周长为58cm，试求三角形三边的长.

【解法指导】对等腰三角形，题目没有交代底边和腰，要给予讨论.当18cm为腰时，底边为58－18×2＝22，则

三边为18，18，22. 当18cm为底边时，腰为5818

2

＝20，则三边为20，20，18.此两种情况都符合两边之和大于

第三边.

解：18cm，18cm，22cm或18cm，20，20cm.

【变式题组】

01．已知等腰三角形两边长分别为6cm，12cm，则这个三角形的周长是()

A．24cm B．30cm C．24cm或30cm D．18cm

02．已知三角形的两边长分别是4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是()

A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm

03．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，则此等腰三角形的腰长为______________.

【例３】如图AD是△ABC的中线，DE是△ADC的中线，EF是△DEC的中线，FG是△EFC的中线，若S△GFC＝1cm2，则S△ABC＝______________.

【解法指导】中线将原三角形面积一分为二，由FG为△EFC的中线，知S△EFC＝2S△GFC＝2.又由EF为△DEC中线，S△DEC＝2S△EFC＝4.同理S△ADC＝8，S△ABC＝16.

【变式题组】

01．如图，已知点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，S△ABC＝4，则S△EFC＝______________.

02．如图，点D是等腰△ABC底边BC上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若一腰上的高为4cm，则DE+DF＝______________.

03．如图，已知四边形ABCD是矩形(AD＞AB) ，点E在BC上，且AE＝AD，DF⊥AE于F，则DF与AB的数量关系是______________.

【例４】已知，如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝______________.

【解法指导】这是本章的一个基本图形，其基本方法为构造三角形或四边形内角和，结合八字形角的关系即

，∠A+∠B＝∠C+∠D．故连结BC有∠A+∠D＝∠DBC+∠ACB，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°【变式题组】

01．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝______________.

02．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E +∠F＝______________.

03．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E +∠F＝______________.

【例５】如图，已知∠A＝70°，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．则∠BOC ＝______________.

【解法指导】这是本章另一个基本图形，其结论为∠BOC＝1

2

∠A+90°.证法如下: ∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB

C D (第2题图)

C

＝180°－

12∠ABC －12∠ACB ＝180°－12(180°－∠A )＝ 90°+1

2

∠A ．所以∠BOC ＝125°. 【变式题组】

01．如图，∠A ＝70°，∠B ＝40°，∠C ＝20°，则∠BOC ＝______________. °，点P 、O 分别是∠ABC 、∠ACB 的三等分线的交点，则∠OPC ＝______________.

03．如图，∠O ＝140°，∠P ＝100°，BP 、CP 分别平分∠ABO 、∠ACO ，则∠A ＝______________.

【例６】如图，已知∠B ＝35°，∠C ＝47°，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，则∠EAD ＝______________.

【解法指导】∵∠EAD ＝90°－∠AED ＝90°－(∠B +∠BAE )＝ 90°－∠B －

1

2

(180°－∠B －∠C )＝ 90°－∠B －90°+12∠B + 12∠C ＝1

2

(∠C －∠B ) ，故∠EAD ＝6°.

【变式题组】

01.如图，已知∠B ＝39°，∠C ＝61°，BD ⊥AC ，AE 平分∠BAC ，则∠BFE ＝__________.

02．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝40°，AD 平分∠BAC ，∠ACB 的外角平分线交AD 的延长线于点P ，点F 是BC 上一

动点(F 、D 不重合) ，过点F 作EF ⊥BC 交于点E ，下列结论:①∠P +∠DEF 为定值，②∠P －∠DEF 为定值中，有且只有一个答案正确，请你作出判断，并说明理由.

【例７】如图，在平面内将△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AB ′C ′，使CC ′∥AB ，若∠BAC ＝70°，则旋转角α＝______________.

【解法指导】利用平移、旋转不改变图形的形状这条性质来解题.∵CC ′∥AB ，∴∠C ′CA ＝∠CAB ＝70°，又AC ＝AC ′，∴∠C ′AC ＝180°－2×70°＝40°

【变式题组】

01如图，用等腰直角三角形板画∠AOB ＝45°，并将三角板沿OB 方向平移到如图所示的虚线后绕点M 逆时针方向

旋转22°，则三角板的斜边与射线OA 的直角α＝______________.

02．如图，在平面内将△AOB 绕点O 顺时针旋转α角度得到△OA ′B ′，若点A ′在AB 上时，则旋转角α＝

______________.(∠AOB ＝90°，∠B ＝30°)

3．如图，△ABE 和△ACD 是△ABC 沿着AB 边，AC 边翻折180°形成的，若∠BAC ＝130°，则∠α＝______________.

演练巩固·反馈提高

01．如图，图中三角形的个数为( )

A ．5个

B ．6个

C ．7个

D ．8个

(例6题图)

E D