7-4-4 二次函数的应用.题库教师版

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二次函数的应用(解决实际问题)带答案)

二次函数的应用1．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是（） A ．60m 2 B ．63m 2 C ．64m 2 D ．66m 2【答案】C ．考点：1．二次函数的应用；2．应用题；3．二次函数的最值；4．二次函数的最值．2.厂为扬州三月经贸旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度(m)h 与飞行时间(s)t 的关系式是252012h t t =-++，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A ．3sB ．4sC ．5sD ．6s【答案】B ．考点：二次函数的应用． 3．如图，正三角形ABC 的边长为，在三角形中放入正方形DEMN 和正方形EFPH ，使得D 、E 、F在边CB 上，点P 、N 分别在边CA 、AB 上，设两个正方形的边长分别为m ，n ，则这两个正方形的面积和的最小值为A．B．C．3 D．【答案】D【解析】【分析】设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n，它们的面积和为S，根据等边三角形的性质得∠A＝∠B＝60°，AB＝3＋，利用含30°的直角三角形三边的关系得BD＝DN＝m，CF＝PF＝n，则m＋m＋n＋n＝3＋，所以n＝3－m，S＝m2＋n2＝m2＋（3－m）2＝2（m－）2＋，接着确定m的取值范围，然后根据二次函数的性质求出S的最小值.【详解】设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n，它们的面积和为S，∵△ABC为等边三角形，∴∠A ＝∠B＝60°，AB＝3＋，在Rt△ADN中，BD＝DN＝m，在Rt△BPF中，CF＝PF＝n，∵AD＋DE＋EF＋BF＝AB，∴m＋m＋n＋n＝3＋，∴m＋n＝3，∴n＝3－m，∴S＝m2＋n2＝m2＋（3－m）2＝2（m－）2＋，当点M落在AC上，则正方形PHEC的边长最小，正方形DNME的边长最大，如图，在Rt△ADN中，BD＝DN，CM＝DN，∴DN＋DN＝3＋，解得DN＝3－3，在Rt△CPF中，CF＝PF，∴（3－3）＋3－3＋EF＋PF＝3＋，解得PF＝6－9，∴6－9≤m≤3－3，∴当m＝时，S最小，S的最小值为，故答案选D.4．把一个物体以初速度v0(米/秒)竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，物体的运动路线是一条抛物线，且物体的上升高度h(米)与抛出时间t(秒)之间满足：h＝v0t－ gt2(其中g是常数，取10米/秒2)．某时，小明在距地面2米的O点，以10米/秒的初速度向上抛出一个小球，抛出2.1秒时，该小球距地面的高度是( ) A．1.05米B．－1.05米C．0.95米D．－0.95米【答案】C【解析】【分析】把t=2.1代入h＝v0t－gt2，求出h的值，然后加2即可.【详解】把t=2.1代入h＝v0t－gt2得，h＝10×2.1－×10×2.12=-1.05（米），-1.05+2=0.95（米）.故选C.5．点为线段上的一个动点，，分别以和为一边作等边三角形，用表示这两个等边三角形的面积之和，下列判断正确的是（）A．当为的三等分点时，最小B．当是的中点时，最大C．当为的三等分点时，最大D．当是的中点时，最小【答案】D【解析】【分析】根据四个选择项，可知要判断的问题是C在AB的什么位置时，S有最大或最小值．由于点C是线段AB上的一个动点，可设AC=x，然后用含x的代数式表示S，得到S与x的函数关系式，最后根据函数的性质进行判断．【详解】设AC=x，则CB=1-x，S=x2+（1-x）2，即S=x2-x+=（x-）2+，∵a=>0，∴当x=时，S最小，此时，C是AB的中点，故选D．【点睛】本题考查了二次函数的最值，根据题意建立二次函数的关系式，然后根据二次根式的性质进行解答是关键．6.抛物线p ：y=ax 2+bx+c 的顶点为C ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），点C 关于x 轴的对称点为C′，我们称以A 为顶点且过点C′，对称轴与y 轴平行的抛物线为抛物线p 的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p 的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y ＝x 2＋2x ＋1和y ＝2x ＋2，则这条抛物线的解析式为_____________________．【答案】223y x x =--. 【解析】试题分析：由题意可得，抛物线y ＝x 2＋2x ＋1和直线y ＝2x ＋2的交点坐标就是点A 、C′的坐标，把y ＝x 2＋2x ＋1和y ＝2x ＋2联立组成方程组，解得方程组的解即可的得A （—1,0）、C′（1，4）.又因y=ax 2+bx+c 的顶点为C 与C′关于x 轴对称，所以C （1,-4）. y=ax 2+bx+c 的顶点为C （1, —4）且过点A （—1,0）.可设抛物线的解析式为y=a （x —1）2 —4，把点A （—1,0）代入即可求得a=1，所以y=（x —1）2 —4，即223y x x =--.考点：阅读理解题；求函数的交点坐标；求函数的解析式.学科网7. 某果园有100颗橙子树，平均每颗树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x 棵橙子树．（1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y （个）与x 之间的关系；（2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？【答案】（1）6005y x =-；（2）果园多种10棵橙子树时，可以使橙子的总产量最大，最大为60500个．【分析】（1）根据每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子列式即可；（2）根据题意列出函数解析式，利用配方法把二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质进行解答即可．【解析】（1）平均每棵树结的橙子个数y （个）与x 之间的关系为：y =600﹣5x （0≤x ＜120）；（2）设果园多种x 棵橙子树时，可使橙子的总产量为w ，则w =（600﹣5x ）（100+x ）=25(10)60500x --+ 则果园多种10棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为60500个．考点：二次函数的应用．8.某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过m （30＜m ≤100）人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m 人时，人均收费都按照m 人时的标准．设景点接待有x 名游客的某团队，收取总费用为y 元．（1）求y 关于x 的函数表达式；（2）景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求m 的取值范围．【答案】（1）y =120 (030)[120(30)] (30)[120(30)] (100)x x x x x m m x m x <≤⎧⎪--<≤⎨⎪--<≤⎩；（2）30＜m ≤75．【分析】（1）根据收费标准，分0＜x ≤30，30＜x ≤m ，m ＜x ≤100分别求出y 与x 的关系即可．（2）由（1）可知当0＜x ≤30或m ＜x ＜100，函数值y 都是随着x 是增加而增加，30＜x ≤m 时，2150y x x =-+，根据二次函数的性质即可解决问题．【解析】（1）y =120 (030)[120(30)] (30)[120(30)] (100)x x x x x m m x m x <≤⎧⎪--<≤⎨⎪--<≤⎩．（2）由（1）可知当0＜x ≤30或m ＜x ＜100，函数值y 都是随着x 是增加而增加，当30＜x ≤m 时，22150(75)5625y x x x =-+=--+，∵a =﹣1＜0，∴x ≤75时，y 随着x 增加而增加，∴为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，∴30＜m ≤75．考点：二次函数的应用；分段函数；最值问题；二次函数的最值9. 某宾馆拥有客房100间，经营中发现：每天入住的客房数y （间）与其价格x （元）（180≤x ≤300）满足一次函数关系，部分对应值如表：x （元） 180 260 280 300 y （间） 100 60 50 40（1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用100元；每日空置的客房需支出各种费用60元，当房价为多少元时，宾馆当日利润最大？求出最大值．（宾馆当日利润=当日房费收入﹣当日支出）【答案】（1）11902y x =-+（180≤x ≤300）；（2）当房价为210元时，宾馆当日利润最大，最大利润为8450元．【分析】（1）设一次函数表达式为y =kx +b （k ≠0），由点的坐标（180，100）、（260，60）利用待定系数法即可求出该一次函数表达式；（2）设房价为x 元（180≤x ≤300）时，宾馆当日利润为w 元，依据“宾馆当日利润=当日房费收入﹣当日支出”即可得出w 关于x 的二次函数关式，根据二次函数的性质即可解决最值问题．【解析】（1）设一次函数表达式为y=kx+b（k≠0），依题意得：18010016060k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：12190kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴y与x之间的函数表达式为11902y x=-+（180≤x≤300）．（2）设房价为x元（180≤x≤300）时，宾馆当日利润为w元，依题意得：w=（12-x+190）（x﹣100）﹣60×[100﹣（12-x+190）]=21210136002x x-+-=21(210)84502x--+，∴当x=210时，w取最大值，最大值为8450．答：当房价为210元时，宾馆当日利润最大，最大利润为8450元．考点：二次函数的应用；二次函数的最值；最值问题．10.小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：售价（元/件）100 110 120 130 …月销量（件）200 180 160 140 …已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是元；②月销量是件；（直接填写结果）（2）设销量该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）①（x-60）；②（-2x + 400）（2）售价为每件130元时，当月的利润最大为9800元试题解析：（1）①（x-60）；②（-2x + 400）（2）依题意可得：y=（x-60）×（-2x + 400= -2x2 + 520x – 24000= -2（x-130）2 + 9800当x=130时，y有最大值9800所以售价为每件130元时，当月的利润最大为9800元考点：二次函数的应用.11.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.（1）设每天盈利w元，求出w关于x的函数关系式，并说明每天盈利是否可以达到8000元？（6分）（2）若该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（6分）【答案】（1）(10)(50020)y x x =+-，不能；（2）5．试题解析：（1）设每千克涨价x 元，利润为y 元，由题意，得：215(10)(50020)20()61252y x x x =+-=--+ ∴a =﹣20＜0，∴抛物线开口向下，当x =7.5时，y 最大值=6125，∴每天盈利不能达到8000元．（2）当y =6000时，6000(10)(50020)x x =+-，解得：110x =，25x =， ∵要使顾客得到实惠，∴x =5．答：每千克应涨价为5元．考点：二次函数的应用．12.技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体（看成一个点）的路线是抛物线，已知起跳点A 距地面的高度为1米，弹跳的最大高度距地面4.75米，距起跳点A 的水平距离为2.5米，建立如图所示的平面直角坐标系，（1）求演员身体运行路线的抛物线的解析式？（2）已知人梯高BC ＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？说明理由．【答案】（1）23315y x x =-++；（2）能，理由见试题解析．【解析】试题分析：（1）由题意可知二次函数过A （0，1），顶点（31924，），用顶点式即可求出二次函数的解析式；（2）当4x =时代入二次函数可得点B 的坐标在抛物线上．试题解析：（1）由题意可知二次函数过A （0，1），顶点（31924，），设二次函数解析式为：2519()24y a x =-+，把A （0，1）代入得：2519144a =+，解得：35a =-，∴23519()524y x =--+，即23315y x x =-++；（2）能成功表演．理由是：当4x =时，234341 3.45y =-⨯+⨯+=．即点B （4，3.4）在抛物线23315y x x =-++上，因此，能表演成功．考点：二次函数的应用．13.某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1元，其销售量将减少10件.（1）写出月销售利润y （单位：元）与售价x （单位：元/件）之间的函数解析式．（2）当销售价定为45元时，计算月销售量和销售利润．（3）衬衣店想在月销售量不少于300件的情况下，使月销售利润达到10000元，销售价应定为多少？（4）当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．【答案】（1）2105006000y x x =-++；（2）550件，8250元；（3）50元；（4）65元，12250元．【解析】试题分析：（1）根据设每个书包涨价x 元，由这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个，列出函数关系式；（2）销售价为45元，即上涨了5元，所以5x =，代入即可月销售量和销售利润；（3）令10000y =，解方程即可；（4）用配方法求出二次函数的最大值即可．试题解析：（1）∵每个书包涨价x 元，∴2(4030)(60010)105006000y x x x x =-+-=-++，答：y 与x 的函数关系式为：2105006000y x x =-++；（2）销售价为45元，即上涨了5元，所以月销量=600-10×5=550（件），销售利润=2105500560008250y =-⨯+⨯+=（元）；考点：二次函数的应用．14.为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来领前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y （盒）与每盒售价x （元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P （元）最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？【答案】（1）201600y x =-+；（2）售价定为60元时，每天销售的利润P （元）最大，最大利润是8000元；（3）440．【解析】试题分析：（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y （盒）与每盒售价x （元）之间的函数关系式；（2）根据利润=1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；（3）先由（2）中所求得的P 与x 的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，且每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x 的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y （盒）与每盒售价x （元）之间的函数关系式即可求解．考点：二次函数的应用．15.已知某隧道截面积拱形为抛物线形，拱顶离地面10米，底部款20米．（1）建立如图1所示的平面直角坐标系，使y 轴为抛物线的对称轴，x 轴在地面上．求这条抛物线的解析式；（2）维修队对隧道进行维修时，为了安全，需要在隧道口搭建一个如图2所示的矩形支架AB -BC -CD （其中B 、C 两点在抛物线上，A ．D 两点在地面上），现有总长为30米的材料，那么材料是否够用？（3）在（2）的基础上，若要求矩形支架的高度AB 不低于5米，已知隧道是双向行车道，正中间用护栏隔开，则同一方向行驶的两辆宽度分别为4米，高度不超过5米的车能否并排通过隧道口？（护栏宽度和两车间距忽略不计）【答案】（1）211010y x =-+；（2）够用；（3）不能．试题解析：（1）设2y ax c =+，由题意抛物线经过点（10，0），（0，10），则100010a c c +=⎧⎨=⎩，解得：11010a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，故抛物线的解析式为211010y x =-+；（2）设点C 的坐标为（m ，n ），则所需材料长度=2221112222()210210(5)251055m n m m m m m +=+⨯-+⨯=-++=--+， ∵105-<，∴当m =5时，所需材料最多，为25米，∴总长为30米的材料够用；（3）当5n =时，2110510m -+=，解得52m =， ∵5224<⨯，∴高度不超过5米的车不能并排通过隧道口．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的应用．学科网。

2024年中考数学《二次函数的实际应用》真题含解析版

二次函数的实际应用(21题)一、单选题1(2024·天津·中考真题)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h=30t-5t20≤t≤6．有下列结论：①小球从抛出到落地需要6 s；②小球运动中的高度可以是30 m；③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度．其中，正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.3【答案】C【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令�=0解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把t=2和t=5代入计算即可判断③．【详解】解：令�=0，则30t-5t2=0，解得：t1=0，t2=6，∴小球从抛出到落地需要6 s，故①正确；∵�=30t-5t2=-5x-32+45，∴最大高度为45m，∴小球运动中的高度可以是30 m，故②正确；当t=2时，�=30×2-5×22=40；当t=5时，�=30×5-5×52=25；∴小球运动2 s时的高度大于运动5 s时的高度，故③错误；故选C．2(2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题)如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=12，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接EF，以EF为边向下做正方形EFGH，设点E运动的路程为x0<x<12，正方形EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面积为下列图像能反映y与x之间函数关系的是()A. B.C. D.【答案】A 【分析】本题考查动态问题与函数图象，能够明确y 与x 分别表示的意义，并找到几何图形与函数图象之间的关系，以及对应点是解题的关键，根据题意并结合选项分析当HG 与BC 重合时，及当x ≤4时图象的走势，和当x >4时图象的走势即可得到答案．【详解】解：当HG 与BC 重合时，设AE =x ，由题可得：∴EF =EH =2x ，BE =12-x ，在Rt △EHB 中，由勾股定理可得：BE 2=BH 2+EH 2，∴2x 2+2x 2=12-x 2，∴x =4，∴当0<x ≤4时，y =2x 2=2x 2，∵2>0，∴图象为开口向上的抛物线的一部分，当HG 在BC 下方时，设AE =x ，由题可得：∴EF =2x ，BE =12-x ，∵∠AEF =∠B =45°，∠A =∠EOB =90°,∴△FAE ∽△EOB ，∴AE EF =EO EB ，∴x 2x=EO 12-x ，∴EO =12-x 2，∴当4<x <12时，y =2x ·12-x 2=12-x x =-x 2+12x ，∵-1<0，∴图象为开口向下的抛物线的一部分，综上所述：A 正确，故选：A ．3(2024·山东烟台·中考真题)如图，水平放置的矩形ABCD 中，AB =6cm ，BC =8cm ，菱形EFGH 的顶点E ，G 在同一水平线上，点G 与AB 的中点重合，EF =23cm ，∠E =60°，现将菱形EFGH 以1cm/s 的速度沿BC 方向匀速运动，当点E 运动到CD 上时停止，在这个运动过程中，菱形EFGH 与矩形ABCD重叠部分的面积S cm 2 与运动时间t s 之间的函数关系图象大致是()A. B.C. D.【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质，动点问题的函数图象，二次函数的图象的性质，先求得菱形的面积为63，进而分三种情形讨论，重合部分为三角形，重合部分为五边形，重合部分为菱形，分别求得面积与运动时间的函数关系式，结合选项，即可求解．【详解】解：如图所示，设EG ,HF 交于点O ，∵菱形EFGH ，∠E =60°，∴HG =GF又∵∠E =60°，∴△HFG 是等边三角形，∵EF =23cm ，∠HEF =60°，∴∠OEF =30°∴EG =2EO =2×EF cos30°=3EF =6∴S 菱形EFG H =12EG ⋅FH =12×6×23=63当0≤x ≤3时，重合部分为△MNG ，如图所示，依题意，△MNG 为等边三角形，运动时间为t ，则NG =t cos30°=233t ，∴S =12×NG ×NG ×sin60°=34233t 2=33t 2当3<x≤6时，如图所示，依题意，EM=EG-t=6-t，则EK=EMsin60°=6-t32=2336-t∴S△EKJ=12EJ⋅EM=12×2336-t2=336-t2∴S=S菱形EFGH-S△EKJ=6-336-t2=-33t2+43t-123+6∵EG=6<BC∴当6<x≤8时，S=63当8<x≤11时，同理可得，S=6-33t-82当11<x≤14时，同理可得，S=336-t-82=3314-t2综上所述，当0≤x≤3时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当3<x≤6时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当6<x≤8时，函数图象为一条线段，当8<x≤11时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当11<x≤14时，函数图象为开口向上的一段抛物线；故选：D．二、填空题4(2024·广西·中考真题)如图，壮壮同学投掷实心球，出手(点P 处)的高度OP 是74m ，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m ，高度是4m ．若实心球落地点为M ，则OM =m ．【答案】353【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为y =a x -5 2+4，把点0,74，代入即可求出解析式；当y =0时，求得x 的值，即为实心球被推出的水平距离OM ．【详解】解：以点O 为坐标原点，射线OM 方向为x 轴正半轴，射线OP 方向为y 轴正半轴，建立平面直角坐标系，∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m ，高度是4m ．设抛物线解析式为：y =a x -5 2+4，把点0,74 代入得：25a +4=74，解得：a =-9100，∴抛物线解析式为：y =-9100x -5 2+4；当y =0时，-9100x -5 2+4=0，解得，x 1=-53(舍去)，x 2=353，即此次实心球被推出的水平距离OM 为353m ．故答案为：3535(2024·甘肃·中考真题)如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y (单位：m )与距离停车棚支柱AO 的水平距离x (单位：m )近似满足函数关系y =-0.02x 2+0.3x +1.6的图象，点B 6，2.68 在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD =4m ，高DE =1.8m 的矩形，则可判定货车完全停到车棚内(填“能”或“不能”)．【答案】能【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意求出当x =2时，y 的值，若此时y 的值大于1.8，则货车能完全停到车棚内，反之，不能，据此求解即可．【详解】解：∵CD =4m ，B 6，2.68 ，∴6-4=2，在y =-0.02x 2+0.3x +1.6中，当x =2时，y =-0.02×22+0.3×2+1.6=2.12，∵2.12>1.8，∴可判定货车能完全停到车棚内，故答案为：能．6(2024·四川自贡·中考真题)九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙AB ⊥CD 于点O (如图)，其中AB 上的EO 段围墙空缺．同学们测得AE =6.6m ，OE =1.4m ，OB =6m ，OC =5m ，OD =3m ．班长买来可切断的围栏16m ，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是cm 2．【答案】46.4【分析】本题考查了二次函数的应用．要利用围墙和围栏围成一个面积最大的封闭的矩形菜地，那就必须尽量使用原来的围墙，观察图形，利用AO 和OC 才能使该矩形菜地面积最大，分情况，利用矩形的面积公式列出二次函数，利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：要使该矩形菜地面积最大，则要利用AO 和OC 构成矩形，设矩形在射线OA 上的一段长为xm ，矩形菜地面积为S ，当x ≤8时，如图，则在射线OC 上的长为16-x -1.4+52=19.6-x 2则S =x ⋅19.6-x 2=-12x 2+9.8x =-12x -9.8 2+48.02，∵-12<0，∴当x ≤9.8时，S 随x 的增大而增大，∴当x =8时，S 的最大值为46.4；当x >8时，如图，则矩形菜园的总长为16+6.6+5 =27.6m ，则在射线OC 上的长为27.6-2x 2则S =x ⋅13.8-x =-x 2+13.8x =-x -6.9 2+47.61，∵-1<0，∴当x <6.9时，S 随x 的增大而减少，∴当x >8时，S 的值均小于46.4；综上，矩形菜地的最大面积是46.4cm 2；故答案为：46.4．三、解答题7(2024·陕西·中考真题)一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索L 1与缆索L 2均呈抛物线型，桥塔AO 与桥塔BC 均垂直于桥面，如图所示，以O 为原点，以直线FF 为x 轴，以桥塔AO 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知：缆索L 1所在抛物线与缆索L 2所在抛物线关于y 轴对称，桥塔AO 与桥塔BC 之间的距离OC =100m ，AO =BC =17m ，缆索L 1的最低点P 到FF 的距离PD =2m (桥塔的粗细忽略不计)(1)求缆索L 1所在抛物线的函数表达式；(2)点E 在缆索L 2上，EF ⊥FF ，且EF =2.6m ，FO <OD ，求FO 的长．【答案】(1)y =3500x -50 2+2；(2)FO 的长为40m ．【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，根据题意求得函数解析式是解题的关键．(1)根据题意设缆索L 1所在抛物线的函数表达式为y =a x -50 2+2，把0,17 代入求解即可；(2)根据轴对称的性质得到缆索L 2所在抛物线的函数表达式为y =3500x +50 2+2，由EF =2.6m ，把y =2.6代入求得x 1=-40，x 2=-60，据此求解即可．【详解】(1)解：由题意得顶点P 的坐标为50,2 ，点A 的坐标为0,17 ，设缆索L 1所在抛物线的函数表达式为y =a x -50 2+2，把0,17 代入得17=a 0-50 2+2，解得a =3500，∴缆索L 1所在抛物线的函数表达式为y =3500x -50 2+2；(2)解：∵缆索L 1所在抛物线与缆索L 2所在抛物线关于y 轴对称，∴缆索L 2所在抛物线的函数表达式为y =3500x +50 2+2，∵EF =2.6，∴把y =2.6代入得，2.6=3500x +50 2+2，解得x 1=-40，x 2=-60，∴FO=40m或FO=60m，∵FO<OD，∴FO的长为40m．8(2024·湖北·中考真题)学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长80m．设垂直于墙的边AB长为x米，平行于墙的边BC为y米，围成的矩形面积为Scm2．(1)求y与x,s与x的关系式．(2)围成的矩形花圃面积能否为750cm2，若能，求出x的值．(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值．【答案】(1)y=80-2x19≤x<40；s=-2x2+80x(2)能，x=25(3)s的最大值为800，此时x=20【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用：(1)根据AB+BC+CD=80可求出y与x之间的关系，根据墙的长度可确定x的范围；根据面积公式可确立二次函数关系式；(2)令s=750，得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可；(3)根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可．【详解】(1)解：∵篱笆长80m，∴AB+BC+CD=80，∵AB=CD=x,BC=y,∴x+y+x=80,∴y=80-2x∵墙长42m，∴0<80-2x≤42，解得，19≤x<40，∴y=80-2x19≤x<40；又矩形面积s=BC⋅AB=y⋅x=80-2xx=-2x2+80x；(2)解：令s=750，则-2x2+80x=750，整理得：x2-40x+375=0，此时，Δ=b 2-4ac =-40 2-4×375=1600-1500=100>0，所以，一元二次方程x 2-40x +375=0有两个不相等的实数根，∴围成的矩形花圃面积能为750cm 2；∴x =--40 ±1002,∴x 1=25,x 2=15,∵19≤x <40，∴x =25；(3)解：s =-2x 2+80x =-2x -20 2+800∵-2<0,∴s 有最大值，又19≤x <40，∴当x =20时，s 取得最大值，此时s =800，即当x =20时，s 的最大值为8009(2024·河南·中考真题)从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h m 满足关系式h =-5t 2+v 0t ，其中t s 是物体运动的时间，v 0m/s 是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．(1)小球被发射后s 时离地面的高度最大(用含v 0的式子表示)．(2)若小球离地面的最大高度为20m ，求小球被发射时的速度．(3)按(2)中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为3s ．”已知实验楼高15m ，请判断他的说法是否正确，并说明理由．【答案】(1)v 010(2)20m/s (3)小明的说法不正确，理由见解析【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：(1)把函数解析式化成顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可；(2)把t =v 010，h =20代入h =-5t 2+v 0t 求解即可；(3)由(2)，得h =-5t 2+20t ，把h =15代入，求出t 的值，即可作出判断.【详解】(1)解：h =-5t 2+v 0t=-5t -v 010 2+v 0220，∴当t =v 010时，h 最大，故答案为：v 010；(2)解：根据题意，得当t =v 010时，h =20，∴-5×v 0102+v 0×v 010=20，∴v 0=20m/s (负值舍去)；(3)解：小明的说法不正确．理由如下：由(2)，得h =-5t 2+20t ，当h =15时，15=-5t 2+20t ，解方程，得t 1=1，t 2=3，∴两次间隔的时间为3-1=2s ，∴小明的说法不正确．10(2024·湖北武汉·中考真题)16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x 轴，垂直于地面的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y =ax 2+x 和直线y =-12x +b ．其中，当火箭运行的水平距离为9km 时，自动引发火箭的第二级．(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6km ．①直接写出a ，b 的值；②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km ，求这两个位置之间的距离．(2)直接写出a 满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km ．【答案】(1)①a =-115，b =8.1；②8.4km (2)-227<a <0【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．(1)①将9,3.6 代入即可求解；②将y =-115x 2+x 变为y =-115x -152 2+154，即可确定顶点坐标，得出y =2.4km ，进而求得当y =2.4km 时，对应的x 的值，然后进行比较再计算即可；(2)若火箭落地点与发射点的水平距离为15km ，求得a =-227，即可求解．【详解】(1)解：①∵火箭第二级的引发点的高度为3.6km∴抛物线y=ax2+x和直线y=-12x+b均经过点9,3.6∴3.6=81a+9，3.6=-12×9+b解得a=-115，b=8.1．②由①知，y=-12x+8.1，y=-115x2+x∴y=-115x2+x=-115x-1522+154∴最大值y=154km当y=154-1.35=2.4km时，则-115x2+x=2.4解得x1=12，x2=3又∵x=9时，y=3.6>2.4∴当y=2.4km时，则-12x+8.1=2.4解得x=11.44-3=8.4km∴这两个位置之间的距离8.4km．(2)解：当水平距离超过15km时，火箭第二级的引发点为9,81a+9，将9,81a+9，15,0代入y=-12x+b，得81a+9=-12×9+b，0=-12×15+b解得b=7.5，a=-2 27∴-227<a<0．11(2024·四川内江·中考真题)端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒．(1)求这两种粽子的进价；(2)设猪肉粽每盒售价x元52≤x≤70，y表示该商家销售猪肉粽的利润(单位：元)，求y关于x的函数表达式并求出y的最大值．【答案】(1)猪肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元(2)y=-10x2+1200x-35000或y=-10x-602+1000，当x=60时，y取得最大值为1000元【分析】本题考查列分式方程解应用题和二次函数求最值，解决本题的关键是正确寻找本题的等量关系及二次函数配方求最值问题．(1)设豆沙粽每盒的进价为n元，则猪肉粽每盒的进价为n+20元．根据“用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同”即可列出方程，求解并检验即可；(2)根据题意可列出y关于x的函数解析式，再根据二次函数的性质即可解答．【详解】(1)解：设豆沙粽每盒的进价为n元，则猪肉粽每盒的进价为n+20元由题意得：5000n+20=3000n解得：n=30经检验：n=30是原方程的解且符合题意∴n+20=50答：猪肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元．(2)解：设猪肉粽每盒售价x元52≤x≤70，y表示该商家销售猪肉粽的利润(单位：元)，则y=x-50180-10x-52=-10x2+1200x-35000=-10x-602+1000∵52≤x≤70，-10<0，∴当x=60时，y取得最大值为1000元．12(2024·贵州·中考真题)某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y(盒)与销售单价x(元)是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．销售单价x/元⋯1214161820⋯销售量y/盒⋯5652484440⋯(1)求y与x的函数表达式；(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值．【答案】(1)y=-2x+80(2)糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元(3)2【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：(1)利用待定系数法求解即可；(2)设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可；(3)设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可．【详解】(1)解∶设y与x的函数表达式为y=kx+b，把x=12，y=56；x=20，y=40代入，得12k+b=56 20k+b=40 ，解得k =-2b =80 ，∴y 与x 的函数表达式为y =-2x +80；(2)解：设日销售利润为w 元，根据题意，得w =x -10 ⋅y=x -10 -2x +80=-2x 2+100x -800=-2x -25 2+450，∴当x =25时，w 有最大值为450，∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元；(3)解：设日销售利润为w 元，根据题意，得w =x -10-m ⋅y=x -10-m -2x +80=-2x 2+100+2m x -800-80m ，∴当x =-100+2m 2×-2=50+m 2时，w 有最大值为-250+m 2 2+100+2m 50+m 2 -800-80m ，∵糖果日销售获得的最大利润为392元，∴-250+m 22+100+2m 50+m 2 -800-80m =392，化简得m 2-60m +116=0解得m 1=2，m 2=58当m =58时，x =-b 2a=54,则每盒的利润为：54-10-58<0,舍去，∴m 的值为2．13(2024·广东·中考真题)广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．(题中“元”为人民币)【答案】当定价为4.5万元每吨时，利润最大，最大值为312.5万元【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设每吨降价x 万元，每天的利润为w 万元，根据利润=每吨的利润×销售量列出w 关于x 的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：设每吨降价x 万元，每天的利润为w 万元，由题意得，w =5-x -2 100+50x=-50x 2+50x +300=-50x-122+312.5，∵-50<0，∴当x=12时，w有最大值，最大值为312.5，∴5-x=4.5，答：当定价为4.5万元每吨时，利润最大，最大值为312.5万元．14(2024·四川遂宁·中考真题)某酒店有A、B两种客房、其中A种24间，B种20间．若全部入住，一天营业额为7200元；若A、B两种客房均有10间入住，一天营业额为3200元．(1)求A、B两种客房每间定价分别是多少元？(2)酒店对A种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲；当A种客房每间定价为多少元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为多少元？【答案】(1)A种客房每间定价为200元，B种客房每间定价为为120元；(2)当A种客房每间定价为220元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为4840元．【分析】(1)设A种客房每间定价为x元，B种客房每间定价为为y元，根据题意，列出方程组即可求解；(2)设A种客房每间定价为a元，根据题意，列出W与a的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可求解；本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组和二次函数解析式是解题的关键．【详解】(1)解：设A种客房每间定价为x元，B种客房每间定价为为y元，由题意可得，24x+20y=7200 10x+10y=3200，解得x=200 y=120 ，答：A种客房每间定价为200元，B种客房每间定价为为120元；(2)解：设A种客房每间定价为a元，则W=24-a-200 10a=-110a2+44a=-110a-2202+4840，∵-110<0，∴当a=220时，W取最大值，W最大值=4840元，答：当A种客房每间定价为220元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为4840元．15(2024·四川南充·中考真题)2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元．(1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？(2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件(每件售价不低于进价)．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．(3)在(2)的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？(利润=售价-进价)【答案】(1)A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件(2)y=10x+60(0≤x≤10)(3)A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最犬，最大利润为1840元【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、函数关系式和二次函数的性质，1 根据题意设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为132-x元，进一步得到关于x的一元一次方程求解即可；2 根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围；3 结合(2)中A类特产降价x元与每天的销售量y件，得到A类特产的利润，同时求得B类特产的利润，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可．【详解】(1)解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为132-x元．根据题意得3x+5132-x=540．解得x=60．则每件B类特产的售价132-60=72(元)．答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件．(2)由题意得y=10x+60∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价∴0≤x≤10．答：y=10x+60(0≤x≤10)．(3)w=(60-50-x)(10x+60)+100×(72-60)=-10x2+40x+1800=-10(x-2)2+1840．∵-10<0,∴当x=2时，w有最大值1840．答：A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元．16(2024·江苏盐城·中考真题)请根据以下素材，完成探究任务．制定加工方案生产背景背景1◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式．◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件．◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等.背景2每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为：①“风”服装：24元/件；②“正”服装：48元/件；③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元．信息整理现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下：探究任务任务1探寻变量关系求x、y之间的数量关系．任务2建立数学模型设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．任务3拟定加工方案制定使每天总利润最大的加工方案．【答案】任务1：y=-13x+703；任务2：w=-2x2+72x+3360(x>10)；任务3：安排17名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键．任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，得出加工“正”服装的有70-x-y人，然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式即可得出结果；任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：x100-2x-10，然后将2种服装的获利求和即可得出结果；任务3：根据任务2结果化为顶点式，然后结合题意，求解即可．【详解】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装，∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，∴加工“正”服装的有70-x-y人，∵“正”服装总件数和“风”服装相等，∴70-x-y×1=2y，整理得：y=-13x+703；任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：x100-2x-10，∴w=2y×24+70-x-y×48+x100-2x-10，整理得：w=-16x+1120+-32x+2240+-2x2+120x∴w=-2x2+72x+3360(x>10)任务3：由任务2得w=-2x2+72x+3360=-2x-182+4008，∴当x=18时，获得最大利润，y=-13×18+703=523，∴x≠18，∵开口向下，∴取x=17或x=19，当x=17时，y=533，不符合题意；当x=19时，y=513=17，符合题意；∴70-x-y=34，综上：安排17名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润．17(2024·山东烟台·中考真题)每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？【答案】(1)y=-25x2+20x+12000，每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为12240元(2)这天售出了64辆轮椅【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键：(1)根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可；(2)令y=12160，得到关于x的一元二次方程，进行求解即可．【详解】(1)解：由题意，得：y=200-x60+x10×4=-25x2+20x+12000；∵每辆轮椅的利润不低于180元，∴200-x≥180，∴x≤20，∵y=-25x2+20x+12000=-25x-252+12250，∴当x<25时，y随x的增大而增大，∴当x=20时，每天的利润最大，为-25×20-252+12250=12240元；答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为12240元；(2)当y=12160时，-25x2+20x+12000=12160，解得：x1=10，x2=40(不合题意，舍去)；∴60+1010×4=64(辆)；答：这天售出了64辆轮椅．18(2024·江西·中考真题)如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数y=ax2+bx a<0刻画，斜坡可以用一次函数y=14x刻画，小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的高度y(米)的变化规律如下表：x012m4567⋯y07261528152n72⋯(1)①m =，n =；②小球的落点是A ，求点A 的坐标．(2)小球飞行高度y (米)与飞行时间t (秒)满足关系y =-5t 2+vt ．①小球飞行的最大高度为米；②求v 的值．【答案】(1)①3，6；②152,158；(2)①8，②v =410【分析】本题主要考查二次函数的应用以及从图象和表格中获取数据，(1)①由抛物线的顶点坐标为4，8 可建立过于a ，b 的二元一次方程组，求出a ，b 的值即可；②联立两函数解析式求解，可求出交点A 的坐标；(2)①根据第一问可知最大高度为8米；②将小球飞行高度与飞行时间的函数关系式化简为顶点式即可求得v 值．【详解】(1)解：①根据小球飞行的水平距离x (米)与小球飞行的高度y (米)的变化规律表可知：抛物线顶点坐标为4,8 ，∴-b 2a =4-b 24a =8 ，解得：a =-12b =4 ，∴二次函数解析式为y =-12x 2+4x ，当y =152时，-12x 2+4x =152，解得：x =3或x =5(舍去)，∴m =3，当x =6时，n =y =-12×62+4×6=6，故答案为：3，6．②联立得：y =-12x 2+4x y =14x ，解得：x =0y =0 或x =152y =158，∴点A 的坐标是152,158，(2)①由题干可知小球飞行最大高度为8米，故答案为：8；②y =-5t 2+vt =-5t -v 10 2+v 220，则v 220=8，解得v =410(负值舍去)．19(2024·江苏苏州·中考真题)如图，△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，A -2,0 ，C 6,0 ，反比例函数y =k xk ≠0,x >0 的图象与AB 交于点D m ,4 ，与BC 交于点E ．(1)求m ，k 的值；(2)点P 为反比例函数y =k xk ≠0,x >0 图象上一动点(点P 在D ，E 之间运动，不与D ，E 重合)，过点P 作PM ∥AB ，交y 轴于点M ，过点P 作PN ∥x 轴，交BC 于点N ，连接MN ，求△PMN 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．【答案】(1)m =2，k =8(2)S △PMN 最大值是92，此时P 3,83【分析】本题考查了二次函数，反比例函数，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：(1)先求出B 的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB 的函数表达式，把D 的坐标代入直线AB 的函数表达式求出m ，再把D 的坐标代入反比例函数表达式求出k 即可；(2)延长NP 交y 轴于点Q ，交AB 于点L ．利用等腰三角形的判定与性质可得出QM =QP ，设点P 的坐标为t ,8t ，2<t <6 ，则可求出S △PMN =12⋅6-t ⋅t ，然后利用二次函数的性质求解即可．【详解】(1)解：∵A -2,0 ，C 6,0 ，∴AC =8．又∵AC =BC ，∴BC =8．∵∠ACB =90°，∴点B 6,8 ．设直线AB 的函数表达式为y =ax +b ，将A -2,0 ，B 6,8 代入y =ax +b ，得-2a +b =06a +b =8 ，。

北师版九年级数学下册作业课件第二章二次函数专题训练(四) 二次函数的应用

(二)在区间的端点处求最值 5．某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量y(kg)与每千克的售价x(元) 之间满足一次函数关系，部分数据如下表： (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当每千克山野菜的售价定为多少元时批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少元？
润z(万元)与销售价格x之间的函数关系式为z＝－
1 10
x2＋12x－320(2)当z＝－
1 10
(x－60)2＋40＝17.5时，解得x1＝45，x2＝75，∵－
1 10
＜0，∴当
z≥17.5时，45≤x≤75.又∵y＝－
1 10
x＋9中的－
每千克的售价x/元日销售量y/kg
… 20 22 24 … … 66 60 54 …
12k＋b＝500，解：(1) 设 y 与 x 之间的函数关系式为 y ＝kx ＋b ，则 14k＋b＝400，解得 k＝－50， b＝1 100， ∴y 与 x 之间的函数关系式为 y＝－50x＋1 100 (2)由题意，得 w＝(x－10)y＝(x－10)(－50x＋1 100)＝－50x2＋1 600x－11 000＝－50(x－16)2＋1 800，∵12≤x≤15，且 x 为整数，∴当 x＝15 时，w 最大值＝－50×(15 －16)2＋1 800＝1 750，∴当销售单价为 15 元时每周所获利润最大，最大利润是 1 750 元
(三)在分段函数中求最值 7．某商场销售一种进价为每件30元的商品，销售过程中发现月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系如图所示． (1)根据图象直接写出y与x之间的函数关系式； (2)设这种商品的月利润为W(元)，求W与x之间的函数关系式； (3)这种商品的销售单价定为多少元时月利润最大？最大月利润是多少？

初中数学二次函数的性质图像及应用练习题(附答案)

初中数学二次函数的性质图像及应用练习题一、单选题1.设()()()1232,,1,,2,A y B y C y -是抛物线()213y x =-++上的三点,则123,,y y y 的大小关系为( ) A. 123y y y >> B. 132y y y >> C. 321y y y >>D. 312y y y >>2.对于函数()223y x =--，下列说法不正确的是( ) A.开口向下 B.对称轴是直线3x = C.最大值为0D.与y 轴不相交3.下列说法中错误的是( )A.在函数2y x =-中,当0x =时y 有最大值0B.在函数22y x =中,当0x >时y 随x 的增大而增大C.抛物线222,1,22y x y x y x ==-=-中,抛物线22y x =的开口最小,抛物线2y x =-的开口最大 D.不论a 是正数还是负数,抛物线2y ax =的顶点都是坐标原点4.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列关系式中正确的是( )A.0ac >B.20b a +<C.240b ac >﹣D.0a b c -+<5.抛物线212y x =，2y x =，2y x =-的共同性质是： ①都是开口向上； ②都以点(0,0)为顶点； ③都以y 轴为对称轴； ④都关于x 轴对称. 其中正确的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个 6.二次函数22(2)1y x =+-的图象是( )A.B. C. D.7.二次函数2y x bx =+的图象如图，对称轴为直线1x =.若关于x 的一元二次方程20x bx t +-=（t 为实数）在14-<的范围内有解，则t 的取值范围是（）A.1t ≥-B.13t -≤<C.18t -≤<D.38t <<A.0B.1C.2D.39.根据下列表格的对应值判断一元二次方程20ax bx c ++=（0a a b c ≠，，，为常数）的一个解的范围是（）B.3.3 3.4x <<C.3.4 3.5x <<D.3.5 3.6x <<10.已知抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 为常数，0a ≠）经过点(1,0),(0,3)-，其对称轴在y 轴右侧，有下列结论： ①抛物线经过点(1,0)；②方程22ax bx c ++=有两个不相等的实数根；③33a b -<+<.其中，正确结论的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3二、解答题11.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x 米.(1)若苗圃园的面积为72平方米，求x 的值;(2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗?如果有，求出最大值和最小值;如果没有，请说明理由;(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x 的取值范围.12.如图,抛物线2y x bx c =-++交x 轴于点(3,0)A -和点B ,交y 轴于点(0,3)C1.求抛物线的函数表达式2.若点P 在抛物线上,且4AOP BOC S S =△△,求点P 的坐标;3.如图b,设点Q 是线段AC 上的一动点,作DQ x ⊥轴,交抛物线于点D ,求线段DQ 长度的最大值 13.已知二次函数2221y x mx m =-+-.(1)当二次函数的图象经过坐标原点(0,0)O 时,求二次函数的解析式;(2)如图,当2m =时,该抛物线与y 轴交于点,C 顶点为,D 求,C D 两点的坐标;(3)在(2)的条件下,x 轴上是否存在一点,P 使得PC PD +最短?若P 点存在.求出P 点的坐标,若P 点不存在.请说明理由.14.已知二次函数2y x bx c =-++的图象过点(),(30,0),1A C -.(1)求二次函数的解析式;(2)如图,点P 是二次函数图象的对称轴上的一个动点,二次函数的图象与y 轴交于点B ,当PB PC +最小时,求点P 的坐标;(3)在第一象限内的抛物线上有一点Q ,当QAB △的面积最大时,求点Q 的坐标. 三、填空题15.在二次函数23m y mx -=的图象的对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，则m 的值为 .16.如图,这是小明在阅读一本关于函数的课外读物时看到的一段文字,则被墨迹污染的二次项系数是__________.17.已知二次函数的图象过点(32)--，，且它的顶点坐标为(23)--，，则此二次函数的解析式为 .18.某抛物线型拱桥如图所示，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，水面下降2m ，水面宽度增加 m.参考答案1.答案：A解析：抛物线()2213y x =-++的开口向下，对称轴是直线1x =-，当1x >-时，y 随x 的增大而减小，∵1232,,1,,()2(,())A y B y C y -是抛物线()2213y x =-++上的三个点， ∴点A 关于对称轴x =−1的对称点是1(0,)y ， ∴123y y y >>，故选：A. 2.答案：D解析：由题意可得，二次函数的图象开口方向向下，对称轴是直线3x =，顶点坐标为(3)0,，函数的最大值为0，故A 、B 、C 说法正确；当0x =时，18y =-，∴函数()223y x =--与y 轴相交，∴D 说法错误 3.答案：C 解析： 4.答案：C 解析：5.答案：B 解析：抛物线221,2y x y x ==的开口向上，抛物线2y x =-的开口向下，①错误；抛物线221,2y x y x ==，2y x =-的顶点均为(0,0)，对称轴为y 轴，故②③正确，④错误.故选B.6.答案：C解析：20a =>，∴抛物线开口方向向上. 二次函数的解析式为22(2)1y x =+-，∴顶点坐标为(2,1)--，对称轴为2x =-.故选C.7.答案：C解析：二次函数2y x bx =+图象的对称轴为直线1x =，20x bx t +-=，22x x t ∴-=方程220x x t --=(t 为实数)在14x -<<的范围内有解，∴令1x =-，可求得()()21213t =--⨯-=，令4x =，可求得24248t =-⨯=. 而函数()22211y x x x =-=--，∴当1x =时，二次函数有最小值1. ∴t 的取值范围是18-≤.故选C8.答案：C与y 轴相交于(0)1，.故抛物线与坐标轴有2个交点. 9.答案：C解析：观察表格中的数据，当 3.4x =时，函数值0y <；当 3.5x =时，函数值0y >，则当3.4 3.5x <<时，存在x ，使得2y ax bx c =++的函数值为0，由此可判断一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的一个解的范围为3.4 3.5x <<.10.答案：C解析：2y ax bx c =++（,,a b c 为常数，0a ≠）经过点(1,0)-，其对称轴在y 轴右侧，故抛物线不能经过点(1,0)，因此①错误；抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 为常数，0a ≠）经过点(1,0),(0,3)-，其对称轴在y 轴右侧，可知抛物线开口向下，与直线2y =有两个交点，因此方程22ax bx c ++=有两个不相等的实数根，故②正确；对称轴在y 轴右侧，02b a ∴->0,0a b <∴>2y ax bx c =++经过点(1,0)-，0a b c ∴-+= 2y ax bx c =++经过点(0,3)，3c ∴=3a b ∴-=-33b a a b ∴=+=-，3003a b ∴-<<<<，33a b ∴-<+<.故③正确.故选C.11.答案：1.根据题意得()30272x x -=,解得3x =12x =,∵30218x -≤,∴6x ≥,∴12x =.2. 依题意，得830218x ≤-≤.解得611x ≤≤. 面积215225(302)2()(611)22S x x x x =-=--+≤≤. ①当152x =时，S 有最大值，2252S =最大；②11x =时，S 有最大值，11(3022)88S =⨯-=最小. 3. 由题意得2230100x x -+≥， 30218x -≤， 610x ≤≤.解析：12.答案：1.解:把(3,0)A -,(0,3)C 代入2y x bx c =-++,得093{3b c c =--+=解得:2{3b c =-=故该抛物线的解析式为:223?y x x =--+2.由(1)知,该抛物线的解析式为223?y x x =--+,则易得(1,0)B ∵4AOP BOC S S =△△ ∴21132341322x x ⨯⨯--+=⨯⨯⨯ 整理,得2(1)0x +=或2270x x +-=解得1x =-或1x =-±则符合条件的点P 的坐标为: (1,4)-或()14-±-或()14-- 3.设直线AC 的解析式为y kx t =+,将(3,0),(0,3)A C -代入得30{3k t t -+==解得: 1{3k t ==即直线AC 的解析式为3y x =+设Q 点坐标为(,3)x x +,(30)x -≤≤,则D 点坐标为2(,23)x x x --+()2223923(3)324QD x x x x x x ⎛⎫=--+-+=--=-++ ⎪⎝⎭∴当32x =-时, QD 有最大值94解析：13.答案：(1)将点(0,0)O 代入二次函数2221y x mx m =-+-中，得201m =-.解得1m =±.∴二次函数的解析式为22y x x =+或22y x x =-.(2)当2m =时，二次函数的解析式为2243(2)1y x x x =-+=--.(0,3),(2,1)C D ∴-. (3)存在.连接CD ,根据“两点之间，线段最短”可知，当点P 为CD 与x 轴的交点时，PC PD +最短.设经过,C D 两点的直线解析式为(0)y kx b k =+≠，则将(0,3),(2,1)C D -代入解析式中，得2,3k b =-=.23y x ∴=-+.令0y =,可得230x -+=,解得32x =.∴当P 点坐标为3(,0)2时，PC PD +最短.解析：14.答案：(1)把点(),(30,0),1A C -代入2y x bx c =-++中，得10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =-++.(2)连接AB .与对称轴交于点P ,此时PB PC +最小.在223y x x =-++中，当0x =时，3y =，则(0,3)B .设直线AB 的解析式为y mx n =+.y mx n =+.303m n n +=⎧∴⎨=⎩,13m n =-⎧∴⎨=⎩,∴直线AB 的解析式为3y x =-+.2223(1)4y x x x =-++=--+,∴对称轴是直线1x =.当1x =时，132y =-+=，(1,2)P ∴.(3)连接,QA QB ，过点Q 作y 轴的平行线交直线AB 于点,E 设2(,23)Q m m m -++，则(,3)E m m -+.1()2QAB A B S QE x x ∴=⋅-△21[(23)(3)](30)2m m m =-++--+⨯-23327()228m =--+.∴当32m =时，QAB S △最大，此时315(,)24Q .解析： 15.答案：5解析：23my mx -=是二次函数，232m ∴-=且0m ≠，解得m =，在对称轴左侧的图象上，y 随x 的增大而增大，∴抛物线开口向下，m ∴=16.答案：-2 解析：17.答案：241y x x =++解析：设二次函数的解析式为()2230()y a x a =+-≠，把点(32)--，代入得()23232a -+-=-，解得1a =，所以二次函数的解析式为()222341y x x x =+-=++18.答案：4解析：以AB 为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系依题意可得2020()()()02A B C -，，，，，，设经过A B C ，，三点的抛物线的解析式为()()22y a x x =-+，2()0C ，在此抛物线上，1∴此抛物线的解析式为水面下降∴下降之后的水面宽为42m。

二次函数的应用题

二次函数综合应用1.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满。

当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲。

宾馆需对游客居住的每一个房间每天支出20元的各种费用，根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元。

设每个房间的房价每天增加x元。

（1）设一天定住的房间数为y间，写出y与x的函数解析式及自变量x的取值范围（2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数解析式（3）一天定住房价多少个时，宾馆的利润最大？最大利润为多少元？2.某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是60元．根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件，而销售单价每降低1元，就可多售出20件．(1)写出销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式；(2)写出销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式；(3)若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于76元，且商场要完成不少于240件的销售任务，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少？3.某商厦将进货价30元的书包以40元售出，平均每月能售出600个。

调查表明：这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个。

（1）求出销售量y个与销售单价x元之间的函数解析式（2）求出销售这种书包获得利润z元与销售单价x元之间的函数关系式（3）若商厦规定销售这种书包的单价不高于62元，且商厦的进货成本不高于12000元，当销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？26．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，根据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销量就减少10千克.针对这种水产品的销售情况，请解决下列问题：（1）当销售单价为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x间的函数关系式；（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月利润达到8000元，销售单价应为多少？4. 一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），求抛物线的解析式；（2）求支柱EF的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．x图15. 我市某工艺厂为配合北京奥运，设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场（1）把上表中x 、y 的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y 与x 的函数关系，并求出函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）（3）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能．．超过45元/件，那么销售单6. 随着开发区近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。

二次函数的应用测试题(含答案)

二次函数的应用测试题(含答案)一．选择题（共8小题）1．一个小球被抛出后，如果距离地面的高度h（米）和运行时间t（秒）的函数解析式为h=﹣5t2+10t+1，那么小球到达最高点时距离地面的高度是（）A．1米 B．3米 C．5米 D．6米2．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y（单位：万元）与销售量x（单位：辆）之间分别满足：y1=﹣x2 +10x，y2=2x，若该公司在甲，乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为（）A．30万元 B．40万元 C．45万元 D．46万元3．向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的（）A．第9.5秒 B．第10秒 C．第10.5秒 D．第11秒4．如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称．AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm．则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为（）A．y= （x+3）2 B．y= （x+3）2 C．y= （x﹣3）2 D．y= （x﹣3）25．烟花厂为国庆观礼特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A．2s B．4s C．6s D．8s6一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：h=﹣5t2+20t﹣14，则小球距离地面的最大高度是（）A．2米 B．5米 C．6米 D．14米7．烟花厂为成都春节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A．3s B．4s C．5s D．6s8．某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数y= （x＞0），若该车某次的刹车距离为5m，则开始刹车时的速度为（）A．40 m/s B．20 m/s C．10 m/s D．5 m/s二．填空题（共6小题）9．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为_________米．10．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣（x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是_________．11．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x 为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为_________元．12．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，1）、（4，2）、（2，6）．如果P（x，y）是△ABC围成的区域（含边界）上的点，那么当w=xy取得最大值时，点P 的坐标是_________．13．如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为_________米．14．某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w（元）与降价x（元）的函数关系如图．这种工艺品的销售量为_________件（用含x的代数式表示）．三．解答题（共8小题）15．某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元时，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件．（1）若公司每天的现售价为x元时则每天销售量为多少？（2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？16．在2014年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≥60）元，销售量为y套．（1）求出y与x的函数关系式．（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元；（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？[参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是]．17．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？18．某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过x min时，A、B两组材料的温度分别为yA℃、yB℃，yA、yB与x的函数关系式分别为yA=kx+b，yB= （x﹣60）2+m（部分图象如图所示），当x=40时，两组材料的温度相同．（1）分别求yA、yB关于x的函数关系式；（2）当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？19．“丹棱冻粑”是眉山著名特色小吃，产品畅销省内外，现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元，每天可售出50箱；若每箱产品涨价1元，日销售量将减少2箱．（1）现该销售点每天盈利600元，同时又要顾客得到实惠，那么每箱产品应涨价多少元？（2）若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱产品应涨价多少元才能获利最高？20．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）21．某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．（1）试确定y与x之间的函数关系式；（2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元，试写出利润Q（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润？最大利润是多少元？（3）若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元，请确定销售单价x的取值范围．22．某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bx﹣75．其图象如图所示．（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？26.3.3二次函数的应用参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．一个小球被抛出后，如果距离地面的高度h（米）和运行时间t（秒）的函数解析式为h=﹣5t2+10t+1，那么小球到达最高点时距离地面的高度是（）A． 1米 B．3米 C．5米 D． 6米考点：二次函数的应用．分析：直接利用配方法求出二次函数最值进而求出答案．解答：解：h=﹣5t2+10t+1=﹣5（t2﹣2t）+1=﹣5（t﹣1）2+6，故小球到达最高点时距离地面的高度是：6m．故选：D．点评：此题主要考查了二次函数的应用，正确利用配方法求出是解题关键．2．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y（单位：万元）与销售量x（单位：辆）之间分别满足：y1=﹣x2+10x，y2=2x，若该公司在甲，乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为（）A． 30万元 B．40万元 C．45万元 D． 46万元考点：二次函数的应用．分析：首先根据题意得出总利润与x之间的函数关系式，进而求出最值即可．解答：解：设在甲地销售x辆，则在乙地销售（15﹣x）量，根据题意得出：W=y1+y2=﹣x2+10x+2（15﹣x）=﹣x2+8x+30，∴最大利润为：= =46（万元），故选：D．点评：此题主要考查了二次函数的应用，得出函数关系式进而利用最值公式求出是解题关键．3．向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的（）A．第9.5秒 B．第10秒 C．第10.5秒 D．第11秒考点：二次函数的应用．分析：根据题意，x=7时和x=14时y值相等，因此得到关于a，b的关系式，代入到x=﹣中求x的值．解答：解：当x=7时，y=49a+7b；当x=14时，y=196a+14b．根据题意得49a+7b=196a+14b，∴b=﹣21a，根据二次函数的对称性及抛物线的开口向下，当x=﹣=10.5时，y最大即高度最高．因为10最接近10.5．故选：C．点评：此题主要考查了二次函数的应用，根据对称性看备选项中哪个与之最近得出结论是解题关键．4．如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称．AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm．则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为（）A． y= （x+3）2 B．y= （x+3）2 C．y= （x﹣3）2 D． y= （x﹣3）2考点：二次函数的应用．专题：应用题．分析：利用B、D关于y轴对称，CH=1cm，BD=2cm可得到D点坐标为（1，1），由AB=4cm，最低点C在x轴上，则AB关于直线CH对称，可得到左边抛物线的顶点C的坐标为（﹣3，0），于是得到右边抛物线的顶点C的坐标为（3，0），然后设顶点式利用待定系数法求抛物线的解析式．解答：解：∵高CH=1cm，BD=2cm，而B、D关于y轴对称，∴D点坐标为（1，1），∵AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，∴AB关于直线CH对称，∴左边抛物线的顶点C的坐标为（﹣3，0），∴右边抛物线的顶点C的坐标为（3，0），设右边抛物线的解析式为y=a（x﹣3）2，把D（1，1）代入得1=a×（1﹣3）2，解得a= ，故右边抛物线的解析式为y= （x﹣3）2．故选C．点评：本题考查了二次函数的应用：利用实际问题中的数量关系与直角坐标系中线段对应起来，再确定某些点的坐标，然后利用待定系数法确定抛物线的解析式，再利用抛物线的性质解决问题．5．烟花厂为国庆观礼特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A． 2s B．4s C．6s D． 8s考点：二次函数的应用．分析：礼炮在点火升空到最高点处引爆，故求h的最大值．解答：解：由题意知礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是：，∵＜0∴当t=4s时，h最大为40m，故选B．点评：本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题．6．一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：h=﹣5t2+20t﹣14，则小球距离地面的最大高度是（）A． 2米 B．5米 C．6米 D． 14米考点：二次函数的应用．分析：把二次函数的解析式化成顶点式，即可得出小球距离地面的最大高度．解答：解：h=﹣5t2+20t﹣14=﹣5（t2﹣4t）﹣14=﹣5（t2﹣4t+4）+20﹣14=﹣5（t﹣2）2+6，﹣5＜0，则抛物线的开口向下，有最大值，当t=2时，h有最大值是6米．故选：C．点评：本题考查了二次函数的应用以及配方法求二次函数最值，把函数式化成顶点式是解题关键．7．烟花厂为成都春节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A． 3s B．4s C．5s D． 6s考点：二次函数的应用．专题：计算题；应用题．分析：到最高点爆炸，那么所需时间为﹣．解答：解：∵礼炮在点火升空到最高点引爆，∴t=﹣=﹣=4s．故选B．点评：考查二次函数的应用；判断出所求时间为二次函数的顶点坐标的横坐标的值是解决本题的关键．8．某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数y= （x＞0），若该车某次的刹车距离为5m，则开始刹车时的速度为（）A． 40 m/s B．20 m/s C．10 m/s D． 5 m/s考点：二次函数的应用．专题：应用题．分析：本题实际是告知函数值求自变量的值，代入求解即可，另外实际问题中，负值舍去．解答：解：当刹车距离为5m时，即可得y=5，代入二次函数解析式得：5= x2．解得x=±10，（x=﹣10舍），故开始刹车时的速度为10m/s．故选C．点评：本题考查了二次函数的应用，明确x、y代表的实际意义，刹车距离为5m，即是y=5，难度一般．二．填空题（共6小题）9．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为米．考点：二次函数的应用．专题：函数思想．分析：根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．解答：解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1=﹣0.5x2+2，解得：x= ，所以水面宽度增加到米，故答案为：米．点评：此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．10．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣（x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣（x+6）2+4．考点：二次函数的应用．专题：数形结合．分析：根据题意得出A点坐标，进而利用顶点式求出函数解析式即可．解答：解：由题意可得出：y=a（x+6）2+4，将（﹣12，0）代入得出，0=a（﹣12+6）2+4，解得：a=﹣，∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：y=﹣（x+6）2+4．故答案为：y=﹣（x+6）2+4．点评：此题主要考查了二次函数的应用，利用顶点式求出函数解析式是解题关键．11．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x 为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为25元．考点：二次函数的应用．专题：销售问题．分析：本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值．解答：解：设最大利润为w元，则w=（x﹣20）（30﹣x）=﹣（x﹣25）2+25，∵20≤x≤30，∴当x=25时，二次函数有最大值25，故答案是：25．点评：本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．12．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，1）、（4，2）、（2，6）．如果P（x，y）是△ABC围成的区域（含边界）上的点，那么当w=xy取得最大值时，点P 的坐标是（，5）．考点：二次函数的应用．专题：压轴题．分析：分别求得线段AB、线段AC、线段BC的解析式，分析每一条线段上横、纵坐标的乘积的最大值，再进一步比较．解答：解：线段AB的解析式是y= x+1（0≤x≤4），此时w=x（x+1）= +x，则x=4时，w最大=8；线段AC的解析式是y= x+1（0≤x≤2），此时w=x（x+1）= +x，此时x=2时，w最大=12；线段BC的解析式是y=﹣2x+10（2≤x≤4），此时w=x（﹣2x+10 ）=﹣2x2+10x，此时x= 时，w最大=12.5 ．综上所述，当w=xy取得最大值时，点P的坐标是（，5）．点评：此题综合考查了二次函数的一次函数，能够熟练分析二次函数的最值．13．如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为2米．考点：二次函数的应用．分析：直接利用公式法求出函数的最值即可得出最高点离地面的距离．解答：解：∵函数解析式为：，∴y最值= = =2．故答案为：2．点评：此题主要考查了二次函数的应用，正确记忆最值公式是解题关键．14．某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w（元）与降价x（元）的函数关系如图．这种工艺品的销售量为（60+x）件（用含x的代数式表示）．考点：二次函数的应用．分析：由函数的图象可知点（30，2700）和点（60，0）满足解析式w=mx2+n，设销售量为a，代入函数的解析式，即可得到a和x的关系．解答：解：由函数的图象可知点（30，2700）和点（60，0）满足解析式w=mx2+n，∴，解得：，∴w=﹣x2+3600，设销售量为a，则a（60﹣x）=w，即a（60﹣x）=﹣x2+3600，解得：a=（60+x ），故答案为：（60+x）．点评：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题，用的知识点为：因式分解，题目设计比较新颖，同时也考查了学生的逆向思维思考问题．三．解答题（共8小题）15．某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元时，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件．（1）若公司每天的现售价为x元时则每天销售量为多少？（2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？考点：二次函数的应用．分析：（1）由原来的销量﹣每天减少的销量就可以得出现在每天的销量而得出结论；（2）由每件的利润×数量=总利润建立方程求出其解即可．解答：解：（1）由题意，得32﹣×4=80﹣2x．答：每天的现售价为x元时则每天销售量为（80﹣2x）件；（2）由题意，得（x﹣20）（80﹣2x）=150，解得：x1=25，x2=35．∵x≤28，∴x=25．答：想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为25元．点评：本题考查了销售问题的数量关系每件的利润×数量=总利润的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据销售问题的等量关系建立方程是关键．16．在2014年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≥60）元，销售量为y套．（1）求出y与x的函数关系式．（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元；（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？[参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是]．考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用．专题：销售问题．分析：（1）根据销售量=240﹣（销售单价每提高5元，销售量相应减少20套）列函数关系即可；（2）根据月销售额=月销售量×销售单价=14000，列方程即可求出销售单价；（3）设一个月内获得的利润为w元，根据利润=1套球服所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答．解答：解：（1），∴y=﹣4x+480（x≥60）；（2）根据题意可得，x（﹣4x+480）=14000，解得，x1=70，x2=50（不合题意舍去），∴当销售价为70元时，月销售额为14000元．（3）设一个月内获得的利润为w元，根据题意，得w=（x﹣40）（﹣4x+480），=﹣4x2+640x﹣19200，=﹣4（x﹣80）2+6400，当x=80时，w的最大值为6400∴当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．点评：本题考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，并涉及到了根据二次函数的最值公式，熟练记忆公式是解题关键．17．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？考点：二次函数的应用．专题：销售问题．分析：（1）设函数关系式y=kx+b，把（10，40），（18，24）代入求出k和b即可，由成本价为10元/千克，销售价不高于18元/千克，得出自变量x的取值范围；（2）根据销售利润=销售量×每一件的销售利润得到w和x的关系，利用二次函数的性质得最值即可；（3）先把y=150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求出x，再根据x的取值范围即可确定x的值．解答：解：（1）设y与x之间的函数关系式y=kx+b，把（10，40），（18，24）代入得，解得，∴y与x之间的函数关系式y=﹣2x+60（10≤x≤18）；（2）W=（x﹣10）（﹣2x+60）=﹣2x2+80x﹣600，对称轴x=20，在对称轴的左侧y随着x的增大而增大，∵10≤x≤18，∴当x=18时，W最大，最大为192．即当销售价为18元时，每天的销售利润最大，最大利润是19 2元．（3）由150=﹣2x2+80x﹣600，解得x1=15，x2=25（不合题意，舍去）答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元．点评：本题考查了二次函数的应用，得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键，结合实际情况利用二次函数的性质解决问题．18．某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过x min时，A、B两组材料的温度分别为yA℃、yB℃，yA、yB与x的函数关系式分别为yA=kx+b，yB= （x﹣60）2+m（部分图象如图所示），当x=40时，两组材料的温度相同．（1）分别求yA、yB关于x的函数关系式；（2）当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？考点：二次函数的应用．专题：应用题；数形结合．分析：（1）首先求出yB函数关系式，进而得出交点坐标，即可得出yA函数关系式；（2）首先将y=120代入求出x的值，进而代入yB求出答案；（3）得出yA﹣yB的函数关系式，进而求出最值即可．解答：解：（1）由题意可得出：yB= （x﹣60）2+m经过（0，1000），则1000= （0﹣60）2+m，解得：m=100，∴yB= （x﹣60）2+100，当x=40时，yB= ×（40﹣60）2+100，解得：yB=200，yA=kx+b，经过（0，1000），（40，200），则，解得：，∴yA=﹣20x+1000；（2）当A组材料的温度降至120℃时，120=﹣20x+1000，解得：x=44，当x=44，yB= （44﹣60）2+100=164（℃），∴B组材料的温度是164℃；（3）当0＜x＜40时，yA﹣yB=﹣20x+1000﹣（x﹣60）2﹣100=﹣x2+10x=﹣（x﹣20）2+100，∴当x=20时，两组材料温差最大为100℃．点评：此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值求法等知识，得出两种材料的函数关系式是解题关键．19．“丹棱冻粑”是眉山著名特色小吃，产品畅销省内外，现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元，每天可售出50箱；若每箱产品涨价1元，日销售量将减少2箱．（1）现该销售点每天盈利600元，同时又要顾客得到实惠，那么每箱产品应涨价多少元？（2）若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱产品应涨价多少元才能获利最高？考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用．专题：销售问题．分析：（1）设每箱应涨价x元，得出日销售量将减少2x箱，再由盈利额=每箱盈利×日销售量，依题意得方程求解即可；（2）设每箱应涨价x元，得出日销售量将减少2x箱，再由盈利额=每箱盈利×日销售量，依题意得函数关系式，进而求出最值．解答：解：（1）设每箱应涨价x元，则每天可售出（50﹣2x）箱，每箱盈利（10+x）元，依题意得方程：（50﹣2x）（10+x）=600，整理，得x2﹣15x+50=0，解这个方程，得x1=5，x2=10，∵要使顾客得到实惠，∴应取x=5，答：每箱产品应涨价5元．（2）设利润为y元，则y=（50﹣2x）（10+x），整理得：y=﹣2x2+30x+500，配方得：y=﹣2（x﹣7.5）2+612.5，当x=7.5元，y可以取得最大值，∴每箱产品应涨价7.5元才能获利最高．点评：此题考查了一元二次方程的应用以及二次函数应用，解答此题的关键是熟知等量关系是：盈利额=每箱盈利×日销售量．20．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）考点：二次函数的应用．专题：销售问题．分析：（1）根据“利润=（售价﹣成本）×销售量”列出方程；（2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答；（3）把y=4000代入函数解析式，求得相应的x值；然后由“每天的总成本不超过7000元”列出关于x的不等式50（﹣5x+550）≤7000，通过解不等式来求x的取值范围．解答：解：（1）y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）]=（x﹣50）（﹣5x+550）=﹣5x2+800x﹣27500∴y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；（2）y=﹣5x2+800x﹣27500=﹣5（x﹣80）2+4500∵a=﹣5＜0，∴抛物线开口向下．∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，∴当x=80时，y最大值=4500；（3）当y=4000时，﹣5（x﹣80）2+4500=4000，解得x1=70，x2=90．∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．由每天的总成本不超过7000元，得50（﹣5x+550）≤7000，解得x≥82．∴82≤x≤90，∵50≤x≤100，∴销售单价应该控制在82元至90元之间．点评：本题考查二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．21．某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．（1）试确定y与x之间的函数关系式；（2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元，试写出利润Q（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润？最大利润是多少元？（3）若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元，请确定销售单价x的取值范围．。

二次函数的三种形式-初中数学习题集含答案

二次函数的三种形式（北京习题集）（教师版）一．选择题（共3小题）1．（2018秋•丰台区期末）将二次函数241y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为( ) A ．2(4)1y x =-+B ．2(4)3y x =--C ．2(2)3y x =--D ．2(2)3y x =+-2．（2017秋•房山区期中）将二次函数241y x x =--化为2()y x h k =-+的形式，结果为( ) A ．2(2)5y x =++B ．2(2)5y x =--C ．2(2)5y x =-+D ．2(2)5y x =+-3．（2016秋•昌平区期末）将二次函数表达式223y x x =-+用配方法配成顶点式正确的是( ) A ．2(1)2y x =-+B ．2(1)4y x =++C ．2(1)2y x =--D ．2(2)2y x =+-二．填空题（共7小题）4．（2019秋•朝阳区校级月考）将二次函数解析式2285y x x =-+配方成2()y a x h k =-+的形式为． 5．（2017秋•怀柔区期末）将245y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式．6．（2017秋•平谷区期末）将二次函数223y x x =-+化为2()y x h k =-+的形式，则h = ，k = ． 7．（2018秋•朝阳区期中）将抛物线265y x x =-+化成2()y a x h k =--的形式，则hk = ． 8．（2017秋•顺义区校级期中）若将二次函数223x x --配方为2()y x h k =-+的形式，则． 9．（2016秋•通州区期末）把二次函数223y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为．10．（2016秋•房山区期中）若把函数265y x x =++化为2()y x m k =-+的形式，其中m 、k 为常数，则k m -= ．三．解答题（共5小题）11．（2019秋•通州区期末）把二次函数表达式24y x x c =-+化为2()y x h k =-+的形式． 12．（2018秋•门头沟区期末）已知二次函数243y x x =-+．（1）用配方法将其化为2()y a x h k =-+的形式；（2）在所给的平面直角坐标系xOy 中，画出它的图象．13．（2019秋•西城区校级期中）将下列各二次函数解析式化为2()y a x h k =-+的形式，并写出顶点坐标．（1）261y x x =-- （2）2246y x x =--- （3）213102y x x =++． 14．（2018秋•房山区期中）已知二次函数223y x x =--．（1）将223y x x =--化成2()y a x h k =-+的形式；（2）与y 轴的交点坐标是，与x 轴的交点坐标是；（3）在坐标系中利用描点法画出此抛物线．x ⋯⋯ y ⋯⋯（4）不等式2230x x -->的解集是．15．（2018秋•西城区校级期中）已知二次函数21322y x x =-++（1）将21322y x x =-++成2()y a x h k =-+的形式：（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线x⋯⋯y⋯⋯（3）当33-<<时，观察图象直接写出函数值y的取值的范围．x（4）将该抛物线在x上方的部分（不包含与x的交点）记为G，若直线y x b=+与G只有一个公共点，则b的取值范围是．二次函数的三种形式（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．（2018秋•丰台区期末）将二次函数241y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为( ) A ．2(4)1y x =-+B ．2(4)3y x =--C ．2(2)3y x =--D ．2(2)3y x =+-【分析】先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解：241y x x =-+2(44)14x x =-++- 2(2)3x =--．所以把二次函数241y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为：2(2)3y x =--．故选：C ．【点评】本题考查了二次函数的三种形式．二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：2(0y ax bx c a =++≠，a 、b 、c 为常数）；（2）顶点式：2()y a x h k =-+；（3）交点式（与x 轴）12:()()y a x x x x =--．2．（2017秋•房山区期中）将二次函数241y x x =--化为2()y x h k =-+的形式，结果为( ) A ．2(2)5y x =++B ．2(2)5y x =--C ．2(2)5y x =-+D ．2(2)5y x =+-【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解：222414441(2)5y x x x x x =--=-+--=--．故选：B ．【点评】本题主要考查二次函数的三种形式的知识点，二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：2(0y ax bx c a =++≠，a 、b 、c 为常数）；（2）顶点式：2()y a x h k =-+；（3）交点式（与x 轴）12:()()y a x x x x =--． 3．（2016秋•昌平区期末）将二次函数表达式223y x x =-+用配方法配成顶点式正确的是( ) A ．2(1)2y x =-+B ．2(1)4y x =++C ．2(1)2y x =--D ．2(2)2y x =+-【分析】利用配方法把一般式化为顶点式即可．【解答】解：2223(1)2y x x x =-+=-+．故选：A ．【点评】本题考查了二次函数的三种形式：一般式：2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，0)a ≠，该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y 轴的交点坐标是(0,)c ；顶点式：2()(y a x h k a =-+，h ，k 是常数，0)a ≠，其中(,)h k 为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为(,)h k ；交点式：12()()(y a x x x x a =--，b ，c 是常数，0)a ≠，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x 轴的两个交点坐标1(x ，0)，2(x ，0)．二．填空题（共7小题）4．（2019秋•朝阳区校级月考）将二次函数解析式2285y x x =-+配方成2()y a x h k =-+的形式为22(2)3y x =-- ．【分析】先提出二次项系数，再加上一次项系数一半的平方，即得出顶点式的形式．【解答】解：提出二次项系数得，22(4)5y x x =-+，配方得，22(44)58y x x =-++-，即22(2)3y x =--．故答案为：22(2)3y x =--．【点评】本题考查了二次函数的三种形式，一般式：2y ax bx c =++，顶点式：2()y a x h k =-+；两根式：12()()y a x x x x =--．5．（2017秋•怀柔区期末）将245y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式 2(2)1y x =-+ ．【分析】化为一般式后，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解：245y x x =-+，2441y x x ∴=-++， 2(2)1y x ∴=-+．故答案为2(2)1y x =-+．【点评】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：2(0y ax bx c a =++≠，a 、b 、c 为常数）；（2）顶点式：2()y a x h k =-+；（3）交点式（与x 轴）12:()()y a x x x x =--．6．（2017秋•平谷区期末）将二次函数223y x x =-+化为2()y x h k =-+的形式，则h = 1 ，k = ．【分析】利用配方法把函数解析式写成2(1)2y x =-+，进而可得答案．【解答】解：22223212(1)2y x x x x x =-+=-++=-+，则1h =，2k =，故答案为：1；2；【点评】此题主要考查了二次函数的顶点式，关键是掌握顶点式：2()(y a x h k a =-+，h ，k 是常数，0)a ≠，其中(,)h k 为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为(,)h k ．7．（2018秋•朝阳区期中）将抛物线265y x x =-+化成2()y a x h k =--的形式，则hk = 12 ．【分析】利用配方法把一般式化为顶点式，得到h 、k 的值，代入求值即可．【解答】解：265y x x =-+2694x x =-+-2(3)4x =--， 3h ∴=，4k =， 3412hk ∴=⨯=．故答案是：12．【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，灵活运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．8．（2017秋•顺义区校级期中）若将二次函数223x x --配方为2()y x h k =-+的形式，则 2(1)4y x =-- ．【分析】根据配方法整理即可得解．【解答】解：223y x x =--，2(21)31x x =-+--， 2(1)4x =--，所以，2(1)4y x =--．故答案为：2(1)4y x =--．【点评】本题考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法是解题的关键．9．（2016秋•通州区期末）把二次函数223y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为 2(1)2y x =-+ ．【分析】根据配方法的操作整理即可得解．【解答】解：223y x x =-+， 2212x x =-++，2(1)2x =-+，所以，2(1)2y x =-+．故答案为：2(1)2y x =-+．【点评】本题考查了二次函数的三种形式，主要利用了配方法．10．（2016秋•房山区期中）若把函数265y x x =++化为2()y x m k =-+的形式，其中m 、k 为常数，则k m -= 1- ．【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，比较系数，可知m 、k 的值，再代入k m -，计算即可求解．【解答】解：265y x x =++2(69)95x x =++-+ 2(3)4x =+-，所以，3m =-，4k =-，所以，4(3)1k m -=---=-．故答案为：1-．【点评】本题考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．三．解答题（共5小题）11．（2019秋•通州区期末）把二次函数表达式24y x x c =-+化为2()y x h k =-+的形式．【分析】本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式．【解答】解：2224444(2)4y x x c x x c x c =-+=-++-=-+-，即2(2)4y x c =-+-．【点评】本题考查了二次函数解析式的三种形式：（1）一般式：2(0y ax bx c a =++≠，a 、b 、c 为常数）；（2）顶点式：2()y a x h k =-+；（3）交点式（与x 轴）12:()()y a x x x x =--．12．（2018秋•门头沟区期末）已知二次函数243y x x =-+．（1）用配方法将其化为2()y a x h k =-+的形式；（2）在所给的平面直角坐标系xOy 中，画出它的图象．【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可；（2）利用描点法画出二次函数图象即可．【解答】解：（1）243y x x =-+22224223(2)1x x x =-+-+=--；（2）2)(2)1y x =--，∴顶点坐标为(2,1)-，对称轴方程为2x =．函数二次函数243y x x =-+的开口向上，顶点坐标为(2,1)-，与x 轴的交点为(3,0)，(1,0)，∴其图象为：【点评】本题考查了二次函数的配方法，用描点法画二次函数的图象，掌握配方法是解答此题的关键． 13．（2019秋•西城区校级期中）将下列各二次函数解析式化为2()y a x h k =-+的形式，并写出顶点坐标．（1）261y x x =-- （2）2246y x x =---（3）213102y x x =++．【分析】（1）加上一次项系数6的一半的平方是9，再减去9；（2）提取二次项2-后，再加一次项系数2的一半的平方1，再减去1；（3）提取二次项系数12后，再加上一次项系数6的一半的平方9，再减去9．【解答】解：（1）222616991(3)10y x x x x x =--=-+--=--，∴顶点( 3，10- )；（2）2222462(211)62(1)4y x x x x x =---=-++--=-+-，顶点(1-，4- )；（3）22211111310(699)10(3)2222y x x x x x =++=++-+=++，顶点(3-，112)．【点评】本题考查了把二次函数的一般式化为顶点式，解题思路为：化为一般式后，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 14．（2018秋•房山区期中）已知二次函数223y x x =--．（1）将223y x x =--化成2()y a x h k =-+的形式；（2）与y 轴的交点坐标是 (0,3)- ，与x 轴的交点坐标是；（3）在坐标系中利用描点法画出此抛物线．x ⋯⋯ y ⋯⋯（4）不等式2230x x -->的解集是．【分析】（1）利用配方法将一次项和二次项组合，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．（2）将已知方程转化为两点式方程即可得到该抛物线与x 轴的交点坐标；令0x =即可得到该抛物线与y 轴交点的纵坐标；（3）将抛物线223y x x =--上的点的坐标列出，然后在平面直角坐标系中找出这些点，连接起来即可；（4）结合图象可以直接得到答案．【解答】解：（1）222232131(1)4y x x x x x =--=-+--=--，即2(1)4y x =--；（2）令0x =，则3y =-，即该抛物线与y 轴的交点坐标是(0,3)-，又223(3)(1)y x x x x =--=-+，所以该抛物线与x 轴的交点坐标是(3，0)(1-，0)．故答案是：(0,3)-；(3，0)(1-，0)；（3）列表：x⋯ 1-0 1 2 3 ⋯ y⋯3-4-3-⋯图象如图所示：；（4）如图所示，不等式2230x x -->的解集是1x <-或3x >．故答案是：1x <-或3x >．【点评】本题考查了二次函数的三种形式、二次函数的对称性和由函数图象确定坐标、直线与图象的交点问题，综合体现了数形结合的思想．15．（2018秋•西城区校级期中）已知二次函数21322y x x =-++（1）将21322y x x =-++成2()y a x h k =-+的形式：（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线x ⋯⋯ y⋯ ⋯ （3）当33x -<<时，观察图象直接写出函数值y 的取值的范围 52y -< ．（4）将该抛物线在x 上方的部分（不包含与x 的交点）记为G ，若直线y x b =+与G 只有一个公共点，则b 的取值范围是．【分析】（1）用配方法把二次函数一般式写成顶点式．（2）由顶点式得对称轴为直线1x =，列表描点画图象．（3）观察图象，在31x -<<时，y 随x 的增大而增大，随后y 减小，结合计算可得3x =-时y 的值，即求出y 的范围．（4）利用抛物线方程和直线方程联立求出两函数图象只有一个交点时b 的值．由于抛物线只取x 轴上方的部分，故需求直线经过抛物线与x 轴的交点时b 的值，再根据直线的平移得到相应b 的范围．【解答】解：（1）222221313131131(2)(211)(1)(1)22222222222y x x x x x x x x =-++=--+=--+-+=--++=--+（2）列表得：用描点画图象得：（3）3x =-时，6y =-，3x =时，0y =当31x -<<时，y 随x 的增大而增大，且1x =时，2y =故答案为：52y -<（4）21322y x b y x x =+⎧⎪⎨=-++⎪⎩ 整理得：232x b =- 当方程只有一个解时，即对应的两函数图象只有一个交点320b ∴-=，解得：32b = 把1x =-，0y =代入y x b =+，得1b =把3x =，0y =代入y x b =+，得3b =-3b ∴-时，直线y x b =+与G 没有交点；31b -<时，直线y x b =+与G 有一个交点；312b <<时，直线y x b =+与G 有两个交点；32b =时，直线y x b =+与G 有一个交点，32b >，直线y x b =+与G 无交点．故答案为：31b -<或32b =【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数与二次函数的交点问题，根据图象利用数形结合是解决此类问题的关键．。

二次函数的实际应用(拱桥问题)教师

二次函数的实际应用(拱桥问题)教师work Information Technology Company.2020YEAR二次函数中抛物线形与拱桥问题1 有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m ，拱顶距离水面4m ．（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升h （m ）时，桥下水面的宽度为d （m ），求出将d 表示为h 的函数表达式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m ，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．解：（1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2，且过点（10，－4）∴故（2）设水位上升h m 时，水面与抛物线交于点（）则∴ （3）当d ＝18时，∴当水深超过2.76m 时会影响过往船只在桥下顺利航行。

2、如图，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处在目前的水位时，水面宽AB=10m ，如果水位上升2m ，就将达到警戒线CD ，这时水面的宽为8m.若洪水到来，水位以每小时0.1m速度上升，经过多少小时会达到拱顶解：以AB 所在的直线为x 轴,AB 中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线的顶点E 在y 轴上,且B 、D 两点的坐标分别为（5，0）、（4，2）-==-4101252a a ×，y x =-1252d h 24，-h d -=-412542×d h =-10418104076=-=h h ，.0762276..+=设抛物线为y=ax2+k.由B、D两点在抛物线上，有解这个方程组，得所以，顶点的坐标为（0，）则OE=÷0.1=（h）所以，若洪水到来，水位以每小时0.1m速度上升，经过小时会达到拱顶.3、如图4，有一座抛物线形拱桥，抛物线可用y=表示．在正常水位时水面AB 的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．(1)在正常水位时，有一艘宽8m、高2.5m的小船，它能通过这座桥吗(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计)．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通过:前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行)．试问:如果货车按原来的速度行驶，能否安全通过此桥?若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米?解：(1)由对称性，当x=4时，y=．当x=10时，y=．故正常水位时，AB距桥面4米，由，故小船能通过．(2)水位由CD处涨到点O的时间为1÷0.25=4小时．货车按原来的速度行驶的路程为40×1+40×4=200<280．∴货车按原来的速度行驶不能安全通过此桥．设货车速度提高到x千米/时，当4x+40×1=280时，x=60．∴要使货车安全通过此桥，货车的速度超过60千米/时。

专题02 二次函数的实际应用(30题)(原卷版)-2024-2025学年九年级数学上册同步学与练(人

专题第02讲二次函数的实际应用（30题）1．（2022秋•泰兴市期末）一水果店售卖一种水果，以8元/千克的价格进货，经过往年销售经验可知：以12元/千克售卖，每天可卖60千克；若每千克涨价0.5元，每天要少卖2千克；若每千克降价0.5元，每天要多卖2千克，但不低于成本价．设该商品的价格为x元/千克时，一天销售总质量为y千克．（1）求y与x的函数关系式．（2）若水果店货源充足，每天以固定价格x元/千克销售（x≥8），试求出水果店每天利润W与单价x的函数关系式，并求出当x为何值时，利润达到最大．2．（2023•朝阳）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价x/元…121314……363432…每天销售数量y/件（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？（3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？3．（2023•海淀区校级开学）电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂可以近似的看成抛物线的形状．如图，在一个斜坡BD上按水平距离间隔60米架设两个塔柱，每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为27米（AB ＝CD＝27米），以过点A的水平线为x轴，水平线与电缆的另一个交点为原点O建立平面直角坐标系，如图所示．经测量，AO＝40米，斜坡高度12米（即B、D两点的铅直高度差）．结合上面信息，回答问题：（1）若以1米为一个单位长度，则D点坐标为，下垂电缆的抛物线表达式为．（2）若电缆下垂的安全高度是13.5米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于13.5米时，符合安全要求，否则存在安全隐患．（说明：直线GH⊥x轴分别交直线BD和抛物线于点H、G．点G距离坡面的铅直高度为GH的长），请判断上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由．4．（2023春•江岸区校级月考）如图，在斜坡底部点O处安装一个的自动喷水装置，喷水头（视为点A）的高度（喷水头距喷水装置底部的距离）是1.8米，自动喷水装置喷射出的水流可以近似地看成抛物线．当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为8米时，达到最大高度5米．以点O为原点，自动喷水装置所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的解析式；（2）斜坡上距离O水平距离为10米处有一棵高度为1.75米的小树NM，MN垂直水平地面且M点到水平地面的距离为2米．①记水流的高度为y1，斜坡的高度为y2，求y1﹣y2的最大值（斜坡可视作直线OM）；②如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点N，直接写出自动喷水装置应向后平移（即抛物线向左）多少米？5．（2023•武汉模拟）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.2m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度EF＝0.5m．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离OD为d（单位：m）．（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；（2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围．6．（2022秋•华容区期末）农户销售某农产品，经市场调查发现：若售价为6元/千克，日销售量为40千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设售价为x元/千克（x≥6且为正整数）．（1）若某日销售量为24千克，求该日产品的单价；（2）若政府将销售价格定为不超过18元/千克．设每日销售额为w元，求w关于x的函数表达式，并求w的最大值和最小值；（3）市政府每日给农户补贴a元后（a为正整数），发现最大日收入（日收入＝销售额+政府补贴）还是不超过450元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于440元，请直接写出所有符合题意的a的值．7．（2023春•蔡甸区月考）如图，抛物线AB，AC是某喷水器喷出的水抽象而成，抛物线AB由抛物线AC 向左平移得到，把汽车横截面抽象为矩形DEFG，其中DE＝米，DG＝2米，OA＝h米，抛物线AC表达式为y＝a（x﹣2）2+h+，h＝，且点A，B，D，G，C均在坐标轴上．（1）求抛物线AC表达式．（2）求点B的坐标．（3）要使喷水器喷出的水能洒到整个汽车，记OD长为d米，直接写出d的取值范围．8．（2022秋•华容区期末）如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y 轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高．球第一次落地点后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（2）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取，）9．（2023•淮安一模）某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？10．（2023•盘锦）某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：每件售价x/万元…2426283032…月销售量y/件…5248444036…（1）求y与x的函数关系式（不写自变量的取值范围）．（2）该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元．①求：三月份每件产品的成本是多少万元？②四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润w（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元．11．（2023春•江都区月考）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的线段AB表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系；线段CD表示该产品销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系，已知0＜x≤120，m＞60．（1）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；（2）若m＝90，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？（3）若60＜m＜70，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？12．（2023•梁溪区模拟）为加强劳动教育，各校纷纷落实劳动实践基地．某校学生在种植某种高产番茄时，经过试验发现：①当每平方米种植2株番茄时，平均单株产量为8.4千克；②在每平方米种植的株数不超过10的前提下，以同样的栽培条件，株数每增加1株，平均单株产量减少0.8千克．（1）求平均单株产量y（千克）与每平方米种植的株数x（x为整数，且2≤x＜10）之间的函数关系式；（2）已知学校劳动基地共有10平方米的空地用于种植这种番茄．问：当每平方米种植多少株时，该学校劳动基地能获得最大的产量？最大产量为多少千克？13．（2023春•仓山区校级期末）根据以下素材，探索完成任务．如何设计大棚苗木种植方案？素材1：图1中有一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为20m，宽为1m的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面5m．素材2：种植苗木时，每棵苗木高1.76m，为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔1m，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．（1）任务1：确定大棚上半部分形状．根据图2建立的平面直角坐标系，通过素材1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的函数关系式；（2）任务2：探究种植范围．在图2的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下，确定种植点的横坐标的取值范围．14．（2023•岳麓区校级二模）从2020年开始，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足y＝﹣10x+400，设销售这种商品每天的利润为W（元）．（1）求W与x之间的函数关系式；（2）该商家每天想获得1250元的利润，又要减少库存，应将销售单价定为多少元？（3）若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求W的最大值．15．（2022秋•蜀山区校级期末）某超市经销甲、乙两种商品．商品甲每千克成本为20元，经试销发现，该种商品每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系，商品乙的成本为4元/千克，销售单价为10元/千克，但每天供货总量只有80千克，且能当天销售完．为了让利消费者，超市开展了“买一送一”活动，即买1千克的商品甲，免费送1千克的商品乙．（1）直接写出销售量y与销售单价x之间的函数表达式；（2）设这两种商品的每天销售总额为S元，求出S（元）与x（元/千克）的函数关系式；（注：商品的销售额＝销售单价×销售量）（3）设这两种商品销售总利润为W，若商品甲的售价不低于成本，不超过成本的150%，当销售单价定为多少时，才能使当天的销售总利润最大？最大利润是多少？（注：销售总利润＝两种商品的销售总额﹣两种商品的总成本）16．（2023春•莲池区校级期中）为促进学生德智体美劳全面发展，推动文化学习与体育锻炼协调发展，某校举办了学生趣味运动会．该校计划用不超过5900元购买足球和篮球共36个，分别作为运动会团体一、二等奖的奖品．已知足球单价170元，篮球单价160元．（1）学校至多可购买多少个足球？（2）受卡塔尔世界杯的影响，学校商议决定按（1）问的结果购买足球作为一等奖奖品，以鼓励更多学生热爱足球，同时商场也对足球和篮球的价格进行调整，足球单价下降了a%，篮球单价上涨了，最终学校购买奖品的经费比计划经费的最大值节省了155元，求a的值．17．（2023春•宜都市期末）某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有一次函数关系：y＝ax+b．当x＝5时，y＝40；当x＝30时，y＝140．B 城生产产品的每件成本为7万元．（1）求a，b的值；（2）当A，B两城生产这批产品的总成本之和为660万元时，求A，B两城各生产产品多少件？（3）从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D 两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在（2）的条件下，若A，B 两城总运费之和的最小值为150万元，求m的值．18．（2023•海淀区校级四模）某公园修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个可调节角度的喷水头，从喷水头喷出的水柱形状是一条抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线形水柱的竖直高度y（单位：m）与到池中心的水平距离x（单位：m）满足的关系式近似为y＝a （x﹣h）2+k（a＜0）．（1）在某次安装调试过程中，测得x与y的部分对应值如下表：水平距离x/m00.51 1.52 2.53竖直高度y/m 2.25 2.81253 2.8125 2.25 1.31250根据表格中的数据，解答下列问题：①水管的长度是m；②求出y与x满足的函数解析式y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；（2）安装工人在上述基础上进行了下面两种调试：①不改变喷水头的角度，将水管长度增加1m，水柱落地时与池中心的距离为d1；②不改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足y＝﹣0.6（x﹣1.5）2+3.6，水柱落地时与池中心的距离为d2．则比较d1与d2的大小关系是：d1d2（填“＞”或“＝”或“＜”）19．（2023•罗山县三模）实心球是中考体育项目之一．在掷实心球时，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．已知小军在一次掷实心球训练中，第一次投掷时出手点距地面1.8m，实心球运动至最高点时距地面3.4m，距出手点的水平距离为4m．设实心球掷出后距地面的竖直高度为y（m），实心球距出手点的水平距离为x（m）．如图，以水平方向为x轴，出手点所在竖直方向为y轴建立平面直角坐标系．（1）求第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式．（2）若实心球投掷成绩（即出手点与着陆点的水平距离）达到12.4m为满分，请判断小军第一次投掷实心球能否得满分．（3）第二次投掷时，实心球运动的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.08（x﹣5）2+3.8记小军第一次投掷时出手点与着陆点的水平距离为d1，第二次投掷时出手点与着陆点的水平距离为d2，则d1d2．（填“＞”“＜”“＝”）20．（2023•花溪区校级一模）过山车是一项富有刺激性的娱乐工具，在乘坐过山车的过程中能够亲身体验由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言．如图是合肥某乐园中部分过山车滑道所抽象出来的函数图象，线段AB是一段直线滑道，且AB长为米，点A到地面距离OA＝6米，点B到地面距离BE＝3米，滑道B﹣C﹣D可以看作一段抛物线，最高点为C（8，4）．（1）求滑道B﹣C﹣D部分抛物线的函数表达式；（2）当小车（看成点）沿滑道从A运动到D的过程中，小车距离x轴的垂直距离为2.5米时，它到出发点A的水平距离是多少？（3）现在需要对滑道C﹣D部分进行加固，建造某种材料的水平和竖直支架CF，PH，PG．已知这种材料的价格是75000元/米，为了预算充足，至少需要申请多少元的资金．21．（2022秋•丰都县期末）抛实心球是丰都中考体育考试项目之一，如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时，起点处高度为1.9m，当水平距离为4m时，实心球行进至最高点3.5m处．（1）求y关于x的函数表达式；（2）根据中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于9.7m时，即可得满分10分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．22．（2022秋•建昌县期末）2022年11月，“中国传统制茶技艺及其相关习俗”申遗成功，弘扬茶文化，倡导“和美雅静”的生活方式已成时尚．某茶商经销某品牌茶，成本为50元/千克，经市场调查发现，每周的销量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据列表如下：566575…销售单价x（元/千克）销量y（千克）12811090…（1）求y与x的一次函数关系式；（2）求该茶商这一周销售该品牌茶叶所获利润w（元）的最大值．23．（2023•锦州二模）近年来国家出台政策要求电动车上牌照，“保安全、戴头盔”出行．某头盔专卖店购进一批单价为36元的头盔．在销售中，通过分析销售情况发现这种头盔的月销售量y（个）与售价x（元/个）（42≤x≤72）满足一次函数关系，下表是其中的两组对应值．售价x（元/个）…5055…月销售量y（个）…10090…（1）求y与x之间的函数关系式；（2）专卖店的优惠活动：若购买一个这种头盔，就赠送一个成本为6元的头盔面罩．请问这种头盔的售价定为多少元时，月销售利润最大，最大月销售利润是多少元？24．（2023•金湖县三模）某超市购进甲、乙两种商品，已知购进5件甲商品和2件乙商品，需80元：购进3件甲商品和4件乙商品，需90元．（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？（2）设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当12≤x≤18时，甲商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表：销售单价x（元/件）1218日销售量y（件）164请写出当12≤x≤18时，y与x之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？25．（2022秋•新抚区期末）疫情防控常态化，全国人民同心抗疫．某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售，市场调查发现，线下的月销量y（件）与线下售价x（元/件，且12≤x≤16）之间满足一次函数关系，部分数据如下表：x（元/件）12131415y（件）1000900800700（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为600件．当x为何值时，线上和线下销售月利润总和W达到最大？最大利润是多少？（3）要使（2）中月利润总和W不低于4400元，请直接写出x的取值范围．26．（2023•嘉鱼县模拟）为巩固扶贫攻坚成果，我县政府督查各部门和单位对口扶贫情况．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第x天（x为正整数）的销售价格p（元/千克）关于x的函数关系为p＝，销售量y（千克）与x之间的关系如图所示．（1）直接写出y与x之间的函数关系式和x的取值范围；（2）求该农产品的销售量有几天不超过60千克？（3）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？（销售额＝销售量×销售价格）27．（2023•云梦县校级三模）李丽大学毕业后回家乡创业，开了一家服装专卖店代理品牌服装的销售．已知该品牌服装进价每件40元，日销售y（件）与销售价x（元/件）之间的关系如图所示（实线），每天付员工的工资每人82元，每天应支付其他费用106元．（1）直接写出日销售y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；（2）当某天的销售价为48元/件时，收支恰好平衡（收入＝支出），求该店员工人数；（3）若该店只有2名员工，则每天能获得的最大利润是多少元？此时，每件服装的价格应定为多少元？28．（2023•卧龙区二模）如图，在斜坡底部点O处安装一个自动喷水装置，喷水头（视为点A）的高度（喷水头距喷水装置底部的距离）是1.8米，自动喷水装置喷射出的水流可以近似地看成抛物线．当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为8米时，达到最大高度5米．以点O为原点，自动喷水装置所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的函数关系式；（2）斜坡上距离O水平距离为10米处有一棵高度为1.75米的小树NM，MN垂直水平地面，且M点到水平地面的距离为2米，绿化工人向左水平移动喷水装置后，水流恰好喷射到小树顶端的点N，求自动喷水装置向左水平平移（即抛物线向左）了多少米？29．（2023•竞秀区二模）过山车是一项富有刺激性的娱乐工具，深受年轻游客的喜爱．某游乐场修建了一款大型过山车．如图所示，A→B→C为这款过山车的一部分轨道（B为轨道最低点），它可以看成一段抛物线，其中OA＝16.9米，OB＝13米（轨道厚度忽略不计）．（1）求抛物线A→B→C的函数表达式；（2）在轨道上有两个位置P和C到地面的距离均为n米，当过山车运动到C处时，又进入下坡段C→E （接口处轨道忽略不计，E为轨道最低点），已知轨道抛物线C→E→F的形状与抛物线A→B→C完全相同，E点坐标为（33，0），求n的值；（3）现需要对轨道下坡段A→B进行安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架GD、GM、HI、HN，且要求MN＝2OM，已知这种材料的价格是100000元/米，请计算OM多长时，造价最低？最低造价为多少元？30．（2023•利辛县模拟）如图，某小区的景观池中安装一雕塑OA，OA＝2米，在点A处安装喷水装置，喷出两股水流，两股水流可以抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线（图中的C1，C2）的部分图象，两条抛物线的形状相同且顶点的纵坐标相同，且经测算发现抛物线C2的最高点（顶点）C距离水池面2.5米，且与OA的水平距离为2米．（1）求抛物线C2的解析式；（2）求抛物线C1与x轴的交点B的坐标；（3）小明同学打算操控微型无人机在C1，C2之间飞行，为了无人机的安全，要求无人机在竖直方向上的活动范围不小于0.5米，设无人机与OA的水平距离为m，求m的取值范围．。

中考专题4二次函数存在性问题教师版

特殊三角形、四边形存在性： A
1. 等腰三角形：
① 表示出点的坐标；
② 表示出线段平方；
B
③ 分类讨论：按照腰分类；
2. 直角三角形：
① 表示出点的坐标；
② 表示出线段平方；
③ 分类讨论：按照斜边分类，利用勾股定理列方程；
3. 平行四边形：
A
按照边或者对角形分类 B
C
D C
1
本专题的例题分为 A、B 两组．A 组中，我们重点讲解一下铅垂法的相关练习；B 组中，我们分析了“直角三角形、等腰三角形、平行四边形”存在性问题的解题思路，依次展开，需要同学们自己加以练习．将计算过程，踏实算一遍，再核对．
8
3．如图，直线 AB 和抛物线的交点是 A（0，﹣3），B（5，12），已知抛物线的顶点 D 的横坐标是 1．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在直线 AB 的下方抛物线上找一点 P，连接 PA，PB 使得△PAB 的面积最大，并求出这个最大值．
4．如图，抛物线 y＝ax2+bx+2 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C，抛物线的对称轴交 x 轴于点 D，直线 BC 经过 B，C 两点，已知 A（﹣1，0），B（4，0）（1）求抛物线和直线 BC 的函数解析式；（2）点 F 是线段 BC 上方抛物线上一个动点，过点 F 作 x 轴的垂线与直线 BC 相交于点 E，交 x 轴于点 M． ①当点 F 运动到什么位置时，线段 FE 有最大值，请求出线段 FE 的最大值及 F 点坐标； ②当点 F 运动到什么位置时，四边形 CDBF 有最大面积？求出四边形 CDBF 的最大面积及此时 E 点的坐标；
yF
=
yP
=3． 4

专题04 二次函数文字题、应用题重难点题型(解析版)-初中数学上学期重难点题型高分必刷题(人教版)

专题04 高分必刷题-二次函数的文字题、应用题重难点题型分类（原卷版）专题简介：本份资料包含二次函数的文字题和应用题两类题型，从各名校期中、期末试题中逐类选取代表性较强的优质试题，适合于给学生进行专题复习时使用，由于初三的各次考试也经常考查二次函数的利润问题应用题，因此本专题也适用于初三学生在每一次考试前临阵磨枪之用。

题型一：二次函数的文字题二次函数的六种解析式①2ax y =；②c ax y +=2；③2)(h x a y -=；④顶点式k h x a y +-=2)(；⑤一般式c bx ax y ++=2；⑥交点式（两根式）))((21x x x x a y --=．1．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +3经过点A （3，0）和点B （4，3）．（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式．（2）直接写出该抛物线开口方向和顶点坐标．（3）直接在所给坐标平面内画出这条抛物线．2．已知：二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）中的x 和y 满足下表：x … 0 1 2 3 4 5 … y…3﹣1m8…（1）可求得m 的值为；（2）求出这个二次函数的解析式；（3）当0＜x ＜3时，则y 的取值范围为．3．关于x的二次函数y＝ax2﹣bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y 轴交于点C（0，3）．（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的对称轴和顶点坐标．4．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）．（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当P A+PC的值最小时，求点P的坐标；（3）点M是抛物线在第一象限内图象上的任意一点，求当△BCM的面积最大时点M的坐标．5．如图：已知直线y＝x+2与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，与x轴、y轴交于点C、D．（1）求点A、B的坐标；（2）求△OAB的面积；（3）试判断△OAB的形状并证明．6．已知：抛物线y＝x2+4x+4+m的图象与y轴交于点C，点B与点C的纵坐标相同，一次函数y＝kx+b与二次函数交于A、B两点，且A点坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）若抛物线对称轴上存在一点P，使得△P AC的周长最小，求P点坐标及△P AC周长的最小值．题型九二次函数的应用题考向1：面积问题7．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm．（1）若花园的面积为192m2，求x的值；（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），这时要使得花园面积为180m2，求x的值．8.如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．（1）求S与x的函数关系式；（2）如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？（3）能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．考向2：利润问题9．某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y＝﹣x+60（30≤x≤60）．设这种双肩包每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数解析式；（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？考向2：利润问题9．某商场销售A，B两款书包，已知A，B两款书包的进货价格分别为每个30元，50元，商场用3600元的资金购进A，B两款书包共100个．（1）求A，B两款书包分别购进多少个．（2）市场调查发现，B款书包每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y＝﹣x+90（60≤x≤90）．设B款书包每天的销售利润为w元，当B款书包的销售单价为多少元时，商场每天B款书包的销售利润最大？最大利润是多少元？10．某水果专卖店销售樱桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每千克降低1元，则平均每天的销售可增加10千克，请回答：（1）写出售价为50元时，每天能卖樱桃千克，每天获得利润元．（2）若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利2240元，每千克樱桃应降价多少元？（3）若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利最大，每千克樱桃应售价多少元？11．小雨、小华、小星暑假到某超市参加社会实践活动，在活动中他们参加了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克．他们通过市场调查发现：当销售单价为10元时，那么每天可售出300千克；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少50千克．（1）求该超市销售这种水果，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式；（2）一段时间后，发现这种水果每天的销售量均不低于250千克，则此时该超市销售这种水果每天获取的利润w（元）最大是多少？（3）为响应政府号召，该超市决定在暑假期间每销售1千克这种水果就捐赠a元利润（a ≤2.5）给希望工程．公司通过销售记录发现，当销售单价不超过13元时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价x（元/千克）的增大而增大，求a的取值范围．12．“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，则该漆器笔筒销售单价x的范围为．13．某公司生产某环保产品的成本为每件40元，经过市场调研发现这件产品在未来两个月（60天）的日销量m（件）与时间t（天）的关系图象如图所示（第一个月，第二个月销量与时间满足一次关系）．未来两个月（60天）该商品每天的价格y（元/件）与时间t（天）的函数关系式为：y＝根据以上信息，解决以下问题：（1）请分别确定1≤t≤30和31≤t≤60时该产品的日销量m（件）与时间t（天）之间的函数关系式；（2）请预测未来第一个月日销售利润W1（元）的最小值是多少？第二个月日销售利润W2（元）的最大值是多少？（3）为创建“两型社会”，政府决定大力扶持该环保产品的生产和销售，从第二个月开始每销售一件该产品就补贴a元，有了政府补贴以后，第二个月内该产品日销售利润W3（元）随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围．。

二次函数的应用(含答案)

二次函数的应用练习题1、在一幅长60cm ，宽40cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是y cm 2，设金色纸边的宽度为x cm 2，那么y 关于x 的函数是（）A ．y =（60+2x ）（40+2x ）B ．y =（60+x ）（40+x ）C ．y =（60+2x ）（40+x ）D ．y =（60+x ）（40+2x ）2、把一根长为50cm 的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为x （cm ），它的面积为y （cm 2），则y 与x 之间的函数关系式为（） A ．y = -x 2+50xB ．y =x 2-50xC ．y = -x 2+25xD ．y = -2x 2+253、某公司的生产利润原来是a 元，经过连续两年的增长达到了y 万元，如果每年增长的百分数都是x ，那么y 与x 的函数关系是（）A ．y =x 2＋a B ．y =a （x －1）2C ．y =a （1－x ）2D ．y =a （1＋x ）2 4、如图所示是二次函数y=2122x -+的图象在x 轴上方的一部分，对于这段图象与x轴所围成的阴影部分的面积，你认为可能的值是（）A ．4B ．163C ．2πD ．85、周长8m 的铝合金制成如图所示形状的矩形窗柜，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（）m 2A ．45 B ． 83 C ．4 D ． 566、如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h （单位：m ）与小球运动时间t（单位：s ）之间的关系式为h =30t -5t 2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是（） A ．6sB ．4sC ．3sD ．2s7、如图，二次函数y = -x 2-2x 的图象与x 轴交于点A 、O ，在抛物线上有一点P ，满足S △AOP =3，则点P 的坐标是（）A ．（-3，-3）B ．（1，-3）C ．（-3，-3）或（-3，1）D ．（-3，-3）或（1，-3）8、向空中发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 米，且时间与高度的关系为y =ax 2+bx +c （a ≠0）、若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒9、将进货单价为70元的商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价（）A．5元B．10元C．15元D．20元（2）在销售过程中，水果商发现每天荔枝的销售量m（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足关系：m= -10x+120，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润w最大？24、某工厂在生产过程中要消耗大量电能，消耗每千度电产生利润与电价是一次函数关系，经过测算，工厂每千度电产生利润y（元/千度））与电价x（元/千度）的函数图象如图：（1）当电价为600元/千度时，工厂消耗每千度电产生利润是多少？（2）为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价x（元/千度）与每天用电量m（千度）的函数关系为x=10m+500，且该工厂每天用电量不超过60千度，为了获得最大利润，工厂每天应安排使用多少度电？工厂每天消耗电产生利润最大是多少元？参考答案1.答案：A解析：解答：长是：60+2x，宽是：40+2x，由矩形的面积公式得则y=（60+2x）（40+2x）．故选A．分析：挂图的面积=长×宽，本题需注意长和宽的求法．2.答案：C解析：解答：设这个长方形的一边长为x cm，则另一边长为（25-x）cm，所以面积y=x（25-x）= -x2+25x．故选C．分析：由长方形的面积=长×宽可求解．3.答案：D解析：解答：依题意，得y=a（1+x）2．故选D．分析：本题是增长率的问题，基数是a元，增长次数2次，结果为y，根据增长率的公式表示函数关系式．4.答案：B解析：解答：函数与y 轴交于（0，2）点，与x 轴交于（-2，0）和（2，0）两点，则三点构成的三角形面积S 1=4，则以半径为2的半圆的面积为S 2=π×12×22=2π，则阴影部分的面积S 有：4＜S ＜2π．因为选项A 、C 、D 均不在S 取值范围内．故选 B分析：本题不能硬求面积，要观察找一个范围，然后选一个合适的答案．由图形可知阴影部分的面积介于一个三角形和一个半圆之间，问题就好解决了． 5. 答案：B解析：解答：设窗户的宽是x ，根据题意得S =()832x x -=2348()(04)233x x --+<< ∴当窗户宽是43m 时，面积最大是83m 2 分析：根据窗户框的形状可设宽为x ，其高就是8-32x，所以窗户面积S =()832x x -，再求出二次函数解析式—顶点式即可求出最大面积。

二次函数应用题有答案

二次函数应用题一、引言数学源于实际，数学的发展主要依赖于生产实践。

从数学应用的角度来处理数学、阐释数学、呈现数学，可以提高理论知识的可利用水平，增强理论知识可辨别性程度。

数学概念多是由实际问题抽象而来的，大多数都有实际背景。

尽管应用的广泛性是数学的一大特征，但常常被数学教材的严谨性和抽象性所掩盖，导致学生应用数学的意识薄弱，应用能力不强。

数学的“语言”供世界各民族所共有，是迄今为止惟一的世界通用的语言，是一种科学的语言。

科学数学化，社会数学化的过程，乃是数学语言的运用过程；科学成果也是用数学语言表述的，正如伽利略所说“自然界的伟大的书是用数学语言写成的”。

从而端正并加深对数学的认识，激发我们应用数学的自觉性、主动性。

二、例题例1、一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈。

已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。

(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？简解：(1)由于抛物线的顶点是 (0，3.5)，故可设其解析式为y=ax2+3.5。

又由于抛物线过(1.5，3.05)，于是求得a=-0.2。

∴抛物线的解析式为y=-0.2x2+3.5。

(2)当x=-2.5时，y=2.25。

∴球出手时，他距地面高度是2.25-1.8-0.25=0.20(米)。

评析：运用投球时球的运动轨迹、弹道轨迹、跳水时人体的运动轨迹，抛物线形桥孔等设计的二次函数应用问题屡见不鲜。

解这类问题一般分为以下四个步骤：(1)建立适当的直角坐标系(若题目中给出，不用重建)；(2)根据给定的条件，找出抛物线上已知的点，并写出坐标；(3)利用已知点的坐标，求出抛物线的解析式。

①当已知三个点的坐标时，可用一般式y=ax2+bx+c求其解析式；②当已知顶点坐标为(k，h)和另外一点的坐标时，可用顶点式y=a(x-k)2+h求其解析式；③当已知抛物线与x轴的两个交点坐标分别为(x1，0)、(x2，0)时，可用双根式y=a(x-x1)(x-x2)求其解析式；(4)利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，从而使问题获解。

第06讲二次函数的应用-实际应用(原卷版)-【暑假预习课堂】2024年新九年级数学【赢在暑假】同步

第06讲二次函数的应用-实际应用一、列二次函数解应用题列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。

(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．(6)写出答案．要点：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.二、建立二次函数模型求解实际问题一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．要点：(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：①首先必须了解二次函数的基本性质；②学会从实际问题中建立二次函数的模型；③借助二次函数的性质来解决实际问题.例1．一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x ，两年后这台机器约为y 万元，则y 与x 的函数关系式为（）A ．2100(1)y x =-B ．100(1)y x =-C ．2100y x =-D ．2100(1)y x =+例2．长为20cm ，宽为10cm 的矩形，四个角上剪去边长为cm x 的小正方形，然后把四边折起来，作成底面为2cm y 的无盖的长方体盒子，则y 与x 的关系式为（）A ．(10)(20)(05)y x x x =--<<B ．210204(05)y x x =⨯-<<C ．(102)(202)(05)y x x x =--<<D ．22004(05)y x x =+<<例3．重装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y （元）与销售单价x （元）满足关系250500y x x =-+-，则要想获得最大利润每天必须卖出（）A ．25件B ．20件C ．30件D ．40件例4．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x （米）之间的关系式为21381055y x x =-++，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（）A ．85米B ．8米C ．10米D ．2米例5．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m ，门宽为2m ．若饲养室长为x m ，占地面积为y 2m ，则y 关于x 的函数表达式为（）A ．y ＝﹣12x 2+26x （2≤x ＜52）B ．y ＝﹣12x 2+50x （2≤x ＜52）C ．y ＝﹣x 2+52x （2≤x ＜52）D ．y ＝﹣12x 2+27x ﹣52（2≤x ＜52）例6．下表所列为某商店薄利多销的情况，某商品原价为560元，随着不同幅度的降价，日销量（单位为件）发生相应的变化．如果售价为500元时，日销量为（）件．降价（元）5 10 15 20 25 30 35 日销量（件）780 810 840 870 900 930 960A ．1200B ．750C ．1110D ．1140例7．一位运动员在距篮筐正下方水平距离4m 处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5m ，然后准确落入篮筐．如图所示，建立平面直角坐标系，已知篮筐中心到地面的距离为3.05m ，该运动员身高1.9m ，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m 处出手，球出手时，他跳离地面的高度是( )A ．0.1mB ．0.2mC ．0.3mD ．0.4m例8．如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=3m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m ，P 距抛物线对称轴1m ，则为使水不落到池外，水池半径最小为（）A ．1B ．1.5C ．2D ．3例9．小明周末前往游乐园游玩，他乘坐了摩天轮，摩天轮转一圈，他离地面高度(m)y 与旋转时(s)x 之间的关系可以近似地用2140y x bx c =-++来刻画．如图记录了该摩天轮旋转时(s)x 和离地面高度(m)y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可以推断出：当小明乘坐此摩天轮离地面最高时，需要的时间为（）A ．172sB ．175sC ．180sD ．186s例10．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x 个人，若最初2个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y 人感染．则y 与x 的函数关系式为（）A ．()221y x =+B ．()22y x =+C ．222y x =+D ．()212y x =+例11．一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（）元．A ．60B ．65C ．70D ．75例12．某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克．设当日销售单价为x （元/千克）（30x ≥，且x 是按0.5的倍数上涨），当日销售量为y （千克）．有下列说法：①当36x =时，420y =②y 与x 之间的函数关系式为301500y x =-+③若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为42元/千克④若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克其中正确的是（）A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．②④一、单选题 1．一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x ，两年后这台机器约为y 万元，则y 与x 的函数关系式为（） A ．2100(1)y x =- B ．100(1)y x =- C ．2100y x =- D ．2100(1)y x =+ 2．重装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y （元）与销售单价x （元）满足关系250500y x x =-+-，则要想获得最大利润每天必须卖出（）A ．25件B ．20件C ．30件D ．40件3．长为20cm ，宽为10cm 的矩形，四个角上剪去边长为cm x 的小正方形，然后把四边折起来，作成底面为2cm y 的无盖的长方体盒子，则y 与x 的关系式为（）A ．(10)(20)(05)y x x x =--<<B ．210204(05)y x x =⨯-<<C ．(102)(202)(05)y x x x =--<<D ．22004(05)y x x =+<<4．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y （米）与水平距离x （米）之间的关系式为21381055y x x =-++，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（）A ．85米 B ．8米 C ．10米 D ．2米 5．某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋ADB 可视为抛物线的一部分，桥面AB 可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度AB 为40米，桥拱的最大高度CD 为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与CD 的距离为5米的景观灯杆MN 的高度为（）A ．13米B ．14米C ．15米D ．16米6．西安大雁塔音乐喷泉是西安的一张名片，许多人慕名前往．若其中一组喷泉水型可近似看成抛物线族，如图出立坐标系后，可由函数()221120y t x tx =-++确定，其中1为实数．若其中某个喷泉水柱的最大高度是4，则此时对应的t 值为（）A ．2B ．4C ．2或2-D ．4成4-7．如图，一个滑道由滑坡（AB 段）和缓冲带（BC 段）组成，如图所示，滑雪者在滑坡上滑行的距离1y （单位：m ）和滑行的时间1t （单位：s ）满足二次函数关系，并测得相关数据：滑雪者在缓冲带上滑行的距离2y （单位：m ），和在缓冲带上滑行时间2t （单位：s ）满足：2222562y t t =-，滑雪者从A 出发在缓冲带BC 上停止，一共用了24s ，则滑坡AB 的长度为（）滑行时间 0 1 2 3 4滑行距离 0 4.5 14 28.5 48A ．275米B ．384米C ．375米D ．270米8．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h （单位：m ）与足球被踢出后经过的时间t （单位：s ）之间的关系如下表： t 0 1 2 3 4 5 6 7 ……h 0 8 14 18 20 20 18 14 ……下列结论：①足球距离地面的最大高度为20.25m ；②足球飞行路线的对称轴是直线92t =；③足球被踢出8s 时落地；④足球被踢出1.5s 时，距离地面的高度是45m 4，其中正确的结论有（）个A ．1B ．2C ．3D ．49．根据防疫的相关要求，学生入校需晨检，体温超标的同学须进入临时隔离区进行留观．某校要建一个长方形临时隔离区，隔离区的一面利用学校边墙（墙长5米），其它三面用防疫隔离材料搭建，但要开一扇1米宽的进出口（不需材料），共用防疫隔离材料10米搭建的隔离区的面积最大为（）平方米．A ．252B ．25C ．1218D ．15 10．某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m ）．有下列结论：①24m AB =； ②池底所在抛物线的解析式为21545y x =-； ③池塘最深处到水面CD 的距离为1.8m ；④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的14．其中结论正确的是（）A ．①②B ．②④C ．③④D ．①④二、填空题11．加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y 与加工时间x （单位：min ）满足函数表达式20.2 1.52y x x =-+-，则最佳加工时间为________min ．12．如图，以地面为x 轴，一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：米）与水平距离x （单位：米）之间的关系是21251233y x x =-++．则他将铅球推出的距离是___米．13．如图，某单位的围墙由一段段形状相同的抛物线形栅栏组成，为了牢固，每段栅栏间隔0.2米设置一根立柱（即AB 间间隔0.2米的7根立柱）进行加固，若立柱EF 的长为0.28米，则拱高OC 为_____米14．在东京奥运会跳水比赛中，中国小花全红婵的表现，令人印象深刻．在正常情况下，跳水运动员进行10米跳台训练时，必须在距水面5米之前完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易出现失误．假设某运动员起跳后第t 秒离水面的高度为h 米，且2255106h t t =-++．那么为了避免出现失误，这名运动员最多有_____秒时间，完成规定的翻腾动作．15．如图所示，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB 为20m ，顶点M 距水面6m （即6m MO =），小孔顶点N 距水面4m （即4m NC =）．当水位上涨到刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，可以得出此时大孔的水面宽度EF 是_________m ．16．小刚家装有一种可调节淋浴喷头高度的淋浴器，完全开启后，水流近似呈抛物线状，升降器AB 和淋浴喷头BC 所成∠ABC ＝135°，其中AB ＝10cm ，BC ＝102cm ．刚开始时，OA ＝140cm ，水流所在的抛物线恰好经过点A ，抛物线落地点D 和点O 相距70cm ．为了方便淋浴，淋浴器仍需完全处于开启的状态，且要求落地点和点O 的距离增加10cm ，则小刚应把升降器AB 向上平移____________cm ．17．一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线AD ，BC 为同一抛物线的一部分，AB ，CD 都与水平地面平行，当杯子装满水后4cm AB =，8cm CD =，液体高度12cm ，将杯子绕C 倾斜倒出部分液体，当倾斜角=45ABE ∠︒时停止转动，如图2所示，此时液面宽度BE =________cm ，液面BE 到点C 所在水平地面的距离是________cm ．18．“水晶晶南浔”的美食文化中以特有的双交画出名，盛面的瓷碗截面图如图1所示，碗体DEC 呈抛物线状（碗体厚度不计），点E 是抛物线的顶点，碗底高EF ＝1cm ，碗底宽AB ＝23cm ，当瓷碗中装满面汤时，液面宽CD ＝83cm ，此时面汤最大深度EG ＝6cm ，将瓷碗绕点B 缓缓倾斜倒出部分面汤，如图2，当∠ABK ＝30°时停止，此时液面CH 宽 _____cm ；碗内面汤的最大深度是 _____cm ．三、解答题 19．如图，若被击打的小球飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有的关系为2205h t t =-，请根据要求解答下列问题：(1)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少?(2)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大?最大高度是多少?20．某架飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）与滑行时间x （单位：s ）近似满足函数关系()20y ax bx a =+≠．由电子监测获得滑行时间x 与滑行距离y 的几组数据如下：滑行时间x/s0 2 4 6 8 10 滑行距离y/m 0 114 216 306 384 450(1)根据上述数据，求出满足的函数关系式()20y ax bx a =+≠；(2)飞机着陆后滑行多远才能停下来？此时滑行的时间是多少？21．某游乐场的圆形喷水池中心O 有一雕塑OA ，从A 点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同。

二次函数的实际应用解答题专项练习(原卷版)—2024-2025学年九年级数学上册(人教版)

二次函数实际应用解答题专项训练类型一：几何图形的面积问题类型二：销售中的利润问题类型三：抛物线形的形状问题类型四：抛物线形的运动轨迹问题类型一：几何图形的面积问题1．如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃．设花圃的一边AB为x m，面积为y m2．（1）若要围成面积为63m2的花圃，则AB的长是多少？（2）求AB为何值时，使花圃面积最大，并求出花圃的最大面积．2．某养殖户准备围建一个矩形鸡舍，其中一边靠墙MN，另外的边（虚线部分）用长为28米的篱笆围成，并将矩形鸡舍分成两个相同的房间，每个房间并各留出宽1米的门方便进出．已知墙的长度为12米，设这个鸡舍垂直于墙的一边的长为x米，鸡舍的面积为S．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求出鸡舍的面积S的最大值，此时x为多少米？3．如图，是400米跑道示意图，中间的足球场ABCD是矩形，两边是半圆，直道AB的长是多少？你一定知道是100米!可你也许不知道，这不仅仅为了比赛的需要，还有另外一个原因，等你做完本题就明白了．设AB＝x米．（1）请用含x的代数式表示BC．（2）设矩形ABCD的面积为S．①求出S关于x的函数表达式．②当直道AB为多少米时，矩形ABCD的面积最大？4．春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长40m，宽20m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元．（1）设育苗区的边长为x m，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是 m2，花卉B的种植面积是 m2，花卉C的种植面积是 m2．（2）育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？（3）若花卉A与B的种植面积之和不超过560m2，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值．5．如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形ABCD菜园，墙长为12米．设AB的长为x米，矩形ABCD菜园的面积为S平方米．（1）分别用含x的代数式表示BC与S；（2）若S＝54，求x的值；（3）如图2，若在分成的两个小矩形的正前方各开一个1.5米宽的门（无需篱笆），当x为何值时，S取最大值，最大值为多少？6．如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙（墙的长度为18m），另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为32m，设矩形场地的长为x m，宽为y m，面积为s m2．（1）分别求出y与x，s与x的函数解析式；（2）当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？（3）若购买的篱笆总长增加8m，矩形场地的最大总面积能否达到100m2？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．7．某家禽养殖场，用总长为200m的围栏靠墙（墙长为65m）围成如图所示的三块矩形区域，矩形EAGH 与矩形HGBF面积相等，矩形EAGH面积等于矩形DEFC面积的二分之一，设AD长为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？（3）现需要在矩形EAGH和矩形DEFC区域分别安装不同种类的养殖设备，单价分别为40元/平方米和20元/平方米，若要使安装成本不超过30000元，请直接写出x的取值范围．8．小明准备给长16米，宽12米的长方形空地栽种花卉和草坪，图中I、II、III三个区域分别栽种甲、乙、丙三种花卉，其余区域栽种草坪．四边形ABCD和EFGH均为正方形，且各有两边与长方形边重合，矩形MFNC（区域II）是这两个正方形的重叠部分，如图所示．（1）若花卉均价为450元/米2，种植花卉的面积为S（米2），草坪均价为300元/米2，且花卉和草坪裁种总价不超过65400元，求S的最大值；（2）若矩形MFNC满足MF：FN＝1：3．①求MF，FN的长；②若甲、乙、丙三种花卉单价分别为150元/米2，80元/米2，150元/米2，且边BN的长不小于边ME长的倍．求图中I、II、II三个区域栽种花卉总价W元的最大值．9．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，然后由（x+m）2≥0就可求出多项式x2+bx+c的最小值．例题：求多项式x2﹣4x+5的最小值．解：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1，因为（x﹣2）2≥0，所以（x﹣2）2+1≥1．当x＝2时，（x﹣2）2+1＝1．因此（x﹣2）2+1有最小值，最小值为1，即x2﹣4x+5的最小值为1．通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：（1）【理解探究】已知代数式A＝x2+10x+20，则A的最小值为；（2）【类比应用】张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是（3a+2）米，（2a+5）米，乙菜地的两边长分别是5a米，（a+5）米，试比较这两块菜地的面积S甲和S乙的大小，并说明理由；（3）【拓展升华】如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝12cm，点M、N分别是线段AC和BC上的动点，点M 从A点出发以1cm/s的速度向C点运动；同时点N从C点出发以2cm/s的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒，请直接写出△MCN的面积最大值．10．综合与实践，研究小组想利用在前面的空地围出一个，矩的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出的最大值：比较并判断矩形种植园的面积最类型二：销售中的利润问题11．麻花是我国的一种特色油炸面食小吃，其色、香、味俱全，品种多样，十分畅销．阳光超市购进了一批麻花礼盒进行销售，成本价为30元/件，根据市场预测，在一段时间内，销售单价为40元/件时，每天的销售量为300件，销售单价每提高10元/件，将少售出50件．（1）求超市销售该麻花礼盒每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式，并求出出变量取值范围；（2）当销售单价定为多少时，超市销售该麻花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润．12．某乡镇贸易公司开设了一家网店，销售当地某种农产品，已知该农产品成本为每千克10元，调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中10＜x≤30）（1）写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；（2）当销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？13．某文具商店用销售进价为28元/盒的彩色铅笔，市场调查发现，若以每盒40元的价格销售，平均每天销售80盒，价格每提高1元，平均每天少销售2盒，设每盒彩色铅笔的销售，价为x（x＞40）元，平均每天销售y盒，平均每天的销售利润为W元．（1）直接写出y与x之间的函数关系式：．（2）求W与x之间的函数关系式．（3）为稳定市场，物价部门规定每盒彩色铅笔的售价不得高于50元，当每盒的销售价为多少元时，平均每天获得的利润最大？最大利润是多少元？14．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）若每件商品的售价定价为55元，则每个月可卖出件；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）若在销售过程中每一件商品有a（a＞2）元的其他费用，商家发现当售价每件不低于57元时，每月的销售利润随x的增大而减小，请求出a的取值范围．15．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．小柳按照政策投资销售本市生产的一种网红螺蛳粉．已知这种网红螺蛳粉的成本价为每箱80元，出厂价为每箱100元，每月销售量y（箱）与销售单价x（元）之间满足函数关系：y＝﹣2x+400．（1）小柳在开始销售的第1月将螺蛳粉的销售单价定为120元，这个月他销售该螺蛳粉可获利元．（2）设小柳销售螺蛳粉获得的月利润为w（元），当销售单价为多少元时，月利润最大，最大利润是多少元？（3）物价部门规定，这种网红螺蛳粉的销售单价不得高于150元，那么政府每个月为他承担的总差价最少为多少元？16．某商场某商品现在的售价为每件60元，每星期可以卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出10件．已知商品的进价为每件40元．设售价为x元/件（x为正整数），每星期销售量为y件，每星期销售利润为W元．（1）直接写出y与x，W与x的函数解析式以及自变量x的取值范围；（26000元，那么该商品的售价是多少？（3）当该商品的售价定为多少时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少？17．某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式p＝x+8，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：销售价格x（元/千克）24 (10)市场需求量q（百千克）1210 (4)当每天的产量不大于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出；而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．已知销售价格不低于2元/千克，不得高于10元/千克．（1）直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）当每天的产量不大于市场需求量时，求厂家每天获得的利润的最大值；（3）当每天的产量大于市场需求量时，求厂家每天获得的最大利润．18．某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于36元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间符合一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？（3）设商场销售这种商品每天获利w（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？19．端午节是中华民族的传统节日，吃粽子是端午节的风俗之一．在今年端午节即将到来之际，某食品店以15元/盒的价格购进某种粽子，为了确定售价，食品店安排人员调查了附近A，B，C，D，E五个食品店近期该种粽子的售价与日销量情况．【数据整理】将调查数据按照一定顺序进行整理，得到下列表格：（1）分析数据的变化规律，发现日销售量与售价间存在我们学过的某种函数关系，请求出这种函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；【拓广应用】（2）①要想每天获得198元的利润，应如何定价？②售价定为多少时，每天能获得最大利润？最大利润是多少？20．某农户在30天内采用线下店面和抖音平台带货两种方式销售一批农产品．其中一部分农产品在抖音平台带货销售，已知抖音平台带货销售日销售量y1（件）与时间x（天）关系如图所示．另一部分农产品在线下店铺销售，农产品的日销售量y2（件）与时间x（天）之间满足函数关系，其中部分对应值如表所示．销售时间x（天）0102030日销售量y2（件）07510075（1）写出y1与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）试确定线下店铺日销售量y2与x的函数关系式并求出线下店铺日销售量y2的最大值；（3）已知该农户线下销售该农产品每件利润为20元，在抖音平台销售该农产品每件利润为30元，设该农户销售农产品的日销售总利润为w，写出w与时间x的函数关系式，并判断第几天日销售总利润w最大，并求出此时最大值．类型三：抛物线形的形状问题21．蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它的出现使人们可以吃到反季节蔬菜．如图，某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，宽度AB为8米，棚顶最高点距离地面高度OC为4米．以AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若借助横梁DE（DE∥AB）在大棚正中建一个2米高的门（DE到地面AB的距离为2米），求横梁DE的长度是多少米？（结果保留根号）22．一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线型，桥塔AO与桥塔BC 均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF′为x轴，以桥塔AO所在直线为y轴，建立平而直角坐标系．已知：缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC＝100m，AO＝BC＝17m，缆索L1的最低点P到FF′的距离PD＝2m．（桥塔的粗细忽略不计）（1）求缆索L1所在抛物线的函数表达式；（2）点E在缆索L2上，EF⊥FF′，且EF＝2.6m，FO＜OD，求FO的长．23．如图①为某景区一长廊，该长廊顶部的截面可近似看作抛物线型，其跨度AB为2m，长廊顶部的最高点与地面的距离CD为3m，两侧的柱子OA、BE均垂直于地面，且高度为2.5m，线段OE表示水平地面，建立如图②所示的平面直角坐标系．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）为了夜间美观，景区工作人员计划分别在距离A，B两端水平距离为0.5m处的抛物线型长廊顶部各悬挂一盏灯笼，且灯笼底部要保持离地面至少2.6m的安全距离，现市面上有一款长度为0.2m的小灯笼，试通过计算说明该款灯笼是否符合要求（忽略悬挂处长度）．24．如图1某桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B 到水面的距离是4m．（1）按如图1所示的坐标系，求该桥拱OBA的函数表达式；（2）要保证高2.26米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于0.3米），求小船的最大宽度是多少？（3）如图2，桥拱所在的函数图象的抛物线的x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．现将新函数图象向右平移m（m＞0）个单位长度，使得平移后的函数图象在9≤x≤10之间，且y随x的增大而减小，请直接写出m的取值范围．25．某一抛物线形隧道，一侧建有垂直于地面的隔离墙，其横截面如图所示，并建立平面直角坐标系．已知抛物线经过（0，3），，三点．（1）求抛物线的解析式（不考虑自变量的取值范围）；（2）有一辆高5m，顶部宽4m的工程车要通过该隧道，该车能否正常通过？并说明理由；（3）现准备在隧道上A处安装一个直角形钢架BAC，对隧道进行维修．B，C两点分别在隔离墙和地面上，且AB与隔离墙垂直，AC与地面垂直，求钢架BAC的最大长度．26．古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于运输工具或行人在桥上畅通无阻，中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省赵县汶河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敞肩石拱桥，赵州桥的主桥拱便是圆弧形．（1）某桥A主桥拱是圆弧形（如图①中），已知跨度AC＝40m，拱高BD＝10m，则这条桥主桥拱的半径是　m；（2）某桥B的主桥拱是抛物线形（如图②），若水面宽MN＝10m，拱顶P（抛物线顶点）距离水面4m，求桥拱抛物线的解析式；（3）如图③，某时桥A和桥B的桥下水位均上升了2m，求此时两桥的水面宽度．27．开封黑岗口引黄调蓄水库上的东京大桥，又名“彩虹桥”．夜晚在桥上彩灯的映衬下好似彩虹般绚丽．主景观由三个抛物线型钢拱组成（如图①所示），其中最高的钢拱近似看成二次函数的图象抛物线，钢拱最高处C点与路面的距离OC为50米，若以点O为原点，OC所在的直线为y轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，抛物线与x轴相交于A、B两点，且AB两点间的距离为80米．（1）求这条抛物线的解析式；（2）钢拱最高处C点与水面的距离CD为72米，请求出此时这条钢拱之间水面的宽度；（3）当﹣32＜x＜16时，求y的取值范围．28．根据以下素材，探索完成任务．）种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部上，根支DE根中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架上升（接问题解决29．综合与实践主题：设计高速公路的隧道高速公路隧道设计及行驶常识：为了行驶安全，高速公路的隧道设计一般是单向行驶车道，要求货车，车货总高度从地．为了保证行驶的安全，货车右侧某高速公路准备修建一个单向双车道（两个车道的宽度一样）的隧道，隧道的截面近似看成由抛物线3.5）与隧道两侧的距离类型四：抛物线形的运动轨迹问题30．某小区花园新安装了一排音乐喷泉装置，其中位于中间的喷水装置OA喷水能力最强，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，若喷出的水流高度为y（m），水流与OA之间的水平距离为x（m），y 与x之间满足二次函数关系．如图所示，经测量，喷水装置OA高度为3.5米，水流最高处离喷水装置OA的水平距离为3米，离地面竖直距离为8米．（1）求水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式；（2）若在音乐喷泉四周摆放花盆，不计其它因素，花盆需至少离喷水装置OA多少米处，才不会被喷出的水流击中？31．“急行跳远”是田径运动项目之一．运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．某运动员进行了两次训练．（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m02 2.53 3.54竖直高度y/m00.80.8750.90.8750.8根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.25（x﹣2.2）2+1.21，记该运动员第一次训练落入沙坑点的水平距离为l1，第二次训练落入沙坑点的水平距离为l2，请比较l1，l2的大小．32．如图1，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心O处竖直安装一根高度为1m的水管OA，A处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，测得喷出水流距离喷水池中心O的最远水平距离OB为3m，水流竖直高度的最高处位置C距离喷水池中心O的水平距离OD为1m．（1）求喷出水流的竖直高度y（m）与距离水池中心O的水平距离x（m）之间的关系式，并求水流最大竖直高度CD的长；（2）安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变），若要使水流离喷水池中心O的最远水平距离增大至4m，则水管OA的高度增加多少米？33．高楼火灾越来越受到重视，某区消防中队开展消防技能比赛，如图，在一废弃高楼距地面10m的点A 和其正上方点B处各设置了一个火源．消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计），第一次灭火时，站在水平地面上的点C处，水流恰好到达点A处，且水流的最大高度为12m．待A处火熄灭后，消防员退到点D处，调整水枪进行第二次灭火，使水流恰好到达点B处，已知点D到高楼的水平距离为12m，假设两次灭火时水流的最高点到高楼的水平距离均为3m．建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式；（2）若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，求A、B之间的距离；（3）若消防员站在到高楼水平距离为9m的地方，想要扑灭距地面高度12～18m范围内的火苗，当水流最高点到高楼的水平距离始终为3m时，直接写出a的取值范围．34．甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出并飞行一段距离后，其飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图建立平面直角坐标系，羽毛球从点O 的正上方发出，飞行过程中羽毛球与地面的垂直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间近似满足二次函数关系．比赛中，甲同学某次发球时如图1，羽毛球飞出一段距离后，抛物线部分的飞行高度y 与此时水平距离x 的对应七组数据如下：水平距离x /m23 3.54 4.556…竖直高度y /m3.444.15 4.2 4.154 3.4…根据以上数据，回答下列问题：（1）①当羽毛球飞行到最高点时，距地面 m ，此时水平距离是 m ；②在水平距离5m 处，放置一个高1.55m 的球网，羽毛球　（填“是”或“否”）可以过网；（2）求出y 与x 的函数解析式；（3）若甲发球过网后，乙在羽毛球飞行的水平距离为7m 的点Q 处接住球（如图2）．此时如果乙选择扣球，羽毛球的飞行高度y（m ）与水平距离x （m ）近似满足一次函数关系y ＝0.4x +m ．如果乙选择吊球，羽毛球的飞行高度 y （m ） x （m ）近似满足二次函数关系y ＝n （x ﹣6）2+3.2．上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到O 点的距离更远，请通过计算判断乙应选择哪种击球方式更合适．35．如图1，某广场要修建一个景观喷水池，水从喷头喷出后呈抛物线形状先向上至最高点后落下．将中间立柱近似看作一条线，以其为y轴建立如图2所示直角坐标系．已知中间立柱顶端C到地面的距离为6m，喷水头D恰好是立柱OC的中点．若水柱上升到最高点E时，高度为4m，到中间立柱的距离为1m．（1）求图2中第一象限内抛物线的函数表达式．（2）为了使水落下后全部进入水池中，请判断圆形水池的直径不能小于多少米？（3）实际施工时，决定对喷水设施做如下设计改进，把水池的直径修成7m，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，且喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度．36．如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E（﹣1.5，﹣10），运动员（可视为一质点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线，在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点A（1，1.25），正常情况下，运动员在距水面高度5米前必须完成规定的翻腾，打开动作，并调整好入水姿势，否则就为失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．（1）求该运动员在空中运动时所对应抛物线的解析式；（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，入水点恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水是否失误？请通过计算说明理由；（3）在该运动员入水点B的正前方M，N两点，且EM＝10.5，EN＝13.5，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k且顶点C距水面4米．若该运动员的出水点D在MN之间（含M，N两点），求a的取值范围．。

第4课二次函数的实际应用(面积最值问题)(教师)

解：∵矩形MFGN∽矩形ABCD ∴MF=2MN =2x ∴ EM=10-2x
∴S=x（10-2x）=-2x2+10x=-2(x-2.5)2+12.5 ∵，∴
当x=2.5时，S有最大值12.5
12．(2008四川内江)如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 0.5 米．
cm时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为
cm2．
16．(08兰州)一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图16所示)，拱高6m，跨度 20m，相邻两支柱间的距离均为5m．
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图17所示)，求抛物线的解析式；
（2）求支柱的长度；
（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由．
[例4]：某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH．
(1)求y与x之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？解： ∵ ∴ ∵二次函数的顶点不在自变量的范围内，而当内，随的增大而减小， ∴当时， (平方米) 答：当米时花园的面积最大，最大面积是187.5平方米．

《二次函数的应用》习题1

《二次函数的应用》习题1．一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s（米）与时间t（秒）的数据如下表：时间t（秒） 1 2 3 4 …距离s（米） 2 8 18 32 …写出用t表示s的函数关系式为．2．商品的销售量也受销售价格的影响，比如，某衬衣定价为100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨10元，销售量便减少50件．那么，每月售出衬衣的总件数y（件）与衬衣价格x（元）销售之间的函数关系式为．3．某物体从上午7时至下午4时的温度M（℃）是时间t（时）的函数：M＝t3-5t+100（其中t＝0表示中午12时，t＝1表示下午1时），则上午10时此物体的温度为℃．4．用12m长的木条，做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，则窗子的横档长为m．5．在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2+2t，则当t=4时，该物体所经过的路程为（）A．28米B．48米C．68米D．88米6．一台机器原价60万元，如果每年的折旧率是x，两年后这台机器的价位约为y万元，则y与x的函数关系式为（）A．y=60(1-x)2B．y=60(1-x) C．y=60-x2D．y=60(1+x)27．下列两个量之间的关系不属于二次函数的是（）A．速度一定时，汽车行使的路程与时间的关系B．质量一定时，物体具有的动能和速度的关系C．质量一定时，运动的物体所受到的阻力与运动速度的关系D．从高空自由降落的物体，下降的高度与下降的时间的关系8．如图，某单位计划建造一排连续3个相同的矩形饲养场，现有总长为l的围墙材料，问每个矩形的长宽之比为何值时，才能使围出的饲养场面积最大？9．某食品零售店为面包厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，统计销售情况时发现，当这种面包的单价定为7角时，每天可卖出160个．在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个．该零售店每个面包的成本是5角．设这种面包的单价为x（角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为y（角）．（1）用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；（2）求y与x之间的函数关系式；（3）当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？。

二次函数的图像与性质经典练习题(11套)附带详细答案

练习一1．二次函数的图像开口向＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿，顶点坐标是＿＿＿＿，图像有最＿＿＿点，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而增大，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而减小。

2．关于，，的图像，下列说法中不正确的是（） A ．顶点相同 B ．对称轴相同 C ．图像形状相同 D ．最低点相同 3．两条抛物线与在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（） A ．顶点相同 B ．对称轴相同 C ．开口方向相反 D ．都有最小值 4．在抛物线上，当y ＜0时，x 的取值范围应为（） A ．x ＞0 B ．x ＜0 C ．x ≠0 D ．x ≥0 5．对于抛物线与下列命题中错误的是（） A ．两条抛物线关于轴对称 B ．两条抛物线关于原点对称 C ．两条抛物线各自关于轴对称 D ．两条抛物线没有公共点6．抛物线y=－b ＋3的对称轴是＿＿＿，顶点是＿＿＿。

7．抛物线y=－－4的开口向＿＿＿，顶点坐标＿＿＿，对称轴＿＿＿，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而增大，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而减小。

8．抛物线的顶点坐标是（）A ．（1，3）B ．（1，3）C ．（1，3）D ．（1，3）9．已知抛物线的顶点为（1，2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（） A ．y=3－2 B ．y=3＋22y ax =213y x =2y x =23y x =2y x =2y x =-2y x =-2y x =2y x =-x y 2x 21(2)2x +22(1)3y x =+-------2(1)x -2(1)x +C ．y=3－2D ．y=－3－210．二次函数的图像向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得新函数表达式为（）A ．y=a ＋3B ．y=a －3C ．y=a ＋3D ．y=a －3 11．抛物线的顶点坐标是（）A ．（2，0）B ．（2，-2）C ．（2，-8）D ．（-2，-8）12．对抛物线y=－3与y=－＋4的说法不正确的是（） A ．抛物线的形状相同 B ．抛物线的顶点相同 C ．抛物线对称轴相同 D ．抛物线的开口方向相反13．函数y=a ＋c 与y=ax ＋c(a ≠0)在同一坐标系内的图像是图中的（）14．化为y=为a 的形式是＿＿＿＿，图像的开口向＿＿＿＿，顶点是＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿。

二次函数(教师版)

二次函数练习题（一）一、选择。

1. 抛物线y=－4412-+x x 的对称轴是（）B A 、x=－2 B 、x=2 C 、x=-4 D 、x=4 2. 不论x 为何值，抛物线y=ax 2+bx+c 恒为正值的条件为（）BA 、a>0,b 2-4ac>0B 、a>0,b 2-4ac<0C 、a<0,b 2-4ac>0D 、a<0,b 2-4ac<03. 一次函数y=kx+b 与二次函数y=ax 2+bx+k 在同一直角坐标系中的图像大致位置可能是（）CA4. 已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，下列结论中： ① abc>0;②b=2a;③a+b+c<0④a-b+c>0正确的个数是（）A A. 4 B.3 C.2 D.15. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在（）CA.第一象限B.第二象限C.x 轴上D.y 轴上6. 把抛物线y=2x 2向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为（）AA.y=2x 2+5B.y=2x 2-5C.y=2(x+5)2D.y=2(x-5)27. 已知抛物线y=x 2-x-1与x 轴的一个交点为（m,0）则代数式m 2-m+2008的值为（）D A.2006 B.2007 C.2008 D.2009把（m,0）带入抛物线得m 2-m-1=0,所以m 2-m+2008=1+2008=20098. 已知二次函数y=ax 2+bx+c(其中a>0,b>0,c<0)关于这个二次函数的图像有如下说法：①图像的开口一定向上；②图像的顶点一定在第四象限；③图像与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧。

以上说法正确的个数为（） A.0 B.1 C.2 D.3答案：C 因为a>0,b>0,c<0，所以044,022<-<-ab ac a b ，又因为a>0,所以①③正确.二、填空题。

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【例1】某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该
设施的下部ABCD 是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG 是等边三角形，固定点E 为AB 的中点．△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆．
（1）当MN 和AB 之间的距离为0.5米时，求此时△EMN 的面积；
（2）设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将△EMN 的面积S （平方米）表示成关于x 的函数；（3）请你探究△EMN 的面积S （平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说
明理由．
E C
D
【考点】二次函数的应用【难度】5星【题型】解答
【关键词】2009年，日照
【解析】（1）由题意，当MN 和AB 之间的距离为0.5米时，MN 应位于DC 下方，且此时△EMN 中 MN 边
上的高为0.5米.所以，S △EMN =1
20.52
⨯⨯=0.5（平方米）.即△EMN 的面积为0.5平方米.
（2）①如图1所示，当MN 在矩形区域滑动，即0＜x ≤1时，
△EMN 的面积S =1
22
x ⨯⨯=x ；
②如图2所示，当MN 在三角形区域滑动，即1＜x
＜1 如图，连接EG ，交CD 于点F ，交MN 于点H ， ∵ E 为AB 中点，
∴ F 为CD 中点，GF ⊥CD ,且FG
又∵ MN ∥CD ，
∴ △MNG ∽△DCG ． ∴
MN GH
DC GF =
，即MN = 故△EMN 的面积S
＝12x
＝2(1x ++；
综合可得：
(
)
(201111x x S x x x ≤⎧⎪
=⎛⎨++ ⎪ ⎝⎭⎩
，＜．＜＜（3）①当MN 在矩形区域滑动时，S x =，所以有01S <≤
②当MN 在三角形区域滑动时，S
=2(1x ++.
因而，当2b x a =-
=
（米）时， S 得到最大值，最大值S =2
44ac b a -
2
1-+
（
12（平方米）.
∵
112>，
∴ S
有最大值，最大值为12平方米.
【答案】（1）0.5；（2）(
)(201111x x S x x ≤⎧⎪=⎛⎨++ ⎪ ⎝⎭⎩
，＜．＜＜；（3）S
有最大值，最大值为12平方米.
【例2】如图，E 、F 分别是边长为4的正方形ABCD 的边BC CD ，上的点，4
13
CE CF ==，,直线EF 交AB
的延长线于G ，过线段FG 上的一个动点H 作HM AG ⊥，HN AD ⊥，垂足分别为M N ，，设HM x =，矩形AMHN 的面积为y
⑴ 求y 与x 之间的函数关系式；
⑵ 当x 为何值时，矩形AMHN 的面积最大，最大面积为多少？
N M
H G
F E
D C B
A
【考点】二次函数的应用
【难度】5星【题型】解答【关键词】南京
【解析】⑴ ∵正方形ABCD 的边长为4，4
13
CE CF ==，， ∴3BE =
又AG CF FEC GEB ∥，△∽△，4CF CE
BG BG BE
==，又HM BE ∥
∴HMG EBG △∽△，
MG HM
BG BE
=
∴44
833MG x AM x ==-，
∴()244880433y x x x x x ⎛
⎫=-=-+<≤ ⎪⎝⎭
⑵ ∵()2
244831233
y x x x =-+=--+
∴当3x =时，矩形面积最大，最大面积为12
【答案】（1）()24
8043y x x x =-+<≤；（2）当3x =时，矩形面积最大，最大面积为12。