3-4解析延拓解析

对于点z0的紧邻z而言|z-z0|很小，因而am最重要， am am1 ( z z0 ) am2 ( z z0 )2 ... am 即
ຫໍສະໝຸດ Baidu
从而
m F ( z ) F ( z ) a ( z z ) 0 1 2 m 0
这是说，F1(z)-F2(z)不可能在1上处处为零。这 样，在1上处处为零要求所有系数都为零。但如 果所有系数为零，势必使F1(z)-F2(z)在2上也处 处为零，这与原来的假设矛盾，因此原来假设不 成立。 因此，区域B上的解析函数F1(z)-F2(z)在子区域 b上处处为零，必在整个区域B上处处为零。即用 两种方法进行解析延拓所得到的F1(z)和F2(z)是 完全等同的，从而解析延拓是唯一的。
§3.4
以几何级数为例：
k
解析延拓
2 k
1 f ( z ) z 1 z z ... z ... F ( z) 1 z k 0
f ( z ) 1 z 2 z 4 z 6 ... 1 F ( z) 2 1 z
(| z | 1)
(| z | 1)
对于f(z)，在|z|<1的圆域b内，等效于解析函数 F(z)，在|z|>1的区域，f(z)发散，F(z)除z=1和
z=±i外，全平面解析(解析区域B)，F(z)与f(z)
在b上等同，但B含有b 。
于是就出现这样的问题：已给某个区域b上的解 析函数f(z)，能否找出另一函数F(z)，它在含有 区域b，或与b有重叠部分的另一区域B上是解析 函数，而且在区域b上，或在与b有重叠的部分上， 等同于f(z)？这个问题叫做解析延拓。 简单地说，解析延拓就是解析函数定义域的扩大。 原则上解析延拓可以利用泰勒级数进行，但具体 计算很繁琐，所以通常总是尽量利用一些特殊方 法。
不管用哪种方法进行解析延拓都可以，因为解析 延拓是唯一的。（解析延拓的唯一性） f(z)在b上解析，设用两种方 法延拓到B上，得函数F1(z) 和F2(z)。在区域b上，两者 等同于f(z) ，因而在区域b上 F1(z)-F2(z)处处为零，而在 区域B上F1(z)-F2(z)并非处处为零。选取b的边 界线上一点z0，在其邻域内，1属于b ，2不属于b ， 以z0为中心将F1(z)-F2(z)展开为泰勒级数
F1 ( z ) F2 ( z ) a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 ) 2 ... ak ( z z0 ) k ...
设这些系数中第一个不为零的是am(m是有限的)， 即
F1 ( z ) F2 ( z ) ( z z0 ) m [am am1 ( z z0 ) am 2 ( z z0 ) 2 ...]