2019-2020学年高中数学 第二章 直线和圆锥曲线位置关系导学案新人教A版选修2-1
【人教A版】高中数学必修二：第2章《点、直线、平面之间的位置关系》导学案设计 2.1.3~2.1.4
2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4 平面与平面之间的位置关系[学习目标] 1.了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示.2.了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示.知识点一 直线与平面的位置关系 1.直线与平面的位置关系2.直线与平面的位置关系的分类 (1)按公共点个数分类⎩⎨⎧有无公共点⎩⎪⎨⎪⎧直线和平面相交——有且只有一个公共点直线在平面内——有无数个公共点无公共点——直线和平面平行(2)按直线是否在平面内分类⎩⎨⎧直线在平面内——所有点在平面内直线在平面外⎩⎪⎨⎪⎧直线与平面相交直线与平面平行思考 “直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗？答 不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况；而后者仅指直线与平面平行.知识点二 两个平面的位置关系平面α与平面β平行α∥β没有公共点平面α与平面β相交α∩β＝l有一条公共直线思考分别位于两个平行平面内的两条直线有什么位置关系？答这两条直线没有公共点，故它们的位置关系是平行或异面.题型一直线与平面的位置关系①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；④如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么AB∥α.A.0B.2C.1D.3答案 C解析如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，反思与感悟 1.本题在求解时，常受思维定势影响，误以为直线在平面外就是直线与平面平行.2.判断直线与平面位置关系的问题，其解决方式除了定义法外，还可以借助模型(如长方体)和举反例两种行之有效的方法.A.0B.1C.2D.3答案A解析如图所示在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，故①错误；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误.题型二平面与平面的位置关系①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧面且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；④平面α内两条相交直线和平面β内两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行.A.③④B.②③④C.②④D.①④答案A解析当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以①②错误.反思与感悟 1.判断两平面的位置关系或两平面内的线线，线面关系，我们常根据定义，借助实物模型“百宝箱”长方体(或正方体)进行判断.2.反证法也用于相关问题的证明.①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β没有公共点.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4答案B解析①错误，a不是与β内的所有直线平行，而是与β内的无数条直线平行，有一些是异面；②正确；③错误，直线a与β内无数条直线垂直；④根据定义，a与β没有公共点，正确.分类讨论思想例3在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A，Q，B1三点的截面图形的形状.分析决定过A，Q，B1三点的截面图形的形状的因素是动点Q，所以要对点Q的位置进行分类讨论.解由于点Q是线段DD1上的动点，故①当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图：②当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图：③当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图：解后反思本例中由于点Q的位置不确定，导致截面形状不确定，故而采用分类讨论的方法来确定截面.另外，作两个平面的交线要注意直线的无限延伸性和平面的无限延展性，不要受所画图形的限制.1.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线不相交答案D解析直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点.A.若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥αB.若a∥α，则直线a与平面α内任意一条直线都平行C.若a⊂α，则a与α有无数个公共点D.若a⊄α，则a与α没有公共点答案C解析对于A，直线a与平面α有可能相交，所以A错；对于B，平面α内的直线和直线a 可能平行，也可能异面，所以B错；对于D，因为直线a与平面α可能相交，此时有一个公共点，所以D错.①平行于同一直线的两条直线平行；②平行于同一个平面的两条直线平行；③平行于同一条直线的两个平面平行；④平行于同一个平面的两个平面平行.A.1个B.2个C.3个D.4个答案B解析②中，也有可能是相交或异面，故②错误；③中，存在平行于两个相交平面的交线，且不在两个平面内的直线，故③错误.4.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是( ) A.都平行 B.都相交 C.在两个平面内D.至少与其中一个平面平行 答案 D解析 这条直线与两个平面的交线平行，有两种情形，其一是分别与这两个平面平行，其二是在一个平面内且平行于另一个平面，符合至少与一个平面平行. ①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合； ②若l ，m 是异面直线，l ∥α，m ∥β，则α∥β. 答案 ①②解析 对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，AB ∥平面DCC 1D 1，B 1C 1∥平面AA 1D 1D ，又AB 与B 1C 1异面，而平面DCC 1D 1与平面AA 1D 1D 相交，故②错误.1.空间中直线与平面的位置关系有两种分类方式 (1)按公共点的个数分类⎩⎨⎧直线与平面平行(直线与平面没有公共点)直线与平面不平行⎩⎪⎨⎪⎧直线与平面相交(直线与平面有惟一公共点)直线在平面内(直线与平面有无数个公共点)(2)按是否在平面内分类⎩⎨⎧直线在平面内直线在平面外⎩⎪⎨⎪⎧直线与平面相交直线与平面平行2.判断直线与平面及平面与平面位置关系常用定义和反证法.一、选择题1.若a ，b 是异面直线，且a ∥平面α，则b 与α的位置关系是( ) A.b ∥α B.相交C.b ⊂αD.b ⊂α、相交或平行答案 D解析 如图所示，选D.2.与同一平面平行的两条直线()A.平行B.相交C.异面D.平行、相交或异面答案D解析与同一平面平行的两条直线的位置关系有三种情况：平行、相交或异面.3.若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是()A.α内的所有直线均与a异面B.α内不存在与a平行的直线C.α内的直线均与a相交D.直线a与平面α有公共点答案D解析若直线a不平行平面α，则a∩α＝A或a⊂α，故D项正确.①三个平面最多可以把空间分成八部分；②若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价；③若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈l；④若n条直线中任意两条共面，则它们共面.其中正确的是()A.①②B.②③C.③④D.①③答案D解析对于①，正确；对于②，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b；对于③，正确；对于④，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故④错.所以正确的是①③.5.过平面外一条直线作平面的平行平面()A.必定可以并且只可以作一个B.至少可以作一个C.至多可以作一个D.一定不能作答案C解析因为直线在平面外包含两种情况：直线与平面相交和直线与平面平行.当直线与平面相交时，不能作出符合题意的平面；当直线与平面平行时，可作出惟一的一个符合题意的平面.①两个平面平行，这两个平面内的直线都平行；②两个平面平行，其中一个平面内任何一条直线都平行于另一平面；③两个平面平行，其中一个平面内一条直线和另一个平面内的无数条直线平行；④两个平面平行，各任取两平面的一条直线，它们不相交.A.①B.②③④C.①②③D.①④答案B解析①不正确，因为这两条直线可能是异面；②③④都正确，可根据线面平行的定义或面面平行的定义或观察几何体模型进行判断.7.在长方体ABCDA1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有()A.2个B.3个C.4个D.5个答案B解析如图所示，结合图形可知AA1∥平面BB1C1C，AA1∥平面DD1C1C，AA1∥平面BB1D1D.二、填空题8.如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是________(填序号).①不可能只有两条交线；②必相交于一点；③必相交于一条直线；④必相交于三条平行线.答案①解析空间的三个平面两两相交，可能只有一条交线，也可能有三条交线，这三条交线可能交于一点.①如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；②若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β；③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交；④若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交.答案①③对于③，若a与b相交，则α与β相交与条件矛盾，③正确；对于④，当a与b重合时，a在β内；当a∥b时，a∥β；当a与b相交时，a与β相交，④不正确.10.给出下列几个说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；④过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行.其中正确有________个.答案1解析①当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故①错误；②由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条，故②错误；③过棱柱的上底面内的一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故③错误；④过平面外一点与已知平面平行的平面有且只有一个，故④正确.三、解答题11.如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论.解a∥b，a∥β.证明如下：由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a、b无公共点.又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b.∵α∥β，∴α与β无公共点.又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β.12.如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论.解平面ABC与β的交线与l相交.证明如下：∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，∴AB与l一定相交.设AB∩l＝P，则P∈AB，P∈l.又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，∴P∈平面ABC，P∈β.∴点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C 是不同的两点，∴直线PC就是平面ABC与β的交线，即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，∴平面ABC与β的交线与l相交.。
【人教A版】高中数学必修二：第2章《点、直线、平面之间的位置关系》导学案设计 2.2.3~2.2.4
2.2.3直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平行的性质[学习目标] 1.能应用文字语言、符号语言、图形语言准确描述直线与平面平行，两平面平行的性质定理.2.能用两个性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题.知识点一直线与平面平行的性质定理思考(1)若直线a∥平面α，则直线a平行于平面α内的任意一条直线，对吗？(2)若直线a与平面α不平行，则直线a就与平面α内的任一直线都不平行，对吗？答(1)不对.若直线a∥平面α，则由线面平行的性质定理可知直线a与平面α内的一组直线平行.(2)不对.若直线a与平面α不平行，则直线a与平面α相交或a⊂α.当a⊂α时，α内有无数条直线与直线a平行.知识点二平面与平面平行的性质思考(1)两个平面平行，那么两个平面内的所有直线都相互平行吗？(2)两个平面平行，其中一个平面内直线必平行于另一个平面吗？答(1)不一定.因为两个平面平行，所以这两条直线无公共点，它们平行或异面.(2)平行.因为两个平面平行，则两个平面无公共点，则其中一个平面内的直线必和另一个平面无公共点，所以它们平行.题型一线面平行性质定理的应用例4如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.证明连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点.又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BDM.又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.线∥线.在空间平行关系中，交替使用线线平行、反思与感悟线∥面线面平行的性质线面平行的判定线面平行的判定定理与性质定理是解决此类问题的关键.跟踪训练1如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BB1上不同于B、B1的任一点，AB1∩A1E＝F，B1C∩C1E＝G.求证：AC∥FG.证明∵AC∥A1C1，A1C1⊂平面A1EC1，AC⊄平面A1EC1，∴AC∥平面A1EC1.又∵平面A1EC1∩平面AB1C＝FG，∴AC∥FG.题型二面面平行性质定理的应用例2已知AB、CD是夹在两个平行平面α、β之间的线段，M、N分别为AB、CD的中点，求证：MN∥平面α.证明①若AB、CD在同一平面内，则平面ABDC与α、β的交线为BD、AC.∵α∥β，∴AC∥BD.又M、N为AB、CD的中点，∴MN∥BD.又BD⊂平面α，MN⊄平面α，∴MN∥平面α.②若AB 、CD 异面，如图，过A 作AE ∥CD 交α于E ，取AE 的中点P ，连接MP 、PN 、BE 、ED . ∵AE ∥CD .∴AE 、CD 确定平面AEDC .则平面AEDC 与α、β的交线分别为ED 、AC ，∵α∥β，∴ED ∥AC . 又P 、N 分别为AE 、CD 的中点， ∴PN ∥ED ，又ED ⊂平面α，PN ⊄平面α， ∴PN ∥平面α.同理可证MP ∥BE ，∴MP ∥平面α， ∵AB 、CD 异面，∴MP 、NP 相交. ∴平面MPN ∥平面α.又MN ⊂平面MPN ，∴MN ∥平面α.反思与感悟 1.利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，往往需要有三个平面，即有两平面平行，再构造第三个面与两平行平面都相交. 2.面面平行⇒线线平行，体现了转化思想与判定定理的交替使用，可实现线线、线面及面面平行的相互转化.跟踪训练2 如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l ，m 分别与平面α，β，γ相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .已知AC ＝15 cm ，DE ＝5 cm ，AB ∶BC ＝1∶3，求AB ，BC ，EF 的长. 解 如图，连接AF ，交β于点G ， 连接BG ，GE ，AD ，CF . 因为平面α∥平面β∥平面γ， 所以BG ∥CF ，GE ∥AD . 所以AB BC ＝AG GF ＝DE EF ＝13.所以AB AB ＋BC ＝14.所以AB ＝154cm ，EF ＝3DE ＝15 cm ，BC ＝AC －AB ＝454cm.题型三 平行关系的综合应用例3 如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1的中点是P ，过点A 1作与截面PBC 1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积.解 能，如图，取AB ，C 1D 1的中点M ，N ，连接A 1M ，MC ，CN ，NA 1. ∵平面A 1C 1∥平面AC ，平面A 1C ∩平面A 1C 1＝A 1N ，平面AC ∩平面A 1C ＝MC ， ∴A 1N ∥MC .同理，A 1M ∥NC .∴四边形A 1MCN 是平行四边形. ∵C 1N ＝12C 1D 1＝12A 1B 1＝A 1P ，C 1N ∥A 1P ，∴四边形A 1PC 1N 是平行四边形， ∴A 1N ∥PC 1且A 1N ＝PC 1. 同理，A 1M ∥BP ，A 1M ＝BP . 又∵A 1N ∩A 1M ＝A 1，C 1P ∩PB ＝P ， ∴平面A 1MCN ∥平面PBC 1.故过点A 1与截面PBC 1平行的截面是▱A 1MCN . 连接MN ，作A 1H ⊥MN 于点H .由题意，易得A 1M ＝A 1N ＝5，MN ＝2 2. ∴MH ＝NH ＝2，∴A 1H ＝ 3. 故112 A MCNA MN SS＝2×12×22×3＝2 6. 反思与感悟 在将线面平行转化为线线平行时，注意观察图形中是不是性质定理中符合条件的平面.跟踪训练3 如图，三棱锥A －BCD 被一平面所截，截面为平行四边形EFGH .求证：CD ∥平面EFGH .证明 ∵四边形EFGH 是平行四边形，∴EF ∥GH . ∵EF ⊄平面BCD ，GH ⊂平面BCD ， ∴EF ∥平面BCD .又∵EF ⊂平面ACD ， 平面ACD ∩平面BCD ＝CD ，∴EF ∥CD . 又∵EF ⊂平面EFGH ，CD ⊄平面EFGH ， ∴CD ∥平面EFGH .转化与化归思想例4如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面P AD∩平面PBC＝l.(1)求证：l∥BC；(2)MN与平面P AD是否平行？试证明你的结论.分析欲证明线线平行可考虑线面平行的性质，欲证明线面平行可考虑线面平行的判定或面面平行的性质.(1)证明因为AD∥BC，BC⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，所以BC∥平面P AD.所以AD∥平面PBC.又因为平面PBC∩平面P AD＝l，所以l∥BC.(2)解平行.证明如下：如图，取CD的中点Q，连接NQ，MQ.因为M，N分别是AB，PC的中点，所以MQ∥AD，NQ∥PD.因为MQ∩NQ＝Q，AD∩PD＝D，所以平面MNQ∥平面P AD.因为MN⊂平面MNQ，所以MN∥平面P AD.解后反思常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，三种平行关系不是孤立的，而是相互联系的.面面平行问题常常转化为线面平行问题，而线面平行问题又可转化为线线平行问题，所以要注意转化思想的应用.忽视定理的条件例6如图，已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形BED1F是平行四边形.分析已知E，F两点为正方体棱的中点，若证四边形BED1F为平行四边形，则先证B，E，D1，F四点共面，再证四边形BED1F为平行四边形.证明如图，连接AC，BD，交点为O；连接A1C1，B1D1，交点为O1.连接BD1，EF，OO1.设OO1的中点为M.由正方体的性质可得四边形ACC1A1为矩形.又因为E，F分别为AA1，CC1的中点，所以EF过OO1的中点M，同理四边形BDD1B1为矩形，BD1过OO1的中点M，所以EF与BD1相交于点M.所以E，B，F，D1四点共面.又因为平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面EBFD1∩平面ADD1A1＝ED1，平面EBFD1∩平面BCC1B1＝BF，所以ED1∥BF.同理，EB∥D1F.所以四边形BED1F是平行四边形.解后反思本例中常见的错误是没有证明E，B，F，D1四点共面，而是想当然地认为这四点共面，然后由平面ADD1A1∥平面BCC1B1，且这两个平面与平面EBFD1的交线分别为ED1和BF，故而得出ED1∥BF.这种证法的错误根源在于忽视了立体几何中定理的要求条件，人为地假设条件存在，缺乏严谨性.1.如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线()A.只和这个平面内的一条直线平行B.只和这个平面内两条相交直线不相交C.和这个平面内的任何一条直线都平行D.和这个平面内的任何一条直线都不相交答案D解析一条直线和一个平面平行，则这条直线和这个平面没有公共点，那么这条直线与这个平面内的任何一条直线都没有公共点，所以这条直线和这个平面内的直线都不相交. 2.已知a ，b 表示直线，α，β，γ表示平面，下列推理正确的是( ) A.α∩β＝a ，b ⊂α⇒a ∥b B.α∩β＝a ，a ∥b ⇒b ∥α且b ∥β C.a ∥β，b ∥β，a ⊂α，b ⊂α⇒α∥β D.α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b 答案 D解析 A 中α∩β＝a ，b ⊂α，则a ，b 可能平行也可能相交；B 中α∩β＝a ，a ∥b ，则可能b ∥α且b ∥β，也可能b 在平面α或β内；C 中a ∥β，b ∥β，a ⊂α，b ⊂α，根据面面平行的判定定理，若再加上条件a ∩b ＝A ，才能得出α∥β；D 为面面平行的性质定理的符号语言，正确.故选D.3.若不在同一直线上的三点A ，B ，C 到平面α的距离相等，且A ∉α，则( ) A.α∥平面ABCB.△ABC 中至少有一边平行于αC.△ABC 中至多有两边平行于αD.△ABC 中只可能有一边与α相交 答案 B解析 若三点在平面α的同侧，则α∥平面ABC ，有三边平行于α.若一点在平面α的一侧，另两点在平面α的另一侧，则有两边与平面α相交，有一边平行于α，故△ABC 中至少有一边平行于α.4.在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是棱AD 上一点，AP ＝13，过点P ，E ，F 的平面与棱CD 交于Q ，则PQ ＝________.答案223解析 易知EF ∥平面ABCD ，PQ ＝平面PEF ∩平面ABCD ，∴EF ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝23，故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝223. 5.如图所示的正方体的棱长为4，E ，F 分别为A 1D 1，AA 1的中点，过C 1，E ，F 的截面的周长为________.答案 45＋62解析由EF∥平面BCC1B1可知平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1，平面EFC1与平面ABB1A1的交线为BF，所以截面周长为EF＋FB＋BC1＋C1E＝45＋6 2.1.三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：2.证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“由已知想性质，由求证想判定”，是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段.一、选择题A.AC⊥BDB.AC∥截面PQMNC.AC＝BDD.异面直线PM与BD所成的角为45°答案C解析∵截面PQMN为正方形，∴PQ∥MN，从而易得PQ∥面DAC.又∵面ABC∩面ADC ＝AC，PQ⊂面ABC，∴PQ∥AC.从而易得AC∥平面PNMQ.同理可得QM∥BD.又∵PQ⊥QM，∠PMQ＝45°，∴AC⊥BD，且异面直线PM与BD所成的角为45°.故选项A、B、D正确. 2.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段P A，PB，PC于点A′，B′，C′.若P A′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于()A.2∶25B.4∶25C.2∶5D.4∶5答案B解析∵平面α∥平面ABC，平面P AB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴A′B′∥AB.同理B ′C ′∥BC ，A ′C ′∥AC ，从而易得△A ′B ′C ′∽△ABC ，且A ′B ′AB ＝P A ′P A ＝25，∴S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝⎝⎛⎭⎫A ′B ′AB 2＝425.3.设α∥β，A ∈α，B ∈β，C 是AB 的中点，当A ，B 分别在平面α，β内运动时，那么所有的动点C ( ) A.不共面B.当且仅当A ，B 分别在两条直线上移动时才共面C.当且仅当A ，B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D.不论A ，B 如何移动，都共面 答案 D解析 如图所示，A ′，B ′分别是A ，B 两点在α，β上运动后的两点，此时AB 中点变成A ′B ′中点C ′.连接A ′B ，取A ′B 的中点E ，连接CE ，C ′E ，CC ′，AA ′，BB ′.则CE ∥AA ′，从而易得CE ∥α.同理C ′E ∥β.又∵α∥β，∴C ′E ∥α.∵C ′E ∩CE ＝E .∴平面CC ′E ∥平面α.∴CC ′∥α.故不论A ，B 如何移动，所有的动点C 都在过点C 且与α，β平行的平面上.4.如图，四棱锥P ABCD 中，M ，N 分别为AC ，PC 上的点，且MN ∥平面P AD ，则( ) A.MN ∥PD B.MN ∥P A C.MN ∥AD D.以上均有可能 答案 B解析 ∵MN ∥平面P AD ，MN ⊂平面P AC ， 平面P AD ∩平面P AC ＝P A ，∴MN ∥P A .5.直线a ∥平面α，α内有n 条直线交于一点，则这n 条直线中与直线a 平行的直线( ) A.至少有一条 B.至多有一条 C.有且只有一条 D.没有 答案 B解析设这n条直线的交点为P，则P∉a，∴直线a和点P确定一个平面β.设α∩β＝b，则P∈b.又∵a∥α，∴a∥b.显然直线b有且只有一条，那么直线b可能在这n条直线中，也可能不在，即这n条直线中与直线a平行的直线至多有一条.6.下列结论中，正确的有()①若a⊄α，则a∥α②a∥平面α，b⊂α，则a∥b③平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则a∥b④平面α∥β，点P∈α，a∥β，且P∈a，则a⊂αA.1个B.2个C.3个D.4个答案A解析①中，a与α也可能相交，故①不正确；②③中，a与b也可能异面，故②③不正确；④中，∵a∥β，α∥β，∴a∥α或a⊂α，又∵P∈a，P∈α，∴a⊂α，故④正确.7.过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为()A.都平行B.都相交且一定交于同一点C.都相交但不一定交于同一点D.都平行或交于同一点答案D解析∵l⊄α，∴l∥α或l与α相交.①若l∥α，则由线面平行的性质定理可知l∥a，l∥b，l∥c，…，∴a，b，c，…，这些交线都平行.②若l与α相交，不妨设l∩α＝A，则A∈l，又由题意可知A∈a，A∈b，A∈c，…，∴这些交线交于同一点A.综上可知D正确.二、填空题①若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥β；②若a，b相交且都在α，β外，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则α∥β；③若a∥α，a∥β，则α∥β；④若a∥α，b∥β，且a∥b，则α∥β；⑤若a⊂α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b.答案②⑤解析①错误，α与β也可能相交；②正确，依题意，由a，b确定的平面γ，满足γ∥α，γ∥β，故α∥β；③错误，α与β也可能相交；④错误，α与β也可能相交；⑤正确，由线面平行的性质定理可知.9.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上.若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________.答案 2 解析 因为EF ∥平面AB 1C ，且EF ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面AB 1C＝AC ，所以EF ∥AC .又因为E 为AD 的中点，所以EF 为△ACD 的中位线，所以EF ＝12AC ＝12×22＝ 2. 10.如图所示，直线a ∥平面α，A ∉α，并且a 和A 位于平面α两侧，点B ，C ∈a ，AB 、AC 分别交平面α于点E 、F ，若BC ＝4，CF ＝5，AF ＝3，则EF ＝________.答案 32解析 EF 可看成为直线a 与点A 确定的平面与平面α的交线，∵a ∥α，由线面平行的性质定理知，BC ∥EF ，由条件知AC ＝AF ＋CF ＝3＋5＝8.又EF BC ＝AF AC ，∴EF ＝AF ×BC AC ＝3×48＝32. 三、解答题11.如图所示，B 为△ACD 所在平面外一点，M ，N ，G 分别为△ABC ，△ABD ，△BCD 的重心.(1)求证：平面MNG ∥平面ACD ；(2)求S △MNG ∶S △ADC .(1)证明 如图，连接BM ，BN ，BG 并分别延长交AC ，AD ，CD 于P ，F ，H .∵M ，N ，G 分别为△ABC ，△ABD ，△BCD 的重心，则有BM MP ＝BN NF ＝BG GH＝2. 连接PF ，FH ，PH ，有MN ∥PF .又PF ⊂平面ACD ，MN ⊄平面ACD ，∴MN ∥平面ACD .同理MG ∥平面ACD .又MG ∩MN ＝M ，∴平面MNG ∥平面ACD .(2)解 由(1)可知，MG PH ＝BG BH ＝23， ∴MG ＝23PH .又PH ＝12AD ，∴MG ＝13AD . 同理NG ＝13AC ，MN ＝13CD ， ∴△MNG ∽△ADC ，且相似比为1∶3，∴S △MNG ∶S △ADC ＝1∶9.12.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，且CM ＝DN .求证：MN ∥平面AA 1B 1B .证明 如图，作MP ∥BB 1交BC 于点P ，连接NP ， ∵MP ∥BB 1，∴CM MB 1＝CP PB .∵BD ＝B 1C ，DN ＝CM ，∴B 1M ＝BN ，∴CMMB 1＝DN NB ，∴CP PB ＝DNNB ，∴NP ∥CD ∥AB .∵NP ⊄平面AA 1B 1B ，AB ⊂平面AA 1B 1B ，∴NP ∥平面AA 1B 1B .∵MP ∥BB 1，MP ⊄平面AA 1B 1B ，BB 1⊂平面AA 1B 1B ，∴MP ∥平面AA 1B 1B .又∵MP ⊂平面MNP ，NP ⊂平面MNP ，MP ∩NP ＝P ， ∴平面MNP ∥平面AA 1B 1B .∵MN ⊂平面MNP ，∴MN ∥平面AA 1B 1B .。
2019-2020年高三数学 第55课时 直线与圆锥曲线的位置关系教案
2019-2020年高三数学 第55课时 直线与圆锥曲线的位置关系教案教学目标：直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用. （一） 主要知识及主要方法：1.对相交弦长问题及中点弦问题要正确运用“设而不求”，常结合韦达定理 . 2.解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否 有解或解的个数问题.对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式△，注意直线与圆锥曲线相切必有一个公共点，对圆与椭圆来说反之亦对，但对双曲线和抛物线来说直线与其有一公共点，可能是相交的位置关系.有时借助图形的几何性质更为方便.3.涉及弦的中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用“点差法”，但必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法.4.直线与圆锥曲线相交的弦长计算：()1连结圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦；()2易求出弦端点坐标时用距离公式求弦长；()3一般情况下,解由直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组,得到关于x (或y )的一元二次方程,利用方程组的解与端点坐标的关系，结合韦达定理得到弦长公式：d ==2212))(11(y y k-+. 焦点弦的长也可以直接利用焦半径公式处理，可以使运算简化.焦点弦长：PFe d= PF ed ⇒=（点P 是圆锥曲线上的任意一点，F 是焦点，d 是P 到相应于焦点F 的 准线的距离，e 是离心率）5.涉及垂直关系问题，一般是利用斜率公式及韦达定理求解，设()11,A x y 、()22,B x y ，()00,P x y 是直线与圆锥曲线的两个交点，O 为坐标原点，则OA OB ⊥⇔12120x x y y +=， AP BP ⊥⇔()()()()010201020x x x x y y y y -⋅-+-⋅-=6.解析几何解题的基本方法：数形结合法，以形助数，用数定形.常用此法简化运算.（二）典例分析：问题1．设直线l 过双曲线2213y x -=的一个焦点，交双曲线于A 、B 两点，O 为坐标原点，若0OA OB ⋅=，求AB 的值.问题2．过抛物线22y px =（0p >）的焦点作一条直线交抛物线于()11,A x y 、()22,B x y ，两点，设直线的倾斜角为θ.求证：()1212y y p ⋅=-；()222sin pAB θ=问题3．（04湖北）直线l ：1y kx =+与双曲线C ：2221x y -=的右支交于不同的两点A 、B .（Ⅰ）求实数k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.问题4． （07天津质检）已知中心在原点，焦点在x 轴上的一个椭圆与圆2254202x y x y +--+=交于A 、B 两点，AB 恰是该圆的直径，且AB 的斜率为12-，求此椭圆的方程.（三）课后作业：1.（07南通九校联考）过双曲线2212y x -=的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点， 若4AB =，则满足条件的直线l 有 .A 2条 .B 3条 .C 4条 .D 无数条2.已知双曲线C :2214y x -= ，过点P (1,1)作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点， 则满足上述条件的直线l 共有 .A 1 条 .B 2条 .C 3条 .D 4条3.（07北京海淀区）若不论k 为何值，直线()2y k x b =-+与直线221x y -=总有公共点，则b 的取值范围是.A ( .B ⎡⎣ .C ()2,2- .D []2,2-4.直线10kx y k -++=与椭圆2212516x y +=公共点的个数是 .A 0 .B 1 .C 2 .D 随k 变化而改变5.椭圆122=+ny mx 与直线1=+y x 交于,M N 两点，MN 的中点为P ，且OP 的斜率为22，则nm的值为 .A 22 .B 322 .C 229 .D 27326.已知椭圆2224x y +=，则以(1,1)为中点的弦的长度是.A .B .C 3.D 27.若直线1y kx =+和椭圆22125x y m+=恒有公共点，则实数m 的取值范围为8.过椭圆2222x y +=的一个焦点的直线交椭圆于P 、Q 两点,求POQ △面积的最大值9.中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的左焦点为F ，离心率为13e =，过F 作直线l 交椭圆于,A B 两点，已知线段AB 的中点到椭圆左准线的距离是6，则AB =10.已知双曲线的方程为2213y x -=.()1求以点()2,1A 为中点的弦所在的直线方程； ()2以点()1,1B 为中点的弦是否存在？若存在，求出弦所在的直线方程；若不存在，请说明理由.（四）走向高考：11.（06福建）已知双曲线12222=-by a x (0a >，0b >)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 .A (]1,2 .B ()1,2 .C [)2,+∞ .D ()2,+∞12.（07全国Ⅰ）已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于,B D 两点，过2F 的直线交椭圆于,A C 两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．。
【人教A版】高中数学必修二：第2章《点、直线、平面之间的位置关系》导学案设计 第二章 2.3.1
2.3.1直线与平面垂直的判定[学习目标] 1.掌握直线与平面垂直的定义.2.掌握直线与平面垂直的判定定理.3.理解直线与平面所成的角的概念，并能解决简单的线面角问题.知识点一直线与平面垂直画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直思考直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”？答定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直.知识点二直线与平面垂直的判定定理思考线面垂直判定定理中，平面内两条相交直线和已知直线l必须有公共点吗？答用线面垂直判定定理判定直线与平面垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则是无关紧要的.知识点三直线和平面所成的角思考若直线l与平面α所成的角是0°角，则必然有l∥α吗？答不一定.若直线l与平面α所成的角是0°角，则l∥α或l⊂α.题型一直线和平面垂直的定义例1直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是()A.l和平面α平行B.l和平面α垂直C.l在平面α内D.不能确定答案D解析如图所示，直线l和平面α平行，或直线l和平面α垂直或直线l在平面α内都有可能.故正确答案为D.反思与感悟 1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直.2.由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.A.若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB.若l⊥α，l∥m，则m⊥αC.若l∥α，m⊂α，则l∥mD.若l∥α，m∥α，则l∥m答案B解析对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因l⊥α，则l垂直α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m 异面；对于D，l，m还可能相交或异面.题型二线面垂直的判定例2如图所示，已知P A垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E.求证：AE⊥平面PBC.证明∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.而P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.又∵AE⊂平面P AC，∴BC⊥AE.∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.反思与感悟证线面垂直的方法有：(1)线线垂直证明线面垂直：①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直.(2)平行转化法(利用推论)：①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.跟踪训练2如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.证明∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO.又∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，又∵BO ∩BB 1＝B ，∴AC ⊥平面BB 1O ， 又EF 是△ABC 的中位线， ∴EF ∥AC ，∴EF ⊥平面BB 1O .题型三 直线与平面所成的角例3 如图所示，已知正四面体ABCD 的棱长a ，E 为AD 的中点，连接CE .(1)求AD 与平面BCD 所成角的余弦值； (2)求CE 与平面BCD 所成角的正弦值.解 (1)如图所示，过点A 作AO ⊥底面BCD ，垂足为点O ，连接OB ，OC ，OD .则OB ，OC ，OD 分别是AB ，AC ，AD 在平面BCD 上的射影. ∴∠ADO 为直线AD 与平面BCD 所成的角. 又∵AB ＝AC ＝AD ，∴OB ＝OC ＝OD . ∴O 为△BCD 的外心.∵△BCD 为正三角形，∴点O 为重心. 又正四面体棱长为a ，∴OD ＝32a ×23＝33a . ∴cos ∠ADO ＝OD AD ＝33，∴AD 与平面BCD 所成角的余弦值为33. (2)取OD 的中点F ，连接EF ，CF .∵E ，F 分别为△DAO 的边AD ，OD 的中点， ∴EF 为△DAO 的中位线. ∴EF ∥AO .又AO ⊥平面BCD ，∴EF ⊥平面BCD . ∴FC 为EC 在平面BCD 上的射影. ∴∠ECF 为CE 与平面BCD 所成的角. 在Rt △EFC 中，EF ＝12AO .而AO ＝AD 2－OD 2＝ a 2－⎝⎛⎭⎫33a 2＝63a ， ∴EF ＝66a . ∵E 为AD 的中点，∴CE ＝32AD ＝32a .∴sin∠ECF＝EFCE＝66a32a＝23.∴CE与平面BCD所成角的正弦值为2 3.反思与感悟 1.求直线和平面所成角的步骤：(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角即为所求的角；(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.2.在上述步骤中，作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，图形中的特殊点是突破口.跟踪训练3在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，A1D1的中点.(1)求D1B与平面AC所成的角的余弦值；(2)求EF与平面A1C1所成的角的大小.解(1)如图所示，连接DB.因为D1D⊥平面AC，所以DB是D1B在平面AC内的射影.所以∠D1BD即为D1B与平面AC所成的角.在Rt△D1DB中，DB＝2AB，D1B＝3AB，所以cos∠D1BD＝DBD1B＝63.故D1B与平面AC所成的角的余弦值为6 3.(2)因为E是A1A的中点，A1A⊥平面A1C1，所以∠EF A1是EF与平面A1C1所成的角.在Rt△EA1F中，因为F是A1D1的中点，所以∠EF A1＝45°.故EF与平面A1C1所成的角的大小为45°.分类讨论思想例4 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a (a ＞0)，P A ⊥平面AC ，且P A ＝1，问：BC 边上是否存在点Q ，使得PQ ⊥QD ？并说明理由. 分析 由于矩形是变动的，在BC 边上是否存在点Q ，使得PQ ⊥QD 与a 有关，故应对a 进行分类讨论.解 因为P A ⊥平面AC ，QD ⊂平面AC ， 所以P A ⊥QD .又因为PQ ⊥QD ，P A ∩PQ ＝P ， 所以QD ⊥平面P AQ .所以AQ ⊥QD .①当0＜a ＜2时，由四边形ABCD 是矩形，且AB ＝1，知以AD 为直径的圆与BC 无交点，即对于BC 上任一点Q ，都有∠AQD ＜90°，此时BC 边上不存在点Q ，使PQ ⊥QD ； ②当a ＝2时，以AD 为直径的圆与BC 相切于BC 的中点Q ，此时∠AQD ＝90°，所以BC 边上存在一点Q ，使PQ ⊥QD ；③当a ＞2时，以AD 为直径的圆与BC 相交于点Q 1，Q 2，此时∠AQ 1D ＝∠AQ 2D ＝90°，故BC 边上存在两点Q (即Q 1与Q 2)，使PQ ⊥QD .解后反思 应注意到矩形是变动的，所以应对a 进行分类讨论.分类的依据是直线与圆的位置关系的几种情况，从而划分a 的取值范围，然后进行讨论. 线面垂直例5 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BB 1的中点，O 是底面正方形ABCD 的中心，求证：OE ⊥平面ACD 1.分析 根据线面垂直的判定定理，要证明OE ⊥平面ACD 1，只要在平面ACD 1内找两条相交直线与OE 垂直即可.证明 如图，连接AE ，CE ，D 1O ，D 1E ，D 1B 1.设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，易证AE ＝CE . 因为AO ＝OC ，所以OE ⊥AC . 在正方体中易求出：D 1O ＝DD 21＋DO 2＝a 2＋⎝⎛⎭⎫22a 2＝62a ， OE ＝BE 2＋OB 2＝⎝⎛⎭⎫a 22＋⎝⎛⎭⎫22a 2＝32a ，D 1E ＝D 1B 21＋B 1E 2＝(2a )2＋⎝⎛⎭⎫a 22＝32a .因为D 1O 2＋OE 2＝D 1E 2，所以D 1O ⊥OE .因为D1O∩AC＝O，D1O⊂平面ACD1，AC⊂平面ACD1.所以OE⊥平面ACD1.解后反思在立体几何的垂直关系的证明中，通过勾股定理及其逆定理计算证明线线垂直是一种常用的技巧.1.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为()A.75°B.60°C.45°D.30°答案C解析如图，连接AC，BD，两线相交于O，连接SO，则∠SBO就是侧棱与底面所成的角.易得OB＝22.因为SB＝1，所以SO＝SB2－OB2＝2 2.所以∠SBO＝45°.2.下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是()A.l与平面α内的两条直线垂直B.l与平面α内的无数条直线垂直C.l与平面α内的某一条直线垂直D.l与平面α内的任意一条直线垂直答案D解析根据线面垂直的定义可知，l垂直于α内的所有直线时，l⊥α.3.已知P A⊥矩形ABCD，下列结论中，不正确的是()A.PB⊥BCB.PD⊥CDC.PD⊥BDD.P A⊥BD答案C解析如图，由P A⊥矩形ABCD，得BC⊥平面P AB，DA⊥平面P AB，DC⊥平面P AD，AB⊥平面P AD，则有PB⊥BC，PD⊥CD，P A⊥BD均正确，而PD⊥BD错，故选C.4.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是()①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边.A.①③B.②C.②④D.①②④答案A解析由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面，对于②④图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直.5.矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，P A⊥平面ABCD，P A＝1，则PC与平面ABCD所成的角是________.答案30°解析tan∠PCA＝P AAC＝13＝33，∴∠PCA＝30°.1.直线和平面垂直的判定方法：(1)利用线面垂直的定义；(2)利用线面垂直的判定定理；(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.2.线线垂直的判定方法：(1)异面直线所成的角是90°；(2)线面垂直，则线线垂直.3.求线面角的常用方法：(1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算)；(2)转移法(找过点与面平行的线或面)；(3)等积法(三棱锥变换顶点，属间接求法).一、选择题1.已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A.有且只有一个B.至多一个C.有一个或无数个D.不存在答案B解析若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在.2.线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为( )A.30°B.45°C.60°D.120° 答案 C解析 如图，AC ⊥α，AB ∩α＝B ，则BC 是AB 在平面α内的射影，则 BC ＝12AB ，所以∠ABC ＝60°，它是AB 与平面α所成的角.3.空间四边形ABCD 的四边相等，则它的两对角线AC 、BD 的关系是( ) A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直 C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交答案 C解析 取BD 中点O ， 连接AO ，CO ， 则BD ⊥AO ，BD ⊥CO ， ∴BD ⊥面AOC ，BD ⊥AC ， 又BD 、AC 异面，∴选C.4.如图所示，P A ⊥平面ABC ，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 答案 A解析 ∵P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥AC ，P A ⊥AB ，P A ⊥BC .又∵BC ⊥AC ，AC ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥PC ，∴直角三角形有△P AB 、△P AC 、△ABC 、△PBC .5.如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC 和CD 的中点，G 是EF 的中点，现在沿着AE 和AF 及EF 把正方形折成一个四面体，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为H .那么，在四面体A －EFH 中必有( )A.HG ⊥△AEF 所在平面B.AG ⊥△EFH 所在平面C.HF ⊥△AEF 所在平面D.AH ⊥△EFH 所在平面 答案 D解析 ∵AD ⊥DF ，AB ⊥BE ，∴AH ⊥HF ，AH ⊥HE .又∵EH ∩FH ＝H ，∴AH ⊥面EFH .6.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( ) A.63 B.265 C.155 D.105答案 D解析 如右图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，连接A 1C 1，与B 1D 1交于O 点，连接OB ，由已知A 1B 1C 1D 1是正方形，∴A 1C 1⊥B 1D 1. 又∵BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，OC 1⊂平面A 1B 1C 1D 1， ∴OC 1⊥BB 1.而BB 1∩B 1D 1＝B 1， ∴OC 1⊥平面BB 1D 1D .∴OB 是BC 1在平面BB 1D 1D 内的射影. ∴∠C 1BO 是BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角. 在正方形A 1B 1C 1D 1中， OC 1＝12A 1C 1＝12×22＋22＝ 2.在矩形BB 1C 1C 中，BC 1＝BC 2＋CC 21＝4＋1＝ 5. ∴sin ∠C 1BO ＝OC 1BC 1＝25＝105.二、填空题7.在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC ＝CC 1，当底面A 1B 1C 1满足条件________时，有AB 1⊥BC 1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况) 答案 A 1C 1⊥B 1C 1解析 如图所示，连接B 1C .由BC ＝CC 1，可得BC 1⊥B 1C .因此，要得AB 1⊥BC 1，则需BC 1⊥平面AB 1C ，即只需AC ⊥BC 1即可.由直三棱柱可知，只要满足AC ⊥BC 即可.而A 1C 1∥AC ，B 1C 1∥BC ，故只要满足A 1C 1⊥B 1C 1即可.8.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN ＝________. 答案 90°解析 ∵B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，MN ⊂平面ABB 1A 1，∴B 1C 1⊥MN .又∵MN ⊥B 1M ，B 1M ∩B 1C 1＝B 1，∴MN ⊥平面C 1B 1M ，∴MN ⊥C 1M ，即∠C 1MN ＝90°. 9.已知△ABC 的三条边长分别是5,12,13，点P 到A ，B ，C 三点的距离都等于7，则点P 到平面ABC 的距离为____.答案 332解析 由点P 到△ABC 三个顶点的距离相等可知，P 在面ABC 上的投影为△ABC 的外心.又∵△ABC 为直角三角形，∴其外心是斜边的中点，即P 在面ABC 上的投影是△ABC 斜边的中点D ，如图.∴点P 到平面ABC 的距离为PD ＝72－⎝⎛⎭⎫1322＝32 3.10.如图所示，P A ⊥圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，E ，F 分别是点A 在PB ，PC 上的正投影，给出下列结论：①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC .其中正确结论的序号是________.答案 ①②③解析 ∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC .又∵AC ⊥BC ，P A ∩AC＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥AF .∵AF ⊥PC ，BC ∩PC ＝C ，∴AF ⊥平面PBC ，∴AF ⊥PB .又∵AE ⊥PB ，AE ∩AF ＝A ，∴PB ⊥平面AEF ，∴PB ⊥EF .故①②③正确.三、解答题11.如图，AB 为⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在的平面，M 为圆周上任意一点，AN ⊥PM ，N 为垂足.(1)求证：AN ⊥平面PBM .(2)若AQ ⊥PB ，垂足为Q ，求证：NQ ⊥PB .证明 (1)∵AB 为⊙O 的直径，∴AM ⊥BM .又P A ⊥平面ABM ，∴P A ⊥BM .又∵P A ∩AM ＝A ，∴BM ⊥平面P AM .又AN ⊂平面P AM ，∴BM ⊥AN .又AN ⊥PM ，且BM ∩PM ＝M ，∴AN ⊥平面PBM .(2)由(1)知AN ⊥平面PBM ，PB ⊂平面PBM ，∴AN ⊥PB .又∵AQ ⊥PB ，AN ∩AQ ＝A ，∴PB ⊥平面ANQ .又NQ ⊂平面ANQ ，∴PB ⊥NQ .12.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点，且DF ＝12AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高. (1)证明：PH ⊥平面ABCD ；(2)若PH ＝1，AD ＝2，FC ＝1，求三棱锥E －BCF 的体积；(3)证明：EF ⊥平面P AB .(1)证明 ∵AB ⊥平面P AD ，PH ⊂平面P AD ，∴AB ⊥PH .又∵PH ⊥AD ，AB ∩AD ＝A ，∴PH ⊥平面ABCD .(2)解 ∵PH ⊥平面ABCD ，E 为PB 的中点，PH ＝1，∴点E 到平面ABCD 的距离h ＝12PH ＝12. 又∵AB ∥CD ，AB ⊥AD ，∴AD ⊥CD ，∴S △BFC ＝12·CF ·AD ＝12×1×2＝22， ∴V E －BCF ＝13S △BCF ·h ＝13×22×12＝212. (3)证明 如图，取P A 的中点G ，连接GE ，DG .∵DA ＝DP ，∴DG ⊥P A .∵AB ⊥平面P AD ，DG ⊂平面P AD ，∴AB ⊥DG .又∵AB ∩P A ＝A ，∴DG ⊥平面P AB .∵GE ∥AB ，GE ＝12AB ，DF ∥AB ，DF ＝12AB ， ∴GE ∥FD ，GE ＝FD ，∴四边形DFEG 为平行四边形，∴DG ∥EF ，∴EF ⊥平面P AB .。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 直线与圆锥曲线的位置关系教案 新人教A版选修1-1
3．应用
求m的取值范围．
解法一：考虑到直线与椭圆总有公共点，由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件可求．
由一名同学板练．解答为：
由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上，知：0＜m＜5．
又∵直线与椭圆总有公共点，
即(10k)2-4x(m+5k2)×5(1-m)≥0，
3．已知抛物线x=y2+2y上存在关于直线y=x+m对称的相异两点，求m的取值范围．板书设计直线与圆锥曲 Nhomakorabea的位置关系
1.点与曲线的关系及判定。例1例2
2.直线与圆锥曲线的关系及判定。
教学反思
圆锥曲线的题目运算量比较大，学生在运算时，容易出现这样那样的错误，教师在巡视时，给予必要的指导.
教学重、
难点
重点：直线与圆锥曲线的相交的有关问题．
难点：圆锥曲线上存在关于直线对称的两点，求参数的取值范围．
教学
准备
多媒体课件
教学过程
(一)问题提出
1．点P(x0，y0)和圆锥曲线C：f(x，y)=0有哪几种位置关系？它们的条件是什么？
引导学生回答，点P与圆锥曲线C的位置关系有：点P在曲线C上、点P在曲线C内部(含焦点区域)、点P在曲线的外部(不含焦点的区域)．那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之一．
(2)过点P(2，0)的直线l与双曲线x2-y2=1只有一个公共点，这样的直线有几条？
练习2：求曲线C∶x2+4y2=4关于直线y=x-3对称的曲线C′的方程．
由教师引导方法，学生板练完成．
(三)课时小结
本课主要研究了点、直线与圆锥曲线的三种位置关系及重要条件．
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.3 直线与双曲线的位置关系导学案2 新人教A版选修1-1
河北省承德市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.3 直线与双曲线的位置关系导学案2 新人教A版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（河北省承德市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.3 直线与双曲线的位置关系导学案2 新人教A版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为河北省承德市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.3 直线与双曲线的位置关系导学案2 新人教A版选修1-1的全部内容。
直线与椭圆的位置关系1重点难点：理解掌握直线与椭圆的位置关系及其判定2．教学难点：会处理解决直线和椭圆的位置关系的实际应用问题方法：自主学习合作探究师生互动一\自主学习1．设椭圆的两焦点F1、F2,已知点P在椭圆上时,|PF1|＋｜PF2|＝2a，那么点P在椭圆外时，设直线PF1交椭圆于Q,则｜PF1｜＋|PF2｜与｜QF1|＋|QF2｜的大小关系如何？2．直线与椭圆的位置关系，可否像讨论直线与圆的位置关系那样，将直线与椭圆的方程联立组成方程组，通过方程组的解的个数来讨论？2。
新知识学习1．点与椭圆的位置关系点P(x0,y0)与椭圆错误!＋错误!＝1(a〉b〉0）的位置关系：点P在椭圆上⇔_________________;点P在椭圆内部⇔_________________；点P在椭圆外部⇔_________________。
2．直线与椭圆的位置关系直线y＝kx＋m与椭圆错误!＋错误!＝1（a>b>0)的位置关系判断方法:由错误!消去y(或x)得到一个一元二次方程。
位置关系解的个数Δ的取值相交两解Δ____0相切一解Δ____0课堂随笔：相离无解Δ____0 3。
2019-2020学年新导学案同步人教A版数学必修2_第2章 点_直线_平面之2.1.2
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
3．公理4
文字语言
平行于同一条直线的两条直线互相___平__行___
图形语言
符号语言 作用 说明
直线 a、b、c、a∥b、b∥c⇒___a_∥__c____ 证明两条直线平行
公理 4 表述的性质通常叫做空间平行线的_传__递__性_____
修
②
故与AA′平行的棱共有3条，它们分别是BB′，CC′，DD′.
人
教
A
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
互动探究学案
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
命题方向1 ⇨空间两条直线位置关系的判定
典例 1 已知a、b、c是空间三条直线，下面给出四个结论：
的中点，所以 EF
1 2BD.
同理，E1F1
1 2B1D1.
在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，BB1 DD1，
所以四边形 BB1D1D 为平行四边形，所以 BD B1D1，
数 学
又 EF 12BD，E1F1 12B1D1，
必
修 ②
所以 EF E1F1.
人
教
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
(2)图示：如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常 用一个或两个平面来衬托．
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2．空间两条直线的位置关系 (1)相交直线——在同一平面内，_有__且__只__有_____一个公共点． (2)平行直线——在同一平面内，__没__有____公共点． (3)异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点．
2019-2020学年新导学案同步人教A版数学必修2_第2章 点_直线_平面之2.1.1
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必
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②
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
『规律方法』 证明多点共线的方法：(一)选择两点确定一条直线，然后证 明其它点在这条直线上；(二)证明这些点都在两个平面内，而两平面相交，因此 这些点都在两平面的交线上．
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
[解析] (1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC. 图形表示：如图1所示． (2)符号语言表示：平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC. 图形表示：如图2所示．
人 教
用三角形、圆或其他平面图形表示平面．
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2．点、线、面的位置关系的表示 A是点，l，m是直线，α，β是平面.
文字语言
符号语言
A在l上
___A_∈__l____
A在l外 A在α内
___A__∉_l ____ ___A_∈__α____
数
A在α外
___A_∉_α_____
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
4．公理2
文字 语言
过__不__共__线____的三点，有且只有一个平面
图形
语言
符号 A，B，C 三点___不__共__线___⇒有且只有一个平面 α，使 A∈α，
语言 B∈α，C∈α
数
学
必 修
2019年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.3 直线与抛物线的位置关系导学案(答案不全)新人
1.进一步理解抛物线的方程和几何性质，理解并掌握直线与抛物线的位置关系。
重点：直线与抛物线的位置关系．
难点：直线与抛物线的位置关系的探究与应用
方 法：合作探究一新知导学 Nhomakorabea1．抛物线y2＝2px(p>0)的简单几何性质
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由根与系数的关系得y1·y2＝－1，y1＋y2＝－ .
∵A，B在抛物线y2＝－x上，
∴y ＝－x1，y ＝－x2，∴y ·y ＝x1x2.
∵kOA·kOB＝ · ＝ ＝ ＝－1，∴OA⊥OB.
(2)设直线与x轴交于点N，显然k≠0.
令y＝0，得x＝－1，即N(－1,0)．
(1)对称性：
(2)顶点：
(3)离心率：
(4)通径：过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为__________.
(5)范围：
2.焦点弦的有关问题：
3.思考：任意一条直线与抛物线的位置关系，会有几种可能？
二．典型例题
例1：斜率为1的直线L经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，求线段AB的长。
(1)求证：OA⊥OB；
(2)当△OAB的面积等于 时，求k的值．
例5：已知抛物线y2=x上存在两点关于直线L：y=k(x-1)+1对称，求实数k的取值范围。
练习5：已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，求A、B两点间的距离．
牛刀小试
1．在抛物线y2＝8x中，以(1，－1)为中点的弦所在直线的方程是()
19．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝( )
高中数学选修2-1人教a教案导学案直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系课前预习学案一、预习目标1．掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，能够把研究直线与圆锥曲线的位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题；2. 会利用直线与圆锥曲线的方程所组成的方程组消去一个变量，将交点问题问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数关系及判别式解决问题． 二、预习内容1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法：； 2、弦的中点或中点弦的问题，除利用韦达定理外，也可以运用“差分法”（也叫“点差法”）． 3、弦长公式 ； 4、焦点弦长： ；1．直线y x b =+与抛物线22y x =，当b ∈ 时，有且只有一个公共点；当b ∈ 时，有两个不同的公共点；当b ∈ 时，无公共点．2．若直线1y kx =+和椭圆22125x y m+=恒有公共点，则实数m 的取值范围为 ． 3．抛物线2y ax =与直线y kx b =+(0)k ≠交于,A B 两点，且此两点的横坐标分别为1x ，2x ，直线与x 轴的交点的横坐标是3x ，则恒有（ ）()A 312x x x =+()B 121323x x x x x x =+()C 3120x x x ++=()D 1213230x x x x x x ++=4．椭圆122=+ny mx 与直线1=+y x 交于,M N 两点，MN 的中点为P ，且OP 的斜率为22，则nm的值为（ ） ()A 22()B 322 ()C 229 ()D 27325．已知双曲线22:14y C x -= ，过点(1,1)P 作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有（ ）()A 1 条 ()B 2条 ()C 3条 ()D 4条6．设直线21y x =-交曲线C 于1122(,),(,)A x y B x y 两点，（1）若12||2x x -=||AB = ．（2）12||2y y -=||AB = ．7．斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线相交于,A B 两点，则||AB = ．8．过双曲线2212y x -=的右焦点作直线l ，交双曲线于,A B 两点，若||4AB =，则这样的直线l 有（ ）()A 1条 ()B 2条 ()C 3条 ()D 4条9．已知椭圆2224x y +=，则以(1,1)为中点的弦的长度是（ ）()A 32 ()B 23 ()C 303 ()D 36210．中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的左焦点为F ，离心率为13e =，过F 作直线l 交椭圆于,A B 两点，已知线段AB 的中点到椭圆左准线的距离是6，则||AB = ． 三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内预习学案一、学习目标1、使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定，重点掌握直线与圆锥曲线相交的有关问题．2、通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力．3、通过点与圆锥曲线的位置及其判定，渗透归纳、推理、判断等方面的能力． 二、学习过程1．点P(x0，y0)和圆锥曲线C ：f(x ，y)=0有哪几种位置关系？它们的条件是什么？ 2．直线l ：Ax+By+C=0和圆锥曲线C ：f(x ，y)=0有哪几种位置关系？ 3．点M(x0，y0)与圆锥曲线C ：f(x ，y)=0的位置关系的焦点为F1、F2，y2=2px(p ＞0)的焦点为F ，一定点为P(x0，y0)，M 点到抛物线的准线的距离为d ，则有：4．直线l ∶Ax ＋Bx ＋C=0与圆锥曲线C ∶f(x ，y)＝0的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件． 5．例题例1．过点(1,6)--的直线l 与抛物线24y x =交于,A B 两点，若9(,0)2P ，||||AP BP =，求l 的斜率．例2．直线:1l y kx =+与双曲线22:21C x y -=的右支交于不同的两点,A B ，（I ）求实数k 的取值范围；（II ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．例3．已知直线l 和圆M ：2220x y x ++=相切于点T ，且与双曲线22:1C x y -=相交于,A B 两点，若T 是AB 的中点，求直线l 的方程．例4．如图，过抛物线22(0)y px p =>上一定点000(,)(0)P x y y >，作两条直线分别交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y ，（1）求该抛物线上纵坐标为2p的点到其焦点F 的距离；（2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求12y y y +的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数． 例5．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点)0)(0,(>c c F 的准线l 与x 轴相交于点A ，||2||FA OF =，过点A 的直线与椭圆相交于,P Q 两点．（I ）求椭圆的方程及离心率；（II ）若,0.=OQ OP 求直线PQ 的方程；（III ）设)1(>=λλAQ AP ，过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明FQ FM λ-=．课后练习与提高1．以点(1,1)-为中点的抛物线28y x =的弦所在的直线方程为（ ）()A 430x y --= ()B 430x y ++= ()C 430x y +-= ()D 430x y ++=2．斜率为3的直线交椭圆221259x y +=于,A B 两点，则线段AB 的中点M 的坐标满足方程（ ）()A 325y x =()B 325y x =- ()C 253y x = ()D 253y x =-3．过点(0,1)与抛物线22(0)y px p =>只有一个公共点的直线的条数是（ ）()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 34．过双曲线22221x y a b -=的右焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是左焦点，若0190PFQ ∠=，则双曲线的离心率是（ ） ()A 2()B 12()C 22()D 325．过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于,P Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是,p q ，则11p q+等于（ ） ()A 2a ()B 12a ()C 4a ()D 4a6．直线y x m =+与椭圆2214x y +=交于A 、B 两点，则||AB 的最大值是（ ） ()A 2 ()B 55 ()C 105()D 8105 7．已知双曲线2290x y kx y -+--=与直线1y kx =+的两个交点关于y 轴对称，则这两个交点的坐标为 ．8.与直线042=+-y x 的平行的抛物线2x y =的切线方程是 ． 9.已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是(,0)F m -（m 是大于0的常数）． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设Q 是椭圆上的一点，且过点,F Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若||2||MQ QF =，求直线l 的斜率．10．一个正三角形的三个顶点都在双曲线221x ay -=的右支上，其中一个顶点是双曲线的右顶点，求实数a 的取值范围．11．已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于,A B 两点．是否存在实数k ，使,A B 两点关于直线20x y -=对称？若存在，求出k 值，若不存在，说明理由．点、直线与圆锥曲线的位置关系一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定，重点掌握直线与圆锥曲线相交的有关问题．(二)能力训练点通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力．(三)学科渗透点通过点与圆锥曲线的位置及其判定，渗透归纳、推理、判断等方面的能力．二、教材分析1．重点：直线与圆锥曲线的相交的有关问题．(解决办法：先引导学生归纳出直线与圆锥曲线的位置关系，再加以应用．) 2．难点：圆锥曲线上存在关于直线对称的两点，求参数的取值范围．(解决办法：利用判别式法和内点法进行讲解．)3．疑点：直线与圆锥曲线位置关系的判定方法中△=0不是相切的充要条件．(解决办法：用图形向学生讲清楚这一点．)三、活动设计四、教学过程(一)问题提出1．点P(x0，y0)和圆锥曲线C：f(x，y)=0有哪几种位置关系？它们的条件是什么？引导学生回答，点P与圆锥曲线C的位置关系有：点P在曲线C上、点P在曲线C内部(含焦点区域)、点P在曲线的外部(不含焦点的区域)．那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之一．2．直线l：Ax+By+C=0和圆锥曲线C：f(x，y)=0有哪几种位置关系？引导学生类比直线与圆的位置关系回答．直线l与圆锥曲线C的位置关系可分为：相交、相切、相离．那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之二．(二)讲授新课1．点M(x0，y0)与圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系的焦点为F1、F2，y2=2px(p＞0)的焦点为F，一定点为P(x0，y0)，M点到抛物线的准线的距离为d，则有：(由教师引导学生完成，填好小黑板)上述结论可以利用定比分点公式，建立两点间的关系进行证明．2．直线l∶Ax＋Bx＋C=0与圆锥曲线C∶f(x，y)＝0的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．3．应用求m的取值范围．解法一：考虑到直线与椭圆总有公共点，由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件可求．由一名同学演板．解答为：由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上，知：0＜m＜5．又∵直线与椭圆总有公共点，即(10k)2-4x(m+5k2)×5(1-m)≥0，亦即5k2≥1-m对一切实数k成立．∴1-m≤0，即m≥1．故m的取值范围为m∈(1，5)．解法二：由于直线过定点(0，1)，而直线与椭圆总有公共点，所以定点(0，1)必在椭圆内部或边界上，由点与椭圆的位置关系的充要条件易求．另解：由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上知：0＜m＜5．又∵直线与椭圆总有公共点．∴直线所经过的定点(0，1)必在椭圆内部或边界上．故m的取值范围为m∈(1，5)，小结：解法一由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路易得，但计算量大；解法二由点与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路灵活，且简捷．称，求m的取值范围．解法一：利用判别式法．并整理得：∵直线l′与椭圆C相交于两点，解法二：利用内点法．设两对称点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P1P2的中点为M(x0，y0)，∴y1+y2=3(x1+x2)．(1)小结：本例中的判别式法和内点法，是解决圆锥曲线上存在两点关于直线的对称的一般方法，类似可解抛物线、双曲线中的对称问题．练习1：(1)直线过点A(0，1)且与抛物线y2=x只有一个公共点，这样的直线有几条？(2)过点P(2，0)的直线l与双曲线x2-y2=1只有一个公共点，这样的直线有几条？由学生练习后口答：(1)3条，两条切线和一条平行于x轴的直线；(2)2条，注意到平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，故这样的直线也只有2条．练习2：求曲线C∶x2+4y2=4关于直线y=x-3对称的曲线C′的方程．由教师引导方法，学生演板完成．解答为：设(x′，y′)是曲线C上任意一点，且设它关于直线y=x-3的对称点为(x，y)．又(x′，y′)为曲线C上的点，∴(y+3)2+4(x-3)2=4．∴曲线C的方程为：4(x-3)2+(y+3)2=4．(三)小结百度文库- 让每个人平等地提升自我11 本课主要研究了点、直线与圆锥曲线的三种位置关系及重要条件．五、布置作业的值．2．k取何值时，直线y＝kx与双曲线4x2-y2=16相交、相切、相离？3．已知抛物线x=y2+2y上存在关于直线y=x+m对称的相异两点，求m的取值范围．作业答案：1．由弦长公式易求得：k=-4当4-k2=0，k=±2， y=±2x为双曲线的渐近线，直线与双曲线相离当4-k2≠0时，△=4(4-k2)×(-6)(1)当△＞0，即-2＜k＜2时，直线与双曲线有两个交点(2)当△＜0，即k＜-2或k＞2时，直线与双曲线无交点(3)当△=0，即k=±2时，为渐近线，与双曲线不相切故当-2＜k＜2时，直线与双曲线相交当k≤-2或k≥2时，直线与双曲线相离六、板书设计。
2019-2020学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.2 两条直线平行导学案 新人教A版必修2.doc
2019-2020学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.2 两条直线平行导学案 新人教A 版必修2总 课 题 两直线的平行与垂直 总课时 第5课时 分 课 题 两条直线平行分课时第 1 课时教学目标掌握用斜率判断两条直线平行的方法，感受用代数方法研究几何图形性质的思想，运用分类讨论、数形结合等数学思想培养学生思维的严谨性、辩证性．重点难点 两直线平行的判断． （1）)1,1()1,3(--B A ，，)1,5()5,3(D C ，-； （2）)4,3()4,2(---B A ，，)1,4()1,0(D C ，．2、求过点)3,2(-A ，且与直线052=-+y x 平行的直线的方程．例题剖析 （1）两直线02=+-k y x 和0124=+-y x 的位置关系是 ．（2）若直线1l ：013=++y ax 与2l ：01)1(2=+++y a x 互相平行，则a 的值为 ．例1求证：顺次连结)4,4()3,2()27,5()3,2(---D C B A ，，，所得的四边形是梯形．例3 求与直线0143=++y x 平行，且在两坐标轴上的截距之和为37的直线l 的方程 ．变：求与直线3490x y ++=平行，并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积是24的直线方程．例21．如果直线022=++y ax 与直线023=--y x 平行，则=a ____________________． 2．过点)2,1(-且与直线01=--y x 平行的直线方程是____________________________． 3．两直线)(02R k k y x ∈=+-和0563=+-y x 的位置关系是___________________． 4．已知直线1l 与经过点)6,3(P 与)3,6(Q 的直线平行，若直线1l 在y 轴上的截距为2， 则直线1l 的方程是_____________________________．5．已知)27,31()5,5()1,1()2,4(----D C B A ，，，，求证：四边形ABCD 是梯形．课堂小结 1l //2l ⇔⎩⎨⎧≠=2121b b k k 或1l //2l ⇔斜率不存在且横截距不相等，即如果21k k =，那么一定有1l //2l ，反之不一定成立．课后训练班级：高一（ ）班 姓名：____________一 基础题1．求过点（2,1），且与直线012=--y x 平行的直线方程是 。
-高中数学 第二章 直线和圆锥曲线位置关系导学案(无答案)新人教A版选修2-1
直线和圆锥曲线的位置关系【使用说明及学法指导】1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；2．小组合作，动手实践。
【学习目标】1．理解直线与圆锥曲线的位置关系；2．掌握直线与圆锥曲线关系中的几何性质和处理方法；【重点】直线与圆锥曲线的位置关系【难点】掌握直线与圆锥曲线关系中的几何性质和处理方法一、知识梳理1．直线与三种圆锥曲线的位置关系情况：2．解答直线与圆锥曲线相交问题的一般步骤：设线、设点， 联立、消元， 韦达、代入、化简。
第一步：讨论直线斜率的存在性，斜率存在时设直线的方程为y=kx+b （或斜率不为零时，设x=my+a ）；第二步：设直线与圆锥曲线的两个交点为A(x 1,y 1)B(x 2,y 2);第三步：联立方程组⎩⎨⎧=+=0)y ,x (f b kx y ，消去y 得关于x 的一元二次方程； 第四步：由判别式和韦达定理列出直线与曲线相交满足的条件⎩⎨⎧>∆0二次系数不为零，⎩⎨⎧=⋅=+2121x x x x 第五步：把所要解决的问题转化为x 1+x 2 、x 1x 2 ，然后代入、化简。
3．弦中点问题的特殊解法-----点差法：即若已知弦AB 的中点为M(x o ,y o )，先设两个交点为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2);分别代入圆锥曲线的方程，得0)y ,x (f ,0)y ,x (f 2211==，两式相减、分解因式，再将o 21o 212y y y ,2x x x =+=+代入其中，即可求出直线的斜率。
4.弦长公式:]x 4x )x x )[(k 1(|x x |k 1|AB |212212212-++=-+=( k 为弦AB 所在直线的斜率)5．向量知识在解决圆锥曲线问题中应用二、典型例题1．教材80页5题变式：（1）若有两个公共点呢？（2）若直线与双曲线的左支有两个公共点呢？（3）若有一个公共点呢？2．教材80页8题3.教材80页9题三、拓展探究 1.，右准线方程为。
2019-2020学年高考数学第二轮复习 第20讲 直线与圆锥曲线的位置关系(二)导学案.doc
2019-2020学年高考数学第二轮复习 第20讲 直线与圆锥曲线的位置关系（二）导学案一、复习目标1、会利用圆锥曲线的定义处理焦点弦、弦长等问题；2、能够根据圆锥曲线图形的特征判断直线与曲线的位置关系问题，进而判断直线与曲线的交点个数；3、强化运用数形结合的思想方法分析、判断，能综合运用函数、方程、不等式的知识解决相关问题. 二、基础回顾1、过椭圆223448x y +=的左焦点F 引直线交椭圆于,A B 两点，若7AB =，则此直线的方程为______________________.2、已知动点P 在抛物线x y =2上，且P 到此抛物线的准线距离为d ，当点P 到直线02=+-y x 的距离最小时，d 等于（ ）A 、41B 、21C 43D １3、已知椭圆22221(0),(2,0)x y a b A a b+=>>为长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且0,2AC BC OC OB BC BA ⋅=-=-，则椭圆的焦距为（ ）AB C D 以上答案都不对4、B 地在A 地的正东方向4km 处，C 地 在B 地的北偏东30°方向2km 处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km ，现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头，向B,C 两地转运货物，经测算，从M 到B ，M 到C 修建公路的费用分别是a 万元/km ，2a 万元/km ，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）万元。
A 、a )272(-B 、a 5C 、a )172(+D 、a )132(+5、、若以圆锥曲线的一条经过焦点的弦为直径的圆与对应的准线有两个交点，则此圆锥曲线为（ ）A. 双曲线B.椭圆C.抛物线D. 椭圆或双曲线推广（１）若是椭圆或抛物线呢？（２）若是双曲线，所交弦对应的圆心角是否为定值？ 三、例题探究例1、已知双曲线以两条坐标轴为对称轴,且与x 2+y 2=17圆相交于A (4,-1),若圆在点A 的切线与双曲线的一条渐近线平行,求双曲线的方程．例2、已知)0,22(=，Ｏ为坐标原点，点M +-＝６ （１）点M 的轨迹C 的方程。
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2019-2020学年高中数学 第二章 直线和圆锥曲线位置
关系导学案新人教A 版选修2-1
【使用说明及学法指导】
1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；
2．小组合作，动手实践。
【学习目标】
1．理解直线与圆锥曲线的位置关系；
2．掌握直线与圆锥曲线关系中的几何性质和处理方法；
【重点】直线与圆锥曲线的位置关系
【难点】掌握直线与圆锥曲线关系中的几何性质和处理方法
一、知识梳理
1．直线与三种圆锥曲线的位置关系情况：
2．解答直线与圆锥曲线相交问题的一般步骤：
设线、设点， 联立、消元， 韦达、代入、化简。
第一步：讨论直线斜率的存在性，斜率存在时设直线的方程为y=kx+b （或斜率不为零时，设x=my+a ）；
第二步：设直线与圆锥曲线的两个交点为A(x 1,y 1)B(x 2,y 2);
第三步：联立方程组⎩⎨⎧=+=0
)y ,x (f b kx y ，消去y 得关于x 的一元二次方程；
第四步：由判别式和韦达定理列出直线与曲线相交满足的条件
⎩⎨⎧>∆0
二次系数不为零，⎩⎨⎧=⋅=+2121x x x x 第五步：把所要解决的问题转化为x 1+x 2 、x 1x 2 ，然后代入、化简。
3．弦中点问题的特殊解法-----点差法：即若已知弦AB 的中点为M(x o ,y o )，先设两个交点为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2);分别代入圆锥曲线的方程，
得0)y ,x (f ,0)y ,x (f 2211==，两式相减、分解因式，
再将o 21o 212y y y ,2x x x =+=+代入其中，即可求出直线的斜率。
4.弦长公式:]x 4x )x x )[(k 1(|x x |k 1|AB |212212212-++=-+=( k 为
弦AB 所在直线的斜率)
5．向量知识在解决圆锥曲线问题中应用
二、典型例题
1．教材80页5题
变式：（1）若有两个公共点呢？（2）若直线与双曲线的左支有两个公共点呢？
（3）若有一个公共点呢？
2．教材80页8题
3.教材80页9题
三、拓展探究 1.
，右准线方程为。
（Ⅰ）求双曲线C 的方程；
（Ⅱ）已知直线
与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆 上，求m 的值.
四、课堂小结
22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>225x y +=0x y m -+=x =
1．知识：
2．数学思想、方法：
五、课后巩固
1.椭圆14
22
=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF = （ ）
A ．2
3 B ．3 C ．27 D ．
4 2．直线ｙ＝ｘ－3与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为（ ）
（A ）48. （B ）56 （C ）64 （D ）72.
3.在同一坐标系中，方程)0(01222
22>>=+=+b a by ax b
y a x 与的曲线大致( )
4.直线y x b =+与抛物线22x y =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥，
则b =（ ）
.2A .2B - .1C .1D -
5. 教材81页1题
6．已知双曲线12222=-b
y a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距
离是.2
3（1）求双曲线的方程；（2）已知直线)0(5≠+=k kx y 交双曲线于不同的点C ，D 且C ，D 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值.
解：∵（1）,3
32=a c 原点到直线AB ：1=-b y a x 的距离.
3,1.2322==∴==+=a b c ab b
a a
b d ． 故所求双曲线方程为 .1322=-y x
（2）把33522=-+=y x kx y 代入中消去y ，整理得 07830)31(22=---kx x k . 设CD y x D y x C ),,(),,(2211的中点是),(00y x E ，则 .11,315531152002002210k
x y k k kx y k k x x x BE -=+=-=+=⋅-=+=
,000=++∴k ky x 即7,0,0315*******=∴≠=+-+-k k k k
k k k 又 故所求k=±7.
说明：为了求出k 的值, 需要通过消元, 想法设法建构k 的方程.。