五年级奥数春季实验班第7讲 数论综合之高难度因数与倍数问题
五年级奥数倍数问题讲座及练习答案
五年级奥数倍数问题讲座及练习答案五年级奥数集训专题讲座（三）——倍数问题倍数问题在整个小学阶段中非常重要。
我们主要从“和倍、差倍、和差”这三个方面来研究倍数问题。
为了解决倍数问题，我们需要理解以下数量关系式：①和÷（倍数＋1）=小数，小数×倍数=大数（和—小数=大数）②差÷（倍数—1）=小数，小数×倍数=大数（小数＋差=大数）③（和－差）÷2=小数，小数＋差=大数（和—小数=大数）④（和+差）÷2=大数，大数－差=小数（和—大数=小数）例1：三个筑路队共筑路1360米，甲队筑的米数是乙队的2倍，乙队比丙队多240米，三个队各筑多少米？分析：我们将乙队的米数看作“1”份，甲队筑的米数是2份。
假设丙队多筑240米，三个队共筑了1360+240=1600（米），正好是乙队的4倍。
因此，我们可以使用和倍问题来解答这个问题。
乙队：（1360+240）÷（2+1+1）=400（米），甲队：400×2=800（米），丙队：400－160=240（米）。
答案：甲队筑了800米，乙队筑了400米，丙队筑了240米。
巩固练】：三个植树队植树1900棵，甲队植树的棵数是乙队的2倍，乙队比丙队少植300棵，三个队各植了多少棵？解析：因为甲队植树的棵数是乙队的2倍，我们可以将乙队植树的棵数看作“1”份。
乙队比___少植300棵，即丙队植树的棵数=乙队植树棵数+300棵。
因此，三个队植树的总棵数是乙队的4倍多300棵。
如果我们从植树总数里减去300，则正好是乙队的4倍。
因此，乙队植树棵数=（1900－300）÷（1+1+2）=400（棵），甲队植树棵数=400×2=800（棵），丙队植树棵数=400+300=700（棵）。
答案：甲队植了800棵，乙队植了400棵，丙队植了700棵。
例2：师徒两人加工同样多的一批零件，师傅加工了102个，徒弟加工了40个。
五年级奥数因数与倍数
五年级奥数因数与倍数第十四节因数与倍数，质数与合数【知识回顾】1、倍数与因数的关系是相互依存的。
2、运用这个找因数个数的方法，可以帮助我们解决一些看似无从下手的问题，关键是先将所要找因数的这个数，进行正确的分解质因数，然后利用指数之间的关系解决问题。
3、在解决质数、合数问题时，我们必须注意一下几点。
质数：（1）最小的质数是2；（2）在质数中只有2是偶数，其余的质数都是奇数；（3）每个质数只有2个因数，即1和它本身。
合数：（1）最小的合数是4；（2）每个合数至少有3个因数，1和它本身以及他某些因数。
【典型例题】（因数与倍数）例1、216的全部因数有多少个？全部因数的和是多少？例2、有8个不同因数的自然数中，最小的一个是多少？例3、在100至200中共有几个数既不是7的倍数，又不是9的倍数？它们的和是多少？【学以致用】1、24有多少个因数？这些因数的和是多少？2、3600共有多少个因数？3、一个数是3个2,1个3,2个5,1个7的连乘积，则这个数的最大的两位的因数是几？4、将400分成两个三位数之和，其中一个是9的倍数，另一个是17的倍数，这两个数分别是多少？5、求50至70之间只有4个不同因数的最大自然数。
6,、求2至1000中只有15个因数的最大自然数。
7、一串数排成一行，头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，即1,1,2,3,5,8,13,21，……，在这串数前2000个数中，共有多少个6的倍数？【典型例题】（质数与合数）例4、用1,2,3三个数字，允许重复使用，可以组成100以内的哪些质数？例5、判断269,437这两个数是合数还是质数？例6、将50写成10个质数相加的和的形式。
如果要使其中最大的质数尽可能大，这个最大的质数是多少？【学以致用】1、刘叔叔家的电话号码可以写成ABCCDB的形式，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，已知这6个数字之和是14，B 是任何自然数的因数，C不是任何自然的因数，A是质数，D是合数，你知道他家的电话号码是多少吗？2、有这样一个质数，它分别加上10和14后仍然为质数，你会求这个质数吗？3、50以内，由1——7组成的两位数的质数共有多少个？4、110可以用两个质数的和来表示，这两个质数的差（大数减小数）的最小值是几？5、有两个合数A和B，它们的和是质数。
五年级奥数.数论.因数与倍数(A级答案
课前预习因数与倍数一天，因数和倍数走到了一起。
倍数傲慢地对因数说：“哎，哥们，见了我怎么也不下拜呀？”“我为什么要拜你，你算老几呀？”因数气愤地回答。
“我是老大呀。
”“你是老大？为什么”“你说，一个数的倍数有多少个呀？”“这我知道，一个数的倍数有无数个。
”只见倍数慢条斯理地说：“这就对嘛，一个数的因数的个数就那么可怜的几个。
而一个数的倍数有无数个.你的家庭成员这么少，而我的家庭是这样的庞大。
你说，你不应该拜我吗？”“是的，你的家庭是庞大的，可是，你知道吗？因为你的家庭的庞大，你知道你是老几吗？我们的家庭成员是有限的，可是，我们都知道我们自己的位置。
再说，离开我们这些因数，你们这些倍数还成立吗? 因数理直气壮地回答。
只见倍数挠着耳朵，想了想，说：“对，其实我们是密不可分的好伙伴，我们谁都离不开谁。
刚才是我不对，我向你道歉了。
”“没有关系，没有关系，你知道自己错了就好。
在自然数中，我们谁离开了谁都是不存在的。
没有倍数，我是谁的因数呢？同样，没有因数，你们又是谁的倍数呢？让我们共同携手，紧密团结在一起，永远做好兄弟！”因数诚恳地说。
因数和倍数两位好伙伴的手紧紧地握在了一起。
一、约数的概念与最大公约数0被排除在约数与倍数之外1 •求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来.例如：231 =3 7 11, 252 =22 32 7，所以（231,252）=3 7 =21 ;218 12②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘•例如：39 6，所以（12,18）=2 3=6 ;3 2③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数•用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止.那么，最后一个除数就是所求的最大公约数. （如果最后的除数是1,那么原来的两个数是互质的）•例如，求600 和1515 的最大公约数：1515亠600 = 2||）315; 600" 315 = 1| "285; 315一：一285 = 1| 1130 ; 285-：-30 =9|||15; 30-：15 =2|||0 ;所以1515 和600 的最大公约数是15.2. 最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n.3. 求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a;求出各个分数的分子的最大公约数b ；b即为所求.a二、倍数的概念与最小公倍数1.求最小公倍数的方法①分解质因数的方法；例如：231 =3 7 11 , 252 二223 7 ,所以l231,252】 = 22 32 7 11 = 2772 ；②短除法求最小公倍数；218 12例如：39 6 ，所以18,121-2 3 3 2 =36;3 2③[a,b] =◎-.（a,b）2.最小公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数.②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积.③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数.3.求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数 a ；求出各个分数分母的最大公约数 b ；-ba 即为所求•例如：[。
小学奥数题库《数论》因数和倍数-因数的个数定理-4星题(含解析)
数论-因数和倍数-因数的个数定理-4星题课程目标知识提要因数的个数定理•因数的个数定理因数的个数等于不同质因数的指数分别加1后再相乘的积。
•因数个数性质当因数个数为奇数的时候，这个数一定是完全平方数．精选例题因数的个数定理1. A数有7个因数，B数有12个因数，且A、B的最小公倍数[A,B]＝1728，那么B=．【答案】108【分析】1728=26×33，所以A、B质因数只能有2和3，又由于A有7个因数，而7是一个质数，所以A分解质因数的形式只能有A=26，设B=2k×33，那么(k+1)×(3+1)=12，得k=2所以B=22×33=108．2. 整除2015的数称为2015的因数，1和2015显然整除2015，称为2015的平凡因数，除了平凡因数，2015还有一些非平凡因数，那么，2015的所有非平凡因数之和为．【答案】672【分析】〔解法一〕2015=5×13×312015所有的约数和为(50+51)×(130+131)×(310+311)=6×14×32=26882015的所有非平凡因数之和为2688−1−2015=672〔解法二〕由于该数比拟小，可以直接写出2015的所有约数2015=1×2015=5×403=13×155=31×652015的所有非平凡因数之和为5+403+13+155+31+65=6723. 有一列数，第1个是1，从第2个数起，每个数比它前面相邻的数大3，最后一个数是100，将这些数相乘，那么在计算结果的末尾中有个连续的零．【答案】9【分析】这一列数为1，4，7，⋯，100，要求他们相乘的积中0的个数，找到因数2和5的个数即可，又因为因数2的个数远多于5的个数，所以找到5的个数即为积中末尾0的个数，5的倍数有10，25，40，55，70，85，100共9个5，所以有9个0．4. 60的不同约数〔1除外〕的个数是．【答案】11【分析】60=1×60=2×30=3×20=4×15=5×12=6×10.60的约数〔1除外〕有：2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60，共11个．5. 数学小组原方案将72个苹果发给学生，每人发的苹果数量一样多，后来又有6人参加小组，这样每个学生比原方案少发了1个苹果．那么，原来有名学生．【答案】18【分析】前后两次每人分到的苹果数量相差1，且都是72的因数，72的相差1的因数对有(1,2)、(2,3)、(3,4)和(8,9)，经试因数对(3,4)符合要求：前后人数分别为72÷4=18(人)和72÷3=24(人).6. 自然数甲有10个约数，那么甲的10倍的约数个数可能是．【答案】40、22、18、30或24【分析】详解：甲含有约数2、5的情况与否，会影响最终的约数个数，分情况讨论，得约数个数有五种可能：40、22、18、30和24．例如：29、24×5、24×7、2×74、79的10倍分别有22、18、24、30、40个约数．7. 老师用0至9这十个数字组成了五个两位数，每个数字恰用一次；然后将这五个两位数分别给了A、B、C、D、E这五名聪明且老实的同学，每名同学只能看见自己的两位数，并依次发生如下对话：A说：“我的数最小，而且是个质数．〞B说：“我的数是一个完全平方数．〞C说：“我的数第二小，恰有6个因数．〞D说：“我的数不是最大的，我已经知道ABC三人手中的其中两个数是多少了．〞E说：“我的数是某人的数的3倍．〞那么这五个两位数之和是．【答案】180【分析】A的话可知，A的十位是1，又因为是质数，所以A有可能是13，17，19；C能断定自己的数第二小，且有6个因数，所以可能是20，28，32；B是完全平方数，但不能含有1和2，所以B有可能是36，49，64；D能断定自己不是最大的，说明他的数是53或54或十位数不超过4，但大于等于34；E是某人的数的3倍，由上面信息可知，只能是A，且推得A为19，那么E为57最后根据D能知道ABC三人手中两个数，试验可知，BCD手中数分别为36，28，40综上所述，五个两位数之和是1808. 能被210整除且恰有210个约数的数有个．【答案】24个【分析】210=2×3×5×7，所以原数肯定含有2，3，5，7这四个质因子，而且幂次一定按照某种顺序是1，2，4，6，可以任意排列，所以有4!=24个9. 所有70的倍数中，共有多少个数恰有70个因数？【答案】6【分析】设70的N倍恰有70个因数．70=2×5×7，有：(1+1)×(1+1)×(1+1)=23= 8，因为8不整除70，所以N内可能有2、5、7．假设有4个不同质因数，但70只能表示为2×5×7，所以N内必含2、5、7中几个，即70N=2a+1×5b+1×7c+1，(a+1+1)×(b+1+1)×(c+1+1)=70，a,b,c分别是0，3，5中一个．N为23×53，23×73，25×23，25×73，53×75，55×73，一共6组．10. [A]表示自然数A的约数的个数．例如4有1，2，4三个约数，可以表示成[4]=3．计算：([18]+[22])÷[7]=．【答案】5【分析】因为18=2×32，有约数个为(1+1)×(2+1)=6(个),所以[18]=6，同样可知[22]=4，[7]=2．原式=(6+4)÷2=5.11. 两数乘积为2800，而且己知其中一数的因数个数比另一数的因数个数多1，那么这两个数分别是、．【答案】16、175【分析】先将2800分解质因数：2800=24×52×7，由于其中一数的因数个数比另一数的因数个数多1，所以这两个数中有一个数的因数为奇数个，这个数必为完全平方数．又是2800的因数，故这个数只能为22、24、52、22×52或24×52，另一个数相应地为22×52×7、52×7、24×7、22×7或7．经检验，只有两数分别为24和52×7时符合条件，所以这两个数分别是16和175．12. 算式1×8×15×22×⋯×2010的乘积末尾有个连续的0．【答案】72【分析】详解：乘数15、50、85、⋯、2010中含有因数5，都除以5得到3、10、17、⋯、402；其中10、45、⋯、395还含有因数5，都除以5，得到2、9、16、⋯、79．其中30、65里还含有因数5．我们第一次除掉了2010−1535+1=58个5，第二次除掉了395−1035+1=12个5，最后还剩下两个因数5．说明1×8×15×22×⋯×2010含有58+12+2=72个约数5，由于其中含有的约数2是足够多的，因而的0的个数就等于约数5的个数，是72个．13. 1001的倍数中，共有个数恰有1001个约数．【答案】6个【分析】1001的倍数可以表示为1001k，由于1001=7×11×13，如果k有不同于7，11，13的质因数，那么1001k至少有4个质因数，将其分解质因数后，根据数的约数个数的计算公式，其约数的个数为(a1+1)(a2+1)(a3+1)(a4+1)⋯(a n+1),其中n⩾4．如果这个数恰有1001个约数，那么(a1+1)(a2+1)(a3+1)(a4+1)⋯(a n+1)=1001=7×11×13,但是1001不能分解成4个大于1的数的乘积，所以n⩾4时不合题意，即k不能有不同于7，11，13的质因数．那么1001k只有7，11，13这3个质因数．设1001k=7a×11b×13c，那么(a+1)(b+1)(c+1)=1001,a+1、b+1、c+1分别为7，11，13，共有3!=6种选择，每种选择对应一个1001k，所以1001的倍数中共有6个数恰有1001个约数．14. 四位数双成成双的所有因数中，有3个是质数，其它39个不是质数．那么，四位数成双双成有个因数．【答案】12【分析】双成成双共有3＋39＝42个因数，且有3个质因数，所以它的质因数分解形式为双成成双＝a×b2×c6,而双成成双＝双00双+成成0̅＝双×1001＋成×110＝11×(双×91＋成×10)所以三个质因数中有一个是11，所以双成成双＝a×b2×c6,至少是11×32×26＝6336,稍微大一点点就是11×52×26＝17600,已经是五位数了，所以双成成双＝6336，双＝6,成＝3所以成双双成＝3663＝32×11×37,有3×2×2＝12个因数．15. 2010的全部约数有个，这些约数的和数是．【答案】16；4896【分析】详解：2010=2×3×5×67，约数有(1+1)×(1+1)×(1+1)×(1+1)=16个，约数之和是(1+2)×(1+3)×(1+5)×(1+67)=4896．16. 自然数N有20个正约数，N的最小值为．【答案】240【分析】先将20写成几个数相乘的形式，再写成几个和的积的形式，最后利用约数个数的公式解题：①20=20×1=19+1，N的最小值为：219=524288，②20=2×10=(9+1)×(1+1)，N的最小值为：29×3=1536，③20=4×5=(4+1)×(3+1)，N的最小值为：24×33=432，④20=2×2×5=(4+1)×(1+1)×(1+1)，N的最小值为：24×31×51=240．17. 有20个约数，且被42整除最小的自然数是．【答案】336【分析】因为被42整除，所以一定含有质因数2，3，7．20=1×20=2×10=4×5=2×2×5,有20个约数的自然数有：因为必须含有3个不同的质因数，所以最小的只能是：2×2×2×2×3×7=336;所以有20个约数且被42整除的最小自然数是336．18. S=19+199+1999+⋯+199⋯9⏟10000个9那么S的小数点后第2016位是．【答案】6【分析】首先，1 99⋯9⏟n个9=0.0⋅0⋯0⏟n−1个01⋅即小数点后第n，2n，3n，…位都是1，其它为都是0所以当n是2016的因数时，199⋯9⏟n个9化成小数后，小数点后第2016位是1，其余情况小数点后第2016位是0.2016=25×32×7,有36个因数，在不考虑进位的情况下，这一位上有36个1相加，这一位的数字是6，下面考虑进位，因为2017是质数，所以2017位上只有2个1相加，单独不构成进位，而2018=1009×2，有4个因数，本身也缺乏以向第2018位进位，显然2019位即以后都缺乏以进位到2016为，所以第2016位是6【解】19. 自然数N有45个正约数，N的最小值为．【答案】3600【分析】正约数个数的求法：分解质因数后，每个指数加1的连乘积45=3×3×5，容易知道，指数比拟小，原数比拟小．质因子比拟小，原数比拟小，因此原数最小是24×32×52=3600．20. 一个自然数有10个不同的因数〔即约数，指能够整除它的自然数〕，但质因数〔即为质数的因数〕只有2与3．那么，这个自然数是．【答案】162或48【分析】设这个数为2a×3b〔a、b均为正整数〕，由题意可知(a+1)×(b+1)=10=2×5所以a=1,b=4或a=4,b=1所以这个自然数是21×34=162或24×31=4821. 从2016的因数中选出不同的假设干个数写成一圈，要求相邻位置的两个因数互质，那么最多可以写出个因数．【答案】12【分析】2016=25×32×7,所以2016的奇因数有(2++1)×(1+1)=6个2016的偶因数有5×(2++1)×(1+1)=30个.假设排列最多的可能一定是“奇偶奇偶……〞，所以最多一圈有12个；假设有13〔或以上〕个因数，那么必有两偶数相邻，构造12个数的情况：1,2,3,14,9,4,7,8,21,16,63,32圈成一圈．22. 恰好有12个不同因数的最小的自然数为．【答案】60【分析】12=12×1=6×2=4×3=3×2×2所以，有12个因数的数对应的质因数分解形式分别是：A11，A5×B，A3×B2，A2×B×C，这四种形式下的最小自然数分别是：2048，96，72，60，所以符合要求的数是60．23. 能够被1到11的所有自然数整除的最小自然数为．【答案】27720【分析】1到11这11个数分解质因数后所包含的质数有2、3、5、7、11，因此这个自然数最少包含质因数2、3、5、7、11．1=11，2=21，3=31，4=22，5=51，6=2×3，7=71，8=23，9=32，10=2×5，11=111，所以这个自然数最小为23×32×51×71×111=27720，那么符合条件的A最小是．24. 一个正整数除以3!后所得结果中因数个数变为原来因数个数的13【答案】12【分析】设A=2x×3y×p1a1×p2a2×p3a3×⋯⋯×p n a n,那么B=A÷3!=2x−1×3y−1×p1a1×p2a2×p3a3×⋯⋯×p n a n,那么(x+1)(y+1)(a1+1)(a2+1)⋯⋯(a n+1)=3[xy(a1+1)(a2+1)(a n+1)],即(x+1)(y+1)=3xyxy都取1不满足此式，所以取x=2，y=1，a1=a2=⋯=a n=0得到最小值1225. A和B是两个非零自然数，A是B的24倍，A的因数个数是B的4倍，那么A与B的和最小是．【答案】100【分析】{B=2A=48=24×3B的因数个数为2，A的因数个数为5×2=10不符合要求；{B=3A=72=23×32B的因数个数为2，A的因数个数为4×3=12不符合要求；{B=4=22A=96=25×3B的因数个数为3，A的因数个数为6×2=12,符合要求；可见A+B的最小值为4+96=10026. 在三位数中，恰好有9个因数的数有多少个？【答案】7个【分析】由于9=1×9=3×3，根据因数个数公式，可知9个因数的数可以表示为一个质数的8次方，或者两个不同质数的平方的乘积，前者在三位数中只有28=256符合条件，后者中符合条件有22×52=100、22×72=196、22×112=484、22×132=676、32×52=225、32×72=441，所以符合条件的有7个．27. 3600有多少个约数？其中有多少个是3的倍数？有多少个是4的倍数？有多少个不是6的倍数？【答案】45；30；27；21【分析】详解：3600=24×32×52，有(4+1)×(2+1)×(2+1)=45个约数．3600=3×(24×3×52)，有(4+1)×(1+1)×(2+1)=30个约数是3的倍数．3600=24×32×52=4×(22×32×52)，有(2+1)×(2+1)×(2+1)=27个．28. 在1到100中，恰好有6个因数的数有多少个？【答案】16个【分析】6=1×6=2×3，故6只能表示为(5+1)或(1+1)×(2+1)，所以恰好有6个因数的数要么能表示成某个质数的5次方，要么表示为某个质数的平方再乘以另一个质数，100以内符合前者的只有32，符合后者的数枚举如下：22×322×522×722×1122×1322×1722×1922×23⋯⋯8个32×232×532×732×11⋯⋯4个52×252×3⋯⋯2个72×2⋯⋯1个所以符合条件的自然数一共有1+8+4+2+1=16个．29. 如果你写出12的所有因数，1和12除外，你会发现最大的因数是最小因数的3倍．现有一个整数n，除掉它的因数1和n外，剩下的因数中，最大因数是最小因数的15倍，那么满足条件的整数n有哪些？【答案】60和135．【分析】设整数n除掉因数1和n外，最小因数为a，可得最大因数为15a，那么n=a×15a=15a2=3×5×a2．那么3、5、a都为n的因数．因为a是n的除掉因数1外的最小因数，那么a⩽3．当a=2时，n=15×22=60；当a=3时，n=15×32=135．所以满足条件的整数n有60和135．30. 在小于1000的正整数中，有多少个数有奇数个约数？【答案】31【分析】详解：平方数有奇数个约数．1000以内的平方数有12，22，32，⋯，312，因此有31个数有奇数个约数．31. 以下各数分别有多少个约数？18、47、243、196、450【答案】6；2；6；9；18【分析】简答：分解质因数后，指数加1连乘即可．32. 240有多少个约数？其中有多少个奇约数？有多少个约数是3的倍数？【答案】20个；4个；10个【分析】简答：240=24×3×5，有(4+1)×(1+1)×(1+1)=20个约数．奇约数即不含有因子2，有(1+1)×(1+1)=4个奇约数，有(4+1)×(1+1)=10个约数是3的倍数．33. 有一个整数，它恰好是它约数个数的2011倍，这个正整数的最小值是多少？【答案】16088【分析】设这个数为x，其约数的个数为n，那么有x=2011×n，因为2011是质数，那么n的最小值的约数个数大概率为偶数，经试验当n=8时，那么x=2011×23⇒n=2×4=8成立因此x=2011×8=16088．34. 16200有多少个因数？因数中有多少个奇因数？有多少个偶因数？因数中有多少个是3的倍数？有多少个是6的倍数？有多少个不是5的倍数？【答案】60；15；45；48；36；20【分析】把16200分解质因数：16200=23×34×52，根据因数个数定理，16200的因数个数为：(3+1)×(4+1)×(2+1)=60个；奇因数：(4+1)×(2+1)=15个；偶因数：60−15=45个；因数中3的倍数：3×1×4×(2+1)=48(个)；因数中6的倍数，也就是2，3都得选；3×4×(2+1)=36(个)；不是5的倍数，(3+1)×(4+1)=20(个)．35. 79、128、180分别有多少个约数？【答案】2；8；18【分析】简答：提示，牢记计算约数个数的公式．并能准确分解质因数．36. 数270的因数有多少个？这些因数中奇因数有多少个？【答案】16个，8个【分析】270=33×2×5，因数的个数为(3+1)×(1+1)×(1+1)=16(个)，奇因数个数为(3+1)×(1+1)=8(个)．37.数360的约数有多少个？这些因数中偶因数有多少个？【答案】24个，18个【分析】360=23×32×5，因数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24(个)，奇因数个数为(2+1)×(1+1)=6(个)，偶因数有24−6=18(个)．38. 有一个自然数，它的个位是零，并且它有8个因数，这个数最小可能是多少？【答案】30【分析】因数个数定理：8=1×8=2×4=2×2×2，分解质因数后：a7、ab3、abc，因为这个自然数的个位是零，因此必有质因数2和5，因此可能是23×51或21×31×51，比拟可知最小的数是21×31×51=30．39. 有一个整数，它恰好是它约数个数的2012倍，这个正整数的最小值是多少？【答案】40220【分析】设这个数为x，其约数的个数为n，那么有x=2012×n=22×503×n，其约数个数总大于(2+1)×(1+1)=6个，经试验当n=20时，那么x=24×5×503⇒n=5×2×2= 20成立因此x=2011×20=40220．40. 数学老师把一个两位数的约数个数告诉了墨莫，聪明的墨莫仔细思考了一下后算出了这个数．同学们，你们知道这个数可能是多少吗？【答案】64或36【分析】假设约数个数为2个，是质数，这样的两位数有很多．假设约数个数为3个，可以用a2来表示，也有很多．约数个数为4个的两位数也有很多．约数个数为5个的数可以表示为a4，有16和81，不唯一．约数个数为6个的两位数也不唯一．约数个数为7个的两位数表示为a6，只有26=64，是唯一的．同样的，约数个数为9个的两位数也是唯一的，只有36．约数个数更多的两位数，或者不唯一，或者不存在．因此这个数可能为64或36．41. 求出所有恰好含有10个因数的两位数，并求出每个数的所有因数之和．【答案】124或186【分析】10=9+1=2×5，表达式为a9或者ab4，29>100，2×34>100，只可能是24×3=48或24×5=80．48的因数之和：(20+21+22+23+24)×(30+31)=124，80的因数之和：(20+21+22+ 23+24)×(50+51)=186．42. 有12个约数的数最小是多少？有多少个两位数的约数个数是12个？【答案】60；5【分析】详解：有12个约数的数分解质因数后，可能是▫11、▫×▫5、▫2×▫3、▫×▫×▫2；对应的最小数分别是2048、96、72、60，那么最小的就是60，其中两位数除了60、72、96之外还有84和90，共5个．43. 1000以内恰有10个因数的数有多少个？【答案】22【分析】10=1×10=2×5，对于第一种情况29=512；第二种情况为a4×b，a只能取2和3，经试验分别有17种和4种可能，综合共有22个．44. A有7个约数，B有12个约数，且A、B的最小公倍数是1728，求B．【答案】108【分析】1728=26×33，由于A数有7个约数，而7为质数，所以A为某个质数的6次方，由于1728只有2和3两个质因数，如果A为36，那么1728不是A的倍数，不符合题意，所以A=26，那么33为B的约数，设B=2k×33，那么(k+1)×(3+1)=12，解得k=2，所以B=22×33=108．45. 3456共有多少个约数？其中有多少个是3的倍数？有多少个是4的倍数？有多少个不是6的倍数？【答案】32；24；24；11【分析】简答：3456=27×33，约数有8×4=32个．其中3的倍数有8×3=24个，4的倍数有6×4=24个，6的倍数有7×3=21个．那么有32−21=11个不是6的倍数．46. 一个正整数，它的2倍的约数恰好比自己的约数多2个，它的3倍的约数恰好比它自己的约数多3个，那么这个正整数为多少？【答案】12【分析】这个数只能含2和3的因子，因为如果它还有别的因子，例如5，那么最后增加的个数要比给定的数字大．设x=2a⋅3b，它的约数有(a+1)(b+1)个，它的2倍为2a+1⋅3b，它的约数有(a+1+1)(b+1)个．(a+1+1)(b+1)−(a+1)(b+1)=b+1=2，b=1同样的，它的3倍为2a⋅3b+1，它的约数为(a+1)(b+1+1)个，比原数多3个(a+1)(b+1+1)−(a+1)(b+1)=a+1=3，a=2，所以这个数的形式是22×3=12．47. 在小于200的正整数中，有多少个数有偶数个约数？【答案】185【分析】简答：平方数有奇数个约数．小于200的平方数有12，22，⋯，32，142，共14个，因此有偶数个约数的数有185个．48. 在所有30的倍数中，共有个数恰好有30个因数？【答案】6【分析】设30的N倍恰有30个因数．因为30=2×3×5，所以N内可能有2、3、5．根据因数个数定理，(1+1)×(2+1)×(4+1)=30，所以N内必含2、3、5中几个，即30N=2a×3b×5c，(a+1)×(b+1)×(c+1)=30，a,b,c分别是1，2，4中一个．N为21×32×54，21×34×52，22×31×54，22×34×51，24×31×52，24×32×51，一共6个．49. 360共有多少个奇约数？所有这些奇约数的和是多少？【答案】6、78【分析】360=23×32×5，奇约数有：(2+1)×(1+1)=6(个)，奇约数的和是：(30+31+32)×(50+51)=78．50. 偶数A不是4的倍数，它的约数个数为12，求4A的约数个数．【答案】24【分析】由于A是偶数但是不是4的倍数，所以A只含1个因子2，可将A分解成A=21×B，其中B奇数，根据约数个数定理，它的约数个数为(1+1)×N=12，那么4A=8B=23×B，所以它的约数个数为(1+3)×N=24个．51. a，b均为质数且不相等，假设A=a3b2，那么a有多少个因数？假设B=9A，那么B有多少个因数？假设C有6个因数，那么C2有多少个因数？【答案】12；36个或18个或20个；11个或15个【分析】A有(3+1)×(2+1)=12个因数．B=9A=32a3b2，假设a和b都不是3，那么B有(2+1)×(3+1)×(2+1)=36个因数；假设a=3，那么B=35b2，那么B有(5+1)×(2+1)=18个因数，假设b=3，那么B=34a3，B有(4+1)×(3+1)=20个因数．综上B的因数可能有36个、18个或20个；6=2×3=1×6，那么假设C=p1×p22，C2=p12×p24，有(2+1)×(4+1)=15个因数；或C=p5，C2=p10，有11个因数．52. 11个连续的两位数乘积的末4位都是0，那么这11个数的总和最小是多少？【答案】220【分析】末4位都是0．这个乘积分解质因数后，至少有4个因数2和4个因数5．而连续的11个数中至少有5个偶数，所以因数2的个数足够了，因而问题在于因数5是不是够4个．由于连续的11个自然数中，最多有3个数是5的倍数，而乘积中要出现4个因数5，说明这3个数中，至少一个数含有两个因数5，这个数最小是25，所以所求的11个连续自然数的总和最小是25+24+23+⋯+15=220．53. 一个数的完全平方数有39个约数，求该数的约数个数是多少？【答案】14个或者20个．【分析】设该数为p1a1×p2a2×⋯×p n a n，那么它的平方就是p12a1×p22a2×⋯×p n2a n，因此(2a1+1)×(2a2+1)×⋯×(2a n+1)=39．由于39=1×39=3×13，⑴所以，2a1+1=3，2a2+1=13，可得a1=1，a2=6；故该数的约数个数为(1+1)×(6+1)=14个；⑵或者，2a1+1=39，可得a1=19，那么该数的约数个数为19+1=20个．所以这个数的约数个数为14个或者20个．54. 一个自然数，它最大的约数和次大的约数之和是111，这个自然数是多少？【答案】74【分析】最大的约数是这个自然数本身，因此它是次大约数的倍数．它们的和也应该为次大约数的倍数．111=3×37，次大约数为37时满足条件，这个自然数为74．55. 10000的所有因数的和为多少？所有因数的积为多少？【答案】24211；1000012×100【分析】10000=24×54，因数和：(20+21+22+23+24)×(50+51+52+53+54)=24211因数积为(1002)n×100，其中n=[(4+1)×(4+1)−1]÷2=12所以因数的积为1000012×10056. 数120的因数有多少个？这些因数中奇因数有多少个？【答案】16个；4个【分析】120=23×3×5，因数的个数为(3+1)×(1+1)×(1+1)=16(个)，奇因数个数为(1+1)×(1+1)=4(个)．57. 数240的因数有多少个？这些因数中偶因数有多少个？【答案】20个；16个【分析】240=24×3×5，因数的个数为(4+1)×(1+1)×(1+1)=20(个)，奇因数个数为(1+1)×(1+1)=4(个)，偶因数有20−4=16(个)．58. 求所有能被30整除，且恰有30个不同约数的自然数的个数．【答案】6个【分析】30=2×3×5，所以原数肯定只含有2，3，5，这三个质因子，并且指数分别为1，2，4，可以任意排列所以有3!=6个．59. 算式(1+2+3+⋯+n)+2007的结果可表示为n(n>1)个连续自然数的和．请问：共有多少个满足要求的自然数n？【答案】5个．【分析】1+2+3+⋯+n是项数为n的等差数列之和，我们考虑将2007平均分成n份，加到每一项上即可．2007=32×223，有6个约数，分别为1、3、9、223、669、2007．其中1舍去，有5个满足要求的自然数．60. 有3599只甲虫，依次编号为1，2，3，⋯，3599，开始时头都朝东．第1秒钟，编号为1的倍数的甲虫向右转90度；第2秒钟，编号为2的倍数的甲虫向右转90度；第3秒钟，编号为3的倍数的甲虫向右转90度，⋯，如此进行．那么，1小时后，第3599号甲虫头朝哪个方向？【答案】东．【分析】要求编号为n的甲虫转动的次数实际上是要求n的因数的个数，先将3599分解质因数：3599=3600−1=602−12=59×61，所以3599只有(1+1)×(1+1)=4个因数，那么在1小时即3600秒内，第3599号甲虫共转动了4次，由于每次转90度，所以共转了360度，还是朝向原来的方向，所以1小时后，第3599号甲虫头朝东．61. 2008÷a=b⋯⋯6，a、b均为自然数，a有多少种不同的取值？【答案】14【分析】由2008÷a=b⋯⋯6可知：ab+6=2008，ab=2002，又因为2002=2×7×11×13，而且a>6，所以a的取值有：7、11、13、2×7、2×11、2×13、7×11、7×13、11×13、2×7×11、2×7×13、2×11×13、7×11×13、2×7×11×13，共14种不同的取值．62. 28有多少个因数？和28因数个数相同的两位数还有那些？【答案】6个；共16个，分别是：12,18,20,28,32,44,45,50,52,63,68,75,76,92,98,99.【分析】28=22×7，共6个因数，枚举6个因数的两位数．6=1×6=2×3，原数为a5或b2c形式共16个，分别是：12,18,20,28,32,44,45,50,52,63,68,75,76,92,98,99.63. 200以内恰有10个因数的数有多少个？【答案】5【分析】10=1×10=2×5，对于第一种情况29=512>200；第二种情况为a4×b，a只能取2和3：24×3、24×5、24×7、24×11、24×13=208>200；34×2、34×5=405> 200，综上，共有5个．。
【教育资料】五年级奥数题及答案：约数倍数问题(高等难度)学习精品
五年级奥数题及答案：约数倍数问题(高等难度)
结合目前学生的学习进度，查字典数学网为大家准备了小学五年级奥数题，希望小编整理奥数题约数倍数问题(高等难度)，可以帮助到你们!一分耕耘一分收获!奥数习题万变不离其宗，相信大家平时多动脑、多练习、多积累，掌握学习方法与技巧，通过自己的努力，一定能够取得优异的成绩!
约数倍数：(高等难度)
若 a , b , c 是三个互不相等的大于0的自然数，且a + b + c = 1155 ，则它们的最大公约数的最大值为()，最小公倍数的最小值为()，最小公倍数的最大值为()
约数倍数答案：
解答：165、660、57065085
1) 由于a + b + c = 1155，而
1155=3×5×7×11。
令a=mp，b=mq，c=ms.m 为a，b，c的最大公约数，则p+q+s最小取7。
此时m=165.
2) 为了使最小公倍数尽量小，应使三个数的最大公约数m
尽量大，并且使A，B，C的最小公倍数尽量小，所以应使m=165，A=1，B=2，C=4，此时三个数分别为165，330，660，它们的最小公倍数为660，所以最小公倍数的最小值为660。
3) 为了使最小公倍数尽量小，应使三个数两两互质且乘积尽量大。
当三个数的和一定时，为了使它们的乘积尽量大，应使它们尽量接近。
由于相邻的自然数是互质的，所以可以令1155=384+385+386，但是在这种情况下384和386有公约数2，而当1155=383+385+387时，三个数两两互质，它们的最小公倍数为383×385×387=57065085，即最小公倍数的最大值为57065085。
五年级奥数因数与倍数(B级)
五年级奥数因数与倍数(B级)因数和倍数的关系一天，因数和倍数相遇了。
倍数傲慢地问因数：“你见到我怎么不下拜呢？”因数气愤地回答：“你算老几呀？我为什么要拜你？”倍数自信地说：“我是老大，因为一个数的因数只有几个，而一个数的倍数有无数个。
我的家庭庞大，你的家庭成员少得可怜。
你应该拜我。
”因数反驳：“是的，你的家庭庞大，但你知道自己是老几吗？我们的家庭成员虽少，但我们都知道自己的位置。
离开我们这些因数，你们这些倍数还能成立吗？”倍数想了想，承认自己说错了，因数和倍数握手言和，成为密不可分的好伙伴。
因数的概念与最大公因数因数是能够整除一个数的数，倍数是某个数的整数倍。
最大公因数是两个或多个数的公共因数中最大的一个。
求最大公因数的方法有三种：分解质因数法、短除法和辗转相除法。
分解质因数法先将数分解质因数，然后将相同的因数连乘；短除法找出所有共有的因数，然后相乘；辗转相除法每次用除数和余数相除，直到余数为止，最后一个除数就是最大公因数。
最大公因数有以下性质：1）两个数的最大公因数等于它们的公因数中最大的一个；2）最大公因数和最小公倍数的乘积等于两个数的乘积；3）若两个数互质，则它们的最大公因数为1.因数和倍数是密不可分的好伙伴，它们共同存在于自然数中。
没有因数，就没有倍数；没有倍数，就没有因数。
因数和倍数应该紧密团结在一起，共同发挥作用。
性质（3）指的是“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。
虽然不是常见考点，但对于理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系有帮助。
求一个整数的因数个数，需要对其严格分解质因数，然后将每个质因数的指数加1后相乘。
例如，对于整数1400，它的因数个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24个，包括1和1400本身。
这个公式的推导过程建立在数字“唯一分解定理”的基础上，结合乘法原理推导而来，需要掌握。
求一个整数的所有因数的和，需要对其严格分解质因数，然后将每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些和相乘。
小学奥林匹克数学 竞赛数学 五年级 第7讲-约数与倍数
第7讲约数与倍数【例1】导引拓展篇第1题72共有多少个约数？其中有多少个约数是3的倍数？72 1 2 3 4 6 8 72 36 24 18 12 9 2332⨯=0032⨯=0132⨯=1032⨯=2332⨯=2232⨯=1332⨯=2132⨯=1232⨯=2032⨯=0232⨯=1132⨯=0332⨯=个）（）共有（121213=+⨯+个）的倍数（82133=⨯+约数个数：指数加1连乘【例2】导引拓展篇第2题5400共有多少个约数？并求出所有约数乘积的质因数分解形式。
332 5400235=⨯⨯所以共有()()() 31312148 +⨯+⨯+=个约数23353254001⨯⨯=⨯23353227002⨯⨯=⨯......共48÷2=24对，乘积为()24233245325400⨯⨯=487272242243243532532⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯【例3】导引拓展篇第3题有甲、乙两个数，它们的最小公倍数是甲数的27倍．已知甲数是2、4、6、8、10、12、14、16的倍数，但不是18的倍数，而乙数是两位数，则乙数是多少？23218⨯=甲数中含1个因数3 最小公倍数：不同取最大最小公倍数中含有4个3 乙中含有4个3，最小为81乙数为81【例4】导引拓展篇第4题两数乘积为2800，而且已知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1．那么这两个数分别是多少？422800257=⨯⨯42257⨯和 约数个数分别为5和 ，此时成立．()()21116+⨯+=这两个数是 、 4216=257175⨯=【例5】导引拓展篇第5题（1）计算（391，357），[391，357]；（2）计算（18，24，36），[18，24，36]．3573717=⨯⨯3911723=⨯()391,35717=[]391,3571737238211=⨯⨯⨯=21823=⨯32423=⨯223623=⨯()18,24,36236=⨯=[]3218,24,362372=⨯=最大公约：相同取最小最小公倍：不同取最大【例6】导引拓展篇第5题1547、1573、1859的最大公约数是多少？最小公倍数是多少？=⨯=⨯⨯154713119137172=⨯=⨯15731312113112=⨯=⨯158913143111322⨯⨯⨯=71113172433431最大公约为：13 最小公倍为【例7】导引拓展篇第7题张阿姨把有225个苹果、350个梨和150个桔子平均分给小朋友们，最后剩下9个苹果、26个梨和6个桔子没分出去．请问：每个小朋友分得了多少个苹果？一共分出去了苹果梨桔子2259216-= 35026324-= 1506144-=3321623=⨯2432423=⨯4214423=⨯()22216,324,1442336=⨯=大于26的只有36所以人数为36每人分得苹果216÷36=6个【例8】导引拓展篇第8题一个数和16的最大公约数是8，最小公倍数是80，这个数是多少？两个数的乘积，等于它们的最大公约数与最小公倍数的乘积。
五年级上册第7讲 因数和倍数
144=24×32
（20+21+22+23+24）×（ 30+31+32） =（1+2+4+8+16） × （1+3+9） =31×13 =403
13
【课堂精练】 5．120的因数有（16）个。所有因数的和是（360）。 120=23 ×3 ×5
540的因数有（ 24）个。所有因数的和是（1680）。
五年级奥数班
第7讲 因数和倍数
倍数和因数中的规律
因数具有“成对出现”的特征
24 = 1 × 24 = 2 × 12 = 3 × 8 = 4 × 6
最小 最大 第二小 第二大 第三小 第三大 第四小 第四大
【典型例题】 例1：111111的第三大的因数是（15837）。
先找到第三小的因数 111111的因数： 1 、 3 、7 111111÷7= 15837
540=22 ×33 ×5
1125的因数有（ 12）个。所有因数的和是（2028）。
1125=32 ×53
14
【杯赛试题】 6．(1)一个自然数同时能被3和4整除，有8个不同的因数，这个自然数是（24 ）。
N=2a ×3b a大于或等于2。 （a+1）×（b+1）=8 8=2× 4 a+1=4 b+1=2
7
质数
420=2×2 ×3 ×5 ×7 =22×3 ×5 ×7
2 240
2 120 2 60 2 30 3 15
5
质数
240=2×2 ×2 ×2 ×3×5 =24×3×5
2 1050
3 525 5 175 5 35
7
质数
(完整版)因数和倍数奥数题及标准答案(有难度)
因数和倍数奥数题荟萃总体难度有点大，如果有兴趣可以试试！1、某校举行数学竞赛，共有20道题。
评分标准规定，答对一题给 3 分，不答给1 分。
答错一题倒扣 1 分，全校学生都参加了数学竞赛，请你判断，所有参赛学生得分的总和是奇数还是偶数？2、有四个连续奇数的和是2008，则其中最小的一个奇数是 ______ 。
3、张阿姨把相同数量的苹果和橘子分给若干名小朋友，每名小朋友分得 1 个苹果和 3 个橘子。
最后橘子分完了，苹果还剩下12个。
那么一共分给了 ______ _名小朋友。
4、小华同学为了在“希望杯”数学大赛中取得好成绩，自己做了四份训练题（每份训练题满分为120分）。
他第一份训练题得了90 分，第二份训练题得了100 分，那么第三份训练题至少要得________ 分才能使四份训练题的平均成绩达到105 分。
5、三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.6、自然数123456789 是质数，还是合数？为什么？7、一个数用3、4、5 除都能整除，这个数最小是多少？8、一个两位数去除251，得到的余数是41. 求这个两位数。
9、一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？10、甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13 小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。
答案：1、解：以一个学生得分情况为例。
如果他有m 题答对，就得3m 分，有n 题答错，则扣n 分，那么，这个学生未答的题就有（20-m-n）道，即还应得（20-m- n）分。
所以，这个学生得分总数为：3m-n+（20-m-n）=3m-n+20-m-n=2m-2n+20 =2（m-n+10）不管（m-n+10）是奇数还是偶数，则2（m-n+10）必然是偶数，即一个学生得分为偶数。
由此可见，不管有多少学生参赛，得分总和一定是偶数。
2、解：499。
2008÷4—3=4993、解：6。
(完整版)小学五年级下因数与倍数奥数辅导讲义
因数和倍数奥数辅导讲义
能否从中选择5张卡片，使它们上面的数字之和等于20？为什么？
拓展一：在五角星上的圆圈内共填10个数，如图所示，选出5个数，要使它们的和等于10，你能做到吗？为什么？
拓展二：在黑板上写出三个非零自然数，然后擦去一个数换成其他两个数的和，这样继续操作下去，最后得到44,66，100，那么原来写的三个数能否为1,3,5？
拓展三：在黑板上写出三个非零自然数，然后擦去一个数换成其他两个数的和减1，这样继续操作下去，最后得到17,1967,1983，那么原来写的三个数能否为2,2,2？
例6：9只杯子全部杯口朝上放着，每次“翻动”其中4只杯子，能否经过若干次的“翻动”，使9只杯子的杯口全部朝下？
拓展一：8只杯口朝下的杯子，每次翻动6只杯子，能否经过若干次翻动，使杯口全部朝上？
拓展二：桌子上放着7枚正面朝上的硬币，每次翻动其中的3枚硬币。
能够经过若干次翻动，使硬币正面全部朝下，反面全部朝上？。
五年级奥数倍数问题讲座及练习答案
五年级奥数集训专题讲座（三）———倍数问题倍数问题是整个小学阶段很重要的一个问题，我们研究倍数问题主要从“和倍、差倍、和差”这三个方面来研究。
解答倍数问题我们要理解以下数量关系式：①和÷（倍数＋1）=小数小数×倍数=大数（和—小数=大数）②差÷（倍数—1）=小数小数×倍数=大数（小数＋差=大数）③（和－差）÷2=小数小数＋差=大数（和—小数=大数）④（和+差）÷2=大数大数－差=小数（和—大数=小数）例1：三个筑路队共筑路1360米，甲队筑的米数是乙队的2倍，乙队比丙队多240米，三个队各筑多少米？分析：把乙队的米数看作“1”份，甲队筑的米数是这样的2份，假设丙队多筑240米，三个队共筑了1360+240=1600（米），正好是乙队的4倍，所以用和倍问题来解答就很容易了。
乙队：（1360+240）÷（2+1+1）=400（米）甲队：400×2=800（米丙队：400－160=240（米）答：甲队筑了800米，乙队筑了400米，丙队筑了240米。
【巩固练习】：三个植树队植树1900棵，甲队植树的棵数是乙队的2倍，乙队比丙队少植300棵，三个队各植了多少棵？解:因为甲队植树的棵数是乙队的2倍，即是以乙队植树棵数为1倍量，乙队比丙队少植300棵，即丙队植树的棵数=乙队植树棵数+300棵，所以，三个队植树的总棵数是乙队的（1+1+2=）4倍多300棵，如果我们从植树总数里减去300，则正好是乙队的4倍所以乙队植树棵数=（1900－300）÷（1+1+2）=400（棵）甲队植树棵数=400×2=800（棵）丙队植树棵数=400+300=700（棵）。
答：甲队植了800棵，乙队植了400棵，丙队植了700棵。
例2：师徒两人加工同样多的一批零件，师傅加工了102个，徒弟加工了40个。
这时徒弟剩下的个数是师傅剩下的3倍，师傅要加工多少个零件？分析：徒弟比师傅少加工了102－40=62（个），相当于师傅剩下的3－1=2倍。
小学奥数题库《数论》因数和倍数-最大公因数-4星题(含解析)
数论-因数和倍数-最大公因数-4星题课程目标知识提要最大公因数•定义公因数就是几个数的公共因数。
最大公因数就是其中最大的一个公因数。
•求最大公因数的方法〔1〕短除法：先找出所有共有的因数，然后相乘〔2〕分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
〔3〕辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公因数．用辗转相除法求两个数的最大公因数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公因数．〔如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的〕．•最大公因数的性质〔1〕几个数都除以它们的最大公因数，所得的几个商是互质数；〔2〕几个数的公因数，都是这几个数的最大公因数的因数；〔3〕几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘以n．精选例题最大公因数1. 用2、3、4、5、6、7这六个数码组成两个三位数A和B，那么A、B、540这三个数的最大公因数最大可能是．【答案】108【分析】540=22×33×5，A、B、540这三个数的最大公因数是540的因数，而540的因数从大到小排列依次为：540、270、180、135、108、90⋯由于A和B都不能被10整除，所以540、270、180都不是A 和B 的因数．由于A 和B 不能同时被5整除，所以135也不是A 和B 的公因数．540的因数除去这些数后最大的为108，考虑108的三位数倍数，有108、216、324、432、540、648、756、864、972，其中由2、3、4、5、6、7这六个数码组成的有324、432和756，易知当A 和B 一个为756、另一个为324或432时，A 、B 、540这三个数的最大公因数为108，所以A 、B 、540这三个数的最大公因数最大可能是108．2. 两个数的最大公约数和最小公倍数分别是3和135，那么这两个数的差最小是．【答案】12【分析】最大公约数和最小公倍数分别是3和135，135÷3=45, 45=3×3×5,差最小是3×(9−5)=12,那么这两个数的差最小是12．3. 写一个首位数字比末位数字大2的n 位数〔n 大于或等于3〕A ，交换首位数字和末尾数字，得n 位数B ，A 、B 相减〔大数减小数〕，所得的差为n 位数C ，把C 的首位数字和末尾数字互换得D ，C 和D 的和是S ，不管写怎样的符合要求的数A ，所得S 都是一个常数K 的倍数，那么K 的最大值是．【答案】99【分析】设A 的末位数字为a ，那么它的首位数字为a +2，不妨设A =(a +2)Xa ，其中X 是一个n −2位数．那么B =aX(a +2)．C =A −B =199⋯9⏟n−2个98=2×99⋯9⏟n−1个9，D =899⋯9⏟n−2个91=9×99⋯9⏟n−1个9，S =C +D =11×99⋯9⏟n−1个9=99×11⋯1⏟n−1个1，所有这样的S 的最大公因数是99，所以K 的最大值为99．4. 甲、乙两数的最小公倍数是170，甲、丙两数的最小公倍数是204，乙、丙两数的最小公倍数是60，那么甲、乙、丙三个数的和最小是．【答案】39【分析】详解：从约数方面考虑，甲既要是170的约数，又要是204的约数，所以甲是(170,204)=34的约数；类以的，乙是10的约数，丙是12的约数．另一方面，甲、乙的最小公倍数是170，要求甲有约数17，乙有约数5，且甲、乙至少一个是2的倍数；甲、丙的最小公倍数是204，说明丙一定是12的倍数，只能是12，于是甲、乙、丙三个数的和最小是17+5×2+12=39．5. 两个自然数的最大公约数是100，最小公倍数是20100，这两个自然数的差是6400，那么这两个自然数的和是．【答案】7000【分析】详解：设这两个自然数分别为100x 和100y(x >y)，那么(x,y)=1，[x,y]=xy =20100÷100=201，x −y =6400÷100=64．只能是x =67，y =3，两个自然数分别是6700和300，它们的和是7000．6. 自然数a,b 之差为120，它们的最小公倍数是其最大公因数的105倍，那么a,b 中较大的值是．【答案】225【分析】设(a,b)=d ，那么有a =md,b =nd ，且(m,n)=1．由题意，得md −nd =(m −n)d =120，mnd =105d ，即(m −n)d =120，mn =105．105=3×5×7，所有m,n有下面四组不同组合；105，1；35，3；21，5；15，7．因为(m−n)是120的因数，120=23×3×5，上面四组只有15−7=8是120的因数，所以m=15,n=7，d=120÷(m−n)=15．a,b中较大的数是a，它的值md=15×15=225． 7. 两个不全为0的数的公共因数称为它们的公因数。
苏教版五年级数学下册奥数培优 第7讲 因数与倍数(公因数与公倍数2)
第7讲因数与倍数（公因数与公倍数2）知识概述这一讲我们主要介绍最小公倍数与最大公约数之间的关系。
定理一:两个自然数分别除以它们的最大公因数，所得的商互质，即如果(a，b)＝d那么(a÷d，b÷a)＝1定理二:两个数的最小公倍数与最大公因数之积等于这两个数的乘积。
即[a，b]×(a，b)＝a×b。
定理三:两个数的公因数一定是这两个数的最大公因数的因数。
例1、两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少?练习1.某数与24的最大公因数是4，最小公倍数是168，这个数是多少?2.甲数和乙数的最大公因数是6，最小公倍数是90，且小数不能整除大数，求这两个数。
3.四个连续奇数的最小公倍数为6435，这四个奇数中最大的一个为多少?例2、两个自然数的和是50，它们的最大公因数是5，求这两个数的差。
练习2、1.两个自然数的和是56，它们的最大公因数是7，求这两个数。
2、已知两个自然数的积是5766，它们的最大公因数是31，求这两个数。
3、两个数的和是70，它们的最大公因数是7，求这两个数的差是多少？例3、两个数的最大公因数为21，最小公倍数为126，求这两个数的和。
练习3、1.两个自然数的最大公因数是7，最小公倍数是210，这两个数的和是77。
求这两个数。
2.两个数的最大公因数是12，最小公倍数是72，这两个数的和是多少？3.两个数的最大公因数是18，最小公倍数是180，两个数的差是54。
求这两个数的和。
例4、两个自然数的和是54，它们的最小公倍数与最大公因数的差是114，求这两个自然数。
练习4、1.两个数的差是4，最大公因数与最小公倍数的积是252，求这两个数。
2.两个数的差是30，它们最小公倍数与最大公因数的差是450，求这两个数3.两个自然数的差是2，它们的最大公因数与最小公倍数之和是86，求这两个数。
课后练习1.两个数的最大公因数是60，最小公倍数是720，其中一个数是180，另一个数是多少2.两个自然数的最大公因数是15，最小公倍数是180，其中一个数是45，求这两个自然数的差。
五年级奥数春季实验班第7讲数论综合之高难度因数与倍数问题
五年级奥数春季实验班第7讲数论综合之高难度因数与倍数问题(共5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第七讲 数论综合之高难度因数与倍数问题模块一、因数与倍数的综合问题例1．对于正整数a 、b ，[a ，b ]表示最小公倍数，(a ，b )表示最大公约数，求解下列关于未知数m ，n 的方程：[,]55 (,)[,](,)70 m n m n m n m n m n m n ⎧++=⎪⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎪⎩①②③。
解：设m =ap ，n =bp ，a ，b 互质，则[m ，n ]=abp ，(a ，b )=p ，则5570ab ap bp abp p ++=⎧⎨-=⎩，由p ×(ab −1)=70，所以p |70，70=2×5×7， 若p =2，则ab =36，a ≠b ，得a =12，b =3，代入①式矛盾，舍去；若p =7，则ab =11，a ≠b ，得a =11，b =1，代入①式矛盾，舍去；若p =5，则ab =15，a ≠b ，得a =5，b =3，于是m =25，n =15，[m ，n ]=75，(m ，n )=5，所以原方程的解是2515m n =⎧⎨=⎩。
例2．n 为非零自然数，a =8n +7，b =5n +6，且最大公约数(a ，b )=d >1，求d 的值。
解：用辗转相除的方法，(8n +7，5n +6)=(3n +1，5n +6)=(3n +1，2n +5)=(n −4，2n +5)=(n −4，n +9)=(13，n +9)，所以(a ，b )=13.例3．M n 为1、2、3、……、n 的最小公倍数，对于 样的正整数n ，M n −1=M n 。
解：如果n 是一个合数，且n 不是某一整数的k 次方，则M n −1=M n 。
因为n 是一个合数，所以n =a ×b ，a ，b 都小于n ，且a 、b 互质，于是a <n −1，b <n −1， 所以a |M n −1，b |M n −1，于是(a ×b )|M n −1，所以M n −1=M n 。
五年级奥数第七讲(因数倍数)
E第七讲因数与倍数引入：幼儿园里有一些小朋友，王老师拿了32颗糖平均分给他们，正好分完。
小朋友的人数可能是多少？这个问题就是因数和倍数的应用最大的一个是多少岁？两位数约数中，最大的是几？长方体长与宽的和是几米？★知识点2★例4修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数，问修改后的这个数是几？知识大擂台1、两个数的和是616，其中一个数的最后一位数字是0，如果把0去掉，就与另一数相同，这两个数的差是多少？2、100以内能被3与7整除的最大奇数是几？最大偶数是几？3、能同时被2，3，5，7整除的最小四位数是几？4、四个连续的自然数的积是3024，求此四个数。
5、把316表示成两个数的和，使其中一个是13的倍数，另一个是11的倍数，求此二个数。
祝贺你过关。
你能得几颗星,就涂上几颗吧。
☆☆☆☆知识点补充：1、能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数,那么,原来这个数就一定能被11整除。
★ ★★ ★★五星擂台2、能被7整除的数的特征：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推五星擂台：1、从1，2，3，4，5中选出4个数字组成一个四位数，它分别被3，5，7整除，求这个四位数。
2、从1，2，3，4，5这5个自然数中，任意选出四个数字组成能被11整除的四位数，问这样的四位数共有多少个？3、写出某个自然数的所有约数，并将这些约数两两求和，在这些和中，最小的是3，最大的是1998，问原来的自然数是几？4、十个连续的三位数，最大不超过130，这十个数的和是77的倍数，求这十个数。
因数和倍数奥数题及标准答案(有难度)
因数和倍数奥数题荟萃总体难度有点大，如果有兴趣可以试试！1、某校举行数学竞赛，共有20道题。
评分标准规定，答对一题给3分，不答给1分。
答错一题倒扣1 分，全校学生都参加了数学竞赛，请你判断，所有参赛学生得分的总和是奇数还是偶数？2、有四个连续奇数的和是2008，则其中最小的一个奇数是_________。
3、张阿姨把相同数量的苹果和橘子分给若干名小朋友，每名小朋友分得1个苹果和3个橘子。
最后橘子分完了，苹果还剩下12个。
那么一共分给了________ _名小朋友。
4、小华同学为了在“希望杯”数学大赛中取得好成绩，自己做了四份训练题(每份训练题满分为120分)。
他第一份训练题得了90分，第二份训练题得了100分，那么第三份训练题至少要得_________分才能使四份训练题的平均成绩达到105分。
5、三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.6、自然数123456789是质数，还是合数？为什么？7、一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？8、一个两位数去除251，得到的余数是41.求这个两位数。
9、一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？10、甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。
答案：1、解：以一个学生得分情况为例。
如果他有m 题答对，就得3m 分，有n题答错，则扣n分，那么，这个学生未答的题就有（20-m-n）道，即还应得（20-m-n）分。
所以，这个学生得分总数为：3m-n+（20-m-n）=3m-n+20-m-n=2m-2n+20 =2（m-n+10）不管（m-n+10）是奇数还是偶数，则2（m-n+10）必然是偶数，即一个学生得分为偶数。
由此可见，不管有多少学生参赛，得分总和一定是偶数。
2、解：499。
2008÷4—3=4993、解：6。
12÷(3—1)=6(名)。
五年级数学下册《因数与倍数》重难点复习归纳
五年级数学下册《因数与倍数》重难点复习归纳一、因数和倍数的概念突破建议：1．引导学生从本质上理解概念，同时结合具体的例子降低难度，避免死记硬背。
因数和倍数是最基本的两个概念，只有真正理解了它们的含义，后面的概念理解才会水到渠成。
教材从整除的本质出发，给出了9个除法算式，放手让学生根据自己的理解将除法算式进行分类。
学生可能会出现分成三类的现象，即将类似于8÷3=2……2和9÷5=1.8各分为一类。
此处，教师应该让学生讨论，为什么商是小数没有余数、商是整数有余数这两种情况应归为一类？让学生理解，其实例如9÷5=1.8这样商是小数没有余数的除法算式，可以写成这样的9÷5=1……4商是整数有余数的除法算式。
因此，应该将它们归为一类。
然后顺利过渡到因数和倍数。
2．引导学生明确因数和倍数这一概念的前提与概念间的相互依存性。
教学时，应该使学生明确：（1）因数和倍数这一概念的前提是被除数、除数、商都是大于0的自然数。
（2）因数与倍数概念间的相互依存性，因数、倍数都不能单独存在，在描述因数和倍数的时候必须说清楚谁是谁的因数，谁是谁的倍数。
及时纠正“2是因数，12是倍数”这样的说法。
至于辨析“倍数”和以前所学习的“几倍”，可以放在学生对因数与倍数有了较为全面深刻的认识之后再来具体比较，这样不容易混淆，也有利于学生的巩固。
二、2、5、3倍数的特征突破建议：1．让学生自主探究、合作交流，从而获得新知。
教材提供了百数表，让学生通过圈数、观察、发现、总结，最后陈述2、5、3的倍数的特征。
由于5、2的倍数的特征比较明显，学生很容易发现，所以放手让学生自主探究，效果应该比较好。
再由2的倍数引出了奇数和偶数，其实这些数对学生来说并不陌生，只是在称呼上与以往所接触的有所不同。
因此，为了使学生更好地掌握奇数和偶数的概念，这里的教学可以试着和生活中的奇数和偶数的应用结合起来。
例如，打开数学课本，左边是偶数，右边是奇数等。
五年级上册第7讲 因数和倍数
数相乘的形式。
30=2×3×5
100=2×2×5×5
注意： 1.分解时应该把质因数按照从小到大的顺序写好 2.分解的结果应当全是质数，不能出现合数与1.
280=2×2×2×5×7
分解质因数的方法：短除法
分解质因数简便写法： 100=2×2×5×5 =22×52 280=2×2×2×5×7 =23×5 ×7
【课堂精练】
1．分解质因数：
240= 24×3×5
；
420= 22×3 ×5 ×7
；
1050= 2×3×52 ×7
；
2 420
2 210 3105 5 35
7
质数
420=2×2 ×3 ×5 ×7 =22×3 ×5 ×7
2 240
2 120 2 60 2 30 3 15
5
质数
240=2×2 ×2 ×2 ×3×5 =24×3×5
个因数。
11
求因数和的方法
a3 b2 c 的因数和等于 1 a a2 a3 1 b b2 1 c
100=22×52
（20+21+22）×（ 50+51+52 ） =（1+2+4） × （1+5+25） =7×31 =217
280=23×5 ×7
144=24×32
（20+21+22+23+24）×（ 30+31+32） =（1+2+4+8+16） × （1+3+9） =31×13 =403
13
【课堂精练】 5．120的因数有（16）个。所有因数的和是（360）。 120=23 ×3 ×5
小学奥数题库《数论》因数和倍数-倍数-0星题(含解析)
数论-因数和倍数-倍数-0星题课程目标知识提要倍数•定义对于整数a和b，如果a∣b，我们就称b是a的倍数。
精选例题倍数1. 有n个自然数相加：1+2+⋯+n=aaa，那么a=．【答案】36【分析】1+2+3+⋯+n=(1+n)n÷2=111a，(1+n)n=2×3×37×a，a取1～9．n 和n+1中有一个是37的倍数，如果n=37k，那么37k2+k=6a⩽54，所以k=1，此时a不是整数．只有n+1=37k，那么37k2−k=6a，同样地k只能能取1，此时a=6．所以n= 36．2. 橘子、苹果、梨共有六箱，这六箱水果的重量分别为15、16、18、19、20、31千克，其中苹果的重量是梨的一半，橘子只有一箱．这箱橘子重千克．【答案】20【分析】因题目中提到“苹果的重量是梨的一半，橘子只有一箱〞，这说明除去橘子后，剩下的水果重量恰好等于苹果重量的3倍，也就是说重量是3的倍数．而事实上，在15、16、18、19、20、31这六个数中，只有除去20后剩下的五个数之和恰好是3的倍数，所以这箱橘子重20千克．3. x，y是大于0的自然数，且x+y=150，假设x是3的倍数，y是5的倍数，那么(x,y)的不同取值有对．【答案】9【分析】由题意得，x，y为3和5的公倍数才符合要求，公倍数有15、30、45、60、75、90、105、120、135，那么共有9对不同取值．4. 2021年3月11日，日本发生里氏9级大地震．在3月15日，日本本州岛东海岸附近海域再次发生5级地震．里氏地震级数每升2级，地震释放能量扩大到原来的1000倍，那么3月11日的大地震释放能量是3月15日东海岸地震的倍．【答案】1000000【分析】1000×1000=10000005. 给定一个除数〔不为0〕与被除数，总可以找到一个商与一个余数，满足被除数=除数×商+余数其中，0⩽余数<除数。
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第七讲数论综合之高难度因数与倍数问题模块一、因数与倍数的综合问题例1．对于正整数a 、b ，[a ，b ]表示最小公倍数，(a ，b )表示最大公约数，求解下列关于未知数m ，n 的方程：[,]55 (,)[,](,)70 m n m n m n m n m n m n ⎧++=⎪⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎪⎩①②③。
解：设m =ap ，n =bp ，a ，b 互质，则[m ，n ]=abp ，(a ，b )=p ，则5570ab ap bp abp p ++=⎧⎨-=⎩，由p ×(ab −1)=70，所以p |70，70=2×5×7，若p =2，则ab =36，a ≠b ，得a =12，b =3，代入①式矛盾，舍去；若p =7，则ab =11，a ≠b ，得a =11，b =1，代入①式矛盾，舍去；若p =5，则ab =15，a ≠b ，得a =5，b =3，于是m =25，n =15，[m ，n ]=75，(m ，n )=5，所以原方程的解是2515m n =⎧⎨=⎩。
例2．n 为非零自然数，a =8n +7，b =5n +6，且最大公约数(a ，b )=d >1，求d 的值。
解：用辗转相除的方法，(8n +7，5n +6)=(3n +1，5n +6)=(3n +1，2n +5)=(n −4，2n +5)=(n −4，n +9)=(13，n +9)， 所以(a ，b )=13.例3．M n 为1、2、3、……、n 的最小公倍数，对于样的正整数n ，M n −1=M n 。
解：如果n 是一个合数，且n 不是某一整数的k 次方，则M n −1=M n 。
因为n 是一个合数，所以n =a ×b ，a ，b 都小于n ，且a 、b 互质，于是a <n −1，b <n −1，所以a |M n −1，b |M n −1，于是(a ×b )|M n −1，所以M n −1=M n 。
这样的话，n 必须是一个合数，并且n =a ×b ，a ，b 都小于n ，且a 、b 互质。
模块二、因数与倍数中的证明问题例4．设10个自然数a 1<a 2<a 3<……<a 10，证明它们的最小公倍数不小于10a 1。
解：若a 1=1，则a 10>10，所以[a 1，a 2，a 3，……<a 10]>10，当a 1≥2时，先看a 1，a 2；a 2>a 1，若a 1、a 2互质，a 2>2，则它们的公倍数大于等于2a 1。
若a 2的因数中含有a 1的因数，则取p =(a 1，a 2)，a 2=mp ，m ≥2，它们的公倍数为ma 1≥2a 1，同理研究[a 1，a 2]与a 3的关系，若a 3是质数，则a 3>4，所以三个数的公倍数大于3a 1，若a 3是合数，则a 3至少可以分解为两个因数的和，若因数都不是a 1或a 2的约数，那么公倍数一定大于3a 1，若这两个因数分别是a 1和a 2的因数，则这两个因数最小是2与3，同样可以推出，公倍数一定大于3a 1；以此类推，可知10个数的最小公倍数不小于10a 1.模块三、因数、倍数与计数的综合问题例5．在1~300的全部自然数中，与30互质的数共有个。
解：30=2×3×5，在1~300中，是2的倍数的有150个，是3的倍数的有100个，是5的倍数的有60个； 既是2的倍数，又是3的倍数的有50个，既是2的倍数，又是5的倍数的有30个，既是3的倍数，又是5的倍数的有20个，同时是2、3、5的倍数的有10个，所以至少含有2、3、5一个约数的数有300−(150+100+60)+(50+30+20)−10=80(个)。
所以与30互质的有80个。
例6．270000共有100个因数，其中数字和为18的共有个。
解：270000=24×33×54，18是9的倍数，所以该数一定是9的倍数，也就是约数中含有32，如果恰好含有2个3，另外还有若干个2和5，如果是1个2、2个2、3个2、4个2；1个5、2个5、3个5，则它们与9乘，得到的乘积数字和都是9，也就是都不成立，只有当32×54=5625时，得到的乘积的数字和是18，符合要求；如果恰好含有3个3，另外还有若干个2和5，如果是1个2、2个2、3个2、4个2；1个5、则它们与9乘，得到的乘积数字和都是9，也就是都不成立；只有当33×25=675、33×125=3375时，得到的乘积的数字和是18，符合要求；对于33×54=16875，又不符合要求；另外对于33×25=675，再填上一个2×5或22×52，它们的数字和也是18对于33×125=3375，再填上一个2×5，数字和也是18.所以一共有1+3+2=6个符合条件的数。
例7．蓝精灵王国的A、B两地的距离等于2010米，国王派第1号信使从A地出发以1米/分钟的速度向B 地送信，一分钟之后又派出第2号信使使用比第1号信使快1米/分钟的速度向B地送信，一般地，第k分钟之后，又派出第k+1号信使使用比第k号信使快1米/分钟的速度向B地送信，……，直到第2009分钟后，派出第2010号信使使用比第2009号快1米/分钟的速度向B第送信。
每个信使都是匀速行进，问其中第号信使能同时到达B地。
解：第k名信使到达终点的时间是k−1+2010k（分钟），设第m名与第n名信使同时抵达B地．则m−1+2010m=n−1+2010n，m−n=2010n−2010m=2010()m nmn，则mn=2010=2×3×5×67，由此看出同时抵达B地的信使成对出现，共8对：(1，2010)，(2，1005)，(3，670)，(5，402)，(6，335)，(10，201)，(15，134)，(30，67)；答：有(1，2010)，(2，1005)，(3，670)，(5，402)，(6，335)，(10，201)，(15，134)，(30，67)，这8对信使各自两人同时到达．例8．如图，正方形跑道ABCD，甲、乙、丙三人同时从A点出发同向跑步，他们的速度分别为5米、4米、3米。
若干秒后，甲首次开始看到乙和丙都与自己在正方形的一条边上，且他们在自己的前方。
从此刻算起，又经过21秒，甲、乙、丙三人处在跑道的同一位置，这是出发后三人第一次处在同一位置。
请计算出正方形的周长的所有可能值是米。
解：甲、乙、丙的速度比为5 : 4 : 3，所以路程比也是5 : 4 : 3，当他们第一次相遇时，刚好是甲跑5圈、乙跑4圈、丙跑3圈后回到起点A的位置。
由于甲是第一次看到乙、丙在自己同一边的前方，所以甲那时正好是跑到第五圈D点的位置。
甲从D点跑到A点与乙丙相遇需经过21秒，所以DA长为5×21＝105（米），则周长为105×4＝420（米）。
随堂测试1．两数之和是667，它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商等于120，那么这两数的差的所有可能值之和是。
解：设这两个数分别为ap ，bp ，a >b ，a 、b 互质，p ≠1，则最大公约数为p ，最小公倍数为abp ，已知ap +bp =(a +b )×p =667=23×29，所以p =23或p =29，又最小公倍数是abp ，最大公约数是p ，由题意ab =120，当p =23时，a +b =29，29120a b ab +=⎧⎨=⎩，解得245a b =⎧⎨=⎩。
此时两个数的差是(24−5)×23=437；当p =29时，a +b =23，23120a b ab +=⎧⎨=⎩，解得158a b =⎧⎨=⎩，此时两个数的差是(15−8)×29=203；所以一共有2种可能的值。
437+203=640.2．将一个数的所有因数两两求和，在所有的和中，若最小的是4，最大的是180，则这个数是。
解：一个数的因数中，最小的是1，由于两个因数的和为4，所以第二小的因数是3，设该数为a ，则a 的最大的因数是它本身a ，第二大的因数是3a ，由题意1803a a +=， 解得a =135.3．自然数b 与175的最大公约数记为d ，如果176×(b −11×d +1)=5×d +1，则b =.解：175=52×7，175的约数有1、5、7、25、35、175，d 是这些数中的一个，又176=24×7，所以在上式中只有d =35，5×d +1能被176整除，此时b −11×d +1=1，解得b =11×35=385.4．有一个四位回文数（它顺着数与倒着数都是一样的），它的最小的9个因数的和是55，这个数是。
解：答案是2772，2772=22×32×7，它的最小的9个因数是1、2、3、4、6、7、9、11、12，这9个数的和等于55. 四位回文数可以写成abba ，abba =1001a +110b =11×(91a +10b )，这个数是11的倍数，所以1和11可能是这9个因数中的数，又1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，而现在9个因数的和是55，所以一定是要去掉几个在换上比10大的11、12，于是去掉5、8、10，换上11、12，恰好等于55.5．含有数字3，且能被3整除的四位数有个。
解：先考虑不含有3的情况，即用0、1、2、4、5、6、7、8、9，组成四位数，且能被3整除的有多少个。
这九个数按被3除的余数分可以分成三组(0、6、9)，(1、4、7)，(2、5、8)，四位数中前三位随意写，只要保证最高位不是0即可，有8×9×9=648种不同的写法，最后写末位数字，很明显，对于任意一个前面写好的三位数，加上末位数字后，使得它能被3整除，只能从上面三组数中，任选其中一组的数来填写，如前三位写成124，则末位只能填0、6、9三个数中的一个，于是不含3的四位数有648×3=1944个。
那么在四位数中能被3整除的最小的数是1002，最大的数是9999，一共有(9999−1002)÷3+1=3000（个），3000−1944=1956（个）。
解法2：一共有1056个 ，1000至1999；2000至2999；4000至4999；5000至5999；7000至7999；8000至8999，每组分别是90个，而6000至6999；9000至9999，每组是91个3000至3999；是334个 ，90×6+91×2+334=1056.6．2014名学生面向老师站成一行，根据老师的口令按从左到右的顺序报数：1、2、3、……。