(压)杆的变形· 胡克定律 - 材料力学
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第二章 轴向拉伸和压缩
§2-1 轴向拉伸和压缩的概念 §2-2 内力· 截面法· 及轴力图 §2-3 应力· 拉(压)杆内的应力 §2-4 拉(压)杆的变形· 胡克定律 §2-5 拉(压)杆内的应变能 §2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能 §2-7 强度条件· 安全因数· 许用应力 §2-8 应力集中的概念
式中：E 称为弹性模量，单位为Pa； EA—— 杆的拉伸(压缩)刚度。
第二章 轴向拉伸和压缩
l 1 FN 胡克定律的另一表达形式： l E A
s
E
←单轴应力状态下的胡克定律
s
s
第二章 轴向拉伸和压缩
横向变形因数(泊松比) 对于轴向拉压杆，当应力不超过材料的比例极限时，
横向线应变'和纵向线应变的绝对值之比为一常数，此比
说，拉杆在其任意两个横截面之间的纵向线段的伸长是均
匀的。
第二章 轴向拉伸和压缩
FN s A
推论：横截面上各点处的正应力s 都相等
第二章 轴向拉伸和压缩
注意： 由于杆端连接方式的不同，等直杆在外力作用点附近， 横截面上的应力情况复杂。圣维南原理：“力作用于杆端方
式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内
纵向线应变
第二章 轴向拉伸和压缩
横向变形
横向总变形
d d1 - d
d d
纵向线应变
第二章 轴向拉伸和压缩
胡克定律 对于轴向拉压杆，当应力不超过材料的某一特征值 (“比例极限”)时，若两端受力
l FN l A
引进比例常数E，
l FN l 胡克定律，适用于拉(压)杆。 EA
第二章 轴向拉伸和压缩
§2-1 轴向拉伸和压缩的概念
拉(压)杆：受轴向外力作用的等截面直杆 几何特征：等直杆 受力特征：两端受相反方向的轴向作用力 变形特征：杆纵向伸长或缩短
第二章 轴向拉伸和压缩
§2-2 内力· 截面法· 及轴力图
Ⅰ. 内力 根据物体的均匀连续性假设，内力在物体内连续分布。 通常把物体内相邻部分之间分布内力系的合成简称为
Ⅱ段柱横截面上的正应力
FN 2 150 103 N s2 0.37 m 0.37 m A2 1.1 106 P a 1.1 MP a (压应力)
s 2 s1
所以，最大工作应力为1.1 MPa，是压应力。
第二章 轴向拉伸和压缩
例题2-3 试求薄壁圆环在内压力作用下径向截面上的 拉应力。已知：d = 200 mm，δ= 5 mm，p = 2 MPa。
第二章 轴向拉伸和压缩
横截面上一点处所有不同方位的截面上应力的情况该点
处的应力状态。 对于轴向拉压杆，一点处的应力状态由横截面上的正应 力即可完全确定，这样的应力状态称为单轴应力状态。
s
s
第二章 轴向拉伸和压缩
§2-4 拉(压)杆的变形· 胡克定律
纵向变形
纵向总变形
l l1 -l
l （反映变形程度） l
第二章 轴向拉伸和压缩
解：
d FR ( pb d )sin pbd 0 2
π
FN pd (2 106 Pa)(0.2 m) s A 2 2(5 10-3 m) 40 106 Pa 40 MPa
第二章 轴向拉伸和压缩
Ⅲ. 拉(压)杆斜截面上的应力
（C）
值称为横向变形因数或泊松比：
ν
例题2-4 一根方钢管边长4cm ，承受250KN 的轴 向拉力，求在此荷载作用下横向尺寸的减小量。 a 2
F
a
F
a 2
FN , A s 求解思路：
' a
E
求解思路：FN , A s
' a
E
FN s 156 MPa 解：（1）横截面上的正应力： A s （2）纵向线应变： 7.8 10 4 ( E 200GPa ) E
（3）横向线应变：
'
2.34104 ( 0.3)
'
（4）横向尺寸减小： a a
9.3610 mm
第二章 轴向拉伸和压缩
例题2-1 试作此杆的轴力图。
(a)
第二章 轴向拉伸和压缩
§2-3 应力· 拉(压)杆内的应力
引题：能不能Hale Waihona Puke Baidu过外力或者轴力来判断杆件是否因
足
强不
而破坏？杆件内一点处的内力分布集度称为应力。
Ⅰ.应力的概念
平均应力：
p
m
F A
第二章 轴向拉伸和压缩
总应力：
p lim F dF A dA
第二章 轴向拉伸和压缩
斜截面上的总应力：
F F F p cos s 0 cos A A / cos A
斜截面上的正应力和切应力：
s p cos s 0 cos2
t p sin s0
2 sin 2
拉压杆内任意一点处不同方位斜截面上的正应力和 切应力的最大值所在的截面的方位？
内力。
第二章 轴向拉伸和压缩
Ⅱ. 截面法· 轴力及轴力图
步骤： （1）断开 （2）代替 （3）平衡
解得：轴力FN=F ，方向：拉为正，压为负。
第二章 轴向拉伸和压缩
思考题 静力学中力的可传递性原理，在用截面法求内力的 过程中是否可用？
轴力图：平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置。 垂直于杆轴线的坐标表示横截面轴力的数值。
A0
正应力s 总应力p 切应力t
方向：正应力拉为正，压为负
切应力逆时针为正
应力量纲：ML-1T-2，单位：Pa 合成：各点处的应力与微面积 dA的乘积
第二章 轴向拉伸和压缩
Ⅱ.拉(压)杆横截面上的应力
FN s d A
A
与轴力相应的只可能是正应力s，与切应力无关
第二章 轴向拉伸和压缩
平面假设——原为平面的横截面在杆变形后仍为平面。 即拉杆变形后两横截面将沿杆轴线做作相对平移，也就是
3
第二章 轴向拉伸和压缩
受到影响”。
第二章 轴向拉伸和压缩
例题2-2 试求此正
方形砖柱由于荷载引起
的横截面上的最大工作 应力。已知F = 50 kN。
第二章 轴向拉伸和压缩
解：Ⅰ段柱横截面上的正应力
FN1 50 103 N s1 A1 (0.24 m) (0.24 m) 0.87 106 P a 0.87 MP a (压应力)
§2-1 轴向拉伸和压缩的概念 §2-2 内力· 截面法· 及轴力图 §2-3 应力· 拉(压)杆内的应力 §2-4 拉(压)杆的变形· 胡克定律 §2-5 拉(压)杆内的应变能 §2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能 §2-7 强度条件· 安全因数· 许用应力 §2-8 应力集中的概念
式中：E 称为弹性模量，单位为Pa； EA—— 杆的拉伸(压缩)刚度。
第二章 轴向拉伸和压缩
l 1 FN 胡克定律的另一表达形式： l E A
s
E
←单轴应力状态下的胡克定律
s
s
第二章 轴向拉伸和压缩
横向变形因数(泊松比) 对于轴向拉压杆，当应力不超过材料的比例极限时，
横向线应变'和纵向线应变的绝对值之比为一常数，此比
说，拉杆在其任意两个横截面之间的纵向线段的伸长是均
匀的。
第二章 轴向拉伸和压缩
FN s A
推论：横截面上各点处的正应力s 都相等
第二章 轴向拉伸和压缩
注意： 由于杆端连接方式的不同，等直杆在外力作用点附近， 横截面上的应力情况复杂。圣维南原理：“力作用于杆端方
式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内
纵向线应变
第二章 轴向拉伸和压缩
横向变形
横向总变形
d d1 - d
d d
纵向线应变
第二章 轴向拉伸和压缩
胡克定律 对于轴向拉压杆，当应力不超过材料的某一特征值 (“比例极限”)时，若两端受力
l FN l A
引进比例常数E，
l FN l 胡克定律，适用于拉(压)杆。 EA
第二章 轴向拉伸和压缩
§2-1 轴向拉伸和压缩的概念
拉(压)杆：受轴向外力作用的等截面直杆 几何特征：等直杆 受力特征：两端受相反方向的轴向作用力 变形特征：杆纵向伸长或缩短
第二章 轴向拉伸和压缩
§2-2 内力· 截面法· 及轴力图
Ⅰ. 内力 根据物体的均匀连续性假设，内力在物体内连续分布。 通常把物体内相邻部分之间分布内力系的合成简称为
Ⅱ段柱横截面上的正应力
FN 2 150 103 N s2 0.37 m 0.37 m A2 1.1 106 P a 1.1 MP a (压应力)
s 2 s1
所以，最大工作应力为1.1 MPa，是压应力。
第二章 轴向拉伸和压缩
例题2-3 试求薄壁圆环在内压力作用下径向截面上的 拉应力。已知：d = 200 mm，δ= 5 mm，p = 2 MPa。
第二章 轴向拉伸和压缩
横截面上一点处所有不同方位的截面上应力的情况该点
处的应力状态。 对于轴向拉压杆，一点处的应力状态由横截面上的正应 力即可完全确定，这样的应力状态称为单轴应力状态。
s
s
第二章 轴向拉伸和压缩
§2-4 拉(压)杆的变形· 胡克定律
纵向变形
纵向总变形
l l1 -l
l （反映变形程度） l
第二章 轴向拉伸和压缩
解：
d FR ( pb d )sin pbd 0 2
π
FN pd (2 106 Pa)(0.2 m) s A 2 2(5 10-3 m) 40 106 Pa 40 MPa
第二章 轴向拉伸和压缩
Ⅲ. 拉(压)杆斜截面上的应力
（C）
值称为横向变形因数或泊松比：
ν
例题2-4 一根方钢管边长4cm ，承受250KN 的轴 向拉力，求在此荷载作用下横向尺寸的减小量。 a 2
F
a
F
a 2
FN , A s 求解思路：
' a
E
求解思路：FN , A s
' a
E
FN s 156 MPa 解：（1）横截面上的正应力： A s （2）纵向线应变： 7.8 10 4 ( E 200GPa ) E
（3）横向线应变：
'
2.34104 ( 0.3)
'
（4）横向尺寸减小： a a
9.3610 mm
第二章 轴向拉伸和压缩
例题2-1 试作此杆的轴力图。
(a)
第二章 轴向拉伸和压缩
§2-3 应力· 拉(压)杆内的应力
引题：能不能Hale Waihona Puke Baidu过外力或者轴力来判断杆件是否因
足
强不
而破坏？杆件内一点处的内力分布集度称为应力。
Ⅰ.应力的概念
平均应力：
p
m
F A
第二章 轴向拉伸和压缩
总应力：
p lim F dF A dA
第二章 轴向拉伸和压缩
斜截面上的总应力：
F F F p cos s 0 cos A A / cos A
斜截面上的正应力和切应力：
s p cos s 0 cos2
t p sin s0
2 sin 2
拉压杆内任意一点处不同方位斜截面上的正应力和 切应力的最大值所在的截面的方位？
内力。
第二章 轴向拉伸和压缩
Ⅱ. 截面法· 轴力及轴力图
步骤： （1）断开 （2）代替 （3）平衡
解得：轴力FN=F ，方向：拉为正，压为负。
第二章 轴向拉伸和压缩
思考题 静力学中力的可传递性原理，在用截面法求内力的 过程中是否可用？
轴力图：平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置。 垂直于杆轴线的坐标表示横截面轴力的数值。
A0
正应力s 总应力p 切应力t
方向：正应力拉为正，压为负
切应力逆时针为正
应力量纲：ML-1T-2，单位：Pa 合成：各点处的应力与微面积 dA的乘积
第二章 轴向拉伸和压缩
Ⅱ.拉(压)杆横截面上的应力
FN s d A
A
与轴力相应的只可能是正应力s，与切应力无关
第二章 轴向拉伸和压缩
平面假设——原为平面的横截面在杆变形后仍为平面。 即拉杆变形后两横截面将沿杆轴线做作相对平移，也就是
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第二章 轴向拉伸和压缩
受到影响”。
第二章 轴向拉伸和压缩
例题2-2 试求此正
方形砖柱由于荷载引起
的横截面上的最大工作 应力。已知F = 50 kN。
第二章 轴向拉伸和压缩
解：Ⅰ段柱横截面上的正应力
FN1 50 103 N s1 A1 (0.24 m) (0.24 m) 0.87 106 P a 0.87 MP a (压应力)