(压)杆的变形· 胡克定律 - 材料力学

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轴向拉(压)杆的变形-胡克定律

1.2 胡克定律
英国科学家胡克在1678 年首先通过实验发现：当杆件的应力不超过某一限度时，杆件的轴向变形 Δl 与杆件所受的外力 F 和杆长 l 成正比，而与杆件横截面面积 A 成反比，即
l ∝ Fl A
引入比例常数 E ，同时由于横截面上轴力FN = F ，于是有
l = FNl EA
(6-10)
l l
(6-7)
应变 ε 是无量纲的量。
2. 横向变形和应变
设杆原横向尺寸为 d ，受力后变为 d1 ，如图6-10b 所示，则杆的横向变形为 Δd = d1 ‒ d 。相应的横向线应变为
' d d
(6-8)
横向线应变 '也是无量纲的量。
正负号规定：Δl 、 Δd 以伸长为正，缩短为负； ε 和 ' 的正负号分别与 Δl 和 Δd 一致，即拉应变为正，压应变为负。显然，轴向线应变 ε 与横向线应变 ' 恒为异号。
E
(6-11)
从式( 6-11) 可以得知，当杆的应力在线弹性范围内时，应力与应变成正比。 E 与 μ 都是材料弹性性质的常数，表6-2 列出了几种常用工程材料的 E、μ 值。
表6-2 几种常用工程材料的E、μ 值
【例6-7】一截面为正方形的阶梯形柱，由上、下两段组成。其各段长度、截面尺寸和受力情况如图6-11所示。已知材料的弹性模量 E = 0.03×105 MPa，外力F = 50 kN，试求该柱A 、B 截面的位移。
lA
50 103 3 0.03105 106 0.252
150 103 4 0.03105 106 0.372
2.26 mm
(向下)
lB
150 103 4 0.03105 106 0.372

材料力学笔记(第二章)

材料力学（土）笔记第二章轴向拉伸和压缩1．轴向拉伸和压缩的概念拉（压）杆：作用于等直杆上的外力（或外力的合力）的作用线与杆件轴线重合变形特征是杆将发生纵向伸长或缩短2．内力法·截面法·轴力及轴力图2.1 内力内力：由外力作用引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成在物体内部相邻部分之间的相互作用的内力，实际上是一个连续分布的内力系分布内力系的合成（力或力偶），简称内力2.2 截面法·轴力及轴力图轴力：杆件任意横截面上的内力，其作用线与杆的轴线重合，即垂直于横截面并其通过形心规定用记号N F 表示用截面法，内力N F 的数值由平衡条件求解，已知一端外力为F由平衡方程0=∑x F ，0=-F F N得F F N =规定引起纵向伸长变形的轴力为正，称为拉力规定引起纵向缩短变形的轴力为负，称为压力截面法包含以下三个步骤①截开：在需求内力的截面处，假想地将杆分为两部分②代替：将两部分上的任意一部分留下，吧弃去部分的作用代之以作用在截开面上的内力 ③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据已知外力来计算在截开面上的未知力截开面上的内力对留下部分而言已属外力静力学中的力（或力偶）的可移性原理，在截面法求内力的过程中是有限制的将杆上的荷载用一个静力等效的相当力来替代，也是有所限制的轴力图：用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，从而绘成表示周丽与截面位置关系的图线。

正值的轴力滑上侧，负值画下侧3．应力·拉（压）杆内的应力3.1 应力的概念应力：受力杆件某一横截面上分部内力在一点处的集度考察M 处的应力，在M 点周围取一微小的面积A ∆设A ∆面积上分布内力的合力为F ∆在面积A ∆上内力F ∆的平均集度为AF p m ∆∆=m p 称为面积A ∆上的平均应力为表明分布内力在M 点处的集度，令微小面积A ∆无限缩小趋于零，则其极限值dAdF A F p A =∆∆=→∆0lim 即为M 点处的内力集度，称为截面m-m 上M 点处的总应力F ∆是矢量，总应力p 也是矢量，其方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切通常将总应力p 分解为与截面垂直的法向分量σ和与截面相切的切向分量τ法向分量σ称为正应力切向分量τ称为切应力应力具有如下特征：①应力定义在受力物体的某一截面上的某一点处讨论应力必须明确是在哪一个截面上哪一点处②在某一截面上一点处的应力是矢量对于应力分量，通常规定离开截面的正应力为正，反之为负③应力的量纲为21--T ML ,应力单位为Pa1 Pa=1N/㎡，工程中常采用MPa ，1 MPa=610Pa④整个截面上各点处的应力与微面积dA 之乘积的合成，即为该截面上的内力3.2 拉压杆横截面上的应力与轴力相应的只可能是垂直于截面的正应力考察杆件受力后表面上的变形情况，由表及里地作出杆件内部变形情况的几何假设，再根据力与变形间的物理关系，得到应力在截面上的变化规律，然后再通过应力与dA 之乘积的合成即为内力的静力学关系，得到与内力表示的应力计算公式平面假设：假设原为平面的横截面在杆变形后仍为平面根据平面假设，拉杆变形后两横截面将沿杆轴线作相对平移拉杆在其任意两个横截面之间纵向线段的伸长变形是均匀的假设材料是均匀的，杆的分布内力集度由于杆纵向线段的变形相对应因而拉杆横截面上的正应力σ呈均匀分布，即各点处的正应力相等按应力与内力间的静力学关系A A d dA F AA N σσσ===⎰⎰ 即得拉杆横截面上正应力σ的计算公式AF N =σ 式中，N F 为轴力，A 为杆的横截面面积对于轴向压缩的杆，上式同样适用这一结论实际上只在杆上离外力作用点稍远的部分才正确圣维南原理：力作用于杆端的方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响当等直杆受几个轴向外力作用时，由轴力图可求得其最大轴力max ,N F代入公式即得杆内得最大正应力为A F N max,max =σ最大轴力所在的横截面称为危险截面危险截面上正应力称为最大工作应力3.3 拉(压)杆斜截面上的应力与横截面成α角的任意斜截面k-k 上的应力用一平面沿着斜截面k-k 将杆截分为二，并研究左段杆的平衡得斜截面k-k 上的内力αF 为F F =α得到斜截面上各点处的总应力αpαααA F p =αA 是斜截面面积，αA 与横截面面积关心为ααcos /A A =代入可得ασααcos cos 0==A F p 其中AF =0σ即拉杆在横截面（0=α）上的正应力总应力αp 是矢量，分解成两个分量：沿截面法线方向的正应力和沿截面切线方向的切应力分别用ασ，ατ表示两个分量可以表示为ασασαα20cos cos ==p ασαταα2sin 2sin 0==p 其中角度α以横截面外向法线至斜截面外向法线为逆时针转向时为正，反之为负①当0=α时，0σσα=是ασ中的最大值，即通过拉杆内某点的横截面上的正应力，是通过该点的所有不同方位截面上正应力中的最大值②当o 45=α时，20στα=是ατ中的最大值，即与横截面呈45°的斜截面上的切应力，是拉杆所有不同方位截面上切应力中的最大值单元体：在拉杆表面任意一点A 处用横截面、纵截面及表面平行的面貌截取一各边长均为无穷小的正六面体应力状态：通过一点的所有不同方位截面上应力的全部情况单轴应力状态：在研究的拉杆中，一点处的应力状态由其横截面上的正应力0σ即可完全确定4．拉（压）杆的变形·胡克定律设拉杆原长为l ，承受一对轴向拉力F 的作用而伸长后，其长度增为1l则杆的纵向伸长为l l l -=∆1杆件变形程度可以每单位长度的纵向伸长（l l /∆）来表示线应变：每单位长度的伸长（或缩短），用ε表示拉杆的纵向线应变为ll ∆=ε 拉杆的纵向伸长l ∆为正，压杆的纵向缩短l ∆为负研究一点处的线应变，可围绕该点取一个很小的正六面体设所取正六面体沿x 轴方向AB 边的原长为x ∆变形后其长度的改变量为x δ∆对于非均匀变形比值x x ∆∆/δ为AB 边的平均线应变当x ∆无限趋于零时，其极限值称为A 点处沿x 轴方向的线应变dxd x x x x x δδε=∆∆=→∆0lim拉杆在纵向变形的同时将有横向变形设拉杆为圆杆，原始直径为d ，受力变形后缩小为1d则其横向变形为d d d -=∆1在均匀变形情况下，拉杆的横向线应变为dd ∆='ε 拉杆的横向线应变为负，即与其纵向线应变的正负号相反拉（压）杆的变形量与其所受力之间的关系与材料性能有关，只能通过实验来获得当杆内应力不超过材料的某一极限值（比例极限）时杆的伸长l ∆与其所受外力F 、杆的原长l 成正比，与其横截面面积A 成反比AFl l ∝∆ 引进比例常数E ，则 EAFl l =∆ 由于N F F =，上式改写为 EAl F l N =∆ 此关系称为胡克定律，式子中比例常数E 称为弹性模量，其量纲为21--TML ，单位为PaE 的数值随材料而异，其值表征材料抵抗弹性变形的能力EA 称为杆的拉伸（压缩）刚度对于相等且受力相同的拉杆，其拉伸刚度越大拉杆变形越小将上述公式改写成 AF E l l N ⨯=∆1 可得胡克定律的另一种表达方式 E σε=它不仅适用于拉（压）杆，而且还可以更普遍地用于所有的单轴应力状态称其为单轴应力状态下的胡克定律对于横向线应变'ε，实验结果指出当拉（压）杆的应力不超过材料的比例极限时，它与纵向线应变ε的绝对值之比为一常数此比值称为横向变形因数或泊松比，通常用υ表示，即εευ'= υ是量纲为一的量，其数值随材料而异，也是通过实验测定的纵向线应变与横向线应变的正负号恒相反，故有υεε-='Eσυε-=' 一点处横向线应变与该点处得纵向正应力成正比，但正负号相反例题2-5计算结点A 的位移为计算位移A ∆，假想地将两杆在A 点处拆开，并沿两杆轴线分别增加长度1l ∆和2l ∆ 分别以B 、C 为圆心，以两杆伸长后长度1BA ，2CA 为半径作园，交点''A 为A 点新位置3．拉（压）杆内的应变能应变能：伴随着弹性变形的增减而改变的能量在弹性体的变形过程中，积蓄在弹性体内的应变能εV 在数值上等于外力做功WW V =ε上式称为弹性体的功能原理，应变能εV 的单位为J （1 J=1 N ·m ）推导拉杆应变能计算公式在静荷载F 的作用下，杆伸长l ∆力对该位移所作的功等于F 与l ∆关系图线下的面积弹性变形范围内F 与l ∆成线性关系，可得F 所做的功W 为l F W ∆=21 积蓄在杆内的应变能为 2222222121l lEA EA l F EA l F l F l F V N N ∆===∆=∆=ε 由于拉杆各横截面上所有点处的应力均相同故杆的单位体积内所积蓄的应变能就等于杆的应变能εV 除以体积V应变能密度：单位体积内的应变能，用εv 表示σεεε2121=∆==Al l F V V v 公式表明应变能密度可以视作正应力σ在其相应的线应变ε上作的功 2222εσεE E v == 应变能的单位为J/m ³只适用于应力与应变成线性关系的先弹性范围内能量法：利用应变能的概念可以解决与结构或构件的弹性变形有关的问题例题2-6εV P A =∆216．材料在拉伸和压缩时的力学性能6.1 材料的拉伸和压缩试验标距：圆截面标准试样的工作段长度l标准比例d l 10=和d l 5=万能试验机：使试样发生变形（伸长或缩短）并测定试样抗力变形仪：将微小变形放大，测量试样变形6.2 低碳钢试样的拉伸图及其力学性能低碳钢是工程上最广泛使用的材料拉伸图：横坐标表示试样工作段的伸长量l ∆，纵坐标表示试样承受的荷载F低碳钢在整个拉伸试验过程中其工作段伸长量与荷载间的关系大致可分为四个阶段 ①弹性阶段：试样变形时完全弹性的，全部卸除载荷后，试样将恢复原长低碳钢在此阶段内，其伸长量与荷载之间成正比，即胡克定律表达式②屈服阶段：试样的伸长量急剧地增加，而荷载读数在很小范围内波动屈服：试样的荷载在很小的范围内波动，而其变形却不断增大的现象屈服阶段出现的变形，是不可恢复的塑性变形滑移线：试样经过抛光，则在试样表面将可看到大约与轴线成45°方向的条纹，是由材料沿试样的最大切应力面发生滑移而引起的③强化阶段：试样经过屈服阶段后，若要使其继续伸长，由于材料在塑性变形过程中不断发生强化，因而试样中的抗力不断增长。

工程力学-第13讲轴向拉压杆的变形和胡克定律.

设杆件变形前的横向尺寸为a变形后为a试验表明杆的横向应变与纵向应变之间存在着一定的关系在弹性范围内横向应变与纵向应变的比值的绝对值是一个常数用表示称为泊松比或横向变形系数其值可通过试验确定
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现在打盹,你将做梦; 现在学习,你将圆梦!!!!_
拓展：
对于作用在物体边界上一小块表面上的外力系可以用静力等效（主矢量、主矩相同）并且作用于同一小块表面上的外力系替换，这种替换造成的区别仅在离该小块表面的近处是显著的，而在较远处的影响可以忽略。
l
二、胡克定律
应力不超过某一限度时：
l Nl EA
E•
E为弹性模量，表示材料的弹性性能，单位为MPa。
三、横向变形
拉（压）杆产生纵向变形时，横向也产生变形。设杆件变形前的横向尺寸为a，变形后为a1，则横向变形为
a a1 a
a
a
试验表明，杆的横向应变与纵向应变之间存在着一定的关系，在弹性范围内，横向应变与纵向应变的
比值的绝对值是一个常数，用表示

称为泊松比或横向变形系数，其值可通过试
验确定。由于和的符号恒为异号，故有

例1 求图示构件B点的位移（EA=常数）。
解：(1)求各段杆轴力。 FNAC=2F，FNBC=F (2)求各段杆变形。
l AC

2Fa EA
l l 假设杆件变形前长度为
件的纵向变形为
，变形后长为 1 ，则杆
F
Fll1l Nhomakorabea l1 l
纵向变形的大小与杆的原长有关，为了度量杆的变形程度，需用单位长度的变形量。单位长度的变形
称纵向线应变，简称线应变，以表示。对于轴力为

材料力学第3章轴向拉压变形

Fy 0 :FN1 sin 30 FN3 sin 30 F
(2) 变形协调方程
Δl2 Δl1 Δl3 Δl2 tan30 sin 30 sin 30 tan30
秦飞编著《材料力学》第3章轴向拉压变形
31
3.4 拉压杆静不定问题的解法
例题3-5
(3) 利用物性关系，用力表示变形协调方程
切
B点水平位移：
线代
圆
Fa
弧
Bx BB1 l1 EA ()
B点铅垂位移：
By

BB'

l2 sin 45

l1
tan
45

(1
2
2) Fa EA
()
秦飞编著《材料力学》第3章轴向拉压变形
19
3.3 桁架的节点位移
例题3-3
图示托架，由横梁AB与斜撑杆CD所组成，并承受集中载荷
2
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
轴向应变: l 胡克定律： FN
l
E EA
所以得到： l FNl EA
（拉压杆胡克定律）
l FNl EA
EA为拉压刚度，只与材料和横截面面积有关。
秦飞编著《材料力学》第3章轴向拉压变形
3
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
(2)补充方程-变形协调方程(compatibility equation)
l1
tan

l2
sin

l3
秦飞编著《材料力学》第3章轴向拉压变形
25
3.4 拉压杆静不定问题解法
（3）物性（物理）关系
l1

FN1l1 E1 A1

工程力学教学课件：2-7 胡克定律与拉压杆的变形律

C
8
比较两种计算的结果
l
' AC
l
" AC
l
叠加原理：几个载荷同时作用产生的效果，等于各载荷单独作用产生的效果的总和
例13 图示杆长为L=150mm，横截面面积A=20mm2，弹性模量 E=200GPa，受分布力 q = kx 作用，方向如图，试AB杆的变形量 ,并计算杆变形后横截面面积沿轴线的变化。
A1
27
、补充方程
N1L1 E1 A1
T1L1
( N3L3 E3 A3
T3L3) cos
解平衡方程和补充方程，得:
B
1
D 3
2
C
N1
N2
E1A1(1 3 cos2 )T 1 2cos3 E1A1 / E3A3
A
L2 L3
L1
N3
2E1A1(1 3 cos2 1 2cos3 E1A1
)T cos
38
（合力） P
n
Q n
1、剪切面--AQ ：错动面。剪力--Q：剪切面上的内力。
n
P
2、名义剪应力--：
（合力）
Q
AQ
剪切面 3、剪切强度条件（准则）：
n
P
Q
A
其中 : jx
n
工作应力不得超过材料的许用应力。
39
三、挤压的实用计算挤压：构件局部面积的承压现象。挤压力：在接触面上的压力，记Pjy 。 1、挤压力―Pjy ：接触面上的合力。
1、等内力拉压杆的弹性定律
P
P
2、变内力拉压杆的弹性定律
NN（(xx)）
x dx 内力在n段中分别为常量时
L PL A
L PL NL EA EA

变形及胡克定律

件的轴向变形△L，B点的位移δB和C 点的位移δC
A L
F
F
B
LAB
FL EA
B
C
L
C
B
FL EA
图示结构，横梁AB是刚性杆，吊杆CD是等截面直杆， B点受荷载F作用,试在下面两种情况下分别计算B点的位移δB。1、已经测出CD杆的轴向应变ε；2、已知CD杆的抗拉刚度EA.
1. 已知ε
LCD
§4 拉（压）杆的变形.胡克定律`
杆件在轴向拉压时：
沿轴线方向产生伸长或缩短——纵向变形横向尺寸也相应地发生改变——横向变形
1、纵向变形
L
L
L L L 绝对变形
L 相对变形 L
表示轴向变形的程度
线应变: 描述弹性体在各点处线变
形程度的量
当杆沿长度均匀变形时
L
L
纵向线应变 (无量纲)
L
图式平板，两端受均布载荷q作用，若变形前在板面划上两条平行
线段AB和CD，则变形后（ A ）。
A.AB∥CD，α角减小；B. AB∥CD，α角不变； C.AB∥CD，α角增大；D.AB不平行于CD。
AC
q
q
BD
图示单向均匀拉伸的板条。若受力前在其表面画上两个正方形
a和b，则受力后正方形a、b分别变为（ C ）。
伸变形后，圆a、b分别为（ A ）。
A.圆形和圆形；B.圆形和椭圆形； C.椭圆形和圆形；D. 椭圆形和椭圆形。
a
b
A AL
在材料的线弹性范围内，正应力与线应变呈正比关系。
当杆沿长度非均匀变形时
FN x
F
x
dx
L
x
dx dx
FN xdx EAx

配合主教材孙训方等编《材料力学》(第四版)(Ⅰ,Ⅱ) 材料力学(I)第二章

第二章轴向拉伸和压缩
例题2-3 试求薄壁圆环在内压力作用下径向截面上的拉应力。已知：d = 200 mm，δ= 5 mm，p = 2 MPa。
材料力学 Ⅰ 电子教案
第二章轴向拉伸和压缩
解：薄壁圆环 (δ<<d )在内压力作用下，径向截面上的拉应力可认为沿壁厚均匀分布，故在求出径向截面上的法 F 向力FN后用式 σ = N 求拉应力。 bδ FR FN = 2 而
d FR = ∫ ( pb ⋅ d ϕ )sinϕ = pbd 0 2
π
所以
1 pbd pd (2 ×106 Pa)(0.2 m) ( )= = σ= bδ 2 2δ 2(5 × 10-3 m) = 40 × 106 Pa = 40 MPa
材料力学 Ⅰ 电子教案
第二章轴向拉伸和压缩
Ⅲ. 拉(压)杆斜截面上的应力斜截面上的内力： Fα = F
受轴向外力作用的等截面直杆——拉杆和压杆
桁架的示意图
（未考虑端部连接情况）
材料力学 Ⅰ 电子教案
第二章轴向拉伸和压缩
截面法·及轴力图 §2-2 内力截面法及轴力图 - 内力·截面法
Ⅰ. 内力材料力学中所研究的内力——是指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成。根据可变形固体的连续性假设，内力在物体内连续分布。通常把物体内任一截面两侧相邻部分之间分布内力的合力和合力偶简称为该截面上的内力(实为分布内力系的合成)。
正应力和切应力的正负规定：
σ α (+ ) τ α (+) σ α (−) τ α (−)
σ0
2
sin 2α
材料力学 Ⅰ 电子教案

材料力学-杆件的变形计算

EIz EIw M (x)dx C
再进行一次积分,可得到挠度方程
EIzw ( M (x)dx)dx Cx D
其中， C 和 D 是积分常数，需要经过边界条件或者连续条件来拟
定其大小。
❖ 边界条件：梁在其支承处旳挠度或转角是已知旳，这么旳已知条件称为边界条件。
❖ 连续条件：梁旳挠曲线是一条连续、光滑、平坦旳曲线。所以，在梁旳同一截面上不可能有两个不同旳挠度值或转角值，这么旳已知条件称为连续条件。
例题4-2: 已知：l = 54 mm ，di = 15.3 mm，E＝200 GPa，
= 0.3，拧紧后，△l ＝0.04 mm。试求：(a) 螺栓横截面上旳正应力 σ (b) 螺栓旳横向变形△d
解：1) 求横截面正应力
l 0.04 7.4110-4
l 54 E 200 103 7.41104 148.2 MPa
M lBA BA GI p
180 7Ma π GI p
x
7 3
j
DB
2.33
第三节梁旳变形
1、梁旳变形
梁必须有足够旳刚度，即在受载后不至于发生过大旳弯曲变形，不然构件将无法正常工作。例如轧钢机旳轧辊，若弯曲变形过大，轧出旳钢板将薄厚不均匀，产品不合格；假如是机床旳主轴，则将严重影响机床旳加工精度。
dx
GI p
取
dj M x
dx GI p
单位长度扭转角用来表达扭转变形旳大小
单位长度扭转角旳单位: rad/m
GI p 抗扭刚度
GI p 越大，单位长度扭转角越小
g
在一段轴上，对单位长度扭转角公式进行积分，
就可得到两端相对扭转角j 。
dj
dx
dj M x

5-2拉压杆的变形计算汇总

F
a1
横向变形为 a = a 1- a
2.线应变——杆件单位长度内的变形量。
l l1 l 纵向线应变： l l a a1 a 横向线应变： a a
拉伸时， ﹥0， ' ﹤0；压缩时， ﹤0， ' ﹥0。 3.泊松比μ（横向变形系数）实验结果表明：一定范围内，杆件的横向线应变与纵向线应变的比值为一常数。即 ' =-
10kN
x
练习1．图示等截面直杆，其横截面面积A=4000cm2，材料的弹性模量E=2×108Pa，试分别求上、下段的应力和变形量。
300kN A B
3m
400kN
4m
C
小结： 1.应力与应变关系:
虎克定律:
Nl l EA
＝E
2.拉压杆的变形计算
Nl l EA
应用时注意：N的正负要代入公式中计算。
A B C 30kN D
②分段计算变形量。 N ABl AB l AB EAAB
10kN
100
100
100
FN 20kN + 20103 100 0.02mm O 3 20010 500
－
△lBC = -0.01mm △lCD = -0.0167mm ③计算总变形量。 △l = △lAB + △lBC + △lCD = -0.0067mm
复习：

1.轴向拉压的受力特点和变形特点；

2．轴力的计算及轴力图的绘制
轴力的计算：N=∑F左或N=∑F右
轴力图作图规律：
左上右下，突变值等于外力的大小。

3．轴向拉(压)杆横截面上的正应力的计算。

胡克定律与拉压杆的变形

1.分段解法
FN1 = F2 − F1
FN2 = F2
(∆l )分段解法
=
FN1l1 EA
+
FN2l2 EA
=
(F2
− F1 )l1 EA
+
F2l2 EA
(∆l )分段解法
=
F2(l1 + EA
l2 )
−
F1l1 EA
2. 分解载荷法
(∆l
)分段解法
=
F2
( l1 + EA
l2
)
−
F1l1 EA
3. 比较
§9 连接部分的强度计算
连接实例剪切与剪切强度条件挤压与挤压强度条件例题
单辉祖:工程力学(材料力学)
73
连接实例
单辉祖:工程力学(材料力学)
销钉
螺栓
耳片
74
单辉祖:工程力学(材料力学)
75
剪切与剪切强度条件
以耳片销钉为例介绍分析方法
单辉祖:工程力学(材料力学)
76
解：1. 破坏形式分析
单辉祖:工程力学(材料力学)
81
2. 许用载荷 [F]
n
τ
=
4F πd 2
≤ [τ
]
F ≤ πd 2[τ ] = 1.257 kN
4
o
σ bs
=
F
δd
≤ [σ bs ]
F ≤ δd[σ bs ] = 2.40 kN
p
σ max
=
F
(b − d )δ
≤ [σ ]
F ≤ (b − d )δ [σ ] = 3.52 kN
FN1 = FN1,F1 + FN1,F2 = −F1 + F2

工程材料力学第四章轴向拉压杆的应力与变形

第四章轴向拉伸和压缩
Ⅱ.拉(压)杆横截面上的应力
FN s d A
A
(1) 与轴力相应的只可能是正应力s，与剪应力无关； (2) s在横截面上的变化规律横截面上各点处s 相等时可组成通过横截面形心的法向分布内力的合力——轴力FN；横截面上各点处s 不相等时，特定条件下也可组成轴力FN。
s0
2
sin 2
s ()
t ()
t ()
15
第四章轴向拉伸和压缩
k
F F F
k
45
思考：1. 写出图示拉杆其斜截面k-k上的正应力s和剪应
力t与横截面上正应力s0的关系。并示出它们在图示分离体的斜截面k-k上的指向。 2. 拉杆内不同方位截面上的正应力其最大值出现在什么截面上？绝对值最大的剪应力又出现在什么样的截面
F (l / 3) C lCD EA F (l / 3) l EA
27
第四章轴向拉伸和压缩
例题4-4 求例题2-3中所示薄壁圆环其直径的改变量Δd。
已知 E 210 GPa，d 200 mm, 5 mm, p 2 MPa。
28
第四章轴向拉伸和压缩
解：1. 前已求出圆环径向截面上的正应力此值小于钢的比例极限(低碳钢
s
s

s
E
←单轴应力状态下的胡克定律
22
第四章轴向拉伸和压缩
横向变形因数(泊松比)(Poisson’s ratio)
单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，
某一方向的线应变与和该方向垂直的方向(横向)的线应变'的绝对值之比为一常数，此比值称为横向变形因数或泊松比(Poisson’s ratio)：

拉压变形

∑F = 0 ∑F = 0
x y
FN1 = FN 2
2 FN1 cos α = F
FN1 = FN 2
F = 2 cos α
B 1 2
C
由胡克定律得两杆的伸长: 由胡克定律得两杆的伸长:
FN1l FN 2l = l1 = l2 = EA EA
A F B 1
Fl = 2EA cos α
C 2 A1 A A' A' A 2 A'' 1 2
S l = EA
ql 2 ql × l S = = = EA 2EA 2EA
d1
F l l1 绝对变形相对变形
d
F
l = l1 - l
长度量纲线应变,无量纲
l ε= l
l 1 FN FNl = l = l E A EA σ ε= 称为单轴应力状态下的单轴应力状态下的胡克定律称为单轴应力状态下的胡克定律 E
杆的变形胡克定律 §2-4 拉(压)杆的变形胡克定律
I 拉(压)杆的纵向变形 d1 F l l1 F 纵向变形: 纵向变形:l=l1-l d
Fl l∝ A
1. 拉压胡克定律 2. 线弹性 3. E称为弹性模量,单位与称为弹性模量, 称为弹性模量应力相同, 称为拉压刚度应力相同,EA称为拉压刚度低碳钢( 低碳钢(Q235): ): 计算长度l内 4. 计算长度内F,E,A为常数为常数
求各段的线应变. 例求各段的线应变.
100kN A B C 75kN 50kN D
1.75m 1.25m 1.50m
解:l AB = 0.78mm
l BC = 2.79mm lCD = 2.14mm 0.78 l AB = 5.2 ×10 4 = 520 ×10 6 = ε AB = l AB 1.75 ×103 = 520ε

《材料力学》2-4拉(压)杆的变形.胡克定律

拉（压）杆的变形.胡克定律`
杆件在轴向拉压时：
沿轴线方向产生伸长或缩短——纵向变形横向尺寸也相应地发生改变——横向变形
1、纵向变形
LLL 绝对变形
线应变: 受力物体变形时，一点处沿某一方向微小线段的相对变形
当杆沿长度均匀变形时
L L
纵向线应变 (无量纲)
y
C
O
x
A
B
z △x
当杆沿长度非均匀变形时
αD
B1 BB2C1 C
FNCD
F
A
C
a
CC1
CL CCD ccooss
C
C1
L/2
L/2
B
mA 0
FNCD
2F
cos
B1
LC FD LFN1 2CEL D A cLC o DsFCD
2Fa
EAcos2
B
4Fa
EAco3s
移δB。1、已经测出CD杆的轴向应变ε；2、已知CD杆的抗拉刚度EA.
1. 已知ε
LCD
a
LCDa
D
FNCD
Fa
A
C 刚杆
B
L C1
L
2
2
B1
B2LCD 2a
2. 已知EA
LCD
FNCDa EA
mA 0
FNCD2F
B 2L 2 LC FN DCD 4EFFAaL0
例题
2.12
B
图示的杆系是由两根圆截面钢杆铰接而成。已知
L AB L AC F N EA L A C 2 EF c A o Ls
A
A AA
L AC
cos
FL
2EAcos2

轴向拉(压)杆的变形

（5-8） ε′没有量纲。
轴向拉（压）杆的变形
1.4 泊松比
实验表明，对于同一种材料，当应力不超过比例极
限时，横向线应变与纵向线应变之比的绝对值为常数。比
值ν称为泊松比，亦称横向变形系数。即
(5-9a)
由于这两个应变的符号恒相反，故有
ε'=-νε
(5-9b)
泊松比ν是材料的另一个弹性常数，由实验测得。工
程上常用材料的泊松比见表5-1。
轴向拉（压）杆的变形
工程力学
引入比例常数E，则上式可写为（5-7）
上式称为胡克定律，这是胡克定律的另一形式。由式（5-7）可看出，EA越大，杆件的变形Δl就越小，故称EA 为杆件抗拉（压）刚度。工程上常用材料的弹性模量见表5-1。
轴向拉（压）杆的变形
1.3 横向变形
在轴向力作用下，杆件沿轴向的方向伸长（缩短）的同时，横向尺寸也将缩小（增大）。设横向尺寸由b变为b1，如图5-8(b)所示，Δb= b1-b，则横向线应变为
工程力学
轴向拉（压）杆的变形
轴向拉伸（或压缩）时，杆件的变形主要表现为沿轴向的伸长（或缩短），即纵向变形。由实验可知，当杆沿轴向伸长（或缩短）时，其横向尺寸也会相应缩小（或增大），即产生垂直于轴线方向的横向变形。
轴向拉（压）杆的变形
1.1 纵向变形
设一等截面直杆原长为l，横截面面积为A。在轴向拉力F 的作用下，长度由l变为l1，如图5-8（a）所示。杆件沿轴线方向的伸长为Δl=l1－l，拉伸时Δl为正，压缩时Δl为负。
图5-8
轴向拉（压）杆的变形
杆件的伸长量与杆的原长有关，为了消除杆件长度的影响，将Δl除以l，即以单位长度的伸长量来表征杆件变形的程度，称为线应变或相对变形，用ε表形

材料力学 9-2 轴向拉伸与压缩时的变形胡克定律

§9-4 强度条件
工作应力：σ = N
A 极限应力：材料破坏时的应力。
[σ ] = σ 0
n
• 许用应力：保证构件安全可靠工作所容许的最大应力值。
• 安全系数或许用应力的选定应根据有关规定或查阅国家有关规范或设计手册。
强度条件
[ ] σ max
=
N max A
≤
σ
•强度条件解决三方面问题：
1）校核强度
构件上任“一点” 材料的变形，只有线变形和角变形两种基本变形，分别由线应变和角应变来度量。
线应变：即单位长度上的变形量，无量纲量，其物理意义是构件上一点沿某一方向线变形量的大小。
1．轴向变形胡克定律
• 由于杆内各点轴向应力与轴向应变为均匀分布，所以一点轴向线应变：
ε = Δl
l
பைடு நூலகம்
BB1
=
Δl1
=
N1l1 EA1
=
45 ×103 ×1.2 200 ×109 × 314 ×10−6
=
0.86 ×10−3
BB2
=
Δl2
=
N 2l2 EA2
=
75 ×103 × 2 200 ×109 ×1020 ×10−6
=
−0.732 ×10−3
确定B点位移
切线代替圆弧
B2 B4
=
Δl2
×
3 5
荷[P]。
解：（1）由平衡条件计算轴力，对于节点 A，
N 2 sin 45o = N1 sin 30o
N1 cos 30o + N 2 cos 45o = P
N1
=
2P 1+ 3
=
0.732P