高中数学双曲线经典例题

高中数学双曲线经典例题

一、双曲线定义及标准方程

1．已知两圆C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x﹣4）2+y2=2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（）

A．x=0 B．

C． D．

2、求适合下列条件的双曲线的标准方程：

（1）焦点在x轴上，虚轴长为12，离心率为；

（2）顶点间的距离为6，渐近线方程为．

3、与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程是

4、求焦点在坐标轴上，且经过点A（，﹣2）和B（﹣2，）两点的双曲线的标准方程．

5、已知P是双曲线=1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|=17，则|PF2|的值为．

二、离心率

1、已知点F1、F2分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为．

2、设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为．

3、双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l的距离之和．则双曲线的离心率e的取值范围是（）A．B．C． D．

3、焦点三角形

1、设P是双曲线x2﹣=1的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知A（3，1），则|PA|+|PF|的最小值为．

2、．已知F1，F2分别是双曲线3x2﹣5y2=75的左右焦点，P是双曲线上的一点，且∠F1PF2=120°，求△F1PF2的面积．

3、已知双曲线焦点在y轴上，F1，F2为其焦点，焦距为10，焦距是实轴长的2倍．求：

（1）双曲线的渐近线方程；

（2）若P为双曲线上一点，且满足∠F1PF2=60°，求△PF1F2的面积．

4、直线与双曲线的位置关系

已知过点P （1，1）的直线L 与双曲线只有一个公共点，则

直线L 的斜率k= ＿＿＿＿

5、综合题型

如图，已知椭圆122

22=+b y a x (a>b>0)的离心率为22，以该椭圆上的点和

椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为4(2＋1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A 、B 和C 、D. (1)求椭圆和双曲线的标准方程；

(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明：k1·k2＝1； (3)是否存在常数λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

高中数学双曲线经典例题

参考答案与试题解析

一．选择题（共2小题）

1．（2015秋•洛阳校级期末）已知两圆C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x﹣4）2+y2=2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（）

A．x=0 B．

C．D．

【解答】解：由题意，①若两定圆与动圆相外切或都内切，即两圆C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x﹣4）2+y2=2，动圆M与两圆C1，C2都相切，

∴|MC1|=|MC2|，即M点在线段C1，C2的垂直平分线上

又C1，C2的坐标分别为（﹣4，0）与（4，0）

∴其垂直平分线为y轴，

∴动圆圆心M的轨迹方程是x=0

②若一内切一外切，不妨令与圆C1：（x+4）2+y2=2内切，与圆C2：（x﹣4）2+y2=2外切，则有M到（4，0）的距离减到（﹣4，0）的距离的差是2，由双曲线的定义知，点M的轨迹是以（﹣4，0）与（4，0）为焦点，以为实半轴长的

双曲线，故可得b2=c2﹣a2=14，故此双曲线的方程为

综①②知，动圆M的轨迹方程为

应选D．

2．（2014•齐齐哈尔三模）双曲线的焦距为2c，直线l 过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l

的距离之和．则双曲线的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．

【解答】解：直线l的方程为+=1，即bx+ay﹣ab=0．

由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l的距离，同理得到点（﹣1，0）到直线l的距离.，．由，得．．

于是得5≥2e2，即4e4﹣25e2+25≤0．

解不等式，得≤e2≤5．

由于e＞1＞0，

所以e的取值范围是．

故选D．

二．填空题（共5小题）

3．（2013秋•城区校级期末）已知P是双曲线=1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|=17，则|PF2|的值为33．

【解答】解：由双曲线方程知，a=8，b=6，则c==10．

∵P是双曲线上一点，

∴||PF1|﹣|PF2||=2a=16，

又|PF1|=17，

∴|PF2|=1或|PF2|=33．

又|PF2|≥c﹣a=2，

∴|PF2|=33．

故答案为33

4．（2008秋•海淀区期末）已知点F1、F2分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为．【解答】解：由题意，角F1或角F2为直角，不妨令角F2为直角，双曲线方程

﹣=1

此时P（c，y），代入双曲线方程﹣=1

解得y=

又三角形PF1F2为等腰三角形得PF2=F1F2，

故得=2c，即2ac=c2﹣a2，

即e2﹣2e﹣1=0，解得e=1

故双曲线的离心率是

故答案为．

5．（2014秋•象山县校级月考）设P是双曲线x2﹣=1的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知A（3，1），则|PA|+|PF|的最小值为﹣2．

【解答】解：设双曲线左焦点为F2，

由双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF|=2a，即|PF|=|PF2|﹣2a，

则|PA|+|PF|=|PF2|+|PA|﹣2a≥|F2A|﹣2a，

当P、F2、A三点共线时，|PF2|+|PA|有最小值，

此时F2（﹣2，0）、A（3，1），

则|PF2|+|PA|=|AF2|=，

而对于这个双曲线，2a=2，

所以最小值为﹣2．

故答案为：﹣2．