2013第十五章之动力学3两个自由度体系的自由振动
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两自由度系统的振动
5.2
图5-5（a）表示两个摆长，质量相同的单摆，中间以弹簧相连，形成两自由度系统。
图5-5双摆拍振
取 、 表示摆的角位移，逆钟向转动为正，每个摆的受力如图5-5（b）。根据刚体绕定轴转动方程，当 、 角位移很小时，得到摆做微小振动的微分方程
,
用与前面类似的分析方法，得到系统的第一阶和第二阶固有频率为
(5-5)
保证式(5-5)具有非零解的充分必要条件是式(5-5)的系数行列式等于零，即
展开后为
(5-6)
式(5-6)唯一确定了频率 满足的条件，通常称为频率分程或特征方程。它是 的二次代数方程，它的两个特征根为
(5-7)
由于式(5-7)确定的 的两个正实根仅取决于系统本身的物理性质，与运动的初始条件无关，因此 称为系统的固有频率。较小的一个称为第一阶固有频率，较大的一个称为第二阶固有频率。
图5-9动力减振器系统中主系统的幅频特性曲线
5.6阻尼对强迫振动的影响
为了把问题简化，以上的分析都没有考虑系统的阻尼。本节以图5-10所示系统为例，讨论阻尼对两自由度系统受迫振动的影响。这个系统是在上节的动力减振器的两个质量块之间增加一个阻尼器而成。其运动微分方程为
(5-20)
仍只考虑稳态运动。若利用复指数形式，则激振力为 ，而稳态运动的形式为
解：（1）建立运动微分方程式
分别以两物体的平衡位置为坐标原点，取两物体离开其平衡位置的距离x1、x2为广义坐标，两物体沿x方向的受力图如图5-3(b)所示，它们的运动微分方程分别为
若写成(5-2)的标准形式，则
所以
解出， 。因此，系统的第一阶和第二阶固有频率为
（3）求主振型
将 、 分别代入式(5-26)，得
第
应用单自由度系统的振动理论，可以解决机械振动中的一些问题。但是，工程中有很多实际问题必须简化成两个或两个以上自由度，即多自由度的系统，才能描述其机械振动的主要特征。多自由度系统的振动特性与单自由度系统的振动特性有较大的差别，例如，有多个固有频率、主振型、主振动和多个共振频率等。本章主要介绍研究两自由度系统机械振动的基本方法。
图5-5（a）表示两个摆长，质量相同的单摆，中间以弹簧相连，形成两自由度系统。
图5-5双摆拍振
取 、 表示摆的角位移，逆钟向转动为正，每个摆的受力如图5-5（b）。根据刚体绕定轴转动方程，当 、 角位移很小时，得到摆做微小振动的微分方程
,
用与前面类似的分析方法，得到系统的第一阶和第二阶固有频率为
(5-5)
保证式(5-5)具有非零解的充分必要条件是式(5-5)的系数行列式等于零，即
展开后为
(5-6)
式(5-6)唯一确定了频率 满足的条件，通常称为频率分程或特征方程。它是 的二次代数方程，它的两个特征根为
(5-7)
由于式(5-7)确定的 的两个正实根仅取决于系统本身的物理性质，与运动的初始条件无关，因此 称为系统的固有频率。较小的一个称为第一阶固有频率，较大的一个称为第二阶固有频率。
图5-9动力减振器系统中主系统的幅频特性曲线
5.6阻尼对强迫振动的影响
为了把问题简化，以上的分析都没有考虑系统的阻尼。本节以图5-10所示系统为例，讨论阻尼对两自由度系统受迫振动的影响。这个系统是在上节的动力减振器的两个质量块之间增加一个阻尼器而成。其运动微分方程为
(5-20)
仍只考虑稳态运动。若利用复指数形式，则激振力为 ，而稳态运动的形式为
解：（1）建立运动微分方程式
分别以两物体的平衡位置为坐标原点，取两物体离开其平衡位置的距离x1、x2为广义坐标，两物体沿x方向的受力图如图5-3(b)所示，它们的运动微分方程分别为
若写成(5-2)的标准形式，则
所以
解出， 。因此，系统的第一阶和第二阶固有频率为
（3）求主振型
将 、 分别代入式(5-26)，得
第
应用单自由度系统的振动理论，可以解决机械振动中的一些问题。但是，工程中有很多实际问题必须简化成两个或两个以上自由度，即多自由度的系统，才能描述其机械振动的主要特征。多自由度系统的振动特性与单自由度系统的振动特性有较大的差别，例如，有多个固有频率、主振型、主振动和多个共振频率等。本章主要介绍研究两自由度系统机械振动的基本方法。
《理论力学 动力学》 第十一讲 两个自由度系统的自由振动
两个自由度系统的振动理论曾凡林哈尔滨工业大学理论力学教研组本讲主要内容1、两个自由度系统的自由振动2、两个自由度系统的受迫振动1、两个自由度系统的自由振动（1）模型的简化同一物体的振动可以简化为不同的振动模型。
C研究上下平移振动研究前后颠簸振动两个自由度系统的自由振动模型112122222122()00mxk k x k x m x k x k x ++-=üý-+=þ&&&&2212121m k d m k c m k k b ==+=，，令方程变为：11221200xbx cx x dx dx +-=-+=&&&&，根据微分方程理论，可设上列方程组的解为：)sin()sin(21q w q w +=+=t B x t A x ，其中：A 、B 是振幅；ω为角频率，θ是初始相位角。
将上式代入微分方程组，得到：)sin()sin()sin(0)sin()sin()sin(22=+++++-=+-+++-q w q w q w w q w q w q w w t dB t dA t B t cB t bA t A 整理后得到：0)(0)(22=++-=--B d dA cB A b w w ，系统振动时，方程组具有非零解, 则方程组的系数行列式必须等于零，即：22=----ww d dc b —频率行列式①固有频率1、两个自由度系统的自由振动)()(24=-++-c b d d b w w 行列式展开后得到：—系统的本征方程，又称为频率方程21,22b d w +=m 2b d +=m i ω2的两个根都是实数，而且都是正数。
ii ω2的第一个根较小，称为第一固有频率。
iii ω2的第二个根较大，称为第二固有频率。
结论：两个自由度系统具有两个固有频率，这两个固有频率只与系统的质量和刚度等参数有关，而与振动的初始条件无关。
第六节 两个自由度体系的自由振动
4l 3 = , 243EI
δ 12 = δ 21
7l 3 = 486 EI
(2)求自振频率 求自振频率 将柔度系数及m 代入式(11-48)求得 将柔度系数及 1=m2=m代入式 代入式 求得
15ml 3 λ1 = (δ 11 + δ 12 )m = , 486 EI
于是得到两个自振频率
ml 3 λ2 = (δ 11 − δ 12 )m = 486 EI
y1 (t ) = −m1 ɺɺ1 (t )δ 11 − m2 ɺɺ2 (t )δ 12 y y y 2 (t ) = −m1 ɺɺ1 (t )δ 21 − m2 ɺɺ2 (t )δ 22 y y
或
δ 11m1 ɺɺ1 (t ) + δ 12 m2 ɺɺ2 (t ) + y1 (t ) = 0 y y δ 21m1 ɺɺ1 (t ) + δ 22 m2 ɺɺ2 (t ) + y 2 (t ) = 0 y y
大值)和 小值)如下 由此可解出 λ 的两个正实根 λ 1 (大值 和λ 2 (小值 如下： 大值 小值 如下：
λ1, 2 = [(δ 11 m1 + δ 22 m2 ) ± (δ 11 m1 − δ 22 m2 ) 2 + 4m1 m2δ 12 2 ]
1 2
λ1, 2 = [(δ 11 m1 + δ 22 m 2 ) ± (δ 11 m1 − δ 22 m2 ) 2 + 4m1 m2δ 12 2 ]
试求图a所示等截面简支梁的自振频率和主振型 所示等截面简支梁的自振频率和主振型。 例11-9 试求图 所示等截面简支梁的自振频率和主振型。
解：(1)求柔度系数 求柔度系数 体系有两个自由度。 如图b、 所示 所示。 体系有两个自由度。作 M 1、M图，如图 、c所示。由图乘法求得柔度系数 2
振动理论及工程应用3 第三章 两自由度系统的振动
例3-1 试求图示两个自由度系统振动的固有频率和主
振型。已知m1= m2=m , k1= k3=k, k2= 4k，再求该系统对以下 两组初始条件的响应：（1）t＝0，x10＝1cm， x20＝0,
x&10 x&20 0（2） t＝0，x10＝1cm， x20＝-1cm, x10 x20 0
表示振动位移的两个以上坐标出现在同一个运动方程式 中时，就称这些坐标之间存在静力耦联或弹性耦联。
当一个微分方程式中出现两个以上的加速度项时，称为 在坐标之间有动力耦联或质量耦联.
静力与动力耦联
m ml1
ml1 J1
x1
k1 k
k2l
2
k2l k2l 2
(4)将初始条件（1）代入式，解得
x10 A1(1) sin 1 A1(2) sin 2 1 x20 1 A1(1) sin 1 2 A1(2) sin 2 0 x10 A1(1) p1 cos1 A1(2) p2 cos 2 0 x20 A1(1)1 p1 cos1 A1(2) 2 p2 cos 2 0
设
a k11 , m11
特征方程可写为
b k12 , m11
c k 21 , m22
d k 22 m22
p 4 (a d ) p 2 ad bc 0
特征方程的两组特征根
p12,2
a
d 2
a
2
d
2
(ad
bc)
a
d 2
a d 2 bc 2
系统的稳态响应。设特解为
10-5两个自由度体系的自由振动
Ymn
m
代表质点的振幅
n
代表振动的频率
y1 (t ) = AY 1 11 sin(ω1t + α1 ) + A2Y 12 sin(ω2 t + α 2 ) ⎫ ⎬ y2 (t ) = AY sin( ω t + α ) + A Y 1 21 1 1 2 22 sin(ω2 t + α 2 ) ⎭
A1 A2 α1 α 2 由初始条件来确定。
大
Y11 = 1
Y12 = 1
ω1 = 0.618
ω2 = 1.618
第一主振型
第二主振型
2
2013-6-25
1. 刚度法
1. 刚度法
讨论：
m2
m1 = nm2
k2
k1 = nk2
2 2 2 2
mn
yn (t )
− mn yn mn rn
n
拓展：
n个自由度体系
[(n + 1)k 2 − ω nm2 ](k 2 − ω m2 ) − k = 0
k12 =0 k12 − ω 2 m2
k1 = k2 = k
2
2 ω2 = 2.618
第一 主振型 第二 主振型
Y11 k12 k 1 =− = = Y21 k11 − ω12 m1 2k − 0.382k 1.618
(k11 − ω 2m1 )( k 22 − ω 2 m2 ) − k12 k21 = 0
频率 方程
主振型
作业
习题 P483：10-18、19
k11 − ω m1 k21
2
k12 =0 k12 − ω 2 m2
Y11 k12 =− Y21 k11 − ω12 m1
第三章 两自由度系统的振动
设两质量块振动时按同频率和同相位作简谐振动，即：令
一组解x1 A1 sin( t )、x2 A2 sin( t )，代入方程后得： [(a 2 ) A1 bA2 ]sin( t ) 0 [cA1 (d 2 )A2 ]sin( t ) 0
(a 2 ) A1 bA2 0
cA1
(d
一阶主振型。
例
练习1 如图，推导系统的频率方程并 求主振型。设滑轮为均质圆盘， 其质量为m2，质量块质量为m1， 弹簧刚度分别为K1和K2，并假定 滑轮与绳索间无相对滑动。
解：选取广义坐标为（ ），
取静x,平 衡位置作为坐标原点，
进行受力分析，建立系统的运 动微分方程：
m1x K1(x r) I0 K1(x r)r K2r 2
1) 当作用于系统的主动力都是有势力时（系统没有能
量损失时），则系统具有势能U（q1,q2,···,qn)，广义力
为
Qj
U q j
( j 1, 2, , n)
代入方程得： d ( T ) T U 0 dt qj q j q j
( j 1, 2, , n)
或
d ( L ) L 0 ( j 1, 2, , n)
m1l 21 (m1gl Ka2 )1 Ka22 0 m2l 22 Ka21 (m2gl Ka2 )2 0
1 2
K2 (u2 u1)2
u1
u2
代入拉氏方程，得系统的微分方程
(m1
m2 2
)u1
m2 2
u2
(K1
K2 )u1
K2u2
0
m2 2
u1
3u2 2
u2
K 2u1
K2u2
0
m1
两个自由度体系的自由振动
两个自由度体系的自由振动
• 引言 • 两个自由度体系的模型建立 • 两个自由度体系的自由振动分析
• 两个自由度体系的振动控制 • 实验验证与结果分析 • 结论与展望
01
引言
背景介绍
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
自由振动是物理学中一个重要的概念，它描述了系统在没有外部作用力的情况下 ，通过自身内部能量进行的振动。两个自由度体系是指具有两个独立方向的振动 体系，例如弹簧振荡器、单摆等。
02
通过理论分析和数值模拟，我 们发现某些参数条件下，两个 自由度体系可以发生共振或反 共振现象。
03
系统的能量在振动过程中会在 两个自由度之间转移，表现出 能量的分散和集中现象。
研究不足与展望
1
当前的研究主要集中在理论分析和数值模拟上， 缺乏实验验证，因此需要进一步开展实验研究。
2
对于两个自由度体系自由振动的动力学行为，仍 有许多未知领域需要探索，例如更高维度的自由 度体系、不同阻尼机制等。
3
需要进一步研究两个自由度体系在受到外部激励 或约束条件下的振动行为，以及与其他动力学现 象的相互作用。
THANKS
感谢观看
分析振动响应的特性，如频率、振幅、相位等，以 了解系统的自由振动行为。
03
两个自由度体系的自由振动分析
振动特性分析
固有频率
描述体系对振动的敏感程度，与体系的质量和刚度有关。
阻尼比
描述体系能量耗散的快慢，与阻尼系数和固有频率有关。
模态振型
描述体系在不同方向的振动形态，是振动特性的重要参数。
振动频率计算
自由振动在工程、自然界和日常生活中广泛存在，如乐器振动、地震波传播、桥 梁振动等。
研究意义
自由振动研究有助于深入理解物理现象的本质，探究系统内部能量转换和 传递机制。
• 引言 • 两个自由度体系的模型建立 • 两个自由度体系的自由振动分析
• 两个自由度体系的振动控制 • 实验验证与结果分析 • 结论与展望
01
引言
背景介绍
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
自由振动是物理学中一个重要的概念，它描述了系统在没有外部作用力的情况下 ，通过自身内部能量进行的振动。两个自由度体系是指具有两个独立方向的振动 体系，例如弹簧振荡器、单摆等。
02
通过理论分析和数值模拟，我 们发现某些参数条件下，两个 自由度体系可以发生共振或反 共振现象。
03
系统的能量在振动过程中会在 两个自由度之间转移，表现出 能量的分散和集中现象。
研究不足与展望
1
当前的研究主要集中在理论分析和数值模拟上， 缺乏实验验证，因此需要进一步开展实验研究。
2
对于两个自由度体系自由振动的动力学行为，仍 有许多未知领域需要探索，例如更高维度的自由 度体系、不同阻尼机制等。
3
需要进一步研究两个自由度体系在受到外部激励 或约束条件下的振动行为，以及与其他动力学现 象的相互作用。
THANKS
感谢观看
分析振动响应的特性，如频率、振幅、相位等，以 了解系统的自由振动行为。
03
两个自由度体系的自由振动分析
振动特性分析
固有频率
描述体系对振动的敏感程度，与体系的质量和刚度有关。
阻尼比
描述体系能量耗散的快慢，与阻尼系数和固有频率有关。
模态振型
描述体系在不同方向的振动形态，是振动特性的重要参数。
振动频率计算
自由振动在工程、自然界和日常生活中广泛存在，如乐器振动、地震波传播、桥 梁振动等。
研究意义
自由振动研究有助于深入理解物理现象的本质，探究系统内部能量转换和 传递机制。
两个自由度体系自由振动例题.ppt
4A 3 A 1 2 0 6 A 8 A 0 1 2
3. 频率方程
D
2
4. 求主振型 将λ=λ1代入振型方程， 得
4
6
3 0 8
12 14 0
10 . 6904 , 1 . 3096 1 2
1
6EI 1 EI 0 . 7499 ml3 1 ml3
4A 3 A 1 2 0 A 6 A 8 1 2 0
A 21 1 4 2 .230 A 3 11
6EI 1 EI 2 2 . 140 ml3 2 ml3
1 A 2 . 230
1 1 21 2 2 22
a/2 a 1
3 3 a a , 11 22 6 EI EI
a3 12 21 4EI
m
a
1
m
a a
2
2. 振型方程
) A m A 0 1 12 2 2 2 1 21m 22m2 2 )A2 0 1A 1 ( (11m 1 1
3 a3 1 a 解：1. 运动方程 m A mA 0 2 2 1 6EI 4 EI 3 3 y ( t ) m y ( t ) m y ( t ) a a 1 1 1 1 11 2 2 12 mA m A 0 1 2 EI 4EI 2
3
0
2 14 15 0
12 . 8310 , 1 . 1690 1 2
1 2
12EI 1 EI 0 . 9671 ma3 1 ma3 12EI 1 EI 3 . 2039 ma3 2 ma3
两个自由度体系的自由振动.
k11
48EI 24EI , k 21 l3 l3
24EI 24EI k12 3 ,k 22 3 l l
(k11 2 m1 )Y1 k12Y2 0 2 k21Y1 (k 22 m2 )Y2 0
k11 2 m1 k12 D 0 2 k21 k22 m2
1 11 m2 2 12 y2 1P sin t m1 y y m1 y1 21 m2 y2 22 y2 2 P sin t
（2）动位移的解答及讨论
平稳阶段的纯强迫振动 设稳态受迫振动部分位移的解答为
y1 (t ) Y1 sin t y2 (t ) Y2 sin t
M (t )max M1I1 M 2 I 2 M P
在两个自由度体系中，同一点的位移和弯矩的动力系数是不同
15 .5. 2 刚度法
1 k11 y1 k12 y2 P m1 y 1 sin t m2 y2 k21 y1 k22 y2 P2 sin t
1
21m1
0
2
令 2
1
11m1 22m2 12m2 21m1 0
11m1 22 m2 2 4 11 22 12 21 m1m2
2 11m1 22 m2 11 22 12 21 m1m2 0
15.4.4 两个自由度体系自由振动方程的一般解
两个自由度体系能够按某个主振型自由振动的条件是：初始位 移和初始速度应当与此主振型相对应。
在一般情形下，两个自由度体系的自由振动可看作是两种频率
及其主振型的组合振动，即
(1) (2) y1 t A1Y1 sin 1t 1 A2Y1 sin 2 t 2 (1) (2) y2 t A1Y2 sin 1t 1 A2Y2 sin 2 t 0 2 k21Y1 (k22 m2 )Y2 0
3两自由度系统振动2
2
解方程，进一步可得如下的两个根：
ac ac c a b n 21,2 2 2
ac ac bc 2 2
2
n2
上式是决定系统频率的方程，并称为振动系统的特征 方程。
结论：两个自由度振动系统具有两个固有频率 ，这两个固有频率只与振动系统的质量和刚度 等参数有关，而与振动的初始条件无关。 n1 n2 将所求得的 和 代入（3.7）式中可得： 2 1 a n A 2 c 1 1 1 c n 21 b A1
上式就是机械振动系统在上述初始条件下的响应。
1x 10x 20 2 1 (2x10x20) ( 2 A(1) 1 2 1 n1 )
利用主坐标解耦的方法求解系统响应
的基本步骤为： （1）求出原振动方程的固有频率和振幅 比，得到振型矩阵；
（2）求出主坐标下的响应；
（3）利用反变换式得出原广义坐标下的 响应； （4）利用初始条件确定常系数。
上式为两自由度系统振动的微分方程。
图3.2，双质量－弹簧机械振动系统中，第一个方程中 包含 bx 2 项，第二个方程中则包含 cx 1 项，统称为 “耦合项”。
以上表明，质量 m1同不仅受到弹簧 k1的恢复力的作用，而 且受到弹簧k2 的恢复力的作用； m2只受一个弹簧 k2恢复力 的作用，还受到第一质点m1 位移的影响。位移之间有耦合 称为弹性耦合；加速度之间有耦合称为惯性耦合。
,
2
2
故机械振动系统的响应为：
x1 0.4cos x 0.4cos 2
（1）运动规律
k t 0.8cos1.581 m k t 0.4cos1.581 m
k t m k t m
解方程，进一步可得如下的两个根：
ac ac c a b n 21,2 2 2
ac ac bc 2 2
2
n2
上式是决定系统频率的方程，并称为振动系统的特征 方程。
结论：两个自由度振动系统具有两个固有频率 ，这两个固有频率只与振动系统的质量和刚度 等参数有关，而与振动的初始条件无关。 n1 n2 将所求得的 和 代入（3.7）式中可得： 2 1 a n A 2 c 1 1 1 c n 21 b A1
上式就是机械振动系统在上述初始条件下的响应。
1x 10x 20 2 1 (2x10x20) ( 2 A(1) 1 2 1 n1 )
利用主坐标解耦的方法求解系统响应
的基本步骤为： （1）求出原振动方程的固有频率和振幅 比，得到振型矩阵；
（2）求出主坐标下的响应；
（3）利用反变换式得出原广义坐标下的 响应； （4）利用初始条件确定常系数。
上式为两自由度系统振动的微分方程。
图3.2，双质量－弹簧机械振动系统中，第一个方程中 包含 bx 2 项，第二个方程中则包含 cx 1 项，统称为 “耦合项”。
以上表明，质量 m1同不仅受到弹簧 k1的恢复力的作用，而 且受到弹簧k2 的恢复力的作用； m2只受一个弹簧 k2恢复力 的作用，还受到第一质点m1 位移的影响。位移之间有耦合 称为弹性耦合；加速度之间有耦合称为惯性耦合。
,
2
2
故机械振动系统的响应为：
x1 0.4cos x 0.4cos 2
（1）运动规律
k t 0.8cos1.581 m k t 0.4cos1.581 m
k t m k t m
双自由度与多自由度的受迫振动PPT课件
几乎不动。这也和单自由度系统受迫振动的特性很相似。
3.双自由度系统的有阻尼受迫振动
..
.
..
平衡条件：
F1(t) k2 (x2 x1) c2 (x2 x1) k1x1 c1 x1 m1 x1
..
.
..
F2 (t) k2 (x2 x1) c2 (x2 x1) k3x2 c3 x2 m1 x2
k2
k2 k2
x1 x2
F1
sin 0
pt
稳态解：
x1(t) X 1 sin pt x2 (t ) X 2 sin pt
X1 F1(k2 m2 p2 ) / , X 2 F1k2 /
系数行列式：
自由度系统中，如果激振力的频率和系统的任何一阶固有频率相近时，系统都将产生共 振，所以双自由度系统有两个共振区。另外，如果子系统通过弹簧传给主系统的力正好 与作用在主系统上的激振力相平衡，这时主系统的受迫振动就被子系统完全吸收掉而保 持静止，这个特性常用来设计动力减振器。
当激振力的频率趋向于无穷时，X1、X 2均趋于零，即激振力频率很高时，两个质量都
(k1
k2
m1
p2 )(k2
m1
p2
)
k
2 2
动力消振器
为方便讨论稳态振动的特性，令主系统固有频率为 12 k1 / m1
子系统固有频率为 22 k2 /m2 。则由主系统的幅频响应曲线
可知当激振力频率与主系统固有频率的比值为1时，即满足：
2 k2 / m2
此时X1 0 ，X1 F0 / k2 ,由于 x2 X 2 sin t F0 sin t / k2
3.双自由度系统的有阻尼受迫振动
..
.
..
平衡条件：
F1(t) k2 (x2 x1) c2 (x2 x1) k1x1 c1 x1 m1 x1
..
.
..
F2 (t) k2 (x2 x1) c2 (x2 x1) k3x2 c3 x2 m1 x2
k2
k2 k2
x1 x2
F1
sin 0
pt
稳态解：
x1(t) X 1 sin pt x2 (t ) X 2 sin pt
X1 F1(k2 m2 p2 ) / , X 2 F1k2 /
系数行列式：
自由度系统中，如果激振力的频率和系统的任何一阶固有频率相近时，系统都将产生共 振，所以双自由度系统有两个共振区。另外，如果子系统通过弹簧传给主系统的力正好 与作用在主系统上的激振力相平衡，这时主系统的受迫振动就被子系统完全吸收掉而保 持静止，这个特性常用来设计动力减振器。
当激振力的频率趋向于无穷时，X1、X 2均趋于零，即激振力频率很高时，两个质量都
(k1
k2
m1
p2 )(k2
m1
p2
)
k
2 2
动力消振器
为方便讨论稳态振动的特性，令主系统固有频率为 12 k1 / m1
子系统固有频率为 22 k2 /m2 。则由主系统的幅频响应曲线
可知当激振力频率与主系统固有频率的比值为1时，即满足：
2 k2 / m2
此时X1 0 ，X1 F0 / k2 ,由于 x2 X 2 sin t F0 sin t / k2
结构动力学之多自由度体系的振动问题ppt课件
1 536EI
448 (1 536)2
m1m2l 6 (EI )2
0
解得
21
23l3 (m1 m2 2 1 536EI
)
529(m1 m2 )2l6 41 5362 (EI )2
448m1m2l 6 1 5362 (EI )2
从而得第一和第二阶自振频率
1
1
1
2
1
2
为了确定第一阶振型，可将1代入平衡方程。
其展开式是关于λ的n次代数方程,先求出λi再求 出频率ωi
柔度法
(11m1 )
12m2
...
21m1 ( 22m2 ) ...
...
...
...
1n mn 2nmn 0
...
n1m1
n2m2 ... ( nnmn )
将λi代入 ( [δ] [M] － λi [I ] ){Y(i)}={0} 可求出n个主振型。
多个自由度体系的自由振动
结构在受迫振动时的动力响应与结构的动力特性 密切相关；另外，当用振型叠加法计算任意干扰力 作用下结构的动力响应时，往往要用到自由振动的 频率(frequency)和振型(mode)。
为此，要需要首先分析自由振动。
自振频率和振型的计算
m1
m2
mi
mn
y1(t) y2(t)
yi(t)
刚度法
其中最小的频率1 称为最低自振频率，或称
基本频率。 通常将上述每一个频率所对应的振动都称为
主振动，对应于每一个主振动的形状称为主振 型。
1）如果各质体的初速度为零，而初位移和某 一振型成比例，然后任其自然，则系统就按 这个振型作简谐自由振动，此解答就相应于 该振动的一组特解；
448 (1 536)2
m1m2l 6 (EI )2
0
解得
21
23l3 (m1 m2 2 1 536EI
)
529(m1 m2 )2l6 41 5362 (EI )2
448m1m2l 6 1 5362 (EI )2
从而得第一和第二阶自振频率
1
1
1
2
1
2
为了确定第一阶振型，可将1代入平衡方程。
其展开式是关于λ的n次代数方程,先求出λi再求 出频率ωi
柔度法
(11m1 )
12m2
...
21m1 ( 22m2 ) ...
...
...
...
1n mn 2nmn 0
...
n1m1
n2m2 ... ( nnmn )
将λi代入 ( [δ] [M] － λi [I ] ){Y(i)}={0} 可求出n个主振型。
多个自由度体系的自由振动
结构在受迫振动时的动力响应与结构的动力特性 密切相关；另外，当用振型叠加法计算任意干扰力 作用下结构的动力响应时，往往要用到自由振动的 频率(frequency)和振型(mode)。
为此，要需要首先分析自由振动。
自振频率和振型的计算
m1
m2
mi
mn
y1(t) y2(t)
yi(t)
刚度法
其中最小的频率1 称为最低自振频率，或称
基本频率。 通常将上述每一个频率所对应的振动都称为
主振动，对应于每一个主振动的形状称为主振 型。
1）如果各质体的初速度为零，而初位移和某 一振型成比例，然后任其自然，则系统就按 这个振型作简谐自由振动，此解答就相应于 该振动的一组特解；
两个自由度系统的振动ppt课件
x1
x2
第5章 两个自由度系统的振动
5.2 振动方程
5
[M] 称 为 系 统 的 质 量 矩 阵 ， [K] 称 为 刚 度 矩 阵，[C]称为阻尼矩阵，{x}为系统的位移列阵， {F(t)}为外激励列阵。
对于其它形式的两自由度振动系统同样可得 到相应的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵。
由于矩阵[M]、 [K]、 [C]的非对角线元素不 为0，所以振动微分方程是互相耦合的非独立 方程。
第5章 两个自由度系统的振动
能量法
29
3. 阻尼矩阵的形成 线性阻尼（黏滞阻尼）的耗能函数可写为
1
Ed
2
k
ckj x&k x& j
j
1{x&}T [C]{x&} 2
[C]即为所求的阻尼矩阵，也是对称阵。
第5章 两个自由度系统的振动
能量法
30
【例5-2-3】求[M]和[K]。 解：取静平衡位置为坐 标原点和零势能位置
第5章 两个自由度系统的振动
5.2 振动方程
8
根据刚度影响系数和质量影响系 数，可以写出下列关系：
k11x1 k12 x2 m1&x&1 c1x&1 c2 (x&1 x&2 ) F1(t) k21x1 k22 x2 m2&x&2 c3x&2 c2 (x&1 x&2 ) F2 (t)
)
{x} [R]({F} [M ]{&x&} [C]{x&})
这就是以柔度矩阵表示的位移形式的振动方程。
第5章 两个自由度系统的振动
5.3 位移方程
11
因为[R]为正定矩阵，于是位移方程又可写为
15动力学3.
振但动其过比程值中始，终结保构持位不移变形。状保持不变 k12Y2 0 k21Y1 (k22 2m2 )Y2 0
当然 Y1=Y2=0 为其解，为了求得不全为零的解，令
D (k11 2m1)
k12
0
可见当顶端质点的质量和刚度很小时，顶端水平侧移很大。 建筑结构抗震设计中，将这种因顶端质点质量和刚度突变，而导致顶端巨 大反应的现象，称为鞭梢效应。
如：屋顶消防水池、上人屋面设计的楼电梯间，女儿墙或屋顶建筑物等。6
二、 柔度法
m2 y2 m2
在自由振动过程中任意时刻t，质量m1、 y2(t) m2的位移y1(t)、y2(t)应当等于体系在当时
（3）一般振动
两自由度体系自由振动是两种频率及其主振型的组合振动
y1(t) A1Y11 sin(1t 1) A2Y12 sin(2t 2 )
y2
(t)
A2Y21
sin(1t
1)
A2Y22
sin(2t
2 )
多自由度体 系自由振动 的振型分解
例7：设图示刚架横梁刚度为无限大，层间侧移刚度分别为k1和
主振型的位移幅值等于主 振型惯性力幅值作用下产 生的静力位移。 7
2m2Y2 m2 2m1Y1 m1
Y2 Y1
(Y111m1 (122m)Y11Y1)12m112Y2
Y 221m1Y(1 (2m221mY21)1221)Y2
(0 2m2Y2 (02m2Y2
k21
(k22 2m2 )
特征方程 频率方程
(k11 2m1)(k22 2m2 ) k12k21 0
2
(k11 2m1)(k22 2m2 ) k12k21 0
27 两个自由度体系自由振动的一般解
27、两个自由度体系自由振动的一般解
两个自由度体系按其主振型所作的简谐振动，是在特定的初始条件下才能出现的一种运动形式，在数学上称为微分方程的特解,它们的线性组合将给出方程的一般解。
就是说，在一般情形下，两个自由度体系的自由振动可看作是两种频率及其主振型的组合振动。
⎭⎪=+++⎬⎪=+++⎫ωϕωϕωϕωϕy t A t A t y t A t A t ()sin()sin()()sin()sin()2211222(1)(2)1111122(1)(2)=ρA A 211(1)(1)
=ρA A 221(2)(2)
在一般情况下，体系的自由振动是由具有不同频率的简谐振动叠加而成的，它不再是简谐运动。
A 1(1)A 1(2)ϕ1ϕ2四个独立的待定常数、、
、, 由四个初始条件确定。
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第1振型
第2振型
11
2 （2’）求频率 (k1 k2 2m1 )( k2 2m2 ) k2 0
若有 m1 nm2
2 [( n 1)k2 2 nm2 ]( k2 2 m2 ) k2 0
k1 n k 2
（3’）求主振型 Y21 k12 1 1 1 : n 2 4 Y11 k 22 12 m2
2 (k1 k2 2m1 )( k2 2m2 ) k2 0 k k 2 2 若有 m1 m2 m 1 0.38197 2 2.61803 m m k k k
1 2
1 0.61803
（3）求主振型
k m
2 1.61803
k m
Y11 k12 1 : Y21 k11 12m1
y1 (t ) Y11 Y12 1 2 y A sin( t ) A sin( t ) Y Y 1 1 1 1 2 2 2 2 y2 (t ) Y21 Y22
1 1 4 1 k2 ( 2 ) 2 2 n n n m2
上式分别乘以ω12、ω22，则得：
第一正交关系
(m112Y11 )Y12 (m212Y21 )Y22 0
2 2 (m12 Y12 )Y11 (m22 Y22 )Y21 0
Yij的第一个下标代表质点，第二个下标表示振型。 第一主振型惯性力在第二主振型位移上所做的功等于零；
第二主振型惯性力在第一主振型位移上所做的功等于零； 某一主振型的惯性力在其它主振型位移上不做功，其能量 不会转移到其它主振型上，不会引起其它主振型的振动； 各个主振型能单独存在，而不相互干扰。
k12 y1 (t) m1 y1 k 22 y 2 (t) m 2 y2
k12 m1 y1 k 22 m 2 y2
K
1
1 K
k 22 -k 21
-k12 k11
§15-4 两个自由度体系的自由振动 一、刚度法 （1）两个自由度体系自由振动微分方程 m2 m1
y2(t)
m2 y2
F2P F1P
y2(t)
K2
k21
1
k22
k12
y1(t)
m1 y1
y1(t)
K1
k11
1
杆件的位移法 基本方程为：
k11 y1 k12 y2 F1P 0 k y k y m y ( t ) 11 1 12 2 1 1 或： k21 y1 k22 y2 m2 y 2 (t ) k21 y1 k22 y2 F2 P 0 对质点是惯性力与弹性力平衡； 1 (t ) k11 y1 (t ) k12 y2 (t ) 0 m1 y 对杆件是由质点位移与惯性力引
2 ，则存在：
Y11
m1Y11Y12 m2Y21Y22 0(15.51)
m1 Y21 0
0 Y12 Y 0 m2 22
两个主振型相互正交，因与质量有关，称为第一正交关系。
8
m1Y11Y12 m2Y21Y22 0(15.51)
两个自由度体系自由振动的振型分解
4
二、 柔度法 m2
在自由振动过程中任意时刻t，质量m1、
y2(t)
2 m2 y 1 m1 y
m2的位移y1(t)、y2(t)应当等于体系在当时 惯性力作用下的静力位移。
m1
y1(t)
1 (t )11 m2 2 (t )12 y1 (t ) m1 y y
当然解 Y1=Y2=0， 为了求得不全 为零的解，令
D
11m1
1
2
12m2 22m2
1
21m1
0
令
1
2
2
2 ( 11m1 22m2 ) ( 11 22m1m2 12 21m1m2 ) 0
1
2
1 ( 11m1 22m2 ) ( 11m1 22m2 ) 2 4( 11 22 12 21 )m1m2 2
1
1
1
2
1
Y1 ( 2m1Y1 )11 ( 2m2Y2 )12
Y12 12m2 1 Y22 11m1 2
主振型
Y11 12m2 1 Y21 11m1 2
2 Y2 ( 2m1Y1 ) 21 ( 2m2Y2 ) 22
K
1
K
1
K I
7
三、主振型及主振型的正交性
惯性力 幅值
m1Y11
2 1
12 m2Y21
m2
Y21 位移
幅值
2 2 m1Y12
Y1 ( 2m1Y1 )11 ( 2m2Y2 )12 Y2 ( 2m1Y1 ) 21 ( 2m2Y2 ) 22
1 2
6
柔度法与刚度法自由振动微分方程的比较及系数间的关系：
1 (t )11 m2 2 (t )12 y1 (t ) m1 y y
1 (t ) 21 m2 2 (t ) 22 y2 (t ) m1 y y
y1 y1 (t) 11 12 m1 y (t) m y 2 21 22 2 2
9
例1：设图示刚架横梁刚度为无限大，层间侧移刚度分别为k1和 k2 ，试求刚架水平振动时的自振动频率和主振型。
m2
k21 k2
k11 k1 k2
1
1
k22 k2 k12 k2
k2
m1
k1
解：（1）求频率方程中的刚度系数 k11= k1+k2
k12=k21=－k2
k22 = k2
可能振动形式中，结构位移形状保持不变的振动形式，称为主振型。
由此可见：
多自由度体系如果按某个主振型自由振动，其振动形式保持不 3 变，此时，多自由度体系实际上是像一个单自由度体系在振动。
（2）按主振型振动的条件： 初位移或初速度与此振型相对应；
实际上，多自由度体系在零时刻的y0或vo通常不能完全与某一振型相对应。
2 m1Y1 k11Y1 k12Y2 0 2 m2Y2 k21Y1 k22Y2 0
1.618
0.618
k 1 2k 0.38197 k 1.618
1.0
1.0
Y12 k 1 2 : Y22 2k 2.61803 k 0.618
1 (t ) k11 y1 (t ) k12 y2 (t ) 0 m1 y 2 (t ) k21 y1 (t ) k22 m2 y
2
y (t ) 0
10
（2）求频率
k11=k1+k2
k12=k21=-k2
k22=k2
2 2 ( k m )( k m2 ) k12k21 0 代公式 11 1 22
1 k11 k22 k11k22 k12k21 1 k11 k22 2 m1 m2 m1m2 2 m1 m2
2 2
最小圆频率称为第一(基本)圆频率1， 2 称为第二圆频率 （1）主振型 (k 2m )Y k Y 0 m Y
y1 (t) k11 由刚度法方程有： y 2 (t) k 21
k11 y1 (t ) k12 y2 (t ) m1 y1 (t ) k21 y1 (t ) k22 y2 (t ) m2 y2 (t )
k11 k 21
1
2
2 m1Y1
m2Y2
2
Y1 ( 2m1Y1 )11 ( 2m2Y2 )12
Y2 ( 2m1Y1 ) 21 ( 2m2Y2 ) 22
位移是由惯性力引起的。位移 幅值是由惯性力幅值引起的。
5
m2Y2
2
m2 m1
Y2
m1Y1
2
Y1
) Y m Y 0 1 12 2 2 2 1 21m1Y1 ( 22m2 2 )Y2 0 ( 11m1 1
y1 (t ) Y1 =常数 y2 (t ) Y2
1）在振动过程中，两个质点具有相同的频率和相同的相位角；
2）在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变化，但其比值始终保持不变。
（2）频率方程(特征方程)与自振频率(固有频率)
2 ( k m1 )Y1 k12Y2 0 2 m1Y1 k11Y1 k12Y2 0 11 或： 2 2 k 21Y1 ( k 22 m2 )Y2 0 m2Y2 k21Y1 k22Y2 0
当然 =Y2=0 为其解，为了求得不全为零的解，令：
D
( k11 2 m1 ) k21
k12 ( k22 m2 )
2
0
特征方程
频率方程
2
(k11 2m1 )( k22 2m2 ) k12k21 0
(k11 2m1 )( k22 2m2 ) k12k21 0
1 (t ) k11 y1 (t ) k12 y2 (t ) 0 m1 y 2 (t ) k21 y1 (t ) k22 m2 y
设解为 y1 (t ) Y1 sin(t ) y2 (t ) Y2 sin(t )
2
y (t ) 0