第四章 部分相干理论
XXGX第4章 部分相干理论
迈克尔逊干涉仪原理图
考察迈克尔逊干涉仪中
光波的干涉来时间相干性。
用u (t )表示P 点发出的解析信号P
3
进入探测器D的两路信号分别写作：其中，探测器上的合成解析信号为：C 补偿板
12()()K u t K u t τ+2/h c
τ
=12()()()
D u t K u t K u t τ=++
Q O
Q O
单色光入射到无限大表面上后，光场中一点Q 的复振幅如何表示？(惠更斯菲涅耳原理)如果是非单色光入射？
1exp[2/]
()()()d j r u Q u P K S j r πλθλ∑
=
∫∫假设表面上的光场为u (P ,t )其解析信号为u (P ,t ),假设该面上的光场在Q 点产生的光场为u(Q,t),对应的解析信号为u (Q ,t )可得，该解析信号可表示为
d
(,/)
d (,)()d 2u P t r c t u Q t K S
rc θπΣ
−=∫∫2
Σ*
2)(,)
u Q t
4.7 范西特-策尼克定理
α
β
x
y
Σ2
Σ1
2
Σ
μ
12
v
源的宽度为多少？
x。
相干的基本理论
12 1, 完全相干 12 0, 不相干 0 12 1，部分相干
2.条纹可见度
光场的相干性质，可通过实验测定干涉条纹的清晰度或可见度 来确定。在干涉图样中，光强在 I max 和 I min 两个极值之间变化。 从上面的分析，我们可以得出这两个极值是由以下式子决定的
bc
（31）
该式表明，相干范围的孔径角与扩散光源尺寸成反比，该式 也叫做空间相干性公式。
4.时间相干性
与波传播时间差有关的，不确定的位相差导致的，只有传播 时间差在一定范围内的波才具有相对固定的位相差从而相干 的特性叫波的时间相干性。
M2
h
M1
B
S
C
P
M3
D
图4.迈克尔逊干涉仪示意图
I1 (Q) I2 (Q) 2K1K2 Re12
（12）
在许多情况下，用归一化互相干函数处理问题，比用互相 干函数本身更为方便，于是有
12
12 11 0 22 0
12
12 I1 I 2
（13）
我们称这个归一化互相干函数 最终表示为
12
为复相干度。公式（12）
（14）
I Q I1 (Q) I 2 (Q) 2 I1 (Q) I 2 (Q) Re 12
上式正是平稳光场的普遍干涉定律。利用许瓦兹不等式易 证明 12 12 ( ) 11 0 22 0 （15）
（21）
（22） ，
（23）
由（22）和（23）式： （24）
（25）
R1
s1
部分相干光理论
Chapter 4部分相干光理论31, May, 2014光源：凡能发光的物体称为光源。
光源的最基本发光单元是分子、原子。
光源的发光机理原子能级及发光跃迁原子从高能量的激发态，返回到较低能量状态时，就把多余的能量以光波的形式辐射出来。
能级跃迁辐射波列波列长称为相干时间1.相干性的基本概念(1)普通光源:自发辐射不同原子发的光波列同一原子先后发的光波列τc L =L独立独立波的独立传播和线性叠加原理),(),(),(21t p E t p E t p E+=221111221E E I I I I I I=⋅++=++=•光波的频率相同•振动方向相同(存在相互平行的振动分量产生干涉的必要条件和补充条件IminImax设代表一实扰动2 实多色场的复数表示——解析信号),(),(),()()(t r iu t r ut r u i r +=)(),()(∞<<-∞t t r ur 则是的解析信号),(t r u ),()(t r u r υπυυd t i r Ut r u r r )2exp(),(),()()(⎰∞∞-=υπυυd t i Ut ur r )2exp()()()()(⎰∞∞-=υπυυυπυυd t i Ud t i Ut ur r r )2exp()()2exp()()(0)(0)()(⎰⎰∞∞-+=对于实函数有)()(t u r )()()()(t ut u r r *=dtt i t uUr r )2exp()()()()(πυυ-=⎰∞∞-又因为)()()()(υυ-=*r r UU 所以（厄米性）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰∞υπυυd t i U t u r r )2exp()(Re 2)(0)()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰∞-υπυυd t i U t u r r )2exp()(Re 2)(0)()(或者又[])(Re )()(t u t u r =υπυυd t i U t u r )2exp()(2)(0)(⎰∞=若设)()()()(υυ-=*r r U U[])(exp )()()(υφυυi A U r =由可知)()(υυ-=A A )()(υφυφ--=3 互相干函数用解析信号和分别表示的光场),(11t P u ),(22t P u 到达P 点后的叠加光场用解析信号u12复相干度的辐角光程差引起的相位因子τγ)(()(21221+I P I ，完全相干叠加)(2)1+I P I 此即杨氏双缝干涉场的表达式，完全非相干叠加4 互相干函数的谱表示首先引入截断函数u ),(11t p u T ()(1p u r T 是U t P u T ),(011⎰∞=2),(111υU P U T =⎩⎨⎧=u t p u r r T (),(1114 相干度的测量由可得可见度)()(1+=P I P I V 则若)(1P I =时间相干度的测量4.1 利用迈克尔逊干涉仪（有限谱宽点光源）)()()(21t u t u P u ++=τ[])(Re 2)(2)(111τΓ+=P I P I )2(ch =τ)0()()(1111ΓΓ=ττγ复时间相干度c利用杨氏双缝干涉仪（有限谱宽扩展光源）)()()(2211P u P u P u +=)()()0()0(211212P I P I Γ==τγ空间相干度的测量4.2 零光程差时5 准单色光场的干涉准单色条件是指：①光的谱线很窄，有效宽度远远小于平均频率②在光路中，从光源到干涉区域所涉及到的最大光程差远小于光的相干长度或cττ<<τi i ⎰∞≈=Γ=Γ01212exp(exp(~)(τ+tτ+t τ+t t tt6 准单色光的传播和衍射对于中心频率为的准单色光场0υ波动方程：),(2-∇t r u ),()(1112t P u +=Γττ1221Γ∇=左边(121u ∇=右边1111))(2(exp )2exp()(ds d c r t i ds d t i K υπυυπυθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---做傅里叶逆变换可得)(K r θ21),ds ds P υ点的光强为]21221121)()()ds ds r K r K r r λθλθ-),()(21Q Q J Q I =8. 范西特---泽尼克定理由互强度定义),(),(),(2121t P u t P u P P J *=122111),,(),,()(ds P Q h P Q h P I ⎰⎰*υυ()()()1212111122--=y y x x y x I y x y x J ,,,;,δ1012011),,(),,ds P Q h P Q *υυ2=ξ∆的均匀强度的准单色圆形光源，其辐射光强分布为傍轴近似条件，有相对于光源中心的张角(x 为远场条件下部分相干光的普遍的衍射公式。
部分相干理论
第4章 部分相干理论在前几章讨论光的干涉、衍射以及传播特性时，常假设光源为一几何点，且具有严格的单色性。
这样的光波扰动具有完全的相干性，干涉图的对比度可以达到1。
除此以外则假设光源为完全不相干的，用完全不相干的光源照明得不到干涉条纹，干涉图的对比度为零。
实际光源有一定的大小，发出的光波扰动也不可能是严格单色的。
同时实际光源发出的光波扰动经过一定距离的传播也不可能是完全不相干的。
用实际光源照明做杨氏干涉实验产生的干涉条纹对比度小于1大于0，一般是可以观察到的。
即使用通常认为完全不相干的太阳光来照明，只要两个小孔靠得很近，也能看到杨氏干涉条纹。
这种介乎完全相干和完全不相干之间的情况，就是部分相干理论研究的内容。
4.1 实多色场的复值表示第1`章中已经说明了线性系统的本征函数是形为)exp(t j -πν2的复指数函数。
输入到线性系统的复指数函数产生的输出也是复指数函数，系统的作用仅体现为对幅值和相位的影响。
因此用复指数函数表达一个实值信号来进行线性系统分析常常是方便的。
复数表示的方法是构造一个复指数函数使得其实部为原来的实值信号，这样一来若仅对复值信号做线性运算，在运算的任何一步，只要取复数信号的实部，就可以确定相应的实值信号。
前几章中已经用复指数函数表达单色光场，现在推广到非单色光场。
在非单色光场情况下，对应于原来的实值信号所构造的复指数函数通常称作解析信号。
设实值的非单色光场用()t u r 表示，其傅里叶谱为()υr u~，定义()t u 为()t u r 的解析信号表示()()()υπυt υd j -exp ut u r 22≡⎰∞~ []()()υ t πυυυd j -exp usgn r2+1=⎰∞∞-~ （4.1） 上式定义说明()t u r的解析信号不含有()t u r的负频分量,其正频分量则是()t u r的两倍，即便()υru~在零点之值为δ函数，复数信号()t u 的实部也可保证与原来的实值信号()t u r相同。
中科大信息光学CHAP4A
b12是与t无关的量。 如果I1(Q)和I2(Q)在观察区内近似不变，在该区域内干涉图样具有 近乎恒定的可见度，条纹可见度为
当两支路光强相同时I1(Q)＝I2(Q)，可见度
结果与严格的单色光类似，但准单色光的干涉条纹 可见度和位置分别决定于复相干度的模和位相。
Q点的光强为
引入一个归一化函数 称 为复相干度。
（4.2.13）
Q点的光强为
上式称平稳光场的普遍干涉定律。
利用许瓦兹不等式，易于证明
K1＝K2＝1
由（4.2.13）
复相干度与条纹可见度关系
设平均频率为 的窄带光，互 相干函数和复相干度可分别表示为
式中
Q点的光强为
为
的模，a12(t)为两光波在P1、P2点的相位差。
干涉条纹的可见度为
Imax和Imin分别是Q点附近干涉条纹的极大值和极小值，由（4.2.20）
于是
表明，只要测出两光束光在Q点产生的光强及 度 的模。
就能够得到复相干
的物理意义
反映Q点的干涉条纹的可见度在多大程度上达到P1和P2完全相干时 的程度。 就是相干光部分所占总光强的比例。 的辐角 的意义：
探测器上的合成解析信号为
探测器上的光强信号为对时间的平均
（4.3.2) 光强信号是统计量的平均，它与时间原点无关 （4.3.3) 依据各态历经假设，可用时间平均代替统计量的平均，解析 信号u(t)的自相关函数G(t)（光扰动的自相干函数）为 （4.3.4)
（4.3.4)和（4.3.3)代入（4.3.2)
（4.1.14）
其中
表示在a＝t处的柯西主值，即 （4.1.15）
上式表示的积分称为ur(t)的希尔伯特（Hilbet）变换。
光学原理 第四章 光场的二阶相干性基础
高压汞灯 白光
546
1
550
300
一些光源的相干长度
<10-4 <10-6
12
2、相干时间（Coherent Time）
光通过波列长度所需时间（或相干长度通过考察点所 需时间）叫相干时间。
相干时间 —τ=来自δm c光波场的时间相干性和 光源的单色性紧密相关
时或间相相干干时性间τ的（0好波坏列，延就续是时用间相）干的长长度短δ来m衡（量波的列。长度）
• 准单色光振动表示为
A (t)是一个慢变函数，它作为振幅的包络调制了一个频率为ν 0的振动。与Δν相比,ν0 具有很大的值，只有在准单色光的 条件下才能应用振幅包络的概念来描述光振动。
4、时间相干性的描述
• 虽然 A’’B’、 B’’C’ 等可能有重迭部分，但由于 A、B、C 等大量的波列之间相位关系是随机的，没有固定的联 系，有的波之间相长，有的波之间相消，就总的平均效 果来说不能形成干涉花样。
= A12 + A22 + K ( A12 + A22 ) cos Δϕ 令 I 0 = I12 + I 22 = A12 + A22
I = I0 (1 + V cos Δϕ )
▲ 决定可见度的因素：
振幅比， 光源的单色性， 光源的宽度
3
定义:
V
=
I max I max
− Imin + Imin
描述干涉花样的强弱对比
• 对于空间中的某一固定点，通过它的两个光波列的相关 程度，即它们通过这一点时最长能有多长时间是相干的 与光源的相干性质有关，这一相干性质也就是光源的时 间相干性。
• 两列光波经过该点时最长的重叠时间即相干时间τc 、两 列光波最大的重叠长度即相干长度 Lc 、光源的光谱宽度 Δν 都取决于光源中发光原子发出波列时一次持续的时 间。
信息光学习题答案及解析
信息光学习题答案第一章 线性系统分析1.1 简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. （1）()();x f dxdx g =（2）()();⎰=dx x f x g （3）()();x f x g = （4）()()()[];2⎰∞∞--=αααd x h f x g（5）()()απξααd j f ⎰∞∞--2exp解：（1）线性、平移不变； （2）线性、平移不变； （3）非线性、平移不变； （4）线性、平移不变； （5）线性、非平移不变。
1.2 证明)()ex p()(2x comb x j x comb x comb +=⎪⎭⎫ ⎝⎛π证明：左边＝∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n x n x n x x comb )2(2)2(2122δδδ∑∑∑∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=--+-=-+-=-+-=+=n nn n n n n n x n x n x jn n x n x x j n x x j x comb x comb )()1()()()exp()()()exp()()exp()()(δδδπδδπδπ右边当n 为奇数时，右边＝0，当n 为偶数时，右边＝∑∞-∞=-n n x )2(2δ所以当n 为偶数时，左右两边相等。
1.3 证明)()(sin x comb x =ππδ 证明：根据复合函数形式的δ函数公式0)(,)()()]([1≠''-=∑=i ni i i x h x h x x x h δδ式中i x 是h(x)=0的根，)(i x h '表示)(x h 在i x x =处的导数。
于是)()()(sin x comb n x x n =-=∑∞-∞=πδπππδ1.4 计算图题1.1所示的两函数的一维卷积。
解：设卷积为g(x)。
当-1≤x ≤0时，如图题1.1(a)所示， ⎰+-+=-+-=xx x d x x g 103612131)1)(1()(ααα图题1.1当0 < x ≤1时，如图题1.1(b)所示， ⎰+-=-+-=13612131)1)(1()(xx x d x x g ααα 即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤--+=其它,010,61213101,612131)(33x x x x x x x g 1.5 计算下列一维卷积。
高等光学教程-第5章-参考答案
第五章 部分相干光理论5.1 证明解析信号的实部u 和虚部u 之间互为希尔伯特变换，即它们之间有下面的关系()t u t r ()()t i ()()⎰∞∞--=ξξξπd )(P.V.1)()()(t u t u r i ， ⎰∞∞---=ξξξπd )(.P.V 1)()()(tu t u i r证明：（1）由(5-10)式，解析函数的实部()()0()2Re ()exp(2)d r r u t j t νπνν∞⎡=-⎢⎣⎦⎰U ⎤⎥t （5.1-11）而，比较以上两式，可见有关系式)](Re[)()(t t u r u = （5.1-13）⎰∞-=0)(d )2exp()(2)(νπννt j t r U u 上式可表示为 （5.1-18）⎰∞∞--+=νπνννd )2exp()()sgn 1()()(t j t r U u 又因为 ()()exp(2)d t j νπνν∞-∞=-⎰u U所以有 ()()(1sgn )()r νν=+U νU )r （5.1-19）对上式两边取傅里叶逆变换11()1()()11((){()}{()}{(sgn )()}(){sgn )}{()}r r r t u t ννννν-----==+=+*u U U U U F F F F F ν上式中 1{sgn }jtνπ-=-F 再利用卷积定义⎰⎰∞∞---=*=*ηξηξηξd d ),(),(y x f g f g g f 令 t j f π-= ， )()(t j t f -=-ξπξ ， ， )()(t u g r =)()()(ξξr u g =所以 ⎰∞∞--+=ξξξπd )(..)()()()(t u V P jt ut r r u （5.1-22）可见 ⎰∞∞--=ξξξπd )(..1)()()(t u V P t ur i（2）参考教材中（5.1-10）式的推导过程，对于解析函数的虚部有下式成立（P5.1-1）⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎰∞)()(d )2exp()(Re 2)(νπννt j t ui i U)](Re[)()(t j t u i u -= （P5.1-2）比较（P5.1-1）和（P5.1-2）式，得到⎰∞-=-0)(d )2exp()(2)(νπννt j t j i U u所以⎰∞-=0)(d )2exp()(2)(νπννt j j t i U u )()sgn 1()()(νννi j U U +=对上式两边取傅里叶逆变换得)}(){sgn )}({)}({)()(1)(11ννννi i j j t U U U u ---+==F F F)()}({}{sgn )()(11t ju j i i +*=--ννU F F )(d )(..1)()(t ju tu V P i i +--=⎰∞∞-ξξξπ所以 ⎰∞∞---=ξξξπd )(..1)()()(t u V P t ui r5.2 考察用宽带光作杨氏干涉实验(1) 证明观察屏上的入射光场可表示为⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=c r t P t c r t P t t Q 222111,d d ,d d ),(u K u K u 其中 iii i i i i i cr A s cr πθπθ2)(d 2)(k k K ≅=⎰⎰个针孔第 2,1=i 而为第个针孔的面积。
信息光学理论与应用(第版)
开关功能：可在某点开启或 关闭另一函数 ，或描述光学 直边（或刀口）的透过率。
图1.1.6 二维阶跃函数
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章
《信息光学》课件
4.符号函数
1 x / a 0
sgn
x a
0 1
x/a0 x/a0
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章
3.阶跃函数
● 一维情形：
1
step
x a
1 / 0
2
其中 a 0
x/ a0 x/ a0 x/ a0
● 二维情形：
f (x, y) step(x)
《信息光学》课件
图1.1.5 一维阶跃函数
x a
rect
y b
1
0
其中
x a, y b 22
其他
a 0,b 0
表示矩孔透过率。
图1.1.2 二维矩形函数
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章
《信息光学》课件
2.sinc函数
● 一维情形：
sinc
《信息光学》课件
上述积分形式表明： 函数可由等振幅的所有频率的
正弦波(用余弦函数表示）来合成，换言之， 函数可
分解成包含所有频率的等振幅的无数正弦波。
4.梳状函数
● 一维情形：
comb
x x0
n
x x0n x0
n
信息光学
湖北省高等教育自学考试大纲课程名称：信息光学课程代码：7076第一部分课程性质与目标一、课程性质与特点信息光学是应用光学、计算机和信息科学相结合而发展起来的一门新的光学学科，是信息科学的重要组成部分，也是现代光学的核心。
本课程主要从两个方面介绍信息光学的基本内容：一是信息光学的基础理论，包括线性系统理论、标量衍射理论、传递函数理论等；二是信息光学的主要应用，包括光学全息、计算全息、空间滤波、光学相干和非相干处理等。
二、课程目标与基本要求通过本课程的教学，使学生了解和掌握光信息科学的基本理论及基本技术，了解光信息科学的实际应用，培养学生理论联系实际，开拓学生理论用于实践的方法和创新思路，提高学生解决实际问题的能力。
三、与本专业其他课程的关系《信息光学》是光机电一体化工程专业的一门专业课，其先修课程主要包括普通物理、高等数学、傅立叶变换、光学等课程。
第二部分考核内容与考核目标第一章线性系统分析一、学习目的与要求本章基本内容为：常用数学函数，卷积与相关，傅立叶变换性质及定理，线性系统分析，二维光波场分析。
本章是本课程的基础，要求学生在解决光学问题中能熟练运用其性质和定理，线性系统与光学系统的关联，加深对空间频率、空间频谱概念的理解。
二、考核知识点与考核目标（一）（重点）识记：常用数学函数；卷积；互相关、自相关；傅立叶变换；线性系统；线性平移不变系统理解：傅立叶变换性质；线性系统分析；空间频率、空间频谱；应用：单色平面波空间频率的计算（二）（次重点）识记：卷积、相关的性质；理解：傅立叶变换基本定理第二章标量衍射理论一、学习目的与要求本章基本内容为：基尔霍夫积分定理；基尔霍夫衍射公式；菲涅耳衍射和夫朗和费衍射；透镜的傅立叶变换特性。
本章是教学的重点，是信息光学的基础，要求学生掌握标量波衍射理论，侧重利用菲涅耳衍射与卷积、夫朗和费衍射与傅立叶变换关系解决问题；掌握光波通过透镜的相位分布，透镜的傅立叶变换特性及孔径对透镜实现傅立叶变换的影响。
《信息光学》教学大纲
《信息光学》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程简介信息光学是应用光学、计算机和信息科学相结合而发展起来的一门新的光学学科，是信息科学的一个重要组成部分，也是现代光学的核心。
本课程主要介绍信息光学的基础理论及相关的应用，内容涉及二维傅里叶分析、标量衍射理论、光学成像系统的频率特性、部分相干理论、光学全息照相、空间滤波、相干光学处理、非相干光学处理、信息光学在计量学和光通信中的应用等。
三、课程目标本课程是光电信息科学与工程专业的主要专业课程之一，设置本课程的目的是让学生掌握信息光学的基本概念、基础理论及光信息处理的基本方法，了解光信息处理的发展近况和运用前景。
为今后从事光信息方面的生产，科研和教学工作打下基础。
四、教学内容及要求第一章信息光学概述（2学时）1.信息光学的基本内容和发展方向2.光波的数学描述和基本概念3.相干光和非相干光4.从信息论看光波的衍射要求：1.了解信息光学的内容和发展方向2.掌握相干光和非相干光的特点3.掌握从信息论的观点看光波的衍射。
重点：空间频率，等相位面。
从信息光学看衍射的基本观点。
难点：空间频率，光波的数学描述。
第二章二维傅里叶分析（8+2学时）1．光学常用的几种非初等函数2．卷积与相关3．傅里叶变换的基本概念4．线性系统分析5．二维采样定理要求：1．了解光学中常用非初等函数的定义、性质，熟悉它们的图像及在光学中的作用2．了解卷积与相关的定义及基本性质3．熟悉傅里叶变换的基本原理，性质和几何意义4．熟悉系统的基本概念及线性系统分析的基本理论5．了解二维采样定理及其应用6．本章强调概念的物理意义理解，以定性和应用为主。
避免与《信号与系统》课程重复。
重点：δ函数的意义和运算特性，傅里叶变换性质、定理，相关和卷积的意义及运算，线性空间不变系统的特性。
难点：卷积，傅里叶变换、系统分析。
第三章标量衍射理论（6+2学时）1．基尔霍夫衍射理论2．菲涅耳衍射和夫琅和费衍射3．夫琅和费衍射计算实例4．菲涅尔衍射计算实例5．衍射的巴俾涅原理要求：1．了解基尔霍夫衍射理论2．熟悉菲涅耳- 基尔霍夫衍射公式及其物理意义3．熟悉菲涅耳衍射与夫琅和费衍射4．掌握常见夫琅和费衍射光场的分析与计算5．了解菲涅耳衍射光场的分析和计算6．了解巴俾涅原理及其应用重点：如何用二维傅里叶变换来分析和计算夫琅和费衍射。
第四章 部分相干理论N
第四章 部分相干理论 习题[4.1] 若光源所辐射的频率宽度为ν∆，波长宽度为λ∆，试证明：λλ∆=∆v v 设光波波长8632.8,210nm nm λλ-=∆=⨯，试计算它的频宽v ∆；若把光谱分布看成是图4.1.7的矩形线型，则相干长度c L 等于多少？ 解：m vcc L Hz c v c 3021020,105.1⨯=∆==⨯=∆=∆τλλ[4.2] 设迈克耳逊干涉仪所用的光源为nm nm 6.589,0.58921==λλ 的纳双线，每一谱线的宽度为0.01nm 。
试求：⑴ 光场复相干度的模；⑵ 当移动干涉仪的一臂时，可见到的条纹总数大约为多少？ ⑶ 条纹对比度有多少个变化周期？每个周期有多少条纹？ 解：假设谱线分布为矩形线型，光源的归一化功率谱为：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=v v v v v v v v F δδδ212rect rect 21 ⑴光场的复相干度可按式（ 4.3.8），（ 4.3.9）表示成：()()()[]τπτπτπτδτγv i v i v i e e v dv e v F ∆∞+==⎰220221sinc 211， 12v v v -=∆所以()()()ντπτδτγ∆=cos sinc v ①⑵ 可见到的条纹总数为.58930===δλλλcL N ⑶ 在复相干度的模的表示式①中，由于v vδ>>∆，故其第一个因子是τ的慢变化非周期函数，第二个因子则是τ的快变化周期函数，其变化周期为v ∆=/1τ，故条纹对比度的变化周期数为： 600=∆=∆==δλλδττv v n 每个周期内的条纹数为： 98260589300===n N n[4.3] 假设某气体激光器以N 个等强度的纵模振荡，其归一化功率谱密度可表示为；()()()()∑---=∆+-=Γ2/12/10111~N N n v n v v N v δ 其中v ∆是纵模间隔，0v 为中心频率；为简洁起见，假定N 为奇数。
4-部分相干理论
uP1,t t uP2,t
G12 (t )
uP1,t t uP2,t2
G12*(t )
当p1和p2重合时，该点光振动的自相干函数
uP1,t t uP1,t G11t uP2,t t uP2,t G22 t
如果 t 0
实际的光场信号是是函数，实函数的傅里叶变换 结果会多出一个负频率。在信息光学中主要从频域的 角度处理信息，多出的负频率给信息的处理带来很多 的不便，为了便于频域信号的处理，构建一个与实函 数对应的复函数（其傅里叶变换只有一个正频率）， 来代替原来的实函数。即是信号的解析表示
一、单色信号的复表示
ur (t) Acos(2v0t )
Imin I1Q I2Q 2 I1QI2Q12t
实验上调整 I1 I 2 ，测量条纹对比度来测量 12 (t )
单色点光源
V~
2 I1QI2 Q I1Q I2 Q
|γ12 (t ) |
a12 (t )
的物理意义： 在Q点附近的干涉条纹的可见度达到了 P1和P2完全相干时的多大程度 光波从P1和P2点到达Q点所引进的相位延迟，与光 源性质无关。 由光源面上各点发出的光场在P1和P2点造成的位相 差，与光源性质有关，称为有效相位延迟。
欧拉公式
多负频率 振幅减半
去掉实信号的负频成分，加倍实信号的正频成分
单色复信号是只有正频分量的单边谱
实函数解析表示法步骤 1、将实函数进行傅里叶变换 2、去掉负频率部分，正频率部分振幅加倍 3、对正频率部分进行傅里叶逆变换
二、多色信号的复表示
前提： ur t U~r v
ut
第四章 部分相干理论 （Partial coherent theory）
第四章 部分相干理论
§ 2.多色光场的解析信号表示 a.单色信号的复表示。 对单色信号 : ur ( t ) A cos( 2πνot φ ) 复数表示为:
u( t ) A exp[ j( 2πνo t φ )] A exp( jφ ) exp( j 2πνo t )
关于时间的傅里叶变换：U ( ν ) F { u( t )} A exp( jφ )δ( v νo ) 1 r 由： u ( t ) A{exp[ j( 2πνo t φ )] exp[ j( 2πνo t φ )]}
r
§ 2.多色光场的解析信号表示 b.多色信号的复表示。 求解卷积：
1 u( t ) u ( t ) j [( ) u r ( t )] πt
r
1 1 1 r r ( ) u ( t ) u ( α )dα πt π t α 1 1 r u ( α )dα π αt t ε 1 1 1 r r lim{ u ( α )dα u ( α )dα } t ε α t π ε 0 α t
u( t ) u ( t ) ju ( t )
r i
cos 2πνo t j sin 2πνo t
§ 3.互相干函数 a.互相干函数的定义： 设针孔P1,P2到观察屏 上Q点的距离分别为 r1,r2，t时刻P1,P2点 的光振动用解析信号 u(p1,t),u(p2,t)表示， 则t时刻在Q点的光场 为： u( Q , t ) K1u( p1 , t t1 ) K 2 u( p2 , t t 2 ) r1 r2 t1 ; t 2 K1,K2称为传播因子，分别与r1,r2 C C 成反比。 由惠更斯-菲涅耳原理可知， K1,K2为纯 虚数。
大学光学第四章知识点总结
1 2
k 1, 2,....
中心d=0
/ 2
lk
2 k m
里高外低 dk↑k↑
rk2 n
r R
应用： 测R或λ
2n k cos i '
m rk2m rk2 n
mR
第四章 光的干涉
4-3 partⅢ 法布里-波罗干涉 多光束干涉
sin N 2 等振幅等相位差的多光干涉 A a N个光 振幅a相遇点位相差 sin 2 2k (k 0,1, 2,3,..) 主轴极大位置 sin 0 2 I max N 2a2
中央级次： kmax
2nd / 2
相邻两亮纹间距： r
2nd sin i
2nd
等 倾 干 涉
条纹移动： d↑→外移 d↓→内移 移动数目：中央
i 0 cos i 1
N
对条纹疏密的影响：d↑→密 d↓→疏 光源单色性要求：d↓→Δλ↑
对单色性要求不高 薄膜厚度要薄 2 I 2 中心： max =k max I c k max 2nd / 2
双光光程差 0 附 2nd cos i 分振幅法
说明
Байду номын сангаас 2nd cos i
k
反射光强最大
2
(2k 1) / 2 反射光强最小
干涉的两种情形
等倾干涉 等厚干涉
迈克尔孙干涉仪 牛顿环
M1 M2 等倾干涉（圆纹）
M1 M2 等厚干涉（直纹）
条纹形成与形状 光源选择： 面光源 条纹特点： 里高外低 里疏外密
k " 1, I P
部分相干光理论
近代光学基础
光源强度不均匀分布
在上面式子中:
P 2 I 0 ( x0 )dx0 , p lx0 2 C (l ) 2 p I 0 ( x0 ) cos(2k )dx0 , L 2 p lx0 S (l ) 2 2p I 0 ( x0 ) sin(2k )dx0 . L 2 对上面式子分析讨论有
近代光学基础
第一章 部分相干光理论
第一章 部分相干光理论
（处理光场统计性质的理论，描述光波电磁场中物理量的平均值行为）
主要内容： §1 ，§2 ，§3加深对光的干涉现象的理解，说明，讨论非 单色光的干涉，扩展光源的干涉，以及干涉条纹的可见度， 为部分相干光理论作准备 §4介绍互相干函数的概念 §5， §6互相干函数 12 ( ) 对非单色光干涉，扩展光源和干 涉现象的应用与说明 §7互相干函数的传播 §8互相干函数的测量 §9， §10高阶相干性，光场的偏振特性
2013-7-22
对于光谱成分较窄的光来说，除去在平均频率 附 近很小 的范围以外， I1 ( )的值很小，可以忽略。 如果令 y ，1 () I1 ( y) I
其它线型
其中 p 2 I1 ( y)dy, C （１） ( x), S ( x) 决定条纹 2 xl 包络，sin( 2 xl ), cos( 2 xl ) C ( x) 2 I1 ( y ) cos( y )dy, Dc Dc 决定条纹位置． Dc 2 xl S ( x) 2 I1 ( y )sin( y )dy （２）光强分布极值： Dc
热光源
108 s
c L 102 cm c
横向相干宽度
第五、六章 部分相干光理论 傅里叶光学
*
(5.1-9)
u ( r ) (t )
0
0
U (r ) ( )exp( j 2 t )d
U
0
0
(r )
( )exp( j 2 t )d
U ( r ) ( ) exp( j 2 t )d U ( r ) ( ) exp( j 2 t )d
u ( r ) (t ) A(t )cos[2 0 t (t )]
图 5-3 所示的就是一个准单色光实信号及其包络的示意图。
(5.1-27)
图 5-3 窄带信号及其包络
图 5-4(a)所示为包络 A(t ) 的频谱、 图 5-4(b)为 u ( r ) (t ) 的频谱。 将 u ( r ) (t ) 的负频分量去掉， 正频分量加倍就得到解析信号 u(t ) 的频谱（图 5-4(c)），描述这一准单色光的解析信号 (5.1-28) u(t ) A(t )exp[ j (t )]exp[ j 2 0 t ] 其复振幅，即复包络 因此
227
图 5-2 从一个实信号建造一个解析信号
三、准单色光的解析信号表示 一个非单色光信号，当其频谱宽度 与中心频率 0 相比满足关系式 0 时，就 是在第二章中讨论过的准单色光。准单色光的振幅 A(t ) 和相位 (t ) 是时间的慢变函数，若 用实函数 u ( r ) (t ) 表示，其形式为
226
并不会影响解析函数 u(t ) 的值，若 u ( r ) (t ) 在 0 处含有 函数分量，我们则约定该 函数 分量保持不变。根据这一约定，理解为积分时有限。 对(5.1-20)式两边取傅里叶逆变换，得到
光的相干理论
l2
l
s
I1 I 2 dy w
I I1 I 2 2 I1I 2 cos(2 )
每一个条纹 系统的光强分布
dI [1 cos(2 )]( dy w)
y y
(l2 r2 ) (l1 r1 ) (r2 r1 ) (l2 l1 ) a sin a sin a a s l 2a y y dI {1 cos[ ( )]}( dy w) s l
§11.2 可见度
11.2.2 空间相干性的影响
light source
The fringes exist
a
Q1
viewing point
a
a
Q2
若入射光波的波长λ 和扩展光源的角宽度α 已知，在最 大间距为a的范围内，两横向的子波是可以相干的。 α 非常的小
恒星
Earth
§11.2 可见度
11.2.2 空间相干性的影响
y
它们不相干
y
S1
y
S
r1
w
l1
a
S 2
r2
P0 y
dy
l2
l
s
o
2a y y l aw 2a I dI {1 cos[ ( )]}( dy w) 1 sin( ) cos( y) w 2 s l aw l s l aw I max 1 sin( ) I max I min aw aw aw l V (r ) sin( ) ( ) l aw l l I max I min I min 1 sin( ) aw l
事实上，由于实际光源中原子的发光过程时间是有限的， 所以波列的长度是有限的。这其中包含有多种具有不同频 率和振幅的谐波。 若光源具有很小的 或 ，这样的光源称为准单色光 (quasimono-chromatic light)。
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关于时间的傅里叶变换：U ( ν ) F { u( t )} A exp( jφ )δ( v νo ) 1 r 由： u ( t ) A{exp[ j( 2πνo t φ )] exp[ j( 2πνo t φ )]}
1 ur ( α ) dα π α t
柯西积分主值
§ 2.多色光场的解析信号表示 b.多色信号的复表示。 我们称：
t ε 1 1 1 r 1 1 r r u ( α )dα lim{ u ( α )dα u ( α )dα } t ε π αt π ε 0 αt αt
r
u( t ) u r ( t ) ju i ( t ) j δ( t ) πt
§ 2.多色光场的解析信号表示 例题2：求cos2ot的希尔伯特变换及其信号解 析式。 r u ( t ) cos 2πνo t 解： 1 r 其频谱为： U ( ν ) F {cos2πνo t } [ δ( ν νo ) δ( ν νo )] 2 i r 又： U ( ν ) j sgn( ν )U ( ν )
i r
§ 2.多色光场的解析信号表示 例题1：求(t)的希尔伯特变换及其信号解析式。 r u ( t ) δ( t ) 解： 其希尔伯特变换为：
1 1 { u ( t )} { δ( t )} δ( t ) ( ) πt πt i r 又： u ( t ) { u ( t )} 则所求的解析信号为：
§ 2.多色光场的解析信号表示 b.多色信号的复表示。 结论： r t) 给定一个实信号 u (，对它实行希尔伯特 变换而得出： ui ( t )
1 u ( t ) { u ( t )} ( ) u r ( t ) πt 则所求的解析信号为：
i r
u( t ) ur ( t ) jui ( t ) 在线性平移不变系统中： U ( ν ) j sgn( ν )U ( ν )
2
r
有：
1 U ( ) F{u (t )} A[exp( j ) ( o ) exp( j ) ( o )] 2
r r
比较可知：u (t)变到复信号u(t)在频域可理解为： 去掉实信号的负频成分加倍实信号的正频成分 （单边谱）
§ 2.多色光场的解析信号表示 b.多色信号的复表示。 t) 对于多色信号 ur ( 如存在傅里叶频谱 : Ur(ν ) 定义多色信号的复数表示为:
§ 1.研究部分相干的意义 a.相干光与非相干光是两种理论状态下的光 源描述。 b.时间相干性、空间相干性是极限判断依据。 c.部分相干光是实际光源的特征描述。 d.以能见度（或对比度）来作为描述部分相 干光的质量。
§ 2.多色光场的解析信号表示 a.单色信号的复表示。 对单色信号 : ur ( t ) A cos( 2πνot φ ) 复数表示为:
u( t ) 2U r ( ν ) exp( j 2πνt )dν
0
r u t) 称为实函数 (的解析信号。 u( t ) 的频谱为：U ( ν )
有：
r 2 U (ν ) ν 0 U( ν ) U r ( ν ) ν 0 ν0 0
U ( ν ) [1 sgn( ν )]U r ( ν )
1 j sgn( ν ) [ δ( ν ν o ) δ( ν ν o )] 2 1 2 j δ( ν νo ) ν 0 1 δ( ν ν o ) ν 0 2j 0 ν0
§ 2.多色光场的解析信号表示 例题2：求cos2ot的希尔伯特变换及其信号解 析式。 其原函数为：u i ( t ) F 1 { U i ( ν )} 1 F { [ δ( ν νo ) δ( ν νo )]} 2j sin 2πνo t 则所求的解析信号为：
r
§ 2.多色光场的解析信号表示 b.多色信号的复表示。 求解卷积：
1 u( t ) u ( t ) j [( ) u r ( t )] πt
r
1 1 1 r r ( ) u ( t ) u ( α )dα πt π t α 1 1 r u ( α )dα π αt t ε 1 1 1 r r lim{ u ( α )dα u ( α )dα } t ε α t π ε 0 α t
§ 2.多色光场的解析信号表示 b.多色信号的复表示。
u( t ) [1 sgn( ν )U ( ν ) exp( j 2πνt )dν
r
F 1 { U ( ν )} F { U ( ν )} F {sgn( ν )U ( ν )}
r r 1 1
u r ( t ) F 1 {sgn( ν )} F 1 { U r ( ν )} j u ( t ) ( ) ur ( t ) πt 1 r u ( t ) j [( ) u r ( t )] πt
} 为希尔伯特(Hilbert)变换。用 { 算子表示 r i 当定义： u( t ) u ( t ) ju ( t )
1 r u ( t ) { u ( t )} ( ) u (t ) 比较可得： πt
i r
U i ( ν ) j sgn( ν )U r ( ν )
u( t ) u ( t ) ju ( t )
r i
cos 2πνo t j sin 2πνo t