数列等差等比性质应用、证明

题型一 等差（等比）数列和的性质的应用
在等差数列{a n}中 ,前 m 项的和为 30,前 2m 项的和为 100,则前 3 m 项 的和为 .
210
练习 a 7+a8+a 9=
已知等差数列{ an} 中,其前 n 项和为 Sn, S3=9, S6=36, 则 .
45
星号题：已知一等差数列的前四项和为 124,后四项和为 156,
������������+1 ������ +1 2������ +1+1 = ������+1 = ������ =2,b1=a1+1=2, ������������ ������������ +1 ������������ +1
∴数列{bn}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列, 即数列{an+1}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列. (2)解:由(1)知,数列{an+1}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列, ∴an+1=2· 2n-1=2n,∴an=2n-1.
(2)由等比数列的性质知 S3,S6-S3,S9-S6 仍成等比数列,于是(S6-S3)2=S3· 来自百度文库S9-S6), 将 S6= S3 代入上式得
1 2 ������9 3 = . ������3 4
解析
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各项和为 210,则此等差数列的项数是 .
6
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归纳：
1 .等差数列项的性质:
若 m+n=p+q，则有：am+a n=a p+a q 利用性质可以减少计算量；
2 .等差数列和的性质:在等差数列{a n}中,S n 为其前 n 项和,则数列 S m,S 2m-S m,S 3m-S 2m,…也是等差数列,
(2)解:由(1)得 bn=1+2(n-1), 即 an+1-an=2n-1.
������ ������=1
于是 ∑ (ak+1-ak )= ∑ (2k-1),
������ =1
������
所以 an+1-a1=n2,即 an+1=n2+a1. 又 a1=1,所以{an}的通项公式为： an=n2-2n+2.
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答案
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1 .判定等比数列的方法（其中：q 均是不为零的常数,n ∈N*) ������ (1)定义法: ������+1=q ⇔{a n}是等比数列. (2)通项公式法:a n=cq n-1 ⇔{a n}是等比数列. (3)等比中项法:������ 2 a n+2⇔{a n}是等比数列. ������ +1=a n· 2 .求解等比数列问题常用的数学思想 (1)方程思想:如求等比数列中的基本量; (2)分类讨论思想:如求和时要分 q=1 和 q ≠1 两种情况讨论,判断单调性 时对 a1 与 q 分类讨论. 3 .求解等比数列的问题,要注意等比数列性质的应用,以减少运算量.
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题型二 等差（等比）数列的判定与证明
练习 已知数列{ a n} 满足点( a n, a n+1) 在直线 y=2 x+1 上, 且 a1=1 . ( 1) 证明: 数列{ a n+1} 是等比数列; ( 2) 求数列{ an} 的通项公式 .
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(1)证明:∵点(an,an+1)在直线 y=2x+1 上, ∴an+1=2an+1. 令 bn=an+1,故只需证{bn}是等比数列即可. 又
(2014 大纲全国,文 8)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=3,S4=15, 则 S6=( C ) A.31 B.32 C.63 D.64
C ( 2)设等比数列{ a n} 的前 n 项和为 Sn, 若 S6∶ S3=1∶2, 则 S9∶S3 等于( A.1∶ 2 B.2∶3 C.3∶ 4 D.1∶ 3
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练习 在各项均为正数的等比数列{a n}中,a 3= 2-1, a 5= 2+1, 则 C ) ������ 2 3+2a 2a 6+a 3a 7=( A.4 B.6 C.8 D.8-4 2
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2 (1)由等比数列的性质,得 a3a7=������5 ,a2a6=a3a5, 2 2 2 所以������3 +2a2a6+a3a7=������3 +2a3a5+������5 =(a3+a5)2=( 2-1+ 2+1)2=(2 2)2=8.
������ ������
方法总结 1.等差数列的四种判断方法
(1)定义法:an+1-an=d(d 是常数)⇔{an}是等差数列. (2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}是等差数列. (3)通项公式:an=pn+q(p,q 为常数)⇔{an}是等差数列. (4)前 n 项和公式:Sn=An2+Bn(A,B 为常数)⇔{an}是等差数列. 2.若证明一个数列不是等差数列,则只需举出反例即可,也可以用反证 法.
)
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题型二 等差（等比）数列的判定与证明
(2014 大纲全国,文 17)数列 {a n}满足 a 1=1,a 2=2,a n+ 2=2a n+ 1-a n+2 . (1)设 b n=a n+ 1-a n, 证明 {b n}是等差数列; (2)求 {a n}的通项公式.
(1)证明:由 an+2=2an+1-an+ 2 得 an+2-an+1=an+1-an+2, 即 bn+1=bn+2. 又 b1=a2-a1=1, 所以{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列.
归纳：在等比数列中，
性质 1:������ 2 ������ =a m-na m+n(m>n )及 若 k+l=m+n ，则有 ak · a l=a m· a n; 性质 1:等比数列和的性质主要是： S n, S 2n-S n, S 3n-S 2n………成等比数列.
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题型一 等差（等比）数列和的性质的应用