通信网理论分析

假设，当系统中有n个顾客时，称此系统处于状态n，与此对 应出现该状态的概率为Pn。由此，我们可以用图2.5表示M/M/1 排队系统的状态转移关系。例如，图中“1”表示系统中有一个 顾客，相应的出现概率为P1，依此类推。
图2.5 M/M/1排队系统的状态图
在系统状态图中，有顾客到达时，状态以 速率向右转移一
的是边界条件n = N。N对应的状态概率的归一性条件为
N
P
n 0
n
1
（2.11）
我们可以求得
(1 ) P0 1 N 1
(1 ) n 1
N 1
（2.12）
所以有限队列M/M/1排队的状态概率为
Pn
（2.13）
排队系统全满的概率为
(1 ) N PN 1 N 1
达，与以前或以后的时隙中的到达无关。
图2.2 用于定义泊松过程的时隙
利用上述3点，我们可以求得在T间隔内有k个顾客到达的概率 p(k)，由下式给出：
p(k)=( T)ke− T/k!（k = 0，1，2，…）

（2.1）
这就是熟知的泊松分布。其平均值E(k)和方差 k2由下式给出:
E (k ) kp(k ) T
2 2 E ( n) 1 (1 m ) 1 2
（2.15）
E (T )
E ( n)

1/ m 2 2 1 (1 m ) (1 ) 2
（2.16）
这些公式是以两个俄国数学家命名的，称为PollaczekKhinchine公式（帕拉恰克－辛钦公式）。 参数 仍由
E ( n) 1 (1 ) 2
E (T ) 1/ m 1 (1 ) 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 0 2 0
（2.17） （2.18）
顾客服务时间固定不变的排队称作M/D/1排队，字母D表示确 定的（det er min Istic）服务时间。这是M/G/1排队的一个特例， 它的排队长度和时延最小。如果 不太大，可利用M/M/1的结果 得到 E (n) 和 E (T 1 M/D/1的结果与M/M/1的结果相差50%。 ) ， 。当
3
M/M/m排队
到达率与离开率依赖于系统状态的排队系统如图11.19所示，
其相应的稳态状态转移关系如图2.8所示。参数n−1表示系统
由状态（n−1）进入状态n的顾客到达率，Pn表示系统处于状 态n的平衡概率，mn是在系统处于状态n条件下的顾客离去率。 根据离开状态n的离去率等于进入状态n的到达率，可以得到 系统的平衡方程：
根据所得到的状态概率Pn，可以求得不同的排队统计特性。根 据随机变量平均值的定义，排队系统中的平均顾客数（包括正在
被服务的一个）可以表示为
E (n) nPn
0


1
（2.6）
由平均队长可以求得排队平均时延，这可以利用Little公式进 行。Little公式是排队论中的一个重要公式，它说明了平均到达 率 、平均时延E(T)和平均队长E(n)三者之间的关系。
上面已经分析了E(n)和E(T)。在M/M/1排队中还有另外两个统
计量，即平均等待时间E(w)和平均等待顾客数量E(q)，它们之间 的关系为：
E (T ) E ( w) 1 / m
（2.9）
E (q) E (w) / m E (n)
（2.10）
这4个统计量可以归纳为与 、m 的关系：
E (n) E (T )
（2.7）
应用Little公式，M/M/1排队的平均时延E（T）可以表示为
E (T )
E ( n)


1/ m 1 1 m
（2.8）
式（2.7）的图形表示如图2.7所示，这一关系式对所有排队
系统，包括具有优先级排队规则的系统都是适用的。
图2.7 M/M/1排队的平均队长
P P0 P0 1 m
2 P2 (1 ) P P P0 1 0
Pn 2 P0
在M/M/1排队系统的存储容量为无穷大时，可以利用概率归
一性条件：
P
0

n
1
求得：
P0 1
于是，可以得到无限存储容量M/M/1排队的平衡状态概率：
Pn (1 ) n ( 1)
E ( ) f ( )d 1/
0

它的方差
2 为： 2 =1/2
例如，某电话局忙时平均呼叫率为每小时1 000次，则平均 来话间隔E(t ) = 3.6s，平均来话间隔为10s的概率为0.94。
2. M/M/1，M/G/1，M/D/1排队模型 1）．M/M/1排队模型
达的分组被阻塞。 对于一般的排队系统，有一套A/B/C表示符号，A表示顾客 到达的分布特性，B表示服务员的服务分布特性，C表示服务员 的个数。有时采用A/B/C/K/M这样的符号，A、B、C的含义不变， K表示排队系统的容量，省略这一项表示K→∞；M表示潜在的顾 客数，对于潜在顾客数M→∞时，也可省去此项。常见的几种排 队系统模型符号表示如下。
0 P0 m1 P 1 ( m ) P 1 0 P 0 m2 P 2
(n mn ) Pn n 1 Pn 1 mn 1 Pn 1
图2.8 与状态相关的排队系统
与状态相关的排队状态图
解平衡方程，可以求得系统的平衡概率Pn：
Pn P0
m
i 1 i 0 n
上述公式可用于计算分组的丢失率。
（2.14）
2）．M/G/1和M/D/1排队
对于排队模型的到达过程和服务时间分布来说，它们是以马尔可
夫无记忆特性为基础的这里将分析推广到另一种情况，即一般服务
时间分布，因此，分组或呼叫可以有任意（但已知）长度或服务分 布。然而，到达过程仍为泊松的，假定是单服务机且队列缓存器 （等候室）是无限大的。根据Kendall标记法，这种排队称作M/G/1 排队，其中G显然指一般（general）服务分布。 可以证明平均队列长度E(n)和经过队列的平均时延E(T)分别由下 列表达式确定。
第2章 通信网理论分析
2.1 排队论基础
1. 排队模型基本概念
只有一个服务员的单服务员排队模型是最简单的排队模型。
它由一个服务员和一个代表队列的方框组成，如图2.1所示。图
中的λ是顾客到达率或称系统负荷，例如，在电话网中它表示单 位时间内发生的呼叫次数（呼叫/秒）；在分组交换网中表示单 位时间发生的分组信息数（分组/秒）。µ是顾客离去率或称系统 服务率，它的单位与λ 相同。例如，在分组网中， µ 是由分组长
式中：
n m) (n (m)
（2.20）
(n m)
(n≥m)
1 k 1 1 m P0＝ ( / m ) m!1 k 0 k !
k 0
（2.2） （2.3）
k2 E(k 2 ) E 2 (k ) E(k ) T
式中， 为速率参数，它代表泊松到达的平均速率。
图2.3 泊松到达的时间间隔
图2.3所示为随机到达的示意图，相继到达之间的时间间隔
为，显然， 是一个连续分布的正随机变量。对于泊松到达，
可以证明 服从指数分布，其概率密度函数f( )可由下式给出： f()=e−（ ≥0） 这一指数分布的平均值E( )为
可由具有相同平均服务时间的指数服务分布排队的结果乘以
一个校正因子得到。式（2.15）和式（2.16）括号中的校正因 子与服务分布的方差2和服务率平均值的平方1/m2之比有关。
回忆指数分布的方差为2 = 1/m2，即平均值的平方。在式（2.15） 和式（2.16）中，设2 = 1/m2，则可得到以前推导的M/M/1排队的结 果。当2增大，2 > 1/m2时，相应的平均队长和时延也随之增大。另 一方面，当2 < 1/m2时，平均队长和时延比M/M/1的结果小。作为一 个特例，令所有顾客（分组或呼叫）都具有相同的服务长度1/m。这 样，2 = 0，则有：
E(n)
E (T )

m E ( w) m
E (q )
1 m
m
（系统中平均队列长度） （顾客平均时间延迟） （平均等待顾客数） （顾客平均等待时间）
可以将上述分析推广到存储容量为N的有限队列排队系统。这
时与无限队列排队系统相比，平衡方程还是维持原状，所不同
n 1
i
（2.19）
i
式中，P0为概率常数，可以利用概率归一性条件来求解。
M/M/m排队是与状态相关的排队的一个例子。在一个分组 交换网中，如果统计集中器或分组交换机有m条出局中继线， 且输出队列的到达和离去均为指数统计特性，则该系统就是
M/M/m排队系统，其排队模型如图2.9所示。在此系统中，
步；有顾客完成服务时状态以速率m 向左移动一步。在系统处
于统计平衡状态下，可列出系统统计平衡方程：
（2.4）
平衡方程是通过稳态平衡原理来建立的，等式两边分别表 示脱离状态n的速率与由状态n−1或n+1进入状态n的速率。在 系统稳态平衡条件下，脱离n状态与进入n状态保持平衡，所
有等式两边相等。根据此平衡方程，我们可以得到：
如果只有一个分组要传输，它立即以服务率m受到任一中继 线服务。如果有m个或更多的分组，则m条中继线都被占用。 因此在系统中，可以得到：
图2.9 M/M/m排队模型
i m i i m (i m ) mi m m (i≥m)
利用上述条件和式（11.27），可以得到平衡概率：
n P0 n! Pn n P 0 m!m n m
M/M/1排队模型是一个符合泊松到达、指数服务时间、按先进