光纤通信_波动方程推导

光纤通信报告

1.麦克斯韦方程组

光是电磁波，用波动理论来分析电磁场的分布，获得更准确的光纤的传输特性必须从麦克斯韦方程组出发：

0B

E t

D H J t

D B ρ

∂∇⨯=-

∂∂∇⨯=+∂∇⋅=∇⋅= 光纤不是电的导体，不存在电流，电流，电流密度0J =

光纤中不存在自由电荷，所以电荷体密度0v ρ=

0B

E t

D H t

D B ∂∇⨯=-

∂∂∇⨯=∂∇⋅=∇⋅=

2.波动方程

设光纤无损耗，在光线中传播角频率为ω的单色光，电磁场与时间t 的关系为j t e ω，则波动方程为：

222222

0o o E n k E H n k H ∇+=∇+=

0k 为真空中的波数：

02k c ωπλ=

=

3.柱坐标下的波动方程

利用光纤的圆柱对称性，将波动方程写成圆柱坐标的形式：

电场的z 分量z E 的波动方程为：

2

22222222110z z z z z E E E E n E r r r z c ωφφ∂∂∂∂⎛⎫++++= ⎪∂∂∂∂⎝⎭

4.边界条件及贝塞尔函数的求解

()()

22222102222222202210010d R dR m n k R r a dr r dr r d R dR m n k R r a dr r dr r ββ⎧⎛⎫++--=≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪++--=> ⎪⎪⎝⎭⎩ 上式是贝塞尔函数的微分方程，可以有多种()R r 与β的组合满足方程，每一个组合称为一个模式。

在纤芯中名要求具有振荡特性，即

22210100,n k n k ββ-><

在包层中，要求具有衰减特性，即

22220200,n k n k ββ-><

所以传播传播常数必须满足的条件是

2010n k n k β<<

对于突变型光纤，贝塞尔方程的解得形式为：

()(),()()(),

m m m m AJ r A Y r r a R r BK r B I r r a χχγγ'+≤⎧=⎨'+>⎩

A 、A '、

B 、B '为常数；

m J 为第一类贝塞尔函数；

m Y 为第二类贝塞尔函数；

m K 为第二类变形贝塞尔函数； m I 为第一类变形贝塞尔函数；

χ、γ定义为

2222

10222220n k n k χβγβ=-=-

波动方程的通解的形式为：

()()im i z m z im i z m AJ r e e r a E BK r e e r a φβφβγγ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩

同样可以得到：

()()im i z m z im i z m CJ r e e r a H DK r e e r a φβφβγγ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩

A 、

B 、

C 、

D 待定。

A 、

B 、

C 、

D 斯格常数表示出了光纤纤芯和包层的电磁场分布情况。这些常数必须满足电场

E 、磁场H 在纤芯和包层分层界面上切向分量连续的边界条件，即在r a =处有： ()()

()()

()()

()()z z z z E r a E r a E r a E r a H r a H r a H r a H r a φφφφ≤=>≤=>≤=>≤=>

可得A 、B 、C 、D 四个常数必须满足的四个齐次方程。

这些方程只有系数矩阵的行列式为零时，才有平凡解。

在对贝塞尔函数的微分方程的求解过程中，应用纤芯—包层边界条件，求得： 传播常数β的特征方程为

2

22222110()()()()11()()()()m m m m m m m m J a K a J a K a n m J a K a J a n K a n aK χγχγβχχγγχγγγχγ⎡⎤⎡⎤⎛⎫''''⎛⎫++=+ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭ 因无法导出β的解析表达式，只能数值求解

5.光纤的模式及其分布

模式：mn β所对应的这种空间分布，在传播过程中只有相位变化，没有形状的变化，且始终满足边间条件，这种空间分布称为模式。

进入光纤的光分解成为“模式”的离散光束，模式是在光纤内部存在的稳定的电磁场模型。 每个模式可以认为是以特定传播角传播的独立光束。

以不同角度入射到光纤的射线将形成光线中不同的模式

光纤中的电磁场模式不同于平面波导，一般z E 、z H 都不为零。

当方位角模数0m =时：

在传输方向无磁场的模式称为横磁模On TM 。

(0,0;z r H H E φ===仅有z E 、r E 、H φ、)H φ

在传输方向无电场模式称为横电模On TE 。

(0,0;z r E E H φ===仅有z H 、r H 、)E φ

当0m ≠时，电磁场六个分量都存在，E 和H 都拥有纵向（即沿着传播方向z ）分量，这些模式称为混合模。

磁场贡献为主()z z H E >—mn HE

电场贡献为主()z z E H >—mn EH

在弱导光纤中，z E 、z H 都近似零。存在的摸式线性偏振（linearly Polarrized ）摸—mn LP 。 为了决定截止条件，定义归一化频率V ：

22120122()2aNA V k a n n an πλπλ

⎧⎪⎪=-=⎨⎪⎪⎩归一化频率V 越大，能够传播的模式数就越多。

V 值较高的光纤可以支持较多的模式，称为多模光纤。

模式数目随V 的减少快速减少。5,7V =个模式。

当V 小于某个值，初11HE 模式外，所有模式被截止。只支持一个模式（基模）的光纤被称作单模光纤。

单模光纤的截止波长：

单模条件：

2.405V =≤

, 2.405c V λλ==

,c λλ>单模传输。

,c λλ<多模传输。