几种特殊的图

几种特殊的图
欧拉图
欧拉图的判定：
(1) 无向连通图G是欧拉图 G不含奇数度的结点(即G 的
所有结点的度均为偶数(0视为偶数))；(定理1)
(2) 非0平凡图G 是欧拉图 G 最多有两个奇数度的结点；
(定理1的推论)
(3) 有向图D是欧拉图 D是连通的，且D的所有结点的入
度等于出度。或除两个结点外，均出度等于入度，且这两
u, v G, deg(u) deg(v) V
则G是哈密顿图；——充分条件 (2) 如果无向图<V,E>时哈密顿图，V1是V的任意非空子集，
则有P（G－V1）<|V1|,。其中P（G－V1）是从G中删除 V1后所得的图的连通支数。——必要条件
(3)有向完全图D＝<V,E>, 若 V 3，则图D是哈密顿
(3) 平面图G V, E , V v, E e,若v 3，则e 3v 6
（2）和（3）仅为必要条件，只能判断一个图不是平面图
判定条件：一个图是平面图G的充分必要条件是 G不含与K3，3或K5在2度结点内同构的子图。
几种特殊的图
平面图
相关概念
面和面的边界 面的次数 有限面与无限面 同胚或同构
几种特殊的图
树
相关概念
树和森林 无向树与有向树 树叶与分支点 平凡树、生成树和最小生成树 树枝、弦和生成树的补 根数、树叶、分支点（树根、内点） 层数和树高 祖先、父亲、儿子和兄弟 m元树、m元完全树和m元正则完全数
几种特殊的图
树
任何非平凡树至少有两片树叶 求最小生成树的算法－－Kruskal算法 定理17： （m-1）i ＝ t － 1 哈夫曼树：最优二叉树
图的着色
结点着色、边着色、面着色 结点着色的方法：韦而奇.鲍威尔 面着色－>边着色->结点着色 定理11：P205 对偶图
几种特殊的图
树
树的判别： G V , E , V n, E 图m，是树的 充分必要条件是：
G是无回路的连通图； 无回路，且m＝n－1； 连通且m＝n－1 无回路，若增加一条边，就得到一条仅一条回路 连通，若删去任一边，G则不连通； 每一对结点之间有一条且仅有一条通路。 证明略
定理19：P215（证明略） 哈夫曼算法 前缀码 前缀码和二叉树
几种特殊的图
本章重点：
欧拉图 哈密顿图 平面图 树的基本概念。
概念，会用哈夫曼算法求最优二叉树。
几种特殊的图
本章重点：
欧拉图和哈密顿图 平面图 树的基本概念。
几种特殊的图
欧拉图
包含图G的每一条边，且每条边仅出现一次
的通路，就是欧拉通路。
包含图G的每一条边，且每条边仅出现一次
的回路，就是欧拉回路。 存在欧拉回路的图，就是欧拉图。
图。
几种特殊的图
பைடு நூலகம்
平面图
重要结论
r
(1) 平面图 G V , E , V v, E e,则 deg(ri ) 2e
(所有面的次数之和＝边数的2倍)。
i 1
(2) 欧拉公式：平面图G V, E , V v, E e, 面数为r，
v e r 2则(结点数与面数之和＝边数＋2)。
几种特殊的图
教学要求
理解欧拉通路(回路)、欧拉图的概念，掌握欧拉图 的判别方法。
理解哈密顿通路(回路)、哈密顿图的概念 了解平面图的概念：平面图、面、边界、面的次数
和非平面图。掌握欧拉公式的应用。 了解无向树、树叶、分支点、平凡树、生成树和最
小生成树等概念。会求最小生成树。 了解有向树、根树、有序树、最优二元（叉）树等
点deg－(v)－deg＋(v)＝1。 (定理2)
几种特殊的图
哈密顿图
通过图G的每个结点一次，且仅一次的通路， 就是哈密顿通路
通过图G的每个结点一次，且仅一次的回路， 就是哈密顿回路。
存在哈密顿回路的图就是哈密顿图。
几种特殊的图
哈密顿图
哈密顿图的判定： (1) 在无向简单图G =<V,E>中，若 V 3