中国矿业大学高数A1试题A卷参考答案
中国矿业大学北京《高等数学上》2019-2020第一学年期末试题B
中国矿业大学(北京)《高等数学A1》试卷（B 卷）得分：一、填空题（每空3分，共30分）1．极限=+-→)21ln(arctan lim 30x xx x 16-2. 设x e x f arctan )(=，则微分=)(x df 21xxedx e+ 3．函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0,0,1sin )(2x a x xe x xf ax 在0=x 处连续，则=a 1- 4．设)(x y y =是由方程1+=+x e xy y确定的隐函数，则=)0(''y 3- 5．设xe x xf 2)(=，则=)0()100(f991002⋅6. 抛物线x x y +=2在点)0,1(-处的曲率为27. 若曲线123+++=bx ax x y 有拐点)0,1(-，则=b 38. =+⎰-xdx x x cos )(22ππ 2-π9. 已知⎰+='C x dx xx f 2)(ln ，则=)(x f C e x +2 10. 以x Ce y x += 为通解的微分方程是.01'=-+-x y y二、计算（每小题6分，共12分）1、求极限2013sin coslim(1cos )ln(1)x x x x x x →+++ 解：原式=xx x x x 1cossin 3lim2120+→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+→→x x x x x x 1cos lim sin 3lim 2100=232、设()2arctan ln 1x t y t t =⎧⎪⎨=-+⎪⎩，求dy dx ，22dx y d . 解: 2222111211t dyt t t dxt -+==+-+，()()22222122(1)111t t d y t t dx t '+-==+-+ 三、（6分）设方程y =确定y 是x 的函数，求'y .解:取对数得：()()211ln ln 1ln 2ln arcsin 339y x x x =-+-- 方程两边同时求导得：121111131329arcsin y y x x x -'=⋅+⋅---，得 21111131329arcsin y x x x ⎫-'=⋅+⋅---四、计算题（共14分）1. （7分）求不定积分1sin 2cos dx x x⎰ 解: 22111csc sec sin 2cos 2sin cos 2dx dx x xdx x x x x ==⎰⎰⎰ ()111csc tan csc tan tan csc cot 222xd x x x x x x dx ==⋅-⋅-⋅⎰⎰ 1111csc tan csc csc tan ln csc cot 2222x x xdx x x x x C =⋅+=⋅+-+⎰2. （7分）设()cos ,01,01xx x x f x x e <⎧⎪=⎨≥⎪+⎩，求()⎰-21dx x f .解:()()211011011cos 1xf x dx f t dt x xdx dx e ---==++⎰⎰⎰⎰=()01010110101sin sin sin 111x xx x e xd x dx x x xdx d e e e -------+=--+++⎰⎰⎰⎰ =111cos1sin1ln 2e -+---五、(8分) 求函数x e x x f -=2)(的单调增减区间、极值和凹凸区间、拐点。
中国矿业大学(北京)机电与信息工程学院2014级大一月考试卷--高等数学答案
f ( x) f (0) 3x 2 x 3 f ( x) f (0) 3x 2 x 3 lim 0 ， f (0) lim lim 0 x 0 x 0 x 0 x0 x x0 x
f ( x) 解析：若 f ( x) 是 x 的三阶无穷小，则 lim 3 C （ C 为非零常数且 C ） ；运用等价无穷小判断 x 0 x
4、答案： （B）
6 6 x, x 0 f (0) 6 ，于是 f ( x) 6 6 x, x 0 f (0) lim
x 2
6、答案：
解析：由于原极限不为 0 或 ，故分母中 x 的最高次幂应和分子中 x 的最高次幂相同，故 4 ，则此时， 原式 lim
1 4
【本题摘自课本 P75 9、 （6） 】 3、证明：显然 f ( x) 在 x1 , xn 上也连续，设 M 和 m 分别是 f ( x) 在 x1 , xn 上的最大值和最小值· · · · · · · · ·2 分 令 xi x1 , xn (1 i n) ，所以有 m f ( xi ) M ，从而有
命题：机电学院团委学生会学习部
中国矿业大学（北京）机电与信息工程学院 2014 级第一次月考试题 高 等 数 学 （ A 1） 参 考 答 案 与 详 解
一、选择题（共 12 分）
1、答案： （A）
f (0) lim
x 0
高数A(1)期末考试题参考答案(2013.1.)
高数A(1)(A 卷)期末考试题参考答案一. 填空题(每小题3分，共33分)(1) 1,;e (2) 0,1; (3) 0;22111();28x x o x =+-+ (5)1;4 (6) 1;y x e =+ (7) ;x e C --+ (8) ;2π(9) 1(ln 21);2+ (10) 1;e e- (11) ().x y x C e =+ 二. 计算题(每小题8分，共48分)1. 解. 3311001tan tan sin lim lim 11sin 1sin x x x x x x x x x →→+-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ (2分) ()3()1()tan sin lim 1(),()1sin x x x x x xx x x ϕϕϕϕ→-⎡⎤=+=⎢⎥+⎣⎦(4分)因为 ()1()lim 1(),x x x e ϕϕ→+= ( 5分)3300()tan sin 1limlim,(1sin )2x x x x x x x x ϕ→→-==+ ( 7分)所以原式.= ( 8分) 解法二. 原式＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛++→x x x x sin 1tan 1ln 1lim exp 30(1分) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+=→3)sin 1ln()tan 1ln(lim exp x x x x ( 3分) ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+=→2203sin 1cos tan 1sec lim exp x x x x x x (4分)⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++-+=→)sin 1)(tan 1(3cos )tan 1(sec )sin 1(lim exp 220x x x x x x x x (5分) e = ( 8分) 解法三. 解. 原式⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→x x x x sin 1tan 1ln 1limexp 3(1分) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-⋅=→x x x x x sin 1sin tan 1lim exp 3( 5分) e = ( 8分)2. 解：3222243sin 2cos 4sin cos cos 2sin ,2cos 4cos 2cos x x x x x xx x x '++⎛⎫== ⎪⎝⎭(3分) 21111ln tan sec 2242224tan 24x x x πππ'⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭( 6分)12cos x=( 7分) 31.cos dy dx x= ( 8分) 3. 解. 方程两边同时对x 求导，得222[sec ()](1)[sec ()](1)x y y x y y ''--⋅-=-⋅- ( 4分)2sin ()y x y '=- ( 5分)2sin()cos()(1)y x y x y y '''=---( 7分)32sin()cos ().x y x y =-- ( 8分)4．解法一.12dx =-⎰( 2分)212⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰ ( 6分)3arcsin(21).2x C =--+ ( 8分)解法二.dx =⎰( 2分)令11sin ,,2222x u u ππ-=-<<( 3分) 则31sin 22dx u du ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭⎰⎰ ( 5分) 31cos 22u u C =-+ ( 6分)3arcsin(21).2x C =--+ ( 8分)5．解. 2(1)0,()t f f t e -'== ( 1分)()112301()()3t f t dt f t d t =⎰⎰ ( 2分) 131301()()33t f t t f t dt '=-⎰ ( 4分)213013t t e dt -=-⎰ ( 5分) ()212016t t d e -=⎰( 6分) 121.6e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭( 8分)6. 解. 齐次方程0y y ''+=的通解为12cos sin .y C x C x =+ ( 3分)211cos cos 222x x =+ ( 4分) 非齐次方程12y y ''+=的特解11.2y *= ( 5分)设非齐次方程1cos 22y y x ''+=的特解为2cos 2sin 2,y A x B x *=+ ( 6分) 代入计算得1,0,6A B =-= 于是得21cos 2.6y x *=- ( 7分) 原方程的通解为1211cos sin cos 2.26y C x C x x =++- ( 8分) 三．解. 抛物线2y x =在点2(,)a a 处的切线方程为22,y ax a =- ( 2分)这条切线与抛物线241y x x =-+-的两个交点的横坐标记为1x 和2x (不 妨设21(),x x > 则1x 和2x 是方程222(2)10x a x a +-+-=的两个根，从而得21212211,2(2),x x a x x a x x ⋅=-+=--= (4分)上述切线与抛物线 241y x x =-+-所围成的平面图形面积 2122(412)x x S x x ax a dx =-+--+⎰( 6分)3224(243)3a a =-+ (8分)122()8[2(1)1](1).S a a a '=-+- ( 9分)令()0S a '=得唯一驻点1,a = (10分)当1a <时，()0;S a '< 当1a >时， ()0,S a '> 所以1a =为极小值点，即最小值点，也就是说，1a =时所围图形面积最小。
高数A参考答案定稿
证：设 ，……………………………………………………（2分）
则 在 上连续、可导，
由罗尔定理，存在 使得 ，即 ，………（4分）
得 …………………………………………………………（5分）
六、（本题12分）
设椭圆 满足 ，记 所围成的平面图形为 ，
问 取何值时， 的面积最大？（提示： 的面积为 ）；
当 使得 面积最大时，求 绕直线 旋转一周所形成的旋转体的体积 ．
解： 的面积为 ， ， …（2分）
令 ，得 …………………………………………………………（3分）
当 时， ；当 时， ，
当 时， 的面积 最大．…………………………………………（6分）
＝ ……………………（6分）
3、设方程 确定函数 ，求 ．
解：在方程两边对 求导数，得 ，∴ …………（3分）
＝ ………………………（6分）
4、设 ，求 并讨论其在 处的连续性．
解：当 时， ……(2分)
当 时， ………（4分）
，
∴ 在 处连续．…………………………………………………………（6分）
5、求不定积分 ．
1、证明当 时， ．
证：设 ，则 ………………
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，…………………（4分）
∴ 在 处取最小值，∴当 时，
即 ， 当 时， ．…………………………（5分）
或 位于 与 之间
或设 ，则 ，令 得 ，又 ，所以点 为可导函数 在 内唯一的驻点，且为极小值，所以 为 在 内的最小值点，∴当 时， ，即 ， 当 时， ．
解：原式= ………………………………………（1分）
中国矿业大学徐海学院2013-2014学年第2学期《 高等数学》(下)试卷(A)卷(含答案)
中国矿业大学徐海学院2013-2014学年第2学期《 高等数学》（下）试卷（A ）卷（较高要求层次）考试时间： 120分钟 考试方式：闭卷系别 班级 姓名 学号题 目 一 二 三 四 总 分 得 分阅卷人一、 填空选择题：1-10题，每题3分，共30分，请将答案写在题中的横线上.1. 已知直线1132x y z a--=-=在平面3431x y az a +-=-内，则_________.a = （A ）1; （B ）2; （C ）12; （D ）1-. 2.极限22lim___________.x y xy x y→→=+3.设2(,)(1)arcsiny f x y x y x =+-，则(2,1)_____________.f x ∂=∂ 4.曲面2223()25x z y ++=在点(0,1,1)处的外侧单位法向量为___________. 5.设函数22ln()u x y z =++在点(1,0,1)A 沿从点(1,0,1)A 到(3,2,2)B -的方向导数为_______________.6.DI xyd σ=⎰⎰，其中D 是由2,2yx y x ==-围成的区域，则I =____________.（A ）402yy dy xydx +⎰⎰; （B ）14012xxx x dx xydy dx xydy --+⎰⎰⎰⎰;（C ）2221y ydy xydx +-⎰⎰; （D ）2221y ydx xydy +-⎰⎰.7.设L 是抛物线2y x =上自点(0,0)到点(1,1)的一段弧，则_________.Lyds =⎰8.设∑是曲面22z x y =+的1z ≤部分曲面，则22()_________.x y dS ∑+=⎰⎰9.下列级数中是条件收敛的级数为 .（A ）1311(1)21n n n ∞-=-+∑； （B ）112(1)3nn n ∞-=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑； （C ）311(1)2n nn n ∞-=-∑； （D ）111(1)ln n n n ∞-=-∑. 10.当33x -<，将函数1x展开成3x -的幂级数形式为 . 二、解答题：11-15题，每小题8分，共40分,解答应写出文字说明和演算的步骤。
中国矿业大学高数A1试题A卷参考答案
中国矿业大学2018-2019学年第 1学期《 高等数学A （1）》试卷（A ）卷答案供参考一、填空题（每题4分，共20分）1．21lim →∞⎛⎫++=+n n 2 ．2．123lim 21x x x x +→∞+⎛⎫ ⎪+⎝⎭e ．3．设0(),0≠=⎨⎪=⎩x f x a x 在0x =处连续，则=a 12．4．设21sin ,0(),0⎧<⎪=⎨⎪≥⎩x x f x xx x ，则(0)-'f 0 ．5．设2sin =y x ，则d y 2s i n x s i n x ．二、单项选择题(每题只有一个正确答案。
每题4分，共20分)1．设0>a ，则当0→x 是x 的（ C ）无穷小．A.等价；B.2阶；C.3阶；D.4阶2．2设 ()f x 在0x 的某个邻域有定义，且在点0x 处间断，则在点0x 必间断的函数是（ D）．A. ()f x ；B. 2()f x ；C. ()sinf x x ； D. ()sin +f x x3．设21,0()0,0x f x x x ≠=⎪=⎩，则()f x 在点0x =处（ C ）．A. 极限不存在；B. 极限存在不连续;C. 连续但不可导；D. 可导.4．函数()f x 在1x =处可导的充分条件是（ B ）．A. 0(cos )(1)lim cos 1x f x f x →-- 存在； B. 0(1sin )(1)lim x f x f x →-- 存在；C. 220(1)(1)lim x f x f x →+- 存在；D. (1)f -' 与 +(1)f '存在．5．设 ,0()sin 2,0⎧<=⎨+≥⎩a x e x f xb x x 在0=x 处可导，则（ A ）．A. 2,1==a b ；B. 1,2==a b ；C. 2,1=-=a b ；D. 2,1==-a b ．三、计算题（每题9分，共54分）1．(9分) 计算极限0(1cos 2)lim tan sin →--x x x x x． 解：0(1cos 2)lim tan sin →--x x x x x 201(2)2lim tan (1cos )→=-x x x x x 3022lim 12→=⋅x x x x 4= 2．(9分) 设函数1122()22x x f x +=-，指出其间断点并判断类型．解：()f x 的间断点为0,1==x x .因为 11022lim 122-→+=--xx x11110022122lim lim 122122++-→→-++⋅==--⋅x x x x x x 所以0=x 是()f x 的第一类间断点(跳跃间断点)；而 11122lim 22→+=∞-x x x故1=x 是()f x 的第二类间断点(无穷间断点).3．(9分) 设21arctan ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦y f x ，其中()f x 可导，求'y ． 解： 2211112arctanarctan 11⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=⋅⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+y f f x x x x 2211arctan arctan 1⎛⎫⎛⎫'=-⋅⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭f f x x x 4．(9分) 求曲线2cos cos ,sin x t t y t⎧=+⎨=⎩在对应于4t π=点处的法线方程.解：d cos d d d d d sin 2cos sin ==--y t y x t t x t t t当4t π=时，12'=+===x y y 法线斜率为111=-=k ， 那么该点处的法线方程为11)()22-=-y x . 5．(8分)arctan 5yx e=，求d d x y. 解：方程两边取对数，有 221ln()ln 5arctan 2+=+y x y x， 方程两边对y 求导，得2222d d 1d d 1⋅+-⋅=⋅+⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x x y x y y y x y x y x ，整理得d d -=+x x y y x y6．(8分) 设函数2156y x x =-+，求其n 阶导数()n y ． 解：21115632==--+--y x x x x 那么()11(1)!(1)!(3)(2)++--=---n n n n n n n y x x 四、证明题（8分）设()f x 在[0,3]连续，且(0)(3)=f f ，证明：存在[0,2]ξ∈，使得()(1)ξξ=+f f ．证明：令 ()()(1),[0,2]=-+∈F x f x f x x显然 ()F x 在区间[0,2]上连续. 另外(0)(0)(1)=-F f f ，(1)(1)(2)=-F f f ，(2)(2)(3)=-F f f ，上面三式相加，有(0)(1)(2)(0)(3)0++=-=F F F f f ，由介值定理可知，存在[0,2]ξ∈，使得(0)(1)(2)()03ξ++==F F F F ， 也就是 ()(1)ξξ=+f f ，[0,2]ξ∈。
《高等数学》A卷参考答案及评分标准
四、应用题（本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分）
的收敛域为 （ 1,1 ..........................4 分 ） 21、解：设水箱长、宽、高分别为 x, y , z ..............................1 分 因为 xyz =8 ,从而高 z 于是水箱表面的面积为
因此，所给曲线积分与积分路径无关..............................4 分 为方便计算取有向线段 OA 与 AB 为积分路径。 在 OA 上， y 0 ， x 自 0 到
；在 AB 上， x = ， y 自 0 到 1 ； 2 2
(2 xy
L
3
y 2 cos x) d x (1 2 y sin x 3 x 2 y 2 ) d y
=
OA AB
(2 xy 3 y 2 cos x) dx (1 2 y sin x 3 x 2 y 2 ) dy
1
2 0
2 (2 x 0 0 cos x)dx (1 2 y 3 y 2) dy 0 4
............6 分
( y y2
中国矿业大学银川学院
期末考试试卷评分标准及参考答案 《高等数学》 （A 卷）
（本卷适用专业：2015 级所有工科专业） 题号 分值 一 30 分 二 20 分 三 34 分 四 16 分 总分 100 分
而点 ( ， 2， 1) 所对应的参数为 t 1 所以曲线在 t 1 处切线的切向量为 ( , 1,2) ..........................4 分
2 3 1 y ) | 0 ............................................7 分 4
高等数学A1智慧树知到课后章节答案2023年下中国矿业大学
高等数学A1智慧树知到课后章节答案2023年下中国矿业大学中国矿业大学第一章测试1.在下列各选项中，两个函数相同的是（）A:, ; B:,; C:, . D:, ;答案:, .2.下面4个命题中，正确的个数为（）.（1）设函数的定义域为，则一定可以写成一个奇函数和一个偶函数之和；（2）在内既是有界函数，又是周期函数；（3）是一个非奇非偶的函数；（4）在区间内是一个单调增加函数.A:. ； B:. ； C:. D:；答案:.3.设，总存在，使得对于一切时，都有，以上表示（）A:当时，的极限为 B:当时，的极限为 C:当时，的极限不是 D:当时，的极限为答案:当时，的极限为4.关于函数的连续性以及间断点表述正确的是（）。
A:为跳跃间断点 B:1为跳跃间断点 C:和1都不是跳跃间断点 D:和1都为跳跃间断点，其它点均为连续点答案:为跳跃间断点;1为跳跃间断点;和1都为跳跃间断点，其它点均为连续点5.若函数f(x)在闭区间[1,2]上满足-3f(x)3，则存在[1,2]上的点a使得f(a)=0. （）A:错 B:对答案:错第二章测试1.设函数，则在处（）A:连续但不可导 B:可导但不连续 C:不连续答案:连续但不可导2.幂函数在其定义域内（）A:一定不可导 B:一定可导 C:不一定可导答案:不一定可导3.两个可导函数乘积的高阶导数等于各自高阶导数的乘积。
（）A:对 B:错答案:错4.下列公式正确的是（）A: B:C: D:答案:;5.求微分，为（）A:. B:, C:, D:,答案:,第三章测试1.下列结论正确的是（）A:函数在的某邻域有定义，并且对任意的，有，那么. B:可导函数在处满足，那么存在的某邻域，对任意的，有或者. C:函数在的某邻域内可导，并且满足对任意的，有，那么.答案:函数在的某邻域内可导，并且满足对任意的，有，那么.2.下面哪个函数在指定区间内的某点有水平的切线（）A:在区间, B:在区间, C:在区间, D:在区间.答案:在区间.3.下列结论不正确的是（）A:, B:方程在区间内有唯一的实根. C:当时，. D:, 答案:当时，.4.若,则（）A:, B:, C:其中为任意常数,答案:其中为任意常数,5.函数及在区间上满足柯西中值定理. （）A:对 B:错答案:对。
《高等数学A1》2019-2020学年第一学期期末试卷A卷
中国矿业大学(北京)2019-2020学年第一学期《高等数学A1》试卷（A卷）参考解答一、填空题（每题3分，共30分）1.设()f x在x a=处可导，且()0f a>，则1()lim()nnf anf a→∞⎡⎤+⎢⎥=⎢⎢⎥⎣⎦()()f af ae'.2.曲线32535y x x x=-++的拐点为520(,)327.3.函数32(1)(1)xyx+=-的斜渐近线为5y x=+.4.函数11()1xxf xe-=-的第一类间断点为0x=，第二类间断点为1x=，连续区间为(,0)(0,1)(1,)-∞+∞.5.设函数2()(2019)(2020)f x x x x=--，则()f x'的零点个数为3.6.设()f x对任意x均满足(1)()f x a f x+=，且(0)f b'=，其中,a b为非零常数，则(1)f'=ab.7.积分x⎰8.设()f x在[,]a b上有二阶导数，且()0f x''<，则()f a'，()f b'，()()f b f ab a--三者从大到小的顺序为()()()()f b f af a f bb a-''>>-.9.k=3-时，定积分52991()sin()d0x k x k x++=⎰.10.sin()dxktx ttα=⎰与1sin()(1)dxtx t tβ=+⎰是0x→时的等价无穷小，则k=1e.二、求下列极限(每小题6分共12分)1.3tan(tan)sin(tan)limxx xx→-.解：3tan(tan)sin(tan)limxx xx→-=3tan(tan)[1cos(tan)]limxx xx→-231tan tan12lim.2xx xx→⋅==2.22limn→∞⎛⎫++.222≤≤所以222111n n ni i i===≤∑∑而21(1)(21)16lim lim3nn nin n n→∞→∞=++==,21(1)(21)16lim lim3nn nin n n→∞→∞=++==故221lim3n→∞⎛⎫+=.三、计算下列导数和微分（每小题6分共12分)1.设()f x 二阶可导，且22()lim{[()()]sin }t xF x f x f x t t t →∞=+-⋅⋅，求d ()F x .解：因为2()()sin()lim 22t x f x f x t t F x x xt t→∞+-=⋅⋅2()x f x '=，所以d ()[2()2()]d F x f x x f x x '''=+.2.设23221()(1)arctan1x f x x x x x -=+-+-，求)1('f ．解：根据导数的定义)1('f 2321121(1)arctan1()(1)1limlim11x x x x x f x f x x x x →→-+---+-==--32121lim(1arctan )214x x x x x π→-=++=++-.四、计算下列积分（每小题6分共12分)1.d x⎰t =,则d x ⎰2e d t t t=⎰2de tt =⎰2e 2e ttt C =-+C =-+.2.已知50sin ()d xtf x t tπ=-⎰，求0()d f x x π⎰.解：利用分部积分有()d f x x π⎰00()()d x f x x f x xππ'=-⎰50sin d x x x πππ=-⎰50sin d xx xxππ-⋅-⎰50sin ()d xx x xπππ=-⋅-⎰50sin d x xπ=⎰2502sin d x x π=⎰4216215315=⋅⋅⋅=.五、（8分）求星形线33cos (0)sin x a t a y a t ⎧=>⎨=⎩在4t π=时，对应点处的曲率.解：22d d 3sin cos d tan d d 3cos sin d yy a t tt y t x x a t t t'====--，4tan14t y ππ='=-=-.224d d()d sec 1d d 3cos sin 3cos sin d y x t ty x a t t a t tt -''===--，4413cos sin44t y a πππ=''==所以曲率322||23(1)y k ay ''=='+.六、（8分）设()y f x =由3222221y y xy x -+-=确定，试求()y f x =的驻点，并判断它是否是极值点.解：对3222221y y xy x -+-=两边关于x 求导得2320y y yy y xy x '''-++-=(※)令0y '=得y x =，代入原方程得32210x x --=，解之得唯一驻点1x =.将1x =代入原方程得1y =.再对(※)式两边关于x 求导得22(32)2(31)210y y x y y y y ''''-++-+-=于是得(1,1)102y ''=>，所以驻点1x =是()y f x =的极小值点.七、（9分）设()f x 在[0,1]上可导，且满足120(1)2()d f xf x x =⎰，证明：存在(0,1)ξ∈，使()()f f ξξξ'=-.证明：由积分中值定理得，存在11(0,)2ξ∈，使12110(1)2()d ()f xf x x f ξξ==⎰即11(1)()f f ξξ=.令()()F x xf x =，则()F x 在1[,1]ξ上连续，在1(,1)ξ上可导，且1(1)()F F ξ=，根据罗尔定理，至少存在一点1(,1)ξξ∈使()0F ξ'=，即()()0f f ξξξ'+=，故()()f f ξξξ'=-.八、（9分）设函数()y f x =在0x ≥时为连续非负函数，且(0)0f =.()V t 表示()y f x =，(0)x t t =>及x 轴所围图形绕直线x t =旋转一周所得的体积，求()V t ''.解：利用柱壳法d ()2()()d V t t x f x x π=-，所以0()2()()d tV t t x f x xπ=-⎰02()d 2()d t tt f x x x f x xππ=⋅-⎰⎰于是()2()d 2()2()tV t f x x t f t t f t πππ'=+-⎰故()2()V t f t π''=.。
中国矿业大学(徐州)07级数学分析试题(A卷)
中国矿业大学试卷数学分析(I)试题(A 卷)（适用于理学院07级学生，考试时间：2008年01月15日）答题时间：120分钟 考试方式： 闭卷班级____________姓名____________序号_______成绩____________一、求解下列各题（每题5分共40分）1.)1sin 1(cot lim 0xx x x -→2．x x xx )1cos 1(sinlim +∞→3．设21sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，求().f x '4.设曲线2ln x t y t=⎧⎨=⎩，求22d d yx . 5．1d 1cos x x +⎰（数学系学生改做：叙述lim ()x af x A →≠的定义） 6．()2arcsin d x x ⎰（数学系学生改做：叙述lim ()x a f x +→存在的归结原则）7．证明函数1y x =在1(,)2+∞上一致连续。
8．求155345++-=x x x y 在]2,1[-上的最大值与最小值。
二（12分） 设)(),(x g x f 在数集D 上有界， （1）叙述inf ()x Df x A ∈=的定义；（2）证明{})(sup )(inf )()(inf )(inf )(inf x g x f x g x f x g x f Dx Dx Dx Dx Dx ∈∈∈∈∈+≤+≤+。
三（12分） 叙述数列收敛的柯西准则，据此再叙述数列发散的充要条件，并证明数列{}n a 发散，其中111123n a n=++++。
四（12分）设)(x f 在00[,)(0)x x δδ+>连续，在00(,)x x δ+可导，证明：(1) 如果00(0)lim ()x x f x f x +→''+=存在，则)(0x f +'也存在，且)0()(00+'='+x f x f ; (2) 如果)(x f 在区间I 上可导，则)(x f '在I 上不存在第一类间断点。
中国矿业大学(北京)《高等数学》试卷 2016-2017年第一学期期末A卷-
中国矿业大学(北京)《高等数学A1》试卷（A 卷）得分：一、填空题（每空3分，共30分）1．极限=-++--→213lim21x x x x x ___62-________ 2、若⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,sin 12x x x x y 则=)0('y 13、设x x y 44cos sin -=，则=)()(x y n __)22cos(2πk x n +-_ _________ 4、,1)('x e f x += 则)(x f C x x +ln5、函数2(3)4(1)x y x -=-的斜渐近线是454-=x y6、设)(x y y =由sin()51xy x y +-=所确定，则=')0(y 47、2cos 1)sin 1ln(limxdt t t t xx -+⎰→=218、=⎪⎭⎫⎝⎛++⎰-22||cos 1sin ππdx x x x 42π9、设Γ—函数=Γ)(s ⎰∞+--01dx x e s x 在 0>s 时收敛。
10、θρ2=相应于θ从0到π2的弧与极轴所围成图形面积为 3163π二、计算（每小题6分，共12分）1、计算 42cos 2lim n n n x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→解： 因为.212lim 1cos 1lim 1)cos 2ln(lim)cos2ln(lim 2442424224x n n x n n xn n x nx n ==-=-=-（4分）所以，原式=.2)cos2ln(lim 224x nx n e e=- （2分）2、设()y y x =是由方程33cos sin x a t y a t⎧=⎨=⎩确定的函数，求22,dy d ydx dx 解：t t t a tt a dt dx dt dy dx dy tan )sin (cos 3cos sin 3//22-=-== （3分）)(sin cos 31)sin (cos 3sec //42222t t a t t a x dt dx dt dx dy d dx y d =--=⎪⎭⎫ ⎝⎛= （3分） 三、（6分）用对数求导法求解：设123152(3)(5),(5)(2)(4)x x y x x x +-=>++，求'y解：).4ln(21)2ln(5)5ln(31)3ln(2ln +-+--++=x x x x y （2分）.)4(2125)5(3132'+-+--++=x x x x y y （3分） 所以，='y 123152(3)(5)215133(5)22(4)(2)(4)x x x x x x x x ⎛⎫+-+-- ⎪+-++⎝⎭++（1分）四、计算题（共14分） 1. （7分）计算 ⎰xdx arccos解：分部积分，.1arccos 1)1(21arccos 1arccos arccos 2222C x x x xx d x x x xdxx x xdx +--=---=-+=⎰⎰⎰ （每行评分标准：3分、2分、2分）2. （7分）设2()t f x dt -=，求dx xx f ⎰2)( 解：.2)('xex f x-=且.0)2(=f （2分）[][].11)210(2)(')(2)(2)(2202020202020-==-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==--⎰⎰⎰⎰ee dx e dx xf x x x f xd x f dx xx f x x （5分）五、(8分) 已知bx ax x x f ++=23)(在1-=x 处有极值2，试确定系数并求出函数的极值，拐点，单调区间和凹凸区间。
高数第二学期题总
中国矿业大学2006～2007学年第 2 学期《高等数学(下)》试卷（A ）卷一、计算（每题8分，共48分） 1、设32331z x y xy xy =--+，求z x∂∂、z y∂∂及2z y x∂∂∂.2 设22v u z +=，而y x v y x u -=+=,，求yzx z ∂∂∂∂,3、设(,)z z x y =是由方程2zz x ye =+所确定，求,z z x y∂∂∂∂ 4、计算二重积分：sin Dxdxdy x⎰⎰， 其中D 是直线,0,y x y x π===所围闭区域. 5、计算二重积分：22[cos()]DI y x y dxdx =++⎰⎰其中D 为圆域222x y R +≤6、计算22()()LI x y dx y x dy =-+-⎰，其中L 为圆周y =(0,0)O 到(4,0)A二、计算（每题8分，共16分）1、判定下列级数是否收敛（给出判定方法）.（1）11(2)n n n n ∞=++∑（2）21(1)ln nn n∞=-∑2、将函数x1展开成3-x 的幂级数.三、求下列微分方程的通解（每题8分，共16分）1、1sin .x y y xx'+=求方程的通解2、232.x y y y xe '''-+=求方程的通解 四、应用题（每题10分，共20分）1、2222z x y x y z =++-=求旋转抛物面与平面之间的最短距离．2、试计算椭球体2222221x y z abc++≤的体积V .中国矿业大学2006～2007学年第 2 学期 《高等数学(下)》试卷（A ）卷答案一、计算（每题8分，共48分） 1、设32331z x y xy xy =--+，求z x∂∂、z y∂∂及2z y x∂∂∂.解：22333z x y y yx∂=--∂，3229z x y xy xy∂=--∂，222691z x y y y x∂=--∂∂2 设22v u z +=，而y x v y x u -=+=,，求yzx z ∂∂∂∂,解：2222z u v u v u vxxx∂∂∂=+=+∂∂∂，2222z u v uvu v yyy∂∂∂=+=-∂∂∂3、设(,)z z x y =是由方程2zz x ye =+所确定，求,z z x y∂∂∂∂解：对方程两边关于x 求导，有2zz z yexx∂∂=+∂∂，得21zz xy e ∂-=∂-，对方程两边关于y 求导，有z zz z e yeyy∂∂=+∂∂，得1z z z eyye ∂-=∂-4、计算二重积分：sin Dxdxdy x⎰⎰， 其中D 是直线,0,y x y x π===所围闭区域. 解：D 写为X-型区域：0,0x y x π≤≤≤≤sin sin sin 2x Dxx dxdy dx dy xdx xxππ∴===⎰⎰⎰⎰⎰5、计算二重积分：22[cos()]DI y x y dxdx =++⎰⎰其中D 为圆域222x y R +≤解：{(,)02,0}D r r R θθπ=≤≤≤≤ 从而222[cos()](sin cos )sin RDy x y dxdx d r r rdr R πθθπ++=+=⎰⎰⎰⎰6、计算22()()LI x y dx y x dy =-+-⎰，其中L 为圆周y =(0,0)O 到(4,0)A解：22(,),(,)P x y x y Q x y y x =-=-,而1Q P xy∂∂=-=∂∂所以积分与路径无关，令O A 为从O 到A 的有向直线段，则422264()()3O AI x y dx y x dy x dx =-+-==⎰⎰二、计算（每题8分，共16分）1、判定下列级数是否收敛（给出判定方法）.（1）11(2)n n n n ∞=++∑（2）21(1)ln nn n∞=-∑解：（1）1(2)11limn n n n n→∞++=，而11n n ∞=∑发散，所以原级数发散，比较判定法。
2018高数A(1)期末考试-A卷解答
'
=
1 1+ e2x
ex
+
1 1+ e−2x
−e− x
=0
3' ，
arctan ex + arctan e−x C
1' ；
（2） arctan ex + arctan e−x arctan e0 + arctan e0 = 2 arctan1 =
1'
2
2I
=
−
x sin x 1+ cos2 x
1. 设 f ( x) = 1 ，则 f ( f ( x)) 的定义域为 x 1, 2 ；
x −1
2. lim arctan 2x = 2 ；
x→0
x
3.
曲线
y
=
x2 的渐近线是 x2 +1
y
=1；
4. 若曲线 y = ax3 在 x = −1 所对应的点处的法线斜率为 2，则 a = − 1 ； 6
=
1 x
x
0
f
(t ) dt
，求证：F ( x) 在 (0, +)
上也单调递减（本题 6 分）.
x
x
xf ( x) − f (t )dt ( f ( x) − f (t ))dt
证明：因为 F '( x) =
0
x2
=0
x2
3'，
所以对于任意的 x (0, +) ，F '( x) 0 ，F ( x) 在 (0, +) 上也单调递减 3'.
2' 1' .
2
2. 求定积分 I = x − x2 dx ；
中国矿业大学11-12(上)《工程数学A》试题(A)卷
11-12学年第一学期《工程数学A 》试题（A ）卷一、填空题（每空4分，共40分）1) ()()f t u t =的傅氏变换为 .2) 函数3232()(3)f z my nx y i x xy =++−为解析函数，则m = .3) 201lim(sin d )t t t t i t t j e k →++=∫ . 4) 矢量场k z j y i x A ++=从下向上通过有向曲面22z x y =+(02)z <<的通量为 .5) 函数()sin t f t e t =的拉氏变换为 .6) 矢量场222A xi x y j yzk =−+ 在点)1,2,1(−M 处散度为 . 7) 设()tan f z z =则Res[(),]2f z π= . 8) 函数20()sin 2d t t f t te t t −=∫的拉氏变换为 . 9) C 是直线OA ，O 为原点，A 为i +2, 则d C z z =∫ .10) 复数ln i i = .二、（10分）求矢量场22()A x i y j x y zk =+++ 通过点)1,1,2(−M 的矢量线方程. 三、（10分）求常系数二阶线性微分方程t e t y t y t y −=+′−′′2)()(2)(满足条件0)0(,0)0(=′=y y 的解.四、（10分）求函数222()(413)s F s s s +=++的拉氏逆变换.五、（10分）证明矢量场k yz x j y z x i xyz A 22222)cos (2+++=为保守场，并求积分∫⋅B Al A d ，其中(1,0,1),(2,1,3)A B . 六、（10分）将函数21()(1)f z z z =−在圆环域1|1|z <−<+∞展开成洛朗级数. 七、（10分）用留数计算积分201d 5cos t tπ+∫.。
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中国矿业大学2018-2019学年第 1学期
《 高等数学A （1）》试卷（A ）卷答案供参考
一、填空题（每题4分，共20分）
1
．21lim →∞⎛
⎫++=+n n 2 ．
2．1
23lim 21x x x x +→∞+⎛
⎫ ⎪+⎝⎭
e ．
3．设0(),0≠=⎨⎪=⎩x f x a x 在0x =处连续，则=a 12
．
4．设21sin ,0(),0
⎧
<⎪=⎨⎪≥⎩x x f x x
x x ，则(0)-'f 0 ．
5．设2sin =y x ，则d y 2s i n x s i n x ．
二、单项选择题(每题只有一个正确答案。
每题4分，共
20分)
1．设0>a ，则当0→x 是x 的（ C ）无穷小．
A.等价；
B.2阶；
C.3阶；
D.4阶
2．2设 ()f x 在0x 的某个邻域有定义，且在点0x 处间断，则在点0x 必间断的函数是（ D
）．
A. ()f x ；
B. 2()f x ；
C. ()sin
f x x ； D. ()sin +f x x
3．设21
,0()0,0
x f x x x ≠=⎪=⎩，则()f x 在点0x =处（ C ）．
A. 极限不存在；
B. 极限存在不连续;
C. 连续但不可导；
D. 可导.
4．函数()f x 在1x =处可导的充分条件是（ B ）．
A. 0(cos )(1)
lim cos 1x f x f x →-- 存在； B. 0(1sin )(1)
lim x f x f x →-- 存在；
C. 220(1)(1)lim x f x f x →+- 存在；
D. (1)f -' 与 +(1)f '
存在．
5．设 ,0
()sin 2,0⎧<=⎨+≥⎩
a x e x f x
b x x 在0=x 处可导，则（ A ）．
A. 2,1==a b ；
B. 1,2==a b ；
C. 2,1=-=a b ；
D. 2,1==-a b ．
三、计算题（每题9分，共54分）
1．(9分) 计算极限0(1cos 2)lim tan sin →--x x x x x
． 解：0(1cos 2)lim tan sin →--x x x x x 201(2)2lim tan (1cos )→=-x x x x x 3022lim 12
→=⋅x x x x 4= 2．(9分) 设函数11
22
()22x x f x +=-，指出其间断点并判断类型．
解：()f x 的间断点为0,1==x x .
因为 1
1
022lim 122-→+=--x
x x
111
1
0022
122lim lim 122122++-→→-++⋅==--⋅x x x x x x 所以0=x 是()f x 的第一类间断点(跳跃间断点)；
而 11
122lim 22→+=∞-x x x
故1=x 是()f x 的第二类间断点(无穷间断点).
3．(9分) 设21arctan ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦y f x ，其中()f x 可导，求'y ． 解： 2211112arctan
arctan 1
1⎛
⎫⎛⎫⎛⎫''=⋅⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+y f f x x x x 2211arctan arctan 1⎛⎫⎛⎫'=-⋅⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝
⎭f f x x x 4．(9分) 求曲线2cos cos ,sin x t t y t
⎧=+⎨=⎩在对应于4t π=点处的法线方程.
解：d cos d d d d d sin 2cos sin ==--y t y x t t x t t t
当4t π
=时，
12'=+===x y y 法线斜率为
111=-=k ， 那么该点处的法线方程为
11)()22
-=-y x . 5．(8分)
arctan 5y
x e
=，求d d x y
. 解：方程两边取对数，有 221ln()ln 5arctan 2+=+y x y x
， 方程两边对y 求导，得
2222d d 1d d 1⋅+-⋅=⋅+⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x x y x y y y x y x y x ，
整理得
d d -=+x x y y x y
6．(8分) 设函数2156
y x x =
-+，求其n 阶导数()n y ． 解：21115632==--+--y x x x x 那么
()11(1)!(1)!(3)(2)
++--=---n n n n n n n y x x 四、证明题（8分）设()f x 在[0,3]连续，且(0)(3)=f f ，证明：存在[0,2]ξ∈，使得()(1)ξξ=+f f ．
证明：令 ()()(1),[0,2]=-+∈F x f x f x x
显然 ()F x 在区间[0,2]上连续. 另外
(0)(0)(1)=-F f f ，
(1)(1)(2)=-F f f ，
(2)(2)(3)=-F f f ，
上面三式相加，有
(0)(1)(2)(0)(3)0++=-=F F F f f ，
由介值定理可知，存在[0,2]ξ∈，使得
(0)(1)(2)()03
ξ++==F F F F ， 也就是 ()(1)ξξ=+f f ，[0,2]ξ∈。