线性变换
第七章 线性变换
(4) 多项式:
1) n 个( n 是正整数)线性变换 /A的乘积为/A的
n次幂，记为/An，即/An=/A/A.../A(n个). 规定 /A0 = /E. 当线性变换/A可逆时, 规定/A-n=(/A-1)n 2) 设 f (x) = amxm + am -1xm -1 + … + a0 是P[ x ] 中 一多项式，/A是 V 的一线性变换，则称 f (/A ) = am /A m + am -1 /A m -1 + … + a0/E
xi1, xi 2 ,, xiri
，则向量组
x11 , x12 ,, x1r1，x21 , x22 ,, x2r2， ，xs1, xs 2 ,, xsrs
线性无关.
6) 设B=X-1AX,即矩阵A与B相似. 如果i是A的特征
值，xi是A对应特征值i的特征向量，则i是B的特征值 ,且B对应特征值i的特征向量是X-1x.
是线性变换 /A 的多项式.
3) 线性变换的幂运算规律 ① /A n + m = /A n /A m , (/A n )m = /A m n (m , n 0) . ② 一般来说:(/A /B )n /A n /B n . 4) 如果在 P[ x ] 中，有 h(x) = f (x) + g(x) , p(x) = f (x) g(x) , 那么 h(/A ) = f (/A ) + g(/A ) , p(/A ) = f (/A ) g(/A ) .
1+ 2+ ...+n=a11+a22+...+ann; 12...n=|A|.
4) 如果1, 2, ..., s是矩阵A的互异特征值，其对应
第七章线性变换总结篇(高等代数)
第 7章 线性变换7.1知识点归纳与要点解析一．线性变换的概念与判别 1.线性变换的定义数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换，如果对V 中任意的元素,αβ和数域P 中的任意数k ，都有：()()()σαβσασβ+=+，()()k k σασα=。
注：V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。
2.线性变换的判别设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换，那么：σ为V 的线性变换⇔()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+∀∈∀∈ 3.线性变换的性质设V 是数域P 上的线性空间，σ为V 的线性变换，12s ,,,,V αααα∀∈。
性质1. ()()00,σσαα==-; 性质2. 若12s ,,,ααα线性相关，那么()()()12s ,,,σασασα也线性相关。
性质3. 设线性变换σ为单射，如果12s ,,,ααα线性无关，那么()()()12s ,,,σασασα也线性无关。
注：设V 是数域P 上的线性空间，12,,,m βββ，12,,,s γγγ是V 中的两个向量组，如果：11111221221122221122s ss s m m m ms sc c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=+++记：()()1121112222121212,,,,,,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭于是，若()dim V n =，12,,,n ααα是V 的一组基，σ是V 的线性变换， 12,,,m βββ是V 中任意一组向量，如果：()()()11111221221122221122n n n n m m m mn nb b b b b b b b b σβααασβααασβααα=+++=+++=+++记：()()()()()1212,,,,m m σβββσβσβσβ=那么：()()1121112222121212,,,,,,m m m n n n mn b b c b b c b b c σβββααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭设112111222212m m n n mn b b c b b c B b b c ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，12,,,m ηηη是矩阵B 的列向量组，如果12,,,r i i i ηηη是12,,,m ηηη的一个极大线性无关组，那么()()()12,ri i iσβσβσβ就是()()()12,m σβσβσβ的一个极大线性无关组，因此向量组()()()12,m σβσβσβ的秩等于秩()B 。
第三章第五讲 线性变换
通识教育平台数学课程系列教材第一节向量空间第二节向量的线性相关性第三节向量空间的基及向量的坐标第四节欧氏空间第五节线性变换定义1一、线性变换的定义设σ是向量空间V 到向量空间W 的一个映射，如果σ满足:1) σ( α+ β) = σ( α) + σ( β),2) σ( k α) = k σ( α).其中α,β为V 中任意向量，k 为任意实数σ有上面的性质也说成σ保持向量的线性运算. 简言之，线性映射就是保持线性关系的映射.则称σ是V 到W 的一个线性映射. σ(α) 称为α在σ下的象，也可记为σα.§5 线性变换向量空间V 到其自身的线性映射称为V 中的线性变换.(1) 向量空间中变换的写法σ: ( x , y ) →( x + y , x -y ), (x , y ) ∈R 2σ( x , y ) = (x + y , x -y ), ( x , y ) ∈R 2注：(2)).()()(2121βαβασσσk k k k +=+可简写成σ(α+ β) = σ(α) + σ(β),σ(k α) = k σ( α).(3) 通常用花体字母T , S , … 来表示V 中的线性变换. 向量α在线性变换T 下的像，记为T (α) 或T α.上一页例1设A为n 阶实矩阵，对任意的n维行向量α，令T(α)=αA, α∈V.事实上, 设α, β∈V，因为T(α+ β) = (α+ β)A= αA+ βA= T(α) + T( β).T(kα) = ( kα)A = k (αA)= k T( α)故T是R n中线性变换.例2设V 是一向量空间，λ∈R . 对任意的α∈V ，令T (α) = λα，则T 是V 中的一个线性变换.所以T 是V 中的线性变换. 称这种变换为数乘变换.E (α) = α, O (α) = 0.上一页事实上, 设α, β∈V ，k ∈R ，因为T (α+ β) = λ(α+ β)= λα+ λβ= T (α) + T ( β).T (k α) = λ( k α)= k (λα)= k T (α)特别地，当λ= 1 时，T (α) = α，T 称为恒等变换，记为E ；当λ= 0时，T (α) = 0，T 称为零变换，记为O ，即例3R 3 中σ( x , y , z ) = (x , y , 0) 是线性变换.事实上, 设α= ( x 1, y 1, z 1) , β=( x 2, y 2, z 2)σ(α+ β) = σ( x 1+ x 2, y 1 + y 2, z 1+ z 2 )= ( x 1+ x 2, y 1 + y 2, 0)= ( x 1, y 1, 0) + ( x 2, y 2, 0)= σ(α) + σ( β).证σ(k α) = σ(k x 1, k y 1, kz 1 )= ( k x 1, k y 1, 0)= k (x 1, y 1, 0)= k σ( α).故σ( x , y , z ) = (x , y , 0) 是R 3 中线性变换，称之为R 3 中向xOy 面的投影变换.x y z ( x , y , z )(x , y , 0)0上一页例4在R 2 中，设0≤ θ<2π, 令σ：(x , y )→(x cos θ-y sin θ, x sin θ+ y cos θ)则σ是R 2的一个线性变换.称线性变换σ是绕原点按逆时针方向旋转θ角的旋转变换.xy ( x , y )0θ事实上，由σ( (x , y )+(x 1 , y 1))=σ(x +x 1, y +y 1)证上一页)cos sin ,sin cos (θθθθy x y x k +-=)cos sin ,sin cos (θθθθky kx ky kx +-=),()),((ky kx y x k σσ=).,(),(11y x y x σσ+=)cos sin ,sin cos (θθθθy x y x +-=)cos sin ,sin cos (1111θθθθy x y x +-+)]cos )(sin )(,sin )(cos )[(1111θθθθy y x x y y x x ++++-+=二、线性变换的性质和运算§5 线性变换定理1设T 是V 中的线性变换，则（1）T 把零向量变到零向量，把α的负向量变到α的像的负向量，即T ( 0 ) = 0, T ( -α) = -T (α).（2）T 保持向量的线性组合关系不变，即)(2211s sk k k ααα+++ T = k 1T (α1)+k 2T (α2)+…+k s T (αs )（3）T 把线性相关的向量组变为线性相关的向量组，即若α1, α2, …, αs 线性相关，则T (α1 ), T (α2), …, T (αs )也线性相关.定义2设L(V) 是向量空间V中的全体线性变换的集合，定义L(V)中的加法、数乘与乘法如下：（1）加法：(T+S)α= T ( α) +S (α) ；（2）数乘：(k T)α= k T (α) ；（3）乘法：(T S)α= T (S (α)) ,其中，α∈V，k∈R,T ,S ∈L(V).易验证，T +S，T S 以及k T 都是V 中的线性变换.§5 线性变换三、线性变换的矩阵设V 是一个m 维向量空间,α1,α2,…,αm 是V 的一组基.T 是V 的一个线性变换.(1)T (α1)=a 11α1+ a 21α2 + … a m 1αm ,T (α2)=a 12α1+ a 22α2 + … a m 2αm ,……………T (αm ) = a 1m α1+ a 2m α2 + … a mm αm ,可用矩阵形式表示为：设则设,,2211m m k k k V ααααα+++=∈∀ (k 1α1+k 2α2+…+ k m αm )= k 1T (α1)+k 2T (α2)+…+k m T (αm )因此，若已知基向量α1,α2, …,αm 在线性变换T 下的像，就可知道V 中任意向量在线性变换T 下的像了.= (α1, α2, …, αm )(T (α1), T (α2), …, T (αm ))⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mm m m m m a a a a a a a a a 212222111211A (T (α1), T (α2), …, T (αm ) ) = (α1, α2, …, αm ) A.称矩阵A 为线性变换T 在基α1, α2, …, αn 下的矩阵.记T (α1, α2, …, αm ) = (T (α1), T (α2), …, T (αm ) )则有T (α1, α2, …, αm ) = (α1, α2, …, αm )A因此，取定V 的一组基后，对于V 的线性变换T 有唯一确定的m 阶方阵A 与它对应.T A在给定基下一一对应(1)V 中的全体线性变换组成的集合L (V ) 与全体实m 阶方阵所成集合R m X m 之间存在一一对应关系.注意：(2)线性变换的和、数乘和乘法对应于相应的矩阵之间的和、数乘和乘法.(3)线性变换可逆（即存在V 的一个变换S ，使得TS =E ）当且仅当T 对应的矩阵A 可逆，且T 的逆变换对应的矩阵就是A -1.例2例1R n 中恒等变换E (α) = α在每一组基下的矩阵为n 阶单位阵.R n 中零变换O (α)=0在任意基下的矩阵为零矩阵.R n 中线性变换T (α) = k α,k ∈R . T 在每一组基下的矩阵为数量矩阵k E n .例3求R 3 中的线性变换T (x 1, x 2, x 3)在标准基下的矩阵.T (e 1) = T (1, 0, 0 ) = (a 1 , b 1, c 1) = a 1e 1+b 1e 2+c 1e 3解所以T 在标准基下的矩阵为),,(332211332211332211x c x c x c x b x b x b x a x a x a ++++++=T (e 2) = T (0, 1, 0 ) = (a 2 , b 2, c 2) = a 2e 1+b 2e 2+c 2e 3T (e 3) = T (0, 0, 1 ) = (a 3 , b 3, c 3) = a 3e 1+b 3e 2+c 3e 3.321321321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=c c c b b b a a a A练习求R 2 中旋转变换σ(x , y ) = (x cos θ-y sin θ, x sin θ+ y cos θ)在标准基e 1= (1, 0), e 2= (0, 1)下的矩阵.σ(e 1) = (cos θ, sin θ) = cos θ⋅e 1+ sin θ⋅e 2,,σ(e 2) = (-sin θ, cos θ) = -sin θ⋅e 1+cos θ⋅e 2,,,.cos sin sin cos ),())(),((2121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθe e e e σσ解若设(x , y )的象σ(x , y )在e 1, e 2下的坐标为(x ', y ')则x ' = x cos θ-y sin θy ' = x sin θ+ y cos θ.cos sin sin cos ''⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x y x θθθθ四、象与原象的坐标变换公式设α1,α2, …, αn 是向量空间V 的一组基，线性变换σ在基α1, α2, …, αn 下的矩阵为A. 如果ξ与σ(ξ)在该基下的坐标分别为(x 1, x 2, …, x n ) 和(y 1, y 2, …, y n )，则(3)§5 线性变换得由n n y y y αααξ+++= 2211)(σ),,,(21n ααα =.21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n y y y nn x x x αααξ+++= 2211).()()()(2211n n x x x ασασασξσ+++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n x x x 2121))(,),(),((ααασσσ),,,(21n ααα =.21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x A 将(3)与(4)比较得.2121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x A y y y α的坐σ(α)的坐σ的矩(4)定理2设α1,α2,…,αn 是向量空间V 的一组基，线性变换σ在基α1,α2,…,αn 下的矩阵为A .如果ξ与σ(ξ)在该基下的坐标分别为(x 1,x 2,…,x n )和(y 1,y 2,…,y n )，则.2121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x A y y y例4设σ是R 4的一个线性变换，对∀(x 1,x 2,x 3,x 4)∈R 4,σ(x 1,x 2,x 3,x 4)=(2x 1+x 2,3x 1-x 3,x 3,x 1+x 4),求σ在标准基ε1,ε2,ε3,ε4下的矩阵.σ(ε1) = σ(1, 0, 0, 0) = (2, 3, 0, 1)=2ε1+ 3ε2+ε4,σ(ε2) = σ(0, 1, 0, 0)= (1, 0, 0, 0)=ε1,,σ(ε3) = σ(0, 0, 1, 0) = (0, -1, 1, 0)=-ε2 + ε3,σ(ε4) = σ(0, 0, 0, 1) = (0, 0, 0, 1)=ε4.解因为))(),(),(),((4321εεεεσσσσ.1001010001030012),,,(4321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=εεεε所以σ在ε1, ε2, ε3, ε4下的矩阵为.1001010001030012⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A 上一页定理3设α1,α2,⋯,αm 和β1,β2,⋯,βm 是向量空间V 的两组基.线性变换σ在这两组基下的矩阵分别为A 与B ,从基α1,α2,⋯,αm 到基β1,β2,⋯,βm 的过渡矩阵是C ,则五、同一线性变换在不同基下的矩阵B =C -1AC .§5 线性变换线性变换与矩阵的对应关系是在取定了空间的一组基的情况下建立的.如果取不同的基，同一线性变换对应的矩阵一般是不相同的.于是得B =C -1AC.●●●由 证,),,(),,(2121A m m αααααα =σ,),,(),,(2121B m m ββββββ =σ.),,,(),,(2121C m m αααβββ =),,(21m βββ σ[][]C C m m ),,,(),,,(2121αααααα σσ==AC m ),,(21ααα =.),,,(121AC C m -=βββ (线性变换保持线性关系)定义4设A,B为两个n阶矩阵,如果存在可逆矩阵C,使得B=C-1AC,则称A与B相似,记作A~B.由定理3知线性变换在不同基下的矩阵是相似的;反之,若两矩阵相似,那么它们可以看作同一线性变换在不同基下的矩阵.定理设B=C-1AC,如果线性变换σ在基α1,α2,⋯,αn下的矩阵为A，且则σ在基β1, β2, ⋯, βn 下的矩阵为B.(β1, β2, ⋯, βn) = (α1, α2, ⋯, αn )C.σ基α1, α2, ⋯, αn下Aσ基(β1, ⋯, βn) = (α1, ⋯, αn)CBB = C-1AC.下上一页*相似是矩阵之间的一种关系,它具有下面三个性质:1. 反身性:A~A;2. 对称性:如果A ~B, 则B ~A;3. 传递性:如果A~B, B ~C, 则A~C.例2线性变换σ在基β1, β2下的矩阵为上一页设α1,α2与β1 , β2 是向量空间V 的两组基，由基α1,α2到基β1, β2的过渡矩阵为C ,线性变换σ在基α1,α2下的矩阵为求线性变换σ在基β1, β2下的矩阵B.,2111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=C ,0112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A 解AC C B 1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-2111011221111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11011112.1011⎪⎪⎫ ⎛=定理4设σ是欧氏空间的一个线性变换，则下面几个命题等价：六、正交变换(1) σ是正交变换；§5 线性变换定义5设σ为欧氏空间V 中的线性变换, 如果对于任意的α, β∈V , 都有),,(),(βασβσα=则称σ为V 中的正交变换.(2) σ保持向量的长度不变，即对于任意的;)(,αασα=∈V 的标准正交基；也是的标准正交基，则是如果V V m m )(,),(),(,,,)3(2121ασασασααα (4) σ在任一组标准正交基下的矩阵都是正交矩阵.B =C -1AC .例6定义映射上述映射显然为一个线性变换，σ在标准正交基下的矩阵为(,)(cos sin ,sin cos ).x y x y x y σθθθθ=-+.cos sin sin cos ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθA .,为正交矩阵即且满足A E AA A A T T ==故坐标旋转变换是一个正交变换，它保持向量的长度不变.七、线性变换的特征值与特征向量§5 线性变换给定V 中的一个线性变换σ，是否存在V 的一组基，使σ在此组基下的矩阵为对角矩阵？事实上，的特征向量的属于特征值也是，非零实数的特征向量，则对任意的属于特征值是如果.λσξλσξk k 定义6设σ是向量空间V 的一个线性变换,如果存在实数λ和V 中一非零向量ξ,使得λξξ=)(σ那么λ称为σ的一个特征值, ξ称为σ的属于特征值λ的一个特征向量.1.线性变换的特征值与特征向量的概念例7设σ是数乘变换：σ(α)=λα, α∈V，则λ是σ的特征值，V中非零向量都是σ的属于特征值λ的特征向量.2. 线性变换可对角化的条件定理5设V为m维向量空间，为V中的一个线性变换.那么存在V的一组基，使得σ在这组基下的矩阵为对角矩阵的充要条件是σ有m个线性无关的特征向量.设σ可对角化, 则存在V 的一组基α1, α2, ⋯αm , 使σ在此基下的矩阵为对角形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m Λλλλ 21即σ(α1, α2, …, αm ) = (α1, α2, …, αm )Λ证则mi i i i ,2,1,)(==ααλσ反之,如果σ有m 个线性无关的特征向量,就取它们为基,则σ在此基下的矩阵就是对角形矩阵.因此α1,α2,⋯αm 就是σ的m 个线性无关的特征向量.上一页注意：从以上证明可知，如果线性变换σ在某一组基下的矩阵为对角阵A ，则这组基由σ的特征向量组成，且矩阵A 的对角元就是线性变换σ的特征值.方阵与线性变换是一一对应的，可类似引入方阵的特征值与特征向量的概念.3.矩阵的特征值与特征向量的概念定义1设A 是一个m 阶实方阵, 如果存在实数λ和非零的m 维列向量ξ, 使得λξξ=A 那么λ称为方阵A 的一个特征值, ξ称为A 的属于特征值λ的一个特征向量.（1）设m 阶方阵A 是m 维向量空间V 上线性变换σ在一组基下的矩阵，则λ是σ的特征值的充要条件是λ为矩阵A 的特征值.结论：从线性变换与矩阵的对应关系可得如下结论.设R m 中线性变换σ在基α1, α2, …, αm 下的矩阵为A . 即的特征向量于特征值的属是矩阵是的特征向量的充要条件征值的属于特是线性变换则为下的坐标中非零向量，它在基为..),,,(,,,2121λλσξαααξA X x x x X V Tm m =（2）m 阶矩阵A 可对角化的充要条件是A 有m 个线性无关的特征向量.即m 阶矩阵A 相似于对角矩阵的充要条件是A 有m 个线性无关的特征向量.σ的特征值= A 的特征值ξ= (α1, α2, …, αm ) XA 的属于λ的特征向量σ的属于λ的特征向量练习设R 2 的线性变换σ为σ: (x 1, x 2)→(2x 1+ 4x 2, -x 1),求σ在基α1= (1, -1), α2= (-1, 2) 下的矩阵.上一页σ在标准基ε1, ε2下的矩阵为,0142⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A 而由ε1, ε2 到α1, α2 的过渡矩阵为,2111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=C 解那么σ在α1, α2 下的矩阵为B =C -1AC ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-2111014221111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=211101421112.73135⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=。
第2讲 线性变换
第2讲线性变换第2讲线性变换第2讲线性变换第2谈线性变换内容：1.线性变换2.线性变换的矩阵则表示，特征值与特征向量3.线性变换的值域、核及维持不变子空间线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象，线性空间v中自身到自身的一种线性映射称为v的一个线性变换，线性变换研究线性空间中元素之间的最基本联系．介绍线性变换的基本概念并讨论它与矩阵之间的联系．§1线性变换1线性变换t是v到自身v的定义1.1设v是数域p上的线性空间，一个态射，即为对于v中的任一元素x均存有唯一的y∈v与之对应，则表示t为v 的一个转换或算子，记作t(x)=y,表示y为x在转换t下的象，x为y的原象．若态射t 还满足用户:t(kx+ly)=kt(x)+lt(y)，∀x,y∈v,k,l∈p,表示t为v的线性变换．1.1二维实向量空间r=⎨⎨⎨ξi∈r,i=1,2⎨，将其绕原点转动θ角的操作方式就是一个线性变换．证明：x=⎨⎨ξ1⎨⎨η1⎨⎨η1=ξ1cosθ-ξ2sinθy=t(x)=，,⎨⎨⎨η⎨⎨ξ2⎨⎨2⎨⎨η2=ξ1sinθ+ξ2cosθ⎨η1⎨⎨cosθ⎨η2⎨⎨sinθ-sinθ⎨⎨ξ1⎨∈r2。
可见该操作t⎨⎨⎨cosθ⎨⎨ξ2⎨证明其为线性变换．⎨x⎨⎨z⎨⎨kx⎨⎨lz⎨⎨kx+lz1⎨∀x=⎨1⎨,z=⎨1⎨∈r2,k,l∈r,kx+lz=⎨1⎨+⎨1⎨=⎨1⎨，xzkxlzkx+lz2⎨⎨2⎨⎨2⎨⎨2⎨⎨2⎨⎨2⎨cosθ-sinθ⎨⎨kx1+lz1⎨t(kx+ly)=⎨⎨⎨⎨⎨sinθcosθ⎨⎨kx2+lz2⎨⎨cosθ-sinθ⎨⎨x1⎨⎨cosθ-sinθ⎨⎨z1⎨，=k⎨+l⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨sinθcosθ⎨⎨x2⎨⎨sinθcosθ⎨⎨z2⎨=kt(x)+lt(z)所以,t是线性变换．2几种常用的线性变换把线性空间v的任一向量都变成其自身的转换称作单位转换或并集转换，记作te，即为：te(x)=x,把线性空间v中的任一向量都变为零向量的变换称为零变换，记为t0，即t0(x)=0,∀x∈v．如果t1,t2就是v的两个转换，∀x∈v，均存有t1(x)=t2(x)，则表示转换t1与t2成正比，记作t1=t2．4）满秩（线性）变换若（线性）转换t将所有的线性毫无关系元素组仍转换为线性毫无关系的元素组，则称作八十秩（线性）转换．5）变换的和t1+t2，∀x∈v，(t1+t2)(x)=t1(x)+t2(x)，则t=t1+t2．6）变换的数乘kt：∀x∈v，(kt)(x)=kt(x)．7）负变换：(-t)(x)=-t(x)．8）转换的乘积t1t2：∀x∈v，(t1t2)(x)=t1(t2(x))．9）连分数t-1：∀x∈v，若存有转换s使(st)(x)≡x，则表示s为t的连分数s=t-1．10）变换的多项式：tn=ttt，并规定t0=te;f(t)=∑ant→f(t)=∑ant→f(t)(x)=∑antn(x)．说明：变换的乘积不满足交换律；只有满秩变换才有逆变换，st=te．3线性变换的性质1）线性变换把零元素仍变成零元素2）正数元素的象为原来元素的象的负元素3）线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组．特别注意，线性毫无关系的元素组经过线性变换不一定就是线性并无关的，变换后的情况与元素组和线性变换有关．§2线性变换的矩阵表示、特征值与特征向量非常有限佩线性空间的任一元素（向量）都可以由基元素（向量）唯一线性则表示，元素（向量）可以用座标则表示出，通过座标把线性变换用矩阵则表示出，从而可以把比较抽象化的线性变换转变为具体内容的矩阵去处置．1线性变换的矩阵则表示设t是线性空间vn的一个线性变换，且{x1,x2,,xn}是vn的一个基，x=∑ξixi=[x1，则存在唯一的坐标表示⎨ξ1⎨⎨ξ⎨xn]⎨2⎨,有⎨⎨⎨⎨⎨ξn⎨t(x)=t(ξ1x1+ξ2x2++ξnxn)⎨ξ1⎨⎨ξ1⎨⎨ξ⎨⎨ξ⎨2=[t(x1)t(x2)t(xn)]⎨⎨=t(x1x2xn)⎨2⎨,⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨ξ⎨n⎨⎨ξn⎨要确定线性变换t，只需确定基元素在该变换下的象就可以了．2.1设t(xi)=[x1x2xn]⎨2i⎨，⎨⎨⎨⎨⎨ani⎨⎨a11⎨axn]⎨21⎨⎨⎨an1a12a22an2a1n⎨a2n⎨⎨=[xxx]a，12n⎨t(x1,x2,,xn)=[x1对于任意元素x，在该基下，变换后t(x)的坐标表示为⎨η1⎨⎨ξ1⎨⎨ξ1⎨⎨η⎨⎨ξ⎨⎨ξ⎨t(x)=[x1x2xn]⎨2⎨，即t(x)=t(x1,x2,,xn)⎨2⎨=[x1,x2,,xn]a⎨2⎨,⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨ηξ⎨n⎨⎨n⎨⎨ξn⎨⎨η1⎨可知：⎨2⎨=⎨⎨⎨⎨⎨ηn⎨⎨ξ1⎨⎨ξ⎨a⎨2⎨,即为：x⎨⎨⎨⎨⎨ξn⎨⎨ξ1⎨⎨ξ⎨⎨2⎨，t(x)⎨⎨⎨⎨⎨ξn⎨⎨ξ1⎨⎨ξ⎨a⎨2⎨,把a称作t⎨⎨⎨⎨⎨ξn⎨{x1,x2,,xn}下的矩阵表示．定理2.1设{x1,x2,,xn}就是vn的一个基为，t1、t2在该基下的矩阵分别为a、b．则存有（1）(t1+t2)[x1（2）(kt1)[x1（3）(t1t2)[x1（4）t-1[x1x2xn]=[x1x2xn](a+b)x2xn]=[x1x2xn](ka)x2xn]=[x1x2xn](ab)x2xn]=[x1x2xn]a-1推断2.1设f(t)=∑aiti为纯量t的m次多项式，t为线性空间vn的一个线性变换，且在vn的基{x1,x2,,xn}下的矩阵表示为a，则f(t)[x1x2xn]=[x1x2xn]f(a)，其中f(a)=∑aiai，推论2.2设线性变换t在vn的基{x1,x2,,xn}下的矩阵表示为a，元素x在该基下的坐标为(ξ1,ξ2,,ξn)，则t(x)在该基⎨η1⎨⎨η⎨下的坐标(η1,η2,,ηn)满足⎨2⎨=⎨⎨⎨⎨⎨ηn⎨⎨ξ1⎨⎨ξ⎨a⎨2⎨．⎨⎨⎨⎨⎨ξn⎨定理2.2设t在vn的两个基为{x1,x2,,xn}及{y1,y2,,yn}的矩阵分别为a和b，且[y1则b=c-1ac.y2yn]=[x1x2xn]c，即a和b相近，记作a~b．线性变换在不同基下的矩阵是相似的；反之，如果两个矩阵相似，那么它们可以看成同一个线性变换在两组不同基下的矩阵．定理2.3n阶方阵a和b相近的充要条件就是a和b为同一线性变换在相同基下的矩阵则表示．2特征值与特征向量定义2.2设t是数域p上线性空间v中的线性变换．如果对于数域p中某一数λ,存在非零向量α，使得t(α)=λα则称λ为t的一个特征值，而α称为t的对应于特征值λ的一个特征向量．式(1)说明，在几何上，特征向量α的方位，经过线性变换后维持维持不变．特征向量不是被特征值惟一确认；但是，特征值却被特征向量惟一确认．设x1,x2,,xn是线性空间vn的基，线性变换t在该基下的矩阵表示是a=(aij)．令λ0是t的特征值，属于λ0的特征向量x=ξ1x1+ξ2x2++ξnxn,则由式(1)知t(x)及λ0x的坐标分别是⎨ξ1⎨⎨ξ1⎨⎨ξ1⎨⎨ξ1⎨⎨ξ⎨⎨ξ⎨⎨ξ⎨⎨ξ⎨a⎨2⎨,λ0⎨2⎨，有a⎨2⎨=λ0⎨2⎨，即⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨ξξξ⎨n⎨⎨n⎨⎨n⎨⎨ξn⎨(λ0e-a)⎨2⎨=0,（2）⎨⎨⎨⎨⎨ξn⎨由于x≠0，因此，ξ1,ξ2,,ξn不全系列为零，从而就存有det(λ0e-a)=-a21-an1-a12-an2-a1n-a2n定义2.3设a=(aij)是数域p上的n阶矩阵，λ是参数，称-a12-an2det(λe-a)=为矩阵的特征多项式．它是p上的一个n次多项式．ϕ(λ)的根(或零点)λ0，即ϕ(λ)=0，称作a的特征值(根)；而适当于方程组（2）的非零解向量(ξ1,ξ2,,ξn)t称为a的属于特征值λ0的特征向量．表明：如果λ0就是线性变换的特征值，那么λ0必定就是矩阵a的特征多项式ϕ(λ)=det(λe-a)的一个根；反之，如果λ0就是ϕ(λ)在数域p中的一个根，即为存有ϕ(λ0)=det(λ0e-a)=0,那么齐次线性方程组（2）就存有非零求解．于是非零向量x=ξ1x1+ξ2x2++ξnxn就满足用户式(1)，从而λ0就是t的特征值，所x就是t的属λ0的特征向量．以，欲求线性变换t的特征值和特征向量，只要求出t的矩阵a的特征值和特征向量就行了．换言之，t的特征值与a的特征值相一致，而t的特征向量在vn的基下的坐标(列向量)与a的特征向量相一致．因此，计算特征值和特征向量的步骤如下：第一步：挑定数域p上的线性空间vn的一个基为，写下线性变换t在该基下的矩阵a；第二步：算出a的特征多项式ϕ(λ)在数域p上的全部根，它们就是t的全部特征值；第三步：把求出的特征值逐个代入方程组(2)，求解出来矩阵a属每个特征值的全部线性毫无关系的特征向量．第四步：以a的属每个特征值的特征向量为vn中德博瓦桑县基下的座标，即为得t的适当特征向量．例2.1设线性变换t在v3的基x1,x2,x3下的矩阵是a=212⎨，谋t的特征值和特征向量．求解难求出a的特征多项式就是-2=(λ+1)(λ-5).ϕ(λ)=det(λe-a)=-2因此，t的特征值是λ1=一1(二重特征值)和λ2=5．特征方程(λ1e-a)x=0的一个基础解系为:(1,0,-1)t，(0,1,-1)t,t的属于λ1的t的属λ1的两个线性毫无关系的特征向量为y1=x1-x3，y2=x2-x3，全体特征向量为:k1y1+k2y2,(k1,k2∈p不同时为零)；特征方程(λ2e-a)x=0的一个基础卢播为(1,1,1)t，记y3=x1+x2+x3，则t的属于λ2的全体特征向量为：k3y3，(k3∈p不等于零)．定理2.4对于线性空间vn的线性变换t的任一特征值的属于λ0的全部特征向量，再添上零向量所构成的集={x(x)=λ0x,x∈vn}就是vn的一个线性子空间．事实上，设x,y∈vλ，则有t(x)=λ0x，t(y)=λ0y；于是：t(x+y)=t(x)+t(y)=λ0x+λ0y=λ0(x+y)，t(kx)=k(tx)=k(λ0x)=λ0(kx)，这就是说明x+y与kx均属于vλ．§3线性变换的值域、核及维持不变子空间1线性变换的值域和核定义3.1设数域p上的线性空间vn和vm，t是vn到vm的一个线性态射，t的全体像是共同组成的子集称作t的值域，用r(t)表示，也称为t的像是空间，记作tvn，即为r(t)=tvn=t(α)∈vn⊂vm；所有被t变为零元素（零向量）的元素（向量）形成的子集称作t的核，记作ker(t)或t-1(0)，有时也表示ker(t)为t的零空间，记作n(t)，即为n(t)=ker(t)=α(α)=0,α∈vn⊂vn．当t就是线性变换时，表示r(t)和n(t)分别为线性变换t的值域和核．可以证明，r(t)和n(t)分别是vm和vn的线性子空间．定义3.2称r(t)的维数dimr(t)为线性变换t的秩，记为r(t)；表示n(t)null(t)．的维数dimn(t)称为线性变换t的零度，记为⎨110⎨⎨3.1设t(x)=ax,a=110⎨，求t解令a={a1,a2,a3},x=(x1,x2,x3)t，其中a1=(1,1,0);a3=(0,0,1)r(t)={x1a1+x2a2+x3a3}=span(a1,a3)，ax=0的x=(1,-1,0)t=kα，故n(t)=span{α}.2线性变换的不变子空间定义3.3如果t就是线性空间v的线性变换，v1就是v的子空间，并且对于任一一个x∈v1，都存有t(x)∈v1，则表示v1就是t的维持不变子空间．定义3.4以cm表示全体m维复向量在复数域c上构成的线性空间，a为m⨯n复矩阵，其列(向量)为α1,α2,,αn．显然，αi∈cm，i=1,2,,n．子空间span(α1,α2,,αn)称为矩阵a的列空间(值域)，记作r(a)，即r(a)=s pan(α1,α2,,αn)．a=(α1,α2,,αn)y=(y1,y2,,yn)∈cnr(a)=ayy∈cn似乎，a的秩等同于a的值域的维数，即rank(a)=dimr(a)．定义3.5设a为m⨯n为丛藓科扭口藓矩阵，表示线性方程组ax=0在复数域上的求解空间为n(a)={xax=0}.的化零空间(核)，记作n(a)，即为显然，n(a)是cn的一个子空间，称n(a)的维数为a的零度，即null(a)=dimn(a).定理3.1（1）dimr(t)+dimn(t)=dimvn（2）dimr(a)=rank(a)（3）dimr(a)+dimn(a)=n，n为a的列数．基准3.2设a=⎨⎨⎨,求null(a)．1-13⎨⎨求解由ax=0Champsaurx=k(-5,1,2)t，故null(a)=1．定理3.2设a为m⨯n矩阵，则rank(a)+null(a)=n．证明因为齐次线性方程组ax=0的求解空间的维数(基础卢播涵盖的线性毫无关系向量的个数)为n-rank(a)，故上式设立．下面给出怎样利用不变子空间的概念将线性变换的矩阵简化为简单的准对角矩阵或对角矩阵．假设s={α1,α2,,αk}就是t的维持不变子空间w的一个基为，可以将s扩充为v的一个基s={α1,α2,,αk,αk+1,,αn}．t是v上的一个线性转换．对s中的每个基为向量αj,t(αj)∈w，可以则表示成t(α1)=a11α1++ak1αkt(αk)=a1kkα1++akkαkt(αk+1)=a1k+1α1++akk+1αk+ak+1k+1αk+1++ank+1αnt(αn)=a1nα1++aknαk+ak+1nαk+1++annαn⎨a11⎨⎨⎨ak1线性变换t在基s下的矩阵就是a=⎨⎨0⎨⎨⎨⎨0a可以分块译成a=0a12⎨⎨.a22⎨⎨akk+1ak+1k+1ank+1⎨，ak+1n⎨⎨⎨ann⎨⎨定理3.3如果v1⊕v2=v，并且v1，v2就是t的两个维持不变子空间，即t(v1)⊆v1，t(v2)⊆v2．则线性变换t的矩阵为依据对角形0⎨⎨.⎨a22⎨特别地，若所有vi都就是一维子空间时，则矩阵a精简为对角矩阵a=diag(a1,a2,,an)=⎨⎨⎨.⎨⎨an⎨⎨定理3.4设t是线性空间vn的线性变换,λ1,λ2,,λn是t的全部不同的特征值,则t在某一基下的矩阵为对角矩阵的充分必要条件是dimvλ1+dimvλ2++dimvλn=n.可知，线性变换t的矩阵简化为一个准对角矩阵(或对角矩阵)与线性空间vn可分解为若干个不变子空间的直和是相当的．。
1.4 线性变换
例1.32 取
1 0 E11 0 0
0 1 E12 0 0
E 21 0 0 1 0
0 0 E 22 0 1
1 1 为线性空间R22的一组基，设 A 1 ，在R 22上定 1
（5）设线性空间V中任一个向量与其T()象在基
1 , 2 ,L , n 下的坐标分别为
X x1 , x2 , L , xn 与 Y y1 , y2 , L , yn ，则
T
T
Y=AX. 这就是线性变换的坐标变换公式即
。
y1 x1 y2 x2 A M M yn xn
（4）可逆变换：对变换T1，若存在变换T2，使得 T1T2=T2 T1=I（恒等变换）， 则称T1为可逆变换，T2是T1的逆变换，记为T2=T1
-1
关于线性变换的运算，有以下几点值得一提： （1）上述线性变换运算的结果仍是线性空间V上的 线性变换（可以证明）； （2）线性变换T可逆的充分必要条件是T为一一对 应的（可以证明）； （3）若线性变换T可逆，则其逆变换是唯一的（可 以证明）； （4）线性变换的乘法一般不满足交换律，即 T1T2≠T2 T1 （5）对线性变换T，当n个T相乘时，常用T的n次 644 n 44 8 47 4 幂来表示，即 T n T T L T
T 1, 2 ,L , n 1, 2 ,L , n A
a11 a12 L a1n 其中 a21 a22 L a2 n A M M O M an1 an 2 L ann 则n阶矩阵A就称为线性变换T在基
1 , 2 ,L , n 下的矩
线性变换
(A ) ( k ) = A (B ( k ) ) = A ( k B ( ) ) = k A (B ( ) )
= k (A B ) ( ) .
五、线性变换的多项式
下面引进线性变换的多项式概念. 1. 线性变换的幂
既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线 性变换 A 重复相乘时，其最终结果是完全确定的, 与乘积的结合方式无关. 因此当 n 个( n 是正整数) 线性变换 A 相乘时，我们就可以用
A A ... A n个
33 来表示，称为 A 的 n 次幂.
任意线性变换 A 都有
21
AE=EA =A .
二、线性变换的加法
1. 定义 定义3 设 A , B 是线性空间 V 的两个线性变 换，定义它们的和 A + B 为
(A + B ) ( ) = A ( ) + B ( ) ( V ) .
2. 性质 性质 1 线性变换的和是线性变换.
22
证明 设 A , B 是线性空间 V 的两个线性变换.
20 所以 A B 是线性变换.
性质 2 结合律 (A B )C = A (BC ) . 注意：线性变换的乘法一般不满足交换律.
例，实数域 R 上的线性空间 C1[ x ] ，线性变换
D(f(x))=f(x),
x
I (f(x)) f(t)dt 0
的乘积 DI =E ，但一般 I D E .
对于乘法，单位变换 E 有特殊的地位. 对于
这时，指数法则可以推广到负整数幂的情形.
34
注意 线性变换乘积的指数法则不成立， 即， 一般来说
线性变换
例2: 线性空间V中的零变换O: O()=0是线性变换. 证明: 设, V, 则有 O(+ ) = 0 = 0 + 0 =O()+O( ), O(k) = 0 = k0 = kO(). 所以, 零变换O是线性变换. 注意: 零变换中对应的元素必须是空间的零元0. 例3: 由关系式 x cos sin x x cos y sin T y y sin cos x sin y cos 确定xoy平面上的一个变换, 说明T的几何意义. 解: 先证明变换T是线性变换. 设 cos sin x1 x2 A , p1 , p2 , sin cos y1 y2 则 T(p1+p2)=A(p1+p2)=Ap1+Ap2=T(p1)+T(p2),
显然, T(A)B. 变换概念是函数概念的推广. 2. 从线性空间Vn到Um的线性变换 定义: 设Vn, Um分别是实数域R上的n维和m维线 性空间, T是一个从Vn到Um的变换, 如果变换T满足: (1) 任给1, 2Vn , 都有 T(1+2)=T(1)+T(2); (2) 任给Vn , kR, 都有 T(k)= kT(). 则称T为从Vn到Um的线性变换. 说明: 线性变换是保持线性空间的线性组合(运算) 的对应关系的变换. 一般用黑体大写字母T, A, B等代表线性变换, T() 或T代表元素在变换T下的象.
二、线性变换的性质
以下设T为线性空间Vn的线性变换. 1. T(0)=0, T(–)=–T(). 实际上, T(0)=T(0)=0T()=0; T(–)=T((–1))=(–1)T() =–T(). 2. 若 =k11+k22+· · · +kmm , 则 T =k1T1+k2T2+· · · +kmTm . 此性质表明: 线性变换对线性组合保持不变. 3. 若1, 2, · · · , m 线性相关, 则T1, T2, · · · , Tm 亦线性相关. 利用性质2即可证明. 注意: 若1, 2, · · · , m 线性无关, 则T1, T2, · · · , Tm不一定线性无关.
工程数学第六章 线性变换
工
程
数
学
例5. 下列变换：
σ1:(a1, a2, …, an) →(a1, 0, 0, …, 0); σ2:(a1, a2, …, an) →(a1, a2, a3, …, an−1, 0); σ3:(a1, a2, …, an) → k(a1, a2, a3, …, an); σ4:(a1, a2, …, an) → ( ∑ b1 j a j , ∑ b2 j a j ,L, ∑ bnj a j )
= k1σ (α1 ) + k 2σ (α 2 ) + L + k sσ (α s );
(3) 若α1, α2, …, αs 线性相关，则 σ (α1 ), σ ( α2), …, σ ( αs)也线性相关.
第六章
工
程
数
学
§2 线性变换和矩阵
R2 中变换σ (x, y)=(2x+y, x−3y) 是一个线性变换.
x' cosθ = y ' sin θ
象的坐标
− sin θ x cos θ y
原象的坐标 第六章
工
程
数
学
二、象与原象的坐标变换公式
设 ξ∈V, ξ 在基α1, α2, …, αn下的坐标为(x1, x2, …, xn ), 设 σ (ξ )在基 α1, α2, …, αn下的坐标 为 (y1, y2, …, yn ), 则
y1 y2 M =A y n
σ(α)
的 坐 标
x1 x2 M x n
α
的 坐 标 第六章
σ
的 矩 阵
工
程 定理1 定理
线性变换的定义和性质
汇报人：XX
• 线性变换的基本概念 • 线性变换的基本性质 • 线性变换的矩阵表示 • 线性变换的应用举例 • 线性变换与空间结构的关系
01
线性变换的基本概念
定义与性质
线性变换定义
保持原点不动
保持向量共线性
保持向量比例不变
线性变换是一种特殊的映射， 它保持向量空间中的加法和数 乘运算的封闭性。即对于向量 空间V中的任意两个向量u和v 以及任意标量k，都有 T(u+v)=T(u)+T(v)和 T(kv)=kT(v)。
矩阵性质
线性变换的矩阵表示具有一些特殊的性质。例如，两个线性变换的复合对应于它们矩阵的乘积；线性变换的可逆 性对应于矩阵的可逆性；线性变换的特征值和特征向量对应于矩阵的特征值和特征向量等。
02
线性变换的基本性质
线性变换的保线性组合性
线性组合保持性
对于任意标量$a$和$b$，以及向量 $mathbf{u}$和$mathbf{v}$，线性 变换$T$满足$T(amathbf{u} + bmathbf{v}) = aT(mathbf{u}) + bT(mathbf{v})$。
通过引入复数和极坐标等 概念，可以将某些函数图 像进行旋转。
微分方程中的线性变换
变量代换
通过适当的变量代换，可以将某些非线性微分方 程转化为线性微分方程，从而简化求解过程。
拉普拉斯变换
将时间域内的微分方程通过拉普拉斯变换转换到 频域内，从而方便求解和分析。
傅里叶变换
将时间域内的函数通过傅里叶变换转换到频域内 ，可以分析函数的频率特性和进行滤波等操作。
数乘保持性
对于任意标量$k$和向量$mathbf{v}$，线性变换$T$满足$T(kmathbf{v}) = kT(mathbf{v})$。
线性变换
(3) 特征值是由特征向量唯一确定的。
线性变换
§4 特征值与特征向量
二、求特征值与特征向量的方法
定义2 设A=(aij)n×n是数域P上的n阶矩阵， 是一个文字，矩阵
E A 的行列式 - a11 - a12 - a1n
f () | E A | - a21 - a22 - a2n
线性变换的数量乘法满足以下运算规律：
(1) (kl)A = k(lA) (2) (k+l)A = kA + lA (3) k(A + B) = kA + kB (4) 1A = A
结论3 设V是数域P上的线性空间，L(V)对以上定义的加法和 数量乘法也构成数域P上的一个线性空间。
线性变换
§2 线性变换的运算
例2 在P 3中，下面定义的变换 A 是否为线性变换。 (1) A(x1, x2 , x3 ) (x1 x2 , x2 x3, x3 x1) (2) A(x1, x2 , x3 ) (1, x1x2 x3,1)
(3) A(x1, x2 , x3 ) (0, x1 x2 x3, 0) (4) A(x1, x2 , x3 ) (x12 , x2 x3, x32 )
线性变换
§1 线性变换的定义
例1 判断下列所定义的变换 A 是否为线性变换。 (1) 在线性空间V中，A x = x+a，a为V中一固定向量； (2) 在线性空间V中，A x = a，a为V中一固定向量； (3) 在P [x]中，A f (x) = f (x+1) ； (4) 在P [x]中，A f (x) = f (x0)，x0为P中一固定数；
线性变换
四、线性变换的多项式
§2 线性变换的运算
线性变换
例1. 设V是数域P上的线性空间,c是数域P中的一个常 数，定义变换
LINEAR LINEAR ALGEBRA ALGEBRA
A : ∀α ∈ V Aα = cα
则 A为V的一个变换。通常称为数乘变换 。 当 c = 1 时，称上面的数乘变换为恒等变换。并记为 ε 当 c = 0 时，称上面的数乘变换为零变换。并记为θ
LINEAR LINEAR ALGEBRA ALGEBRA
第六章
线
性
变
换
西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组
2006年制作
第六章 线性变换 线性变换
LINEAR LINEAR ALGEBRA ALGEBRA
内容
1．线性变换的概念 线性变换的概念 2．线性变换与矩阵 线性变换与矩阵 3．线性变换的特征子空间﹑值域和核 线性变换的特征子空间﹑ 线性变换的特征子空间 4．欧氏空间的正交变换和对称变换 欧氏空间的正交变换和对称变换
西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组
2006年制作
二、线性变换与矩阵 线性变换与矩阵
（2）
LINEAR LINEAR ALGEBRA ALGEBRA
由
x1 x1 + x2 A1 x2 = x3 有： x x 3 1 2 2 3 A1α1 = 0 , A1α 2 = 0 , A1α 3 = 1 2 1 1
西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组
2006年制作
一、线性变换的概念 线性变换的概念
例2 . 设 V = P[ x]是实数域R上的全体一元实系数多项 式组成的实线性空间，定义微分变换
LINEAR LINEAR ALGEBRA ALGEBRA
第七章 线性变换
第七章 线性变换一. 内容概述1. 线性变换的概念设n V 是n 维线性空间，T 是n 维线性空间n V 中的变换，且满足1） 对任意向量n V ∈βα,,有 )()()(βαβαT T T +=+ 2） 对任意向量F k V n ∈∈,α,有)()(ααkT k T =则称为中的线性变换。
2. 线性变换的性质及运算1)0)0(=T )()(ααT T -=-2) )()()()(22112211n n n n T k T k T k k k k T αααααα+++=+++ΛΛ3）设向量组n ααα,,,21Λ线性相关，则向量组)(),(),(21n T T T αααΛ也线性相关。
线性变换的和：)()())((2121αααT T T T +=+ 线性变换的积：))(())((2121ααT T T T = 数乘变换：)())((αλαλT T = 线性变换T 可逆时，逆变换1-T都是线性变换。
线性变换的多项式：0111)(a a a a f m m m m ++++=--σσσσΛ 3. 线性变换的矩阵设σ是V 的一个线性变换，n εεε,,,21Λ是V 的一个基，且n n a a a εεεεσ12211111)(+++=Λn n a a a εεεεα22221122)(+++=ΛΛΛΛΛn nn n n n a a a εεεεσΛ++=2211)(记))(),(),((),,,(2121n n εσεσεσεεεσΛΛ=A n n n ),,,())(,),(),((),,,(212121εεεεσεσεσεεεσΛΛΛ== 则称A 为线性变换σ在基n εεε,,,21Λ下的矩阵。
4. 设n εεε,,,21Λ是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，在这组基下，每个线性变换按公式)(*对应一个n n ⨯矩阵，这个对应具有以下性质：1） 线性变换的和对应与矩阵的和； 2） 线性变换的积对应与矩阵的积；3） 线性变换的数量乘积对应与矩阵的数量乘积；4） 可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对于与逆矩阵。
线性变换
( 2 ) (0,1,0) (0,1,1)
( 3 ) (0,0,1) (0,0,0)
1 0 0 ( 1 , 2 , 3 ) ( 1 , 2 , 3 ) 0 1 0 1 1 0
第七章 线性变换
30
例2. 设 1 , 2 ,, m ( m n)为n维线性空间V的子空
第七章 线性变换
18
一、 线性变换的乘积
1．定义
设 , 为线性空间V的两个线性变换，定义它们 的乘积 为： , V 则 也是V的线性变换.
第七章 线性变换
19
例1. 线性空间 R[ x] 中，线性变换
D f x f x
6
第七章 线性变换
7
第七章 线性变换
8
一、 线性变换的定义
二、 线性变换的简单性质
9
一、 线性变换的定义
设V为数域P上的线性空间，若变换 : V V 满足： , V , k P
k k
1, 2 ,, n
(Ⅰ ) (Ⅱ )
1 ,2 ,,n
下的矩阵分别为A、B，且从基(Ⅰ) 到基(Ⅱ)的过渡 矩阵矩阵是X，则
B X 1 AX .
第七章 线性变换
35
证：由已知，有
1, 2 , , n 1 , 2 , , n A,
2．线性变换保持线性组合及关系式不变，即 若 k11 k2 2 kr r , 则 k1 1 k2 2 kr r . 3．线性变换把线性相关的向量组变成线性相关 的向量组.
第七章 线性变换
高等代数第七章线性变换
高等代数第七章线性变换一、定义：变换：线性空间V到自身的映射通常称为V的一个变换线性变换=线性映射+变换更准确地说线性变换的特点就是满足线性性以及定义域和陪域都是同一个线性空间*这里说的陪域是丘维生的高等代数里提出的一个概念，与值域的每一个自变量都有因变量相对应不同的是陪域包含自变量没有因变量相对应的情况这样解释是为了类比：同构映射=线性映射+双射也就是说同构映射的特点是满足线性性以及每一个自变量都有一个因变量相对应下面引出线性变换的准确定义线性变换：如果对于V中任意的元素 \alpha,\beta和数域P 中任意数k，都有\sigma(\alpha+\beta )=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta) ，\sigma(k\alpha)=k\sigma(\alpha) 则称线性空间V的一个变换 \sigma 称为线性变换。
二、线性变换的矩阵所有线性变换的全体可以通过选取V的一组基与所有矩阵的全体建立一一对应的关系，将几何对象和代数对象建立转化。
只要取一组足够好的基，就可以得到足够好的矩阵。
某些特殊情况下，矩阵可以取成对角阵，就称线性变换可以对角化，不可对角的矩阵可以写成若尔当块的形式，则选取的基就为循环基，当做不到选取循环基时就只能上三角化或者下三角化。
三、矩阵的相似1.定义Ⅰ.①相似的定义： A,B\in P^{n\times n} ，若存在可逆矩阵 P ，使得 P^{-1}AP=B ,则称A与B是相似的②相似的标准型：若尔当标准型Ⅱ.类比合同（相抵）：本质是初等变换①合同的定义： A,B\in P^{n\times n} 若存在可逆矩阵P ，使得 PAQ=B ,则称A与B是合同的②合同的标准型：PAQ=\left( \begin{array}{cc} E_{r}&0\\ 0&0 \end{array} \right),r=r(A),E(r)=\left( \begin{array}{cc} 1&&\\ &1 &\\ &...\\ &&1 \end{array} \right)_{r\times r}③性质：若 A\sim B ，则 \left| A \right|=\left| B \right| ,r(A)=r(B)若A\sim B ，则 A,B 的特征多项式相同，极小多项式相同若 A\sim B ，则 A'\sim B'*根据定义有 P^{-1}AP=B ，两边同时转置： P'A'(P')^{-1}=B' ,则 A'\sim B'若 A\sim B ，A可逆，则 A^{-1}\sim B^{-1}若 A\sim B ，则 A^{k}\sim B^{k}若 A\sim B ， f(x)\in k[x] （f(x)是数域K上的多项式）则 f(A)\sim f(B) (A与B的多项式相似）*多项式的形式是 f(x)=x^{k}+x^{k-1}+...+x+m ,由A^{k}\sim B^{k} ，则 f(A)\sim f(B)若 A\sim B，则 A^{*}\sim B^{*} (A的伴随矩阵相似于B的伴随矩阵）四、矩阵的特征值和特征向量1.定义：对于矩阵A，若存在 x\ne0 (非零向量）， x\inK^{n} ,s,t, Ax=\lambda x ，则称 \lambda 是 A 的一个特征值， x 是 \lambda 对应的特征向量2.求特征值、特征向量①求解特征多项式f(\lambda)=\left| \lambda E_{n} -A\right|=0\Rightarrow\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n} 为特征值②求 (\lambda_{i} E_{n} -A)x=0\Rightarrowx_{1},x_{2},...,x_{n} 为特征向量3.性质：若矩阵A的特征值为 \lambda_{1},...,\lambda_{n}① tr(A)=\lambda_{1}+...+\lambda_{n} （ tr(A) 为矩阵的迹：对角线元素之和为矩阵特征值之和）② \left| A\right|=\lambda_{1}\lambda_{2}...\lambda_{n}③哈密顿-凯莱定理：特征多项式一定是零化多项式f(\lambda)=\left| \lambda E_{n}-A \right|,f(A)=0*零化多项式： f(x)\in k[x] （ f(x) 是数域K上的多项式）,若 f(A)=0 则称 f(x) 是 A 的零化多项式eg. f(x)=x^2-3x+1 则有 A^2-3A+E_{n}=0④若 f(A)=0\Rightarrow f(\lambda)=0eg. A^2-3A+E_{n}=0\Rightarrow\lambda^2-3\lambda+1=0则根据④若矩阵A的特征值为\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n}\Rightarrow A^{-1} 的特征值为\frac{1}{\lambda_{1}},\frac{1}{\lambda_{2}},...,\frac{ 1}{\lambda_{n}}\Rightarrow aA 的特征值为a\lambda_{1},a\lambda_{2},...,a\lambda_{n}\Rightarrow A^{k} 的特征值为\lambda_{1}^k,\lambda_{2}^k,...,\lambda_{n}^k五、矩阵A可对角化的判别办法① A_{n\times n} 可对角化 \Leftrightarrow n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量设 \lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{s} 是两两不同的特征值②A可对角化 \LeftrightarrowdimV_{\lambda_{1}}+dimV_{\lambda_{2}}+...+dimV_{\lambd a_{s}}=n③（充分但不必要条件）A的特征多项式无重根 \Rightarrow A可对角化六、不变子空间定义：W是线性空间V的子空间，线性变换 \sigma：V\rightarrow V ，若 \sigma(W)\subseteq W ，则称W是\sigma 的不变子空间利用定义求不变子空间。
线性的变换
一、线性变换的概念§1.3 线性变换. () K V T V V T V β αT T αβT ααββα=定义对数域上的线性空间，如果通过某个规则，使得中任一向量与中一个由完全确定的向量对应，那么，这个对应规则称为的一个变换.称为在变换下的，记作：，称为在变换像下的原像..变换的概念是函数概念的推广121212 V (1), ()()()(2) (. 1)()V T T V T T T V k K T k kT T V ααααααααα∀∈+=+∀∈∈=设是数域K 上的线性空间，为的一个变换，如果变换满足：，有，，有那么，就称为线性空线间定的义性变换。
(1) (2) , , .T A B 说明：线性变换就是性质的变换；一保持线般用大写字母表示运算线性变换性K[](11.) x D 例在线性空间中求导运算是一线性变换323210332321032232132132332211002332K[] K[] 32 32()[()() ()()]3()2(a x a x a x a x b x b x b x b x D a x a x a D b x b x b D D a b x a b xa b x a b a b x a b ∀=+++∈=+++∈=++=++∴+=+++++++=+++p q p q p q 21122321321) ()(32)(32)x a b a x a x a b x b xb D D ++=++++=+p q(2) ()1, .() 1 112 ()T T T T T T T T =+=+=+=+≠+p p q p q p q p q如果那么是一个变换，但不是一个线性变换这是因为所以3232102321 ()[]32 D k D ka x ka x ka x ka ka x ka x ka kD =+++=++=p p.2.( V K k K V S S k V S V ααα=∈设是数域上的线性空间，是中某个数，定义的变换如下：）（）所以是上的线性变数换，常称为乘变换例() ().() .().E E E E E E k k kE =∈∀∈+=+=+==例V V V 线性空间中的恒等变换或称单位变换：，是线性变换这是因为、恒有所以恒等变换是线性变换ααααβαβαβαβαααO O() O()O O , O()O 0V 00ααβαβααααk k =∀∈+==+==线性空间中的零变换：是线性变换。
高等代数.第七章.线性变换.课堂笔记
第七章 线性变换§7.1 线性变换的定义与判别一、线性变换的定义：定义1 设V 为数域P 上线性空间，A 为V 的一个变换(即V ⟶V 的映射)，若A 保持加法和数乘运算，即A (α+β)=A (α)+ A (β),∀α,β∈V ，A (kα)=k A (α),∀k ∈P ，则称A 为V 的一个线性变换.注记： 以后我们用花体拉丁字母A,B,C,...表示V 的线性变换，除了特别说明外，本章节中V 均指数域P 上有限维线性空间.例1.说明下列变换均为线性变换： (1)把V 中任一向量都映射为0（称为零变换，记作0）； (2)把V 中任一向量α映射为本身（恒等变换，记作E ）； (3)取定k ∈P ，把V 中的每一个向量α映射为kα（数乘变换，记作k ）.例2.判定下列规则σ是否为指定线性空间的线性变换： (1)ℝ,x -:σ(f (x ))=f′(x );(2)C ,a,b -: σ(f (x ))=∫f (t )dt x0;(3)P n×n : σ(A )=A +A ′,σ2(A )=SAT ，S,T 为固定二个n ×n 矩阵. (4)ℝ,x -n : σ1(f (x ))=xf (x ),σ2(f (x ))=f (x )+1. 解：可验证(1)-(3)均为线性变换，下面证明(1)： ∀ f (x )∈ℝ,x -，其导函数唯一确定，且f (x )∈ℝ,x -，因而σ为V ⟶V 的变换，即V 的一个变换，σ(f (x )+g (x ))=(f (x )+g (x ))′=f ′(x )+g ′(x )= σ(f (x ))+ σ(g (x )), ∀k ∈ℝ,σ(kf (x ))=(kf (x ))′=kf ′(x )=kσ(f (x )).(4): σ1与σ2均不是线性变换，取f (x )=x n−1+1=ℝ,x -n ，但σ1(f (x ))=xf (x )=x n +x ∉ℝ,x -n ， 因而σ1不是ℝ,x -n 的一个变换， σ2是ℝ,x -n 的一个变换，但运算不保持，因而不是线性变换.习题：P320、1例3.设α为通常几何空间ℝ3中固定的向量，把空间中每个向量η映射为η在α上的内映射（正投影），即Πα: η⟶(α∙η)(α∙α)α是ℝ3的线性变换，这里(α∙η),(α∙α)表示通常向量的内积.证：如图，Πα(η)=OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =ηcos (η∙α)α|α|=(α∙η)(α∙α)α，唯一确定， 从而Πα为ℝ3的一个变换，如图，AC ⊥W(垂足为C)，OCD LA Wα1α2η因此L 与W 为ℝ3的子空间且ℝ3=W ⊕L ，令 η=α1+α2,α1=OD⃗⃗⃗⃗⃗ =Πα(η),α2∈W , δ=β1+β2,β1=Πα(δ)∈L,β2∈W ，则η+δ=(α1+β1)+(α2+β2),α1+β1∈L,α2+β2∈W ， 从而Πα(η+δ)=α1+β1=Πα(η)+Πα(δ)， 同理，Πα(kη)=kΠα(η).二、线性变换的性质： 设A 为V 的线性变换，则： (1) A (0)=0, A (−α)=−A (α),∀α∈V ; (2) A (k 1α1+k 2α2+⋯+k t αt )=k 1A (α1)+k 2A (α2)+⋯+k t A (αt ); (3) A 把线性相关的向量组映射为线性相关的向量组（反之不真）.2011-04-02A : V ⟶V 线性变换性质： (3) A 为V 中线性相关的向量组，映为V 中线性相关的向量组，即α1,α2,…,αs 相关⟹A (α1), A (α2),…, A (αs )相关;但A (α1), A (α2),…, A (αs )线性相关⇒α1,α2,…,αs 相关. 如A =0,∀ α∈V,α≠0, A (α)=0.(4)设α1,α2,…,αn 为V 的一个基，∀ α∈V,α=x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn ⟹A (α)=A (x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn ) 线性变换A 由V 中一个基中的像唯一确定;(5)设α1,α2,…,αn 为V 的一个基，则对V 中任一向量组β1,β2,…,βn 必存在一个线性变换 A : V ⟶V ，使得：A (αi )=βi ,1≤i ≤n ;证：作V ⟶V 映射：A (α)= x 1β1+x 2β2+⋯+x n βn ，其中：α=x 1β1+x 2β2+⋯+x n βn ,则A (αi )=βi ,1≤i ≤n ; 下证：A 为V 的线性变换：∀ α=x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn ∈V,β=y 1α1+y 2α2+⋯+y n αn ∈V,A (α+β)= A .(x 1+y 1)α1+(x 2+y 2)α2+⋯+(x n +y n )αn /=(x 1+y 1)β1+(x 2+y 2)β2+⋯+(x n +y n )βn=(x 1β1+x 2β2+⋯+x n βn )+(y 1β1+y 2β2+⋯+y n βn ) = A (x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn )+ A (y 1α1+y 2α2+⋯+y n αn )= A (α)+A (β)同理，∀k ∈P ，A (kα)=k A (α).§7.2 线性变换的运算为方便，引入记号：Hom (V,V )，它表示数域P 上线性空间V 的所有线性变换的集合。
线性变换
⎛ y1 ⎞
,εn
)
⎜ ⎜
y2
⎟ ⎟
.
⎜⎝ yn ⎟⎠
又
σ (ξ ) = (σε1,σε 2,
⎛ x1 ⎞
,σε
n
)
⎜ ⎜
x2
⎟ ⎟
=
(ε1,ε
2
,
⎜⎝ xn ⎟⎠
⎛ x1 ⎞
,ε
n
)
A⎜⎜
x2
⎟ ⎟
⎜⎝ xn ⎟⎠
∴ (ε1,ε 2 ,
⎛ y1 ⎞
,εn
)
⎜ ⎜
y2
⎟ ⎟
=
(ε1,ε 2 ,
⎜⎝ yn ⎟⎠
例V = R2 (实数域上二维向量空间)，把V中每
一向量绕坐标原点旋转 θ 角，就是一个线性变换，
用Tθ 表示，即
( ) ( ) Tθ : R2 → R2,
x y
x′ y′
( ) ( )( ) 这里，
x′ y′
=
cosθ sinθ
− sinθ cosθ
x y
易验证：∀α , β ∈ R2 , ∀k ∈ R
于是 Ak = XBk X −1.
( )( ) ( ) ∴
Ak =
1 −1 −1 2
1 1 k 1 −1 −1 0 1 −1 2
( )( )( ) ( ) =
1 −1 −1 2
1k 01
2 1
1 1
=
k +1 −k
k −k + 1
.
例. 在线性空间 P 3 中，线性变换 σ定义如下： ⎧⎪⎨⎪⎩σσσ(η((ηη312)))===(((−−05,5,−,−011,,,369))) ,
高等代数线性变换解析
(3)
A ( BC ) = ( A B )C
(4) k( AB ) = ( kA )B = A ( kB ) 例1 在R 2中，设A(x, y)=(y, x)，B(x, y)=(0, x)，则A, B是R2中的 线性变换，求A + B，AB，BA，3A-2B。
线性变换
§2 线性变换的运算
三、可逆的线性变换
A m n A m A n ,
(A m )n A mn ,
m, n N
若A是可逆的，则以上法则对任意整数m，n都成立。
注意： 由于线性变换的乘法不满足交换律，故( AB ) ≠ A B 。
n
n n
线性变换 定义5 设
§2 线性变换的运算
f ( x) an xn an1xn1 a1x a0 P[ x]
线性变换
§3 线性变换的矩阵
定理2 设 1 , 2 ,, n 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一组基，
A, B∈L(V), 且 A, B 在这组基下的矩阵分别为A和B，则在该 组基下： (1) A + B 的矩阵是 A+B；
(2) AB 的矩阵是 AB； (3) kA 的矩阵是 kA； (4) 若A 是可逆的，则矩阵 A 也可逆，且A-1的矩阵是A-1。
矩阵的相似性是由 线性变换所决定的
则 B 为线性变换 A 在基 1 ,2 ,,n 下的矩阵。 A A
1 , 2 ,, n
A可逆的充要条件是它在 一组基下的矩阵A可逆
例5 设 V是数域P上的n维线性空间，则L(V)与P n×n同构。
例6 设 A1，A2是 n 维线性空间 V 的两个线性变换，证明： A2V⊂A1V 的充要条件是存在线性变换 A 使得 A2=A1A 。
6.3 线性变换
20
四. 线性变换的矩阵 定义6.14 设 1 , 2 , , n 是线性空间V 的一组基
T 是V上的一个线性变换，若有 n 阶矩阵 A，使
(1 , 2 , , n ) A 则称矩阵A为线性变换T在基 1 , 2 , , n 下的矩阵. 注 (1) 线性变换T在基 1 , 2 , , 下的矩阵 A的第i列 n 是基 1 , 2 , , n 的像在基下的坐标；
(3)T ( k11 k2 2
m
km m ) T ( ki i )
i 1
m
ki T ( i );
(4)因为1 , 2 , 零的数 k1 , k2 ,
i 1
,km ，使得
, m 线性相关，所以存在不全为 km m kmT ( m ) T ( )
7
k11 k2 2
用T作用于上2 )
因为 k1 , k2 ,
,km 不全为零，所以
T1，T 2， ，T m 线性相关.
注 性质（4）的逆命题不一定成立. 即
T1，T 2， ，T m 线性相关, 1 , 2 ,
也可能线性无关.
与恒等变换.
例3 对给定的 n 阶实方阵A，在n维实向量空间Rn上, 定义变换TA：
X R n , TA ( X ) AX
其中X是n维列向量. 证明：TA是Rn的一个线性变换. 证 因为 X Rn , AX Rn 所以 TA是R n上的一个变换.
又因为 X 1，X 2 R n，k R，有
记作T -1. 容易证明：线性变换的和、乘积、数乘、可逆变换的 逆变换仍然是线性变换.
18
例7 在R3中，定义线性变换T1，T2为
x1 x1 x2 x1 x1 x2 1 T1 x2 x2 ,T2 x2 x2 , 2 3 x x x x 3 3 3 3
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第七章线性变换
计划课时：24学时.( P 307—334)
§7.1 线性变换的定义及性质（2学时）
教学目的及要求：理解线性变换的定义，掌握线性变换的性质
教学重点、难点：线性变换的定义及线性变换的性质
本节内容可分为下面的两个问题讲授.
一. 线性变换的定义（P307）
注意：向量空间V到自身的同构映射一定是V上的线性变换，反之不然。
二. 线性变换的性质
定理7.1.1（P309）
定理7.1.2 （P309）
推论7.1.3 （P310）
注意：1.定理7.1.2给出了在有限维向量空间构造线性变换的方法，且说明了一个线性变换完全被它对基向量的作用所决定。
2.两个线性变换相等当且仅当它们对任意一个向量的作用结果相等，推论7.1.3 （P310）告诉我们，只要这两个线性变换对某个基中的每个基向量的作用结果相等即可。
作业：习题七P330 1，2，3.
§7.2 线性变换的运算（4学时）
教学目的及要求：掌握线性变换的运算及线性变换可逆的条件
教学重点、难点：线性变换的运算及线性变换可逆的条件
本节内容分为下面四个问题讲授：
一. 加法运算
定义1 （P310）
注意：＋是V的线性变换.
二. 数乘运算
定义2（P311）
显然k也是V的一个线性变换.
定理7.2.1 L(V)对于线性变换的加法与数乘运算构成数域F上的一个向量空间.
三. 乘法运算
(1). 乘法运算
定义3 （P311-312）
注意：线性变换的乘法适合结合律，但不适合交换律及消去律. 两个非零线性变换的乘积可
能是零变换.
(2). 线性变换
的方幂
四. 可逆线性变换
定义4 （P 313）
线性变换可逆的充要条件
例2 （P 314）
线性变换的多项式的概念 (阅读内容).
作业：P 330 习题七 4，5.
§7.3 线性变换的矩阵（6学时）
教学目的及要求：理解线性变换关于一个基的矩阵的定义，掌握 与 ()关于同一个基的坐
标之间的关系、线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系、
同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的理论，掌握L (V )与M n (F )的同构理
论。
教学重点、难点：
1. 线性变换关于一个基的矩阵的定义。
2. L (V )与M n (F )的同构理论，线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系。
本节内容分为下面四个问题讲授：
一. 线性变换关于基的矩阵
定义 （P 316） 。
注意：取定n 维向量空间V 的一个基之后，对于V 的每一个线性变换，有唯一确定的n 阶矩阵与它对应.
例1 （P 316）
注意：一个线性变换在不同基下的矩阵通常是不同的.
例2 （P 317）
例3 （P 317）
二. 与 ()关于同一个基的坐标之间的关系.
定理7.3.1
例4 （P 318）
三. L (V )与M n (F )的同构
定理7.3.2 （P 320）
定理7.3.3 （P 320）
注意：1. 定理7.3.2 （P 320）的证明是本章的难点，在证明之前应复习证明所用到的知识点。
2.由于L (V ) 同构于)(F M n ，所以就把研究一个很复杂的向量空间L (V )的问题转化成研究一个很直观具体的向量空间)(F M n 的问题。
同构是高等代数课程的一个基本概念。
3. 定理7.3.3不仅给出了在有限维向量空间判定一个线性变换可逆的方法，而且给出了求
逆变换的方法。
四. 同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系
定理7.3.4（P321）.
作业：P331习题七6，9，12，17.
§7.4 不变子空间（4学时）
教学目的及要求：理解不变子空间、线性变换的值域与核、线性变换的秩与零度的定义及相关理论，掌握利用不变子空间化简线性变换的矩阵的方法、求线性变换的值域与核
的方法
教学重点、难点：
1. 利用不变子空间化简线性变换的矩阵的方法、线性变换的值域与核的概念
2. 线性变换值域与核的计算
本节内容分为下面三个问题讲授：
一. 不变子空间的概念
定义1 （P322）
定理7.4.1（P323）
二. 利用不变子空间化简线性变换的矩阵
(1). 线性变换在不变子空间上的限制
定义2（P323）
(2). 不变子空间与简化线性变换的矩阵的关系.
三. 线性变换的值域与核
定义3（P324）
定理7.4.2（P324）
定理7.4.3（P325）
定理7.4.4 （P325）
作业：P332-333习题七19，21，23，24，25.
§7.5 线性变换的本征值和本征向量（4学时）
教学目的及要求：理解线性变换本征值与本征向量的定义，掌握有限维向量空间的线性变换的本征值和本征向量与它的矩阵的特征值和特征向量的关系，掌握线性变换的可对
角化的条件
教学重点、难点：本征值和本征向量的求法
本节内容分为下面三个问题讲授：
一. 本征值与本征向量的定义
定义1（本征值与本征向量）（P327）.
例1 (P327)
例2 (P327)
例3 (P328)
注意：并不是每个线性变换都有本征值.无限维向量空间的一个线性变换的本征值可能有无穷多个。
二. 本征值和本征向量的求法
定理7.5.1（P329）
例4 （P329）
例5 （P329）
注意：1.有限维向量空间的线性变换的本征值最多有有限个。
2.有限维向量空间的线性变换的本征值和本征向量与它的矩阵的特征值和特征向量的区别与联系。
三. 线性变换的可对角化
定理7.5.2（P330）.
作业：P333习题七27，28.
习题课（4时）
补充题（P333-P334） 1， 3，4，5，6，7.
作业：本章小结。