高一数学集合与常用逻辑用语

1.在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕之时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确.

2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，

求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.解题时注意区分两大关系：

一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.

3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn 图.这是数形结合思想的又一体现.

4.充分、必要条件与集合的关系，p ，q 成立的对象构成的集合分别为A 和B .

(1)若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.

(2)若A ⊂≠

B ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件.(3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件

.

高一数学单元知识梳理：集合与常用逻辑用语

5.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p 的一个充分而不必要条件是q ”等语言.

6.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题的区别；否定的规律是“改量词，否结论”.

一、数学抽象

数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养．主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法和思想，认识数学结构与体系．在本章中，主要表现在集合概念的理解及应用中.

【典例1】(1)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )

A ．1

B ．3

C ．5

D ．9

(2)若－3∈{x －2，2x 2＋5x ，12}，则x ＝________．

【答案】(1)C (2)－2

3 【解析】(1)①当x ＝0时，y ＝0，1，2，此时x －y 的值分别为0，－1，－2；

②当x ＝1时，y ＝0，1，2，此时x －y 的值分别为1，0，－1；

③当x ＝2时，y ＝0，1，2，此时x －y 的值分别为2，1，0.

综上可知，x －y 的可能取值为－2，－1，0，1，2，共5个，故选C.

(2)由题意知，x －2＝－3或2x 2＋5x ＝－3.

①当x －2＝－3时，x ＝－1.

把x ＝－1代入，得集合的三个元素为－3，－3，12，不满足集合中元素的互异性；

②当2x 2＋5x ＝－3时，x ＝－2

3或x ＝－1(舍去)， 当x ＝－23时，集合的三个元素为－27，－3，12，满足集合中元素的互异性，由①②知x ＝－23.

二、数学运算

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养，主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果．在本章中，主要表现在集合的交、并、补运算中.

【典例2】(1)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()

A．{1，－3} B．{1，0}

C．{1，3} D．{1，5}

(2)若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝()

A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－2＜x＜3}

C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}

【答案】(1)C(2)A

【解析】(1)由A∩B＝{1}得1∈B，

所以m＝3，B＝{1，3}．

(2)A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．

(3)已知集合A＝{x|2≤x＜7}，B＝{x|3＜x＜10}，C＝{x|x＜a}．

①求A∪B，(∁R A)∩B；

②若A∩C≠∅，求a的取值范围．

【解析】①因为A＝{x|2≤x＜7}，B＝{x|3＜x＜10}，

所以A∪B＝{x|2≤x＜10}．

因为A＝{x|2≤x＜7}，

所以∁R A＝{x|x＜2或x≥7}，

则(∁R A)∩B＝{x|7≤x＜10}．

②因为A＝{x|2≤x＜7}，C＝{x|x＜a}，且A∩C≠∅，所以a＞2，

所以a的取值范围是{a|a＞2}．

三、逻辑推理

逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养，主要表现为：掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出问题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流．本章主要表现在集合的基本关系、充要条件及全称量词命题和存在量词命题中.

【典例3】(1)集合A＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}，B＝{y|y＝4b2＋4b＋3，b∈R}，则下列关系正确的是()

A．A＝B B．B A

C．A⊆B D．B A

(2)已知集合A＝{x|0＜x＜4}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是()

A．{a|0＜a＜4} B．{a|－8＜a＜4}

C．{a|a≥4} D．{a|a＞4}

【答案】(1)B(2)C

【解析】(1)A＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}，即A中的元素x≥1；而B＝{y|y＝(2b＋1)2＋2，b∈R}，即B中的元素y≥2，∴B A.

(2)在数轴上标出A，B两集合如图所示，

结合数轴知，若A⊆B，则a≥4.

【典例4】设x∈R，则“2－x≥0”是“－1≤x－1≤1”的()

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由－1≤x－1≤1，得0≤x≤2，因为0≤x≤2⇒x≤2，x≤20≤x≤2，故“2－x≥0”是“－1≤x－1≤1”的必要不充分条件，故选B.