“数形结合”方法归纳总结

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高中数学二轮专题复习——数形结合思想总结(K12教育文档)

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思想方法专题数形结合思想【思想方法诠释】一、数形结合的思想所谓的数形结合,就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数含义,又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来,并充分利用这种“结合”,寻找解题思路，使问题得到解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化,抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合．数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．二、数形结合思想解决的问题常有以下几种：1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；2．构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；3．构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；4．构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；5．构建立体几何模型研究代数问题；6．构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；7．构建方程模型，求根的个数；8．研究图形的形状、位置关系、性质等。

三、数形结合思想是解答高考数学试题的一种常见方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥奇特功效，具体操作时,应注意以下几点：1．准确画出函数图象，注意函数的定义域;2．用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图）然后作出两个函数的图象,由图求解。

数形结合课题年度总结(3篇)

第1篇一、课题背景近年来，我国教育改革不断深化，小学数学教学作为基础教育的重要组成部分，越来越受到广泛关注。

数形结合作为一种有效的数学教学方法，能够将抽象的数学知识与具体的图形形象地结合起来，有助于提高学生的数学素养和解决问题的能力。

本年度，我课题小组以“数形结合”为主题，开展了为期一年的研究与实践，现将年度总结如下。

二、研究目标与内容1. 研究目标（1）提高学生对数形结合思想的认知水平；（2）培养学生的数学思维能力和空间想象能力；（3）优化小学数学课堂教学，提高教学质量。

2. 研究内容（1）数形结合在小学数学教学中的应用策略；（2）数形结合对学生数学思维和空间想象能力的影响；（3）数形结合在小学数学课堂教学中的实践与反思。

三、研究方法1. 文献研究法：查阅国内外有关数形结合教学的研究文献，了解数形结合教学的发展现状和趋势；2. 案例分析法：选取具有代表性的数形结合教学案例，分析其成功经验和不足之处；3. 行动研究法：结合教学实践，探索数形结合在小学数学教学中的应用策略；4. 教学观察法：观察学生在数形结合教学过程中的学习状态，了解学生的学习效果。

四、研究过程与成果1. 研究过程（1）前期准备：查阅相关文献，了解数形结合教学的理论基础；（2）制定教学方案：根据小学数学教学大纲和课程标准，设计数形结合教学案例；（3）实施教学：将数形结合教学策略应用于课堂教学，观察学生的学习效果；（4）总结反思：对教学过程进行总结反思，调整教学策略。

2. 研究成果（1）形成了一套数形结合教学策略，包括：情境创设、图形展示、问题引导、合作探究、总结评价等；（2）提高了学生对数形结合思想的认知水平，培养了学生的数学思维能力和空间想象能力；（3）优化了小学数学课堂教学，提高了教学质量。

五、总结与展望本年度，我课题小组在数形结合教学研究方面取得了一定的成果。

然而，仍存在一些不足，如：数形结合教学策略的推广力度不够、教师对数形结合教学的认知水平有待提高等。

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【下载后获高清完整版-优质文档】高中数学：数形结合全总结一、数形结合的三个原则一、等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．首先，由代数式、方程、不等式构造函数时一要注意变量(包括自变量和因变量)的取值范围。

二、双向性原则既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，直观的几何说明不能代替严谨的代数推理.另一方面，仅用直观分析，有时反倒使问题变得复杂，比如在二次曲线中的最值问题，有时使用三角换元，反倒简单轻松.三、简单性原则不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，确定好主元；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线(直线中含有参数)与定二次曲线．二、数形结合的应用一、利用数轴、韦恩图求集合利用数形结合的思想解决集合问题，常用的方法有数轴法、韦恩图法等。

当所给问题的数量关系比较复杂，不好找线索时，用韦恩图法能达到事半功倍的效果。

二、数形结合在解析几何中的应用解析几何问题往往综合许多知识点，在知识网络的交汇处命题，备受出题者的青睐，求解中常常通过数形结合的思想从动态的角度把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，达到研究、解决问题的目的.构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：（一）与斜率有关的问题三、数形结合在函数中的应用（一）利用数形结合解决与方程的根有关的问题【点拨】数形结合可用于解决方程的根的问题，准确合理地作出满足题意的图象是解决这类问题的前提.（二）利用数形结合解决函数的单调性问题（三）利用数形结合解决比较数值大小的问题（四）函数的最值问题（五）利用数形结合解决抽象函数问题四、运用数形结合思想解不等式（一）解不等式（二）求参数的取值范围五、运用数形结合思想解决三角函数问题纵观近三年的高考试题，巧妙地运用数形结合的思想方法来解决一些问题，可以简化计算，节省时间，提高考试效率，起到事半功倍的效果.六、借助向量的图象解决几何问题利用向量可以解决线段相等，直线垂直，立体几何中空间角（异面直线的角、线面角、二面角）和空间距离（点线距、线线距、线面距、面面距），利用空间向量解决立体几何问题，将抽象的逻辑论证转化为代数计算，以数助形，大大降低了空间想象能力，是数形结合的深化。

想学好高中数学，就要学会数形结合！数形结合六大应用及例题详解

想学好高中数学，就要学会数形结合！数形结合六大应用及例题详解数形结合是数学中的一种非常重要的思想方法，它包含了“以形助数”和“以数辅形”两个方面。

一、什么是数形结合？1、借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系。

例如应用函数的图象来直观的说明函数的性质；2、借助于数的精确性和规范性来阐明形的某些属性。

如应用曲线的方程来精确的阐明曲线的几何性质。

概括的说，就是在解决数学问题时，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系与转化二、数形结合应用的三个原则1、等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞。

有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应。

2、双方性原则既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数进行几何分析容易出错。

3、简单性原则不要为了“数形结合”而数形结合。

具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与二次曲线。

三、如何运用数形结合思想解答数学题1、要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；2、要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；3、要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；4、精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解。

很多数学概念都具有明显的几何意义，善于利用这些几何意义，往往能收到事半功倍的效果。

数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。

如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。

四、应用方式和例题详解（一）数形结合思想在解决方程的根、不等式解集问题中的应用解析：方法说明：（1）用函数的图象讨论方程（特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程）的解得个数是一种重要的思想方法，其根本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解得个数。

数形结合数学思想方法

数形结合数学思想⽅法⼩学数学中虽然没有学习函数，但还是慢慢的开始渗透函数的思想。

为初中数学学习打好基础，如确实位置中，⽤数对表⽰平⾯图形上的点，点的平移引起了了数对的变化，⽽数对变化也对应了不同的点。

下⾯⼩编给⼤家整理了关于数形结合数学思想⽅法，希望对你有帮助! 1数形结合数学思想⽅法 “数”与“形”是数学的基本研究对象，他们之间存在着对⽴统⼀的辨证关系。

数形结合是⼀种重要的数学思想，是⼈们认识、理解、掌握数学的意识，它是我们解题的重要⼿段，是根据数理与图形之间的关系，认识研究对象的数学特征，寻求解决问题的⽅法的⼀种数学思想。

它是在⼀定的数学知识、数学⽅法的基础上形成的。

它对理解、掌握、运⽤数学知识和数学⽅法，觖决数学问题能起到促进和深化的作⽤。

2数形结合数学思想⽅法⽤图形的直观，帮助学⽣理解数量关系，提⾼教学效率⽤数形结合策略表⽰题中量与量之关系，可以达到化繁为简、化难为易的⽬的。

“数形结合”可以借助简单的图形(如统计图)、符号和⽂字所作的⽰意图，促进学⽣形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。

它是⼩学数学教材的⼀个重要特点，更是解决问题时常⽤的⽅法。

众所周知，学⽣从形象思维向抽象思维发展，⼀般来说需要借助于直观。

以数解形：有关图形中往往蕴含着数量关系，特别是复杂的⼏何形体可以⽤简单的数量关系来表⽰。

⽽我们也可以借助代数的运算，常常可以将⼏何图形化难为易，表⽰为简单的数量关系(如算式等)，以获得更多的知识⾯，简单地说就是“以数解形”。

它往往借助于数的精确性来阐明形的某些属性，表⽰形的特征、形的求积计算等等，⽽有的⽼师在出⽰图形时太过简单，学⽣直接来观察却看不出个所以然，这时我们就需要给图形赋予⼀定价值的问题。

助表象，发展学⽣的空间观念，培养学⽣初步的逻辑思维能⼒。

⼉童的认识规律，⼀般来说是从直接感知到表象，再到形成科学概念的过程。

表象介于感知和形成科学概念之间，抓住这中间环节，在⼏何初步知识教学中，发展学⽣的空间观念，培养初步的逻辑思维能⼒，具有⼗分重要意义。

数形结合解题方法和技巧

数形结合解题方法和技巧
本文介绍数形结合解题方法和技巧，帮助读者更好地理解和应用这一方法，提高数学解题能力。

数形结合是一种常用的数学解题方法，它将数学问题与几何图形相结合，通过直观的几何图形来帮助解决复杂的数学问题。

下面，我们介绍一些数形结合解题的方法和技巧。

一、利用几何图形的性质
几何图形具有许多特定的性质，如线段长度、角度大小、平行关系等。

在解题时，我们可以利用这些性质来帮助我们理解问题，甚至可以通过这些性质来推导出未知数的值。

例如，在一道求解三角形题目中，我们可以利用三角形的边角关系，通过余弦定理或正弦定理来求解未知角度或边长。

二、利用几何图形的变换
几何图形可以通过平移、旋转、翻折等变换来改变形态，而这些变换并不改变图形的本质属性。

在解题时，我们可以利用这些变换来帮助我们理解问题。

例如，在一道求解相似三角形题目中，我们可以
通过旋转或翻折等变换将原图形变换成易于求解的图形，然后再进行计算。

三、利用几何图形的切分
几何图形可以通过切分来将复杂的问题分解成简单的问题。

在解题时，我们可以利用这些切分来帮助我们理解问题。

例如，在一道求解曲线图形题目中，我们可以通过切分将曲线分割成一些简单的线段或曲线，然后再分别进行计算，最后再将结果相加得到答案。

数形结合是一种非常有用的解题方法，可以帮助我们更好地理解和解决数学问题。

高三数学数形结合的解题方法与技巧分析

高三数学数形结合的解题方法与技巧分析
数学与数形结合是高中数学中重要的考点之一，考查学生分析和解决实际问题的能力以及数学与几何知识的应用能力。

以下将介绍数学与数形结合的解题方法和技巧。

1.认真观察、分析问题
在解决问题时首先要认真观察题目中的数学表达式和几何图形，注意所给定的条件，理解问题的背景和意义，并对问题进行分析和抽象，找出问题中的关键点，弄清楚问题的思路。

2.建立数学模型
建立数学模型是问题解决的关键环节。

通过观察、分析，可以将问题中的数学表达式和几何图形转化为数学模型。

根据模型结合所给条件，推导出方程或不等式，从而得到问题的解。

3.选择合适的解题方法
在解决问题时应选择合适的解题方法。

有些问题可能需要通过代数方法来解决，有些问题则更适合应用几何图形的性质进行推导。

要注意在解题时不仅要具备一定的代数和几何知识，也要有灵活的思维和创新能力。

4.掌握数学与几何知识的应用技巧
数学与几何知识是解决数学与数形结合问题的基础。

要掌握其中的应用技巧，如利用向量、相似、垂线、平移、旋转、对称等几何知识以及函数、方程、三角函数、复数等数学知识。

5.注重练习与归纳总结
在解题过程中的错误及时反思、总结，并加以分析，掌握归纳总结的能力。

要注重练习，通过大量的例题和习题来熟练掌握数学与数形结合问题的解题方法和技巧。

初中数学中的数形结合思想方法

数形结合思想方法［知识要点］数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。

数形结合的思想方法包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。

［典型应用］在初中数学教材中，数形结合问题占有不小比例，代数中学过的代数式、方程、不等式、函数，几何中己经学过点、线、三角形、四边形、圆的知识，都是密切联系，互相统一的，不论用代数方法研究几何问题，还是用几何图形研究数或式，都贯穿着数形结合方法分析问题和解决问题的思想，其中比较典型的有：1、数轴数轴是初中数学教材中数形结合的第一个实例，它的建立，不仅使最简单的形——直线上的点与实数间建立一一对应关系，还揭示了数形间的内在联系，使实数的许多性质，可由数轴上相应点的位置关系得到形象生动的说明，也为学习具有相反意义的量、相反数、绝对值、有理数运算等作好了准备。

不等式的解集可以在数轴上直观、形象地表示出来，不等式组的解更要借助数轴来求解。

圆与圆的位置关系也可以用数轴来直观表示，设圆心距为d，两圆半径为R、r（R＞r），则五种位置关系表示为：2、平面直角坐标系与函数平面直角坐标系把“点”和“有序实数对”对应起来，使抽象的“数”与直观的“形”有了统一，开创了研究数学问题的新途径。

函数是初中数学的重要内容之一，也是学习的一个难点。

同时又是“数形结合”的思想方法体现得最充分的一个章节。

如，一次函数y＝kx＋b的图象中，k与直线的倾斜程度有关，b与直线和y轴的交点有关；又比如，二次函数中抛物线的开口、对称轴、顶点及与坐标轴交点更是与系数a 、b、 c 关系密切。

数形结合思想规律总结

数形结合思想规律总结数形结合思想是指通过对数学问题进行几何形式的推理和展示来深入理解和解决问题的一种思维方法。

它将抽象的数学概念转化为具体的几何形状，使抽象的数学问题更加直观和有趣。

通过数形结合思想，我们可以发现数学问题中的规律和性质，进一步推导出结论，并且可以通过几何图形来验证和证明这些结论。

下面是对数形结合思想的规律总结。

1. 形状与数量的对应关系：在一些几何问题中，我们可以通过观察形状与数量的对应关系来发现规律。

例如，对于等差数列来说，我们可以将数列中的每个数字进行线段的长度表示，然后将这些线段连接起来，形成一个等差数列的图形。

通过观察等差数列的图形，我们可以发现线段之间的对称性和等长性，从而进一步推导出等差数列的性质和公式。

2. 几何和代数的转化：数形结合思想可以将代数问题转化为几何问题，反之亦然。

例如，对于二次方程来说，我们可以构造一个平面上的抛物线，抛物线与x轴和y轴的交点就是二次方程的解。

通过观察抛物线的形状和位置，我们可以直观地理解二次方程的根的性质。

相反地，我们也可以通过代数方法解决几何问题，例如通过方程组求解平面上的几何问题，从而得到几何问题的具体解法。

3. 同分异构和异分同构：同分异构是指在几何形状中不同的数学性质可以对应相同的数值关系。

例如，正方形和圆形可以有相同的面积，尽管它们的形状不同。

异分同构则是指在数学关系中不同的几何形状可以对应相同的数值关系。

例如，两个不同的数列可以具有相同的公式和递推关系，尽管它们的数值不同。

通过使用数形结合思想，我们可以发现同分异构和异分同构的规律，并且可以利用这种规律来解决一些复杂的数学问题。

4. 可视化和直觉：数形结合思想通过几何图形的可视化，使抽象的数学问题更加直观和可理解。

我们可以通过观察几何图形的形状、大小、位置等特征来获得数学问题的直觉解释。

通过数形结合思想，我们可以将数学问题从抽象的符号和公式转化为直观的图形，使我们更容易理解和解决问题。

高三数学数形结合的解题方法与技巧分析

高三数学数形结合的解题方法与技巧分析数学数形结合是高中数学中的一个重要内容，该部分主要考察学生对数学与几何的结合运用能力。

下面我们来分析一下高三数学数形结合的解题方法与技巧。

一、认真分析题目在解题之前，我们首先要认真分析题目。

需要仔细阅读题目中的条件和要求，并理清思路。

了解题目中的关键信息和条件，明确题目的要求，并分析出解题的思路和方法。

二、绘制准确图形在数学数形结合题目中，准确地绘制图形非常重要。

通过准确的图形可以更好地理解题目，有助于我们找到解题的关键点和分析问题的思路。

在解题时要注意绘制准确的图形，包括角度的大小、长度的比例、直线的平行关系等等。

三、运用数学知识分析问题在准备好图形之后，我们可以运用数学知识来分析问题。

可以使用各种已知的数学定理和原理，如相似三角形、勾股定理、平行线定理等。

通过运用数学知识，我们可以将问题转化为一些已知的性质和关系，从而更好地解决问题。

四、灵活运用解题方法在解决数学数形结合问题时，我们需要运用各种解题方法。

常见的解题方法有类比法、反证法、递推法、数学归纳法等。

我们需要根据题目的特点和要求来选择合适的解题方法。

有时还需要进行多次尝试和推理，不断调整解题方法，直至找到解决问题的方法。

五、归纳总结规律在解完题目之后，我们应该总结一下解题的思路和方法，并归纳总结一些解题规律。

通过总结规律，可以加深对数学知识的理解和运用，提高解题的效率和准确性。

在以后遇到类似的问题时，可以借鉴之前的解题思路和方法，更快地解决问题。

六、多做练习题提高解题能力是需要多做练习的。

通过多做一些数学数形结合的练习题，可以帮助我们更好地掌握解题的方法和技巧，提高解题的能力。

可以选择一些经典的练习题，并逐步提高难度，以更好地掌握解题思路和方法。

以上就是高三数学数形结合的解题方法与技巧的分析，希望能对你在数学数形结合方面的学习有所帮助。

最重要的是理解数学知识，善于分析问题，灵活运用解题方法，并多做练习，相信你在数学数形结合方面会有不错的成绩。

数形结合的思想方法

数形结合的思想方法每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。

因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法，简言之，就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法，称之为数形结合的思想方法。

数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。

在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。

一、解题方法指导1．转换数与形的三条途径：①通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。

②转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。

③构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。

2．运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法：①“由形化数”：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。

②“由数化形”：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。

数形结合教研活动总结(3篇)

第1篇一、活动背景随着新课程改革的不断深入，数学教学逐渐从传统的“重计算、轻应用”向“重思维、重能力”转变。

数形结合作为一种重要的数学思想方法，在培养学生数学思维、提高学生数学素养方面具有重要意义。

为了更好地推进数形结合教学，提高教师的专业素养，我校数学组于近日开展了以“数形结合”为主题的教研活动。

本次活动旨在通过研讨、交流和实践，探索数形结合在数学教学中的应用，提升教师的教学水平和学生的数学学习效果。

二、活动内容1. 理论学习活动伊始，全体数学教师共同学习了数形结合的相关理论知识。

通过学习，教师们对数形结合的概念、原理及其在数学教学中的应用有了更深入的了解。

同时，教师们还学习了国内外关于数形结合教学的研究成果，为后续的教学实践提供了理论支撑。

2. 经验分享在理论学习的基础上，各年级教师结合自身教学实践，分享了在数形结合教学中的成功经验和心得体会。

例如，一年级教师通过图形的变换，引导学生发现数与形的联系；二年级教师利用数形结合的思想，帮助学生解决实际问题；三年级教师则通过实例引导学生体会数形结合在解决问题中的优势。

3. 案例研讨针对具体的教学案例，教师们进行了深入的研讨。

以“分数与小数”为例，教师们讨论了如何运用数形结合的思想，帮助学生理解分数与小数之间的关系，以及如何通过图形的变换，使学生在直观感受中掌握分数与小数的概念。

4. 教学实践为了将数形结合的思想更好地融入课堂教学，教师们进行了教学实践。

在教学实践中，教师们尝试运用多种教学手段，如多媒体、实物操作等，使学生在直观、生动的教学环境中感受数形结合的魅力。

5. 总结反思活动最后，教师们对本次教研活动进行了总结反思。

大家一致认为，数形结合教学在提高学生数学素养、培养学生的数学思维能力方面具有重要意义。

同时，教师们也认识到，在今后的教学中，还需不断探索和实践，使数形结合教学更加贴近学生的实际需求。

三、活动成果1. 教师的专业素养得到提升。

通过本次教研活动，教师们对数形结合有了更深入的认识，教学水平得到提高。

数形结合

数形结合思想【知识归纳】1．数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法．它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化． 2．数形结合的常见方法有： ①解析法：建立适当的坐标系（直角坐标系，极坐标系），引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系．注意运用重要的公式（如两点间的距离、点到直线的距离公式，直线的斜率，直线的截距）、有关曲线的定义等来寻求代数式的图形背景及有关性质．②三角法：将几何问题与三角形沟通，运用三角代数知识获得探求结合的途径．③向量法：将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题．把抽象的几何推理化为代数运算．特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循． ④构造函数法：方程或不等式问题常可以通过构造函数，利用函数图象和性质解决相关的问题． ⑤曲线交点和位置问题又可以通过构造方程、不等式或函数来解决． 2．利用数形结合应注意的问题（1）等价性原则：在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导．（2）双向性原则：在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析（或仅对几何问题进行代数分析）在许多时候是很难行得通的．例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化．（3）简单性原则：就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于那种方法更为简单.而不是去刻意追求一种流性的模式——代数问题运用几何方法，几何问题寻找代数方法．【基础演练】1．设全集{1,2,3,4,5},{2,4},U U MN MC N ===则N = ▲ ．解析：画出韦恩图，可知N ={1,3,5}．点评：本题主要利用数轴、韦恩图考查集合的概念和集合的关系．2．（苏州市2013届高三期末）已知()1f x x x =+，则11()()42f x f -<的解集是．答案：3(,)4-∞3．设平面点集{}221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x ⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩⎭，则A B 所表示的平面图形的面积为 ▲ ．解析：由0)1)((≥--x y x y 可知⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-010x y x y 或者⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-01x y x y ，在同一坐标系中做出平面区域如图，由图象可知B A 的区域为阴影部分，根据对称性可知，两部分阴影面积之和为圆面积的一半，所以面积为2π.4．当0≤x ≤1时，不等式sin πx2≥kx 成立，则实数k 的取值范围是________．解析：作出y 1＝sin πx 2与y 2＝kx 的图象，要使不等式sin πx2≥kx 成立，由图可知需k ≤1.答案：(－∞，1]5．设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－1，若在区间(－2,6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0 (a >1)有3个不同的实数根，则a 的取值范围为________．解析：依题意可得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝f [(x ＋2)－2]＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，如图所示，先作出当x ∈[－2,0]时的图象，然后根据函数f (x )是定义在R 上的偶函数，作出其关于y 轴的对称图形，得到x ∈[0,2]时函数的图象．再根据函数的周期性，即可得到x ∈[2,6]时函数的图象，在此坐标系内，作出函数y ＝log a (x ＋2)(a >1)的图象．由题意知，函数y ＝log a (x ＋2)(a >1)的图象与函数f (x )在(－2,6]上的图象有3个交点，根据两个函数图象可知⎩⎪⎨⎪⎧ log a 4<3，log a 8>3，即⎩⎪⎨⎪⎧a 3>4，a 3<8，解得34<a <2.故a 的取值范围为(34，2)．答案：(34，2)6．若函数f (x )＝e x －2x －a 在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是_____．解析：当直线y ＝2x ＋a 和y ＝e x 相切时，仅有一个公共点，这时切点是(ln 2,2)，直线方程是y ＝2x ＋2－2ln 2，将直线y ＝2x ＋2－2ln 2向上平移，这时两曲线必有两个不同的交点．变式题：若方程ln x －2x －a ＝0有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围是________．解析：作出y ＝ln x 和y ＝2x ＋a 的图象，分析方程ln x －2x －a ＝0，有两个不等的实数根问题，即是研究y ＝ln x 和y ＝2x ＋a 的图象交点问题，如图可知，y ＝2x ＋a 与y ＝ln x 相切时，a ＝－1－ln 2，只要a <－1－ln 2，图象都有两个不等的交点，即a ∈(－∞，－1－ln 2)．答案：(－∞，－1－ln 2)【考点例析】例题1 ⑴已知函数f (x )＝e |x |，m >1，对任意的x ∈[1，m ]，都有f (x －2)≤e x ，则最大的正整数m 为________．解析：作出函数y ＝e|x －2|和y 2＝e x 的图象，如图可知x ＝1时y 1＝y 2，又x ＝4时y 1＝e 2＜y 2＝4e ，x ＝5时y 1＝e 3＞y 2＝5e ，故m ＜5，即m 的最大整数值为4.⑵（2012高考真题浙江理17）设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0，则a ＝________．解析：a =本题按照一般思路，则可分为一下两种情况：(A )2(1)1010a x x ax ≤⎧⎨≤⎩－－－－，无解；(B )2(1)1010a x x ax ≥⎧⎨≥⎩－－－－，无解．因为受到经验的影响，会认为本题可能是错题或者解不出本题．其实在x ＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间，在各自的区间内恒正或恒负．(如下答图) 函数y 1＝(a －1)x －1，y 2＝x 2－ax －1都过定点P (0，-1)．考查函数y 1＝(a －1)x －1：令y ＝0，得M (11a -，0)，还可分析得：a ＞1；考查函数y 2＝x 2－ax －1：显然过点M (11a -，0)，代入得：211011a a a ⎛⎫--= ⎪--⎝⎭，解之得：a =a =，得答案：a =点评：数形结合的思想方法，是研究数学问题的一个基本方法．深刻理解这一观点，有利于提高我们发现问题、分析问题和解决问题的能力．⑶若方程lg(－x 2＋3x －m )＝lg(3－x )在x ∈(0,3)内有两个不同的解，则实数m 的取值范围是________．解析：原方程可化为－(x －2)2＋1＝m (0<x <3)，设y 1＝－(x －2)2＋1(0<x <3)，y 2＝m .在同一坐标系中画出它们的图象(如图)．由原方程在(0,3)内有两解，知y 1与y 2的图象只有两个公共点，可见m 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)⑷已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2.若同时满足条件： ①∀x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0； ②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )＜0. 则m 的取值范围是________．解析：当x ＜1时，g (x )＜0，当x ＞1时，g (x )＞0，当x ＝1时，g (x )＝0.m ＝0不符合要求；当m ＞0时，根据函数f (x )和函数g (x )的单调性，一定存在区间[a ，＋∞)使f (x )≥0且g (x )≥0，故m ＞0时，不符合第①条的要求；当m ＜0时，如图所示，如果符合①的要求，则函数f (x )的两个零点都得小于1，如果符合第②条要求，则函数f (x )至少有一个零点小于－4，问题等价于函数f (x )有两个不相等的零点，其中较大的零点小于1，较小的零点小于－4.函数f (x )的两个零点是2m ，－(m ＋3)，故m 满足⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，2m ＜－(m ＋3)，2m ＜－4，－(m ＋3)＜1或者⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，－(m ＋3)＜2m ，2m ＜1，－(m ＋3)＜－4，解第一个不等式组得－4＜m ＜－2，第二个不等式组无解，故所求m 的取值范围是(－4，－2)．答案：(－4，－2 )例题2 ⑴(2012·苏锡常镇二模)设实数n ≤6，若不等式2xm ＋(2－x )n －8≥0对任意x ∈[－4,2]都成立，则nm的最大值为________．解析：设y ＝2xm ＋(2－x )n －8，整理可得 y ＝(2m －n )x ＋(2n －8)．当2m －n ≥0时，∵x ∈[－4,2]，∴y min ＝(2m －n )·(－4)＋(2n －8)＝－8m ＋6n －8当2m －n <0时，∵x ∈[－4,2]， ∴y min ＝(2m －n )·2＋(2n －8)＝4m －8.∵不等式2xm ＋(2－x )n －8≥0对任意x ∈[－4,2]都成立，∴m ，n 满足⎩⎨⎧－8m ＋6n －8≥0，2m －n ≥0，n ≤6或⎩⎨⎧2m －n <0，4m －8≥0，n ≤6.可行域如图∴当且仅当m ＝2，n ＝6时，⎝⎛⎭⎫n m max ＝3. 答案：3⑵(2012·徐州四市)平面直角坐标系中，已知点A (1，－2)，B (4,0)，P (a,1)，N (a ＋1,1)，当四边形P ABN 的周长最小时，过三点A ，P ，N 的圆的圆心坐标是________．解析：∵AB ，PN 的长为定值， ∴只要求P A ＋BN 的最小值．P A ＋BN ＝(a －1)2＋9＋(a －3)2＋1，其几何意义为动点(a,0)到两定点(1,3)和(3，－1)距离之和，当三点共线，即a ＝52时，其和取得最小值，线段PN 的中垂线方程为x ＝3，线段P A 的中垂线方程为y ＋12＝－12⎝⎛⎭⎫x －74，交点⎝⎛⎭⎫3，－98即为所求的圆心坐标．答案：⎝⎛⎭⎫3，－98 ⑶设点P 是三角形ABC 内一点(不包括边界)，且AP ＝m AB ＋n AC ，m ，n ∈R ，则m 2＋(n －2)2的取值范围为________．解析：因为点P 是三角形ABC 内一点(不包括边界)，所以0<m ，n <1,0<m ＋n <1，根据线性规划的知识，作出如图阴影部分，m 2＋(n －2)2表示点P (0,2)到阴影内点的距离的平方，显然到点A (0,1)的距离最近，为1；到点B (1,0)的距离最远，这时m 2＋(n －2)2＝5，故所求取值范围为(1,5)．答案：(1,5)变式题（苏州市2013届高三期末）已知实数x ，y 满足不等式20403x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3322x y x y +的取值范围是．答案：55[3,]9例题3⑴已知A (1,1)为椭圆x 29＋y 25＝1内一点，F 1为椭圆左焦点，P 为椭圆上一动点．则PF 1＋P A 的最大值是．[解] 由x 29＋y 25＝1可知a ＝3，b ＝5，c ＝2，左焦点F 1(－2,0)，右焦点F 2(2,0)．由椭圆定义，PF 1＝2a －PF 2＝6－PF 2，∴PF 1＋P A ＝6－PF 2＋P A ＝6＋P A －PF 2. 如图：由|P A －PF 2|≤AF 2＝(2－1)2＋(0－1)2＝2知－2≤P A －PF 2≤ 2.当P 在AF 2延长线上的P 2处时，右边取等号；当P 在AF 2的反向延长线的P 1处时，左边取等号．即P A －PF 2的最大、最小值分别为2、－ 2.于是PF 1＋P A 的最大值是6＋2，最小值是6－ 2.点评：圆锥曲线中与焦点有关的最值问题，求解时可作出图形，借助定义数形结合求解．⑵函数f (x )＝(2x －1)2，g (x )＝ax 2(a >0)，满足f (x )<g (x )的整数x 恰有4个，则实数a 的取值范围是________． [解析] 在同一坐标系内分别作出满足条件的函数f (x )＝(2x －1)2，g (x )＝ax 2的图象，则由两个函数的图象可知，y ＝f (x )，y ＝g (x )在区间(0,1)内总有一个交点．要使满足不等式(2x －1)2<ax 2的整数恰有4个，则只要f (4)<g (4)且f (5)>g (5)即可．由⎩⎪⎨⎪⎧49<16a ，81>25a ，得4916<a <8125.[答案] ⎝⎛⎭⎫4916，8125点评：当不等式的解集不易求出时，可构造函数，利用函数的图象直观寻找不等式成立的条件． ⑶在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则222PA PB PC+= ▲ ．解析：将直角三角形放入直角坐标系中，如图，设0,),,0(),0,(>b a b B a A ，则)2,2(b a D ，)4,4(b a P ,所以1616)4()4(22222b a b a PC +=+=，16916)4()4(22222b a b b a PB +=-+=， 16169)4()4(22222b a b a a PA +=+-=，所以22222222210)1616(101616916916PCb a b a b a PB PA =+=+++=+,所以1022=+PCPB PA ，⑷定义在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上的函数y ＝6cos x 的图象与y ＝5tan x 的图象的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y ＝sin x 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________．解析：画出函数的图象，如图所示，由y ＝6cos x 与y ＝5tan x 联立成方程组得：6cos x ＝5tan x ，即6cos x＝5sin x cos x ，也即6sin 2x ＋5sin x －6＝0，解得sin x ＝23或sin x ＝－32(舍去)，故P 1P 2＝sin x ＝23.答案：23例题3(2012·苏锡常镇第一次模拟考试)若斜率为k 的两条平行直线l ，m 经过曲线C 的端点或与曲线C 相切，且曲线C 上的所有点都在l ，m 之间(也可在直线l ，m 上)，则把l ，m 间的距离称为曲线C 在“k 方向上的宽度”，记为d (k )．(1)若曲线C ：y ＝2x 2－1(－1≤x ≤2)，求d (－1)；(2)已知k >2，若曲线C ：y ＝x 3－x (－1≤x ≤2)，求关于k 的函数关系式d (k )．解：(1)y ＝2x 2－1(－1≤x ≤2)的端点为A (－1,1)，B (2,7)，∵y ′＝4x ，由y ′＝－1得到切点为⎝⎛⎭⎫－14，－78， ∴当k ＝－1时，与曲线C 相切的直线只有一条．结合题意可得，两条平行直线中一条与曲线C ：y ＝2x 2－1(－1≤x ≤2)相切，另一条直线过曲线的端点B (2，7)．∴平行的两条直线分别为：x ＋y －9＝0和x ＋y ＋98＝0.由两条平行线间的距离公式可得，d (－1)＝81216.(2)曲线C ：y ＝x 3－x (－1≤x ≤2)的端点A (－1,0)，B (2,6)， ∴y ′＝3x 2－1∈[－1,11]．下面分两种情况：①当k ≥11时，两条直线都不是曲线的切线，且分别经过点A (－1,0)，B (2,6)，此时两条直线方程分别为l ：y ＝k (x ＋1)，m ：y －6＝k (x －2)，所以d (k )＝3k －61＋k2；②当2<k <11时，设切点N (a ，a 3－a )得到k ＝3a 2－1>2且－1≤a ≤2得到1<a ≤2，且a ＝1＋k3从而推出l ，m 当中有一条与曲线C 相切，有一条经过一点，且是经过A (－1,0)的直线，和以B (2,6)为切点的直线，方程分别为l ：y ＝k (x ＋1)，m ：y ＝(3a 2－1)(x －a )＋a 3－a ＝kx －2 39(1＋k )32，所以d (k )＝9k ＋2 3(1＋k )329 1＋k2.综上得d (k )＝⎩⎪⎨⎪⎧3k －61＋k2，k ≥11，9k ＋2 3(1＋k )329 1＋k2，2<k <11.点评：本题是一个即时定义问题，背景新颖，在解决第二问时要注意将k 看成一个常数，对k 进行讨论，探究出两条直线与曲线C 的关系是都相切还是都是经过点还是一个相切一个经过点，并且了解经过哪个点．这些都可以利用导数这个工具解决．例题4已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点P (2，3)，且它的离心率21=e . （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）与圆1)1(22=++y x 相切的直线t kx y l +=：交椭圆于N M ，两点，若椭圆上一点C 满足OC ON OM λ=+，求实数λ的取值范围.解：(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x由已知得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===+2222221194b a c a c b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧===2324c b a 所以椭圆的标准方程为：1121622=+y x ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 6分(Ⅱ) 因为直线l ：t kx y +=与圆1)1(22=++y x 相切所以，)0(121122≠-=⇒=+-t t t k kkt 把t kx y +=代入1121622=+y x 并整理得： 0)484(8)43(222=-+++tktx x k设),(,),(2211y x N y x M ，则有 221438k ktx x +-=+22121214362)(k tt x x k t kx t kx y y +=++=+++=+因为，),(2121y y x x OC ++=λ 所以，⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-λλ)43(6,)43(822k t k ktC 又因为点C 在椭圆上，所以，1)43(3)43(4222222222=+++λλk tk t k 1)1()1(143222222++=+=⇒tt kt λ 因为 02>t 所以 11)1()1(222>++t t 所以 102<<λ 所以 λ的取值范围为 )1,0()0,1( - ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 16分【方法技巧】目前高考“注重通法，淡化特技”的命题原则来看，对于数形结合的数学思想方法，我们在复习时，应将重点置于解析几何中图象的几何意义的重视与挖掘以及函数图象的充分利用之上．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求向量和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程．这在解填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要做到胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野．数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围．1．已知OB →＝(2,0)，OC →＝(2,2)，CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →与OB →的夹角的取值范围为 ▲ ．解析：如图，在以O 为原点的平面直角坐标系中，B (2,0)，C (2,2)，A 点轨迹是以2为半径的圆C ，OD ，OE 为⊙C 的切线，易得∠COB ＝π4，∠COD ＝∠COE ＝π6，当A 点位于D 点时，OA →与OB →的夹角最小为π12，当A 点位于E 点时，OA →与OB →的夹角最大为512π，即夹角的取值范围为[π12，512π]．2．函数f (x )＝13x 3＋ax 2－bx 在[－1,2]上是单调减函数，则a ＋b 的最小值为________．解析：∵y ＝f (x )在区间[－1,2]上是单调减函数，∴f ′(x )＝x 2＋2ax －b ≤0在区间[－1,2]上恒成立．结合二次函数的图象可知f ′(－1)≤0且f ′(2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a －b ≤0，4＋4a －b ≤0也即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b －1≥0，4a －b ＋4≤0.作出不等式组表示的平面区域如图：当直线z ＝a ＋b 经过交点P (－12，2)时，z ＝a ＋b 取得最小值，且z min ＝－12＋2＝32.∴z ＝a ＋b 取得最小值32.答案：32点评：由f ′(x )≤0在[－1,2]上恒成立，结合二次函数图象转化为关于a ，b 的二元一次不等式组，再借助线性规划问题，采用图解法求a ＋b 的最小值．3．设函数g (x )＝x 2－2，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋x ＋4，x <g (x )，g (x )－x ，x ≥g (x ).则f (x )的值域是________．解析：依题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2＋x ＋4，x <x 2－2，x 2－2－x ，x ≥x 2－2，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－2－x ，－1≤x ≤2.由图象得f (x )值域为⎣⎡⎦⎤－94，0∪(2，＋∞)．答案：⎣⎡⎦⎤－94，0∪(2，＋∞) 4．已知u ≥1，v ≥1且(log a u )2＋(log a v )2＝log a (au 2)＋log a (a v 2)(a >1)，则log a (u v )的取值范围是 ▲ ．解析：令x ＝log a u ，y ＝log a v ，则已知式可化为(x －1)2＋(y －1)2＝4(x ≥0，y ≥0)．再设t ＝log a (u v )＝x ＋y (x ≥0，y ≥0)，则当线段y ＝－x ＋t (x ≥0，y ≥0)与圆弧(x －1)2＋(y －1)2＝4(x ≥0，y ≥0)相切时，如图截距t 取最大值t max ＝2＋22(图中CD 位置)；当线段端点是圆弧端点时，t 取最小值t min ＝1＋3(图AB 位置)．因此log a (u v )的最大值是2＋22，最小值是1＋ 3.答案： [ 1＋3，2＋22]5．若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P 、Q 都在函数f (x )的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对(P ，Q )是函数f (x )的一个“友好点对”(点对(P ，Q )与点对(Q ，P )看作同一个“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋4x ＋1，x <0，2e x ，x ≥0，则f (x )的“友好点对”有________个．解析：设P (x ，y )、Q (－x ，－y )(x >0)为函数f (x )的“友好点对”，则y ＝2ex ，－y ＝2(－x )2＋4(－x )＋1＝2x 2－4x ＋1， ∴2e x ＋2x 2－4x ＋1＝0，在同一坐标系中作函数y 1＝2e x 、y 2＝－2x 2＋4x －1的图象，y 1、y 2的图象有两个交点，所以f (x )有2个“友好点对”．答案：26．已知：函数f (x )满足下面关系：①f (x ＋1)＝f (x －1)；②当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则方程f (x )＝lg x 解的个数是________．解析：由题间可知，f (x )是以2为周期，值域为[0,1]的函数．又f (x )＝lg x ，则x ∈(0,10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．由图象可知共9个交点．答案：97．设正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为________．解析：设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则S 4＝4a 1＋6d ≥10，即2a 1＋3d ≥5，S 5＝5a 1＋10d ≤15，即a 1＋2d ≤3.又a 4＝a 1＋3d ，因此求a 4的最值可转化为在线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ≥5，a 1＋2d ≤3，a 1>0，d >0下的线性目标函数的最值问题，作出可行域，如图可知当a 4＝a 1＋3d ，经过点A (1,1)时有最大值4.答案：48．已知AC ，BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M (1，2)，则四边形ABCD 的面积的最大值为________．解析：如图，设弦AC ，BD 的中点分别为P ，Q ，连结OP ，OQ ，OM ，则OP ⊥AC ，OQ ⊥BD ，又AC ⊥BD ，故四边形OPMQ 为矩形，设圆心O 到AC ，BD 的距离分别为d 1，d 2，则d 21＋d 22＝OM 2＝3.又AC ＝24－d 21，BD ＝24－d 22，四边形ABCD 的面积S ＝12AC ·BD ＝2(4－d 21)(4－d 22)≤8(d 21＋d 22)＝5，当且仅当d 1＝d 2＝62时，等号成立．答案：59．如图放置的等腰直角三角形ABC 薄片(∠ACB ＝90°，AC ＝2)沿x 轴滚动，设顶点A (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，则f (x )在其相邻两个零点间的图象与x 轴围成的封闭图形的面积为________．解析：作出点A 的轨迹中相邻两个零点间的图象，如图所示．其轨迹为两段圆弧，一段是以C 为圆心，CA 为半径的四分之一圆弧；一段是以B 为圆心，BA 为半径，圆心角为3π4的圆弧．故其与x 轴围成的封闭图形的面积为12×22×π2＋12×2×2＋12×(22)2×3π4＝2＋4π.答案：2＋4π10．已知函数f (x )＝13x 3＋12ax 2＋bx ＋1(a 、b ∈R ，且b ≥－2)，当x ∈[－2，2]时，总有f ′(x )≤0.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设函数g (x )＝－3f (x )＋mx 2－6x (m ∈R )，若当x ∈[0,1]时，|g ′(x )|≤1，求m 的范围．解：(1)由条件，得f ′(x )＝13·3x 2＋12a ·2x ＋b ＝x 2＋ax ＋b ，当x ∈[－2，2]时，总有f ′(x )≤0，结合f ′(x )＝x 2＋ax ＋b 的图象，所以有⎩⎨⎧f ′(－2)≤0，f ′(2)≤0.即⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2＋b ≤0， ①2＋a 2＋b ≤0. ②由①＋②得，4＋2b ≤0⇒b ≤－2.又b ≥－2，∴b ＝－2.把b＝－2代入①和②得⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2－2≤0，2＋a 2－2≤0.即⎩⎨⎧a ≥0，a ≤0.所以a ＝0.因此f (x )＝13x 3－2x ＋1.(2)证明：g (x )＝－3⎝⎛⎭⎫13x 3－2x ＋1＋mx 2－6x ＝－x 3＋mx 2－3， g ′(x )＝－3x 2＋2mx 是关于x 的二次函数，观察y ＝g ′(x )的图象因为g ′(0)＝0，所以当x ∈[0,1]时，|g ′(x )|≤1⇔⎩⎨⎧g ′(1)＝－3＋2m ≥－1，0≤m3≤1，g ′⎝⎛⎭⎫m 3＝m 23≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧g ′(1)＝－3＋2m ≤1，m 3>1，或⎩⎪⎨⎪⎧g ′(1)＝－3＋2m ≥－1，m 3<0⇔1≤m ≤ 3. 11．已知抛物线D 的顶点是椭圆C ：x 216＋y 215＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．(1)求抛物线D 的方程；(2)过椭圆C 右顶点A 的直线l 交抛物线D 于M 、N 两点． ①若直线l 的斜率为1，求MN 的长；②是否存在垂直于x 轴的直线m 被以MA 为直径的圆E 所截得的弦长为定值？如果存在，求出m 的方程；如果不存在，说明理由．[解] (1)由题意，可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)．由a 2－b 2＝16－15＝1，得c ＝1. ∴抛物线的焦点为(1,0)，∴p ＝2. ∴抛物线D 的方程为y 2＝4x . (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．①直线l 的方程为：y ＝x －4，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4，y 2＝4x ，整理得x 2－12x ＋16＝0. 则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16，所以MN ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝410.②设存在直线m ：x ＝a 满足题意，则圆心E ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋42，y 12，过E 作直线x ＝a 的垂线，垂足为H ，设直线m 与圆E 的一个交点为G .可得GH 2＝EG 2－EH 2，即GH 2＝EA 2－EH 2＝(x 1－4)2＋y 214－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋42－a 2＝14y 21＋(x 1－4)2－(x 1＋4)24＋a (x 1＋4)－a 2 ＝x 1－4x 1＋a (x 1＋4)－a 2＝(a －3)x 1＋4a －a 2.当a ＝3时，GH 2＝3，此时直线m 被以MA 为直径的圆E 所截得的弦长恒为定值2 3. 因此存在直线m ：x ＝3满足题意．12．为加强安全防范，某商场在门前5 m 处的灯杆上B 处安装了一个监控探头，用来监视商场大门附近发生的情况．若商场门FG 的高为h m(0<h <4)，紧接门上有一高为1 m 的平面镜制的幕墙EF ，探头安装在距离地面x m(6≤x ≤9)处，设探头通过平面镜的监控宽度为C ′D ′，如图所示，记C ′D 的长为y m(y ＝GD ′－GC ′)．(1)当门的高度h ＝3 m 时，求监控宽度y 关于x 的函数关系式并求出函数的最大值； (2)为了使探头通过平面镜EF 能监控到A 点，即灯杆的下端点A 在C ′，D ′之间(包括端点C ′，D ′)，C ，D 为C ′，D ′在平面镜中所成的像，问商场门的高h 在什么范围时可以实现．解：由题意知，△ACB ∽△GCF ，所以FG AB ＝GCAC，即h x ＝GC 5＋GC ，解得GC ＝5h x －h .又△GDE ∽△ADB ，所以GE AB ＝GD AD ，即h ＋1x ＝GD 5＋GD ，解得GD ＝5h ＋5x －h －1.(1)当h ＝3 m 时，由于C ，D 为C ′、D ′在平面镜中所成的像，所以y ＝GD ′－GC ′＝GD －GC ，则y ＝20x －4－15x －3，即y ＝5xx 2－7x ＋12(6≤x ≤9)．y ′＝5(x 2－7x ＋12)－5x (2x －7)(x 2－7x ＋12)2＝－5(x 2－12)(x 2－7x ＋12)2.当x ∈[6,9]时，y ′<0，所以函数y ＝5x x 2－7x ＋12在[6,9]上单调递减，所以当x ＝6时，y max ＝202－153＝5.(2)若探头通过平面镜EF 能监控到A 点，即GC ′≤GA ≤GD ′.所以GC ′≤5≤GD ′，即5hx －h ≤5≤5h ＋5x －h －1在x ∈[6,9]上总成立，即⎩⎨⎧5hx －h≤5，5h ＋5x －h －1≥5，解得2h ≤x ≤2h ＋2.。

(完整word)数形结合思想在解题中的应用(包含30例子)汇总,推荐文档

数形结合思想在解题中的应用（包含30例子）一、知识整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。

所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。

2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

如等式()()x y -+-=214223．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。

4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。

这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。

二、例题分析例1.的取值范围。

之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：“数形结合”在解题中的应用原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202 解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222 法二、数形结合解法：令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。

“数形结合”方法归纳总结

“数形结合”⽅法归纳总结⼀、以数助形“数（代数）”与“形（⼏何）”是中学数学的两个主要研究对象，⽽这两个⽅⾯是紧密联系的．体现在数学解题中，包括“以数助形”和“以形助数”两个⽅⾯．“数”与“形”好⽐数学的“左右腿”．全⾯理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个⽅⾯来体会．此外还应该注意体会“数”与“形”各⾃的优势与局限性，相互补充．“数缺形时少直觉，形少数时难⼊微；数形结合百般好，隔离分家万事⾮．”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要，“数形结合”是⼀种⾮常重要的数学⽅法，也是⼀种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的地位．要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，，从“以数助形”⾓度来看，主要有以下两个结合点：（1）利⽤数轴、坐标系把⼏何问题代数化（在⾼中我们还将学到⽤“向量”把⼏何问题代数化）；（2）利⽤⾯积、距离、⾓度等⼏何量来解决⼏何问题，例如：利⽤勾股定理证明直⾓、利⽤三⾓函数研究⾓的⼤⼩、利⽤线段⽐例证明相似等．⼆、以形助数⼏何图形具有直观易懂的特点，所以在谈到“数形结合”时，更多的⽼师和学⽣更偏好于“以形助数”，利⽤⼏何图形解决代数问题，常常会产⽣“出奇制胜”的效果，使⼈愉悦．⼏何直观运⽤于代数主要有以下⼏个⽅⾯：（1）利⽤⼏何图形帮助记忆代数公式，例如：正⽅形的分割图可以⽤来记忆完全平⽅公式；将两个全等的梯形拼成⼀个平⾏四边形可以⽤来记忆梯形⾯积公式；等等．（2）利⽤数轴或坐标系将⼀些代数表达式赋予⼏何意义，通过构造⼏何图形，依靠直观帮助解决代数问题，或者简化代数运算．⽐如：绝对值的⼏何意义就是数轴上两点之间的距离；数的⼤⼩关系就是数轴上点的左右关系，可以⽤数轴上的线段表⽰实数的取值范围；利⽤函数图像的特点把握函数的性质：⼀次函数的斜率（倾斜程度）、截距，⼆次函数的对称轴、开⼝、判别式、两根之间的距离，等等；⼀元⼆次⽅程的根的⼏何意义是⼆次函数图像与x轴的交点；函数解析式中常数项的⼏何意义是函数图像与y轴的交点（函数在x=0时有意义）；锐⾓三⾓函数的意义就是直⾓三⾓形中的线段⽐例．。

数形结合(很好很全) (1)

数形结合思想数形结合是通过“以形助数”（将所研究的代数问题转化为研究其对应的几何图形）或“以数助形”（借助数的精确性来阐明形的某种属性），把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来，是解决问题的一种数学思想方法。

它能使抽象问题具体化，复杂问题简单化，在数学解题中具有极为独特的策略指导与调节作用。

具体地说，数形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题；或将图形信息全部转化成代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的讨论。

选择题，填空题等客观性题型，由于不要求解答过程，就某些题目而言，这给学生创造了灵活运用数形结合思想，寻找快速思路的空间。

但在解答题中，运用数形结合思想时，要注意辅之以严格的逻辑推理，“形”上的直观是不够严密的。

1．高考试题对数形结合的考查主要涉及的几个方面：（1）集合问题中V enn图（韦恩图）的运用；（2）数轴及直角坐标系的广泛应用；（3）函数图象的应用；（4）数学概念及数学表达式几何意义的应用；（5）解析几何、立体几何中的数形结合。

2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：（1）等价性原则。

要注意由于图象不能精确刻画数量关系所带来的负面效应；（2）双方性原则。

既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错；（3）简单性原则。

不要为了“数形结合”而数形结合，具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系，做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线为佳3．进行数形结合的信息转换，主要有三个途径：（1）建立坐标系，引入参变数，化静为动，以动求解，如解析几何；（2）构造成转化为熟悉的函数模型，利用函数图象求解；（3）构造成转化为熟悉的几何模型，利用图形特征求解。

数形结合思想的总结

数形结合思想的总结数形结合思想是指在数学问题的解决过程中，结合几何图形进行分析和思考，以便更好地理解和解决问题。

数形结合思想是数学思维的重要组成部分，也是培养学生综合素质的有效方法之一。

在学习和应用数形结合思想的过程中，我们可以提高数学问题的理解和解决能力，培养逻辑思维和观察力，同时也能够增强几何直观和空间想象能力。

下面将对数形结合思想进行总结和分析。

首先，数形结合思想可以帮助学生更好地理解和解释数学问题。

数学问题通常以文字的形式呈现，有时候难以理解和把握。

而将问题转化为几何图形，可以帮助我们更加形象地理解问题的含义和要求。

通过观察和分析图形的特点，可以找到问题的关键信息，从而更好地解决问题。

例如，在解决平面几何问题时，我们可以通过画图来表示已知条件和所求要素的关系，从而更好地找到解答的方法和途径。

其次，数形结合思想有助于培养学生的逻辑思维和观察力。

在数学学习过程中，逻辑思维和观察力是至关重要的能力。

运用数形结合思想，可以培养学生的逻辑思维能力。

通过观察和分析图形的形状、大小、位置等特点，进行逻辑推理和推断，有助于学生锻炼逻辑思维能力，提高解题的准确性和效率。

同时，数形结合思想也要求学生具备良好的观察力，能够准确地观察和把握图形的特点和变化。

通过观察和比较图形，可以帮助学生发现问题的规律和规则，从而更好地解决问题。

此外，数形结合思想还能够增强学生的几何直观和空间想象能力。

几何学是研究空间内点、直线、面及其相互关系的数学分支，几何直观和空间想象是几何学习的基本要素。

数形结合思想要求学生通过画图和观察图形，从而增强对几何图形的直观感受和空间想象能力。

通过观察和分析图形的形状、结构和变化，可以培养学生对几何图形的认识和理解能力，提高空间想象和几何直观的能力。

这对于解决几何学问题和应用直观思维进行数学推理是非常重要的。

最后，数形结合思想在培养学生综合素质方面具有积极的作用。

数形结合思想是一种综合性的思维方式，要求学生综合运用数学知识、几何图形和逻辑推理等技能进行分析和解决问题。

二次函数的数形结合归纳

二次函数的数形结合一、一般式：y=ax 2+bx+c （a ≠0）顶点坐标)44,2(2a b ac a b --，对称轴是ab x 2-= 当ab x 2-=时，函数有最大(小)值为a b ac 442- 抛物线的开口方向和大小 a 的符号，︱a ︱越大开口越小抛物线的形状相同︱a ︱相同对称轴在y 轴左侧 a ，b 同号对称轴在y 轴右侧 a ，b 异号正半轴 c ＞0与y 轴的交点（0，c ）位置原点 c=0负半轴 c ＜0与x 轴的交点的横坐标 ax 2+bx+c=0 的解抛物线与x 轴有两个交点 a ≠0；△=b 2-4ac ＞0抛物线与x 轴有一个交点顶点在x 轴上抛物线与x 轴没有交点 a ≠0；△=b 2-4ac ＜0抛物线的顶点在y 轴上 b=0抛物线的顶点在原点3个交点 △＞0，c △＞0，c=0抛物线与坐标轴有 2个交点△=0，c ≠0 △＜01个交点b=c=0函数值恒为正（无论x 取何值，y 始终为正） a ＞0，△＜0 函数值恒为负（无论x 取何值，y 始终为负） a ＞0，△＜0 X 轴的对称抛物线是 y=-ax 2-bx-c 抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）关于 Y 轴的对称抛物线是 y=ax 2-bx+c原点的对称抛物线是 y=-ax 2+bx-c抛物线在x 轴上截得的线段长度—————︱x 1-x 2︱=aac b 42- a ≠0；△=b 2-4ac=0二、顶点式：y=a(x+m)2+k(a ≠0)的顶点是（－m ，k ），对称轴是x =－m. 当x =－m 时，函数有最大(小)值为 k考虑平移时一般要用顶点式，平移规律是抛物线y=a(x+m)2+k 关于x 轴y 轴或原点的对称抛物线——————关键是找到对称抛物线的顶点坐标和a 即可如y=2(x+2)2-3关于x 轴的对称抛物线——关于x 轴的对称抛物线——关于原点的对称抛物线——顶点在一定在什么特殊的函数上-------如何处理三、交点式（两根式）：))((21x x x x a y --=，其中21,x x 是c bx ax ++2=0的两个实数根，图象与x 轴的两个交点坐标为（，）和（，），对称轴是直线x= 图像上纵坐标相等的点关于对称轴对称如（2,5），（-4,5）在图像上对称轴是直线x=1242-=- 抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于（x 1,0），（x 2,0）ax 2+bx+c ＞0——————抛物线))((21x x x x a y --=关于x 轴的对称抛物线——))((21x x x x a y ---=抛物线))((21x x x x a y --=关于y 轴的对称抛物线——))((21x x x x a y ++= 抛物线))((21x x x x a y --=关于原点的对称抛物线—— a ＞0———— a ＜0————。

小学数学总结_数形结合

第一讲数形结合看到数，想到形，利用图形的技巧解决问题。

a 想到线段，2a 想到正方形，3a 想到正方体。

一、三角形数自然数列，金字塔数列，可以构成三角形的图形，成为三角形数。

连续自然数的三角形数的解题思路：1、是连续自然数列，1+2+…+n ，2、圈内填等差数列，3、旋转对称求解。

详见相关例题。

二、正方形数平方数、奇数数列、金字塔数列，可以构成正方形的图形，成为正方形数。

1+3+5+7+…+(2n-1)＝2n ,1+2+3+…+n+…+3+2+1＝2n ,23333)...321(...321n n++++++++=。

101、【补充1】1+2+3+…+n ＝21n(n+1)，想到的图形？【难度级别】★☆☆☆☆ 【解题思路】正三角形。

102、【补充2】求解222 (21)n +++【难度级别】★★★☆☆【解题思路】提供数形结合的两种方法，通过此题了解三角形数、正方形数的求解方法。

方法一：正方形数(金字塔数列、奇数列)平方数可以表示成金字塔数列：21＝1，1个数； 22＝1+2+1，3个数； 23＝1+2+3+2+1，5个数；24＝1+2+3+4+3+2+1，7个数；……数的个数，构成了奇数列，1+3+5+7+…+(2n-1)＝2n ，奇数列可以构成正方形数，将金字塔数列填入正方形数中，如上图。

所以，222 (21)n +++＝(2n-1)×1+(2n-3)×2+(2n-5)×3+…+[2n-(2n-1)]×n＝2n ×(1+2+3+…+n)-[1×1+2×3+3×5+4×7+…+n ×(2n-1)]1112121231234321＝n ×n ×(n+1)-[2(2n-1)+1]÷3×2)1(+⨯n n ＝)12)(1(61++⨯⨯n n n其中，1×1+2×3+3×5+4×7+…+n ×(2n-1)是采用三角形数的求解方法： 1、连续自然数，1、2、3、…、n 2、每个圈内的数，形成奇数数列 3、旋转对称每个位置的平均值为：[2(2n-1)+1]÷3，数的个数为：1+2+3+…+n ＝2)1(+⨯n n所以，1×1+2×3+3×5+4×7+…+n ×(2n-1)＝[2(2n-1)+1]÷3×2)1(+⨯n n 。