山西省2020-2021学年高二年级3月月考理科数学试卷
山西省部分学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含答案)
2024~2025学年高二10月质量检测卷数学（A 卷）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册第一章～第二章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线经过，两点，则的倾斜角为（）A.B.C.D.2.已知圆的方程是，则圆心的坐标是（ ）A. B. C. D.3.在长方体中，为棱的中点.若，，，则（）A. B. C. D.4.两平行直线，之间的距离为（ ）B.3D.5.曲线轴围成区域的面积为（ ）l (A (B l 6π3π23π56πC 2242110x y x y ++--=C ()2,1-()2,1-()4,2-()4,2-1111ABCD A B C D -M 1CC AB a = AD b =1AA c = AM =111222a b c -+ 111222a b c ++12a b c-+12a b c++ 1:20l x y --=2:240l x y -+=y =xA. B. C. D.6.已知平面的一个法向量，是平面内一点，是平面外一点，则点到平面的距离是（ ）A. B.D.37.在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上存在点，使以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ）A. B.C. D.8.在正三棱柱中，，，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的最小值为（ ）A.2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
山西省大同市浑源县第七中学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题(含解析)
2024－2025学年第一学期高二年级第一次月考数学试题考试时间：120分钟 试题满分：150分一、单选题（共8小题）1. (5分)已知a ＝(－3，2，5)，b ＝(1，x ，－1)，且a ·b ＝2，则实数x 的值是( )A . 3 B . 4 C . 5 D . 62. (5分)已知直线l 的一方向向量为，则直线l 的倾斜角为( )A . 30° B . 60° C . 120° D . 150°3. (5分)如图，若直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A . k 1<k 3<k 2 B . k 3<k 1<k 2C . k 1<k 2<k 3 D . k 3<k 2<k 14. (5分)如图，在三棱锥S -ABC 中，点E ，F 分别是SA ，BC 的中点，点G 满足＝，若＝a ，＝b ，＝c ，则＝( )A . a ＋b ＋cB . a －b ＋cC . －a －b ＋cD . a －b ＋c5. (5分)若直线与平行，则的值为（ ）A . 0 B . 2 C . 3 D . 2或36. (5分)已知a >0，b >0，直线l 1：(a －1)x ＋y －1＝0，l 2：x ＋2by ＋1＝0，且l 1⊥l 2，则＋的最小值为( )A . 2B . 4C . 8D . 97. (5分)已知点A (2,3)，B (－3，－2)，若直线l 过点P (1,1)，且与线段AB 始终没有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A . B . C . D . {k |k <2}8. (5分)若三条直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，l 3：x ＋y ＋a ＝0能构成三角形，则实数a 应满足的条件是( )A . a ＝1或a ＝－2B . a ≠±1C . a ≠1且a ≠－2D . a ≠±1且a ≠－2二、多选题（共4小题）9. (5分)已知空间三点A (1,0,3)，B (－1,1,4)，C (2，－1,3)．若 →AP ∥ →BC ，且||＝，则点P 的坐标为( )A . (4，－2,2)B . (－2,2,4)C . (－4,2，－2)D . (2，－2,4)10. (5分)已知直线l 1与l 2为两条不重合的直线，则下列命题正确的是( )A . 若l 1∥l 2，则斜率k 1＝k 2 B . 若斜率k 1＝k 2，则l 1∥l 2C . 若倾斜角α1＝α2，则l 1∥l 2D . 若l 1∥l 2，则倾斜角α1＝α211. (5分)下列说法正确的是（）()1:240l a x ay -++=()2:2340l a x y -++=aA . 直线的倾斜角为B . 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2C . 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为，则该直线方程为D . 过两点的直线方程为12. (5分)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，以D 为坐标原点，，，所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则下列说法正确的是( )A .B 1的坐标为(2,2,3) B .＝(－2,0,3)C . 平面A 1BC 1的一个法向量为(－3,3，－2)D . 二面角B -A 1C 1 -B 1的余弦值为三、填空题（共4小题）13. (5分)点到直线的距离为______．14. (5分)已知|a |=13,|b |=19,|a +b |=24,则|a -b |=________.15. (5分)已知直线与互相平行，则__________，与之间的距离为__________.16. (5分)已知点A (λ＋1，μ－1，3)，B (2λ，μ，λ－2μ)，C (λ＋3，μ－3，9)三点共线，则实数λ＝________，μ＝________.四、解答题（共6小题）17. (10分)如图，在空间四面体OABC 中，2＝，点E 为AD 的中点，设＝a ，＝b ，＝c ．(1)试用向量a ，b ，c 表示向量；(2)若OA ＝OC ＝3，OB ＝2，∠AOC ＝∠BOC ＝∠AOB ＝60°，求·的值．18. (12分)已知直线l 经过点(1,6)和点(8，－8)．(1)求直线l 的两点式方程，并化为截距式方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成的图形面积．19. (12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方20x y --=π420x y --=()1,4030x y -+=()()001,4,x y 、004141y x y x --=--()1,2P 3460x y +-=1:230l x y ++=2:20l x my m -+=m =1l 2l形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．(1)求证：EF⊥CD；(2)求DB与平面DEF所成角的正弦值．20.(12分)设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0．(1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值；(2)已知直线l的斜率为1，求m的值．21.(12分)直线l经过两直线l1：x＋y＝0和l2：2x＋3y－2＝0的交点．(1)若直线l与直线3x＋y－1＝0平行，求直线l的方程；(2)若点A(3,1)到直线l的距离为5，求直线l的方程．22.(12分)已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l的方程.数学参考答案1. 【答案】C【解析】因为a ＝(－3，2，5)，b ＝(1，x ，－1)，所以a ·b ＝－3＋2x －5＝2，解得x ＝5.2. 【答案】B【解析】设直线l 的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°)，则tan θ＝，∴θ＝60°．故选B ．3. 【答案】A【解析】设直线l 1，l 2，l 3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由图知0°<α3<α2<90°<α1<180°，所以tan α1<0，tan α2>tan α3>0，即k 1<0，k 2>k 3>0.4. 【答案】B 【解析】＝＋＝＋＝(－)＋(－)＝(－)＋×＝－＋＝a －b ＋c ．故选B ．5. 【答案】B【解析】由题意，所以，解得，或，当时，，，此时，符合题意，当时，，，此时两直线重合，不符合题意，所以.故选：B .6. 【答案】C【解析】因为l 1⊥l 2，所以(a －1)×1＋1×2b ＝0，即a ＋2b ＝1，因为a >0，b >0，所以＋＝(a ＋2b )＝2＋2＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a ＝，b ＝时等号成立，所以＋的最小值为8．故选C ．7. 【答案】A 【解析】∵k AP ＝＝2，k BP ＝＝，如图，12//l l ()()3220a a a ---=2a =3a =2a =1:20l y +=2:340l y +=12//l l 3a =1340:l x y ++=2:340l x y ++=2a=∵直线l 与线段AB 始终没有交点，∴斜率k 的取值范围是.8. 【答案】D【解析】为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．①若l 1∥l 2，是由a ×a －1×1＝0，得a ＝±1.②若l 2∥l 3，则由1×1－a ×1＝0，得a ＝1.③若l 1∥l 3，则由a ×1－1×1＝0，得a ＝1.当a ＝1时，l 1，l 2与l 3三线重合，当a ＝－1时，l 1，l 2平行．④若三条直线交于一点，由解得将l 2，l 3的交点(－a －1,1)的坐标代入l 1的方程，解得a ＝1(舍去)或＝－2.所以要使三条直线能构成三角形，需a ≠±1且a ≠－2.9. 【答案】AB【解析】设＝λ＝(3λ，－2λ，－λ)．又||＝，∴＝，解得λ＝±1，∴＝(3，－2，－1)或＝(－3,2,1)．设点P 的坐标为(x ，y ，z )，则＝(x －1，y ，z －3)，∴或解得或故点P 的坐标为(4，－2,2)或(－2,2,4)．10. 【答案】BCD【解析】对于A ，若l 1∥l 2，且l 1与l 2的倾斜角均为，则直线l 1与l 2的斜率不存在，故A 错误；对于B ，若斜率k 1＝k 2，且直线l 1与l 2为两条不重合的直线，则l 1∥l 2，故B 正确；对于C ，若倾斜角α1＝α2，且直线l 1与l 2为两条不重合的直线，由平行线的性质可得l 1∥l 2，故C 正确；对于D ，若l 1∥l 2，由平行线的性质可得倾斜角α1＝α2，故D 正确．故选B 、C 、D ．11. 【答案】AB【解析】对于A ，直线的斜率为，其倾斜角为，A 正确；对于B ，直线交轴分别于点，该直线与坐标轴围成三角形面积为，B 正确；20x y --=1k =π420x y --=,x y ()()2,0,0,2-12222S =⨯⨯=对于C ，过点与原点的直线在两坐标轴上的截距都为0，符合题意，即过点且在两坐标轴上的截距之和为的直线可以是直线，C 错误；对于D ，当时的直线或当时的直线方程不能用表示出，D 错误.故选：AB .12. 【答案】ABD【解析】因为AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，所以A 1(2,0,3)，B (2,2,0)，B 1(2,2,3)，C 1(0,2,3)，所以＝(－2,0,3)，＝(0,2，－3)，故A 、B 正确；设平面A 1BC 1的法向量m ＝(x ，y ，z )，所以{m ∙→A 1B =0,m ∙→BC 1=0,即令x ＝－3，则y ＝－3，z ＝－2，即平面A 1BC 1的一个法向量为(－3，－3，－2)，故C 错误；由几何体易得平面A 1B 1C 1的一个法向量为n ＝(0,0,1)，由于cos 〈m ，n 〉＝＝＝－，结合图形可知二面角B -A 1C 1 -B 1的余弦值为，故D 正确．故选A 、B 、D ．13. 【答案】1【解析】点到直线的距离.故答案为：.14. 【答案】22【解析】|a +b |2=a 2+2a ·b +b 2=132+2a ·b +192=242,∴2a ·b =46,|a -b |2=a 2-2a ·b +b 2=530-46=484,故|a -b |=22.15. 【答案】【解析】因为直线与互相平行，所以，解得，则，()1,4()0,04y x =()1,404y x =001,4x y =≠004,1y x =≠004141y x y x --=--()1,2P 3460x y +-=1d 14-1:230l x y ++=2:20l x my m -+=2123m m -=≠4m =-2:220l x y +-=所以与之间的距离.故答案为：；.16. 【答案】0 0【解析】因为 →AB ＝(λ－1，1，λ－2μ－3)， →AC ＝(2，－2，6)，由A ，B ，C 三点共线，得 →AB ∥ →AC ，即λ―12＝－ 12＝λ－2μ－36，解得λ＝0，μ＝0.17. 【答案】解 (1)∵2＝，∴＝＝(－)＝(c －b )，故＝＋＝b ＋(c －b )＝b ＋c ，∵点E 为AD 的中点，故＝(＋)＝a ＋b ＋c ．(2)由题意得a ·c ＝，a ·b ＝3，c ·b ＝3，＝c －a ，故·＝(a ＋b ＋c )·(c －a )＝－a 2＋c 2＋a ·c ＋b ·c －b ·a ＝－×9＋×9＋×＋×3－×3＝－．18. 【答案】解 (1)因为直线l 的两点式方程为＝，所以＝，即＝x －1.所以y －6＝－2x ＋2，即2x ＋y ＝8.所以＋＝1.故所求截距式方程为＋＝1.(2)如图所示，1l 2ld4-直线l 与两坐标轴围成的图形是直角三角形AOB ，且OA ⊥OB ，由 x 4+y8=1可知|OA |＝4，|OB |＝8，故S △AOB ＝×|OA |×|OB |＝×4×8＝16.故直线l 与两坐标轴围成的图形面积为16.19. 【答案】(1)证明 以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图．设AD ＝a ，则D (0,0,0)，A (a ，0,0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，E (a ，a2，0)，P (0,0，a )，F(a 2，a 2，a2).∵ →EF · →DC ＝ (―a2，0，a2)·(0，a ，0)＝0，∴ →EF ⊥ →DC ，∴EF ⊥CD .(2)解 设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则{n ∙→DF =0，n ∙→DE =0，即 {(x ，y ，z )∙(a2，a2，a2)=0，(x ，y ，z )∙(a ，a 2，0)=0，即{a 2(x ＋y ＋z )＝0，ax +a2y ＝0.取x ＝1，则y ＝－2，z ＝1，∴n ＝(1，－2，1)是平面DEF 的一个法向量，∴cos 〈 →BD ，n 〉＝→BD ∙n|→BD |∙|n |＝a2a ∙6＝ 36.设DB 与平面DEF 所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈→BD，n〉|＝3.620.【答案】解 (1)由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1，令y＝0，则x＝，∴＝－3，得m＝－或m＝3(舍去)．∴m＝－．(2)由题意知，2m2＋m－1≠0，即m≠且m≠－1．由直线l化为斜截式方程得y＝x＋，则＝1，得m＝－2或m＝－1(舍去)．∴m＝－2．【解析】【知识点】根据直线的一般式方程求斜率、截距、参数值及范围21.【答案】解 (1)直线l1方程与l2方程联立得交点坐标为(－2,2)，设直线l的方程为3x＋y＋m＝0，代入交点(－2,2)得m＝4，所以l的方程为3x＋y＋4＝0．(2)当直线l的斜率不存在时，得l的方程为x＝－2，符合条件；当l斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋2)，根据d＝＝5，解得k＝，所以直线l的方程为12x－5y＋34＝0．综上所述，l的方程为12x－5y＋34＝0或x＝－2．22.【答案】(1)证明 直线l的方程可化为y－1＝k(x＋2)，由点斜式方程可知，直线l过定点(－2，1).(2)解 由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k>0；当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞).(3)解 由题意可知k≠0，再由l的方程，得A，B(0，1＋2k).依题意得解得k>0.∵S＝|OA|·|OB|＝·|1＋2k|＝·＝≥×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的条件是k>0且4k＝，即k＝，∴S min＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.。
山西省朔州市怀仁市2020-2021学年高二上学期期末(理科)数学试卷 (解析版)
2020-2021学年山西省朔州市怀仁市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．抛物线y＝x2的准线方程为（）A．B．y＝﹣2C．x＝﹣2D．x＝﹣2．“3＜m＜7”是“方程＝1为椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知双曲线的渐近线方程为，则其对应的双曲线方程不可能为（）A．B．C．D．x2﹣4y2＝6 4．已知函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．﹣1是函数f（x）的极小值点B．﹣4是函数f（x）的极小值点C．函数f（x）在区间（﹣∞，﹣4）上单调递增D．函数f（x）在区间（﹣4，﹣1）上先增后减5．椭圆上的一点A关于原点的对称点为B，F为它的右焦点，若AF⊥BF，则△AFB的面积是（）A．1B．2C．4D．86．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且|FA|•|FB|＝8，则|AB|＝（）A．6B．7C．8D．97．已知椭圆+y2＝1（m＞1）和双曲线﹣y2＝1（n＞0）有相同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随m，n的变化而变化8．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮席为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．已知A（﹣3，0），B是圆x2+（y﹣4）2＝1上的点，点P在双曲线的右支上，则|PA|+|PB|的最小值为（）A．9B．2+4C．8D．710．已知点A，B是双曲线的左、右顶点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，若|F1F2|＝2，P是双曲线上异于A，B的动点，且直线PA，PB的斜率之积为定值4，则|AB|＝（）A．2B．C．D．411．如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（）A．|BM|是定值B．点M在某个球面上运动C．存在某个位置，使DE⊥A1CD．存在某个位置，使MB∥平面A1DE12．已知函数f（x）是定义在R上连续的奇函数，当x＞0时，xf'（x）+2f（x）＞0，且f （1）＝1，则函数g（x）＝f（x）﹣的零点个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（共4小题）.13．已知椭圆C：+＝1的AB的中点M的坐标为（2，1），则直线AB的方程为．14．如果F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且|AB|＝6，则△ABF2的周长是．15．已知函数f（x）＝在（0，1）内存在最小值，则a的取值范围为．16．如图，P为椭圆+＝1上一个动点，过点P作圆C：（x﹣1）2+y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则当四边形PACB面积最大时，•的值为．三、解答题（共6小题）.17．设命题p：方程表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线；命题q：实数a使曲线x2+y2﹣4x﹣2y﹣a2+6a+12＝0表示一个圆．（1）若命题p为真命题，求实数a取值范围；（2）若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，求实数a的取值范围．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥PC，AD∥BC，AD⊥CD且PC＝BC＝2AD＝2CD ＝2，PA＝2．（1）证明：平面PAC⊥平面ABCD．（2）若M为侧棱PD的中点，求二面角M﹣AC﹣P的余弦值．19．已知函数．（Ⅰ）当时，判断函数f（x）是否有极值；（Ⅱ）若时，f（x）总是区间（2a﹣1，a）上的增函数，求实数a的取值范围．20．过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F且斜率为1的直线交抛物线C于M，N两点，且|MN|＝2．（1）求p的值；（2）抛物线C上一点Q（x0，1），直线l：y＝kx+m（其中k≠0）抛物线C交于A，B 两个不同的点（A，B均与点Q不重合）设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，k1k2＝，直线l是否定点？若是，求出所有定点；若不是，请说明理由．21．已知双曲线x2﹣y2＝1的焦点是椭圆的顶点，F1为椭圆C的左焦点且椭圆C经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右顶点A作斜率k（k＜0）的直线交椭圆C于另一点B，连结BF1，并延长BF1，交椭圆C于点M，当△AOB的面积取得最大值时，求△ABM的面积．22．已知函数f（x）＝ax2+（2﹣a）lnx+2．（1）求函数在点（1，f（1））处的切线方程，并讨论函数f（x）的单调性；（2）若关于x的不等式f（x）≥（a+2）x在[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．抛物线y＝x2的准线方程为（）A．B．y＝﹣2C．x＝﹣2D．x＝﹣解：根据题意，抛物线的方程为：y＝x2，则其标准方程为：x2＝8y，其焦点在y轴正半轴上，且p＝4，则其准线方程为：y＝﹣2；故选：B．2．“3＜m＜7”是“方程＝1为椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：当m＝5时，方程为圆，“方程为椭圆”则，解得“3＜m＜5或5＜m＜7”，∴“3＜m＜7”是“方程为椭圆”的必要不充分条件．故选：B．3．已知双曲线的渐近线方程为，则其对应的双曲线方程不可能为（）A．B．C．D．x2﹣4y2＝6解：的渐近线方程为：；的渐近线方程为：；的渐近线方程为：y＝±2x；x2﹣4y2＝6，的渐近线方程为：；故选：C．4．已知函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．﹣1是函数f（x）的极小值点B．﹣4是函数f（x）的极小值点C．函数f（x）在区间（﹣∞，﹣4）上单调递增D．函数f（x）在区间（﹣4，﹣1）上先增后减解：结合导函数的图象，f（x）在（﹣∞，﹣4）递减，在（﹣4，+∞）递增，对于A，﹣1不是f（x）的极值点；对于B，﹣4是函数f（x）的极小值点；对于C，函数f（x）在区间（﹣∞，﹣4）上单调递减；对于D，函数f（x）在区间（﹣4，﹣1）上单调递增；故选：B．5．椭圆上的一点A关于原点的对称点为B，F为它的右焦点，若AF⊥BF，则△AFB的面积是（）A．1B．2C．4D．8【分析】由椭圆上的一点A关于原点的对称点为B，F为它的右焦点，AF⊥BF，可得|AO|＝2，求出A的纵坐标，再求出三角形△AFB的面积．解：椭圆中a＝4，b＝2，c＝2，∵椭圆上的一点A关于原点的对称点为B，F为它的右焦点，AF⊥BF，∴|AO|＝|BO|＝|OF|＝2，设A（x，y），则x2+y2＝12，∵椭圆，联立消去x，化简可得|y|＝，∴三角形△AFB的面积是2×＝4，故选：C．6．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且|FA|•|FB|＝8，则|AB|＝（）A．6B．7C．8D．9【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的斜率为k，联立方程组消元，根据根与系数的关系和弦长公式即可得出|AB|的值．解：抛物线y2＝4x，p＝2，抛物线的焦点坐标为F（1，0），设直线AB方程为y＝k（x﹣1），联立方程组，消去y得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2＝1，抛物线的准线方程为x＝﹣1，故|FA|＝x1+1，|FB|＝x2+1，∴|FA||FB|＝（x1+1）（x2+1）＝x1+x2+x1x2+1＝x1+x2+2＝8，∴|AB|＝|FA|+|FB|＝x1+x2+2＝8．故选：C．7．已知椭圆+y2＝1（m＞1）和双曲线﹣y2＝1（n＞0）有相同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随m，n的变化而变化【分析】由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|＝2，由椭圆的定义|PF1|+|PF2|＝2，再由|F1F2|＝2，利用勾股定理能判断△F1PF2的形状．解：由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2，双曲线的实轴长为2，不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|＝2，①由椭圆的定义|PF1|+|PF2|＝2，②∵m﹣n＝2，∴n＝m﹣2，①2+②2得|PF1|2+|PF2|2＝2（m+n），又∵椭圆+y2＝1（m＞1）和双曲线﹣y2＝1（n＞0）有相同的焦点F1，F2，∴m﹣1＝n+1，∴m﹣n＝2，∴|PF1|2+|PF2|2＝2（m+n）＝4m﹣4，|F1F2|2＝（2）2＝4m﹣4，∴|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|，则△F1PF2的形状是直角三角形故选：B．8．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮席为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设出双曲线方程，通过坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且AB＝BC＝CD，推出点在双曲线上，然后求解离心率即可．解：设双曲线的方程为，则OC＝a．因为AB＝BC＝CD，所以CD＝2OC，所以OD＝3OC＝3a．因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，所以点在双曲线上，代入双曲线方程得，解得．所以双曲线的离心率为．故选：D．9．已知A（﹣3，0），B是圆x2+（y﹣4）2＝1上的点，点P在双曲线的右支上，则|PA|+|PB|的最小值为（）A．9B．2+4C．8D．7【分析】设双曲线右焦点为M，利用双曲线定义可求出|PA|＝|PM|+4，再利用圆的性质把PB的距离转化为P到圆心的距离减去半径，然后再利用两点间距离最短即可求解．解：设圆心为C，双曲线右焦点为M（3，0），且|PB|+|BC|≥PC|，即|PB|≥|PC|﹣1，|PA|＝|PM|+4，所以|PB|+|PA|≥|PC|+|PA|+3≥|MC|+3＝8，如图所示：当且仅当M，B，C三点共线时取得等号，故选：C．10．已知点A，B是双曲线的左、右顶点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，若|F1F2|＝2，P是双曲线上异于A，B的动点，且直线PA，PB的斜率之积为定值4，则|AB|＝（）A．2B．C．D．4【分析】设A（﹣a，0），B（a，0），P（x，y）求出斜率，利用斜率乘积推出a、b关系，结合焦距，转化求解a，即可推出|AB|．解：设A（﹣a，0），B（a，0），P（x，y），则，所以，又因为，所以，又因为c2＝a2+b2，所以a＝1，b＝2，所以|AB|＝2a＝2，故选：A．11．如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（）A．|BM|是定值B．点M在某个球面上运动C．存在某个位置，使DE⊥A1CD．存在某个位置，使MB∥平面A1DE【分析】取CD中点F，连接MF，BF，则平面MBF∥平面A1DE，可得D正确；由余弦定理可得MB2＝MF2+FB2﹣2MF•FB•cos∠MFB，所以MB是定值，M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，可得A，B正确．A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，可得C不正确．解：取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥DA1，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A1DE，∴MB∥平面A1DE，故D正确由∠A1DE＝∠MFB，MF＝A1D＝定值，FB＝DE＝定值，由余弦定理可得MB2＝MF2+FB2﹣2MF•FB•cos∠MFB，所以MB是定值，故A正确．∵B是定点，∴M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，故B正确，∵A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，∴存在某个位置，使DE⊥A1C不正确．故选：C．12．已知函数f（x）是定义在R上连续的奇函数，当x＞0时，xf'（x）+2f（x）＞0，且f （1）＝1，则函数g（x）＝f（x）﹣的零点个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据题意，设h（x）＝x2f（x），由函数的零点与方程的关系分析可得函数g（x）＝f（x）﹣的零点就是方程x2f（x）＝1的根，分析可得h（x）为R上连续的奇函数，且在R上为增函数，又由f（1）的值可得h（1）的值，据此可得方程x2f（x）＝1只有一个根，即函数g（x）＝f（x）﹣只有1个零点，可得答案．解：根据题意，若g（x）＝f（x）﹣＝0，变形可得g（x）＝＝0，设h（x）＝x2f（x），则函数g（x）＝f（x）﹣的零点就是方程x2f（x）＝1的根，h（x）＝x2f（x），其定义域为R，又由f（x）为定义在R上连续的奇函数，则h（﹣x）＝（﹣x）2f（﹣x）＝﹣h（x），则h（x）为R上连续的奇函数，h（x）＝x2f（x），则h′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）＝x[xf'（x）+2f（x）]，又由当x＞0时，xf'（x）+2f（x）＞0，则有h′（x）＞0，即函数h（x）为（0，+∞）上的增函数，又由h（x）为R上连续的奇函数，且h（0）＝0，则h（x）为R上的增函数，又由f（1）＝1，则h（1）＝f（1）＝1，则方程x2f（x）＝1只有一个根，故函数g（x）＝f（x）﹣只有1个零点，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知椭圆C：+＝1的AB的中点M的坐标为（2，1），则直线AB的方程为x+2y ﹣4＝0．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），则2＝，，＝k．代入椭圆方程可得：＝1，＝1．相减化简整理即可得出．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则2＝，，＝k．代入椭圆方程可得：＝1，＝1．∴+＝0，∴＝0，解得k＝﹣．∴直线AB的方程为：y﹣1＝（x﹣2），化为：x+2y﹣4＝0．故答案为：x+2y﹣4＝0．14．如果F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且|AB|＝6，则△ABF2的周长是28．【分析】本题涉及到双曲线上的点和两焦点构成的三角形问题，可用定义处理，由定义知|AF2|﹣|AF1|＝8①，|BF2|﹣|BF1|＝8②，两式相加再结合已知|AB|＝6即可求解．解：由题意知：a＝4，b＝3，故c＝5．由双曲线的定义知|AF2|﹣|AF1|＝8①，|BF2|﹣|BF1|＝8②，①+②得：|AF2|+|BF2|﹣|AB|＝16，所以|AF2|+|BF2|＝22，所以△ABF2的周长是|AF2|+|BF2|+|AB|＝28故答案为：2815．已知函数f（x）＝在（0，1）内存在最小值，则a的取值范围为（﹣2，﹣1）∪（1，2）．【分析】f′（x）＝x2+2x+（1﹣a2），由函数f（x）＝在（0，1）内存在最小值，可得f′（x）＝（x+1）2﹣a2在（0，1）内存在一个零点，因此f′（0）•f′（1）＜0．解：f′（x）＝x2+2x+（1﹣a2），∵函数f（x）＝在（0，1）内存在最小值，∴f′（x）＝x2+2x+（1﹣a2）＝（x+1）2﹣a2在（0，1）内存在一个零点，∴f′（0）•f′（1）＜0，即（1﹣a2）（4﹣a2）＜0，解得：﹣2＜a＜﹣1，或1＜a＜2．故答案为：（﹣2，﹣1）∪（1，2）．16．如图，P为椭圆+＝1上一个动点，过点P作圆C：（x﹣1）2+y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则当四边形PACB面积最大时，•的值为．【分析】连接PC，设∠APC＝θ，当四边形PACB面积最大时，就是|PA|最大，结合椭圆性质可得当点P在椭圆左顶点时，|PC|最大，利用向量数量积公式求解．解：连接PC，设∠APC＝θ，由切线性质可得|PA|＝|PB|，四边形PACB面积S＝|PA|×1×2＝|PA|，当四边形PACB面积最大时，就是|PA|最大，|PA|＝，结合椭圆性质可得当点P在椭圆左顶点时，|PC|最大，此时|PA|＝，则sin，，•的值为|PA|2cos2θ＝8×（1﹣×2）＝，故答案为：．三、解答题（本大题共6小题共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设命题p：方程表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线；命题q：实数a使曲线x2+y2﹣4x﹣2y﹣a2+6a+12＝0表示一个圆．（1）若命题p为真命题，求实数a取值范围；（2）若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，求实数a的取值范围．【分析】（1）由题意（a﹣3）（2a+7）＜0，解得a的取值范围．（2）利用复合命题的真假性可以得出p，q一真一假，进而求出实数a的取值范围．解：（1）由题意（a﹣3）（2a+7）＜0，解得．所以a的范围是．（2）命题q：实数a使曲线x2+y2﹣4x﹣2y﹣a2+6a+12＝0表示一个圆，（x﹣2）2+（y﹣1）2＝a2﹣6a﹣7表示圆．则需a2﹣6a﹣7＞0，解得a＞7或a＜﹣1，∵命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假∴得﹣1≤a＜3或得或a＞7∴a的取值范围为．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥PC，AD∥BC，AD⊥CD且PC＝BC＝2AD＝2CD ＝2，PA＝2．（1）证明：平面PAC⊥平面ABCD．（2）若M为侧棱PD的中点，求二面角M﹣AC﹣P的余弦值．【分析】（1）证明AD⊥CD，AB⊥AC，结合AB⊥PC，证明AB⊥平面PAC，然后证明平面PAC⊥平面ABCD．（2）取BC的中点E，则AE、AD、求出平面ACD的一个法向量，平面MAC的法向量利用空间向量的数量积求解二面角M﹣AC﹣P的余弦值即可．【解答】（1）证明：∵在底面ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，且，∴AB＝AC＝2，，∴AB⊥AC，又∵AB⊥PC，AC∩PC＝C，AC⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，∴AB⊥平面PAC，又∵AB⊂平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ABCD．（2）解：∵PA＝AC＝2，，∴PA⊥AC，又∵PA⊥AB，AB∩AC＝A，AB⊂平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PA⊥平面ABCD．取BC的中点E，则AE、AD、AP三条直线两两垂直，以A为坐标原点，AE、AD、AP所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，，，所以，，由（1）知平面ACD的一个法向量，设平面MAC的法向量为，则，令，则，所以平面MAC的一个法向量为，所以，，所以二面角M﹣AC﹣P的余弦值．19．已知函数．（Ⅰ）当时，判断函数f（x）是否有极值；（Ⅱ）若时，f（x）总是区间（2a﹣1，a）上的增函数，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）先求函数的导数，f′（x）＞0在（﹣∞，+∞）上恒成立，得到函数的单调性，从而可判定是否有极值．（Ⅱ）先求出极值点，f′（x）＝0的点附近的导数的符号的变化情况，得到函数的单调区间，函数f（x）在区间（﹣∞，0）与（，+∞）内都是增函数，只需（2a﹣1，a）是区间（﹣∞，0）与（，+∞）的子集即可．解：（Ⅰ）当时，cosθ＝0，f（x）＝4x3，则f（x）在（﹣∞，+∞）内是增函数，故无极值．（II）f′（x）＝12x2﹣6x cosθ，令f′（x）＝0，得x1＝0，x2＝．①当θ＝时，则f（x）在（﹣∞，+∞）内是增函数，故只要2a﹣1＜a即a＜1时，f（x）总是区间（2a﹣1，a）上的增函数，②当时，＞0．则函数f（x）在区间（﹣∞，0）与（，+∞）内都是增函数．由函数f（x）在（2a﹣1，a）内是增函数，则参数a须满足不等式组或由于，故cosθ∈（0，）故要使不等式2a﹣1≥cosθ关于参数θ恒成立，必有2a﹣1≥，解得则a≤0或综上①②可得，实数a的取值范围是a≤0或．20．过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F且斜率为1的直线交抛物线C于M，N两点，且|MN|＝2．（1）求p的值；（2）抛物线C上一点Q（x0，1），直线l：y＝kx+m（其中k≠0）抛物线C交于A，B 两个不同的点（A，B均与点Q不重合）设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，k1k2＝，直线l是否定点？若是，求出所有定点；若不是，请说明理由．【分析】（1）求得抛物线的焦点F和准线方程，设出MN的方程，联立抛物线方程，可得x的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，解方程可得所求值；（2）求得抛物线方程和Q的坐标，设出A，B的坐标，联立直线l的方程和抛物线方程，可得y的二次方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理可得m+1＝﹣3k，即可得到直线l恒过的定点．解：（1）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（，0），准线方程为x＝﹣，过焦点F（，0）且斜率为1的直线方程设为y＝x﹣，代入抛物线的方程可得x2﹣3px+＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得x1+x2＝3p，由抛物线的定义可得|MN|＝x1+x2+p＝3p+p＝2，可得p＝；（2）由（1）可得抛物线的方程为y2＝x，从而可得Q（1，1），设A（x3，y3），B（x4，y4），由y＝kx+m与抛物线方程y2＝x联立，可得ky2﹣y+m＝0，k≠0，△＝1﹣4km＞0，y3+y4＝，y3y4＝，k1k2＝•＝•＝＝＝＝﹣，即有m+1＝﹣3k，满足△＞0，则直线l：y＝k（x﹣3）﹣1，即直线l恒过定点（3，﹣1）．21．已知双曲线x2﹣y2＝1的焦点是椭圆的顶点，F1为椭圆C的左焦点且椭圆C经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右顶点A作斜率k（k＜0）的直线交椭圆C于另一点B，连结BF1，并延长BF1，交椭圆C于点M，当△AOB的面积取得最大值时，求△ABM的面积．【分析】（1）根据题意，求出双曲线的焦点坐标，即可得椭圆的顶点坐标，可得a的值，将点的坐标代入椭圆的方程可得，解可得a、b的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案；（2）根据题意，设直线AB的方程为y＝k（x﹣），与椭圆的方程联立，可得，分析可以用k表示△AOB的面积，由基本不等式的性质分析可得答案．解：（1）根据题意，双曲线x2﹣y2＝1的焦点为（±，0），则椭圆的顶点为（±，0），且椭圆C经过点．则有，解得，所以C的方程为．（2）由已知结合（1）得，所以设直线，联立，得，得，当且仅当，即时，△AOB的面积取得最大值，所以，此时B（0，1），所以直线BF1：y＝x+1，联立，解得，所以，点到直线BF1：y＝x+1的距离为，所以．22．已知函数f（x）＝ax2+（2﹣a）lnx+2．（1）求函数在点（1，f（1））处的切线方程，并讨论函数f（x）的单调性；（2）若关于x的不等式f（x）≥（a+2）x在[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）依题意，对f（x）求导的f′（x），由导数的几何意义可得k切＝f′（1），再由点斜式可得y﹣f（1）＝k切（x﹣1），进而可得切线的方程；分三种情况若0≤a≤2，若a＞2，若a＜0，讨论函数f（x）的单调性．（2）根据题意可得h（x）＝ax2﹣（a+2）x+（2﹣a）lnx+2，且h（1）＝0．对h（x）求导，得h′（x）＝，分三种情况①当时，②当时，③当a≤0时，函数h（x）的单调性，进而确定是否能使得h（x）min≥0，进而可得实数a的取值范围．解：（1）依题意，，因为f'（1）＝a+2，且f（1）＝a+2，所以函数在点（1，a+2）处的切线方程为y＝（a+2）x，又，若0≤a≤2，f'（x）＞0，函数在（0，+∞）上单调递增，若a＞2，当时，f'（x）＜0，故函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，若a＜0，当时，f'（x）＞0，当时，f'（x）＜0，故函数f（x）在上单调递增，在单调递减．综上，若0≤a≤2，函数在（0，+∞）上单调递增，若a＞2，函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，若a＜0，函数f（x）在上单调递增，在单调递减．（2）令h（x）＝f（x）﹣（a+2）x，则h（x）＝ax2﹣（a+2）x+（2﹣a）lnx+2，h（1）＝0．因为，①当时，因为x≥1，所以，所以h'（x）≥0，此时h（x）在[1，+∞）上单调递增，h（x）≥h（1）＝0，符合．②当时，，因为x≥1，x﹣1≥0，所以由h'（x）＜0，得，此时h（x）在上单调递减，所以当时，h（x）＜h（1）＝0，不合要求，舍去③当a≤0时，2ax+a﹣2＜0，h'（x）＜0，h（x）在[1，+∞）上单调递减，所以当x∈[1，+∞）时，h（x）＜h（1）＝0，不合要求，舍去综上所述，实数a的取值范围是．。
2020-2021学年山西省太原市高二上学期期中质量监测数学试题（解析版）
则有1/匚 7/+ 才 11 =迎 l ，解可得m=1或-3 （舍），故〃2 = 1,
故答案为：1. 【点睛】思路点睛：涉及直线与圆相交的弦长问题，主要是利用垂径定理，即圆心到直 线的距离、弦长的一半以及圆的半径构成直角三角形来解.
16 .已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为石,若圆柱的一个底面的圆
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・
2a 2加
r
2〃 V2
45a 5
2V2« 2
1-= sin Z.NCD = -
, sin /CQC=二二=~~
yJ5a 5 2缶 2
则 cos /NED = cos (ZNCD + ZC,DC) =芭x 之一且x 走=—
■
1 7 5 2 5 2 10
则异面直线AB｛与CN所成的角余弦值为叵. 10
可.
11.如图，正方体ABC。—A用GA中，。。的中点为N,则异面直线A4与CN所 成角的余弦值是（）
a
a
X回
"io"
B@
T
c 2行
【答案】a
【分析】根据图形找到异而直线A片与CM的平行线，确定异而直线的平面角，再根据
角之间的关系解出该角的余弦值，可得出答案.
连接。G交CN于点£，由正方体A3CO-A8CQ1可知，ABJ/DG 则CN与OG所成的角NN£。为异而直线与CN所成的角. 由图可知 4NED = 4NCD + NCQC 则 cos ZNED = cos( ANCD+ZQDC) cos(ZNCD+ZClDC) = cos ZNCD cos ZqDC-sin zWCDsin gDC 设正方体A88 — 44GR的棱长为2。.
2023-2024学年山西省晋中市平遥县高二下册3月月考数学试题(含解析)
2023-2024学年山西省晋中市平遥县高二下册3月月考数学试题一、单选题1．为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（）A ．48种B ．36种C ．24种D ．12种【正确答案】B利用分步计数原理，分3步即可求出【详解】解：由题意可知，分三步完成：第一步，从2种主食中任选一种有2种选法；第二步，从3种素菜中任选一种有3种选法；第三步，从6种荤菜中任选一种有6种选法，根据分步计数原理，共有23636⨯⨯=不同的选取方法，故选：B2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若532a a =,则95S S =（）A ．910B ．1518C ．95D ．185【正确答案】D【分析】根据等差数列的前n 项和21(21)n n S n a -=-，将95S S 转化为5a 和3a 的算式即可得到所求．【详解】解：依题意，数列{}n a 为等差数列，所以19951553992552a a S a a a S a +⨯⨯==+⨯⨯，又因为532a a =，所以955399182555S a S a ⨯===⨯，故选D.等差数列的性质，等差数列的前n 项和，考查分析解决问题的能力和运算能力，属于基础题．3．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（）A ．8B ．10C ．12D ．14【正确答案】A【分析】分为三人组中包含小明和小李和不包含小明和小李两类，分别计算方案种数即可得结果.【详解】由题意可知应将志愿者分为三人组和两人组，当三人组中包含小明和小李时，安装方案有12326C A =种；当三人组中不包含小明和小李时，安装方案有222A =种，共计有628+=种，故选：A.4．设F 为抛物线C ：24y x =的焦点，点M 在C 上，点N 在准线l 上且MN 平行于x 轴，若NF MN =，则MF =（）A ．3B ．1C ．3D ．4【正确答案】D【分析】由抛物线方程可知焦点坐标及准线方程，设准线l 与x 轴交点为E ，画出图象，由抛物线定义及NF MN =可知MNF 是正三角形，结合平行关系可判断60EFN ∠=︒，利用直角三角形性质即可求解.【详解】由题可知，2p =，抛物线焦点F 为()1,0，准线l 为=1x -，设准线l 与x 轴的交点为E ，如图所示，由题知MN l ⊥，由抛物线的定义可知MN MF =，因为NF MN =，所以MNF 是正三角形，则在Rt NEF 中，因为MN EF ∥，所以60EFN MNF ∠=∠=︒，所以224MF NF EF p ====．故选：D5．三棱锥A BCD -中，AC ⊥平面BCD ，BD CD ⊥．若3AB =，1BD =，则该三棱锥体积的最大值为（）A ．2B ．43C ．1D ．23【正确答案】D【分析】先利用线面垂直的判定定理与性质定理依次证得BD ⊥平面ACD 、BD AD ⊥与AC CD ⊥，从而利用基本不等式求得2ACDS≤，进而得到23A BCDB ACD V V --=≤，由此得解.【详解】因为AC ⊥平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，所以AC BD ⊥，又BD CD ⊥，AC CD C = ，,AC CD ⊂平面ACD ，所以BD ⊥平面ACD ，因为AD ⊂平面ACD ，所以BD AD ⊥，在Rt △ABD 中，3AB =，1BD =，则AD ==，因为AC ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以AC CD ⊥，在Rt ACD △中，不妨设(),0,0AC a CD b a b ==>>，则由222AC CD AD +=得228a b +=，所以()221111222244ACDSAC CD ab ab a b =⋅==⨯≤+=，当且仅当a b =且228a b +=，即2a b ==时，等号成立，所以11221333A BCDB ACD ACDV V SBD --==⋅≤⨯⨯=，所以该三棱锥体积的最大值为23.故选：D..6．()62121ay x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中23x y -项的系数为160，则=a （）A ．2B ．4C ．2-D ．-【正确答案】C先求得()61ay +展开式中3y 的系数，可得()62121ay x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中23x y -的系数，从而得答案.【详解】二项式()61ay +展开式的通项为()6166C 1C rr rr r r r T ay a y -+=⨯=，令3r =可得二项式()61ay +展开式中3y 的系数为336C a ，∴()62121ay x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中23x y -的系数为()3361C 160a -=，可得38a =-，解得2a =-，故选：C ．7．甲、乙、丙、丁、戊5名党员参加“党史知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次（无并列名次），已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五．据此推测5人的名次排列情况共有（）种A ．5B ．8C ．14D ．21【正确答案】C【分析】按乙排第五和不是第五分类讨论．【详解】乙排在第五的情况有：33A ，乙不在第五的方法有112222C C A ，共有3112322214A C C A +=，故选：C ．关键点点睛：本题考查排列组合的综合应用，解题关键是确定完成事件的方法：是先分类还是先分步：分类后每一类再分步．然后结合计数原理求解．8．设函数()f x ，()g x 在R 上的导函数存在，且()()f x g x ''<，则当(),x a b ∈时（）A ．()()f x g x <B ．()()f xg x >C ．()()()()f x g a g x f a +<+D ．()()()()f xg b g x f b +<+【正确答案】C【分析】对于AB ，利用特殊函数法，举反例即可排除；对于CD ，构造函数()()()h x f x g x =-，利用导数与函数单调性的关系证得()h x 在R 上单调递减，从而得以判断.【详解】对于AB ，不妨设()2f x x =-，()1g x =，则()2f x '=-，()0g x '=，满足题意，若()1,x a b =-∈，则()()21f x g x =>=，故A 错误，若()0,x a b =∈，则()()01f x g x =<=，故B 错误；对于CD ，因为()f x ，()g x 在R 上的导函数存在，且()()f x g x ''<，令()()()h x f x g x =-，则()()()0h x f x g x ''-'=<，所以()h x 在R 上单调递减，因为(),x a b ∈，即a x b <<，所以()()()h b h x h a <<，由()()h x h a <得()()()()f x g x f a g a -<-，则()()()()f x g a g x f a +<+，故C 正确；由()()h b h x <得()()()()f b g b f x g x -<-，则()()()()f x g b g x f b +>+，故D 错误.故选：C.二、多选题9．有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，则下列说法正确的是（）A ．共有66A 种不同的排法B ．男生不在两端共有2424A A 种排法C ．男生甲、乙相邻共有2525A A 种排法D ．三位女生不相邻共有3333A A 种排法【正确答案】AC【分析】根据给定条件，利用无限制条件的排列判断A ；利用有位置条件的排列判断B ；利用相邻、不相邻问题的排列判断C ，D 作答.【详解】有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，共有66A 种不同的排法，A 正确；男生不在两端，从3位女生中取2人站两端，再排余下4人，共有2434A A 种排法，B 不正确；男生甲、乙相邻，视甲乙为1人与其余4人全排列，再排甲乙，共有2525A A 种排法，C 正确；三位女生不相邻，先排3位男生，再在2个间隙及两端4个位置中插入3位女生，共有3334A A种排法，D 不正确.故选：AC 10．()20232202301220231ax a a x a x a x +=++++ ，若16069a =-，则下列结论正确的有（）A ．3a =B ．202301220232a a a a ++++=- C ．202312220231333a a a +++=- D ．()20231ax +的展开式中第1012项的系数最大【正确答案】BC【分析】利用二项式展开式的通项公式求解含x 项的系数，从而求解a ，即可判断选项A ，赋值法即可求解系数和问题，从而判断选项B 、C ，利用展开式系数符合规律判断选项D 【详解】对于A ，112023C 20236069a a a =⋅==-，可得3a =-，故A 错误；对于B ，因为()2023201213x a a x a x -=++20232023a x ++ ，令1x =，则()202320230122023132a a a a ++++=-=- ，故B 正确；对于C ，令0x =，则01a =，令13x =，则2023202312002202311313333a a a a a ⎛⎫+++=-⨯-=-=- ⎪⎝⎭ ，故C 正确；对于D ，由展开式知，20n a >，210n a -<，故第1012项的系数10110a <，不会是展开式中系数最大的项，故D 错误.故选：BC11．对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数()()3211R 32f x x x x b b =-++∈，则（）A ．()f x 一定有两个极值点B ．函数()y f x =在R 上单调递增C ．过点()0,b 可以作曲线()y f x =的2条切线D ．当712b =时，123202220222023202320232023f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【正确答案】BCD【分析】对()f x 求导，得出()0f x ¢>，没有极值点，可判断A ，B ；由导数的几何意义求过点()0,b 的切线方程条数可判断C ；求出三次函数()f x 的对称中心，由于函数的对称中心为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，可得()()12f x f x +-=，由倒序相加法求出所给的式子的值，可判断D.【详解】由题意知()21f x x x '=-+，1430∆=-=-<，()0f x ¢>恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，没有极值点，A 错误，B 正确；设切点为3211,32m m m m b ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则()21k f m m m '==-+，切线方程为()()32211132y m m m b m m x m ⎛⎫--++=-+- ⎪⎝⎭，代入点()0,b 得32321132m m m m m m -+-=-+-，即322132m m =，解得0m =或34m =，所以切线方程为y x b =+或1316y x b =+，C 正确；易知()21f x x ''=-，令()0f x ''=，则12x =．当712b =时，102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭''，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以点1,12⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的对称中心，所以有11222f x f x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()12f x f x +-=．令123202320232023S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 20222023⎛⎫ ⎪⎝⎭，又20222021202012023202320232023S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以12022220232023S f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22021202212022240442023202320232023f f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=⨯= ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ，所以2022S =，D 正确．故选：BCD.12．已知椭圆C ：22143x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，直线l ：()0y kx k =≠与椭圆C 交于M ，N 两点，12F MF ∠的角平分线与x 轴相交于点E ，与y 轴相交于点()0,G m ，则（）A ．四边形12MF NF 的周长为8B ．1114MF NF +的最小值为9C ．直线BM ，BN 的斜率之积为34-D ．当12m =-时，12:2:1F E F E =【正确答案】AC【分析】对A 选项，由椭圆的定义知，四边形12MF NF 的周长为4a 即可求解；对B 选项，由直线()0y kx k =≠与椭圆相交的对称性知：12NF MF =，11121414MF NF MF MF ∴+=+，借助基本不等式可得1114MF NF +的最小值；对C 选项，设()11,M x y ，则()11,N x y --，由点()11,M x y 在椭圆上，即可化得BM BN k k ⋅的值；对D 选项，设出()()11,0t E t -<<，由条件推出()121MF t =+，()221MF t =-，又在椭圆C 中，由其第二定义1MF e =得()1112212MF x t =+=+，从而得到M ，E ，G 三点坐标，再根据其三点共线，化简求解即可．【详解】对A 选项，由椭圆的定义知，四边形12MF NF 的周长为2248a a a +==，A 正确；对B 选项，1112141414MF NF MF MF +=+=()21121212414191444MF MF MF MF MF MF MF MF ⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，当且仅当1248,33MF MF ==时等号成立，故B 错误；对C 选项，设()11,M x y ，则()11,N x y --，又(B，所以211121113BM BNy y y k k x x x --⋅=⋅=-．因为点()11,M x y 在椭圆上，所以2211143x y +=，即()222111441333y x y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以2121334BM BNy k k x -⋅==-，C 正确；对D 选项，设()()11,0t E t -<<，则12F E F E 1211MF t t MF +==-，124MF MF +=所以()121MF t =+，()221MF t =-，在椭圆C ：22143x y +=中，由其第二定义1MF e d =（d 指的是椭圆上的点到相应的准线的距离）得221111()()22M a a MF de x e x e x c c ==+⋅=+⋅=+，12MF ∴=+()11212x t =+，所以14x t =，故()14,M t y ，(),0E t ，10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭G ，因为三点共线，所以1123y t t =，解得132y =，则29164143t +=，解得14t =±，当14t =时，1211541314F E F E +==-，当14t =-时，1211341514F E F E -==+，故D 错误．故选：AC方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习加以强化.三、填空题....道上有编号1，2，.3，....10的十盏路灯，为节省用电又能看清路面，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，满足条件的关灯方法有__________种.【正确答案】20【分析】采用插空法即可求解.【详解】10只灯关掉3只，实际上还亮7只灯，而又要求不关掉两端的灯和相邻的灯，此题可以转化为在7只亮着的路灯之间的6个空挡中放入3只熄灭的灯，有36C 20=种方法，故答案为.2014．我国古代《九章算术》将底面为矩形的棱台称为刍童.若一刍童为正棱台，其上、下底1，则该刍童的外接球的表面积为______.【正确答案】20π【分析】根据题意，作出图形，设该刍童外接球的球心为O ，半径为R ，分两种情况讨论，分别根据条件列出方程组，即可求出外接球半径，代入球的表面积公式计算即可求解．【详解】设该刍童外接球的球心为O ，半径为R ，上底面中心为1O ，下底面中心为2O ，则由题意，121O O =，22AO =，111A O =，1R OA OA ==．如图，当O 在12O O 的延长线上时，设2OO h =，则在2AOO 中，22R 4h =+①，在11A OO 中，()22R 11h =++②，联立①②得1h =，2R 5=，所以刍童外接球的表面积为20π，同理，当O 在线段12O O 上时，设1OO h =，则有22R 1h =+，()22R 14h =-+，解得2h =，不满足题意，舍去．综上所述，该刍童外接球的表面积为20π．故20π．15．两名学生一起去一家单位应聘，面试前单位负责人对他们说：“我们要从面试的人中招聘3人，你们俩同时被招聘进来的概率是170．”若每个参加面试的人被招聘的可能性相同，则根据这位负责人的话，可以推断出参加面试的人数为______．【正确答案】21【分析】利用古典概型的概率公式求解.【详解】设参加面试的人数为n ，依题意有()()()()2122362C C 61C 12170n nn n n n n n --===---，即()()242020210n n n n --=+-=，解得21n =或20n -（舍去）．16．南宋数学家杨辉善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为求离散量的垛积问题，在他的专著《详解九章算法·商功》中给出了著名的三角垛公式()()()()()1112123123126n n n n ++++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=++，则数列{}22n n +的前n 项和为____________．【正确答案】()()1121226n n n n ++++-【分析】由三角垛公式可知数列()12n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为()()1126n n n ++，根据()212222n n n n n n ++=⨯-+，采用分组求和法，结合等差、等比求和公式可求得结果.【详解】()11232n n n ++++⋅⋅⋅+=，∴数列()12n n +⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和为()()1126n n n ++，()212222n n n n n n ++=⨯-+ ，∴数列{}22n n +的前n 项和()()()1211223212222222n n n n S n +⎛⎫⨯⨯=⨯++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭()()()()()()121211211122232126n n n n n n n n n n +-+++=++-+=+--.故答案为.()()1121226n n n n ++++-关键点点睛：本题考查数列中的分组求和法的应用，解题关键是能够将所求数列的通项进行变型，从而与已知的三角垛公式联系起来，利用所给的三角垛公式来进行求和.四、解答题17．现有一些小球和盒子，完成下面的问题．(1)4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中（允许有空盒子），一共有多少种不同的放法？(2)4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有1个空盒的放法共有多少种？【正确答案】(1)256；【分析】（1）根据题意分析将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，每个小球有4种放法，由分步计数原理计算即可得出答案；（2）根据题意，分两步进行，①将4个小球分为3组，②在4个盒子中任选3个，放入三组小球，根据分步计数原理计算即可得出答案；【详解】（1）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，每个小球有4种放法，则4个小球有4444256⨯⨯⨯=种不同的放法；（2）①将4个小球分为3组，有24C 6=种分组方法，②在4个盒子中任选3个，放入三组小球，有3343C A 24=种情况，则624144⨯=种不同的放法．18．如图，四边形ABCD 是圆柱底面的内接四边形，AC 是圆柱的底面直径，PC 是圆柱的母线，E 是AC 与BD 的交点，AB AD =，60BAD ∠=︒．(1)记圆柱的体积为1V ，四棱锥P ABCD -的体积为2V ，求12V V ；(2)设点F 在线段AP 上，4,4PA PF PC CE ==，求二面角F CD P --的余弦值．【正确答案】【分析】（1）利用平面几何的知识推得AC BD ⊥，进而得到BD =与4AC EC =，从而利用柱体与锥体的体积公式求得12,V V 关于,EC PC 的表达式，由此得解；（2）根据题意建立空间直角坐标系，设1CE = ，结合（1）中结论与（2）中所给条件得到所需向量的坐标表示，从而求得平面FCD 与平面PCD 的法向量n 与m ，由此利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【详解】（1）因为ABD ∠与ACD ∠是底面圆弧AD 所对的圆周角，所以ABD ACD ∠=∠，因为AB AD =，所以在等腰ABD △中，ABD ADE ∠=∠，所以ADE ACD ∠=∠，因为AC 是圆柱的底面直径，所以90ADC ∠=︒，则90CAD ACD ∠+∠=︒，所以90CAD ADE ∠+∠=︒，则90AED ∠=︒，即AC BD ⊥，所以在等腰ABD △，BE DE =，AC 平分BAD ∠，则1302CAD BAD ∠=∠=︒，所以60ADE ∠=︒，则30∠=︒CDE ，故在Rt CED 中，2CD EC =，DE ，则2BD DE ==，在Rt ACD △中，24AC CD EC ==，因为PC 是圆柱的母线，所以PC ⊥面ABCD ，所以()22211ππ24π2V AC CP EC PC EC PC ⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，2211143263V AC BD PC EC PC EC PC =⨯⋅⋅=⨯⨯⋅=⋅，所以12V V =．（2）以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，不妨设1CE = ，则44AC EC ==，DE =44PC CE ==，则()()()()0,0,0,4,0,0,1,,0,0,4C A D P ，所以()CD = ，()0,0,4CP = ，()4,0,4PA =- ，因为4PA PF =，所以()11,0,14PF PA ==- ，则()()01,0,1(1,0,3,0,4)CF CP PF ==+=-+ ，设平面FCD 的法向量(,,)n x y z = ，则00n CF n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即300x z x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，令3x =-，则1y z ==，故(n =- ，设平面PCD 的法向量(,,)m p q r = ，则00m CP m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即400r p =⎧⎪⎨=⎪⎩，令3p =-，则0q r ==，故(m =- ，设二面角F CD P --的平面角为θ，易知π02θ<<，所以cos cos ,13||||n m n m n m θ⋅====⋅ ，因此二面角F CD P --19．记数列{}n a 的前n 项和为n T ，且111,(2)n n a a T n -==≥．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设m 为整数，且对任意*n ∈N ，1212nn m a a a ≥+++ ，求m 的最小值．【正确答案】(1)21,1,2, 2.n n n a n -=⎧=⎨≥⎩(2)7【分析】（1）由数列n a 与n T 的关系可得()122n n a a n +=≥，再结合等比数列的通项可得解；（2）利用错位相减法求出1212nn a a a +++ ，结合范围即可得解.【详解】（1）因为111,(2)n n a a T n -==≥，所以211a a ==，当2n ≥时，112n n n n n a T T a a +-+===，故()222222n n n a a n --==⋅≥，且11a =不满足上式，故数列{}n a 的通项公式为21,1,2, 2.n n n a n -=⎧=⎨≥⎩（2）设1212n nn S a a a =+++ ，则11S =，当2n ≥时，102122322n n S n --=+⋅++⋅+⋅ ，故112112232222n n S n ---=+⋅+⋅+⋅+ ，于是()122115222222n n n S n ----=++++-⋅ ()121121252212n n n -----=+-⋅-．整理可得27(2)2n n S n -=-+，所以7n S <，又54968S =>，所以符合题设条件的m 的最小值为7．20．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>过点A ，且焦距为10．(1)求C 的方程；(2)已知点3),B D -，E 为线段AB 上一点，且直线DE 交C 于G ，H 两点．证明：||||||||GD HD GE HE =．【正确答案】(1)221169x y -=(2)证明见解析【分析】（1）根据题意列方程组求出,a b ，即可得出C 的方程；（2）根据,,,D E H G 四点共线，要证||||||||GD HD GE HE =即证HE GE G H D D ⋅=⋅，设出直线:DE y x =-，()()1122,,,G x y H x y，)E t ，联立直线方程与椭圆方程得出1212,x x x x +，将其代入G G HE E DH D ⋅-⋅ ，计算结果为零，即证出．【详解】（1）由题意可得2232910a b-==，故4,3a b ==，所以C 的方程为221169x y -=．（2）设)E t ，()()1122,,,G x y H x y ，当x =2321169y -=，解得3=±y ，则||3t <， 双曲线的渐近线方程为34y x =±，故当直线DE 与渐近线平行时，此时和双曲线仅有一个交点，此时直线DE方程为(34y x =±-，令x =y =||t ≠则直线:DE y x =-．由221169y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得()222292161440t x x t -+--=，所以212229x x t +=-，21221614429t x x t +=-．()()()()11221122,,,G HE GE DH x y x t x D y t y x y ⋅-⋅=--⋅----⋅-)()121212122232x x y y x x t y y =+-+-++()2221212243244t x x t x x t ⎛⎛⎫=+-++++ ⎪⎝⎭⎝()()()222222248943244322929t t t t t t t +++=-++--0=．所以HE GE G H D D ⋅=⋅ ，所以cos0cos0HE G G E D DH = 即||||||||GD HD GE HE =．关键点睛：本题第二问不能直接计算长度，否则计算量过大，而是转化为证明向量数量积之间的关系，采取设)E t ，从而得到直线DE 方程，再使用经典的联立法，得到韦达定理式，然后证明0HE GE G D D H ⋅-⋅= 即可.21．设()()21031x Q x x ax b -=-++，其中()Q x 是关于x 的多项式，a ，b ∈R ．（1）求a ，b 的值；（2）若28ax b +=，求103x -除以81的余数．【正确答案】（1）10a =，12b =-；（2）28.【分析】（1）利用二项式定理及已知即求；（2）由题可知x 的值，然后利用二项式定理可求.【详解】（1）由已知等式，得()()()1021131x Q x x ax b -+-=-++⎡⎤⎣⎦，∴()()()()10920189101010101010C 1C 1C 1C 1C 3x x x x -+-+⋅⋅⋅+-+-+-()()21Q x x ax b =-++，∴()()()()()8722018101010C 1C 1C 110121x x x x Q x x ax b ⎡⎤-+-+⋅⋅⋅+-+-=-++⎣⎦，∴1012x ax b -=+，∴10a =，12b =-．（2）∵28ax b +=，即101228x -=，∴4x =，∴103x -1043=-()10313=+-0101991010101010C 3C 3C 3C 3=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+-()406156441010103C 3C 3C 4035328=⨯⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯+⨯+()0615610101081C 3C 3C 4528=⨯⨯+⨯+⋅⋅⋅+++，∴所求的余数为28．22．已知函数()()1e 6x f x k x ⎡⎤=--⎣⎦（其中e 为自然对数的底数）．(1)若1k =，求函数()f x 的单调区间；(2)若12k ≤≤，求证：[]0,x k ∀∈，()2f x x <．【正确答案】(1)单调递增区间为[)0,∞+，单调递减区间为(),0∞-；(2)见解析.【分析】（1）求导，当()0f x '≥时，0x ≥，当()0f x '<时，0x <，即可解决；（2）由()211e 60x x x k ⎡⎤---<⎣⎦令新函数()21()1e 6x g x x x k=---，求导，由()()1e 6k g k k k =---，再令新函数()()()1e 6k h k g k k k ==---，证明()0h k <在12k ≤≤上恒成立，即可得证.【详解】（1）由题知()()1e 6x f x k x ⎡⎤=--⎣⎦，所以()()e 1e e x x x f x k x kx '⎡⎤=+-=⎣⎦，当1k =时，()e x f x x '=，当()0f x '≥时，0x ≥，当()0f x '<时，0x <，所以()f x 的单调递增区间为[)0,∞+，单调递减区间为(),0∞-，（2）由题知12k ≤≤，[]0,x k ∀∈，()2f x x <，所以()21e 60x k x x ⎡⎤---<⎣⎦，因为12k ≤≤，所以()211e 60x x x k ⎡⎤---<⎣⎦令()21()1e 6x g x x x k=---即证()21()1e 60x g x x x k =---<在[]0,x k ∈上恒成立，因为22()e (e )x x g x x x x k k'=-=-当()0g x '=时，2ln x k=，当()0g x '≥时，2lnx k ≥，即()g x 在2ln ,k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，当()0g x '≤时，2ln x k ≤，即()g x 在20,ln k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因为(0)70g =-<，()()1e 6k g k k k =---，令()()()1e 6k h k g k k k ==---，所以()e 1k h k k '=-，因为12k ≤≤，所以()e 10k h k k '=->，所以()h k 在[]1,2上单调递增，所以2max ()(2)e 80h k h ==-<，所以()0g k <恒成立，因为(0)0,()0g g k <<，所以()21()1e 60x g x x x k =---<在[]0,x k ∈上恒成立，即得证.。
2020-2021学年河北省邯郸市大名县第一中学高二下学期3月月考数学试题
绝密★启用前邯郸市大名县第一中学2020-2021学年高二下学期3月月考数学试卷注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1、下列关于残差的叙述正确的是( )A．残差就是随机误差 B．残差就是方差C．残差都是正数 D．残差可用来判断模型拟合的效果2、有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是( )A．0.26 B．0.08 C．0.18 D．0.72x,之间关系最强的是( )3、观察下列各图，其中两个分类变量yx,取值如下表：4、已知yx 0 1 4 5 6 8y 1.3 1.8 5.6 6.1 7.4 9.3从所得的散点图分析可知：线性相关，且，则等于( ) A．1.30 B．1.45 C．1.65 D．1.805、有3对夫妇去看电影，6个人坐成一排，若女性的邻座只能是其丈夫或其他女性，则坐法的种数为( )A ．54B ．60C ．66D ．726、设随机变量()p n B X ,~,且28.1,6.1==DX EX ,则( )A ．4.0,4==p nB ．2.0,8==p nC ．32.0,5==p nD ．45.0,7==p n 7、书架上有三本数学书和两本语文书，某同学一共取了两次书，每次取一本，取后不放回，若第一次从书架取出一本语文书记为事件A ，第二次从书架取出一本数学书记为事件B ，那么第一次取得语文书的条件下第二次取得数学书的概率()A B P 的值是（ ）A ．21 B ．53 C ．43 D ．31 8、四棱锥PABCD 用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻两个面不同色，则共有（ ）种涂法A.34B.36C.48D.72二、多选题（本小题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）9、下列说法错误的有（ ）A.离散型随机变量是指某一区间内的任意值．B.必然事件与任何一个事件相互独立．C.正态曲线是单峰的，其与x 轴围成的面积是随参数σμ,的变化而变化的．D.如果两个变量y x 与之间不存在着线性关系，那么根据它们的一组数据()()n i y x i i ,,2,1, =不能写出一个线性方程． 10、若m m C C 8183>-，则m 的取值可能是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．911、春意虽浓，乍暖还寒，人们容易感冒发热．若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产．某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热，下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为（ ）A ．中位数为3，众数为2B ．均值小于1，中位数为1C ．均值为3，众数为4D ．均值为212、近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾的分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000t 生活垃圾，经分拣以后统计数据如下表(单位：t) ．根据样本估计本市生活垃圾的分类投放情况，则下列说法正确的是（ ）A ．厨余垃圾投放正确的概率为3B ．居民生活垃圾投放错误的概率为310C ．该市三类垃圾中投放正确的概率最高的是可回收垃圾D ．厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为18000 三、填空题13、从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有______种．(用数字填写答案)14、正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象､生产和生活实践中，在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.在某次大型联考中，所有学生的数学成绩()~100,225X N .若成绩低于10m +的同学人数和高于220m -的同学人数相同，则整数m 的值为_______.15、已知随机变量X 的分布列如表，又随机变量32+=X Y ，则Y 的期望是____．16、已知()()2611-+ax x 的展开式中含3x 项的系数是20，则a 的值等于________．四、解答题17．(本小题满分10分)若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+661展开式中第2,3,4项的二项式系数成等差数列． (1)求n 的值．(2)此展开式中是否有常数项？为什么？18、(本小题满分12分)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数140 50300 200 800510好评率 0.4 0.20.15 0.25 0.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）19、(本小题满分12分)中国古代在清明节时节就有插柳植树的传统，中国历史上最早在路旁植树是由一位叫韦孝宽的人于1400多年前从陕西首创的。
山西省2020-2021学年高二上学期期末联合考试数学(理)试题
【分析】
本题考查的知识点是程序框图，由已知得本程序的作用是计算 ，由于第一次执行循环时的循环变量初值为2，步长为1，最后一次执行循环进循环变量值为2018，我们根据利用循环结构进行累加的方法，不难给出结论．
【详解】
当矩形框中填 时
+
，无论循环多少次都没有数字1在最前面．
故A,C错误．
当判断框中填
另由 时， ，因为 ，且 ，所以 ， ，
故数列 是首项为2，公差为2的等差数列， ， ， ，
由 ，可知 中当 或 时为最大项，即最大项 ，所以 .
故答案为B.
【点睛】
数值最值的求解方法如下：1．邻项比较法，求数列 的最大值，可通过解不等式组 求得 的取值范围；求数列 的最小值，可通过解不等式组 求得 的取值范围；2．数形结合，数列是一特殊的函数，分析通项公式 对应函数 的特点，借助函数 的图像即可求解；3．单调性法，数列作为特殊的函数，可通过函数的单调性研究数列的单调性，必须注意的是数列对应的是孤立的点，这与连续函数的单调性有所不同；也可以通过 差值的正负确定数列 的单调性．
12．D
【分析】
求出双曲线的渐近线方程，令 ，求得 ， 的坐标，由双曲线的对称性知 在 轴上，设 ，则 ，利用 到直线 的距离不超过 ，建立不等式关系，结合双曲线离心率的定义，即可得出结论
【详解】
解：记 ，由题意可得 ， ， ， ，
由双曲线的对称性可知 点在 轴上，设 ，
则 ，
则 ，
，
，
，
即 ，
解得 ，
【详解】
焦距为10， ， 曲线的焦点坐标为 ，
双曲线C： 的一条渐近线的斜率为 ，
， ，解得 ， ，
所求的双曲线方程为： ．
联合校2020-2021学年高二数学上学期第一次月考试题
联合校2020-2021学年高二数学上学期第一次月考试题考试时间：120分钟试卷满分：150分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（每题5分，满分60分）1.已知向量，，则（）A. (－1,1,5)B. (－3,5,－3)C. (3,－5,3)D. (1,－1,－5)2.点到原点的距离为（）A. 1B. 3C. 5D. 93.已如向量，且与互相垂直，则k=A. B. C. D.4.若向量，且与的夹角余弦为，则等于（）A. B. C. 或 D. 25.如图，长方体ABCD - A1B1C1D1中，，，那么异面直线与所成角的余弦值是（）A. B. C. D.6.已知正四棱柱ABCD - A1B1C1D1，设直线AB1与平面所成的角为，直线CD1与直线A1C1所成的角为，则（）A. B. C. D.7.如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OB、AC的中点，点G在线段MN上，，现用基向量表示向量，设，则的值分别是（）A. B.C. D.8.如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知，则CD的长为A. B. 7 C. D. 99.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BB1的中点，若，则点B到平面ACE的距离等于（）A. B. C. D. 310.如图，在三棱柱ABC - A1B1C1中，M为A1C1的中点，若，则下列向量与相等的是（）A. B.C. D.11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M､N分别为AC，A1B的中点，则下列说法错误的是（）A. MN∥平面ADD1A1B. MN⊥ABC. 直线MN与平面ABCD所成角为45°D. 异面直线MN与DD1所成角为60°12.将直角三角形ABC沿斜边上的高AD折成120°的二面角，已知直角边，，那么下面说法正确的是（）A. 平面ABC⊥平面ACDB. 四面体的体积是C. 二面角的正切值是D. BC与平面ACD所成角的正弦值是二、填空题（每题5分，满分20分）13.若平面的一个法向量为，直线l的一个方向向量为，则l与所成角的正弦值为________.14.若同方向的单位向量是________________15.在空间直角坐标系O-xyz中，设点M是点关于坐标平面xOy的对称点，点关于x轴对称点Q，则线段MQ 的长度等于__________．16.已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1所有棱长均为1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，则AC1的长为．三解答题（共6个解答题，17题10分，其余每题12分）17.如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．(1)求异面直线BE与AC所成角的余弦值；(2)求直线BE和平面ABC的所成角的正弦值．18.如图.在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，且，，，，，.（1）求异面直线PC与AD所成角的余弦（2）求点A到平面PCD的距离.19.如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点。
2020届山西省芮城县高三下学期3月月考数学(理)试题解析
绝密★启用前2020届山西省芮城县高三下学期3月月考数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知复数z 满足2z i R +∈,z 的共轭复数为z ，则z z -=（ ） A ．0 B ．4iC ．4i -D ．4-解：由题意，设2z i a R +=∈，可得2i z a =-， 则2(2)4z z a i a i i -=--+=-. 故选：C .2．设集合{}2|5A x x x x R =<∈，，{}22|log ()1B x x x =-<则A B =I （ ） A ．{}|25x x << B ．{}|02x x <<C ．{}|10x x -<<D ．{}|12x x <<解：由题意，集合{}2|5,{|05}A x x x x R x x =<∈=<<， 集合{}22|log ()1{|12}B x x x x x =-<=<<， 所以A B =I {}|12x x <<. 故选：D .3．已知甲乙两组数据的茎叶图如图所示，若甲的众数与乙的中位数相等，则图中x 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6解：根据茎叶图可知，甲的众数为23，乙的中位数为11(2220)(42)22x x x =++=+， 因为甲的众数与乙的中位数相等，即1(42)232x +=，解得4x =.故选：C . 点评：本题主要考查了根据茎叶图求众数和中位数及其应用，其中解答中熟记众数和中位数的概念与求法是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.4．已知命题:p 若>b a 则22b a >；命题:q 在ABC V 中，若A B >则sin sin A>B ,下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．⌝∧p q C ．⌝∧p q D ．⌝⌝∧p q答案：B先判断出命题,p q 的真假，再依据真值表，判定出下列命题的真假，得到答案. 解：由题意，对于命题p ，当1,0a b =-=时，此时22b a <，所以命题p 为假命题，则p⌝为真命题；对于命题q ，由A B >，可得a b >，根据正弦定理可得sin sin A B >，所以命题q 为真命题，则命题q ⌝为假命题，由复合命题的真值表，可得p q ∧为假命题，⌝∧p q 为真命题，⌝∧p q 为假命题，⌝⌝∧p q 为假命题.故选：B . 点评：本题主要考查了命题的真假判定，以及复合命题的真假判定，其中解答中正确判定命题,p q 的真假，熟练应用复合命题的真值表是解题的关键，着重考查了推理判定能力，属于基础题.5．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，中等级中的五等人与六等人所得黄金数（ ） A ．13B ．76C ．73D ．67答案：C设n a 为第n 等人的得金数，则{}n a 为等差数列，利用等差数列的性质可得5673a a +=． 解：设n a 为第n 等人的得金数，则{}n a 为等差数列， 由题设可知1234a a a ++=，89103a a a ++=，故294,13a a ==， 而562973a a a a +=+=，故选C ． 点评：一般地，如果{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则有性质：（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a +=+；（2）()1,1,2,,2k n k n n a a S k n +-+==L 且()2121n n S n a -=- ；（3）2n S An Bn =+且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （4）232,,,n n n n n S S S S S --L 为等差数列.6．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点F 到渐近线距离与顶点A 到渐近线距离之比为3:1，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．22y x =± B ．2y x =±C ．22y x =±D ．2y x =±答案：A 由题意知31CF AB =,由OAB V 与OFC V 相似（O 为坐标原点）可得3OF cOA a==，再由222c b a =+，可得22ba=±，进而可得渐近线方程.解：如图所示，双曲线顶点为A ，焦点为F ，过A,F 作渐近线的垂线，垂足为B ，C ，所以OAB V 与OFC V 相似（O 为坐标原点），又由题意知31CF AB =，所以3OF cOA a==，即3c a =，又因为222c b a =+，所以228b a =，即ba=±y =±，故选A. 点评：本题考查双曲线的几何性质，需灵活运用三角形相似及,,a b c 之间的关系，属基础题.7．若81(1)2ax x ⎫-⎪⎭展开式中含12x 项的系数为21，则实数a 的值为（ ）A ．3B ．-3C ．2D ．-2答案：A先求得812x ⎫⎪⎭展开式的通项公式，求得其中12x -的系数，与a 相乘得到7a ；求12x 的系数时，无解.故由721a =求得a 的值. 解：812x ⎫⎪⎭展开式的通项公式为83821881122r rrrrr r T C C xx --+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0,1,2,3,4,5,6,7,8r =，所以令831322r r -=-⇒=， 此时含12x 的项的系数为338172C a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又令*8317223r r N -=⇒=∉，舍去， 所以含12x 项的系数为7a ，所以721a =，得3a =.故选A. 点评：本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查乘法的分配律，考查运算求解能力，属于基础题.8．若235log log log t x y z ===，且2t <-则（ ） A ．523z x y << B ．532z y x << C ．325y x z << D ．235x y z <<答案：B根据235log log log t x y z ===即可得出122t x +=，133t y +=，155t z +=，根据2t <-得出10t +<，从而根据幂函数1t y x +=的单调性即可判断2x ，3y 和5z 的大小关系．解：235log log log t x y z ===Q ，2t x ∴=，122t x +=，3t y =，133t y +=，5t z =，155t z +=，2t <-Q ，10t ∴+<，1t y x +∴=单调递减，111532t t t +++∴<<， 532z y x ∴<<．故选：B ． 点评：本题考查了对数式和指数式的互化、指数式的运算、幂函数的单调性，考查了推理和计算能力，属于基础题．9．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若22()6c a b =-+，且,,A C B成等差数列，则ABC V 的面积是（ ）A B C ．3D ．答案：A根据,,A C B 成等差数列，可求出C ，再利用2222cos c a b ab C =+-，结合22()6c a b =-+，可求出ab ，进而可求出ABC V 的面积.解：解：,,A C B Q 成等差数列，2C A B ∴=+，又A B C π++=，3C π∴=，222222cos c a b ab C a b ab ∴=+-=+-，①又2222()626c a b a b ab =-+=+-+，② 由①②得6ab =，11sin 622ABC S ab C ∆∴==⨯=故选A. 点评：本题考查余弦定理的应用，以及三角形的面积公式，关键在于整体运算求出ab 的值，是基础题.10．已知F 为抛物线24y x =的焦点，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，若点A 在抛物线上，且5AF =，则PA PO +的最小值为（ ） A ．5 B ．25C ．13D ．213答案：D利用焦半径公式计算A 的横坐标后可得A 的坐标，求出A 关于准线的对称点后可得距离和的最小值. 解：不妨A 为第一象限中的点，设(),A a b （0b >）.由抛物线的方程得()1,0F ，则15AF a =+=，故4a =，所以()4,4A ，A 关于准线1x =-的对称点为()'6,4A -，故''52213PA OP PA OP A O +=+≥==， 当且仅当',,A P O 三点共线时等号成立，故选D. 点评：在坐标平面中，定直线上的动点到两个定点的距离和的最小（或距离差的最大值），常常利用对称性把距离和的最值问题转化为三点共线的问题来处理.11．四棱锥P －ABCD 的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E ，F 分别是棱AB ，CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为22，则该球的表面积为( )A ．9πB ．3πC ．22D ．12π答案：D由三视图可得,所求几何体是四棱锥并且可看作由正方体截得,与正方体内接于同一个球,由此结合题意,可得正方体的棱长为2,算出外接球的半径R ,再结合球的表面积公式,即可得答案. 解：该几何体的直观图如图所示,该几何体可看作由正方体截得, 则正方体外接球的直径即为PC .由直线EF 被球面所截得 的线段长为22,可知正方形ABCD 对角线AC 的长为22, 可得正方形ABCD 的边长2a =,在PAC ∆中,222(22)23PC =+=,球的半径3R =,∴22=44(3)12S R πππ=⨯=表. 故选:D点评：本题考查将三视图还原为直观图,并且求外接球的表面积,着重考查了正方体的性质、三视图和球内接多面体等知识,属于中档题.12．设函数()'f x 是()()f x x R ∈的导函数，()01f =，且()()3'3f x f x =-，则()()4'f x f x >的解集是( )A ．ln4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．ln2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．32⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D ．3e ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭答案：B容易求出f ′（0）=6，结合条件便可得出函数f （x ）的解析式，进而求出导函数，代入4f （x ）＞f ′（x ），根据对数函数的单调性及对数的运算便可解出原方程．解：根据条件，3f （0）=3=f ′（0）﹣3； ∴f ′（0）=6；∴f （x ）=2e 3x ﹣1，f ′（x ）=6e 3x ；∴由4f （x ）＞f ′（x ）得：4（2e 3x ﹣1）＞6e 3x ； 整理得，e 3x ＞2；∴3x ＞ln2； ∴x ＞23ln ； ∴原不等式的解集为（23ln ，+∞） 故选：B ．点评：本题考查导函数的概念，基本初等函数和复合函数的求导，对数的运算及对数函数的单调性，属于中档题二、填空题13．知向量,a b v v 的夹角为120o，且2,3a b ==v v ，则向量a b +v v 在向量a v 方向上的投影为__________． 答案：12根据投影公式可得，向量a b +r r 在向量a r 方向上的投影为()||a b aa +•r r rr ，代入数据便可解决问题． 解：解：向量a b +r r 在向量a r方向上的投影为()cos ||||2a b a a b a 423120122a a ︒+•+•+⨯⨯===r r r r r r r r所以，向量a b +r r 在向量a r 方向上的投影为12点评：本题考查了向量的投影公式、向量数量积公式，正确使用公式是解题的关键． 14．已知函数()tan(),(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的相邻两个对称中心距离为32π，且()f π=3π个单位，纵坐标不变，横坐标变为原来的13，得()g x 的图像，则()g x 的表达式为_______ 答案：2()tan()9g x x π=+. 利用正切函数的图象和性质，函数tan()y A x ωϕ=+的图象变换规律，即可求解，得到答案.解：由题意，函数()tan()f x x ωϕ=+的相邻两个对称中心距离为1322w ππ⋅=，解得13w =，且()3f π=-，即tan()33πϕ+=-，因为02πϕ<<，解得3πϕ=，所以1()tan()33f x x π=+，将()f x 图象上的点向右平移3π个单位，可得112()tan[()]tan()33339f x x x πππ=-+=+，再把所得图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的13，可得2()tan()9f x x π=+的图象， 即函数()g x 的解析式为2()tan()9f x x π=+. 故答案为：2()tan()9f x x π=+. 点评：本题主要考查了正切函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换的应用，其中解答中熟记正切函数的图象与性质，以及熟练应用三角函数的图象变换是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 15．已知函数6(3)3,7,(){,7,x a x x f x a x ---≤=>数列{}n a 满足*()()n a f n n N =∈，且数列{}n a 是递增数列，则实数的取值范围是 ．答案：(2,3)试题分析：因为*n N ∈，所以依题意可得()8630{123373a a a a a -->>⇒<<-⨯-<．【考点】分段函数的单调性．【思路点睛】本题主要考查分段函数的单调性，难度稍大．分段函数的单调性（如为增函数）前提要求在各段内均为增函数，再保证左部分的右端点值小于等于右部分的左端点值即可．但此题中()n a f n =中*n N ∈，所以应保证78a a <．若忽略*n N ∈时只考虑()76373a a--⨯-≤就会得错误答案．16．如图，三棱锥A BCD -中，10AC AD BC BD ====，8AB =，12CD =，点P 在侧面ACD 上，且到直线AB 21PB 的最大值是_______．57通过点P 到直线距离为定值，确定P 点在圆柱侧面上，同时确定P 点轨迹；根据椭圆性质可知，当P 落在AC 上时，PB 最大；根据距离可确定P 为AC 中点，然后利用余弦定理解出结果. 解：Q 动点P 到直线AB 21∴动点P 落在以AB 21的圆柱的侧面上可知侧面与三棱锥侧面ACD 的交线为椭圆的一部分 设其与AC 的交点为P ，此时PB 最大由题意可得，点C 到AB 2210484221-==则P 到AB 21P 为AC 的中点又1422cos 105ABBAC AC ∠===在BAP ∆中，由余弦定理可得2285285cos 57PB BAC +-⨯⨯∠=57点评：本题考查立体几何中的直线与平面的位置关系，难点在于确定P 点在侧面上的轨迹类型，锁定最值取得的点，对学生的空间想象能力要求较高.三、解答题17．在ABC V 中，内角、、A B C 对的边分别为()22310a b c cos B C cosA ++-=、、，,且ABC V 外接圆的直径为2.（1）求角A 的大小；（2）求关于x 的不等式2sin(2)1x A -≤在[0,]π的解集.答案：（1）3A π=；（2）0,,32x πππ⎡⎤⎡⎤∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U . （1）利用三角函数的诱导公式，结合一元二次方程进行求解，即可得到答案； （2）结合三角函数的周期性，解三角不等式，即可得到答案. 解：（1）由题意，知()22310cos B C cosA ++-=，可得()][2310cos B C cosA ++-=，由余弦的倍角公式，化简得22cos ()13cos 10B C A +-+-=，即22cos 3cos 20A A +-=，解得1cos 2A =， 又因为0A π<<，所以3A π=.（2）由题意，令23x t π-=且5,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 因为2sin(2)1x A -≤，即1sin 2t ≤，解得25,,3333t ππππ⎡⎤⎡⎤∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U ， 即252,,33333x πππππ⎡⎤⎡⎤-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U ，解得0,,32x πππ⎡⎤⎡⎤∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U . 点评：本题主要考查了三角形的角的计算，三角不等式的求解，其中解答中结合三角函数的诱导公式，以及三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了运算能力，属于基础题.18．在平面多边形ABCDEF 中，四边形ABFE 是边长为2的正方形，四边形DCFE 为等腰梯形，G 为CD 的中点,2,DC FE DE CF EF === ,现将梯形DCFE 沿EF 折叠，使平面DCFE ⊥平面ABFE .（1）求证：EG ⊥面BDF ；（2）求CB 与平面GEB 成角的正弦值. 答案：（1）证明见解析；（2）14. （1）连接GF ，得到四边形DEFG 为菱形，从而EG DF ⊥，再由平面DCFE ⊥平面ABFE ，证得BF EF ⊥，得到平BF ⊥面DCFE ，证得BF EG ⊥，利用线面垂直的判定定理，即可得到EG ⊥平面BDF .（2）取EF 的中点O ，连接OG ，证得OH ⊥面DCFE ，以O 为原点OH 为x 轴，OF 为y 轴OG 为Z 轴建系，结合向量的夹角公式，即可求解. 解：（1）连接GF ，由已知得//,2DG EF DG DE ==， 可得四边形DEFG 为菱形，故EG DF ⊥，又因为平面DCFE ⊥平面ABFE ，且交线为EF ，可得BF EF ⊥， 由线面垂直的判定定理，可得BF ⊥平面DCFE ， 又由EG ⊂平面DCFE ，所以BF EG ⊥， 又由BF DF F =I ，所以EG ⊥平面BDF .（2）取EF 的中点O ，连接OG ，则OG ⊥面ABFE ,过O 作//OH BF ，则OH ⊥面DCFE ，以O 为原点OH 为x 轴，OF 为y 轴，OG 为Z 轴建系，则(0,1,0),(2,1,0),(0,G E B C -，可得(2,1,CB =-u u u r，(2,2,0)EG EB ==u u u r u u u r设面GEB 的法向量(,,)m x y z =u r，则000220m EG y m EB x y ⎧⋅=⇒+=⎪⎨⋅=⇒+=⎪⎩u u u v v u u u v v ，令1y =-，可得(1,1,3m =-u r ，则cos ,14||||m CB m CB m CB ⋅<>==⋅u r u u u ru r u u u r u r u u u r ， 即直线CB 与平面EB所成角的正弦值为14. 点评：本题考查了线面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19．已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为12,,F F 点P 是椭圆上任意一点，且12||||F P P F ⋅的最大值为4，椭圆C 的离心率与双曲线221412x y -=的离心率互为倒数． （1）求椭圆方程；（2）设点3(1,)2P -，过点P 作直线12,l l 与圆2223(1)02()x y r r ++=<<相切且分别交椭圆于,M N ,求直线MN 的斜率．答案：（1）22143x y +=；（2）12k =-. （1）利用椭圆的离心率，以及基本不等式和椭圆的定义，求出,a b 得值，即可得到椭圆的标准方程；（1）设为12,k k ，1122(,),(,)M x y N x y ，由直线12,l l 与圆相切，得到12k k =-，直线1l 的方程与椭圆的方程联立，求得1x ，同理求得2x ，再结合斜率公式，即可求解. 解：（1）由题意，椭圆的定义，可得12||||2PF PF a +=，则221212||||||||()42PF PF PF PF a +⋅≤==，解得2a =，由双曲线离心率为2，可得椭圆离心率为12，即12c a =，即2a c =，所以1c =，又由2223b a c =-=，所以椭圆方程为22143x y +=.（2）显然直线12,l l 的斜率存在，设为12,k k ，1122(,),(,)M x y N x y ，由于直线12,l l 与圆2223(1)02()x y r r ++=<<相切，则12k k =-，直线113:(1)2l y k x -=+， 联立方程组2211433(1)2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩得222111133(34)8()4()12022k x k k x k +++++-=，所以1112138()2134k k x k +-=-+，得211121412334k k x k --+=+， 同理，当2l 与椭圆相交时，可得211221412334k k x k -++=+，所以2211111221112122441234123343434k k k x k k x k k k ---+-++-=-=+++， 而121121121()21234y y k x x k k k -=+++=，所以直线MN 的斜率121212y y k x x -==--点评：本题主要考查了椭圆的方程的求法，以及直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中主要理性了公式和基本量的关系，以及联立方程组，合理利用根与系数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 20．已知函数()ln(),f x x x a a R =-+∈.（1）对定义域内的任意x ,都有()0f x >，求a 的取值范围； （2）若()f x 在1x =处取得极值，求证：对于任意大于1的正整数n ，222111(1)(1).(1),23e n+++<L 其中e 为自然对数的底数． 答案：（1）1a >；（2）见解析.（1）求得函数的导数，利用导数求得函数的单调性，进而求出函数的最小值，由此可求得a 的取值范围；（2）依题意，0a =由（1）得到ln x x >，令211x n =+则有2211ln(1)1n n +<+ ，由此利用累积，即可求解. 解：（1）由函数()ln(),f x x x a a R =-+∈，则11()1x a f x x a x a+-'=-=++ ()1x a >- 令()0f x '>，解得1x a >-，令()0f x '<，解得1x a <-，则()f x 在,1a a --（）单调递减，在(1,)a -+∞单调递增，所以()f x 的最小值为()110f a a -=->所以1a >（2）因为()f x 在1x =处取得极值，可得()01f '=，解得0a =， 由（1）可知ln 0x x ->，即ln x x >，令211x n =+则有2211ln(1)1n n +<+， 可得2211ln(1)122+<+，22221111ln(1)1,,ln(1)133n n +<++<+L ，相加得222222111111ln(1)ln(1).......ln(1)11.....12323n n++++++<+++++，右边放缩222222*********ln(1)(1).(1)23231223(1)n n n n++⋯⋯+<++⋯⋯+<++⋯+⨯⨯-⨯，又因为1111111111111223(1)2231n n n n n++⋯⋯+=-+-+⋯⋯+-=-<⨯⨯-⨯-， 上述可得222111ln(1)(1).(1)123n ++⋯⋯+<， 即222111(1)(1)(1)23e n++⋯⋯+<.点评：本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．21．某人某天的工作是驾车从A 地出发，到,B C 两地办事，最后返回A 地，,,A B C ,三地之间各路段行驶时间及拥堵概率如下表若在某路段遇到拥堵，则在该路段行驶时间需要延长1小时． 现有如下两个方案：方案甲：上午从A 地出发到B 地办事然后到达C 地，下午从C 地办事后返回A 地；方案乙：上午从A 地出发到C 地办事，下午从C 地出发到达B 地，办完事后返回A 地． （1）若此人早上8点从A 地出发，在各地办事及午餐的累积时间为2小时，且采用方案甲，求他当日18点或18点之前能返回A 地的概率．（2）甲乙两个方案中，哪个方案有利于办完事后更早返回A 地？请说明理由. 答案：（1）()0.946P A =；（2）采用甲方案能更早返回，理由见解析.（1）由题意可知能按时返回的充要条件是拥堵路段不超过两段，则不能按时，返回时由三段拥堵，二者互为对立事件，利用对立事件的概率公式，即可求解.（2）设某段路正常行驶时间为x ，拥堵的概率为p ，可得该路段行驶时间x 的分布列，利用公式求得期望. 解：（1）由题可知能按时返回的充要条件是拥堵路段不超过两段，则不能按时返回时有三段路段拥堵，二者互为对立事件，记“不能按时返回为事件A ”则()0.30.20.90.054P A =⨯⨯=，所以能够按时返回的概率()0.946P A =，（2）设某段路正常行驶时间为x ,拥堵的概率为p ， 则该路段行驶时间x 的分布列为故(1)(1)Ex x p x p x p =-++=+，上午AB BC CA 、、路段行驶时间期望值分别为1．3小时2．2小时、3．3小时， 下午AB BC CA 、、路段行驶时间期望值分别为1．6小时2．7小时3．9小时， 设采用甲方案所花费总行驶时间为Y ,则 1.3 2.2 3.97.4EY =++=小时， 设采用乙方案所花费总行驶时间为Z ,则EZ =3．3+2．7+1．6=7．6小时， 因此采用甲方案能更早返回. 点评：本题主要考查了对立事件、互斥事件的概率计算公式，以及随机变量的分布列与数学期望的求解，着重考查了分析问题河解答问题的能力，属于中档试题.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为 2cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ= （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设点P 的坐标为(2,2),直线l 交曲线C 与,A B 两点，求PA PB +的取值范围。
高二数学3月月考试题 理 2
一中2021-2021-2学期高二年级3月考试试题制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。
数 学〔理〕说明：本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部.满分是150分，考试时间是是120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第一卷〔选择题〕一、选择题〔本大题一一共12 小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．.〕 1．假设0()2f x '=-，那么0001()()2lim k f x k f x k→--等于〔 〕A ．－2B ．－1C ．1D ．22．函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )=2 f ′(e )x +ln x 〔e 为自然对数的底数〕，那么f ′(e )=〔 〕A. 1eB ．e C. -1e D ．- e3．11||x dx -⎰等于〔 〕A ．0B ．1C ．2D ．124．函数f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为( )．A ．－37B ．－29C ．－5D ．－115．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，那么f 2021(x )＝〔 〕A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x6．内接于半径为R 的圆的矩形的周长的最大值为( )．A ．22RB ．2RC ．42RD ． 4R 7．方程x -ln x -2=0的根的个数为〔 〕A ．0B ．1C ．2D ．3 8．由曲线y ＝x 2与曲线y 2＝x 所围成的平面图形的面积为( )A. 1B. 13C. 23D.439．设函数()219ln 2f x x x =-在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，那么实数a 的取值范围是( ) A. [－∞，2) 10．以初速40 m/s 竖直向上抛一物体，t s 时刻的速度v ＝40－10t 2，那么此物体到达最高时的高度为〔 〕A.1603 mB.803 mC.403m D.203m11．甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同，现理解到以下情况：〔1〕甲不是最高的；〔2〕最高的是没报铅球；〔3〕最矮的参加了跳远；〔4〕乙不是最矮的，也没参加跑步．可以判断丙参加的比赛工程是〔 〕A ．跑步比赛B ．跳远比赛C ．铅球比赛D ．不能断定12．如图，直线l 和圆C ，当l 从l 0开场在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转到〔转到角不超过90°〕时，它扫过的圆内阴影局部的面积S 是时间是t 的函数，这个函数的图像大致是〔 〕第二卷〔非选择题〕二、选择题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分,将答案写在答题卡上．．．．．．．．．.〕 13．曲线sin xy x=在点M(π，0)处的切线方程为________． 14．在用数学归纳法证明不等式1111(1,*)1222n n N n n n +++>>∈++的过程中，从n ＝k 到n ＝k +1时，左边需要增加的代数式是.________________． 15．假设函数f (x )＝a3x 3＋952a -x 2＋4ax ＋c (a >0)在(－∞，＋∞)内无极值点，那么a 的取值范围是______________．16．定义在R 上的可导函数y ＝f (x )的导函数为()f x '，满足()()f x f x '>，且()01f =，那么不等式()1xf x e<的解集为 . 三、解答题〔本大题一一共6 小题，一共70分〕 17. 〔10分〕求证： e x≥(1＋x ) ≥ln(1＋x )．18. 〔12分〕函数y =f (x )在区间[a ，b]上的图像是连续不连续的曲线，且f (x )在区间[a ，b]上单调，f (a )>0，f (b )<0.试用反证法证明：函数y =f (x )在区间[a ，b]上有且只有一个零点.19．〔12分〕如下图，在边长为60 cm 的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？20．〔12分〕设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n，是否有关于自然数n 的函数g (n )，使等式f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝g (n )[f (n )－1]对n ≥2的一切自然数都成立？并证明你的结论．21.〔12分〕假设函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数的解析式．(2)假设方程f (x )＝k 有3个不同的根，务实数k 的取值范围．22.〔12分〕设函数2()ln f x ax a x =--，其中x ∈R.(1)讨论f (x )的单调性；(2)确定a 的所有可能取值，使11()xf x e x->-在区间〔1，+∞〕内恒成立〔e ＝2.71828…是自然对数的底数〕．一中2021-2021-2学期高二年级3月考试数学〔理〕参考答案一、选择题〔本大题一一共12 小题，每一小题5分，一共60分〕二、选择题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕 13．1()y x ππ=-- ； 14．112122k k -++； 15．[1，9]； 16．}{0x x > 三、解答题〔本大题一一共6 小题，一共70分〕 17. 〔10分〕求证： e x≥1＋x >ln(1＋x )．证明：根据题意，应有x >－1，设f (x )＝e x－(1＋x )，那么 f ′(x )＝e x－1， 由f ′(x )=0，得 x =0.当－1< x < 0时，f ′(x )<0；当x > 0时，f ′(x )>0．∴f (x )在(－1，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，f (x )min = f (0)=0． ∴ 当x >－1，f (x )≥f (0)=0， 即 e x≥1＋x ．设g (x )＝1+x －ln(1＋x )，那么g ′(x )＝1－11＋x ＝x1＋x ，由g ′(x )=0，得 x =0.当－1< x < 0时，g ′(x )<0；当x > 0时，g ′(x )>0．∴g (x )在(－1，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，g (x )min =g (0)=1． ∴ 当x >－1，g (x )≥g (0)=1>0， 即1＋x >ln(1＋x )．18. 〔12分〕函数y =f (x )在区间[a ，b]是的图像连续不连续，且f (x )在区间[a ，b]上单调，f (a )>0，f (b )<0.试用反证法证明：函数y =f (x )在区间[a ，b]上有且只有一个零点.证明：因为函数y =f (x )在区间[a ，b]上的图像连续不连续，且f (a )>0，f (b )<0，即f (a )·f (b )<0.所以函数y =f (x )在区间[a ，b]上一定存在零点x 0，假设y =f (x )在区间[a ，b]上还存在一个零点x 1〔x 1≠x 0〕，即f (x 1)=0，由函数f (x )在区间[a ，b]上单调且f (a )>0，f (b )<0知f (x )在区间[a ，b]上单调递减； 假设x 1>x 0，那么f (x 1)< f (x 0)，即0<0，矛盾， 假设x 1<x 0，那么f (x 1) > f (x 0)，即0>0，矛盾，因此假设不成立，故y =f (x )在区间[a ，b]上有且只有一个零点.19．〔12分〕如下图，在边长为60 cm 的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？解：设箱子的底边长为x cm ，那么箱子高h ＝60－x 2cm.箱子容积V ＝V (x )＝x 2h ＝60x 2－x32(0<x <60)．求V (x )的导数，得V ′(x )＝60x －32x 2＝0，解得x 1＝0(不合题意，舍去)，x 2＝40.当x 在(0,60)内变化时，导数V ′(x )的正负如下表：x (0,40) 40 (40,60) V ′(x )＋－因此在x ＝40处，函数V (x )获得极大值，并且这个极大值就是函数V (x )的最大值． 将x ＝40代入V (x )得最大容积V ＝402×60－402＝16 000(cm 3)．所以箱子底边长取40 cm 时，容积最大，最大容积为16 000 cm 3.20．〔12分〕设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n，是否有关于自然数n 的函数g (n )，使等式f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝g (n )[f (n )－1]对n ≥2的一切自然数都成立？并证明你的结论．解： 当n ＝2时，f (1)＝g (2)[f (2)－1]， 得(1)1(2)21(2)1(1)12f g f ===-+-.当n ＝3时，f (1)＋f (2)＝g (3)[f (3)－1]，得(1)(2)(3)(3)1f f g f +=-＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13－1＝3.猜测g (n )＝n (n ≥2)．下面用数学归纳法证明：当n ≥2时，等式f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n －1)]恒成立． (1)当n ＝2时，由上面计算知，等式成立．(2)假设n ＝k 时等式成立，即f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k [f (k )－1](k ≥2)， 那么，当n ＝k ＋1时，f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k )＝k [f (k )－1]＋f (k )＝(k ＋1)f (k )－k ＝(k ＋1) [ f (k ＋1)－1+1k ]－k ＝(k ＋1) [ f (k ＋1) -1]， 故当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)知，对一切n ≥2的自然数n ，等式都成立． 故存在函数g (n )＝n 使等式成立．21.〔12分〕假设函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数的解析式．(2)假设方程f (x )＝k 有3个不同的根，务实数k 的取值范围．解 f ′(x )＝3ax 2－b .(1)由题意得(2)120,4(2)824.3f a b f a b '=-=⎧⎪⎨=-+=-⎪⎩ 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝4，故所求函数的解析式为f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可得f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝2或者x ＝－2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－2) －2(－2,2) 2 (2，＋∞)f ′(x)＋0 －0 ＋f (x )283－43因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值283，当x ＝2时，f (x )有极小值－43，所以函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象大致如下图．假设f (x )＝k 有3个不同的根，那么直线y ＝k 与函数f (x ) 的图象有3个交点，所以－43<k <283.22.〔12分〕设函数2()ln f x ax a x =--，其中x ∈R.(1)讨论f (x )的单调性；(2)确定a 的所有可能取值，使11()xf x e x->-在区间〔1，+∞〕内恒成立〔e ＝2.71828…是自然对数的底数〕．制卷人：打自企；成别使；而都那。
山西省高二下学期第一次月考数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则（ ） {}12M x x =-<(){}ln 1N x y x ==+A ． B ．C ．D ．N M ⊆M N ⊆M N ⋂=∅M N =R 【答案】B【分析】化简集合，判断两个集合之间的关系即可得答案. 【详解】由题可得，， {}13M x x =-<<{}1N x x =>-所以，且 ，，. M N ⊆M N M N M =≠∅I R M N N =≠ 故选：B.2．已知向量，，且，则实数（ ） ()2,a m = ()3,4b m =- a b ⊥ m =A ．3 B ．1C ．D ．131-【答案】B【分析】根据向量垂直的坐标表示可直接构造方程求得结果. 【详解】由得：，a b ⊥ ()2340a b m m ⋅=-+= 解得：. 1m =故选：B.3．在中，角，，的对边分别为，，，若，且，则角的余弦值为ABC A A B C a b c 3a c =13c b =A （ ）A ．B ．C ．D ．15141613【答案】C【分析】根据余弦定理即得． 【详解】由题可得，，3a c =3b c =试题. ()()22222233cos 223c c c b c a A bc c c+-+-==⋅⋅16=故选：C ．4．设为所在平面内一点，，则（ ）D ABC A 3BC CD =A ．B ．1433AD AB AC =-+1334AD AB AC =-C ．D ．4133AD AB AC =+ 4133AD AB AC =- 【答案】A【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算求解作答.【详解】在中，，ABC A 3BC CD =.1114()3333AD AC CD AC BC AC AC AB AB AC =+=+=+-=-+故选：A5．在中，三角形三条边上的高之比为，则为（ ） ABC A 2:3:4ABC A A ．钝角三角形 B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形【答案】A【分析】由题可得三角形三条边之比为，然后利用余弦定理，求出最大边所对角的余弦值，6:4:3即可判断出结果.【详解】因为三角形三条边上的高之比为，2:3:4所以三角形三条边之比为，即，111::2346:4:3不妨设，6,4,3,0a x b x c x x ===>则最大角的余弦值为，22216911362c 44os 023x x x A x x +-==-<⋅⋅因此角为钝角，三角形为钝角三角形. A 故选：A.6．定义在上的偶函数满足，且在区间上递增，则（ ） R ()f x ()()22f x f x +=-[]2,0-A ．B ．()216log 63f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭()2166log 3f f f⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ．D ． ()216log 63f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭()2166log3f ff ⎛⎫<< ⎪⎝⎭【答案】B【分析】由条件求出函数的周期，再根据函数的单调性结合条件即得. 【详解】∵定义在R 上的偶函数，所以， ()()f x f x -=又满足，()f x ()()22f x f x +=-所以， ()()()()()42222f x f x f x f x f x +=++=--=-=所以是周期为4的函数，又函数在区间上递增， ()f x ()f x []2,0-所以在区间上递减，()f x []0,2所以，，()()62f f =()2222161616log log 4log log 3333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为，，所以，3223<3223<322222log 4log 3l 3g 202o ==>>>>所以，即.()()22log 3f f f <<()2166log 3f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭故选：B ．7．已知是的外心，，，则（ ） O ABC A 4AB =u u u r 2AC = ()AO AB AC ⋅+=A ．10B ．9C ．8D ．6【答案】A【分析】根据三角形外心的性质，结合数量积的几何意义以及数量积运算律，即可求得答案. 【详解】如图，O 为的外心，设为的中点， ABC A ,D E ,AB AC 则,,OD AB OE AC ⊥⊥故()AO AB AC AO AB AO AC ⋅+=+⋅⋅||||cos |||co |s AO AB AO AC OAD OAE ⋅∠+=∠⋅⋅⋅||||||||AD AB AE AC +=⋅⋅ , 2222111||41||2222210AB AC +=⨯+⨯⋅==故选：A8．在中，角所对的边分别为，，，若，则ABC A ,,A B C a b c 2022sin sin sin c C b B a A -=的值为（ ）()sin sin tan tan tan cos cos A BC A B A B ⋅+⋅⋅A ．2013 B ．C ．2029D ．2029220212【答案】D【分析】对，利用正、余弦定理整理得，根据题意结2022sin sin sin c C b B a A -=22021cos 2ab C c =合三角恒等变换分析运算即可.【详解】∵，由正弦定理可得：， 2022sin sin sin c C b B a A -=2222022c b a -=整理得：，22222021a b c c +-=由余弦定理可得：，故 22cos 2021ab C c =22021cos 2ab C c =()sin sin sin sin sin sin tan tan tan cos cos tan cos cos cos cos A BA B A B C A B A BC A BA B ⋅⋅=+⋅⋅⎛⎫+⋅⋅ ⎪⎝⎭()()22sin sin sin sin sin sin cos cos sin tan sin cos cos sin sin sin cos A B A B A B C ab CC C A B A B C c A B C⋅⋅⋅⋅====⋅⋅+⋅⋅+. 222021202122cc ==故选：D.二、多选题9．下列说法中错误的是（ ）A ．若，，则B ．a b ∥ b c∥a c ∥()()()a b c a b c b a c ⋅=⋅=⋅C ．若，则D ．a b a c ⋅=⋅b c = ()2222a ba ab b +=+⋅+ 【答案】ABC【分析】根据共线向量的概念，向量数量积的概念及运算法则逐项分析即得.【详解】对于A ，若时，，不一定能推出，故A 错误；0b →→=a b ∥b c ∥ a c ∥ 对于B ，不妨考虑不共线且不互相垂直时，向量与向量不共线，所以不能推,,a b c →→→()a b c ⋅()a b c ⋅ 出，故B 错误；()()a b c a b c ⋅=⋅对于C ，若且时，则，而不一定相等，故C 错误；a b ⊥ a c ⊥ a b a c ⋅=⋅,b c 对于D ，根据数量积的运算法则可知，故D 正确.()2222a ba ab b +=+⋅+故选：ABC.10．在中，，则的面积可以是（ ）ABC ∆1,6AB AC B π===ABC ∆AB ．1 CD【答案】AD【分析】由余弦定理求出，再根据三角形的面积公式即可求出答案． BC 【详解】解：∵，1,6AB AC B π===由余弦定理得，2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅∴， 2320BC BC -+=∴，或， 1BC =2BC =∴由的面积公式得或， ABC ∆1sin 2ABC S AB BC B ∆=⋅⋅⋅ABC S ∆=ABC S ∆=故选：AD ．【点睛】本题主要考查三角形的面积公式的应用，考查余弦定理解三角形，属于基础题． 11．在中，，，则下列说法正确的是（ ） ABC A cos 2C 1BC =5AC =A ． B ．的面积为2 4sin 5C =ABC A C．D ．ABC A ABC A 【答案】ABD【分析】利用二倍角公式求出，根据同角三角函数的基本关系求出，再由余弦定理求出cosC sin C ，由正弦定理求出外接圆的直径，利用面积公式及等面积法判断B 、D ；c 【详解】解：因为，cos 2C 223cos 2cos 12125C C =-=⨯-=所以，，故A 、B 正确； 4sin 5==C 114sin 152225ABC S ab C ==⨯⨯⨯=A 由余弦定理，即，所以，2222cos c a b ab C =+-222315215205c =+-⨯⨯⨯=c =所以外接圆的直径，故C 错误； 2sin c R C ===设的内切圆半径为，则，即，所以ABC A r ()12ABCS a b c r =++△(11522r ++=r =D 正确； 故选：ABD12．设P 为所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）ABC A A ．若，则点P 是的重心0PA PB PC ++=ABC A B ．若，则点P 是的垂心PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅ABC A C ．若，，则点P 是的内心 (||||AB ACAP AB AC λ=+,[)0λ∈+∞ABC A D ．若，则点P 是的外心()()()0PA PB BA PB PC CB PC PA AC +⋅=+⋅=+⋅=ABC A 【答案】ABD【分析】对于A ：以，为邻边作平行四边形PADB ，M 为PD 的中点，利用向量的线性运算PA PB得到，即可证明；对于B ：利用数量积运算证明出，，得到P 为||2||PC PM =PB CA ⊥PA BC ⊥的垂心，即可证明；对于C ：在边AB ，AC 上分别取点E ，F ，使，，ABC A ||ABAE AB =||AC AF AC = 以AE ，AF 为邻边作平行四边形AEGF ，则四边形AEGF 为菱形，即可判断；对于D ：证明出，，，即可证明.||||PA PB = ||||PB PC = ||||PC PA =【详解】对于A ：若，则.0PA PB PC ++= PA PB PC +=-以，为邻边作平行四边形PADB ，M 为PD 的中点，则，所以，又PA PBPA PB PD += PD PC =- ，所以，故P 为的重心. 2PD PM=||2||PC PM = ABC A 所以A 正确；对于B ：若，则，即，即，所以PA PB PB PC ⋅=⋅ 0PA PB PB PC ⋅-⋅=()0PB PA PC ⋅-= 0PB CA ⋅= .PB CA ⊥同理，则，故P 为的垂心.PA PB PA PC ⋅=⋅u u r u u r u u r u u u rPA BC ⊥ABC A 故B 正确；对于C ：在边AB ，AC 上分别取点E ，F ，使，，则，以AE ，||ABAE AB =||AC AF AC = ||||1AE AF == AF 为邻边作平行四边形AEGF ，则四边形AEGF 为菱形.连接AG ，则AG 为的角平分线，由，所以点P 在角平分线AG 上，故点P 的||||AB AC AP AB AC λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭轨迹一定通过的内心. ABC A 所以C 错误；对于D ：若，则，同理有22()()()0PA PB BA PA PB PA PB PA PB +⋅=+⋅-=-= ||||PA PB = ，，故P 为的外心.||||PB PC = ||||PC PA =ABCA所以D 正确. 故选：ABD三、填空题13．在△ABC 中，，则=__________ ()()()a c a c b b c +-=+A ∠【答案】2π3【分析】由可得，再由余弦定理可得结果. ()()()a c a c b b c +-=+222b c a bc +-=-【详解】 ()()()a c a c b b c +-=+ 222a c b bc ∴--=222b c a bc -∴+=-，2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-所以，故答案为. 23A π∠=23π【点睛】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条2222cos a b c bc A =+-222cos 2b c a A bc+-=件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数30,45,60o o o 值，以便在解题中直接应用.14．若，且，则的最小值为______.0a >20a b +=21a b -+【答案】5【分析】由，且，得到,进而有，利用基本不等式求0a >20a b +=20a b =->22121a b b b -+=--+解.【详解】解：因为，且， 0a >20a b +=所以,20a b =->则，2212115a b b b -+=--+≥=当且仅当，即时，等号成立， 22b b-=-1b =-所以的最小值为5，21a b -+故答案为：515．探空气球是将探空仪器带到高空进行温度、大气压力、湿度、风速、风向等气象要素测量的气球，利用探空仪将实时探测到的大气垂直方向上的气象数据反馈给地面雷达，通过数据处理，成为全球预报员制作天气预报的重要依据.大气压强对气球能达到的最大高度和停留时间有非常大的影响.已知大气压强随海拔高度的变化规律是，其中是海平面()Pa p ()m h ()0e 0.000126k hp p k -⋅==0p 大气压强.若探空气球在两处测得的大气压强分别为，，且，那么两处的海,A B 1p 2p 122p p =,A B 拔高度的差约为______m.（参考数据：） ln20.693≈【答案】5500【分析】根据题意结合对数运算求解. 【详解】设两处的海拔高度分别为，,A B 12,h h 由题意可得：，且， 121020e e k h k h p p p p -⋅-⋅⎧=⋅⎨=⋅⎩122p p =即，且，12002ee k h k h p p -⋅-⋅⋅=⋅00p ≠可得，两边同时取对数可得：，122e e k h k h -⋅-⋅=()1212,ln lne 2ln 2e k h k h k h k h -⋅-⋅-⋅-⋅==即，整理得， 12ln 2k h k h -⋅-⋅=21ln 20.69355000.000126h h k -=≈=即两处的海拔高度的差约为5500 m. ,A B 故答案为：5500.16．已知为的垂心（三角形的三条高线的交点），若，则H ABC A 1235AH AB AC =+sin BAC ∠=______.【分析】由题可得，，利用，得2235=-+BH AB AC 1335=- CH AB AC 0BH AC ⋅= 0CH AB ⋅= ，，可得， 再利用平方关系结合条件即得.3cos 5AC BAC AB∠= 5cos 9AB BAC AC ∠= 21cos 3BAC ∠=【详解】因为，1235AH AB AC =+所以，同理，2235BH BA AH AB AC =+=-+1335CH CA AH AB AC =+=-由H 为△ABC 的垂心，得，即， 0BH AC ⋅= 22035AB AC AC ⎛⎫-+⋅= ⎪⎝⎭可知，即， 222cos 53AC AC AB BAC =∠ 3cos 5AC BAC AB∠=同理有，即，可知，即0CH AB ⋅= 13035AB AC AB ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭213cos 35AB AC AB BAC =∠ ，5cos 9ABBAC AC∠= 所以， ，又， 21cos 3BAC ∠=2231cos 2sin 113∠∠=-=-=BAC BAC ()0,πBAC ∠∈所以 sin BAC ∠四、解答题17．已知，，且与的夹角为.1a = 2b = a b 2π3(1)求.()()23a b a b +⋅-(2)求.2a b +【答案】(1)5-【分析】（1）先求得，再利用数量积的运算律求解；a b ⋅（2）先求得，根据向量模的求法，结合数量积的运算律求解.a b ⋅【详解】（1）解：因为，，且与的夹角为，1a = 2b = a b 2π3所以，c 2π3o 1s a b a b ⋅-⋅=⋅=所以()()2223253a b a b a a b b +⋅-=-⋅- ；()22151325=⨯-⨯--⨯=-（2）， 2a b +===18．在中，角，，的对边为，，，已知. ABC A A B C a b c ()12cos b A c +=(1)证明：； 2A B =(2)若，求的值. 23a b =cb【答案】(1)证明见解析； (2). 54【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和差角的正弦公式推理作答. （2）由已知结合余弦定理角化边，代入计算作答.【详解】（1）在中，由及正弦定理得：， ABC A ()12cos b A c +=sin 2sin cos sin B B A C +=而，因此， ()C A B π=-+sin 2sin cos sin()sin cos cos sin B B A A B A B A B +=+=+即有，显然，有， sin sin cos cos sin sin()B A B A B A B =-=-sin 0B >sin()0A B ->即，角B 为锐角，又，，因此， 0A B ->0πA B <-<()πB A B A +-=<B A B =-所以. 2A B =（2）在中，由及余弦定理得：，整理得，ABC A ()12cos b A c +=22222b c a b b c bc+-+⋅=22bc a b =-而，即，于是，又，即23a b =32a b =22235()24bc b b b =-=0b >54c b =所以. 54c b =19．如图，在矩形中，和分别是边和上的点，满足，.OACB E F AC BC 3AC AE =3BC BF=(1)若，其中，，求，的值；OC OE OF λμ=+ λμ∈R λμ(2)连接分别交，于，两点.记，，以，为基底来表示.AB OC OE M N CO a = CA b = a b CN 【答案】(1)； 33,44λμ==(2). 1142CN a b =+【分析】（1）根据给定的图形，利用作基底，结合平面向量基本定理求解作答.,OA OB （2）结合（1）中信息，利用平面向量基本定理确定点的位置，即可求解作答.N 【详解】（1）在矩形中，，，则OACB 3AC AE = 3BC BF = 1133OE OA AE OA AC OA OB =+=+=+ ，，因此1133OF OB BF OB BC OB OA =+=+=+ ， 11()()()()3333O OA OB OB OA C OA OB λμμλλμ++=+++=+ 又，不共线，于是，解得， OC OA OB =+ ,OA OB 1313μλλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩33,44λμ==所以. 33,44λμ==（2）为与的交点，则， N AB OE 1(),R 33t ON tOE t OA OB tOA OB t ==+=+∈ ，， (1)33t t AN ON OA tOA OB OA t OA OB =-=+-=-+ AB OB OA =- 又，即存在，，则， //AN AB R m ∈AN mAB = (1)3t t OA OB mOA mOB -+=-+ 因为不共线，因此，解得， ,OA OB 13t m t m -=-⎧⎪⎨=⎪⎩31,44t m ==显然与的交点是线段、的中点，则，即是线段的中AB OC M AB OC 1142AN AB AM == N AM 点，所以. 11111111()22224242CN CA AN CA AM CA CM CA CM CA CM CA a b =+=+=+-=+=+=+ 20．已知函数的最小正周期为，的图象过点，且()()π2sin 03,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭T ()f x (),1T ，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象. ()π3f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()f x π4()g x (1)求函数在上的值域； ()g x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)在上恰有两个不同的实数解，求的取值范围. ()()2x g x +=[]0,m m【答案】(1)⎡-⎣(2) 11π5π,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用函数的最小正周期公式表示点，代入求解角，再根据对称性()f x (),1T ()f x ϕ求解，得到函数，根据图像平移变换得到函数，并求其在给定区间上的值域；ω()f x ()g x（2）化简变形，通过恰有两个不同的实数()()()F x x g x =+()()2x g x +=解，限制的取值范围，从而得解.m 【详解】（1）因为函数的最小正周期为， ()()π2sin 03,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭T 所以，. 2πT ω=0ω>由于的图象过点，即过，代入得 ()f x (),1T 2π,1ω⎛⎫ ⎪⎝⎭，即. ()()2π2sin 2sin 2π2sin 1f x ωϕϕϕω⎛⎫=⋅+=+== ⎪⎝⎭1sin 2ϕ=则，或，又， πZ π2,6k k ϕ=+∈5π2π,Z 6k k ϕ=+∈π2ϕ<所以取. π0,6k ϕ==由于，则的图象关于对称， ()π3f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()f x π6x =故，则. ππππ,Z 662k k ω+=+∈26,Z k k ω=+∈又因为，则令.03ω<<0,2k ω==故. ()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭将的图象向左平移个单位长度后得. ()f x π4()ππ2π2sin 22sin 2463g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦当，， π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦2π2π5π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦令，在单调递减，在单调递增， 2π23t x =+()2sin h t t =2π3π,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦3π5π,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦当时，取最小值，最小值为；当时，3π2t =()h t 2-2π3t =()h t所以，()h t ⎡∈-⎣所以函数在上的值域为. ()g x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡-⎣（2）因为，， ()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()2π2sin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令 ()()()π2π22sin 263F x x g x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, πππ22cos 24sin 2663x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由于在上恰有两个不同的实数解，()2F x =[]0,m 则在上恰有两个不同的实数解， π1sin 232x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭[]0,m 当，， []0,x m ∈πππ2,2333x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦当时，，或，或， π1sin 232x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π5π236x +=π13π236x +=π17π236x +=所以依题意，解得. 13ππ17π2636m ≤+<11π5π124m ≤<所以的取值范围. m 11π5π,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦21．在中，内角，，所对的边分别为，，.ABC AA B C a b c cos sin C c A =(1)求角的大小；C(2)已知，若为锐角三角形，求的取值范围.c =ABC A a b +【答案】(1) π3(2)【分析】（1，再根据cos sin C c A =cos sin sin A C C A =求解；(),0,πA C ∈（2）由（1）求得，再由，利用三角函数24sin c R C ==2sin 2sin a b R A R B +=+6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的性质求解.【详解】（1）解：在中， ，ABCA cos sin C c A =,cos sin sin A C C A =因为，(),0,πA C ∈所以，即sin sin A C C ≠=tan C =则； π3C =（2）由（1）知：， 24sin c R C ===所以，2sin 2sin a b R A R B +=+， 2π4sin sin 3A A ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 34sin2A A ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为为锐角三角形，ABC A 所以所以，则，解得， π02π02π02A B C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩π022ππ032A B A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩ππ62A <<所以，则，ππ2π663A <+<1sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭所以a b <+≤所以的取值范围是.a b +22．已知函数.()()2ln e 2e 3x x f x a =-+(1)若的定义域为，求的取值范围；()f x R a (2)若，使得在区间上单调递增，且值域为，求的取值范围.,m n ∃∈R ()f x [],m n [],m n a 【答案】(1)； 13a >(2). 2334a ≤< 【分析】（1）由题可得恒成立，然后利用参变分离结合函数的性质即得； 2e 2e 30x x a -+>（2）根据复合函数的单调性结合条件可得，且，进而可得在上0a >1e m a ≤2330ax x -+=1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭有两个不等实根，然后根据二次函数的性质即得.【详解】（1）因为的定义域为，， ()f x R ()()2ln e 2e 3x x f x a =-+所以，即恒成立， 2e 2e 30x x a -+>2222e 3321113e e e e 33x x x x x a -⎛⎫>=-+=--+ ⎪⎝⎭因为，，当时等号成立， 10e x >23211113333e e e x x x ⎛⎫+=--+≤ ⎪⎝⎭-1e 13x =所以，即的取值范围为； 13a >a 13a >（2）因为函数在其定义域上为增函数，要使在区间上单调递增， ln y x =()f x [],m n 则函数在区间上单调递增，又为增函数，2e 2e 3x x u a =-+[],m n e x t =所以在上为增函数，显然时不合题意，223y at t =-+e ,e m n ⎡⎤⎣⎦0a ≤所以，且， 0a >1e m a≤又在区间上单调递增，且值域为，()f x [],m n [],m n 所以，即， ()()()()22ln e 2e 3ln e 2e 3m m n n f m a m f n a n ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩22e 3e 30e 3e 30m m n n a a ⎧-+=⎨-+=⎩所以在上有两个不等实根， 2330ax x -+=1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭则，解得， ()22Δ312031211330a a aa a a ⎧⎪=-->⎪⎪>⎨⎪⎪⎛⎫⋅-⋅+≥⎪ ⎪⎝⎭⎩2334a ≤<所以的取值范围为. a 2334a ≤<【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间上有最值，则()f x D （1）恒成立：；；()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<（2）能成立：；. ()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<若能分离常数，即将问题转化为：（或），则 ()a f x >()a f x <（1）恒成立：；； ()()max a f x a f x >⇔>()()min a f x a f x <⇔<（2）能成立：；. ()()min a f x a f x >⇔>()()max a f x a f x <⇔<。
2020-2021学年山西省太原市高考数学三模试卷(理科)及答案解析
山西省太原市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1．已知集合 A={x∈Z||x﹣1|<3}，B={x|x2+2x﹣ 3≥ 0}，则 A∩? R B=（）A．（﹣ 2，1）B．（ 1， 4） C．{2，3} D．{﹣ 1，0}2．如果复数（其中 i 为虚数单位， b 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么 b 等于（）A．﹣ 6 B． C． D． 23．设等差数列 {a n}的前 n 项和为 S n，若 2a6=6+a7，则 S9的值是（）A． 27 B． 36 C．45 D． 544．下列命题错误的是（）A．命题“若 x2+y2=0，则 x=y=0”的逆否命题为“若 x，y 中至少有一个不为 0，则x2+y2≠ 0”B．若命题 p：? x0∈ R， x0+1≤ 0，则￢ p：? x∈R，x+1>0C．△ ABC中， sinA>sinB 是 A>B 的充要条件D．若向量，满足 ? < 0，则与的夹角为钝角5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）6．若用如图的程序框图求数列{ } 的前 100 项和，则赋值框和判断框中可分别填入（）6．若用如图的程序框图求数列{ } 的前 100 项和，则赋值框和判断框中可分别填入（ ）33A ． 4cmB ． 6cmC ．A ．n ﹣ 1B ．nC ．2n D． n 2A ． C ． B ．S=S+ ， i ≥101？ D ． S=S + ，i ≥101？ 7．已知函教 f （x ） =Asin ωx+φ）（ A> 0， ω>0）的图象与直线 y=b （ 0<b<A ）的三个相邻交点 的横坐标分别是 2，4，8，则 f （ x ）的单调递增区间是（ A ． ［6k π，6k π+3］， k ∈ZB ．［6k ﹣3，6k ］，k ∈ZC ． ［6k ， 6k+3］，k ∈ZD ．［6k π﹣3，6k π］，k ∈Z 8． 已知实数 x ，y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最小值是（ A ．﹣ 2 B ． 2 C ． 2 D ．1 9． 已知△ ABC 的外接圆半径为 1，圆心为 O ，且 3 ，则△ ABC 的面积为（ A ． B ． D ．﹣ ﹣C ．10．双曲线 C 1： 2 =1（a>0，b>0）与抛物线 C 2：y 2=2px （p>0）相交于 A ，B 两点， 共弦 AB 恰过它们公共焦点 F ，则双曲线的一条渐近线的倾斜角所在的区间可能是（， ） B ．（ ， ） C ．（ ， ） D ．（0， A ．（ ） a 1=1， a n +a n+1=（ ） 11．已知 {a n }满足 n（n ∈N *），S n =a 1+4a 2+42a 3+⋯+4n ﹣1a n ，则 5S n ﹣ 4na n =（12．已知 f （ x ）是定义在（ 0， +∞）上的单调函数，且对任意的log 2x]=3，则方程 f （x ）﹣ f ′（ x ） =2 的解所在的区间是（ ） A ．（0， ） B ．（ ， 1） C ．（1，2） D ．（2，3）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分）13．（x+ ）（2x ﹣ ）5 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为．14．曲线（f x ）=xlnx 在点 P （1，0）处的切线 l 与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是15．已知 A 、 B 两个小孩和甲、乙、丙三个大人排队， A 不排两端， 3个大人有且只要两个相邻，则不同的排法种数有 ．16．在正方体 ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中， E 是棱 CC 1 的中点， F 是侧面 BCC 1B 1内的动点，且 A 1F ∥平面D 1AE ，则 A 1F 与平面 BCC 1B 1 所成角的正切值的取值范围是三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17．已知 a 、b 、c 分别是△ ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 的对边，且 2asin （C+ （ 1）求角 A的值：（11）若 AB=3， AC 边上的中线 BD 的长为 ，求△ ABC 的面积．18．某校为调查高中生选修课的选修倾向与性别关系， 随机抽取 50 名学生， 得到如表的数据表：倾向 “平面几何选讲 ” 倾向 “坐标系与参数方程 ” 倾向 “不等式选讲 ” 合计 男生 16 4 6 26x ∈（ 0， +∞），都有 f[f （ x ）﹣） = b ．女生 4 8 12 24合计20 12 18 50（Ⅰ ）根据表中提供的数据，选择可直观判断“选课倾向与性别有关系”的两种，作为选课倾向的变量的取值，并分析哪两种选择倾向与性别有关系的把握大；（Ⅱ）在抽取的 50名学生中，按照分层抽样的方法，从倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生中抽取 8 人进行问卷．若从这 8 人中任选 3人，记倾向“平面几何选讲”的人数减去与倾向“坐标系与参数方程”的人数的差为ξ，求ξ的分布列及数学期望．附： K2= ．2P（ k2≤k0） 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.82819．在四棱锥 P﹣ABCD中，底面 ABCD是边长为 2的正方形，且 PA⊥平面 ABCD，点 M 是棱 PA 的中点．（1）若 PA=4，求点 C到平面 BMD 的距离；（2）过直线 BD且垂直于直线 PC的平面交 PC 于点 N，如果三棱锥 N﹣BCD的体积取到最大值，求此时二面角 M﹣ND﹣B 的大小的余弦值．220．已知抛物线 C：y2=2px经过点 M（2，2），C在点 M 处的切线交 x轴于点 N，直线l1经过点 N 且垂直于 x 轴．（Ⅰ ）求线段 ON 的长；（Ⅱ）设不经过点 M和 N的动直线 l2： x=my+b交 C于点 A和 B，交 l1于点 E，若直线MA、 ME、 MB 的斜率依次成等差数列，试问： l2 是否过定点？请说明理由．21．已知函数 f（ x） =xe tx﹣ e x+1，其中 t∈ R， e是自然对数的底数．（Ⅰ ）若方程 f（x）=1 无实数根，求实数 t 的取值范围；（Ⅱ ）若函数 f（x）在（ 0，+∞）内为减函数，求实数 t 的取值范围．请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． [选修 4-1 ：几 何证明选讲 ]22．如图，△ ABC 内接于直径为 BC 的圆 O ，过点 A 作圆 O 的切线交 CB 的延长线于点 P ，∠ BAC 的平分线分别交 BC 和圆 O 于点 D 、E ，若 PA=2PB=10． （1）求证： AC=2AB ； （2）求 AD?DE 的值．[ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 ]23．在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线Ⅰ ）化 C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （Ⅱ）若 C 1上的点 P 对应的参数为 t= ，Q 为 C 2上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 C 3： ρ（cos θ ﹣2sin θ）=7 距离的最小值．[选修 4-5 ：不等式选讲 ] 24．已知函数 f （ x ） =|x ﹣1|．（Ⅰ）解不等式 f （x ﹣1）+f （x+3）≥ 6； （Ⅱ ）若 |a|<1，|b|<1，且 a ≠0，求证：．t 为参数）， θ为参数）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 .1．已知集合 A={x ∈Z||x ﹣1|<3}，B={x|x 2+2x ﹣ 3≥ 0}，则 A ∩? R B=（ ） A ．（﹣ 2，1） B ．（ 1， 4） C ．{2，3} D ．{﹣ 1，0} 【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出 A 与B 中不等式的解集确定出 A 与 B ，根据全集 R 求出 B 的补集，找出 A 与B 补 集的交集即可．【解答】解：由 A 中不等式解得：﹣ 2<x<4，即 B={﹣1，0，1，2，3}， 由 B 中不等式变形得： （x+3）（ x ﹣1）≥ 0，解得： x ≤﹣ 3，或 x ≥1，即 B=（﹣ ∞，﹣ 3]∪[1，+∞）， ∴? R B=（﹣ 3，1）， 则 A ∩（? R B ） ={﹣ 1， 0}． 故选： D ．∴b=2．如果复数（其中 iC ．为虚数单位， b 为实数）的实部和虚部互为相反数， 那么 b 等于（ ）考点】复数代数形式的乘除运算．分析】先将复数化简，确定其实部和虚部，利用实部和虚部互为相反数，可求 b 的值．==A ．﹣ 6D ．2， b 为实数）的实部和虚部互为相反数故选： C．3．设等差数列 {a n}的前 n 项和为 S n，若 2a6=6+a7，则 S9的值是（）A． 27 B． 36 C．45 D． 54 【考点】等差数列的前 n 项和．【分析】由等差数列的性质结合已知求得a5=6，然后直接代入项数为奇数的等差数列前n项和公式得答案．【解答】解：在等差数列 {a n}中，∵2a6=a5+a7，又由已知 2a6=6+a7，得 a5=6 ，∴S9=9a5=54．故选： D．4．下列命题错误的是（）A．命题“若 x2+y2=0，则 x=y=0”的逆否命题为“若 x，y 中至少有一个不为 0，则x2+y2≠ 0”B．若命题 p：? x0∈ R， x0+1≤ 0，则￢ p：? x∈R，x+1>0C．△ ABC中， sinA>sinB 是 A>B 的充要条件D．若向量，满足 ? < 0，则与的夹角为钝角【考点】命题的真假判断与应用．【分析】 A．根据逆否命题的定义进行判断，B．根据含有量词的命题的否定进行判断， C．根据正弦定理以及充分条件和必要条件的定义进行判断，D．根据向量数量积以及夹角关系进行判断．【解答】解： A．命题“若 x2+y2=0，则 x=y=0”的逆否命题为“若 x，y 中至少有一个不为 0，则 x2+y2 ≠0”，正确为真命题，B．若命题 p：? x0∈ R， x0+1≤ 0，则￢ p：? x∈ R， x+1>0，命题为真命题，C．△ ABC中，sinA> sinB等价为 a>b，等价为 A>B，则△ ABC中， sinA>sinB是 A> B 的充要条件为真命题．D ．当向量 ， 反向共线时， 夹角为 180°，满足 ? <0，但 与 的夹角为钝角错误， 故 D 错误， 故选： D考点】由三视图求面积、体积．解答】解：根据几何体的三视图，得该几何体是上部为三棱锥，下部为三棱柱的组合体，三棱柱的每条棱长为 2cm ，三棱锥的高为 2cm ， 2cm ，选： C ．6．若用如图的程序框图求数列 { } 的前 100 项和，则赋值框和判断框中可分别填入（ ）5．某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的体积是（33A ． 4cmB ． 6cmD ．分析】 根据几何体的三视图， 得出该几何体是三棱锥与三棱柱的组合体，由此求出它的体积即 ∴该组合体的体×2×2×2×2=考点】程序框图．的条件．则赋值框内应填： S=S+1，步长值为 1，故最后一次进行循环时 i 的值为 100， 即当 i ≥101 时，满足判断框中的条件，退出循环， 故判断框中的条件应为 i ≥101． 故选： B ．7．已知函教 f （x ） =Asin （ ωx+φ）（ A> 0， ω>0）的图象与直线 y=b （ 0<b<A ）的三个相邻交点 的横坐标分别是 2，4，8，则 f （ x ）的单调递增区间是（ ） A ．［6k π，6k π+3］， k ∈Z B ．［6k ﹣3，6k ］，k ∈Z C ． ［6k ， 6k+3］，k ∈Z D ．［6k π﹣3，6k π］，k ∈Z，i ≥101？｝的前 100 项和，数列 ｛｝的通项应为 的形式，从而可得赋值框内应填的内容，又最后一次进行循环时 i 的值为 100 ，结合框图即可得解判断框中解答】解：程序框图的功能是求数列+++的运算，数列 ｛ ｝的通项应为 的形式，又由框图可知，计数变量 i 的初值为 A ． C ．B ．S=S+ ， i ≥101？ D ． S=S分析】程序框图的功能是求+｝的前 100 项和S=考点】函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换．确定φ的值，最后根据正弦函数的性质可得到答案．相邻交点的横坐标分别是 2，4， 8∴T=6= ∴ w= ，且当 x=3 时函数取得最大值×3+φ=∴φ=﹣∴f（x）∴6k≤ x≤ 6k+3 故选 C．，则 z=2x+y 的最小值是（）A．﹣ 2 B． 2 C． 2 D．1【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，从而可得当直线 z=2x+y 与圆在第三象限相切时，有最小值，从而解得．分析】先根据交点横坐标求出最小正周期，进而可得w 的值，再由当 x=3 时函数取得最大值解答】解：∵函教f（ x） =Asin（ωx+φ）（ A> 0，ω> 0）的图象与直线y=b（0<b<A）的三个=Asin( πx﹣解答】解：由题意作平面区域如下，当直线z=2x+y 与圆在第三象限相切时，有最小值，故 z=﹣ 2 ， 故选： A ．9．已知△ ABC 的外接圆半径为 1，圆心为 O ，且 3，则△ ABC 的面积为（ ）D ．③，这三个式子的两边分别平方即可求出 cos ∠AOB ，cos ∠BOC ，cos ∠AOC ，从而可以得出 sin ∠ AOB ，sin ∠ BOC ，sin ∠ AOC ，这样根据三角形的面积公式即可分别求出△ AOB ， △BOC ，△ AOC 的面积，从而得到△ ABC 的面积．考点】 向量的线性运算性质及几何意义． 分析】 由 可得到 ①，② ，结合图象可知， 解答】解：如图， ；∴由得：①，② ，③；①两边平方得：；∴；∴；∴OA⊥OB；同理②③ 两边分别平方得：∴；∴S△ABC=S △AOB+S△BOC+S△AO C= = ．故选： C．10．双曲线 C1：﹣ =1（a>0，b>0）与抛物线 C2： y2=2px（ p> 0）相交于 A，B 两点，公共弦 AB 恰过它们公共焦点 F，则双曲线的一条渐近线的倾斜角所在的区间可能是（）A．（，） B．（，） C．（，） D．（ 0 ，）【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线与双曲线的焦点坐标，将其代入双曲线方程求出 A 的坐标；将 A代入抛物线方程求出双曲线的三参数 a，b，c 的关系，求出双曲线的渐近线的斜率，求出倾斜角的范围．【解答】解：抛物线的焦点坐标为（， 0）；双曲线的焦点坐标为（ c， 0）∴p=2c∵点 A 是两曲线的一个交点，且 AF⊥x 轴，∴将 x=c 代入双曲线方程得到 A（c，将 A 的坐标代入抛物线方程得到=2pc4 2 2 44a +4ab ﹣ b =0解得 =设倾斜角为 α，则 tan α= =< α< 故选： A ．11．已知 {a n }满足 a 1=1， a n +a n+1=（ ） （n ∈N ）， S n =a 1+4a 2+4 a 3+⋯+4 a n ，则 5S n ﹣4a n =（ ）2A ．n ﹣ 1B ．nC ．2nD ．n 2 考点】数列的求和．n*分析】 a n +a n+1=（ ）n （n ∈ N *），变形为： 列通项公式即可得出．n*解答】解：∵ a n +a n+1=（ ） n（n ∈ N *）， ∴a n+1﹣n∴ 5S n ﹣ 4 a n =n ． 故选： B ．=﹣=﹣，利用等比数∴数列 等比数列，首项为 ，公比为﹣ 1．∴a n =×（﹣1）n ﹣1n ﹣14 a n = +n ﹣1+（﹣ 1）n ﹣×4n．∴5S n =n ﹣=n+双曲线的渐近线的方a n+1nn ﹣ 14na n = +（﹣ 1）n ﹣12．已知 f （ x ）是定义在（ 0， +∞）上的单调函数，且对任意的log 2x]=3，则方程 f （x ）﹣ f ′（ x ） =2 的解所在的区间是（ ） A ．（0， ） B ．（ ， 1） C ．（1，2） D ．（2，3）【考点】根的存在性及根的个数判断；对数函数图象与性质的综合应用．f （x ）﹣log 2x 为定值，可以设 t=f （ x ）﹣ log 2x ，则，由二分法分析可得 h （x ）的零点所在的区间为（ 1， 2），结合函数的零点与方程的根的关系，即可得答案．解答】解：根据题意，对任意的 x ∈（ 0， +∞），都有 f[f （x ）﹣ log 2x]=3， 又由 f （ x ）是定义在（ 0，+∞）上的单调函数， 则 f （x ）﹣ log 2x 为定值， 设 t=f （ x ）﹣ log 2x ，则 f （x ） =log 2x+t ， 又由 f （t ） =3，即 log 2t+t=3，即 log 2x ﹣ =0，令 h （ x ） =log 2x ﹣ ，分析易得 h （1） =﹣ < 0，h （2）=1﹣>0，则 h （ x ） =log 2x ﹣ 的零点在（ 1， 2）之间，x ∈（ 0， +∞），都有 f[f （ x ）﹣分析】根据题意，由单调函数的性质，可得 f （ x ）=log 2x+t ，又由 f （t ） =3，即 log 2t+t=3， 解可得 t 的值，可得 f （ x ）的解析式，对其求导可 得 f ′（ x ）；将 f （x ）与 f ′（x ）代入 f （x ）﹣ fx ） =2，变形化简可得 log 2x =0，令 h （ x ）=log 2x ﹣ 解可得， t=2；则 f （ x ） 将 f （ x ） 可得 log 2x+2﹣ =2， =log 2x+2， 代入 f （x ）﹣ f ′（x ）=2，=log 2x+2，2）上，故选 C．二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分）513．（x+ ）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为40 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令 x=1，建立起 a 的方程，解出 a 的值来，然后再由规律求出常数项【解答】解：由题意，（x+ ）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为 2，所以，令 x=1 则可得到方程 1+a=2，解得得 a=1，故二项式为由多项式乘法原理可得其常数项为﹣22×C53+23C52=40 故答案为 4014．曲线 f（x）=xlnx在点 P（1，0）处的切线 l 与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是【分析】求出原函数的导函数，求得f′（ 1），写出切线方程的点斜式，求得l 与坐标轴围成的三角形，数形结合求得三角形的外接圆方程．【解答】解：由 f（x） =xlnx，得 f′（ x）=lnx+1，∴f′（1）=1，则曲线 f（ x） =xlnx 在点 P（ 1， 0）处的切线方程为 y=x﹣ 1．如图，切线 l 与坐标轴围成的三角形为 AOB，其外接圆的圆心为，半径为．∴三角形的外接圆方程是：．2）上，故答案为：．15．已知 A、 B两个小孩和甲、乙、丙三个大人排队， A 不排两端， 3个大人有且只要两个相邻，则不同的排法种数有 48 ．【考点】计数原理的应用．【分析】从甲、乙、丙三个大人中任取 2 人“捆”在一起，共有 C32A22=6种不同排法，则 A 必须在捆绑的整齐与另一个大人之间，此时共有 6×2=12 种排法，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入 B，即可得出结论．【解答】解：从甲、乙、丙三个大人中任取 2 人“捆”在一起，共有 C32A22=6 种不同排法，则 A 必须在捆绑的整齐与另一个大人之间，此时共有6×2=12 种排法，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入B，∴共有 12×4=48 种不同排法．故答案为： 48．16．在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中， E 是棱 CC1 的中点， F是侧面 BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，则 A1F与平面 BCC1B1 所成角的正切值的取值范围是考点】直线与平面所成的角．分析】设平面 AD1E与直线 BC交于点 G，连接 AG、EG，则 G为 BC的中点，分别取B1B、B1C1 的中点 M、N，连接 AM、MN、 AN，可得到 A1F是平面 A1MN 内的直线，观察点F在线段 MN 上运动，即可得到 A 1F 与平面 BCC 1B 1所成角取最大值、最小值的位置，从而得到 A 1F 与平面 BCC 1B 1 所成角的正切取值范围．【解答】解：设平面 AD 1E 与直线 BC 交于点 G ，连接 AG 、EG ，则 G 为 BC 的中点 分别取 B 1B 、 B 1C 1的中点 M 、N ，连接 AM 、 MN 、 AN ，则 ∵A 1M ∥ D 1E ，A 1M? 平面 D 1AE ，D 1E? 平面 D 1AE ， ∴A 1M ∥平面 D 1AE ．同理可得 MN ∥平面 D 1AE ， ∵A 1M 、 MN 是平面 A 1MN 内的相交直线 ∴平面 A 1MN ∥平面 D 1AE ，由此结合 A 1F ∥平面 D 1AE ，可得直线 A 1F? 平面 A 1MN ，即点 F 是线段 MN 上上的动点． 设直线 A 1F 与平面 BCC 1B 1所成角为 θ 运动点 F 并加以观察，可得当 F 与 M （或 N ）重合时， A 1F 与平面 BCC 1B 1所成角等于∠ A 1MB 1，此时所成角 θ 达到最小值，满足 tan θ= =2；当 F 与 MN 中点重合时， A 1F 与平面 BCC 1B 1所成角达到最大值，满足 tan θ= =2∴A 1F 与平面 BCC 1B 1 所成角的正切取值范围为 [2，2 ] 故答案为： ．17．已知 a 、b 、c 分别是△ ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 的对边，且 2asin （ 1）求角 A 的值：、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）11）若 AB=3， AC 边上的中线 BD 的长为 ，求△ ABC 的面积． 考点】解三角形．分析】（1）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可求角 A 的值： 2）若 AB=3， AC 边上的中线 BD 的长为 ，求出 AC ，再求△ ABC 的面积． 解答】解：（ 1）∵ 2asin （ C+ ）= b ，∴ sinAsinC+ sinAcosC= sinAcosC+ cosAsinC ， ∴ sinAsinC= cosAsinC ，∴tanA= ， ∴A=60°； （2）设 AC=2x ， ∵AB=3，AC 边上的中线 BD 的长为 ，2∴13=9+x 2﹣2×3×x ×cos60°， ∴x=4， ∴AC=8，变量的取值，并分析哪两种选择倾向与性别有关系的把握大；（Ⅱ）在抽取的 50名学生中， 按照分层抽样的方法， 从倾向“平面几何选讲 ”与倾向“坐标系与参 数方程 ”的学生中抽取 8 人进行问卷．若从这 8 人中任选 3人，记倾向 “平面几何选讲 ”的人数减 去与倾向 “坐标系与参数方程 ”的人数的差为 ξ，求 ξ的分布列及数学期望．倾向 “平面几何选讲 ” 倾向 “坐标系与参数方程 ” 倾向 “不等式选讲 ” 合计 男生 16 4 6 26女生 4 8 12 24 合计 2012185018．某校为调查高中生选修课的选修倾向与性别关系，Ⅰ）根据表中提供的数据，选择可直观判断 “选课倾向与性别有关系∴2sinAsin C+sin （ A+C ），∴△ ABC 的面积 S=6 ．随机抽取 50 名学生， 得到如表的数据表： ”的两种， 作为选课倾向的附： K 2=．2P （ k ≤k 0） 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828考点】独立性检验的应用．Ⅱ ）倾向 “平面几何选讲 ”与倾向 “坐标系与参数方程 ”的学生人数的比例为 20：12=5：3，从中 抽取 8 人进行问卷，人数分别为 5，3，由题意， ξ=﹣ 3，﹣ 1，1，3，求出相应的概率，即可求 ξ 的分布列及数学期望．坐标系与参数方程 ”与倾向 “不等式选讲 ”，k=0，所以这两种选择与性 别无关；由题意， ξ=﹣ 3，﹣ 1， 1，3，则ξ的分布列k 0分析】（Ⅰ ）利用 K 2= 分析】（ ）利，求出 K 2，与临界值比较，即可得出结论； 解答】解：（Ⅰ）选倾向 选倾向 “坐标系与参数方程”与倾向 “平面几何选讲 ”， ≈ 6.969> 6.635，∴有 99%的把握认为选倾向 坐标系与参数方程 ”与倾向 “平面几何选讲 ”与性别有关； 选倾向 “平面几何选讲 ”与倾向 “不等式选讲 ”， K 2=≈8.464> 7.879，∴有 99.5% 的把握认为选倾向 “平面几何选讲与倾向 “不等式选讲 ”与性别有关， 综上所述，选倾向 “平面几何选讲与倾向 “不等式选讲 ”与性别有关的把握最大；Ⅱ ）倾向 “平面几何选讲 ”与倾向 坐标系与参数方程 ”的学生人数的比例为 20：12=5：3，从中 抽取 8 人进行问卷，人数分别为 5，3，======数学期望 E ξ=（﹣ 3）P （ξ=﹣3），P （ξ=﹣1），P（ξ=1） P（ξ=1附： K2= ．﹣3 ﹣1 1 3× +1× +3 × = ．+（﹣1）19．在四棱锥 P﹣ABCD中，底面 ABCD是边长为 2的正方形，且 PA⊥平面 ABCD，点 M 是棱 PA 的中点．（1）若 PA=4，求点 C到平面 BMD 的距离；（2）过直线 BD且垂直于直线 PC的平面交 PC 于点 N，如果三棱锥 N﹣BCD的体积取到最大值，求此时二面角 M﹣ND﹣B 的大小的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；点到直线的距离公式．【分析】（1）设 BD 与 AC相交于点 O，连接 MO，则 BD⊥AC，证明平面 BMD⊥平面PAC，过点 A在平面 PAC作 AT⊥ MO于点 T，则 AT⊥平面 BMD，利用等面积，可求点 C 到平面 BMD 的距离；（2）连接 ON，则△ ONC为直角三角形，设∠ OCN=θ（0<θ< ），过 N 作 NQ⊥OC于点 Q，则 NQ⊥平面 ABCD，利用三棱锥 N﹣BCD的体积取到最大值，确定 AP=AC=2 ，以 A为原点，分别以 AB， AD， AP所在直线为 x、y、z轴建立坐标系，求出平面 MND 的一个法向量、平面 BND的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求此时二面角M﹣ND﹣ B的大小的余弦值．【解答】解：（ 1）设 BD与 AC相交于点 O，连接 MO，则 BD⊥AC，∵PA⊥平面 ABCD， BD? ABCD，∴PA⊥BD，∴PA∩AC=A，∴BD⊥平面 PAC，∵BD? 平面 BMD，∴平面 BMD⊥平面 PAC，过点 A 在平面 PAC作 AT⊥MO 于点 T，则 AT⊥平面 BMD，∴AT 为点 A 到平面 BMD 的距离，∵C，A 到平面 BMD的距离相等，取在△MAO 中，AT=），过 N 作 NQ ⊥OC 于点Q ，则 2）连接 ON ，则△ ONC 为直角三角形，设∠ OCN=θ（0<θ< NQ ⊥平面 ABCD ，y=1， ∵直线 PC ⊥平面 BND ，∴平面 BND 的一个法向量为，易知二面角 M ﹣ND= NQ= NCsin θ= OC?cos θsin θ= × sin2θ≤ 当且仅当 θ= 时， V 最大，此时AP=AC=2 ，以 A 为原点，分别以 AB ，AD ，AP 所在直线为 x 、y 、 z 轴建立坐标系，则有点，则有﹣B 的平面角为锐角 α，则D = 设平面 MND 的一个法向量为 ，则有220．已知抛物线 C ：y 2=2px 经过点 M （2，2），C 在点 M 处的切线交 x 轴于点 N ，直线l 1经过点 N 且垂直于 x 轴． （Ⅰ ）求线段 ON 的长；（Ⅱ）设不经过点 M 和N 的动直线 l 2：x=my+b 交C 于点 A 和B ，交 l 1于点 E ，若直线 MA 、 ME 、MB 的斜率依次成等差数列，试问： l 2 是否过定点？请说明理由． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）先求出 p 的值，然后求出在第一象限的函数，结合函数的导数的几何意义求出 N 的坐标即可求线段 ON 的长；（Ⅱ）联立直线和抛物线方程进行削元， 转化为关于 y 的一元二次方程， 根据根与系数之间的关 系结合直线斜率的关系建立方程进行求解即可．22【解答】解：（ Ⅰ）由抛物线 y 2=2px 经过点 M （2， 2），得 22=4p ， 故 p=1， c 的方程为 y 2=2xC 在第一象限的图象对应的函数解析式为 y= ，则 ′故 C 在点 M 处的切线斜率为 ，切线的方程为 y ﹣2= 令 y=0 得 x=﹣2，所以点 N 的坐标为（﹣ 2， 0）， 故线段 ON 的长为 2Ⅱ） l 2恒过定点（ 2，0），理由如下： 由题意可知 l 1 的方程为 x=﹣2，因为 l 2与 l 1相交，故 m ≠0由 l 2： x=my+b ，令 x=﹣ 2，得 y=﹣ ，故 E （﹣ 2，﹣ ） 设 A （x 1，y 1），B （ x 2， y 2）2由 消去 x 得： y 2﹣2my ﹣ 2b=0 则 y 1+y 2=2m ， y 1y 2=﹣2b====直线 MA 的斜率为同理直线 MB 的斜率为x ﹣2），直线 ME 的斜率为因为直线 MA 、ME 、MB 的斜率依次成等差数列，所以因为 l 2 不经过点 N ，所以 b ≠﹣ 2 所以 2m ﹣ b+2=2m ，即 b=2故 l 2的方程为 x=my+2，即 l 2恒过定点（ 2， 0） 21．已知函数 f （ x ） =xe tx ﹣ e x+1，其中 t ∈ R ， e 是自然对数的底数．（Ⅰ ）若方程 f （x ）=1 无实数根，求实数 t 的取值范围； （Ⅱ ）若函数 f （x ）在（ 0，+∞）内为减函数，求实数 t 的取值范围． 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（Ⅰ ）先确定原方程无负实数根，令 g （x ）= ，求出函数的值域，方程 f实数根，等价于 1﹣t? （﹣∞， ] ，从而求出 t 的范围；（Ⅱ）利用函数 f （x ）是（ 0， +∞）内的减函数，确定 t<1，再分类讨论，即可求实数 范围．【解答】解：（ Ⅰ）由 f （x ）=1，可得 x=e x （1﹣t ）>0， ∴原方程无负实数根， 故有=1﹣ t ．令 g （x ）= ，则 g ′（x ） = ，∴0<x<e ，g ′（x ）> 0；x> e ， f ′（ x ）< 0，∴函数 g （ x ）在（ 0，e ）上单调递增，在（ e ，+∞）上单调递减，整理得：+ =2× +=2×=1+=1+=1+x ）=1无t 的取值∴函数 g （ x ）的值域为（﹣ ∞， ]；∴当 t<1﹣ 时，方程 f （x ）=1无实数根；Ⅱ） f ′（x ）=e tx [1+tx ﹣e （1﹣t ）x ] 由题设， x>0， f ′（ x ）≤ 0， 不妨取 x=1，则 f ′（ 1） =e t （ 1+t ﹣ e 1﹣t）≤ 0， 1﹣tt ≥1时， e 1﹣t ≤ 1，1+t ≤ 2，不成立，∴t<1．tx（1 ﹣t ）x①t ≤ ，x> 0时， f ′（ x ） =e tx[1+tx ﹣ e 1 t x]≤ （1+﹣ ），∴h （ x ）> h （ 0） =0，此时， f ′（ x ）> 0，∴f （ x ）在（ 0， ln ）上单调递增，有 f （x ）> f （0）=0与题设矛盾， 综上，当 t ≤ 时，函数 f （x ）是（ 0， +∞）内的减函数．x由（Ⅰ）知， x ﹣e x +1<0，∴ 1+ ﹣ <0，∴ f ′（ x ）< 0，∴函数 g （ x ）的最大值为）=（1﹣t ）[∴函数 f （ x ）是（ 0， +∞）内的减函数； （ 1﹣t ）x﹣ e ]方程 f （x ）=1 无实数根，等价于请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修 4-1 ：几何证明选讲 ]22．如图，△ ABC内接于直径为 BC的圆 O，过点 A作圆 O 的切线交 CB的延长线于点P，∠ BAC 的平分线分别交 BC和圆 O 于点 D、E，若 PA=2PB=10．（1）求证： AC=2AB；（2）求 AD?DE 的值．【考点】相似三角形的判定．【分析】（1）通过证明△ ABP∽△ CAP，然后证明 AC=2AB；（2）利用切割线定理以及相交弦定理直接求AD?DE的值．【解答】（1）证明：∵ PA是圆 O的切线∴∠ PAB=∠ACB又∠ P是公共角∴△ABP∽△ CAP⋯∴=2，∴=2，∴AC=2AB⋯（2）解：由切割线定理得： PA2=PB?PC，∴ PC=20又 PB=5，∴ BC=15⋯又∵ AD是∠ BAC的平分线，∴=2，∴=2，∴CD=2DB，∴CD=10，DB=5⋯又由相交弦定理得： AD?DE=CD?DB=50⋯[ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 ]23．在直角坐标系 xOy中，以原点 O为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线t 为参数），θ为参数）（Ⅰ ）化 C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若 C1上的点 P对应的参数为 t= ，Q为 C2上的动点，求 PQ中点 M到直线C3：ρ﹣2sin θ）=7 距离的最小值．考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．θ为参数），利用 cos2θ+sin2θ=1 化为普通方程．Ⅱ）当 t= 时， P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故 M ，C3：ρ（ cosθ﹣2sinθ）=7 化为 x﹣ 2y=7，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可得出．22 【解答】解：（Ⅰ ）曲线 C1：（t 为参数），化为（ x+4）2+（y﹣3）2=1，∴C1 为圆心是（﹣ 4， 3），半径是 1 的圆．θ为参数），化为cosθ分析】（Ⅰ）曲线 C1：t 为参数），利用 sin2t+cos2t=1 即可化为普通方程；C2：直线C2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是 3 的椭圆．Ⅱ）当 t= 时， P （﹣4，4），Q （8cos θ，3sin θ），故 M 直线 C 3： ρ( cos θ﹣ 2sin θ) =7 化为 x ﹣ 2y=7，[选修 4-5 ：不等式选讲 ]24．已知函数 f （ x ） =|x ﹣1|．（Ⅰ）解不等式 f （x ﹣1）+f （x+3）≥ 6； （Ⅱ ）若 |a|<1，|b|<1，且 a ≠0，求证：考点】不等式的证明；绝对值不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法解不等式 f （x ﹣1）+f （x+3）≥6 即可； （Ⅱ ）利用分析法 进行证明不等式． 【解答】解：（ I ）∵ f （x ）=|x ﹣1|．∴不等式 f （x ﹣1）+f （x+3）≥6 等价|x ﹣2|+|x+2|≥6， 若当 x ≥2 时，不等式等价为 x ﹣2+x+2≥6， 即 2x ≥ 6，解得 x ≥ 3．当﹣2<x<2 时，不等式等价为 2﹣x+x+2≥6， 即 4≥ 6，此时不成立．当 x ≤﹣ 2 时，不等式等价为 2﹣ x ﹣ x ﹣ 2≥ 6，即 2x ≤﹣ 6，即 x ≤﹣ 3． 综上不等式的解集为（﹣ ∞，﹣ 3]∪[3，+∞）． （ II ）要证，只需证 |ab ﹣1|> |b ﹣a|，22只需证（ ab ﹣1）2>（ b ﹣a ） 2而（ab ﹣1）2﹣（b ﹣a ）2=a 2b 2﹣a 2﹣b 2+1=（a 2﹣1）（b 2﹣1）> 0， ∵|a|< 1， |b|< 1，22∴a < 1， b <1，从而当 M 到 C 3的距|5sin (θ+φ)+13|，cossin θ= ，d 取得最小即 a2﹣ 1< 0，b2﹣1<0，即（a2﹣1）（b2﹣1）> 0，成立，从而原不等式成立．。
金牌模拟试卷(二)(解析版)-2020-2021学年高二数学下学期第一次月考金牌模拟试卷
2020-2021高二下学期第一次月考金牌模拟试卷（二）注意事项：1.本试卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题，共40分）、多项选择题（第9题～第12题，共20分）、填空题（第13题～第16题，共20分）和解答题（第17题～第22题，共70分）四部分.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡、试卷和草稿纸的指定位置上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水的签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷或草稿纸上均无效.4.考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1．已知i 是虚数单位，复数12z i =-的虚部为（ ）A ．2-B ．2C ．2i -D ．1【答案】A【分析】根据复数的概念可得出结论.【详解】复数12z i =-的虚部为2-.故选：A.2．一个物体的运动方程为21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒 【答案】C【分析】根据导数的物理意义可求得结果.【详解】根据导数的物理意义可知物体在3秒末的瞬时速度是21s t t =-+在3t =时的导数值，因为12s t '=-+，所以物体在3秒末的瞬时速度是1235-+⨯=米/秒.故选：C3．()()444i i i -+=（ ）A ．815i -B ．15iC ．815i +D ．15i - 【答案】A【分析】由41i =，结合复数代数形式的乘法运算，即可化简复数.【详解】()()()()444144815i i i i i i -+=-+=-.故选：A ．4．函数y ＝(x 2－1)n 的复合过程正确的是（ ）A ．y ＝u n ，u ＝x 2－1B ．y ＝(u －1)n ，u ＝x 2C ．y ＝t n ，t ＝(x 2－1)nD ．y ＝(t －1)n ，t ＝x 2－1【答案】A【分析】直接根据函数的结构，找到内层函数和外层函数即可得解.【详解】函数y ＝(x 2－1)n ，可由y ＝u n ，u ＝x 2－1，利用复合函数求导.故选：A.5．已知i 是虚数单位，在复平面内，复数2i -+和13i -对应的点之间的距离是（ ）A B C ．5 D ．25【答案】C【分析】根据复数的几何意义，分别得到两复数对应点的坐标，再由两点间距离公式，即可得出结果.【详解】由于复数2i -+和13i -对应的点分别为()2,1-，()1,3-，5=.故选：C.6．将一个边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无盖方盒．若该方盒的体积为2，则a 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．【答案】C【分析】设出小正方形的边长，表示出方盒的体积，然后求导，判断出单调性，然后求解最大值即可.【详解】设截去的小正方形边长为x ，则方盒高为x ，底边长为2a x -，所以()22,0,2a V a x x x ⎛⎫=-⋅∈ ⎪⎝⎭，则()224(2)(2)(6)V a x x a x x a x a '=-+-=--，令0V '=，得2a x =（舍） 或6a x =，当06a x <<时，0V '>，单调递增；当62a a x <<时，0V '<，单调递减；由题意，则23max2263627a a a a V V a ⎛⎫⎛⎫==-⋅=≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a ≥，故a 的最小值为3. 故选：C.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．7．在复平面xOy 内，复数z 对应的向量()1,1OZ =-，z 是复数z 的共轭复数，i 为虚数单位，则复数2z z +的虚部是（ ）A ．1B ．-1C ．i -D ．-3【答案】B【分析】先求出z ，再求出2z z +，从而可求2z z +的虚部.【详解】因为复数z 对应的向量()1,1OZ =-，故1z i =-，故1z i =+，故()22111z z i i i +=-++=-，其虚部为1-，故选：B.8．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，函数()f x 的导函数为()'f x ，且当[0,)x ∈+∞时，()sin ()cos ()f x x f x x ef x ''<-，e 为自然对数的底数，则函数()f x 在R 上的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】为了利用条件()sin ()cos ()f x x f x x ef x ''<-，构造函数()(cos )()g x x e f x =-即可. 【详解】由()sin ()cos e ()f x x f x x f x ''<-，得(cos e)()()sin 0x f x f x x '-->.令()(cos )()g x x e f x =-，因为cos 0x e -≠，所以()0f x =等价于()0g x =.当[0,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在[0,)+∞上单调递增，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()(cos )()g x x e f x =-也是定义在R 上的奇函数，从()g x 在R 上单调递增，又(0)0g =，所以()g x 在R 上只有1个零点，从而可得()f x 在R 上只有1个零点.故选：B.二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）9．设123,,z z z 为复数，10z ≠．下列命题中正确的是（ ）A ．若23z z =，则23z z =±B ．若1213z z z z =，则23z z =C ．若23z z =，则1213z z z z =D ．若2121z z z =，则12z z = 【答案】BC【分析】取特殊值法可判断AD 错误，根据复数的运算及复数模的性质可判断BC.【详解】 由复数模的概念可知，23z z =不能得到23z z =±，例如23,11i i z z =+=-，A 错误；由1213z z z z =可得123()0z z z -=，因为10z ≠，所以230z z -=，即23z z =，B 正确； 因为2121||||z z z z =，1313||||z z z z =，而23z z =，所以232||||||z z z ==，所以1213z z z z =，C 正确； 取121,1z i z i =+=-，显然满足2121z z z =，但12z z ≠，D 错误. 故选：BC10．已知函数()f x 及其导数()'f x ，若存在0x ，使得()()00f x f x '=，则称0x 是()f x 的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是（ ）A ．2()f x x =B ．()x f x e -=C ．()ln f x x =D ．1()f x x= 【答案】ACD【分析】利用“巧值点”的定义，逐个求解方程()()00f x f x '=判断即可【详解】在A 中，若2()f x x =，则()2f x x '=，则22x x =，这个方程显然有解，故A 符合要求；在B 中，若()xf x e -=，则111()ln x x x f x e e e e -'⎡⎤⎛⎫⎛⎫===-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦'，即x x e e --=-，此方程无解，故B 不符合要求；在C 中，若()ln f x x =，则1()f x x '=，由1ln x x=，令ln y x =，1y x =（0x >），作出两函数的图像如图所示，由两函数图像有一个交点可知该方程存在实数解，故C 符合要求；在D 中，若1()f x x =，则21()f x x '=-，由211x x=-，可得1x =-，故D 符合要求． 故选：ACD ．11．已知i 为虚数单位，下面四个命题中是真命题的是（ ）A ．342i i +>+B ．24(2)()a a i a R -++∈为纯虚数的充要条件为2a =C ．()2(1)12z i i =++的共轭复数对应的点为第三象限内的点 D ．12i z i +=+的虚部为15i 【答案】BC【分析】根据复数的相关概念可判断A ，B 是否正确，将()2(1)12z i i =++展开化简可判断C 选项是否正确；利用复数的除法法则化简12i z i+=+，判断D 选项是否正确.【详解】对于A ，因为虚数不能比较大小，故A 错误；对于B ，若()242a a i ++-为纯虚数，则24020a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得2a =，故B 正确；对于C ，()()()211221242z i i i i i =++=+=-+， 所以42z i =--对应的点为()4,2--位于第三象限内，故C 正确；对于D ，()()()()12132225i i i iz i i i +-++===++-，虚部为15，故D 错误．故选：BC ．12．已知函数()2tan f x x x =+，其导函数为()'f x ，设()()cos g x f x x '=，则（ ） A ．()f x 的图象关于原点对称 B ．()f x 在R 上单调递增C ．2π是()g x 的一个周期D ．()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的最小值为【答案】AC【分析】对A ：求出()f x 的定义域，再利用奇偶性的定义判断即可；对B ：利用()f x 的导数可判断；对C ：计算(2)g x π+，看是否等于()g x 即可；对D ：设cos t x =，根据对勾函数的单调性可得最值.【详解】()2tan f x x x =+的定义域是,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣，其定义域关于坐标原点对称， 且()2tan()2tan (2tan )()f x x x x x x x f x -=-+-=--=-+=-，所以()f x 是奇函数，所以()f x 的图象关于原点对称，故A 项正确；由()2tan f x x x =+，得22()1cos f x x '=+，则2()()cos cos cos g x f x x x x'==+． 22()10cos f x x '=+>恒成立，所以()f x 在,()22k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭上单调递增，并不是在R 上单调递增，故B 项错误； 由2()cos cos g x x x =+，得函数()g x 的定义域是,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣22(2)cos(2)cos ()cos(2)cos g x x x g x x x πππ+=++=+=+，故C 项正确； 设cos t x =，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(0,1)t ∈， 此时()2()h t g x t t==+，(0,1)t ∈，根据对勾函数的单调性，()h t 在(0,1)上单调递减， ()()13g x h ∴>=，故D 项错误.故选：AC ．三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．复数1z ，2z 满足121z z ==，12z z -=，则12z z +=______.【答案】1【分析】根据复数的运算法则，进行计算即可．【详解】解：12||||1z z ==，12||-=z z ， ∴221122||2||3z z z z -+=，122231z z ∴=-=-；12||1z z ∴+=． 故答案为：1．14．曲线2y lnx x =-在1x =处的切线的倾斜角为α，则sin 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭___________. 【答案】10【分析】对函数求导代入，即可得出tan 3(0)2παα=<<，进而可得结果.【详解】1212,|3x y y x x ='+'==则tan 3(0),sin cos 22ππαααα=<<∴+===（）15．若复数z 1＝1＋3i ，z 2＝－2＋ai ，且z 1＋z 2＝b ＋8i ，z 2－z 1＝－3＋ci ，则实数a ＝________，b ＝________，c ＝________．【答案】5 -1 2【分析】根据复数的加法法则和减法法则分别求出z 1＋z 2，z 2－z 1，再根据复数相等的定义得到方程组，解出即可.【详解】z 1＋z 2＝(1－2)＋(3＋a )i ＝－1＋(3＋a )i ＝b ＋8i ，z 2－z 1＝(－2－1)＋(a －3)i ＝－3＋(a －3)i ＝－3＋ci ，所以1383b a a c =-⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，解得152b a c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩.故答案为： 5；-1；2.16．已知()32f x x x =+，()2,01ln ,02x e x g x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，若函数()()y f g x m =+(m 为实数)有两个不同的零点1x ，2x ，且12x x <，则21x x -的最小值为___________. 【答案】11ln 22+【分析】 由题可知()()0f g x m +=有两个不等实根，设()g x t =，则()f t m =-，根据()f x 在R 上单调递增，结合()g x 的图像可知，()g x t =在(]0,1t ∈上有两个不同的实根，即1221ln 2x e x t =+=，构造函数12211()ln 2t h t x x e t -=-=-，利用导数研究函数的最小值，即可求解. 【详解】()32f x x x =+，求导()2320f x x '=+>，()f x ∴在R 上单调递增.函数()()y f g x m =+有两个不同零点，等价于方程()()0f g x m +=有两个不等实根.设()g x t =，则()f t m =-，又()f x 在R 上单调递增，作出函数()g x 的图像，则问题转化为()g x t =在(]0,1t ∈上有两个不同的实根1x ，2x ，12x x < 则1221ln 2x e x t =+=，则11ln 2x t =，122t x e -=，12211ln 2t x x e t --=-. 设121()ln 2t h t e t -=-，(]0,1t ∈，则()1212t h t e t -'=-，()122102t h t e t -''=+> ()h t '∴在(]0,1t ∈上单调递增，且102h ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，由零点存在性定理知，()0h t '=在(]0,1t ∈上有唯一零点，故()h t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()min 111ln 222h t h ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 故答案为：11ln 22+【点睛】 思路点睛：本题考查利用导数研究函数的零点及最值，利用导数研究方程的根(函数的零点)的策略，研究方程的根或曲线的交点个数问题，可构造函数，转化为研究函数的零点个数问题，可利用导数研究函数的极值、最值、单调性、变化趋势等，从而画出函数的大致图象，然后根据图象判断函数的零点个数．四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i (m ∈R )．（1）若复数z 是实数，求实数m 的值；（2）若复数z 是虚数，求实数m 的取值范围；（3）若复数z 是纯虚数，求实数m 的值；（4）若复数z 是0，求实数m 的值．【答案】（1）m ＝5或－3；（2）{m |m ≠5且m ≠－3}；（3）m ＝－2；（4）m ＝－3.【分析】（1）利用虚部等于零列方程求解即可；（2）利用虚部不等于零列不等式求解即可；（3）利用实部等于零且虚部不等于零求解即可；（4）利用实部等于零且虚部等于零求解即可【详解】（1）当m 2－2m －15＝0时，复数z 为实数，所以m ＝5或－3.（2）当m 2－2m －15≠0时，复数z 为虚数．所以m ≠5且m ≠－3.所以实数m 的取值范围为{m |m ≠5且m ≠－3}．（3）当222150,560m m m m ⎧--≠⎨++=⎩时，复数z 是纯虚数，所以m ＝－2. （4）当222150,560m m m m ⎧--=⎨++=⎩时，复数z 是0，所以m ＝－3.18．求下列函数的导数.（1）sin y x x =+；（2）2ln 1x y x =+. 【答案】（1）cos 1x +；（2）()22221211x x nx x x +-+.【分析】根据导数的运算法则进行求导即可．【详解】（1）函数的导数：(sin )cos 1y x x x '''=+=+；（2）函数的导数：()()()2222222111212111x nx x x x nx x y x x x +-⋅+-'==++. 【点睛】本题主要考查导数的计算，结合导数的公式以及运算法则是解决本题的关键，比较基础．19．已知复数112z i =-，234z i =+，i 为虚数单位.（1）若复数12z az +，在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围；（2）若12z z z =，求z 的共轭复数 【答案】（1）11(,)32-；（2）1255i -+ 【分析】（1）化简复数12(13)(42)z az a a i +=++-，再由复数12z az +在复平面上对应的点在第四象限，列出不等式组，即可求解；（2）由复数的除法运算法则，化简得1255z i =--，再根据共轭复数的概念，即可求解. 【详解】（1）由题意，复数1212,34z i z i =-=+， 则1212(34)(13)(42)z az i a i a a i +=-++=++-因为复数12z az +在复平面上对应的点在第四象限，所以130420a a +>⎧⎨-<⎩，解得1132a -<<， 即实数a 的取值范围11(,)32-. （2）由()()()()12123412510123434342555i i z i i z i z i i i -----=====--++-， 所以1255z i =-+. 【点睛】与复数的几何意义相关问题的一般步骤：（1）先根据复数的运算法则，将复数化为标准的代数形式；（2）把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据复数(,)a bi a b R +∈与复平面上的点(,)a b 一一对应，列出相应的关系求解.20．已知函数3()f x x ax =-在[4,)+∞上为增函数，求a 的取值范围. 【答案】(,48]-∞【分析】由()f x 在区间[4,)+∞上为增函数，可得()0f x '在[4,)+∞上恒成立，即23a x 在[4,)+∞上恒成立，从而可得答案．【详解】因为()23f x x a ='-，且()f x 在区间[4,)+∞上为增函数，所以()0f x '在[4,)+∞上恒成立，即230x a -在[4,)+∞上恒成立，所以23a x 在[4,)+∞上恒成立，因为2234834x ≥⨯=所以48a ，即a 的取值范围为(,48]-∞．21．新冠肺炎疫情发生后，政府为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额x (万元)在[]4,8x ∈的小微企业做统一方案，方案要求同时具备下列两个条件：∈补助款()f x (万元)随企业原纳税额x (万元)的增加而增加；∈补助款不低于原纳税额的50%.经测算政府决定采用函数模型()44x m f x x=-+(其中m 为参数)作为补助款发放方案. （1）判断使用参数12m =是否满足条件，并说明理由；（2）求同时满足条件∈∈的参数m 的取值范围.【答案】（1）满足，理由见解析；（2）[]4,12-.【分析】（1）当12m =，求得()'0f x >，得到()f x 在[]4,8x ∈为增函数，又由121442x x x -+≥，结合二次函数的性质，即可得到答案；（2）求得224'()4x m f x x+=，分类讨论求得函数的单调性，得到4m ≥-，再由不等式44x m x +≤在[]4,8上恒成立，求得12m ≤，即可求解.【详解】（1）当12m =时，所以12()44x f x x =-+，可得2112'()04f x x=+>， 所以函数()f x 在[]4,8x ∈为增函数，满足条件①； 又由不等式121442x x x -+≥，可化为216480x x -+≤， 设()21648g x x x =-+，可得对称轴为8x =且在()4,8x ∈为递减函数且()40g =， 所以121()442x f x x x =-+≥恒成立， 综上可得，当使用参数12m =时满足条件；（2）由函数()44x m f x x =-+，可得22214'()44m x m f x x x+=+=， 所以当0m ≥时，()'0f x ≥满足条件①，当0m <时，由()'0f x =，可得x =当)x ⎡∈+∞⎣时，()'0f x ≥，()f x 单调递增，所以4≤，解得40m -≤<，综上可得，4m ≥-，由条件①可知，()2x f x ≥，即不等式44x m x +≤在[]4,8上恒成立，等价于22114(8)1644m x x x ≤-+=--+. 当4x =时，21(8)164y x =--+取最小值12，所以12m ≤， 综上，参数m 的取值范围是[]4,12-.【点睛】本题主要考查函数的实际应用，以及导数在函数的中的应用，其中解答中正确理解题意，结合导数求得函数的单调性是解答的关键，着重考查推理与运算能力.22．已知数列()*11n n a n n ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N . （1）证明：n a e <(*n ∈N ，e 是自然对数的底数)；（2）若不等式()*11,0n a e n a n +⎛⎫+≤∈> ⎪⎝⎭N 成立，求实数a 的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）最大值为11ln 2-. 【分析】（1）将所要证明的不等式转化为证明()()()ln 101f x x x x =+-<≤在区间(]0,1上小于零，利用导数研究()f x 在区间(]0,1上的单调性和最值，由此证得结论成立.（2）将不等式()*11,0n a e n a n +⎛⎫+≤∈> ⎪⎝⎭N 成立，转化为()()()ln 1011x g x x x ax =+-<≤+在区间(]0,1上()0g x ≤恒成立，利用导数研究()g x 的单调性，结合对a 进行分类讨论，求得a 的取值范围，由此求得a 的最大值.【详解】（1）要证()*11ne n n ⎛⎫+<∈ ⎪⎝⎭N 成立，两边取对数： 只需证明11ln 1n n⎛⎫+< ⎪⎝⎭成立， 令1x n=，01x <≤，构造函数()()()ln 101f x x x x =+-<≤， 即只需证明函数()f x 在区间(]0,1上小于零，由于()1x f x x =-+'， 在区间(]0,1上，()0f x '<，函数()f x 单调递减，且()00f =，所以在区间(]0,1上函数()0f x < 所以不等式()*11ne n n ⎛⎫+<∈ ⎪⎝⎭N 成立； （2）对于不等式()11n a e n n +*⎛⎫+≤∈ ⎪⎝⎭N ，两边取对数： 只需不等式11ln 1n n a⎛⎫+≤ ⎪+⎝⎭成立， 令1x n=，01x <≤，构造函数()()()ln 1011x g x x x ax =+-<≤+， 不等式()11n a e n n +*⎛⎫+≤∈ ⎪⎝⎭N 成立，等价于在区间(]0,1上()0g x ≤恒成立其中，()222(21)(1)(1)a x a x g x x ax +-=++' 由分子22(21)0a x a x +-=，得其两个实数根为10x =，2212a x a -=；当12a ≥时，20x ≤， 在区间(]0,1上，()0g x '>，函数()g x 单调递増，由于()()00g x g >=，不等式不成立112a <<时，()20,1x ∈， 在区间()20,x 上()0g x '<，在区间()2,1x 上()0g x '>；函数()g x 在区间()20,x 上单调递减，在区间()2,1x 上单调递增； 且()00g =，只需()11ln 201g a =-≤+，得11ln 2a ≤-111ln 2a -<≤-时不等式成立当01a <≤时，21x ≥，在区间(]0,1上，()0g x '<，函数()g x 单调递减，且()()00g x g <=，不等式恒成立 综上，不等式(),011n a a e n n +*⎛⎫+≤∈ ⎪⎝⎭>N 成立，实数a 的最大值为11ln 2-. 【点睛】可将不等式恒成立问题，转化为函数最值来求解，要注意导数的工具性作用.。
山西省2020年高考[理数]考试真题与答案解析
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A ．B ．10π97C ．D ．4π338．的展开式中x 3y 3的系数为25()()x x y xy ++A ．5B ．10C ．15答案解析一、选择题1．D 2．B 3．C 4．C 5．D 6．B 7．C 8．C 9．A 10．A11．D12．B非选择题答案二、填空题13．114．15．216．314-三、解答题17．解：（1）设的公比为，由题设得即.{}n a q 1232,a a a =+21112a a q a q =+所以解得（舍去），。
故的公比为.220,q q +-=1q =2q =-{}n a 2-（2）设为的前n 项和.由（1）及题设可得，.所以n S {}n na 1(2)n n a -=-，112(2)(2)n n S n -=+⨯-++⨯- .21222(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=-+⨯-++-⨯-+⨯- 可得2131(2)(2)(2)(2)n nn S n -=+-+-++--⨯- 1(2)=(2).3nn n ---⨯-所以.1(31)(2)99nn n S +-=-18．解：（1）设，由题设可得，DO a =63,,63PO a AO a AB a ===。
因此，从而.22PA PB PC a ===222PA PB AB +=PA PB ⊥又，故。
222PA PC AC +=PA PC ⊥所以平面.PA ⊥PBC （2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角O OEy ||OE 坐标系.O xyz -况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，，．1161818因此丙最终获胜的概率为．111178168816+++=20．解：（1）由题设得A （–a ，0），B （a ，0），G （0，1）.则，=（a ，–1）.由=8得a 2–1=8，即a =3.(,1)AG a = GB AG GB ⋅所以E 的方程为+y 2=1．29x （2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），P （6，t ）.若t ≠0，设直线CD 的方程为x =my +n ，由题意可知–3<n <3.由于直线PA 的方程为y =（x +3），所以y 1=（x 1+3）.9t9t直线PB 的方程为y =（x –3），所以y 2=（x 2–3）.3t 3t 可得3y 1（x 2–3）=y 2（x 1+3）.由于，故，可得，222219x y +=2222(3)(3)9x x y +-=-121227(3)(3)y y x x =-++即①221212(27)(3)()(3)0.m y y m n y y n ++++++=将代入得x my n =+2219x y +=222(9)290.m y mny n +++-=所以，．12229mn y y m +=-+212299n y y m -=+代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0.m n m n mn n m +--++++=解得n =–3（含去），n =.32故直线CD 的方程为，即直线CD 过定点（，0）．3=2x my +32若t =0，则直线CD 的方程为y =0，过点（，0）.32综上，直线CD 过定点（，0）.3221．解：（1）当a =1时，f （x ）=e x +x 2–x ，则=e x +2x –1．()f x '故当x ∈（–∞，0）时，<0；当x ∈（0，+∞）时，>0．所以f （x ）在（–∞，0）()f x '()f x '单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）等价于.31()12f x x ≥+321(1)e 12x x ax x --++≤设函数，则321()(1)e (0)2xg x x ax x x -=-++≥32213()(121)e 22xg x x ax x x ax -'=--++-+-21[(23)42]e 2xx x a x a -=--+++.1(21)(2)e 2x x x a x -=----（i ）若2a +1≤0，即，则当x ∈（0，2）时，>0.所以g （x ）在（0，2）单调递增，12a ≤-()g x '而g （0）=1，故当x ∈（0，2）时，g （x ）>1，不合题意.（ii ）若0<2a +1<2，即，则当x ∈(0，2a +1)∪(2，+∞)时，g'(x )<0；当x ∈(2a +1，1122a -<<2)时，g'(x )>0.所以g (x )在(0，2a +1)，(2，+∞)单调递减，在(2a +1，2)单调递增.由于g (0)=1，所以g (x )≤1当且仅当g (2)=(7−4a )e −2≤1，即a ≥.27e4-所以当时，g (x )≤1.27e 142a -≤<（iii ）若2a +1≥2，即，则g (x )≤.12a ≥31(1)e 2x x x -++由于，故由（ii ）可得≤1.27e 10[,)42-∈31(1)e 2xx x -++故当时，g (x )≤1.12a ≥综上，a 的取值范围是.27e [,)4-+∞22．解：（1）当k =1时，消去参数t 得，故曲线是圆心为坐标原点，1cos ,:sin ,x t C y t =⎧⎨=⎩221x y +=1C 半径为1的圆．（2）当k =4时，消去参数t 得的直角坐标方程为．414cos ,:sin ,x t C y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩1C 1x y +=的直角坐标方程为．2C 41630x y -+=（2）函数的图像向左平移()y f x =的图像与()y f x =(y f x =+。
2021-2022学年山西省运城市发展联盟高二下学期3月联考数学试题(解析版)
2021-2022学年山西省运城市发展联盟高二下学期3月联考数学试题一、单选题1．某班有4名同学报名参加校运会的五个比赛项目，且每人参加一项，则不同的报名方法有（ ） A ．54种 B ．45种C ．45A 种 D ．45C 种【答案】B【分析】考虑每个同学都有5种报名方法，4名同学分四步完成，根据分步乘法计数原理可得答案.【详解】由4名同学报名参加校运会的五个比赛项目，且每人至多参加一项， 可知每个同学都有5种报名方法，4名同学分四步完成， 根据分步乘法计数原理可得共有455555⨯⨯⨯= 种报名方法， 故选：B2．已知()06|.P B A =，()0.3P A =，则()P AB =（ ） A ．0.12 B ．0.18 C ．0.21 D ．0.42【答案】A【分析】由条件概率可得()0.18=P AB ，()()()P AB P A P AB =-，即可求出答案. 【详解】由()()()0.6()0.18()0.3|P AB P AB P B A P AB P A ===⇒= ()()()0.30.180.12P AB P A P AB =-=-=.故选：A.3．设随机变量X 的可能取值为1、2、、n ，并且取1、2、、n 是等可能的．若()30.2P X <=，则下面结论中正确的是（ ） A ．10n = B ．4n =C ．3n =D ．n 不能确定【答案】A【分析】分析可得()()11,2,,P X k k n n===，可得出()()()312P X P X P X <==+=，即可求得n 的值.【详解】由题意可知()()11,2,,P X k k n n===，所以，()()()23120.2P X P X P X n<==+===，因此，10n =. 故选：A.4．若)5a 的展开式中2x 的系数为10，则实数a ＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【分析】利用二项式定理，求出展开式的通项公式，列出方程，求出2a =.【详解】)5a 的展开式通项公式为51522155rr r rr rr T C x a C a x--+⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，令522r-=，解得：1r =，则1222510T C ax x ==，解得：2a =.故选：A5．由高矮不同的3名女生和4名男生站成一排，要求女生按从高到低的顺序排列，则不同的排列方法有（ ） A ．720 B ．840 C ．1120 D ．1440【答案】B【分析】由于女生顺序固定，只需将男生排好就行.【详解】由于女生按从高到低的顺序排列，故只需将4名男生从7个位置中选取4个位置排好，即有477654840A =⨯⨯⨯=种排列方法，故选：B.6．某工厂生产的10件产品中，有n 件次品，现从中任取3件产品，若取出的3件产品中至少有1件次品的概率为1724，则n ＝（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【分析】根据题意可得出的3件产品中1件次品都没有的概率为724，再利用古典概型即可求出答案.【详解】若取出的3件产品中至少有1件次品的概率为1724，则取出的3件产品中1件次品都没有的概率为724.则3103107324n C n C -=⇒=. 故选：C.7．把3个相同的红球和2个不同的白球放在四个不同的盒子中，每个盒子中至少放一个球，则不同的放法有（ ） A ．24B ．28C ．48D ．52【答案】D【分析】分两种情况讨论：一、2个不同的白球放在一个盒子里，其他3个相同的红球分别放在其他三个盒子中，一个盒子放一个球；二、2个不同的白球分别放在四个盒子中的两个，且各放一个球，其余两个盒子中各放1个红球，最后1个红球从四个盒子中选一个来放.【详解】解：由题意，5个球放在四个不同的盒子中，每个盒子中至少放一个球，则有一个盒子放2个球，有三个盒子分别各放1个球，又5个球为3个相同的红球和2个不同的白球，则分两种情况讨论：一、2个不同的白球放在一个盒子里，其他3个相同的红球分别放在其他三个盒子中，一个盒子放一个球，有14C 4=种放法；二、2个不同的白球分别放在四个盒子中的两个，且各放一个球，其余两个盒子中各放1个红球，最后1个红球从四个盒子中选一个来放，有214448A C =种放法； 综上，共有44852+=种放法. 故选：D.8．把语文，数学，英语，物理等7本不同的书放入书架，若数学书和物理书相邻，语文书不放在最左边，英语书不放在最右边，则不同的放法共有（ ） A ．780 B ．960 C ．1440 D ．1008【答案】D【分析】把数学书和物理书捆绑，从语文书的位置进行分类，结合排列知识求解. 【详解】先把数学书和物理书捆绑看作一个元素，共有22A 种方法； 当语文书放在最右边时，英语书和其它书排列，共有55A 种方法；当语文书放不在最右边时，最右边放置除语文和英语之外的书，有4种方法，最左边放置除语文之外的余下的书，有4种方法，其它位置没有要求，有44A 种方法；综上共有()254254441008A A A +⨯⨯=种方法；故选：D 二、多选题9．(多选)已知随机变量X 的分布列如下表所示，其中a ，b ，c 成等差数列，则（ ）A ．a ＝13B ．b ＝13C ．c ＝13D ．P (|X |＝1)＝23【答案】BD【分析】本题根据等差数列性质得出a ，b ，c 之间的关系，再利用分布列的性质即可求解.【详解】解：由题意得： ∵a ，b ，c 成等差数列 ∴2b ＝a ＋c .由分布列的性质得a ＋b ＋c ＝3b ＝1 ∴13b =∴(11())(1)P X P X P X ＝＝＝＋＝－ 3()121013P X -=＝－＝＝.故B 、D 正确；因为题目中未给出a 与c 的关系，本题我们只知道23a c =＋，故无法求出a 与c 的值，故A 、C 错误； 故选：BD10．在()()*13N nx n -∈的展开式中，二项式的系数和为256，则下列说法正确的是（ ）A ．8n =B ．展开式中各项系数和为256C ．第4项的二项式系数最大D ．展开式中所有系数的绝对值的和为84【答案】ABD【分析】根据二项式定理相关性质计算即可.【详解】由二项式定理可知，二项式系数之和为2256n =，解得8n =，A 选项正确； 令1x =，得()()88132256-=-=，B 选项正确；8n =时，()13nx -的展开式共9项，二项式系数最大的项为第5项，C 选项错误；()828012813x a a x a x a x -=+++，则1a ，3a ，5a ，7a 为负数，0a ，2a ，4a ，6a ，8a 为正数，故展开式中所有系数的绝对值的和为018012345678a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-+-+，令1x =-，得()88018134a a a +++=+=，D 选项正确；故选：ABD.11．已知随机变量的分布列为()0.2P X k ==，k ＝1，2，3，4，5．若Y ＝2X －3，下列说法正确的是（ ） A ．随机变量X 的均值为3 B ．随机变量Y 的均值为3 C ．随机变量X 的方差为2 D ．随机变量Y 的方差为9【答案】ABC【分析】根据()0.2P X k ==得到该分布列的性质，展开后可得每个随机变量的取值都是0.2，由此判断均值和方差 【详解】由题()0.2P X k ==可知：()()()()()10.2,20.2,30.2,40.2,50.2P X P X P X P X P X ==========，故均值()10.220.230.240.250.23E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，A 正确()()()23232333E Y E X E X =-=-=⨯-=，B 正确()()()()()()22222130.2230.2330.2430.2530.22D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=,C 正确()()()2348D Y D X D X =-==，D 错误故选：ABC12．某工厂有3个车间生产同型号的电子元件，第一车间的次品率为2%，第二车间的次品率为1%，第三车间的次品率为1.5%，三个车间的成品都混合堆放在一个仓库．假设第一、二、三车间生产的成品比例为3:2:3，现有一客户从该仓库中随机取一件，则下列说法正确的有（ ）A ．取出的该件是次品的概率约为0.012B ．取出的该件是次品的概率约为0.016C ．若取出的电子元件是次品，则它是第一车间生产的概率约为0.5D ．若取出的电子元件是次品，则它是第一车间生产的概率约为0.4 【答案】BC【分析】利用赋值法，直接求解即可【详解】取第一车间产品300件，第二车间产品200件，第三车间产品300件，所以共有次品3000.022000.013000.01512.5⨯+⨯+⨯=件次品，所以三个仓库中按成品比例为3:2:3混合时，任取一件为次品的概率为12.50.016300200300?P =≈++；B 正确若取出的为次品则为第一车间生产的概率为60.480.512.5P ==≈，C 正确 故选：BC 三、填空题13．设随机变量X 服从两点分布，若()()100.4P X P X =-==，则()1P X ==______． 【答案】0.7710【分析】由两点分布得()()101P X P X =+==，再根据题意()()100.4P X P X =-==，即可求出答案.【详解】由于随机变量X 服从两点分布，故()()101P X P X =+==①，又由于()()100.4P X P X =-==②，则①+②得()()21 1.410.7P X P X ==⇒==. 故答案为：0.7.14．甲、乙两名乒乓球运动员进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，如果比赛采用“三局两胜”制（先胜两局者获胜）．若第一局甲胜，则本次比赛甲获胜的概率为______． 【答案】0.842125【分析】已知第一局甲胜，所以甲再胜一局即可获胜，分第二局甲胜和第二局乙胜第三局甲胜两类情况，把两类情况的概率加一起即可. 【详解】当第二局甲胜时，10.6p =，当第二局乙胜，第三局甲胜时，20.40.60.24p =⨯=，所以本次比赛甲获胜的概率为：120.60.240.84p p p =+=+=， 故答案为：0.84.15．给图中六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色且相邻的区域不同色．若有4种不同的颜色可供选择，则共有______种不同的染色方案．【答案】288【分析】分类考虑用三种不同颜色涂色和用四种不同颜色涂色，算出每种情况的不同涂色方案，即可得答案.【详解】如图示，六个区域分别设为A,B,C,D,E,F 区域，若仅用三种不同的颜色涂色，那么A,C 一定涂相同颜色， 此时共有3143C C 212148⨯⨯⨯⨯⨯=种不同的涂色方案； 若选四种不同颜色涂色，那么当A,C 涂色相同时，那么A ，B ，C ，D 用了三种不同颜色，这时考虑给E 涂色时，可能是涂剩下的那一种颜色，也可能涂和AC 或B 相同的颜色， 此时有()14C 322296⨯⨯⨯+= 种不同涂色方案，当A,C 涂色不相同时，有432132144⨯⨯⨯⨯⨯= 种不同涂色方案， 故共有的涂色方案共有4896144288++= 种， 故答案为：28816．已知n 为满足()12320222022202220222022C C C C 3T a a =+++++≥能被9整除的正整数a 的最小值，则()()221nx x x -+-的展开式中含10x 的项的系数为______．【答案】10-【分析】分析可得()674911T a =-+-，利用二项式定理的展开式可求得正整数a 的最小值，可得出n 的值，然后写出()()221nx x x -+-展开式的通项，令x 的指数为10，求出对应的参数值，代入通项即可求得结果.【详解】()0123200670422262222220222222022742181911C C C C a a T a a ==+-=+-+++++=-+-674167326726736746746749C 9C 9C 9a =-⋅+⋅--⋅+能被9整除，则a 能被9整除，因为3a ≥，则正整数a 的最小值为9，即9n =，()91-x 展开式的通项为()919C 1kkk k T x -+=⋅-⋅， 因为()()()()()299992211112x x x x x x x x -+-+-=---，在()21119C 1rrr r x T x -+=⋅⋅-中，由1110r -=可得1r =， 在()1019C 1mmm m xT x -+=⋅⋅-中，由1010m -=可得0m =，在()91922C 1kkk k T x -+=⋅-⋅中，99k -≤. 所以，展开式中含10x 的项的系数为1099C C 10--=-.故答案为：10-. 四、解答题17．已知二项式()*N 2nx n ⎛∈ ⎝的展开式中，第7项为常数项．(1)求n 的值；(2)求展开式中所有有理项． 【答案】(1)8(2)有理项为8256x ，474x ，7【分析】（1）写出二项式展开式的通项公式，根据第7项为常数项，令x 的指数为0，求得答案.（2）根据二项式展开式的通项公式，令x 的指数取整数，可求得答案. 【详解】(1)43311C C ,0,1,2,,22n kn kk k n k k k nnx T xxk n ----+⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,∴666668371C C 22n n n nnx T xx ----⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∵第7项为常数项，∴n －8＝0，∴n ＝8． (2)由（1）知82443181C ,0,1,2,,82kk k k T xk --+⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭,要使1k T +为有理项，只需2443k-为整数，且08k ≤≤ , ∴当k ＝0，3，6时，1k T +为有理项,888081881C 22256x x T x ⎛⎫=⋅⋅== ⎪⎝⎭，53444481567C 2324T x x x ⎛⎫=⋅⋅== ⎪⎝⎭，26078187C 7242T x ⨯⎛⎫=⋅⋅== ⎪⨯⎝⎭,∴有理项为81256x T =，4474T x =，77T =．18．从1、3、5三个奇数中取两个，再从0、2、4三个偶数中取两个组成满足下列条件的四位数，问：(1)能够组成多少个无重复数字的四位数？(2)能够组成多少个比3000大的四位奇数？ 【答案】(1)180 (2)48【分析】（1）对取出的数字是否含0进行分类讨论，结合组合计数原理、分类加法、分步乘法计数原理可得结果；（2）对最高数位上的数字进行分类讨论，结合组合计数原理、分类加法、分步乘法计数原理可得结果.【详解】(1)解：当取出的数字含0时，则首位不能排零，共有21133233C C C A 108⋅⋅⋅=个无重复数字的四位数，当取出的数字不含0时，则四个数位上的数字无限制，共有224324C C A 72⋅⋅=个无重复数字的四位数，因此，能构成10872180+=个无重复数字的四位数．(2)解：当最高位为3时，有1223C A 12⋅=个比3000大的四位奇数，当最高位为4时，有21123222C C C A 24⋅⋅⋅=个比3000大的四位奇数，当最高位为5时，有1223C A 12⋅=个比3000大的四位奇数，能构成12241248++=个比3000大的四位奇数.19．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示：已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占60%． (1)求x ，y 的值；(2)若将频率视为概率，求顾客一次购物的结算时间X 的分布列和期望． 【答案】(1)x ＝25，y ＝15； (2)分布列见解析,期望为1.975.【分析】（1）解方程25＋20＋y ＝60，x ＋15＝40，即得解； （2）由题得1,1.5,2,2.5,3X =,求出对应的概率即得解.【详解】(1)解：由已知得25＋20＋y ＝60，x ＋15＝40，所以x ＝25，y ＝15． (2)解：由题得1,1.5,2,2.5,3X =, 将频率视为概率可得()1510.15100P X ===；()251.50.25100P X ===；()2520.25100P X ===；()202.50.2100P X ===；()1530.15100P X ===． 所以X 的分布列为所以()10.15 1.50.2520.25 2.50.230.15 1.975E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．20．某单位为了解员工的业务能力，组织了一次员工考试，考试分为笔试和面试，笔试包含填空题（共50分）和解答题（共30分），满分80分；面试包含1个口述题，满分20分．已知员工小王在笔试中，正确解答填空题的概率为0.8，正确解答解答题的概率为0.7，正确回答口述题的概率为0.5．假设每道题均是答对得满分，答错得0分，且每类题是否回答正确相互独立．(1)记小王在本次考核中的成绩为X ，求X 的分布列和期望；(2)若得分低于60分就要进行一年的岗位再培训，求小王要进行岗位再培训的概率． 【答案】(1)分布列见解析；期望为71； (2)0.32.【分析】（1）设“正确解答填空题”为事件A ，“正确解答解答题”为事件B ，“正确回答口述题”为事件C ，()0.8P A =；()0.7P B =；()0.5P C = X 的可能取值为：0，20，30，50，70，80，100 分别求出相应的概率，写出分布列，即可求出期望.（2）根据题意得()()()()()600203050P X P X P X P X P X <==+=+=+=，求值即可. 【详解】(1)设“正确解答填空题”为事件A ，“正确解答解答题”为事件B ，“正确回答口述题”为事件C ，()0.8P A =；()0.7P B =；()0.5P C = X 的可能取值为：0，20，30，50，70，80，100 ()()00.20.30.50.03P X P ABC ===⨯⨯= ()()200.20.30.50.03P X P ABC ===⨯⨯=()()300.20.70.50.07P X P ABC ===⨯⨯=()()()500.80.30.50.20.70.50.19P X P ABC P ABC ==+=⨯⨯+⨯⨯=()()700.80.30.50.12P X P ABC ===⨯⨯=()()800.80.70.50.28P X P ABC ===⨯⨯= ()()1000.80.70.50.28P X P ABC ===⨯⨯=．∴X 的分布列为(2)()()()()()600203050P X P X P X P X P X <==+=+=+= 0.030.030.070.190.32=+++=∴小王要进行岗位再培训的概率为0.32．21．袋子中有8个大小相同的球，其中3个红球，5个白球．(1)每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，经过2次摸球，若摸到的这2个球中有白球，求第2次摸出的是白球的概率；(2)每次从袋子中随机摸出1个球，观察其颜色后放回，并加上3个同色球，再从袋子中第二次摸出一球，求第2次摸出的是白球的概率．【答案】(1)710(2)58 【分析】（1）根据题意，分别求得基本事件的总数，所求事件所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.（2）设“第1次摸出白球”为事件C ，“第2次摸出白球”为事件D ，求得(),(|)P C P D C ,(),(|)P C P D C ，结合独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解.【详解】(1)解：设“摸到的2个球中有白球”为事件A ，“第2次摸出的是白球”为事件B ，则()11115354C C 2C C 302050n A =⋅⨯+⋅=+=，()11113554C C C C 152035n AB =⋅+⋅=+=，所以()()()7|10n AB P B A n A ==． (2)解：设“第1次摸出白球”为事件C ，“第2次摸出白球”为事件D ，()58P C =，()8|11P D C =，()38P C =，()5|11P D C =， 所以()()()()()5||8P D P C P D C P C P D C =⨯+⨯=． 22．某超市每月从一厂家购进一批牛奶，每箱进价为30元，零售价为50元．若进货不足，则该超市以每箱34元的价格进行补货；若销售有剩余，则牛奶厂以26元回收．为此收集并整理了前20个月该超市这种牛奶的销售记录，得到了如下数据：以频率代替概率，记X 为这家超市每月销售该牛奶的箱数，n 表示超市每月共需购进该牛奶的箱数．(1)求X 的分布列和均值；(2)以销售该牛奶所得的利润的期望为决策依据，在75n =和80n =之中选一个，应选用哪个？【答案】(1)分布列见解析；期望为63(2)应选n ＝75【分析】（1）列出X 所有可能的取值，计算X 取每个值的概率，写出分布列（2）分别计算75n =和80n =时超市销售该牛奶所得利润的期望，并进行比较，最后作决策.【详解】(1)X 的所有可能取值为：50，60，70，80 ()4500.220P X ===；()8600.420P X ===； ()6700.320P X ===；()2800.120P X ===； 所以分布列为：()500.2600.4700.3800.163E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．(2)①当75n =时，设1Y 为“超市销售该牛奶所得的利润”，则 当50X =时，12050254900Y =⨯-⨯=；当60X =时，120601541140Y =⨯-⨯=； 当70X =时，12070541380Y =⨯-⨯=；当80X =时，120755161580Y =⨯+⨯=； 所以1Y 的分布列为：()19000.211400.413800.315800.11208E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=， ②当80n =时，设2Y 为“超市销售该牛奶所得的利润”，则当50X =时，22050304880Y =⨯-⨯=； 当60X =时，220602041120Y =⨯-⨯=； 当70X =时，220701041360Y =⨯-⨯=； 当80X =时，220801600Y =⨯=； 所以2Y 的分布列为：()28800.211200.413600.316000.11192E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=， ()()12E Y E Y >，故应选75n =．。
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高二年级月考（三）理科数学试题
一、选择题
1．若()22cos
sin 22x x f x =-，则()f x '=（ ） A ．sin x -
B ．sin x
C ．cos x -
D ．cos x 2．曲线2
x y x =+在点()1,1--处的切线方程为（ ） A ．21y x =+
B ．21y x =-
C ．23y x =-
D ．22y x =+ 3．定积分
()102x x x e d +⎰的值为（ ） A ．2e +
B ．1e +
C ．e
D ．1e - 4．函数313y x x =+-有（ ）
A ．极小值2-，极大值2
B ．极小值，极大值3
C ．极小值1-，极大值1
D ．极小值1-，极大值3
5．已知A 、B 两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶.A 车、B 车的速度曲线分别为A v 与B v （如图所示），那么对于图中给定的0t 和1t ，下列判断中一定正确的是（ ）
A ．在1t 时刻，A 车在
B 车前面
B ．1t 时刻后，A 车在B 车后面
C ．在0t 时刻，两车的位置相同
D ．0t 时刻后，B 车在A 车前面 6．函数21ln 2y x x =
-的单调递减区间为（ ） A ．(]1,1- B ．(]0,1
C ．[)1,+∞
D ．()0,+∞ 7．已知函数()3f x x ax =-+在区间[]1,1-上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．()3,+∞
B ．(),3-∞
C ．[)3,+∞
D ．(],3-∞ 8．函数22x y x e =-在[]2,2-的图像大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．由曲线y =
，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A ．103 B ．4 C ．163 D ．6
10．曲线ln 2y x =上的点到直线y x =距离的最小值为（ ）
A ．1ln 2
2-
B C ．1ln2-
D ．ln 2 11．若函数()322f x x ax bx a =--+在1x =时有极值10，则a 、b 的值为（ ）
A ．4,11a b =-=
B ．3,3a b ==-
C ．4,11a b =-=或3,3a b ==-
D ．以上都不正确 12．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()20f =，当0x >时，有()()2
0xf x f x x '-<恒成立，则不等式()20x f x >的解集是（ ）
A ．()
()2,02,-+∞ B ．()()2,00,2- C ．()(),22,-∞-+∞ D ．()(),20,2-∞-
二、填空题
13．若函数()21
x a f x x +=+在1x =处取极值，则a =______. 14．函数()ln f x x x =的最小值为______.
15．1
0x d =⎰______. 16．已知函数()3231f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围为______.
三、解答题
17．已知函数()32f x x ax bx c =+++在23
x =-与1x =时都取得极值. （Ⅰ）求,a b 的值与函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若对[]1,2x ∈-，不等式()2
f x c <恒成立，求c 的取值范围. 18．（Ⅰ）已知函数()ln f x x ax =-在区间[)1,+∞上单调递减，求实数a 的取值范围.
（Ⅱ）已知函数()()211ln 2
g x x ax a x =
-+-，()1a >，讨论函数()g x 的单调性. 19．设函数()32962f x x x x a =-+-. （Ⅰ）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值；
（Ⅱ）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围.
20．设函数()()
21x f x x e ax =--. （Ⅰ）若12
a =，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围.。