神奇的握手公式

神奇的握手公式

一、问题的提出

暑假期间，爸爸妈妈带我去山西大同游玩，回来时我们乘坐了大同到杭州的火车，我看到示意图上显示中途需要停靠24个站点，爸爸问我铁路部门需要设计多少种火车票？我自认为是数学高手，于是不假思索地说，1+2+3+4+ (25)

然后我拿起笔，在纸上利用等差数列求和。还没算出结果时，爸爸又问我还有没有更快捷的方法去解决呢？

我很迷惑，带着这个问题，我决心尝试一下，去努力寻找一种更加事半功倍的方法。我渴望通过我的研究，让学到的数学知识能在生活实际中得到应用，享受成功的喜悦。

二、问题的解决

1.先谈谈我原先的想法

（1）当站点个数很少时，我们可以用数的方法来完成解答；但是当站点个数较多时很容易数错，并可能产生遗漏或是重复的情况，这种方法显然不奏效。

（2）于是我从数学的角度去思考，能否从中寻找到规律，然后运用这个规律去解决问题。我给这26个站点编号，从第1个站点到第26个站点，分别是A 至Z。

假设有2个站点，票种标记为AB。

假设有3个站点，票种标记为AB，AC；BC。

假设有4个站点，票种标记为AB，AC，AD；BC，BD；CD。

假设有5个站点，票种标记为AB，AC，AD，AE；BC，BD，BE；CD，CE；DE

1+2+3+4+…+（站点数-1）

这也就是说，从A站出发的火车票种类有25种（26个站，没有从A站到A 站的火车票），B站出发的火车票种类有24种，C站23种，D站22种……

设站点数为n个时，火车票种类为：

1+2+3+4+…+(n-1)

n-1为从始发站出发的火车票种类，一站站减少直到0（公式中已省略），将各站出发的火车票种类相加，即为总火车票种类。

那当站点数为26个时，火车票种类为：

1+2+3+4+…+(n-1)

=1+2+3+4+…+25

=(1+25) ×25÷2=325（种）

2.那么到底有没有更快捷的方法解决，不用等差数列，符合爸爸的要求呢？

我思考了很久，突然我想到前面统计时我考虑的是大同到杭州的单程火车

票，如果先考虑统计大同到杭州的往返火车票，再除以2，是不是会有新的发现？

心动不如行动，我开始做了起来。

假设有2个站点，票种标记为AB；BA。

假设有3个站点，票种标记为AB，AC；BA ，BC；CA，CB。

假设有4个站点，票种标记为AB，AC，AD；BA，BC，BD；CA，CB，CD ；DA，DB，DC。

假设有5个站点，票种则标记为AB，AC，AD，AE；BA，BC，BD，BE；

CA，CB，CD，CE；DA，DB，DC，DE；EA，EB，EC，ED。

站点数×（站点数-1）

考虑往返的火车票，即每站都可以有通向各个站点的火车票，不算此站，每

站有通向其他站的25种火车票。因为一共有26站，那么有26×25种火车票那么公式为：

n(n-1)

当站点数为26个时，火车票种类即为：

n(n-1)

=26×25

=650（种）

但是实际情况是单程的，真正的公式应为：

n(n-1)÷2

火车票种类应是：

n(n-1)÷2

=26×25÷2

=325（种）

这和原来利用等差数列求和的结果不谋而合，但是更加简单了。

3.师生交流，发现握手公式

我欣喜若狂，自信地告诉爸爸和老师，我找到了，我成功了。

老师高兴地说：“其实这就是著名的“握手问题”。恭喜你，你解决了“握

手问题”，成功地找到了解决“握手问题”的公式！”

我说：“莫非就是n(n-1)÷2？”

老师说：“是呀，握手问题是由美国数学科普作家马丁.加德纳提出的，他认为：n个人相互握手，每个人与另外（n-1）个人握手一次，共握手n（n-1）次，这样由于每人每次握手都被重复计算2次，所以n个人相互握手一次的总次数为n（n-1）÷2次。你可以通过上网等方式继续去深入研究握手问题，将会有更美妙的发现。现在你可以用“握手问题”的公式去解决火车票种类问题吗？”

我说：“假如我把铁路之间的26个站看成是26个人。因为每个人都要和另外25个人握手，也就是说每人都要握25次手，那么26个人就一共要握

25×26=650次手，但是因为每两个人之间握的一次手实际上都统计了两次，比方说我们统计了一次甲与乙握手，又统计了一次乙与甲握手，所以实际握手次数是650 ÷2=325次，故有325种车票。当然我也可以直接按照“握手公式”n （n-1）÷2去解决，其中n=26，共有26×（26-1）÷2= 325种车票。”

我的发现竟然可以和数学科普作家马丁.加德纳相媲美，我为自己的重大发现感到骄傲。火车票问题竟然和握手问题如此相似。生活中，数学世界里一定还有很多类似这样的问题值得我去研究探索。

三、问题的推广及应用

我猜想“握手公式”一定还有很多应用，我还要验证一下神奇的“握手公式”的用处，它是否放之四海而皆准？如果把每个人看作点或线，在很多图形的计数问题和生活问题中都能发现“握手公式”的身影，因此我要继续研究。

（一）数线段问题

1.确定线段条数

如图，已知线段AF上有B、C、D、E四个点，那么图中共有多少条线段？

我认为图中的每条线段都是两个端点之间的连线，可以把它看做两个点之间的握手，按照“握手公式” n（n-1）÷2，其中n=6，图中共有6×（6-1）÷2= 15条线段。

2. 确定角和三角形的个数

（图1）（图2）

如图1，已知角AOB中有三条射线OC 、OD、OE，请问图中共有几个角？图2中共有多少个三角形？

我考虑图1的每个角都是两条线段之间的夹角，可以把每个角看做是两条线段之间的握手，这样我们同样可以按照“握手公式” n（n-1）÷2计数，因为本题中有5条线段，即n=5其中n=5，图1中共有5×（5-1）÷2= 10个角。