角动量守恒 刚体力学
刚体力学与角动量守恒
刚体力学与角动量守恒刚体力学是力学的一个重要分支，研究物体在无限小的时间内不发生形变的情况下的运动规律。
而角动量守恒是刚体力学中的一个重要定律，描述了刚体在无外力作用下的自旋运动。
在这篇文章中，我们将探讨刚体力学与角动量守恒之间的关系以及其应用。
首先，我们需要了解什么是刚体。
刚体是指在物理上不发生形变的物体，可以看作由无穷多个质点组成的系统。
刚体的运动可以分为平动和转动两部分，其中转动运动是刚体力学中的重点。
刚体的转动运动是围绕着某一轴旋转，通常以质心为参考点。
为了描述这一运动，我们引入了一个重要的物理量——角动量。
角动量（L）是刚体围绕某一轴旋转时的物理量，与旋转轴、质量分布和旋转速度有关。
角动量的大小等于物体的惯性力矩（I）与角速度（ω）的乘积，即L = Iω。
惯性力矩是描述物体对旋转的抵抗能力的物理量，与物体的质量分布和轴的位置有关。
角速度是刚体沿旋转轴旋转的速度，是刚体运动状态的另一个关键参数。
根据角动量守恒定律，当刚体没有受到外力矩的作用时，其角动量守恒。
这意味着在刚体的自旋运动中，当外力矩为零时，刚体的角动量保持不变。
这一定律可以用数学方式简洁地表示为L1 = L2，即初始角动量等于末态角动量。
角动量守恒定律在现实生活中有许多重要应用。
一个典型的例子是冰漂移。
当冰上的人或物体开始漂移时，它们所施加的摩擦力不会改变总的角动量。
这是因为旋转轴的位置对角动量的贡献始终保持不变，从而使漂移运动平稳而持续。
另一个应用是天体物理学中的行星运动。
根据角动量守恒定律，行星在太阳的引力作用下绕着太阳旋转时，其角动量保持不变。
这使得行星能够保持固定的轨道，实现稳定的运动。
除了应用外，角动量守恒定律也与刚体力学的其他定律相互作用。
例如，动量守恒定律和能量守恒定律。
这些定律一起构成了力学的基础，揭示了物体在不同运动状态下的行为规律。
总之，刚体力学与角动量守恒是物理学中重要的概念和定律。
通过理解刚体的旋转运动和角动量的定义，我们可以更好地描述和解释刚体在无外力矩作用下的行为。
角动量守恒定律_概述及解释说明
角动量守恒定律概述及解释说明1. 引言1.1 概述角动量守恒定律是物理学中一个重要的基本原理，它描述了在不受外力或转矩作用下，系统的总角动量将保持不变。
这一定律有着广泛的应用，在自然界和工程领域中都扮演着至关重要的角色。
1.2 文章结构本文将首先介绍角动量守恒定律的基本概念，包括角动量的定义和性质，以及角动量守恒的原理和在自然界中的应用。
接着我们会详细解释数学原理，包括刚体系统和非刚体系统中角动量守恒的推导过程，并探讨转矩与角动量之间的关系。
然后，我们将通过经典实例分析实验来验证角动量守恒定律，并探讨其应用和验证方法。
最后，我们会对角动量守恒定律的重要性进行总结，并回顾其在物理领域中的广泛应用，并展望未来研究方向。
1.3 目的本文旨在全面介绍角动量守恒定律，并深入探讨其数学原理、实验验证以及在实际应用中的案例。
通过对角动量守恒定律的深入理解，能够帮助读者更好地理解物理学中的基本原理，同时也有助于激发读者对未来研究方向的思考。
2. 角动量守恒定律的基本概念2.1 角动量的定义和性质角动量是刻画旋转运动的物理量，它与物体的质量、速度以及距离有关。
角动量的定义为一个物体在给定参考点周围旋转时所具有的动力学特性。
其数学表达式为L = r x p，其中L表示角动量，r表示从参考点到物体质心位置矢量，p表示物体的线性动量。
根据右手法则，可以确定角动量的方向与线性动量和半径之间的关系。
角动量具有以下几个重要性质：1) 角动量是矢量，在运算中需要考虑其方向；2) 角动量大小与速度、质量及距离之间的积相关；3) 在封闭系统中，总角动量守恒。
2.2 角动量守恒的原理角动量守恒指在一个封闭系统中，如果没有外力或外力矩作用于该系统，则系统总角动量将保持不变。
这意味着在不受外界干扰的情况下，系统内各个部分相对于共同参考点的角动量之和保持不变。
这一原理可以通过牛顿第二定律和牛顿第三定律的推导来解释。
根据牛顿第二定律，一个物体的角动量变化率等于作用在该物体上的转矩。
刚体动力学刚体的转动与角动量守恒定律
刚体动力学刚体的转动与角动量守恒定律刚体动力学——刚体的转动与角动量守恒定律刚体动力学是研究刚体运动的物理学分支，主要研究刚体的平动和转动。
在刚体的运动过程中，角动量的守恒定律是关键的一条定律，它在很多物理问题的求解中起着重要的作用。
一、刚体转动的基本概念刚体是指具有一定形状和大小的物体，在运动过程中保持其形状和大小不变的情况下，绕一个固定轴线进行旋转。
在刚体转动的过程中，存在着固定轴线上的角位移、角速度、角加速度等概念。
角位移表示刚体在转动过程中的角度变化，通常用符号θ表示；角速度表示单位时间内刚体转动的角度变化率，通常用符号ω表示；角加速度表示单位时间内角速度的变化率，通常用符号α表示。
二、刚体的转动与力矩刚体在转动过程中需受到外力的作用，这些外力可以将刚体带动产生转动现象。
力矩是刚体转动的重要力学量，它描述了力对于刚体转动的影响程度。
力矩的大小等于力乘以作用点到转轴的距离，用数学式表示为：τ = F × r其中τ表示力矩，F表示力的大小，r表示作用点到转轴的距离。
三、刚体的转动惯量与角动量刚体的转动惯量与角动量是刚体转动过程中的另外两个重要概念。
转动惯量描述了刚体对于转动的惯性程度，它的大小取决于刚体的质量分布和几何形状。
角动量描述了刚体在转动过程中的旋转性质，它等于刚体质量的转动惯量乘以角速度，用数学式表示为：L = I × ω其中L表示角动量，I表示转动惯量，ω表示角速度。
四、角动量守恒定律角动量守恒定律是刚体动力学中的一个基本定律，它表明在没有外力矩作用的情况下，刚体转动过程中的角动量保持不变。
如果一个刚体在初态时角动量为L1，在末态时角动量为L2，且没有外力矩作用，则有L1 = L2。
这一定律体现了一个自然规律，对于理解刚体的转动过程和求解相关物理问题具有重要意义。
五、应用案例角动量守恒定律可以应用于各种实际物理问题的求解中，例如刚体的转动稳定性、陀螺的运动等。
定轴转动刚体的角动量守恒
在量子力学中，角动量是一个重要的物理量，描述了粒子的转动状态，角动量守 恒是粒子运动的基本规律之一。
在工程学中的应用
机械系统设计
在机械系统设计中，角动量守恒是重要的设计准则之一，用 于确保机械系统的稳定性和可靠性。
航空航天工程
在航空航天工程中，飞行器的稳定性和控制需要遵循角动量 守恒的原理，通过合理设计飞行器的结构和姿态控制系统， 可以保持飞行器的稳定。
定轴转动刚体的角动量守恒
contents
目录
• 引言 • 定轴转动刚体的角动量 • 角动量守恒的推导 • 角动量守恒的应用 • 结论
01 引言
主题简介
角动量守恒是物理学中的一个基 本原理，它描述了刚体绕固定轴 转动的角动量保持不变的规律。
在定轴转动的情况下，刚体的角 动量是一个重要的物理量，它与 刚体的转动惯量和角速度有关。
01
02
03
预测运动规律
角动量守恒是确定刚体转 动运动规律的重要依据， 可以用来预测刚体的运动 轨迹和周期等。
指导实验设计
在实验设计中，可以利用 角动量守恒来设计实验装 置，确保实验结果的准确 性和可靠性。
解决实际问题
角动量守恒在解决实际问 题中具有广泛的应用，如 陀螺仪、航天器姿态控制 等。
04 角动量守恒的应用
角动量守恒定律在许多领域都有 广泛的应用，如天文学、力学、
航天工程等。
角动量守恒的定义
角动量守恒是指刚体在不受外力矩作用或者外力矩的矢量和为零的情况下，刚体绕 固定轴转动的角动量保持不变。
角动量是描述刚体转动状态的物理量，它等于刚体的转动惯量与角速度的乘积。
在定轴转动的情况下，刚体的角动量是一个常数，不随时间变化。
简述刚体转动定律
刚体转动定律引言刚体转动定律是描述刚体绕固定轴进行旋转时运动规律的物理定律。
在刚体力学中，刚体是指其内部各点的相对位置保持不变的物体。
刚体转动定律主要包括角动量守恒、角加速度与力矩之间的关系以及转动惯量等内容。
本文将从这些方面对刚体转动定律进行详细介绍。
角动量守恒角动量是描述旋转物体运动状态的重要物理量，定义为质点或刚体绕某一轴线旋转时，其线性动量相对于该轴线的偏离程度。
在没有外力作用下，系统的角动量守恒。
角动量L可以表示为L = Iω，其中I是物体的转动惯量，ω是物体的角速度。
根据角速度ω = Δθ/Δt可以得到L = IΔθ/Δt。
当一个刚体受到外力矩作用时，根据牛顿第二定律可以得到F = ma，同样地，在角度上也有τ = Iα。
其中τ表示力矩，I表示物体的转动惯量，α表示物体的角加速度。
当刚体绕固定轴转动时，如果外力矩为零，则根据牛顿第二定律可以得到τ = 0，进而推导出Iα = 0。
由此可见，在没有外力矩作用下，刚体的角加速度为零，即角动量守恒。
转动惯量转动惯量是描述物体对于旋转运动的惯性大小的物理量。
对于一个质点来说，其转动惯量可以表示为I = mr²，其中m是质点的质量，r是质点到轴线的距离。
对于一个复杂形状的刚体来说，其转动惯量则需要通过积分计算得到。
对于连续分布的物体来说，其转动惯量可以表示为I = ∫r²dm。
不同形状和布局的刚体具有不同的转动惯量。
例如，对于一个围绕自身中心垂直旋转的圆盘来说，其转动惯量可以表示为I = ½MR²，其中M是圆盘的质量，R是圆盘半径。
角加速度与力矩之间的关系当刚体受到外力矩作用时，根据牛顿第二定律可以得到τ = Iα。
这个关系描述了力矩和角加速度之间的关系。
对于一个质点来说，其角加速度可以表示为α = τ/I，其中τ是作用在质点上的力矩，I是质点的转动惯量。
对于一个复杂形状的刚体来说，其转动惯量不仅与质量有关，还与物体的形状和布局有关。
经典力学中的刚体运动与角动量守恒
经典力学中的刚体运动与角动量守恒经典力学是物理学的基石，而刚体运动是其中的重要组成部分。
在经典力学中，刚体是指其内部各点之间的相对位置不会改变的物体。
刚体运动的研究对于理解物体的运动规律和力学原理具有重要意义。
而在刚体运动中，角动量守恒是一个基本定律，它在解释和预测刚体运动中的各种现象和现象起到了重要作用。
首先，我们来了解一下什么是刚体。
刚体是指其内部各点之间的相对位置不会改变的物体。
在刚体运动中，刚体的形状和大小保持不变，只有整体的平动和转动。
刚体运动可以分为平动和转动两种基本形式。
平动是指刚体作为一个整体沿直线运动，而转动是指刚体绕某个轴旋转运动。
在刚体运动中，角动量守恒是一个基本定律。
角动量是刚体运动中一个重要的物理量，它描述了刚体绕某个轴旋转的性质。
角动量的大小与刚体的转动惯量和角速度有关。
转动惯量是刚体旋转惯性的度量，它与刚体的质量分布和旋转轴的位置有关。
角速度是刚体绕某个轴旋转的速度，它与刚体的旋转角度和旋转时间有关。
根据角动量守恒定律，刚体在没有外力作用下，其角动量保持不变。
这意味着刚体在旋转过程中，如果没有外力矩作用，其角动量大小和方向都保持不变。
这一定律对于解释和预测刚体运动中的各种现象和现象起到了重要作用。
例如，我们可以通过角动量守恒定律解释刚体的自转现象。
当一个刚体在空中自由旋转时，其自转速度会逐渐减小，最终停止旋转。
这是因为在自转过程中，刚体内部的分子之间存在一定的摩擦力，这个摩擦力会逐渐减少刚体的角动量。
根据角动量守恒定律，刚体的角动量保持不变，因此刚体的自转速度会逐渐减小，最终停止旋转。
另一个例子是陀螺的运动。
陀螺是一种经典的刚体运动现象，它在旋转过程中保持平衡。
这是因为陀螺在旋转过程中，其角动量保持不变。
当陀螺受到外力作用时，由于角动量守恒定律，陀螺会产生一个与外力垂直的角动量，从而保持平衡。
角动量守恒定律还可以解释刚体运动中的其他现象，如陀螺的进动、陀螺的预cession、陀螺的进动和退动等。
力学、赵凯华、第四章 角动量守恒. 刚体力学-5
3 3 2 1 2 mv L ML + m( L) 4 4 3
9 1 3mv 4 ML + ML 16 3
=8.89 rad/s
②对杆、子弹、地球系统机械能守恒
1 1 9 L 3 2 2 ( ML + mL ) ( Mg + mg L)(1 cosq ) 2 3 16 2 4
(5)
3 g cos q
a
ct
a
7
N N 13
(6) mg sin q ,
由 (3)(4)(5)(6)
可解得：
l t
7
4 mg 7
cos q
v 13 4 $ mg cos q t $ N mg sin q l 7 7 mg N 153 sin 2 q + 16 7
a tg 1
M I
d 1 2 1 2 Mdq I dq Id I I o qo qo o dt 2 2 q q
A外 + A非保内 E EO
A外 0
A非保内 0
E EO const
例：长为 l 质量为m的细棒，可绕其一 端在铅直平面内自由转动。设棒原来静止 在水平位置，现让其自由摆下。求①棒摆 到铅直位置时的角速度和摆下端点A的速 度，②棒在竖直位置时，轴O受的作用力。
q0 q0
q
q
外力矩做功
dA Mdq P M dt dt
3、定轴转动刚体的动能定理
A内 0
1 1 2 A外 mi vi mi vio i 2 i 2
1 2 1 2 Mdq I I o θo 2 2
转动力学刚体的转动平衡与角动量守恒
转动力学刚体的转动平衡与角动量守恒转动力学是力学研究的一个重要分支，它主要研究刚体的旋转运动。
刚体的旋转运动受到力矩和角加速度的作用，其中转动平衡和角动量守恒是转动力学的基本原理。
一、转动平衡刚体的转动平衡是指刚体处于稳定的旋转状态，不受到外力的扰动，既不会产生角加速度，也不会改变角速度。
要实现转动平衡，必须满足以下条件：1. 力矩平衡条件力矩平衡条件是指刚体上作用的力矩的代数和为零。
对于一个刚体绕固定轴的旋转运动，力矩平衡条件可以表示为：∑M = ∑(r × F) = 0其中，∑表示对刚体上所有力矩求和，r表示作用力的杠杆臂，F表示作用力。
根据力矩平衡条件，可以求解出刚体的转动平衡状态。
2. 重心位置与支撑点位置的关系对于一个转动平衡的刚体，重心必须位于支撑点上方以保持稳定。
当重心位于支撑点下方时，刚体会不稳定，并发生滚动现象。
3. 稳定、不稳定和中立平衡刚体的转动平衡可以分为稳定、不稳定和中立平衡三种情况。
当刚体偏离平衡位置时，稳定平衡会使刚体回复原位置，而不稳定平衡会使刚体继续偏离平衡位置。
中立平衡则是指刚体在偏离平衡位置后，不会有任何变化。
二、角动量守恒角动量守恒是指一个刚体在没有外力矩作用下，角动量的大小和方向保持不变。
对于一个旋转的刚体，角动量可以表示为：L = Iω其中，L表示角动量，I表示转动惯量，ω表示角速度。
根据角动量守恒定律，在没有外部力矩作用下，刚体的角动量将保持不变。
三、应用举例下面通过一个实际例子来说明转动平衡和角动量守恒的应用。
假设有一个均匀的圆盘，圆盘质量为M，半径为R。
将圆盘以转轴垂直于盘面且通过重心的方式固定，使其处于转动平衡状态。
此时，圆盘的转动平衡可以通过力矩平衡条件来解释。
由于圆盘的重心位于转轴上，且没有施加外力矩，所以∑M=0，根据这个条件可以得到圆盘上各点产生的力矩之和为零。
进一步分析可以发现，圆盘上受重力的作用产生的力矩沿转轴方向相互抵消，所以圆盘能够保持转动平衡。
角动量守恒
v0
m v
例2、如图所示，将单摆和一等长l的匀质直杆悬挂在同一点，杆的质量与 单摆的摆锤质量相等，均为m。
开始时直杆自然下垂，将单摆的摆锤拉到高度h0，令它自静止状态下摆,于 垂直位置和直杆作弹性碰撞。
求碰撞后直杆下端达到的高度h及摆锤达到的高度h’。
l m ho
c l hc 求h=?
h’
a
b
解:碰撞前单摆摆锤的速度为
功率一定时，转速越大，力矩越小；转速越 小，力矩越大。
3、意义
表示力矩对刚体作功的快慢
思考： P15 1-8、1-11
第一章 刚体力学(2)
第4节 角动量守恒定律 一、质点的角动量 二、刚体定轴转动的角动量 三、角动量守恒定律 四、力矩作功
一、质点的角动量 质点质量m，速度v，位置矢量 为 r， 定义质点对坐标原点O的角动量L 为该质点的位置矢量与动量的矢 量积
L o r m
P θ
L r P r mv
单位：kgm2/s
大小：L＝rmvsin 方向：右手螺旋定则判定
说明
•角动量是物理学的基本概念之一。 •角动量与质点的运动和参考点有关。 •作圆周运动的质点的角动量L ＝ r m v
P r
L o
•质点作匀速直线运动时，质点的角动量 L保持不变。
大小：L＝
rmvsinα = mvd
二、刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 1、刚体定轴转动的角动量
刚体上的一个质元,绕固定轴做圆周运动角动量为：L ＝ ri m vi
Li mi ri
2
o
L
所以刚体绕此轴的角动量为：
vi o ri mi
L Li ( mi ri2 )
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律课件
只与刚体的质量和各质点到转动轴 的距离有关，与转动角速度的大小 无关。
02
角动量定理
角动量的定义与性质
角动量的定义
角动量是描述刚体转动状态的物理量 ，等于刚体的转动惯量乘以角速度。
角动量的性质
角动量是矢量，具有方向和大小；对 于定轴转动，角动量位于转轴上；角 动量是相对量，与参考系的选择有关 。
理解角动量守恒定律的证明方法是深入理解该定律的重要途径。
详细描述
证明角动量守恒定律的方法主要有两种，一种是基于牛顿第二定律和转动定理推导，另一种是通过分析系统的能 量变化来证明。通过这些证明方法，可以更深入地理解角动量守恒定律的物理意义和适用条件。
04
刚体定轴转动的实例 分析
刚体定轴转动的实例介绍
角动量守恒定律的内容及应用
总结词
掌握角动量守恒定律的内容及应用是解决实际问题的关键。
详细描述
角动量守恒定律表明，对于不受外力矩或所受外力矩的矢量和为零的系统，其总角动量保持不变。这 一原理在日常生活、工程技术和科学研究中有广泛的应用，如行星运动、陀螺仪、火箭飞行等。
角动量守恒定律的证明方法
总结词
陀螺仪
风扇
陀螺仪是一个典型的刚体定轴转动实 例，其工作原理就是角动量守恒定律 。
当风扇的扇叶旋转时，可以将其视为 刚体定轴转动，这个过程涉及到角动 量定理的应用。
自行车轮
自行车轮在转动时，也是一个刚体定 轴转动的例子，其转动惯量对于理解 角动量定理和角动量守恒定律非常有 帮助。
刚体定轴转动的角动量定理应用实例
舞蹈演员在进行旋转动作时，可以通过改变身体的姿势来改变转动惯量，从而控制旋转的 速度。
刚体定轴转动的角动量守恒定律应用实例
05-4刚体的角动量定理和角动量守恒定律
l
M
m
v0
系统的角动量守恒
mv0l J
1 2 2 J ? Ml ml 3
l
M
棒的转 子弹的转 动惯量 动惯量
m
v0
mv0 M ( m)l 3
例1 一质量为M，长为l 的均质细棒，可绕过其顶端的 水平轴自由转动。当杆静止时，一质量为m的子弹以 水平速度v0射入细杆底端并穿出，穿出后子弹速度损 失3/4，求子弹穿出后棒的角速度
二 定轴转动刚体的角动量定理
根据转 动定律
刚体对定轴的转动惯量不变
d M J J dt
z
k
O
F
r
作用在刚体上的合外力对转轴的力 矩等于刚体对转轴的角动量变化率
两边做积分
d( J ) dL M dt dt
t2
t Mdt L dL L2 L1
L2
1
20
m2 O2 R2
1
2
O2 R2
O1 R1
f
取两圆柱为一系统，该系统受到的合外力矩为零，而 两圆柱相互接触处的摩擦力是内力矩，那么该系统是 否角动量守恒呢？
质点的运动
刚体的定轴转动
角速度 角加速度 转动 J 惯量 力矩
dr 速度 v dt 2 dv d r 2 加速度 a dt dt
O
L
m
m
以单摆和细杆作为系统，在碰撞过程系统所受合 外力矩为零，系统角动量守恒
O
设小球绳长为l， 根据角动量守恒 弹性碰撞， 机械能守恒
mvl J
1 2 1 2 mv J 2 2
1 2 mL 3
L
l
刚体的转动 角动量守恒定律
L
r
mv
二.力矩
M
r
F
大小：M
方向： r
rF F
sin
单位： N m 量纲： ML2T 2
三.角动量定理
质点所受的合外力矩等于它的角动量对时
间的变化率
M
dL
dt
2.8 角动量 角动量守恒定律
一L.角动r量 mv二.力M矩 r三.角F动量定理
M
dL
dt
四.角动量守恒定律：如果对于某一固定点，质 点所受的合外力矩为零，则此质点对该固定
x dx
IB
1 3
m L2
1 mL2 12
m
L 2
2
B A h O质
IC
1 XmL2 12
IA
1 12
m L2
m h2
IB
1 mL2 12
m
L
2
2
平行轴定理：绕任意轴的转 动惯量等于绕过质心的平行 的转动惯量加上质量与两轴 间距的平方
I IC md2
d
A
C
例2）半径为R的质量均匀分布的细圆环及薄圆 盘，质量均为m，试分别求出对通过质心并与 环面或盘面垂直的转轴的转动惯量。
质心运动定理反映了物体的平动规律。
2.刚体的定轴转动 刚体的各质元在运动中都绕一固定轴作圆 周运动，称为刚体作定轴转动。
3.刚体的一般运动
蔡斯勒斯定理：刚体的任一位移总可以表示 为一个随质心的平动加上绕质心的转动。
三. 刚体定轴转动的特点
每一质点都作圆心在轴上，圆平面垂直轴，
且角位置.角速度.角加速度都相同的圆周运动
复习
冲量：
dI Fdt
I
动量定理：
刚体力学第2讲——定轴转动中的功能关系刚体的角动量定理和角动量守恒定律
动相反方向作圆周运动(如图) 求：1) 圆盘对地的角速度．
2）欲使圆盘对地静止，人应沿着圆周对圆盘的速 度的大小及方向？
R
R/2 v
解：取人和盘为系统，
M 外 0 系统的角动量守恒.
R /2
Ro
v
(1)开始系统的角动量为
m
12 R
2
0
1 2
M
R 20
后来：
m
1 4
R 2 mE
1 2
M
R 2 ME
mE ME mM 21 M R 20 / 40
R /2
Ro
v
MR 40
2
ME
2v R
M
R 2 ME
/2
为
亦即l>6s；当‘’取负值，则棒向右摆，其条件为
3gl 3 2gs 0 亦即l<6s
棒的质心C上升的最大高度，与第一阶段情况相似，也可由 机械能守恒定律求得：
mgh 1 1 ml 2 2
23
把式（5）代入上式，所求结果为
h l 3s 6sl
解 这个问题可分为三个
阶段进行分析。第一阶段 是棒自由摆落的过程。这
O
时除重力外，其余内力与
外力都不作功，所以机械
能守恒。我们把棒在竖直
C
位置时质心所在处取为势
能零点，用表示棒这时
的角速度，则
mg l 1 J 2＝1 1 ml 2 2
22
23
（1）
5 刚体的角动量定理和角动量守恒定律
角动量守恒定律
一．刚体的角动量定理
dL 刚体转动定理的 M dt 可以改写为 Mdt dL
对上式积分，得 式中 t
t2
1
t2
t1
t2 Mdt dL L2 L1
t1
Mdt
叫做合外力矩在
t 2 t1
时间内的冲量矩。上式表明：刚体所受合外力矩 的冲量矩，等于刚体在这段时间内刚体的角动量 的增量，这就是刚体的角动量定理。 在SI制中，冲量矩的单位式 N m s
I1 2kg m2 。 在外力推动后， 此系统开始以 n1 15 转/分转动， 转动中摩擦力矩忽略不计。
2 I 0 . 80 kg m 当人的两臂收回， 使系统的转动惯量就为 2 时， 它的转速 n2
。
光滑的水平桌面上有一长 2l、质量为 m 的匀质细杆，可绕过其中心、垂直于杆的竖直轴自 由转动。开始杆静止在桌面上。有一质量为 m 的小球沿桌面以速度 v 垂直射向杆一端，与 杆发生完全非弹性碰撞后，粘在杆端与杆一起转动。求碰撞后系统的角速度。
2 rel dt
0 T T 0
M 2m M
2M 因此，在此时间内，人相对ห้องสมุดไป่ตู้地面转过的角度为0 d t M 2m
T
M 2m M 2m T dt dt 0 M M
转台相对于地面转动的角度为
T
0
2m T 4m dt dt M 0 M 2m
2
二．角动量守恒定律 由刚体的角动量定理可见,当刚体所受的合外 力矩为零,则
L I 常量
3
上式说明,当刚体所受的合外力矩为零,或者不受外 力距的作用时,刚体的角动量保持不变,这就是角动量 守恒定律。 必须指出，这个定律不仅对一个刚体有效，对转动 惯量I会变化的物体，或者绕定轴转动的力学系统仍然 成立。如果转动过程中，转动惯量保持不变，则物体 以恒定的角速度转动；如果转动惯量发生改变，则物 体的角速度也随之改变，但两者之积保持恒定。 应用角动量守恒定律时，还应该注意的是，一个系 统内的各个刚体或质点的角动量必须是对于同一个固 定轴说的。
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
dt dt dt
dt
定轴转动的刚体所受的合外力矩等于此时刚体dt t0
L0 dL L L0 J J0
定轴转动的刚体所受合外力矩的冲量矩等于刚体在
这段时间内对该轴的角动量的增量．
第3章 刚体力学基础
3–4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
9
三 刚体对轴的角动量守恒定律
3–4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1
一 角动量 质点的角动量定理及角动量守恒定律
1.质点的角动量
质点在垂直于 z 轴平面
z
上以角速度 作半径为 r
的圆运动.
or
mv
➢ 质点角动量（相对圆心） L r p r mv
大小 L rmvsin
90
A
z L mv
L rmv mr 2 （圆运动）
L 的方向符合右手法则.
r
第3章 刚体力学基础
3–4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
2
2.质点的角动量定理
dL d (r mv) r d(mv) dr mv
dt dt
dt dt
dr v dr mv 0
dt
dt
作用在质点上的力矩等于质 点角动量对时间的变化率。 此即质点对固定点的角动量 定理。
v02
k(l m
l0 )2 M
arcsin
l0mv0
l m2v02 k(l l0 )2 (m M)
第3章 刚体力学基础
3–4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
7
二 刚体对轴的角动量 刚体定轴转动的角动量定理
1.刚体对轴的角动量
刚体对转轴的角动量就是刚体上各质元的角动
量之和．
刚体的角动量守恒刚体的角动量定理若刚体的合外力矩等于零
刚体是一种特殊的质点组。任意质点间相对位置不变
刚体
4/13/2021 4:00 PM
无穷质点组合 （质点组）
刚体运动
质点组的 运动
2
2.
刚体的受力模型
第 i 个质点受力 Fi FiE
f ij
ji
整个质点组（刚体）受力
=0
F Fi FiE
fij 内力演示
i
i
i ji
FiE
i
y
刚体受到的力矩 相对O点的力矩
9
2. 平行轴定理
刚体对任一转动轴 的转动惯量 等于 刚体过质心且平行 这一转动轴的转动 惯量 再加上刚体
I Ic md2
I
Ic
I
dm ( x2 y2 )
o
x
d
oc dm y
dm [(xc x)2 ( yc y)2 ]
质量乘上两平行轴
之间的距离的平方。
dm [(xc2 Ic md2
F
mi ai mac
i
刚体的平动
刚体在合外力作用下，其运动特征类似于一个质量等
于刚体质量的质点的运动。
运动特征：
miai
miai
ac
i
m
i
mi
对应质点位置矢量：
i mi ri
rc
i
m
更一般表述：
rc
rdm
rdV
4/13/2021 4:00 PM
dm dV
刚体的 质心
5
2 刚体绕某点（如质心）
20
例3.10 陀螺仪与进动 END 4/13/2021 4:00 PM
Mgl
L
Mgl L d L
角动量守恒定律
T1
a
T2
设加速度a方向如图
a
m1
m1 g
m2 g
m1 g T1 m1a
T2 m2 g m2 a
(1)
(2)
m1
m2
m2
[ C ]
继续分析滑轮，设角加速度方向如图，则
(T1 T2 ) R I
R
联立解出：
(3)
a R
(4)
根据转动定理：M=I
(m1 m2 ) gR 0 与原假设方向相反 2 IR (m1 m2 ) R 应该是：
O
解：物体因受合外力矩为零，故角动量守恒． 设开始时和绳被拉断时物体的切向速度、 转动惯量、角速度分别为v0、I0、0和v、I、．则
I 00 I
(1)
因绳是缓慢地下拉，物体运动可始终视为圆周运动．(1) 式可写成
mR0v 0 mRv
v2 F m R
整理后得：
R R0v 0 / v
0 t
0 0t
1 2 t 2
2 2 0 2 ( 0 )
M I
M d t I I0
A M d 1 2 1 2 I I0 2 2
6
1. 一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M的定滑轮，绳的两端分别悬有 质量为m1和m2的物体(m1＜m2)，如图所示．绳与轮之间无相对滑动．若某 时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳中的张力 O (A) 处处相等． (B) 左边大于右边． (C) 右边大于左边． (D) 哪边大无法判断．
I z r 2 ds
过质心而平行该轴的转动惯量Ic 加上刚体的质量乘以两轴之间 的距离的平方。
刚体角动量守恒的充要条件
刚体角动量守恒的充要条件刚体角动量守恒是经典力学中非常重要的一个定律，对于物理学有着十分重要的意义。
而刚体角动量守恒的充要条件，是能够直接判定某一个物理现象是否符合该定律的关键。
下面将从步骤上进行分析阐述，来更好地理解刚体角动量守恒的充要条件。
第一步，了解刚体角动量守恒的基本概念。
刚体角动量是指在某一个点P处，通过质心C引出的一条直线上，对于刚体所产生的角动量矢量的总和。
刚体角动量守恒则是在不受外力矩作用的情况下，刚体的角动量总和保持不变。
第二步，分析刚体所受的外力情况。
判断刚体是否符合角动量守恒的充要条件，需要先分析刚体所受的外力情况。
如果刚体受到的所有外力矩都为零，那么它就符合角动量守恒的充要条件。
这是因为，只有当一个物体的角动量没有受到外力矩作用时，才能保持不变。
第三步，考虑系统的闭合性。
我们需要考虑的是一个系统的角动量是否守恒，因此，必须保证系统的闭合性。
在判断刚体角动量守恒前，必须检查所考虑的系统是否完全封闭。
如果系统内发生物质或能量的交流，那么该系统就不是封闭的，因此不能应用该定律。
第四步，计算刚体的角动量。
如果上述两个条件都符合，那么我们可以利用刚体角动量的计算公式，计算刚体在某个点P处的角动量。
其中，角动量的大小等于刚体的转动惯量乘以角速度，方向则垂直于旋转轴。
同时，要保证计算的时候所采用的单位必须统一。
第五步，判断角动量是否守恒。
最后一步，就是根据计算出的刚体角动量，判断是否符合刚体角动量守恒的充要条件。
如果我们发现，在不受外力矩作用的情况下，刚体在某处的角动量始终保持不变，那么说明这个刚体符合该定律。
综上所述，刚体角动量守恒的充要条件是：刚体不受外力矩的作用，且所考虑的系统必须完全封闭。
只有在这两个条件都得到满足的前提下，才能应用刚体角动量守恒的定律。
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因而掠面速度：
dS r dr sin 1 rv sin 常 量 dt 2dt 2
例3、发射一宇宙飞船去考察一质量为m1，半径为R的 行星。当飞船静止于空间中距行星中心r=4R时，以初
速v0发射一质量为m2(m2远小于飞船质量)的探测器，要 使探测器正好能掠着行星表面着陆，角应多大？
1 2
mv02
1 2
mv2
mgL c os
O
L v
v0 mg
重力对竖直轴无力矩，张力过O点也对竖直轴无力矩， 因而对竖直轴角动量守恒：
mv0L sin mvL
求出：
v0
2gL
cos
二、质点系的角动量定理、角动量守恒
1、质点系对一参考点的角动量定理与角动量守恒
设一质点系中各质点相对参考点O的位矢用 ri (i= 1,2,3,…)，各质点的运动速度用 vi (i= 1,2,3,…) 表示，
0
dt
dt dL
r
d
(mv)
r
F
M
dt
dt
质点所受的合外力对某一参考点的力矩等于质点对 该点的角动量对时间的变化率—角动量定理。
若质点所受的合外力矩
则 dL 0
dt
M 0
或 L 常矢量
如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零，则 质点对该固定点的角动量矢量保持不变—角动量守恒 定律 。
力F＝0，因而对原点O的力矩＝0，
对O点的角动量守恒。角动量大小
rmv sin 常量
因而掠面速度：
ds
1 v t oH 2
1
v
oH
1
vrsin
常量
dt
t
2
2
例2、行星运动的开普勒第二运动定律：行星对太阳 的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。
解：行星在太阳引力（有心力） 作用下沿椭圆轨道运动，因而 行星在运行过程中，它对太阳 的角动量守恒
LZ r1 p1 sin
Z
r1
P2
P P1
P1
为质点动量
P
在与Z轴相
垂直的平面上的分量， r1 也在该平面上。
同样，力 F 对Z轴的力矩：
M Z r1F1 sin
F1 为力在垂直于Z轴平面上的分量
Z
r1
F2
F F1
质点对轴的角动量定理为：
MZ
dLZ dt
力对Z轴的力矩等于质点对Z轴的角动量随时间的变 化率。也可认为是质点对Z轴上任一点O的角动量定 理在Z轴上的投影。
r
F
大小： M rF sin
O
方向：满足右手螺旋法则。
若质点同时受多个力作用，则对一参考点的力
矩矢量和等于合力对该点的力矩：
r
F1
r
F2
r
Fn
r
Fi
3、质点对参考点的角动量定理、角动量守恒定律
dL
d
(r
mv )
dr mv r d (mv)
而
ddtr
dt
(mv )
v
dt
(mv )
当 MZ 0 时，LZ rimivi sini 常量
当质点系所受一切外力对Z轴的力矩之和=0时，质点 系对Z轴的角动量守恒。
3、角动量守恒定律可以解释星系的圆盘形结构。
观察表明银河系及许多星系都呈扁平的圆盘形结构。 银河系最初可能是球形的，由于某种原因（如与其它 星系的相互作用）而具有一定的角动量。正是这个角 动量的存在，使球形的银河系不会在引力作用下凝聚 （坍缩）成一团，而只能形成具有一定半径的圆盘形 结构。这是因为在凝聚过程中，角动量守恒（r2ω=常 量）要求转速随 r 的减小而增大，因而使离心力增大， 它往往比引力增大得更快，最终引力会和离心力相互 平衡，即角动量守恒限制了星系在垂直于转轴方向的 进一步坍缩。但角动量守恒并不妨碍星系沿转轴方向 的坍缩，因为对这种坍缩，角动量守恒不要求增加转 速。故星系最终坍缩成圆盘状，在沿轴向坍缩过程中 减少的引力势能将以辐射的形式释放掉。
当
M 0 时，
L 恒矢量
当外力对参考点O的力矩矢量和为零时，质点系对该 点的角动量守恒。
2、质点系对轴的角动量定理与角动量守恒
考虑质点系中质点都在垂直于Z轴的平面上运动的情 形，可得出质点系对轴的角动量定理：
MZ
dLZ dt
,
或
ri Fi
s in i
d dt
rimivi sini
质点系对Z轴的角动量随时间的变化率等于质点系所 受一切外力对Z轴的力矩之和。
则质点系对O点的角动量为：
L
ri
mivi
质点系中各质点所受外力对O点的力矩和为：
M ri Fi
而质点系中内力总是成对出现的，因而对同一参考点
而言，内力矩之和总为零。因而质点系对一参考点的
角动量定理为：
M
ri
Fi
dL dt
质点系相对参考点O的角动量随时间的变化率等于所
有外力对该点力矩的矢量和。
解：探测器飞行过程中只
v0
受到行星的引力，因而对
O点的角动量守恒：
m2
r
m2v0r sin m2vR
v
R
O
m1
又由机械能守恒：
1 2
m2v02
G
m1m2 r
1 2
m2v
2
G
m1m2 R
代入r=4R，求出
sin 1
4
1
3Gm1 2Rv02
4、质点对轴的角动量定理、角动量守恒定律
动量为 P 的质点对Z轴的角动量：
角动量守恒定律是自然界普遍适用的一条基本规律。
力矩M = 0的条件：（1）力臂 r = 0 （有心力作用），
（2）力F = 0，（3） r 与F 相互平行。
例1、质点运动时，位矢r 在单位时 间内扫过的面积称为掠面速度。试 证明：作匀速直线运动的质点，其 掠面速度为常数。
解：质点作匀速直线运动，受合外
当MZ= 0 时，LZ = 常量—质点对轴的角动量守恒。
例4、一小球用摆长为L的轻绳系于O点，开始时将小 球移开使绳与竖直方向成角，并给小球一水平初速 度v0使小球绕O点旋转，若希望在运动过程中，绳与 竖直方向的最大瞬时夹角为90°，问v0 应多大？
解：小球运动过程中受重力和绳中张 力的作用。张力不作功机械能守恒：
三、质点系对质心的角动量定理和守恒定律
前述角动量定理和角动量守恒定律都是相对某惯
性系的，若参考系是一非惯性系，则还要考虑各质点
所受的惯性力的力矩。
选系统质心C为参考系，并设质心具 有加速度
第四章 角动量守恒 刚体力学
§4－1 角动量定理与角动量守恒
一、质点的角动量定理与角动量守恒
1、质点对一参考点的角动量
•定义：动量为 mv 的质点，相对某
一参考点O的角动量（动量矩）为
L
r
mv
r
P
mv
r
O
大小： L rmvsin
方向：满足右手螺旋法则。
2、力对一参考点的力矩
•定义：力F相对某一参考点O的力矩为： M rF