第14讲圆的向量式+至精至简的数学思想方法
人教版初中数学圆说课稿（通用5篇）
初中数学圆说课稿人教版初中数学圆说课稿（通用5篇）作为一名教职工，通常会被要求编写说课稿，说课稿有利于教学水平的提高，有助于教研活动的开展。
那么说课稿应该怎么写才合适呢？下面是小编为大家整理的人教版初中数学圆说课稿（通用5篇），仅供参考，希望能够帮助到大家。
初中数学圆说课稿1一、教学分析1、教学内容：本节课的教学内容是人教版数学第十一册第四单元《圆》的第一节内容《圆的认识》，主要内容有：用圆规画圆、了解圆各部分名称、掌握圆的特征等。
2、教材简析：圆是一种常见的平面图形，也是最简单的曲线图形。
学生已经对圆有了初步的感性认识，教学时，可以让学生回答日常生活中圆形的物体，并通过观察使学生认识圆的形状。
再指导学生独立完成画圆的操作过程，掌握圆的画法。
经过讨论使学生认识圆的各部分名称，掌握圆的特征。
3、教学目标：（1）使学生认识圆，知道圆的各部分名称。
（2）使学生掌握圆的特征，理解和掌握在同一个圆里半径和直径的关系。
（3）使学生通过观察、实验、猜想等数学活动过程认识圆，进一步发展空间观念和初步的探索能力。
4、教学重点：会使用圆规画圆，知道半径和直径的关系。
5、教学难点：用圆规画圆。
6、教学关键：指导学生正确使用圆规，多进行实际操作练习。
二、学生分析在小学阶段，学生的空间观念比较薄弱，动手操作能力比较低；本校处在城乡结合处，家庭辅导能力较低，学生接受能力较差；学生的学习水平差距较大，小组合作意识不强，鉴于以前学习长、正方形等是直线平面图形，而圆是曲线平面图形，估计学生在动手操作、合作探究方面会存在一些困难。
三、说教法学法1、本节课我以学生亲自动手制作车轮为主线，在动手中引导学生认识圆的各部分名称，理解圆的特征，以及教学圆的画法时，有目的、有意识地安排了让学生画一画、指一指、比一比、量一量等动手实践活动，启发学生用眼观察，动脑思考，动口参加讨论，用耳去辨析同学们的答案。
2、教学中理应发挥学生的主体作用，淡化教师的主观影响，让学生自己在实践中产生问题意识，自己探究、尝试，修正错误，总结规律，从而主动获取知识。
解决圆中问题的数学思想方法
解决圆中问题的数学思想方法作者：徐兰方来源：《初中生世界·九年级》2014年第10期在解决圆中的问题时，常常需要应用一些重要的数学思想方法，主要有：一、方程思想方程思想在探索解题思路时经常使用，尤其对解决与数量有关的数学问题时行之有效. 圆中的垂径定理、勾股定理、弧长公式和扇形面积公式都为列方程（组）创造了条件.例1 如图1，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、C分别在y轴、x轴上，以AB为弦的☉M与x轴相切. 若点A的坐标为（0，8），则圆心M的坐标为（）.A. （-4，5）B. （-5，4）C. （5，-4）D. （4，-5）【解析】设☉M与x轴的切点为F，连接FM，并延长交AB于E，连接AM. ∵☉M与x 轴相切，∴MF⊥x轴，ME⊥AB. ∵A的坐标为（0，8），∴AB=OC=BC=EF=OA=8.∴AE=BE=4. 设MF=AM=x，∴ME=8-x. 在Rt△AME中，AE2+ME2=AM2，即42+（8-x）2=x2，解得x=5. 即MF=5，∴M的坐标为（-4，5），故选A.【点评】由圆的半径、弦的一半和圆心到弦的垂线段（又叫弦心距）所构成的直角三角形是解决有关圆的问题的基本图形.在解题时，我们常常由垂径定理及其推论得到直角三角形，再在直角三角形中用勾股定理建立方程来解决问题.二、数形结合思想点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系都是通过数量关系来判定的，在解决圆的有关问题时，利用数形结合，可以使所要研究的问题化难为易，化繁为简.例2 已知☉O的面积为9π cm2，若点O到直线l的距离为π cm，则直线l与☉O的位置关系是（）.A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法确定【解析】设圆O的半径是r，根据圆的面积公式求出半径，再和点O到直线l的距离πcm 比较即可. 设圆O的半径是r，则πr2=9π，∴r=3，∵点O到直线l的距离为πcm，3【点评】本题主要考查对直线与圆的位置关系的理解和掌握，解此题的关键是知道当rd 时，相交. 本题虽然是关于直线与圆的位置关系（形）的判定，但却是通过比较直线与圆心的距离（数）大小来做出判定的.三、转化思想圆中经常运用转化思想来解决问题，如圆周角与圆心角的转化，圆周角定理证明中特殊与一般的转化，不同位置关系的转化，不规则图形向规则图形的转化，等等，都是转化思想运用的范例.例3 如图2，AB是☉O的直径，AM、BN分别切☉O于点A、B，CD交AM、BN于点D、C，DO平分∠ADC.（1）求证：CD是☉O的切线；（2）若AD=4，BC=9，求☉O的半径R.【解析】（1）要证明CD是☉O的切线，由于DO平分∠ADC，所以可作OE⊥CD于点E，转化为证明OE=OA即可. ∵AM切☉O于点A，∴OA⊥AD，又∵DO平分∠ADC，∴OE=OA，又∵OA为☉O的半径，∴CD是☉O的切线；（2）要求☉O的半径R，即求AB的长，为此过D点作DF⊥BC于点F，将AB转化为DF，再在Rt△DFC中求解. ∵AM，BN分别切☉O于点A，B；∴AD⊥AB，AB⊥BC，∴四边形ABFD是矩形.∴AD=BF，AB=DF，又∵AD=4，BC=9，∴FC=9-4=5；又∵AM，BN，DC分别切☉O于点A，B，E，∴DA=DE，CB=CE；∴DC=AD+BC=4+9=13；在Rt△DFC 中，DC2=DF2+FC2，∴DF===12，∴AB=12，∴☉O的半径R=6.【点评】解题时要充分利用各种关系，对角度或长度进行转化；当题目中出现直径时，要注意构造直径所对的圆周角，然后利用直角三角形两锐角互余进行角的转化.四、整体思想在解决圆中的计算问题时，整体思想有其独特的功效.例4 如图3，在周长为1 500米的四边形住宅区ABCD周围修建一宽为2米的绿化带，求绿化带的面积.【解析】如图3，要分别求出四个矩形和四个扇形的面积很困难，我们不妨采用“整体合并”的思想，把四个矩形的面积的和看成是一个整体S1，则S1=1 500×2=3 000（m2）.把四个扇形面积的和看成一个整体S2（为一个圆），S2=π×22≈13（m2），于是绿化带的面积=3 000+13=3 013（m2）.【点评】在进行圆的有关计算特别是不规则图形面积的计算时，把注意力和着眼点放在问题的整体上，善于整体思考，常能收到事半功倍的效果.五、分类思想当我们研究点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时，就要从不同的位置关系去考虑，列举各种可能的情况. 这种对位置关系的考虑与分析，蕴含分类讨论思想的运用，分类讨论思想的运用是本章的最大特色.例5 如图4，木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r. 用角尺的较短边紧靠☉O，并使较长边与☉O相切于点C. 假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点为B，较短边AB=8 cm. 若读得BC长为a cm，则用含a的代数式表示r为______.【解析】如图5，当BC≤AB，即a≤8时，根据题意，AB与☉O相切，设切点为E，连接OC，OE，则四边形BCOE为正方形，从而BC=OE=BE≤AB，即r=a≤8；当BC>AB，即a>8时，如图6，连接OC，OA，过点A作AD⊥OC于点D，则AD=BC=a，OD=OC-CD=OC-AB=r-8，OA=r，在Rt△OAD中，AD2+OD2=AO2，即a2+（r-8）2=r2，解得r=a2+4.综上所述，答案为当0≤a≤8时，r=a；即a>8时，r=a2+4.【点评】AB紧靠☉O，同时BC与☉O相切，AB与☉O就存在两种情况：相切或相交，本题应分情况讨论.事实上，当题中没有明确直线与圆的位置关系时，通常都要分直线与圆相离、相切、相交三种情况讨论.许多学生由于没有注意到AB与圆的位置关系是由AB与BC的长短决定的，因此只计算一种情况，从而造成了漏解.小试身手1. （2013·江苏苏州）如图7，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（）.A. 55°B. 60°C. 65°D. 70°2. ☉O的半径为5，AB为直径，CD为弦，CD⊥AB，垂足为E，若CD=6，则AE的长为______.3. （2013·湖南邵阳）如图8所示，某窗户由矩形和弓形组成.已知弓形的跨度AB=3 m，弓形的高EF=1 m. 现计划安装玻璃，请帮工程师求出所在圆O的半径.（作者单位：江苏省兴化市昭阳湖初级中学）。
“圆”中渗透的数学思想
“圆”中渗透的数学思想作者：赵传东来源：《初中生世界·九年级》2017年第05期数学思想是人们对数学活动经验的概括和总结，是数学基础知识及基本技能的本质体现，是数学知识的提炼、升华和结晶，是解决数学问题的灵魂.本文就带你到“圆”形世界去挖掘其中所蕴含的分类思想和转化思想，领略其美丽的风采.一、圆中的分类思想由于圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在没有明确图形位置的情况下，符合题意的图形可能有多种.因此在本章中应注意圆的问题的多样性，不要忘记分情况讨论.1.点和圆位置关系中的分类讨论.例1 如图1，直线AB与⊙O相切于B点，C是⊙O与OA的交点，点D是⊙O上的动点（D与B、C不重合），若∠A=40°，则∠BDC的度数是（）.A.25°或155°B.50°或155°C.25°或130°D.50°或130°【分析】点D可以在劣弧上，也可以在优弧上.解：当点D在优弧BC上时，如图1，连接OB，∵直线AB与⊙O相切于B点，∴∠OBA=90°，∠AOB=50°，∠BDC=[12]∠AOB=25°；当点D在劣弧BC上时，即在D′点处，如图1，∵∠BDC+∠BD′C=180°，∴∠BD′C=155°.∴∠BDC的度数为25°或155°.【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理以及圆的内接四边形的性质.由于点D既可在优弧BC上，也可在劣弧BC上，所以要分两种情况讨论.2.直线和圆位置关系中的分类讨论.例2 如图2，平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（）.A.1B.1或5C.3D.5【分析】⊙P可以在y轴的左边也可以在y轴的右边.解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5.故选B.【点评】本题主要考查了切线的性质的应用等知识，由于圆P在运动过程中，既可能和y 轴左边相切，也可能和y轴右边相切，所以要分情况讨论.3.圆与圆位置关系中的分类讨论.例3 以O为圆心的两个同心圆中，大圆与小圆的半径分别为3cm和1cm，若圆P与这两个圆都相切，则圆P的半径为 .【分析】圆P既可以和小圆内切同时也可以和小圆外切.解：①若圆P与小圆外切，如图3（1），此时圆P的半径=[12]（3-1）=1（cm）；②若圆P与小圆内切，如图3（2），此时圆P的半径=[12]（3+1）=2（cm）.【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系，虽然圆P只能和大圆内切，但和小圆既可内切，也可外切.所以两圆相切，应分情况讨论.二、圆锥中的转化思想例4 如图4所示，圆锥的母线OA=8，底面的半径r=2，若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是 .【分析】将圆锥沿一条母线剪开，其侧面展开图是一个扇形，小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，爬行的最短路线的长实际上是扇形中弦AB的长度.[AB]的长度就是圆锥的底面周长.解：圆锥侧面展开图扇形的圆心角n=[rl]×360°=[28]×360°=90°，所以△OAB是直角三角形，根据勾股定理得AB=[82+82]=[82]，即最短距离为[82].【点评】对于立体图形研究两点间的最短距离，往往是先把立体图形展开成平面图形，再根据“在平面内两点之间线段最短”的性质解决.解决的关键是明确展开前后有关图形的对应关系.例5 如图5，在Rt△ABC中，AC=BC=[22]，若把Rt△ABC绕斜边AB所在的直线旋转一周，则所得几何体的表面积为（）.A.4πB.[42π]C.8πD.[82π]【分析】Rt△ABC绕斜边AB所在的直线旋转一周形成两个圆锥，而且两个圆锥的形状完全相同.求所得几何体的表面积的关键是求出锥体的底面半径.解：∵∠ACB=90°，AC=BC=[22]，∴AB=[222+222]=4，Rt△ABC绕斜边AB所在的直线旋转一周所形成的几何体是由有公共底面的两个相同圆锥构成，其底面半径为2，母线长为[22]，圆锥的侧面展开图是扇形，此扇形的弧长是圆锥的底面圆周长，即为2×π×2=4π，半径是圆锥的母线长[22]，根据扇形的面积公式可求得这个圆锥的侧面积为[12]×4π×[22]=[42]π，所以几何体的表面积为[42]π×2=[82]π.故选D.【点评】绕直角三角形的斜边旋转，首先要搞清直角三角形的直角边是圆锥的母线，斜边上的高是圆锥的底面圆半径.所以明确圆锥侧面展开图的扇形的弧长、半径与圆锥的底面圆周长、母线的对应关系是解决本题的关键.（作者单位：江苏省丰县初级中学）。
例谈圆中的思想方法
例谈《圆》中的思想方法一、数形结合思想方法与圆的位置关系中，数形结合的思想方法体现得淋漓尽致例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，以C 为圆心，r 为半径的圆与AB 有怎样的位置关系？为什么？直线AB 与⊙C有几个交点？ （1）r=2cm ；（2）r=2.4cm (3) r=3cm ． 解：过C 作CD ⊥AB ，垂足为D 在△ABC 中，AB=522=+BC AC根据三角形的面积公式有即圆心C 到AB 的距离d=2.4cm 所以 (1)当r=2cm 时, 有d>r 因此⊙C 和AB 相离，直线AB 与⊙C 无交点（2）当r=2.4cm 时,有d=r,因此⊙C 和AB 相切直线AB 与⊙C 有一个交点。
（3）当r=3cm 时，有d<r ，因此，⊙C 和AB 相交， 直线AB 与⊙C 有两个交点例2 已知1O ⊙与2O ⊙的半径分别为1和4，如果两圆的位置关系为相交，那么圆心距21O O 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）解析 由两圆的位置关系为相交，可知圆心距14-＜21O O ＜14+，应该满足14-＜21O O ＜14+，∴)(4.2543cm AB BC AC CD =⨯=⨯=BCABC AC AB CD ⨯=⨯2121B ． D ．A ．C ．A即3＜21O O ＜5．对照不等式组，可以确定在数轴上表示正确的为A ．点评 本题中把两圆的位置关系（形）转化为圆心距和两圆半径之间的数量关系（数），然后再把它表示在数轴上（形），运用了两次数形结合思想．华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。
数形结合思想是将抽象的数学语言与直观图形有机结合起来，使抽象思维与形象思维统一结合，通过图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，实现化难为易，化繁为简，化抽象为直观。
在解决两圆位置关系的题目时，我们应注意位置关系和数量关系的相互转化，即运用数形结合的数学思想．二、分类讨论思想方法在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。
数学的精神思想和方法
数学的精神思想和方法数学的精神思想和方法数学基础打得好，对将来的升学也有较大帮助。
但是数学的比较抽象，生在学习过程中会碰到一些“拦路虎”，掌握一些方法，这些就都不怕了。
以下是数学的精神思想和方法，欢迎阅读。
1、对应思想方法对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。
如直线上的点(数轴)与表示具体的数是一一对应。
2、假设思想方法假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。
假设思想是一种有意义的思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。
3、比较思想方法比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。
在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。
4、符号化思想方法用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学内容，这就是符号思想。
如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。
如定律、公式、等。
5、类比思想方法类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。
如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。
类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟般自然和简洁。
转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。
如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。
7、分类思想方法分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。
如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数;按约数的个数分质数和合数。
圆数学思想方法
圆数学思想方法以下是查字典数学网为您推荐的圆数学思想方法，希望本篇文章对您学习有所帮助。
圆数学思想方法一、分类讨论思想例1 已知两相交圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长为6cm，求这两圆的圆心距.分析：已知两圆相交，求两圆圆心距。
解：分两种情况：(1)如图1，设⊙O1的半径为r1=5cm，⊙O2的半径为r2=4cm. 圆心Ol，02在公共弦的异侧.∵O1 O2垂直平分AB，AD= AB=3cm.连O1A、 O2A，则 .(cm).(2)如图2，圆心Ol，02在公共弦AB的同侧，同理可求二、方程思想例2 如图，AB是⊙O的直径，弦CDAB于E，弦CD，AF相交于点G，过点D作⊙O的切线交AF的延长线于M，且 .(1)在图中找出相等的线段(直接在横线上填写，所写结论至少3组，所添辅助线段除外，不写推理过程)：.(2)连结AD，AF(请将图形补充完整)，若，求AC∶DF的值.【分析】(1)利用垂径定理易知：CE=DE，而由可知CAG. AG=CG.根据相似可求得 CGDG=AGGF，可得DG=FG.(2) 先根据相似求出CE，得CD，AF，又GD=GF，设EG=x，则AG可用x表示，再用Rt△AEG建立x的方程，求出x，用△AGC∽△DGF得AC与DF的比.解：(1)CE=DE，AG=CG，DG=FG.(2)连接AC. ∵ ABCD，EC=ED，AC=AD.由相交弦定理，得 AEBE=CE2 .CE=3. CD=AF=6.又∵ GDF=GFD，GD=GF.设EG=x，则AG=6-(3-x)=3+x.在Rt△AEG中，【小结】本题是一道垂径定理，圆周角定理，相交弦定理，切割线定理合为一体的综合题，第(1)问有开放性和探索性，第(2)问运用了方程思想，全面考查了对圆相关知识的认识.三、代数思想例3 如图所示，⊙O的直径ABCD，E为OD的中点，AE交⊙O 于点G，CG交OB于点F.求证：OB=3OF.【分析】确定两条线段之间的倍数关系，一般采用寻找等分点的直接证法和借助中间量的间接证法.根据本题的已知条件，可依据三角形相似比的关系，借助系数k寻求OB、OF 的关系.证明：设半径OA=2k，则OE=ED=k，AB=2OA=4k，OA=OC=OB=2k. 连结DG、BG.四、运动的思想例4 已知：如图，⊿ABC的外部有一动点P(不能在直线BC 上)，分别连结PB、PC，试确定BPC与BAC的大小关系.分析：BPC与BAC之间没有联系，要确定BPC与BAC的大小关系，必须找恰当的载体，作为它们之间的桥梁，这道桥梁就是圆，通过构造⊿ABC的外接圆，问题就会迎刃而解. 解：如图弧BAC和弧BMC是包含圆周角等于BAC 的两段弧(BMC=BAC)，1.当点P在弓形BAC和弓形BMC外且不在直线BC上时，2.当点P在弧BAC和弧BMC上时，BPC=3.当点P在弓形BAC和弓形BMC内且在⊿ABC和⊿MBC外时，BAC.证明：1.当点P在弓形BAC和弓形BMC外且不在直线BC上时，如图1，连结BD，根据外角大于任何一个与它不相邻的内角，BDC，又∵BDC=BAC，BAC，(若点P在BC下侧的弓形BAC和弓形BMC外时，同法可证出BMC即2.当点P在弧BAC 和弧BMC上时，如图2，根据同弧所对的圆周角相等，BPC=BAC(若点P在弧BMC上时，同法也可证得BPC=BMC=3.当点P在弓形BAC和弓形BMC内且在⊿ABC和⊿MBC外时，如图3，延长BP交⊿ABC外接圆于点D，连结CD，BDC，又∵BDC=BAC，BAC，(若点P在弓形BMC内且在⊿MBC外时，同法也可证出BMC即BAC).五、割补思想例5 如图，将半径为2cm的⊙O分割成十个区域，其中弦AB、CD关于点O对称，EF、GH关于点O对称，连接PM，则图中阴影部分的面积是_____cm2(结果用表示).解析：如图，根据对称性可知：S1=S2，S3=S3，S5=S6，S7=S8，因此阴影部分的面积占整个圆面积的，应为： (cm2).点评把所求不规则图形，通过已知的分割线把原图形分割成的图形进行适当的组合，转化为可求面积的图形.分类思想在圆中的应用例1 已知两圆半径之比是5:3，如果两圆内切时，圆心距等于6，问当两圆的圆心距分别是24、5、20、0时，相应两圆的位置关系如何?选题意图：考查两圆五种位置关系.解：设大圆半径R=5x∵两圆半径之比为5: 3，小圆半径r=3x，∵两圆内切时圆心距等于6，5x-3x=6，x=3，大圆半径R=15，小圆半径r=9，当两圆圆心距dl=24时，有dl=R+r，此时两圆外切;当两圆圆心距d2=5时，有d2当两圆圆心距d3=20时，有R-r例2 已知两相交圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长为6cm，求这两圆的圆心距.选题意图：已知两圆相交，求两圆圆心距。
圆中的数学思想
圆中的数学思想作者：陈德前来源：《初中生·考试》2011年第11期数学思想是数学的灵魂，是解决数学问题的金钥匙?郾在圆的学习中，常用到如下数学思想?郾一、数形结合思想?郾点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系通过数量关系来判定，这些结论较多，机械记忆较难，利用数形结合来判定，就能直观地得出结论并有助于理解这些结论?郾例1 （2011年上海卷）矩形ABCD中，AB＝8，BC=3■，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）?郾A?郾点B、C均在圆P外B?郾点B在圆P外、点C在圆P内C?郾点B在圆P内、点C在圆P外D?郾点B、C均在圆P内解：在矩形ABCD中，AB＝8，点P在边AB上，且BP＝3AP，可知AP=2，BP=6?郾又BC=3■，通过计算得PD=7，PC=9?郾由6＜7＜9，可知PD＞BP，PD＜PC，如图1?郾选C?郾温馨小提示：点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的判定，利用数形结合方法，可简捷求解?郾二、转化思想?郾在圆中，经常要用到转化思想?郾如圆周角与圆心角的转化，位置关系的特殊与一般的转化，不规则图形的面积与规则图形面积的转化?郾例2 （2011年益阳卷）如图2，△ABC内接于圆O，若∠B=30°，AC=■，则⊙O的直径为 ?郾分析：将直径和已知线段AC放在同一个三角形中，为此作直径AD，连接CD，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠D=∠B=30°，又∠DCA=90°，所以AD=2AC=2■，即⊙O的直径为2■?郾温馨小提示：把点B转化为特殊的点D，可简捷解题?郾由直径联想直角或由直角联想直径，这种双向联想及其相互转化在解决圆的问题时十分有效?郾三、整体思想?郾在解圆的计算题时，整体思想有其独特的功效?郾例3 （2011年泰州卷）如图3，在周长为1 500米四边形住宅区ABCD周围修建一宽为2米的绿化带，求绿化带的面积（π≈3）?郾分析：分别求出四个矩形和四个扇形的面积很困难，把四个矩形的面积的和看成一个整体S1，则S1=1 500×2=3 000（m2）?郾把四个扇形面积的和看成一个整体S2（一个圆），S2=π×22≈12（m2），于是绿化带的面积=3 000+12=3 012（m2）?郾温馨小提示：在计算时，把注意力和着眼点放在问题的整体上，常能收到事半功倍的效果?郾四、方程思想?郾方程思想在探索解题思路时经常使用，尤其对解决与数量有关的数学问题更加有效?郾垂径定理、勾股定理、弧长公式和扇形面积公式都为列方程（组）创造了条件?郾例4 （2011年泰州卷）如图4，以点O为圆心的两个同心圆中，矩形ABCD的边BC为大圆的弦，边AD与小圆相切于点M，OM的延长线与BC相交于点N?郾（1）点N是线段BC的中点吗？为什么？（2）若圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圆的半径?郾解：（1）N是线段BC的中点?郾∵ AD与小圆相切于点M，∴ OM⊥AD，即ON⊥AD?郾∵四边形ABCD是矩形，∴ BC//AD?郾∴ ON⊥BC?郾∴ N是线段BC的中点?郾（2）设小圆半径为r?郾CN=■BC=■×10=5?郾连接OC，交小圆于点E，则CE=6?郾在Rt△OCN中，根据勾股定理得ON2+NC2=OC2?郾∵ OC=CE+OE=6+r，ON=OM+MN=OM+AB=5+r，∴（5+r）2+52=（6+r）2，解得r=7?郾∴小圆的半径为7cm?郾温馨小提示：圆的半径、弦的一半和弦心距所构成的直角三角形是解决问题的基本图形?郾用勾股定理建立方程是解决此类问题的关键?郾五、分类思想?郾点与圆、直线与圆、圆与圆之间常存在多种可能的位置关系，需要运用分类讨论思想来解决，以免遗漏?郾例5 （2011年济宁卷）已知⊙O1与⊙O2相切，⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，则O1O2的长是（?摇?摇）?郾A?郾 1cm?摇?摇 B?郾 5cmC?郾 1cm或5cm?摇?摇 D?郾 0?郾5cm或2?郾5cm解：两圆相切，分内切与外切两种情况?郾当两圆内切时，O1O2的长是1cm；当两圆外切时，O1O2的长是5cm. 选C?郾例6 （2011年南京卷）如图5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，P为BC的中点?郾动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆?郾设点Q运动的时间为ts?郾（1）当t=1?郾2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；（2）⊙O为△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值?郾解：（1）直线AB与⊙P相切?郾如图6，过点P作PD⊥AB，垂足为D?郾在Rt△ABC中，∠ACB＝90°?郾∵ AC=6cm，BC=8cm，∴ AB=■=10cm?郾∵ P为BC的中点，∴ PB=4cm?郾∵∠PDB＝∠ACB＝90°，∠PBD＝∠ABC，∴△PBD∽△ABC?郾∴ ■=■,即■=■，∴ PD=2?郾4（cm）?郾当t=1.2时，PQ=2t=2.4（cm），∴ PD=PQ，即圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径?郾∴直线AB与⊙P相切?郾（2）由∠ACB＝90°知AB为△ABC外接圆的直径?郾∴ OB=■AB=5cm?郾连接OP?郾∵ P为BC的中点，∴ OP=■AC=3cm?郾∵点P在⊙O内部，∴⊙P与⊙O只能内切?郾∴ 5-2t=3或2t-5=3?郾解得t=1或4?郾∴当⊙P与⊙O相切时，t的值为1或4?郾温馨小提示：两圆相切分内切与外切两种情况，而内切时，要对两个圆半径的大小进行分类讨论，谨防漏解?郾■。
圆中的基本图形和常见数学思想
圆中的基本图形和常见数学思想圆一直是初中阶段数学学习的一个难点，因为圆中知识点很多，综合性也很强。
而且中考中圆常常和四边形，三角形，甚至代数中的二次函数结合起来考察学生的能力。
所以学生遇到圆的综合题往往觉得相当吃力。
针对这种情况，笔者一直在考虑如何突破圆的教学难关，让学生对圆不再望而生畏，并且提高解题能力。
教师有必要把圆中涵盖的知识点融入到几个基本图形中，并教会学生在复杂的图形中提炼出基本图形。
另外一定要帮助学生进行解题方法的训练和总结。
让他们熟悉圆中常用的数学方法。
笔者归纳了以下几个方面的内容，概述如下。
1 圆中基本图形主要有这个图形中涵盖了：１、垂径定理及其推论；２、同弧所对的圆心角是圆周角的两倍；３、半径、弦心距、弓形高、弦长四者的关系；４、直径所对的圆周角是直角这个图形中涵盖了：１、圆的内接四边形的对角互补，外角等于内对角，２、相似关系;３、割线定理这个图形中涵盖了：１、弦切角等于所夹弧所对的圆周角，２、相似关系;３、切割线定理这个图形中涵盖了：１、三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点，并且到三角形三个顶点的距离相等２、同弧所对的圆心角是圆周角的两倍这个图形中涵盖了：１、从圆外引圆的两条切线，切线长相等。
２、三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，并且到三角形三条边的距离相等３、三角形的面积和周长、内切圆半径三者的关系，４、三角形两条内角角平分线组成的夹角与第三个内角的关系这个图形中涵盖了：１、同弧所对的圆周角相等，２、相似关系，３、相交弦定理这个图形中涵盖了：１、直径所对的圆周角是直角，９０度的圆周角所对的弦是直径２、相似关系，射影定理，３、直角三角形的外心在斜边的中点４、直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半这个图形中涵盖了：１、连心线垂直平分公共弦２、圆的对称性这个图形中涵盖了:等边三角形的内切圆半径、外接圆半径、等边三角形的边长三者的比例关系。
这个图形中涵盖了:正方形的内切圆半径、外接圆半径、正方形的边长三者的比例关系。
浅析圆中的数学思想方法
教 研 争 鸣
浅析圆中的数学思想方法
362000 泉州第三中学 福建 泉州 蔡华远 362200 陈埭民族中学 福建 晋江 程玉林
1 ∠CQO = ∠CMO = ∠OMN ，MC=MO=MQ， 2 ON 1.5 sin ∠CQO = sin ∠OMN = = ∴ OM OM ， ∴ sin ∠CQO 的值随着 OM 的增大而减小．
∴△ MBO ∽△ MAP． MO OB ∴ MB = = MA MP PA x y+3 1 = = 设 MB=x，MC=y，则 y+6 x+6 2 ∴ 解 得 x=4，y=2． 即 = 2 ( y + 3) x + 6 MB=4，MC=2． 四、分类与整合 在解某些数学问题时，当被研究的问题 包含了多种情况时，就必须抓住主导问题发 展方向的主要因素，在其变化范围内，根据 问题的不同发展方向，划分为若干部分分别 研究。这里集中体现的是由大化小，由整体 化为部分，由一般化为特殊的解决问题的方 法，其研究的基本方向是“分”，但分类解 决问题之后，还必须把它们整合在一起，这 种“合—分—合”的解决问题的思想，就是 分类与整合思想。 例 4（2015 湖北襄阳）点 O 是△ ABC 的 外心， 若∠ BOC=80°， 则∠ BAC 的度数为 （） A．40° B．100° C．40°或 140° D．40°或 100° 解 析： 当 点 O 在 △ ABC 内 部 时， 1 ； 当 点 O 在 △ ABC 外 ∠BAC =∠BOC =° 40 部时， ∠BAC= 2 × ( 360° − 80° )= 140° 。故选 C。
数学的精神 思想和方法
数学的精神思想和方法数学基础打得好，对将来的升学也有较大帮助。
但是数学的学习比较抽象，小学生在学习过程中会碰到一些“拦路虎”，掌握一些方法，这些就都不怕了。
以下是数学的精神思想和方法，欢迎阅读。
1、对应思想方法对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。
如直线上的点(数轴)与表示具体的数是一一对应。
2、假设思想方法假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。
假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。
3、比较思想方法比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。
在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。
4、符号化思想方法用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学内容，这就是符号思想。
如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。
如定律、公式、等。
5、类比思想方法类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。
如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。
类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟般自然和简洁。
6、转化思想方法转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。
如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。
7、分类思想方法分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。
如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数;按约数的个数分质数和合数。
数学人教版九年级上册圆中分类讨论的思想方法
圆中分类讨论的思想方法教学设计一、教材分析1、教材的地位与作用圆中分类讨论的思想方法是学生在已经掌握“圆的有关性质”，“点和圆的位置关系”、“直线与圆的位置关系”的基础上，进一步拓展圆的知识和数学方法的应用。
本节课通过“会诊---观察探究---讨论归纳---类比分析---拓展思维”的途径，进一步培养学生的观察能力，分析、联想能力、合作交流的能力，强化了学生的数学思维能力，培养分类讨论的思想方法，促进了数学修养的提高。
所以这一节无论从知识性还是思想性来讲，在初中几何教学中都占有重要的地位。
2、教学目标根据“新课标”的要求和教材的特点，结合九年级学生的实际水平，我把本节课的教学目标确定为：（1）知识技能：使学生掌握圆的相关知识，会应用分类讨论的思想探究知识。
（2）数学思考：通过“观察会诊，探究、讨论归纳”等活动，积累丰富的数学活动的经验，初步发展学生分类讨论的能力及培养学生创造性思维的能力。
（3）解决问题：培养和发展学生思维的条理性、缜密性、灵活性，使学生学会完整地考虑问题、化整为零地解决问题（4）情感态度：让学生在动手的过程中体会数学活动的乐趣，让学生在讨论的过程中找到探索数学的成就感，通过圆中分类讨论的思想方法的学习，体会数学对思维能力培养的益处。
3、重点难点：重点：掌握利用分类讨论的思想方法解决圆中的数学问题，难点：在解决圆中的数学问题时不出现漏解的情况通过一系列的探究活动培养学生解决问题的思想方法能力。
二、教法设计根据本节课的内容特点及学生的实际水平，我采用启发式教学、循序渐进的原则、采取类比、观察会诊、探究讨论、归纳拓展等方法，注重创设问题情景，充分暴露思维过程，发展学生的思维能力。
教学形式上充分利用电脑多媒体优化数学课堂教学，从学生常见的思维错误出发，激发学生学习的兴趣，提高课堂效率。
三、学法指导“授人以鱼，不如授人以渔”为培养学生观察、分析、归纳能力，根据本节课的特点，我以常见的思维误区为出发点，以学生活动为主线，让学生自己观察会诊、探究归纳，让他们在学习中学会学习。
圆教学中的数学思想方法-2019年精选文档
圆教学中的数学思想方法数学思想方法已成为中学数学教学内容的重要组成部分.教师在进行中学数学教学的过程中，必须做到让学生在知识学习的过程中，渗透和体验数学思想方法，并且要充分把握住讲课的过程中的概念的形成、结论的推导、方法的思考、规律的揭示以及问题的发现这些环节，对学生进行思维训练，培养学生的数学思想方法的形成.由于圆的教学的抽象性以及现实生活中的形象性的结合，再加之初中教材中对于圆这一章的处理不够精妙，使得学生感觉知识点繁杂，学习过程中往往感觉比较吃力.笔者就这一章节中所体现出的三种数学思想方法进行一一梳理，并希望学生对该章节的学习形成系统，真正掌握到数学的精髓之处.1.分类讨论的数学思想方法由于数学的抽象性以及概括性，通常其涉及的问题和对象都比较多元化，因此很难用一种大而化之的方法来解决，必须采取分情况一一进行讨论，而这种方法就是数学中常常用到的分类讨论思想.初三教材中的圆，基本上在每个小节都牵涉和体现到了分类讨论思想的运用.比如，在研究点与圆的位置关系时，要分圆外、圆上、圆内三种情况；研究直线与圆的位置关系时，要分相离、相切、相交三种情况；在解决圆与圆的相切问题时，要分清楚是外切还是内切；在计算弧对应的圆周角时，要弄明白这段弧是优弧还是劣弧.另外在研究圆周角定理时以及解决题目中常出现的动点以及动弦的问题时，也涉及了分类讨论思想的运用.而这种思想对于普遍的初中学生来说，掌握是比较困难的，通常他们在运用这种思想的时候，经常会讨论不周到、不全面.例1 半径为5 cm的圆O中，弦AB∥弦CD.又AB=6 cm，CD=8 cm，则AB和CD两弦的距离为.不少学生只填写７ cm，而漏掉另一答案１ cm.这是因为他们在考虑问题时，只想到了两弦分别在圆心的两侧，没考虑到另一种情形：两弦在圆心的同侧.因此，针对该种情况，教师要对学生加强这方面的强化训练，同时在日常的教学活动中，就应该要从各方面来渗透分类讨论的数学思想.2.数形结合的数学思想方法数学以现实世界的数学关系与空间形式作为其研究的对象，而形与数是互相联系的，也是可以相互转化的.把问题的数量关系转化成图形的性质问题，或者把图形的性质问题转化为数量的关系问题，是数学活动中的一种十分重要的思维策略，这种处理问题的思想，就是数形结合的基本思想方法.在初三的圆这一章的教学中，不管是教材的举例还是教材课后的习题中，都不乏这种思想方法.比如说教材在引进圆的概念的时候，就采取了数与形相结合的思想；在研究直线与圆的关系时，也把形转变成数来进行进一步的解决；另外在课后题目的设置中，中点弦定理的证明也正是进一步深化了该数学思想方法的运用.3.方程和函数的数学思想方法方程的思想和函数的思想是处理常量数学与变量数学的重要思想，在解决一般数学问题中具有重要的方法论意义.在中学数学中，方程与函数是极为重要的内容，对各类方程和基本初等函数都作了较为系统的研究.对于一个较为复杂的问题，常常只需要寻求等量关系，列出一个或几个方程或函数关系式，就能很好地得到解决.在初中的圆的教学过程中，圆所涉及的数量关系比较多，同时它们之间的转化关系也比较多，另外还可以与三角形的相关知识进行串联，因此在解决圆的问题时，方程和函数的数学思想方法的运用是最为广泛的.教师在培养学生的方程和函数的数学思想方法的形成过程中就应该给学生灌输“一方程（等式）对应一未知元”的终极数学思想，同时引导学生利用相关已知条件来建构相关方程或等式.图 1例2 （2011年无锡）如图1，已知O(0，0)，A(4，0)，B(4，3).动点P从O点出发，以每秒3个单位的速度，沿△OAB的边OA，AB，BO做匀速运动；动直线l从AB位置出发，以每秒1个单位的速度向x轴负方向做匀速平移运动.若它们同时出发，运动的时间为t秒，当点P运动到O时，它们都停止运动.(1)当P在线段OA上运动时，求直线l与以点P为圆心、1为半径的圆相交时t的取值范围.(2)当P在线段AB上运动时，设直线l分别与OA，OB交于C，D，试问：四边形CPBD是否可能为菱形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由，并说明如何改变直线l的出发时间，使得四边形CPBD会是菱形.解析（1）根据点P与直线l的距离d＜1分为点P在直线l的左边和右边，分别表示距离，列不等式组求范围.（2）四边形CPBD不可能为菱形.依题意可得AC=t，OC=4-t，PA=3t-4，PB=7-3t.由CD∥AB，利用相似比表示CD，由菱形的性质得CD=PB可求t的值.又当四边形CPBD为菱形时，PC=PB=7-3t，把t代入PA2+AC2，PC2中，看结果是否相等，如果结果不相等，就不能构成菱形.设直线l比P点迟a秒出发，则AC=t-a，OC=4-t+a，再利用平行线表示CD，根据CD=PB，PC∥OB，得相似比，分别表示t，列方程求a即可.本题考查直线与圆的位置关系，运用相似比、边相等等关系，用代数的方法，列方程求解.4.化归转换的数学思想方法化归，即转化与归结的意思.把有待解决或者未解决的问题，通过转化过程，归结为所熟悉的规范性问题或者已解决的问题中去，从而求得问题解决的思想.这种思想，是初中阶段接触的最为广泛的一种数学思想，在圆这一节的教学过程中，通常要求学生在解决相关问题时将未知转化为已知，将题目中不确定的关系转化为确定的关系，将一般情况转化为特殊情况来处理.因此，教师要对化归转换的思想加以重视.在圆的教学中，相似变换、射影变换以及等积变换都是常用的变换.另外，这一章节还要求学生能掌握将不规则图形变换成规则图形来求解相关问题的能力，比如把扇形转换成三角形与一弓形的组合图形，进而可以利用相关公式来求取弓形的面积或者其他相关因素.图 2例3 如图2，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都为0.5 cm，则图中阴影部分的面积之和为（）.解析图中阴影部分为三个扇形，所以只要求出扇形的面积即可.但求扇形的面积必须知道圆心角的度数，如何求出这三个扇形的圆心角的度数呢？显然是比较困难的，因为这是一个普通的三角形.我们观察到三个圆的半径相同，于是考虑将三个圆心角拼在一起，这样就可以利用三角形的内角和定理来解决了.三个扇形圆心角的度数之和为三角形的内角和，即180°，所以阴影部分的面积之和为nπr2360°=180°×π×0.52360°=π8.故选B.数学思想方法是数学的灵魂.因此，教师在日常的数学教学中要引导学生细心观察给出的图形,探寻进行转化的途径和方法是解决此类问题的关键.5.对称转换的数学思想方法对称，是一种生活中常见的现象，并且人类的审美观往往对于对称的图形产生一种平衡以及和谐的感觉.而对称转换，在圆这一章的教学中运用得淋漓尽致.教材在推导定理以及结论的时候，充分地体现到了这点.比如在推导垂径定理的时候，巧妙地利用了圆的对称性这一性质，推导出了垂径定理；利用圆的旋转不变性，很快便推导出弧、弦、圆心角之间的关系式.以垂径定理与圆心角与弧的关系定理为例，在这两个定理的叙述过程中，我们不禁质疑：把一张圆形的纸片沿着任意一条直径对折，直径两侧的两个半圆为什么能够互相重合?为什么在同圆中，点A与点A′重合，点B与点B′重合，弧AB就能与弧A′B′重合?不妨选择下面的定理进行讨论：定理在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等.分析我们从课本86页倒数第二行开始：我们把∠AOB连同弧AB绕圆心O旋转，所以点A与点A′重合，点B与点B′重合，这样弧AB与弧A′B′必重合.假若不然，不妨设此时弧AB内存在一点M，它不能与弧A′B′内任意一点重合，即M不在弧A′B′上(显然M在∠AOB 或∠A′O′B′内).由于M在弧AB上，根据圆的集合定义第(1)条，M与圆心O的距离一定等于定长r(圆半径长r)，再根据圆的集合定义第(2)条(在∠A′O′B′内)与定点O的距离等于定长r的点一定在弧A′B′上.这就与假设点M不在弧A′B′上矛盾.由反证法，可知点M必在弧A′B′上，于是弧AB与弧A′B′必重合.从上述分析过程可以发现，对称问题的根源在于圆是到定点的距离等于定长的点的集合.总而言之，应深入挖掘教材中圆的数学思想，用数学思想指导课堂教学，让学生在知识学习的过程中，渗透和体验数学思想方法，通过小结复习讲座，提炼和概括数学思想方法，通过相关问题的解决，掌握和深化数学思想方法，进而引导学生在学数学、用数学的过程中理解和掌握数学思想方法，并促进其思维能力的发展.【。
圆的概念 公式及推导完整版
〖圆的定义〗几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。
集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
〖圆的相关量〗圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是3.14159265358979323846…，通常用π表示，计算中常取3.1416为它的近似值。
圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。
顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。
和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。
圆锥侧面展开图是一个扇形。
这个扇形的半径成为圆锥的母线。
〖圆和圆的相关量字母表示方法〗圆—⊙半径—r 弧—⌒直径—d扇形弧长／圆锥母线—l 周长—C 面积—S〖圆和其他图形的位置关系〗圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。
直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：AB与⊙O相离，PO＞r；AB与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙O相交，PO＜r。
两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。
两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P＜R-r。
向量的数学思想方法及其应用
,-./012-34.510607898.8:-3;59<=.92>90?@:A 50-2-?B+##+年第+期 +##+年)月向量的数学思想方法及其应用姜淑莲（武汉船舶职业技术学院 公共课部!"##$#） 摘 要：针对向量的性质和特点，分析了向量作为数学问题研究的基本工具，将向量这一工具的思想方法，在代数、三 角、几何等方面充分应用到数学课程的各个领域，并进行了实践，发现用向量分析具有比原方法简洁、明了的优点。
关键词：向量思想应用文献标识码：(中图分类号：%&’"数学是研究空间形式和数量关系的科学。
数 学是从事物中的数量关系、空间形式两方面来研究。
在文［&］中，作者认为数量已不仅仅是实数、虚数，而还有向量、张量、集合等；空间也不只限于二 维空间、三维空间，还有! 维空间以及某些结构的 抽象空间等。
而运算能力是思维能力和运算技能 的结合，运算不仅仅局限于数字运算，也包括” 式”的运算，还包括”形”的运算，如平面向量的运算等。
新大纲［&］把向量作为数学问题研究的基本工具，它能否充分运用到数学的其他领域之中呢？ 因此，作为数学教学的教育工作者，有必要根据向 量所具有的一些性质，在研究数学问题的过程中， 挖掘出向量的数学思想方法，以便于在数学的教 学过程中，利用这一工具，使其在数学的各个领域 如代数、三角、平面几何、解析几何和立体几何等 方面得到充分的应用。
一、数形结合的思想方法及其应用 向量是既有大小，又有方向的量。
在数学上，向量通常用有向线段进行表示。
它不仅可直观地、 形象地用有向线段表示，而且还可以利用向量的 平移、叠加、伸缩、旋转来形象地表示；也可利用向 量分解定理的特殊性，把向量化为实数形组，进行 向量的线性、倍积的数量的运算；而向量本身是无 法比较大小的，但向量的模可比较大小，可利用向 量的模所遵循的不等式的问题求解。
所以，向量在 数学中的运用，充分体现了数形结合的思想方法， 这为我们求解数学问题提供了强有力的工具。
圆向量解析法
1.2 圆向量函数简介一、圆向量函数定义如图1，设平面直角坐标系XOY 中向量L ，模为L ，方向用单位向量e 表示。
e的方向由L与＋X 轴之间的有向角θ确定（θ自＋X 轴逆时针度量为正，顺时针度量为负）。
若e 的有向角θ随时间而变化，则e是θ的函数，记为()θe 。
显然向径()θe的端点必在半径为1的圆周上，所以单位向量()θe称为有向角θ的圆向量函数。
同理，取与()θe垂直的单位向量()θ+︒90e，该单位向量与＋X 轴的有向角为()θ+︒90，与＋Y 轴的有向角为θ。
将这个单位向量记为()()θθ+︒=90e g。
显然()θg也是有向角θ的圆向量函数。
由图1：()j i e⋅+⋅=θθθsin cos()()j i e g⋅+⋅-=+︒=θθθθcos sin 90二、圆向量函数常用运算法则圆向量函数是随有向角而变化的单位向量，其运算与一般向量之间的运算相同。
下面是圆向量函数的常用运算法则。
()θθcos =⋅i e()θθsin =⋅j e()()()()1=⋅=⋅θθθθg g e e()()0=⋅θθg e()()()2121cos θθθθ-=⋅e e()()()()()122121sin 90θθθθθθ-=⋅+︒=⋅e e e g1.3圆向量函数用于平面机构运动分析图1用向量法进行平面机构运动分析，首先进行位置分析，求出未知的位置参数，然后再进行速度分析和加速度分析。
位置分析的方法是：在机构中选择合适的向量封闭形，使列出的向量方程中仅含两个未知位置参数（长度、角度）。
利用圆向量函数常用运算法则，先消去其中一个未知量，则可求出另一个未知量，再将其它未知量解出。
待求构件的速度和加速度可通过列速度矢量方程和加速度矢量方程进一步求解，如下例所示。
也可利用位置分析中封闭形的向量方程，分别对时间求一阶和二阶导数，并给定原动件的转速，进一步解出未知的速度（角速度）、加速度（角加速度）等运动参数。