算法设计与分析习题答案1-6章

习题1

1.

图论诞生于七桥问题。出生于瑞士的伟大数学家欧拉（Leonhard Euler ，1707—1783）提出并解决了该问题。七桥问题是这样描述的：一个人是否能在一次步行中穿越哥尼斯堡（现

在叫加里宁格勒，在波罗的海南岸）城中全部的七座桥后回到起点，且每座桥只经过一次，

图是这条河以及河上的两个岛和七座桥的草

图。请将该问题的数据模型抽象出来，并判断此问题是否有解。

七桥问题属于一笔画问题。 输入：一个起点 输出：相同的点 1， 一次步行

2， 经过七座桥，且每次只经历过一次 3， 回到起点

该问题无解：能一笔画的图形只有两类：一类是所有的点都是偶点。另一类是只有二个奇点的图形。

2．在欧几里德提出的欧几里德算法中（即最初的欧几里德算法）用的不是除法而是减法。请用伪代码描述这个版本的欧几里德算法 =m-n

2.循环直到r=0 m=n n=r r=m-n

3输出m

3．设计算法求数组中相差最小的两个元素（称为最接近数）的差。要求分别给出伪代码和C++描述。

编写程序，求n 至少为多大时，n 个“1”组成的整数能被2013整除。

#include using namespace std;

int main() {

double value=0;

图 七桥问题

for(int n=1;n<=10000 ;++n)

{

value=value*10+1;

if(value%2013==0)

{

cout<<"n至少为:"<

break;

}

}计算π值的问题能精确求解吗编写程序，求解满足给定精度要求的π值

#include

using namespace std;

int main ()

{

double a,b;

double arctan(double x);圣经上说：神6天创造天地万有，第7日安歇。为什么是6天呢任何一个自然数的因数中都有1和它本身，所有小于它本身的因数称为这个数的真因数，如果一个自然数的真因数之和等于它本身，这个自然数称为完美数。例如，6=1+2+3，因此6是完美数。神6天创造世界，暗示着该创造是完美的。设计算法，判断给定的自然数是否是完美数

#include

using namespace std;

int main()

{

int value, k=1;

cin>>value;

for (int i = 2;i!=value;++i)

{

while (value % i == 0 )

{

k+=i;有4个人打算过桥，这个桥每次最多只能有两个人同时通过。他们都在桥的某一端，并且是在晚上，过桥需要一只手电筒，而他们只有一只手电筒。这就意味着两个人过桥后必须有一个人将手电筒带回来。每个人走路的速度是不同的：甲过桥要用1分钟，乙过桥要用2分钟，丙过桥要用5分钟，丁过桥要用10分钟，显然，两个人走路的速度等于其中较慢那个人的速度，问题是他们全部过桥最少要用多长时间

由于甲过桥时间最短，那么每次传递手电的工作应有甲完成

甲每次分别带着乙丙丁过桥

例如：

第一趟：甲，乙过桥且甲回来

第二趟：甲，丙过桥且甲回来

第一趟：甲，丁过桥

一共用时19小时

9．欧几里德游戏：开始的时候，白板上有两个不相等的正整数，两个玩家交替行动，每次行动时，当前玩家都必须在白板上写出任意两个已经出现在板上的数字的差，而且这个数字必须是新的，也就是说，和白板上的任何一个已有的数字都不相同，当一方再也写不出新数字时，他就输了。请问，你是选择先行动还是后行动为什么

设最初两个数较大的为a, 较小的为b，两个数的最大公约数为factor。

则最终能出现的数包括: factor, factor*2, factor*3, ..., factor*(a/factor)=a. 一共a/factor个。如果a/factor 是奇数，就选择先行动；否则就后行动。

习题4

1.分治法的时间性能与直接计算最小问题的时间、合并子问题解的时间以及子问题的个数有关，试说明这几个参数与分治法时间复杂性之间的关系。

2. 证明：如果分治法的合并可以在线性时间内完成，则当子问题的规模之和小于原问题的规模时，算法的时间复杂性可达到O(n)。

O(N)=2*O(N/2)+x

O(N)+x=2*O(N/2)+2*x

a*O(N)+x=a*(2*O(N/2)+x)+x=2*a *O(N/2)+(a+1)*x

由此可知，时间复杂度可达到O(n);

3.分治策略一定导致递归吗如果是，请解释原因。如果不是，给出一个不包含递归的分治例子，并阐述这种分治和包含递归的分治的主要不同。

不一定导致递归。

如非递归的二叉树中序遍历。

这种分治方法与递归的二叉树中序遍历主要区别是：应用了栈这个数据结构。

4. 对于待排序序列(5, 3, 1, 9)，分别画出归并排序和快速排序的递归运行轨迹。

归并排序：

第一趟：（5,3）（1,9）；

第二趟：（3,5,1,9）；

第三趟：（1,3,5,9）；

快速排序：

第一趟：5（,3,1,9）；设计分治算法求一个数组中的最大元素，并分析时间性能。

设计分治算法，实现将数组A[n]中所有元素循环左移k个位置, 要求时间复杂性为O(n)，空间复杂性为O(1)。例如，对abcdefgh循环左移3位得到defghabc。

设计递归算法生成n个元素的所有排列对象。

#include

using namespace std;

int data[100];

设计分治算法求解一维空间上n个点的最近对问题。

参见4.4.1最近对问题的算法分析及算法实现

9. 在有序序列(r1, r2, …, r n)中，存在序号i（1≤i≤n），使得r i=i。请设计一个分治算法找到这个元素，要求算法在最坏情况下的时间性能为O(log2n)。

在一个序列中出现次数最多的元素称为众数。请设计算法寻找众数并分析算法的时间复杂性。

设M是一个n×n的整数矩阵，其中每一行（从左到右）和每一列（从上到下）的元素都按升序排列。设计分治算法确定一个给定的整数x是否在M中，并分析算法的时间复杂性。

12. 设S是n（n为偶数）个不等的正整数的集合，要求将集合S划分为子集S1和S2，使得| S1|=| S2|=n/2，且两个子集元素之和的差达到最大。

设a1, a2,…, a n是集合{1, 2, …, n}的一个排列，如果ia j，则序偶(a i, a j)称为该排列的一个逆序。例如，2, 3, 1有两个逆序：(3, 1)和(2, 1)。设计算法统计给定排列中含有逆序的个数。

循环赛日程安排问题。设有n=2k个选手要进行网球循环赛，要求设计一个满足以下要求的比赛日程表：

（1）每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次；

（2）每个选手一天只能赛一次。

采用分治方法。

将2^k选手分为2^k-1两组，采用递归方法，继续进行分组，直到只剩下2个选手时，然后进行比赛，回溯就可以指定比赛日程表了

15. 格雷码是一个长度为2n的序列，序列中无相同元素，且每个元素都是长度为n的二进制位串，相邻元素恰好只有1位不同。例如长度为23的格雷码为(000, 001, 011, 010, 110, 111, 101, 100)。设计分治算法对任意的n值构造相应的格雷码。