2018年全国各地高考数学模拟试题《三角恒等变换》试题汇编(含答案解析)
2018年高考数学人教A版 文科真题演练集训：4-4简单的
真题演练集训1．[2016·新课标全国卷Ⅱ]若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( )A.725 B.15 C ．－15 D ．－725答案：D解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin 2α＝1825，所以sin 2α＝－725，故选D.2．[2014·新课标全国卷Ⅰ]设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2 B ．2α－β＝π2 C ．3α＋β＝π2 D ．2α＋β＝π2答案：B解析：解法一：由tan α＝1＋sin βcos β得 sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，π2－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴由sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，得 α－β＝π2－α， ∴2α－β＝π2.解法二：tan α＝1＋sin βcos β＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2，∴α＝k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2，k ∈Z∴2α－β＝2k π＋π2，k ∈Z .当k ＝0时，满足2α－β＝π2，故选B.3．[2016·浙江卷]已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝________，b ＝________.答案：2 1解析：由于2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以A ＝2，b ＝1.4．[2014·重庆卷]已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＜α＜2π3，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值． 解：(1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π， 所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2. 又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称， 所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…. 由－π2≤φ＜π2，得k ＝0， 所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝14.由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6 ＝14×32＋154×12＝3＋158.。
2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(08 三角函数 三角恒等变换)
2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 （08三角函数 三角恒等变换）一、选择题1．（2018北京文）在平面坐标系中，»AB ，»CD，»EF ，¼GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边， 若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（ ）A ．»AB B ．»CDC ．»EFD ．¼GH 1．【答案】C【解析】由下图可得，有向线段OM 为余弦线，有向 线段MP 为正弦线，有向线段AT 为正切线．2．（2018天津文）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）（A ）在区间[,]44ππ- 上单调递增 （B ）在区间[,0]4π上单调递减（C ）在区间[,]42ππ上单调递增（D ）在区间[,]2ππ 上单调递减2．【答案】A【解析】由函数sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为：sin 2sin 2105y x x ⎡ππ⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．则函数的单调递增区间满足：()22222k x k k πππ-≤≤π+∈Z ， 即()44k x k k πππ-≤≤π+∈Z ， 令0k =可得函数的一个单调递增区间为,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，选项A 正确，B 错误；函数的单调递减区间满足：()322222k x k k πππ+≤≤π+∈Z ，即()344k x k k πππ+≤≤π+∈Z ，令0k =可得函数的一个单调递减区间为3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，选项C ，D 错误；故选A ．3．（2018天津理）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 （ ）(A)在区间35[,]44ππ上单调递增 (B)在区间3[,]4ππ上单调递减 (C)在区间53[,]42ππ上单调递增(D)在区间3[,2]2ππ上单调递减3．【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将πsin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π10个单位长度之后的解析式为：sin 2sin210ππ5y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则函数的单调递增区间满足：()2π22π2ππ2k x k k -≤≤+∈Z ， 即()ππ4π4πk x k k -≤≤+∈Z ， 令1k =可得一个单调递增区间为3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，函数的单调递减区间满足：()3π2π22π2π2k x k k +≤≤+∈Z ，即()3πππ4π4k x k k +≤≤+∈Z ，令1k =可得一个单调递减区间为5π7π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选A ．4．（2018全国新课标Ⅰ文）已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为44、答案：B解答：222()2cos (1cos )23cos 1f x x x x =--+=+， ∴最小正周期为π，最大值为4.5．（2018全国新课标Ⅱ文）若()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值是（ ）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π5．【答案】C【解析】因为()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，所以由0224k x k π+π≤+≤π+π，()k ∈Z得32244k x k ππ-+π≤≤+π，()k ∈Z ，因此[]30,,44a ππ⎡⎤⊂-⎢⎥⎣⎦，04a 3π∴<≤，从而a 的最大值为43π，故选C ．6．（2018全国新课标Ⅱ理）若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是（ ）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π6．【答案】A【解析】因为()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，所以由()022,4k x k k π+π≤+≤π+π∈Z 得()322,44k x k k ππ-+π≤≤+π∈Z ，因此[]π3π,,44a a ⎡⎤-⊂-⎢⎥⎣⎦，π,4a a a ∴-<-≥-，3π4a ≤，π04a ∴<≤，从而a 的最大值为π4，故选A ．7．（2018全国新课标Ⅲ文、理）若1sin 3α=，则cos 2α=（ ） A ．89B ．79C ．79-D ．89-7.答案：B解答：227cos 212sin 199αα=-=-=.故选B.8．（2018全国新课标Ⅲ文）函数2tan ()1tan xf x x=+的最小正周期为（ ）A ．4π B ．2π C ．πD ．2π8.答案：C解答：22222sin tan sin cos 1cos ()sin cos sin 2sin 1tan sin cos 21cos xx x x x f x x x x x x x x x=====+++，∴()f x 的周期22T ππ==.故选C.二、填空1．（2018北京理）设函数f （x ）=πcos()(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．1．【答案】23【解析】()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭Q 对任意的实数x 都成立，所以π4f ⎛⎫⎪⎝⎭取最大值，()ππ2π46k k ω∴-=∈Z ，()283k k ω∴=+∈Z ，0ω>Q ，∴当0k =时，ω取最小值为23．2．（2018江苏）已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是▲ ．2．【答案】π6-【解析】由题意可得2sin π13ϕ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，所以2πππ32k ϕ+=+，()ππ6k k ϕ=-+∈Z ，因为ππ22ϕ-<<，所以0k =，π6ϕ=-．3．（2018全国新课标Ⅰ文）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -=（ ）A ．15B C D ．13．答案：B解答：由22cos22cos 13αα=-=可得222225cos 1cos 6sin cos tan 1ααααα===++，化简可得tan α=tan α=时，可得1a =，2b =，即a =，b =时a b -=tan α=时，仍有此结果.4．（2018全国新课标Ⅰ理）已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．4.答案：解答：∵()2sin sin 2f x x x =+，∴()f x 最小正周期为2T π=，∴2'()2(cos cos2)2(2cos cos 1)f x x x x x =+=+-，令'()0f x =，即22cos cos 10x x +-=，∴1cos 2x =或cos 1x =-.∴当1cos 2=，为函数的极小值点，即3x π=或53x π=,当cos 1,x =-x π=∴5()3f π=.()3f π=(0)(2)0f f π==，()0f π=∴()f x 最小值为5．（2018全国新课标Ⅱ文）已知5π1tan()45α-=，则tan α=__________．5．【答案】32【解析】5tan tan5tan 114tan 41tan 51tan tan 4αααααπ-π-⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+⋅，解方程得3tan 2α=．6．（2018全国新课标Ⅱ理）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________．6．【答案】12-【解析】sin cos 1αβ+=Q ，cos sin 0αβ+=，()()221sin cos 1αα∴-+-=，1sin 2α∴=，1cos 2β=，因此()22111111sin sin cos cos sin cos 1sin 1224442αβαβαβαα+=+=⨯-=-+=-+=-．7．（2018全国新课标Ⅲ理）函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________． 7．答案：3解答：由()cos(3)06f x x π=+=，有3()62x k k Z πππ+=+∈，解得39k x ππ=+，由039k πππ≤+≤得k 可取0,1,2，∴()cos(3)6f x x π=+在[0,]π上有3个零点.三、解答题1．（2018北京文）已知函数()2sin cos f x x x x =． （1）求()f x 的最小正周期；（2）若()f x 在区间3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的最大值为32，求m 的最小值．1．【答案】（1）π；（2）π3．【解析】（1）()1cos 211122cos 2sin 222262x f x x x x x -π⎛⎫=+-+=-+ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==．（2）由（1）知()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为π3x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,，所以π5ππ22666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦,． 要使得()f x 在π3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的最大值为32，即πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭在3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的最大值为1．所以ππ262m -≥，即π3m ≥．所以m 的最小值为π3．2. （2018上海）设常数a R ∈，函数f x （）22?asin x cos x =+ （1）若f x （）为偶函数，求a 的值； （2）若4f π〔〕1=，求方程1f x =（）ππ-［，］上的解。
2018届高三高考数学复习练习：4-5-2简单的三角恒等变
4-5-21. (2017·青岛模拟)设tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－4D ．4【解析】 因为tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝14，所以tan α＝53，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－4，故选C.【答案】 C2．(2016·全国甲卷)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α等于( )A.725B.15C ．－15D ．－725【解析】 因为sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1，又因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，所以sin 2α＝2×925－1＝－725，故选D.【答案】 D3．(2018·福州模拟)已知tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．6【解析】 sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝2×3＝6. 【答案】 D4．(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65 B ．1 C.35D.15【解析】 方法一 ∵f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝110sin x ＋310cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝35sin x ＋335cos x ＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴当x ＝π6＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值65.故选A.方法二 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝π2，∴f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6 ＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤65.∴f (x )max ＝65.故选A. 【答案】 A5．(2018·成都一诊)将函数f (x )＝sin 2x ＋3cos 2x 的图象上的所有点向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则g (x )图象的一个对称中心是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫π3，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0D.⎝⎛⎭⎪⎫π2，0【解析】 将函数f (x )＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上的所有点向右平移π6个单位长度，得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝2sin 2x 的图象．令2x ＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2(k ∈Z )，当k ＝1时，x ＝π2，所以g (x )图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，故选D.【答案】 D6．函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|＜π2的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，则f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈ZC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12＋k π，－π12＋k π，k ∈ZD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z 【解析】 ∵f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π3， 由题意知2×π6＋θ＋π3＝k π(k ∈Z )，∴θ＝k π－23π(k ∈Z )．∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋23π.由2k π－π2≤2x ＋23π≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－712π≤x ≤k π－π12(k ∈Z )．故选C.【答案】 C7．若f (x )＝2tan x －2sin 2x2－1sin x 2cosx 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值为________．【解析】 ∵f (x )＝2tan x ＋1－2sin 2x212sin x＝2tan x ＋2cos x sin x ＝2sin x cos x ＝4sin 2x，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝4sinπ6＝8.【答案】 88．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________． 【解析】 由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3.【答案】 π39．化简：3tan 12°－3（4cos 212°－2）sin 12°＝________． 【解析】 原式＝3·sin 12°cos 12°－32（2cos 212°－1）sin 12°＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin （－48°）2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3. 【答案】 －4 310．函数f (x )＝3sin 23x －2sin 213x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≤x ≤3π4的最小值是________．【解析】 f (x )＝3sin 23x －⎝⎛⎭⎪⎫1－cos 23x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π6－1，又π2≤x ≤3π4， ∴π2≤23x ＋π6≤23π， ∴f (x )min ＝2sin 23π－1＝3－1.【答案】 3－111．已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)·sin 2x ＋12cos 4x .(1)求f (x )的最小正周期及单调减区间；(2)若α∈(0，π)，且f ⎝⎛⎭⎪⎫α4－π8＝22，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值．【解析】 (1)f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x＝12(sin 4x ＋cos 4x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4，∴f (x )的最小正周期T ＝π2.令2k π＋π2≤4x ＋π4≤2k π＋32π，k ∈Z ，得k π2＋π16≤x ≤k π2＋5π16，k ∈Z . ∴f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2＋π16，k π2＋5π16，k ∈Z .(2)∵f ⎝⎛⎭⎪⎫α4－π8＝22，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝1.∵α∈(0，π)，－π4<α－π4<3π4，∴α－π4＝π2，故α＝3π4.因此tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝tan 3π4＋tanπ31－tan 3π4tanπ3＝－1＋31＋3＝2－ 3.12．(2017·浙江高考)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间． 【解析】 (1)由sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－23×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝2.(2)由cos 2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin 2x ＝2sin x cos x 得f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最小正周期是π.由正弦函数的性质得π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．。
2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(08 三角函数 三角恒等变换)
2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 （08三角函数 三角恒等变换）一、选择题1．（2018北京文）在平面坐标系中，»AB ，»CD，»EF ，¼GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（ ）A ．»AB B ．»CDC ．»EFD ．¼GH 1．【答案】C【解析】由下图可得，有向线段OM 为余弦线，有向 线段MP 为正弦线，有向线段AT 为正切线．2．（2018天津文）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） （A ）在区间[,]44ππ- 上单调递增 （B ）在区间[,0]4π上单调递减（C ）在区间[,]42ππ上单调递增（D ）在区间[,]2ππ 上单调递减2．【答案】A【解析】由函数sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为：sin 2sin 2105y x x ⎡ππ⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．则函数的单调递增区间满足：()22222k x k k πππ-≤≤π+∈Z ， 即()44k x k k πππ-≤≤π+∈Z ， 令0k =可得函数的一个单调递增区间为,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，选项A 正确，B 错误；函数的单调递减区间满足：()322222k x k k πππ+≤≤π+∈Z ，即()344k x k k πππ+≤≤π+∈Z ，令0k =可得函数的一个单调递减区间为3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，选项C ，D 错误；故选A ．3．（2018天津理）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 （ ） (A)在区间35[,]44ππ上单调递增 (B)在区间3[,]4ππ上单调递减(C)在区间53[,]42ππ上单调递增(D)在区间3[,2]2ππ上单调递减3．【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将πsin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π10个单位长度之后的解析式为：sin 2sin210ππ5y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则函数的单调递增区间满足：()2π22π2ππ2k x k k -≤≤+∈Z ，即()ππ4π4πk x k k -≤≤+∈Z ，令1k =可得一个单调递增区间为3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，函数的单调递减区间满足：()3π2π22π2π2k x k k +≤≤+∈Z ，即()3πππ4π4k x k k +≤≤+∈Z ，令1k =可得一个单调递减区间为5π7π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选A ．4．（2018全国新课标Ⅰ文）已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为44、答案：B解答：222()2cos (1cos )23cos 1f x x x x =--+=+， ∴最小正周期为π，最大值为4.5．（2018全国新课标Ⅱ文）若()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值是（ ）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π5．【答案】C【解析】因为()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，所以由0224k x k π+π≤+≤π+π，()k ∈Z得32244k x k ππ-+π≤≤+π，()k ∈Z ，因此[]30,,44a ππ⎡⎤⊂-⎢⎥⎣⎦，04a 3π∴<≤，从而a 的最大值为43π，故选C ．6．（2018全国新课标Ⅱ理）若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是（ ）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π6．【答案】A【解析】因为()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，所以由()022,4k x k k π+π≤+≤π+π∈Z 得()322,44k x k k ππ-+π≤≤+π∈Z ，因此[]π3π,,44a a ⎡⎤-⊂-⎢⎥⎣⎦，π,4a a a ∴-<-≥-，3π4a ≤，π04a ∴<≤，从而a 的最大值为π4，故选A ．7．（2018全国新课标Ⅲ文、理）若1sin 3α=，则cos2α=（ ） A ．89B ．79C ．79-D ．89-7.答案：B解答：227cos 212sin 199αα=-=-=.故选B.8．（2018全国新课标Ⅲ文）函数2tan ()1tan xf x x=+的最小正周期为（ ） A ．4π B ．2π C ．πD ．2π8.答案：C解答：22222sin tan sin cos 1cos ()sin cos sin 2sin 1tan sin cos 21cos xx x x x f x x x x x x x x x=====+++，∴()f x 的周期22T ππ==.故选C.二、填空1．（2018北京理）设函数f （x ）=πcos()(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．1．【答案】23【解析】()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭Q 对任意的实数x 都成立，所以π4f ⎛⎫⎪⎝⎭取最大值，()ππ2π46k k ω∴-=∈Z ，()283k k ω∴=+∈Z ，0ω>Q ，∴当0k =时，ω取最小值为23．2．（2018江苏）已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ▲ ．2．【答案】π6-【解析】由题意可得2sin π13ϕ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，所以2πππ32k ϕ+=+，()ππ6k k ϕ=-+∈Z ，因为ππ22ϕ-<<，所以0k =，π6ϕ=-．3．（2018全国新课标Ⅰ文）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -=（ ）A ．15BCD ．13．答案：B解答：由22cos22cos 13αα=-=可得222225cos 1cos 6sin cos tan 1ααααα===++，化简可得tan α=；当tan α=时，可得1a =，2b =，即a =，b =a b -=tan α=时，仍有此结果.4．（2018全国新课标Ⅰ理）已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．4.答案： 解答：∵()2sin sin 2f x x x =+，∴()f x 最小正周期为2T π=，∴2'()2(cos cos 2)2(2cos cos 1)f x x x x x =+=+-，令'()0f x=，即22c o s c o s10x x +-=，∴1c o s 2x =或cos 1x =-.∴当1cos 2=，为函数的极小值点，即3x π=或53x π=,当cos 1,x =-x π=∴5()3f π=.()3f π=，(0)(2)0f f π==，()0f π= ∴()f x最小值为5．（2018全国新课标Ⅱ文）已知5π1tan()45α-=，则tan α=__________． 5．【答案】32【解析】5tan tan5tan 114tan 541tan 51tan tan 4αααααπ-π-⎛⎫-=== ⎪π+⎝⎭+⋅，解方程得3tan 2α=．6．（2018全国新课标Ⅱ理）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________．6．【答案】12-【解析】sin cos 1αβ+=Q ，cos sin 0αβ+=，()()221sin cos 1αα∴-+-=，1sin 2α∴=，1cos 2β=，因此()22111111sin sin cos cos sin cos 1sin 1224442αβαβαβαα+=+=⨯-=-+=-+=-．7．（2018全国新课标Ⅲ理）函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．7．答案：3解答：由()cos(3)06f x x π=+=，有3()62x k k Z πππ+=+∈，解得39k x ππ=+，由039k πππ≤+≤得k 可取0,1,2，∴()cos(3)6f x x π=+在[0,]π上有3个零点.三、解答题1．（2018北京文）已知函数()2sin cos f x x x x =+． （1）求()f x 的最小正周期；（2）若()f x 在区间3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的最大值为32，求m 的最小值．1．【答案】（1）π；（2）π3．【解析】（1）()1cos 211122cos 2sin 222262x f x x x x x -π⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==．（2）由（1）知()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为π3x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,，所以π5ππ22666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦,． 要使得()f x 在π3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的最大值为32，即πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭在3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的最大值为1．所以ππ262m -≥，即π3m ≥．所以m 的最小值为π3．2. （2018上海）设常数a R ∈，函数f x （）22?asin x cos x =+（1）若f x （）为偶函数，求a 的值； （2）若4f π〔〕1=，求方程1f x =（）ππ-［，］上的解。
2018年高考理科数学通用版三维二轮专题复习专题检测：(十二)三角恒等变换与解三角形Word版含解析
所以
sin
θ＋cos
θ＝
3
4
2 .
所以
2cos2θ－ 1
cos
π＋θ 4
＝
cos2θ－ sin2θ 2 2 cos θ－ sin θ
＝
2(cos
θ＋ sin
θ)＝
3 2.
4．(2017 ·全国卷Ⅰ )△ ABC 的内角 A， B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 sin B＋ sin A(sin
C－ cos C)＝ 0， a＝ 2， c＝ 2，则 C＝ ( )
专题检测（十二） 三角恒等变换与解三角形
A 卷—— 夯基保分专练
一、选择题
1．(2018
届高三 ·合肥调研
)已知
x∈ (0，π），且
cos
2x
－
π 2
＝
sin
2
x，则
tan
x－π4 等于 (
)
1 A. 3
B．－ 1 3
C．3
D．－ 3
解析： 选 A 由 cos 2x－ π2 ＝ sin2x 得 sin 2 x＝ sin 2x，∵ x∈ (0， π，）∴ tan x＝ 2，
)
A ．钝角三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D ．等边三角形
解析： 选 A
根据正弦定理得
bc＝
sin sin
C B<cos
A，
即 sin C<sin Bcos A.
∵ A＋ B＋ C＝ π，∴ sin C＝ sin(A＋ B)<sin Bcos A，
整理得 sin Acos B<0.
又三角形中
sin
A>0，∴
(全国通用)2018年高考数学 考点一遍过 专题16 三角恒等变换(含解析)理
考点16 三角恒等变换1．和与差的三角函数公式（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 2．简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.一、两角和与差的三角函数公式 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）()C αβ-：cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ （2）()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- （3）()S αβ+：sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+ （4）()S αβ-：sin()αβ-=sin cos cos sin αβαβ- （5）()T αβ+：tan()αβ+=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ++≠+∈-Z（6）()T αβ-：tan()αβ-=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ--≠+∈+Z2．二倍角公式（1）2S α：sin2α=2sin cos αα（2）2C α：cos2α=2222cos sin 12sin 2cos 1αααα-=-=-（3）2T α：tan 2α=22tan πππ(π,)1tan 224k k k αααα≠+≠+∈-Z 且3．公式的常用变形（1）tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±；tan tan tan tan tan tan 11tan()tan()αβαβαβαβαβ+-=-=-+-（2）降幂公式：21cos 2sin 2αα-=；21cos 2cos 2αα+=；1sin cos sin 22ααα= （3）升幂公式：21cos 22cos αα+=；21cos 22sin αα-=；21sin 2(sin cos )ααα+=+；21sin 2(sin cos )ααα-=-（4）辅助角公式：sin cos a x b x +)x ϕ=+，其中cos ϕϕ==tan baϕ=二、简单的三角恒等变换 1．半角公式（1）sin2α=（2）cos2α=（3）tan2α=sin 1cos 1cos sin αααα-==+【注】此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下图：2．公式的常见变形（和差化积、积化和差公式） （1）积化和差公式：1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-；1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--；1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-；1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--.（2）和差化积公式：sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=；sin sin 2cos sin22αβαβαβ+--=； cos cos 2cos cos22αβαβαβ+-+=； cos cos 2sin sin22αβαβαβ+--=-.考向一 三角函数式的化简1．化简原则（1）一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式； （2）二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；（3）三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等． 2．化简要求（1）使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少；（2）式子中的分母尽量不含根号.3．化简方法（1）切化弦；（2）异名化同名；（3）异角化同角；（4）降幂或升幂．典例1 化简：ππsin sin33ππcos cos33αααα⎛⎫⎛⎫++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=.【答案】【方法技巧】(1)三角化简的常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．学.(2)三角化简的标准：三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．(3)在化简时要注意角的取值范围.1________．考向二三角函数的求值问题1．给角求值给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解. 2．给值求值已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路： （1）先化简所求式子．（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)． （3）将已知条件代入所求式子，化简求值． 3．给值求角通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则： （1）已知正切函数值，则选正切函数．（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是π(0,)2，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为ππ(,)22-，则选正弦较好. 4．常见的角的变换 （1）已知角表示未知角 例如：()()ααββ=+-=，()()()()2,2ααβαββαβαβ=++-=+--，(2)αβαβα+=++，(2)αβαβα-=-+，22αβαβα+-=+，22αβαββ+-=-.（2）互余与互补关系 例如：π3π()()π44αα++-=，πππ()()362αα++-=. （3）非特殊角转化为特殊角例如：15°=45°−30°，75°=45°＋30°.典例2 cos15cos30cos105sin30︒︒+︒︒的值是A B C ．12D ．1【答案】A【名师点睛】把所求式子中的角105°变为90°+15°，利用诱导公式cos （90°+α）=−sin α化简后，再利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，即可求出值．“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式.2A ．1-B ．2C ．12D ．1典例3 已知tan(α−β)=,tan β=−,且α,β∈(0,π),则2α−β=A ．π4B ．π4- C ．3π4-D ．π4或3π4- 【答案】C又α∈(0,π),所以0<α<.又<β<π,所以−π<2α−β<0,所以2α−β=−.故选C.【名师点睛】在解决给值求角问题时，不仅要注意已经明确给出的有关角的范围，还要结合有关角的三角函数值尽可能地缩小角的范围.302βαπ<<<. （1）求α2tan 的值． （2）求β的值.典例4 已知324βαπ<<<π，12cos()13αβ-=，3sin(),5αβ+=-则sin 2α=A BC D【答案】B【名师点睛】解给值求值型问题的一般思路是：先看公式中的量,哪些是已知的,哪些是待求的,再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值,注意根据角的象限确定符号. 这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角.4．已知角α,β均为锐角，且3cos5α=,tan(α−β)=，则tanβ=A． B．C． D．3考向三三角恒等变换的综合应用1．与三角函数的图象及性质相结合的综合问题（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成y=A sin(ωx＋φ)＋t或y=A cos(ωx＋φ)＋t的形式．（2）利用公式2π(0)Tωω=>求周期．（3）根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值．（4）根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y=A sin(ωx＋φ)＋t或y=A cos(ωx＋φ)＋t的单调区间．2．与向量相结合的综合问题三角恒等变换与向量的综合问题是高考经常出现的问题，一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，往往是两向量平行或垂直的计算，即令a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=x1x2＋y1y2，a∥b⇔x1y2=x2y1，a⊥b⇔x1x2＋y1y2=0，把向量形式化为坐标运算后，接下来的运算仍然是三角函数的恒等变换以及三角函数、解三角形等知识的运用.3．与解三角形相结合的综合问题（1）利用正弦定理把边的关系化成角，因为三个角之和等于π，可以根据此关系把未知量减少，再用三角恒等变换化简求解；（2）利用正、余弦定理把边的关系化成角的关系再用三角恒等变换化简求解．【注】此类题中的角是在三角形中，每个角范围限制在(0，π)内，如果是锐角三角形，则需要限制各个角均在π(0,)2内．角的范围在解题中至关重要，做题时要特别注意.典例5 设函数f(x)=sin2ωx−sin ωx cosωx(ω>0),且y=f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.（1）求ω的值；（2）求f(x)在区间π,]上的最大值和最小值.【答案】（1）1；（2）f(x)在区间π,]上的最大值和最小值分别为,−1.【解析】（1）f (x )=sin 2ωx −sin ωx cos ωx =·sin 2ωx =cos2ωx −sin 2ωx =−sin(2ωx −).因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为,且ω>0,所以=4×,因此ω=1.（2）由（1）知f (x )=−sin(2x −).当π≤x ≤时,≤2x −≤.所以−≤sin(2x −)≤1.因此−1≤f (x )≤.故f (x )在区间π,]上的最大值和最小值分别为,−1.5．已知向量a =1cos ,2x ⎛⎫-⎪⎝⎭，b x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )=a ·b . （1）求f (x )的最小正周期；（2）求f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．1．cos9π·cos 29π ·cos 23()9π-= A ．−18B ．−116 C ．116D ．182．已知1sin cos 5αα-=-，则的值为A ．1225B ．2425-C ．2425D ．1225-3．已知锐角,αβ满足，则αβ+的值为ACD 4．设，，且，则A ．B ．C ．D ．5．已知向量a =(sin(),1)6απ+，b =(4,4cos α)，若a ⊥b ，则sin 4()3απ+=A ．4-B ．14-C ．4D ．146，则sin β= A ．0C7A B CD 8．已知α为锐角，若，则sin α=ABC D 9．若()()sin 603cos 90θθ+︒=︒-，则tan θ=__________．10．在斜三角形ABC 中，tan tan tan tan 1A B A B ++=，则C ∠=_____________.11．已知函数，若为函数()f x 的一个零点，则0cos2x =__________．12（1）求sin2β的值；（213．已知函数.（1）求的最小正周期和最值；（2）设是第一象限角，且求的值.1．（2016年高考新课标Ⅱ卷）若cos(4π−α)=53，则sin 2α= A ．725B ．15C ．−15D ．−7252．（2016年高考新课标Ⅲ卷）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= A ．6425B ．4825C ．1D ．16253．（2017年高考北京卷）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________. 4．（2017年高考江苏卷）若π1tan(),46α-=则tan α=___________.5．（2016年高考四川卷）cos 2π8–sin 2π8= . 6．（2016年高考浙江卷）已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，则A =______，b =________．1．【答案】−2sin42．【答案】C【解析】由()sin47sin 3017sin30cos17sin17cos30︒=︒+︒=︒︒+︒︒知，原式3．【答案】（1（2【解析】（1）由1cos ,072ααπ=<<（2）由0βαπ<<<，得0.2αβπ<-<由)(βααβ--=得)](cos[cos βααβ--=.3βπ∴=4．【答案】D5．【答案】（1）π；（2）f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是1，最小值是12-.【解析】f (x )=1cos ,2x ⎛⎫-⎪⎝⎭x ，cos 2x )cos x sin x −12cos 2x=2sin 2x −12cos 2x =ππcossin 2sin cos 266x x -=πsin 26x ⎛⎫-⎪⎝⎭. （1）f (x )的最小正周期为2π2ππ2T ω===，即函数f (x )的最小正周期为π.（2）∵0≤x ≤π2，∴ππ5π2666x -≤-≤.由正弦函数的性质，当ππ262x -=，即π3x =时，f (x )取得最大值1. 当ππ266x -=-，即x =0时，f (0)=12-，当π52π66x -=，即π2x =时，π122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴f (x )的最小值为12-. 因此，f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是1，最小值是12-.1．【答案】A2．【答案】C 【解析】由题意得，两边同时平方得故选C. 3．【答案】B【解析】因为锐角,αβ，所以因为()0,παβ+∈，所以 B. 4．【答案】B【解析】根据三角函数的基本关系可 得,,因为，，所以，所以（舍）或，得，故选B.5．【答案】B6．【答案】B，0⨯=，不合题意，舍去；，525=，应选B. 7．【答案】DD. 8．【答案】C【解析】∵α为锐角且 则，故本题选C.9．10．【解析】在ABC△ 中，tan tan tan tan 1A B A B ++⋅=，则t a n t a n 1A B A B+=-⋅0πC <<11．【答案】3512．【答案】（1（2【解析】（1（2【名师点睛】在三角化简求值类题目中，常常考“给值求值”的问题，遇见这类题目一般的方法是配凑角：即将要求的式子通过配凑，得到与已知角的关系，进而用两角和与差的公式展开求值即可.13．【答案】（1）的最小正周期是，最大值为，最小值为；（2）.【解析】（1）.的最小正周期是，最大值为，最小值为. （2），则，即，又为第一象限的角，则，.1．【答案】D【解析】2237cos22cos12144525αα⎡π⎤π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又cos2cos2sin242ααα⎡π⎤π⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以7sin225α=-，故选D.【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．2．【答案】A【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．3．【答案】79- 【解析】因为α和β关于y 轴对称，所以π2π,k k αβ+=+∈Z ，那么1sin sin 3βα==，cos cos αβ=-=（或cos cos βα=-=）， 所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-. 【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β的终边关于y 轴对称，则π2π,k k αβ+=+∈Z ，若α与β的终边关于x 轴对称，则2π,k k αβ+=∈Z ，若α与β的终边关于原点对称，则π2π,k k αβ-=+∈Z .4．【答案】75【解析】11tan()tan 7644tan tan[()]14451tan()tan 1446ααααππ+-+ππ=-+===ππ---．故答案为75． 【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角．5．【答案】2【名师点睛】本题也可以看作来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有许多三角函数的求值问题都是通过三角函数公式把一般的三角函数求值转化为特殊角的三角函数求值而得解．6．，1【解析】22cos sin 2)14x x x π+=++，所以 1.A b ==【思路点睛】解答本题时先用降幂公式化简2cos x ，再用辅助角公式化简cos2sin 21x x ++，进而对照()sin Αx b ωϕ++可得Α和b 的值．。
专题09 三角恒等变换与解三角形命题猜想-2018年高考数
【考向解读】正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，1.和差角公式、二倍角公式是高考的热点，常与三角函数式的求值、化简交汇命题．既有选择题、填空题，又有解答题，难度适中，主要考查公式的灵活运用及三角恒等变换能力．2.预测高考仍将以和差角公式及二倍角公式为主要考点，复习时应引起足够的重视．3.边和角的计算；4.三角形形状的判断；5.面积的计算；6.有关的范围问题．【命题热点突破一】三角恒等变换例1、【2017山东，文7】函数2cos2y x x =+ 最小正周期为 A.π2 B. 2π3C.πD. 2π 【答案】C【解析】因为π2cos 22sin 23y x x x ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭,所以其周期2ππ2T ==,故选C 【变式探究】(1)(2016·高考全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.∴θ＝α－π4，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α.如图，不妨设在Rt△ACB 中，∠A ＝α，由sin α＝35可得，BC ＝3，AB ＝5，AC ＝4，∴∠B ＝π2－α，∴tan B ＝43，∴tan B ＝－43..答案：－43(2)若tan α＞0，则( )A ．sin α＞0B ．cos α＞0C ．sin 2α＞0D ．cos 2α＞0答案：C【感悟提升】 解决三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的．在三角函数问题中变换的基本方向有两个：一个是变换函数名称，一个是变换角的形式．变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数的基本关系等；变换角的形式可以使用两角和、差的三角函数公式、倍角公式，对角进行代数形式的变换等．【变式探究】 (1)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝14，那么cos 2α＝________．(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－4 35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3等于( )A ．－45B ．－35 C.45 D.35【答案】（1）－78（2）A【命题热点突破二】 正、余弦定理例2、【2017课标3，文15】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C =60°，b c =3，则A =_________.【答案】75°【解析】由题意：sin sin b cB C=，即s i n 2sin 3b C B c===，结合b c < 可得45B = ，则18075A B C =--=.【变式探究】【2016高考山东文数】（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A BA B B A+=+ （Ⅰ）证明：a +b =2c ; （Ⅱ）求cos C 的最小值. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）12【解析】（Ⅰ）由题意知sin sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos A B A BA B A B A B+=+（）， 化简得()2sin cos sin cos sin sin A B B A A B +=+， 即()2sin sin sin A B A B +=+. 因为A B C ++=π,所以()()sin sin sin A B C C +=π-=. 从而sin sin =2sin A B C +. 由正弦定理得2a b c +=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知2a bc +=, 所以 2222222cos 22a b a b a b cC abab++-+-==（）311842b a a b =+-≥（），当且仅当a b =时，等号成立. . 故 cos C 的最小值为12. 【感悟提升】 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．求三角形中的角，关键是利用正弦定理或余弦定理求出某角的正弦值或余弦值，再根据角的范围求出对应的角的大小．解题时要注意利用三角形内角和定理，即A ＋B ＋C ＝π.【答案】 23π【变式探究】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且csin B ＝bcos C ＝3. (1)求b ；(2)若△ABC 的面积为212，求c.【解析】解：（1）由正弦定理得sin Csin B ＝sin Bcos C ，又sin B≠0，所以sin C ＝cos C ，所以C ＝45°. 因为bcos C ＝3，所以b ＝3 2.（2）因为△ABC 的面积S ＝12acsin B ＝212，且csin B ＝3，所以a ＝7.又c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ＝25，所以c ＝5.【感悟提升】 求解三角形的边和面积的关键是利用正、余弦定理求出相关角度和边长．正弦定理揭示了三角形三边和其对角的正弦的比例关系，余弦定理揭示了三角形的三边和其中一个内角的余弦之间的关系．正弦定理可以使各边的比值和各个内角的正弦的比值相互转化．只要知道了三角形三边之间的比例关系即可利用余弦定理求出三角形的内角．【命题热点突破三】 正、余弦定理的实际应用例3、【2017课标1，文11】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。
高考数学历年(2018-2022)真题按知识点分类(三角恒等变换)练习(附答案)
高考数学历年（2018-2022）真题按知识点分类（三角恒等变换）练习一、单选题1．（2022ꞏ北京ꞏ统考高考真题）已知函数22()cos sin f x x x =-，则（ ）A ．()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增2．（2022ꞏ北京ꞏ统考高考真题）在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（ ）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-3．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）若sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()tan 1αβ-=B ．()tan 1αβ+=C ．()tan 1αβ-=-D ．()tan 1αβ+=-4．（2021ꞏ北京ꞏ统考高考真题）函数()cos cos 2f x x x =-是 A ．奇函数，且最大值为2B ．偶函数，且最大值为2C ．奇函数，且最大值为98D ．偶函数，且最大值为985．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）22π5πcoscos 1212-=（ ）A ．12B C D 6．（2021ꞏ浙江ꞏ统考高考真题）已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．（2021ꞏ全国ꞏ高考真题）若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则tan α=（ ）A ．15B C D 8．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45A C B ∠'''=︒，60A B C ''∠'=︒．由C 点测得B 点的仰角为15︒，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45︒，则A ，C 两点到水平面A B C '''的高度差AA CC ''- 1.732≈）（ ）A ．346B ．373C ．446D ．4739．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（ ）A ．3πB ．3π和2C ．6πD ．6π和210．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ ）A ．65-B ．25-C ．25D ．6511．（2020ꞏ山东ꞏ统考高考真题）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222sin a b c ab C +=+，且sin cos +a B C sin cos 2c B A =，则tan A 等于（ ） A ．3B ．13-C ．3或13- D ．-3或1312．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）若1sin 3α=，则cos2α= A ．89B ．79 C ．79-D ．89-13．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）函数()2tan 1tan xf x x=+的最小正周期为A ．4πB ．2πC ．πD ．2π14．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为415．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos23α=，则a b -= A ．15B．5C．5D ．116．（2019ꞏ全国ꞏ高考真题）已知α ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A ．15BCD二、多选题17．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（ ） AB ．32C．2 D．218．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，()1,0A ，则（ ）A ．12OP OP =B ．12AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅三、填空题19．（2022ꞏ浙江ꞏ统考高考真题）若3sin sin 2παβαβ-=+=，则sin α=__________，cos 2β=_________．20．（2020ꞏ北京ꞏ统考高考真题）若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．21．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）已知51tan 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=__________． 22．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+__________．23．（2019ꞏ江苏ꞏ高考真题）已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是_____.四、解答题24．（2022ꞏ天津ꞏ统考高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知12,cos 4a b c A ===-.(1)求c 的值； (2)求sin B 的值； (3)求sin(2)A B -的值.25．（2022ꞏ北京ꞏ统考高考真题）在ABC 中，sin 2C C =． (1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为ABC 的周长．26．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-．(1)若2A B =，求C ； (2)证明：2222a b c =+27．（2021ꞏ天津ꞏ统考高考真题）在ABC ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 2A B C =b =． （I ）求a 的值； （II ）求cos C 的值；（III ）求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．28．（2021ꞏ浙江ꞏ统考高考真题）设函数()sin cos (R)f x x x x =+∈.（1）求函数22y fx π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的最小正周期；（2）求函数()4y f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.29．（2020ꞏ浙江ꞏ统考高考真题）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 0b A =． （I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．30．（2018ꞏ北京ꞏ高考真题）在ABC 中，17,8,cos 7a b B ===-．（1）求A ∠； （2）求AC 边上的高．31．（2018ꞏ浙江ꞏ高考真题）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455--，）． （Ⅰ）求sin （α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值．32．（2018ꞏ北京ꞏ高考真题）已知函数()2sin cos f x x x x =.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()f x 在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，求m 的最小值.33．（2018ꞏ江苏ꞏ高考真题）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=（1）求cos 2α的值；（2）求tan()αβ-的值．34．（2019ꞏ江苏ꞏ高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b=，求sin(2B π+的值．35．（2019ꞏ全国ꞏ高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-． （1）求A ；（22b c +=，求sin C ．36．（2019ꞏ全国ꞏ统考高考真题）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sinsin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围． 37．（2019ꞏ北京ꞏ高考真题）在△ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =12-．（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin （B –C ）的值．38．（2019ꞏ天津ꞏ高考真题） 在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.五、双空题39．（2022ꞏ北京ꞏ统考高考真题）若函数()sin f x A x x =的一个零点为3π，则A =________；12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭________．参考答案1．C【要点分析】化简得出()cos 2f x x =，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【过程详解】因为()22cos sin cos 2f x x x x =-=.对于A 选项，当26x ππ-<<-时，23x ππ-<<-，则()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，A 错； 对于B 选项，当412x ππ-<<时，226x ππ-<<，则()f x 在,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，B 错；对于C 选项，当03x π<<时，2023x π<<，则()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，C 对；对于D 选项，当7412x ππ<<时，7226x ππ<<，则()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，D 错. 故选：C.2．D【要点分析】依题意建立平面直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，表示出PA ，PB，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【过程详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C ，()3,0A ，()0,4B ，因为1PC =，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动， 设()cos ,sin P θθ，[]0,2θπ∈，所以()3cos ,sin PA θθ=-- ，()cos ,4sin PB θθ=-- ， 所以()()()()cos 3cos 4sin sin PA PB θθθθ⋅=-⨯-+-⨯-22cos 3cos 4sin sin θθθθ=--+13cos 4sin θθ=--()15sin θϕ=-+，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以()415sin 6θϕ-≤-+≤，即[]4,6PA PB ⋅∈-； 故选：D3．C【要点分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解. 【过程详解】[方法一]：直接法由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++-=-, 即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ-++=， 即：()()sin cos 0αβαβ-+-= 所以()tan 1αβ-=- 故选：C[方法二]：特殊值排除法解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取=2πα，排除A, B ；再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β=4π，排除D ；选C.[方法三]：三角恒等变换sin()cos()]44cos sin sin 444ππαβαβαβαβπππαβαβαβ+++=++++=++=+（（）（）（）（）cos sin 44ππαβαβ+=+（）（） sin cos cos sin =044ππαβαβ+-+（（）即sin =04παβ+-（）sin =sin cos cos sin =sin =044422πππαβαβαβαβαβ∴-+-+--+-（）（）（）（）（）sin =cos αβαβαβ∴----（）（）即tan(）=-1, 故选：C. 4．D【要点分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【过程详解】由题意，()()()()cos cos 2cos cos 2f x x x x x f x -=---=-=，所以该函数为偶函数，又2219()cos cos 22cos cos 12cos 48f x x x x x x ⎛⎫=-=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以当1cos 4x =时，()f x 取最大值98. 故选：D. 5．D【要点分析】由题意结合诱导公式可得22225cos cos cos sin 12121212ππππ-=-，再由二倍角公式即可得解.【过程详解】由题意，2222225coscos cos cos cos sin 1212122121212πππππππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭cos26π==. 故选：D. 6．C【要点分析】利用基本不等式或排序不等式得3sin cos sin cos sin cos 2αββγγα++≤，从而可判断三个代数式不可能均大于12，再结合特例可得三式中大于12的个数的最大值. 【过程详解】法1：由基本不等式有22sin cos sin cos 2αβαβ+≤，同理22sin cos sin cos 2βγβγ+≤，22sin cos sin cos 2γαγα+≤，故3sin cos sin cos sin cos 2αββγγα++≤， 故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12.取6πα=，3πβ=，4πγ=，则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 4222αββγγα=<=>=>， 故三式中大于12的个数的最大值为2， 故选：C.法2：不妨设αβγ<<，则cos cos cos ,sin sin sin αβγαβγ>><<， 由排列不等式可得：sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos αββγγααγββγα++≤++，而()13sin cos sin cos sin cos sin sin 222αγββγαγαβ++=++≤，故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12. 取6πα=，3πβ=，4πγ=，则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 424242αββγγα=<=>=>， 故三式中大于12的个数的最大值为2， 故选：C.【名师点睛】思路要点分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向. 7．A【要点分析】由二倍角公式可得2sin 22sin cos tan 2cos 212sin αααααα==-，再结合已知可求得1sin 4α=，利用同角三角函数的基本关系即可求解. 【过程详解】cos tan 22sin ααα=-2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===--， 0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=--，解得1sin 4α=，cos α∴==sin tan cos ααα∴==故选：A.【名师点睛】关键名师点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin α.8．B【要点分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得''A B ，进而得到答案．【过程详解】过C 作'CH BB ⊥，过B 作'BD AA ⊥，故()''''''100100AA CC AA BB BH AA BB AD -=--=-+=+， 由题，易知ADB 为等腰直角三角形，所以AD DB =． 所以''100''100AA CC DB A B -=+=+． 因为15BCH ∠=︒，所以100''tan15CH C B ==︒在'''A B C 中，由正弦定理得：''''100100sin 45sin 75tan15cos15sin15A B C B ===︒︒︒︒︒，而sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 30︒=︒-︒=︒︒-︒︒=，所以1004''1)273A B ⨯==+≈，所以''''100373AA CC A B -=+≈． 故选：B ．【名师点睛】本题关键点在于如何正确将''AA CC -的长度通过作辅助线的方式转化为''100A B +．9．C【要点分析】利用辅助角公式化简()f x ，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.【过程详解】由题，()sincos 3s 33334x x x x f x x π=+=⎛+⎫⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2613T pp ==故选：C ． 10．C【要点分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(221sin cos θθ=+)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan 2θ=-即可得到结果． 【过程详解】将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++ ()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++．故选：C ．【名师点睛】易错名师点睛：本题如果利用tan 2θ=-，求出sin ,cos θθ的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论． 11．A【要点分析】利用余弦定理求出tan 2C =，并进一步判断4C π>，由正弦定理可得sin()sin A C B +=⇒=，最后利用两角和的正切公式，即可得到答案； 【过程详解】 222sin cos tan 222a b c C C C ab +-==⇒=，4C π∴>， 2sin sin sin a b cR A B C===，sin sin cos sin sin cos sin 2A B C C B A B ∴⋅⋅+⋅⋅=，sin()sin 22A CB ∴+=⇒=，4B π∴=， tan 1B ∴=，∴tan tan tan tan()31tan tan B CA B C B C+=-+=-=-⋅，故选：A.12．B【过程详解】要点分析：由公式2cos2α12sin α=-可得结果.过程详解：227 cos2α12199sin α=-=-= 故选B.名师点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题. 13．C【过程详解】要点分析:将函数()2f 1tanxtan xx =+进行化简即可过程详解：由已知得()221f sin2,1221(sinxtanx cosx sinxcosx x x k k Z sinx tan x c x osxππ⎛⎫====≠+∈ ⎪+⎝⎭+ ()f x 的最小正周期2T π2π== 故选C.名师点睛：本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题 14．B【要点分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为()35cos222f x x =+，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项. 【过程详解】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+， 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==， 且最大值为()max 35422f x =+=，故选B. 【名师点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果. 15．B【要点分析】首先根据两点都在角的终边上，得到2b a =，利用2cos23α=，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得215a =，从而得到5a =，再结合2b a =，从而得到2a b a a -=-=. 【过程详解】由,,O A B 三点共线，从而得到2b a =，因为222cos22cos 1213αα⎛⎫=-=⋅-=，解得215a =，即5a =，所以2a b a a -=-=B. 【名师点睛】该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果. 16．B【要点分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．【过程详解】2sin 2cos 21α=α+ ，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭．sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，sin α∴=B ． 【名师点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉． 17．AC【要点分析】依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到23b a =或2a b =，即可得解，注意就,M N 在双支上还是在单支上分类讨论.【过程详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用情况一M 、N 在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为B ，所以1OB F N ⊥，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的左支， OB a =，1OF c =， 1FB b =，设12F NF α∠=，由即3cos 5α=，则4sin 5α=， 235NA NF 22a a ==， 21NF NF 2a -=532222a a b a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，2b e a =∴=， 选A 情况二若M 、N 在双曲线的两支，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支， 所以OB a =，1OF c =， 1FB b =，设12F NF α∠=， 由123cos 5F NF ∠=，即3cos 5α=，则4sin 5α=， 235NA NF 22a a ==， 12NF NF 2a -= 352222a b a a +-=， 所以23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率c e a ===选C[方法二]：答案回代法A e 2=选项 特值双曲线())22121,F ,F 4x y -=∴，过1F 且与圆相切的一条直线为(y 2x =，两交点都在左支,N ⎛∴ ⎝，2112NF 5,NF 1,FF ∴===， 则123cos 5F NF ∠=，C e 2=选项特值双曲线())2212x y 1,F ,F 49-=∴，过1F 且与圆相切的一条直线为(2y x 3=+，两交点在左右两支，N 在右支，N ∴，2112NF 5,NF 9,FF ∴===， 则123cos 5F NF ∠=， [方法三]：依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ， 若,M N 分别在左右支， 因为1OG NF ⊥，且123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支， 又OG a =，1OF c =，1GF b =， 设12F NF α∠=，21F F N β∠=， 在12F NF △中，有()212sin sin sin NF NF cβαβα==+，故()122sin sin sin NF NF cαββα-=+-即()sin sin sin a c αββα=+-，所以sin cos cos sin sin sin a cαβαββα=+-，而3cos 5α=，sin ac β=，cos b c β=，故4sin 5α=，代入整理得到23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率2c e a ===若,M N 均在左支上，同理有()212sin sin sin NF NF c βαβα==+，其中β为钝角，故cos bc β=-， 故()212sin sin sin NF NF c βαβα-=-+即sin sin cos cos sin sin a cβαβαβα=--，代入3cos 5α=，sin a c β=，4sin 5α=，整理得到：1424a b a =+，故2a b =，故e == 故选：AC. 18．AC【要点分析】A 、B 写出1OP ，2OP 、1AP uuur ，2AP uuu r 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【过程详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=- ，所以1||1OP == ，2||1OP = ，故12||||OP OP = ，正确； B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=-- ，所以1||2|sin |2AP α=====，同理2||2|sin |2AP β== ，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+ ，正确； D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯= ，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC19．45【要点分析】先通过诱导公式变形，得到α的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出α，接下来再求β． 【过程详解】[方法一]：利用辅助角公式处理∵2παβ+=，∴sin cos βα=，即3sin cos αα-=cos 1010αα⎫-=⎪⎪⎭，令sin θ=cos θ=，()αθ-=∴22k k Z παθπ-=+∈，，即22k παθπ=++，∴sin sin 2cos 210k παθπθ⎛⎫=++==⎪⎝⎭， 则224cos 22cos 12sin 15ββα=-=-=.；45. [方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程∵2παβ+=，∴sin cos βα=，即3sin cos αα-=又22sin cos 1αα+=，将cos 3sin αα=210sin 90αα-+=，解得sin α=， 则224cos 22cos 12sin 15ββα=-=-=.故答案为：10；45. 20．2π（2,2k k Z ππ+∈均可）【要点分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得()()f x x θ=+2=，即可解出.【过程详解】因为()()()cos sin sin 1cos f x x x x ϕϕθ=++=+，2=，解得sin 1ϕ=，故可取2ϕπ=. 故答案为：2π（2,2k k Z ππ+∈均可）.【名师点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.21．32【要点分析】方法一：利用两角差的正切公式展开，解方程可得3tan 2α=. 【过程详解】［方法一］：直接使用两角差的正切公式展开因为5tantan tan 1444ππππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，所以5tan tan5tan 114tan 541tan 51tan tan 4παπααπαα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+，解之得3tan 2α=． 故答案为：32． ［方法二］：整体思想＋两角和的正切公式551tan tan 1553445tan tan 15544211tan tan 544ππαππααππα⎛⎫-++ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=-+=== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦--- ⎪⎝⎭． 故答案为：32． ［方法三］：换元法＋两角和的正切公式令54πθα=-，则1tan 5θ=，且54παθ=+．151tan tan5354tan tan 51421tan tan 145πθπαθπθ++⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭--． 故答案为：32． 【整体点评】方法一：直接利用两角差的正切公式展开，解方程，思路直接； 方法二：利用整体思想利用两角和的正切公式求出；方法三：通过换元法结合两角和的正切公式求出，是给值求值问题的常用解决方式． 22．12-【要点分析】方法一：将两式平方相加即可解出． 【过程详解】［方法一］：【最优解】两式两边平方相加得22sin()1αβ++=，1in()s 2αβ+=-． ［方法二］： 利用方程思想直接解出sin 1cos ,cos sin αβαβ=-=-，两式两边平方相加得1cos 2β=，则1sin 2α=．又cos 2sin αβ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或cos 2sin αβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1in()s 2αβ+=-．［方法三］： 诱导公式＋二倍角公式由cos sin 0αβ+=，可得3sin cos sin 2πβαα⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，则322k πβπα=++或32()2k k πβππα⎛⎫=+-+∈ ⎪⎝⎭Z ．若32()2k k πβπα=++∈Z ，代入得sin cos 2sin 1αβα+==，即2131sin ,sin()sin 22cos22sin 1222k πααβπααα⎛⎫=+=++=-=-=- ⎪⎝⎭．若2()2k k πβπα=--∈Z ，代入得sin cos 0αβ+=，与题设矛盾．综上所述，1in()s 2αβ+=-． ［方法四］：平方关系＋诱导公式由2222cos sin (1sin )(cos )22sin 1ββααα+=-+-=-=，得1sin 2α=． 又sin 1cos tan tan tan cos sin 22αβββααβ-⎛⎫===-=- ⎪-⎝⎭，()2k k βαπ=-∈Z ，即22k απβ=-，则2()k k αβπα+=-∈Z ．从而1sin()sin(2)sin 2k αβπαα+=-=-=-．［方法五］：和差化积公式的应用由已知得1(sin cos )(cos sin )(sin 2sin 2)cos()2αβαβαβαβ++=++-sin()cos()cos()0αβαβαβ=+-+-=，则cos()0αβ-=或sin()1αβ+=-．若cos()0αβ-=，则()2k k παβπ-=+∈Z ，即()2k k παβπ=++∈Z ．当k 为偶数时，sin cos αβ=，由sin cos 1αβ+=，得1sin cos 2αβ==，又23cos sin 0,cos sin sin 4αβαββ+==-=-，所以131sin()sin cos cos sin 442αβαβαβ+=+=-=-．当k 为奇数时，sin cos αβ=-，得sin cos 0αβ+=，这与已知矛盾． 若sin()1αβ+=-，则2()2k k παβπ+=-∈Z ．则sin sin 2cos 2k παπββ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，得sin cos 0αβ+=，这与已知矛盾．综上所述，1in()s 2αβ+=-．【整体点评】方法一：结合两角和的正弦公式，将两式两边平方相加解出，是该题的最优解； 方法二：通过平方关系利用方程思想直接求出四个三角函数值，进而解出； 方法三：利用诱导公式寻求角度之间的关系，从而解出； 方法四：基本原理同方法三，只是寻找角度关系的方式不同；方法五：将两式相乘，利用和差化积公式找出角度关系，再一一验证即可解出，该法稍显麻烦．23．10. 【要点分析】由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可. 【过程详解】由()tan 1tan tan tan 2tan 1tan 13tan 1tan 4αααααπααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭， 得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-.sin 2sin 2cos cos 2sin 444πππααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭)22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎫+-=+⎪+⎝⎭222tan 1tan =2tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式222212=22110⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112133=210113⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上，sin 2410πα⎛⎫+=⎪⎝⎭ 【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.24．(1)1c =(2)sin 4B =(3)sin(2)A B -=【要点分析】（1）根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-以及2b c =解方程组即可求出； （2）由（1）可求出2b =，再根据正弦定理即可解出；（3）先根据二倍角公式求出sin 2,cos 2A A ，再根据两角差的正弦公式即可求出．【过程详解】（1）因为2222cos a b c bc A =+-，即22162b c bc =++，而2b c =，代入得22264c c c =++，解得：1c =．（2）由（1）可求出2b =，而0πA <<，所以sin A ==sin sin a b A B =，所以2sin sinb AB a===（3）因为1cos 4A =-，所以ππ2A <<，故π02B <<，又sin A == 所以1sin 22sin cos 2448A A A ⎛⎫==⨯-⨯=- ⎪⎝⎭，217cos 22cos 121168A A =-=⨯-=-，而sin B =cos B ==故7sin(2)sin 2cos cos 2sin 8A B A B A B ⎛-=-=+= ⎝⎭． 25．(1)6π(2)6+【要点分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cos C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值；（2）利用三角形的面积公式可求得a 的值，由余弦定理可求得c 的值，即可求得ABC 的周长.【过程详解】（1）解：因为()0,C π∈，则sin 0C >2sin cos C C C =，可得cos 2C =，因此，6C π=.（2）解：由三角形的面积公式可得13sin 22ABC S ab C a === a =由余弦定理可得2222cos 48362612c a b ab C =+-=+-⨯=，c ∴=所以，ABC 的周长为6a b c ++=. 26．(1)5π8； (2)证明见解析．【要点分析】（1）根据题意可得，()sin sin C C A =-，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．【过程详解】（1）由2A B =，()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()sin sin sin sin C B B C A =-，而π02B <<，所以()sin 0,1B ∈，即有()sin sin 0C C A =->，而0π,0πC C A <<<-<，显然C C A ≠-，所以，πC C A +-=，而2A B =，πA B C ++=，所以5π8C =． （2）由()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再由正弦定理可得， cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C -=-，然后根据余弦定理可知，()()()()22222222222211112222a cb bc a b c a a b c +--+-=+--+-，化简得： 2222a b c =+，故原等式成立．27．（I ）；（II ）34；（III ）116【要点分析】（I ）由正弦定理可得::2a b c = （II ）由余弦定理即可计算；（III ）利用二倍角公式求出2C 的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.【过程详解】（I ）因为sin :sin :sin 2A B C =::2a b c =b = 2ac ∴==；（II ）由余弦定理可得2223cos24a b c C ab +-===；（III ）3cos 4C = ，sin C ∴==，3sin 22sin cos 2448C C C ∴==⨯=，291cos 22cos 121168C C =-=⨯-=，所以sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭111828216=⨯-⨯=.28．（1）π；（2）12+. 【要点分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得1sin 2y x =-，再由三角函数最小正周期公式即可得解；（2）由三角恒等变换可得sin 242y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再由三角函数的图象与性质即可得解.【过程详解】（1）由辅助角公式得()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则2223332sin 1cos 21sin 22442y fx x x x x ππππ⎡⎤⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫ ⎪⎭⎦⎝， 所以该函数的最小正周期22T ππ==;（2）由题意，()2sin sin 444y f x f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22sin cos 22x x x x x x ⎛⎫=⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭1cos 2sin 22cos 2sin 22222242x x x x x π-⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭， 由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当242x ππ-=即38x π=时，函数取最大值12+.29．（I ）3B π=；（II ）13,22⎛⎤⎥ ⎝⎦ 【要点分析】（I ）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B 的大小；（II ）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A 的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cos cos cos A B C ++的取值范围.【过程详解】（I ） [方法一]：余弦定理由2sin b A =，得22223sin 24a A b b ⎫==⎪⎝⎭，即22231cos 4a A b -=.结合余弦定222cos 2b c a A bc+-=，∴2222223124b c a a bc b ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，即224442222222242223b c b c a b c b a c a a c ----++=， 即444222222220a b c a c a b b c +++--=， 即44422222222222a b c a c a b b c a c +++--=， 即()()22222a c b ac +-=，∵ABC 为锐角三角形，∴2220a c b +->，∴222a c b ac +-=，所以2221cos 22a c b B ac +-==，又B 为ABC 的一个内角，故3B π=.[方法二]【最优解】：正弦定理边化角由2sin b A =，结合正弦定理可得：2sin sin ,sin B A A B =∴=ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ） [方法一]：余弦定理基本不等式 因为3B π=，并利用余弦定理整理得222b a c ac =+-，即223()ac a c b =+-.结合22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，得2a c b +≤.由临界状态（不妨取2A π=）可知a cb+=而ABC为锐角三角形，所以a cb+>由余弦定理得2222221cos cos cos 222b c a a b c A B C bc ab+-+-++=++， 222b a c ac =+-，代入化简得1cos cos cos 12a c A B C b +⎛⎫++=+⎪⎝⎭故cos cos cos A B C ++的取值范围是13,22⎛⎤⎥ ⎝⎦.[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质结合(1)的结论有： 12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos 22A A A =-+11cos 22A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则sin 6A π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，13sin 622A π⎤⎛⎫++∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦. 即cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤⎥⎝⎦.【整体点评】（I ）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得222a c b ac +-=，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II ）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.30．（1）∠A =π3；（2）AC边上的高为2． 【要点分析】（1）方法一：先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠； （2）方法一：利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，即可解得AC 边上的高． 【过程详解】（1）［方法一］：平方关系＋正弦定理在ABC 中∵,1πcos ,,π,sin 727B B B ⎛⎫=-∴∈∴==⎪⎝⎭.由正弦定理得7ππsin ,π,0,,.sin sin sin 2223a b A B A A A B A π⎛⎫⎛⎫=⇒=∴=∈∴∈∴∠= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭［方法二］：余弦定理的应用由余弦定理知2222cos b a c ac B =+-．因为17,8,cos 7a b B ===-，代入上式可得3c =或5c =-（舍）．所以2221cos 22b c a A bc +-==，又(0,π)A ∈，所以π3A =． （2）［方法一］：两角和的正弦公式＋锐角三角函数的定义 在△ABC 中，∵sin sin()sin cos sin cos C A B A B B A =+=+=1172⎛⎫-+ ⎪⎝⎭14． 如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=7=， ∴AC边上的高为2．［方法二］：解直角三角形＋锐角三角函数的定义 如图1，由（1）得1cos 842AD AC A =∠=⨯=，则14737AB =-⨯=．作BE AC ⊥，垂足为E，则sin 3BE AB A =∠==AC［方法三］:等面积法由（1）得60A ∠=︒，易求CD =1，作CD AB ⊥，易得4=AD ，即3AB =．所以根据等积法有11sin 22AC BE AB AC A ⋅⋅=⋅⋅⋅，即3BE =所以AC 边上的高为2． 【整体点评】（1）方法一：已知两边及一边对角，利用正弦定理求出；方法二：已知两边及一边对角，先利用余弦定理求出第三边，再根据余弦定理求出角； （2）方法一：利用两角和的正弦公式求出第三个角，再根据锐角三角函数的定义求出； 方法二：利用初中平面几何知识，通过锐角三角函数定义解直角三角形求出； 方法三：利用初中平面几何知识，通过等面积法求出． 31．（Ⅰ）45；（Ⅱ）5665- 或1665. 【要点分析】要点分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得sin α，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得cos α，再根据同角三角函数关系得()cos αβ+，最后根据()βαβα=+-，利用两角差的余弦公式求结果.【过程详解】过程详解：（Ⅰ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得4sin 5α=-，所以()4sin πsin 5αα+=-=.（Ⅱ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得3cos 5α=-，由()5sin 13αβ+=得()12cos 13αβ+=±.由()βαβα=+-得()()cos cos cos sin sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16cos 65β=. 名师点睛：三角函数求值的两种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.32．（Ⅰ）π ；（Ⅱ）π3. 【要点分析】（I ）将()f x 化简整理成()sin()f x A x ωϕ=+的形式，利用公式2||T πω=可求最小正周期；（II ）根据[,]3x m π∈-，可求26x π-的范围，结合函数图象的性质，可得参数m 的取值范围.【过程详解】（Ⅰ）()1cos211π1cos2sin 22222262x f x x x x x -⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. （Ⅱ）由（Ⅰ）知()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.因为π,3x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π5ππ2,2666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦.要使得()f x 在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，即πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1.所以ππ262m -≥，即π3m ≥. 所以m 的最小值为π3. 名师点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负. 33．（1）725-；（2）211-【过程详解】要点分析：先根据同角三角函数关系得2cos α，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得tan 2α，再利用两角差的正切公式得结果. 过程详解：解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=， 因此，27cos22cos 125αα=-=-． （2）因为,αβ为锐角，所以()0,παβ+∈．又因为()cos 5αβ+=-，所以()sin 5αβ+==，因此()tan 2αβ+=-． 因为4tan 3α=，所以22tan 24tan21tan 7ααα==--，因此，()()()()tan2tan 2tan tan 21+tan2tan 11ααβαβααβααβ-+⎡⎤-=-+==-⎣⎦+． 名师点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.34．（1）c =（2）5. 【要点分析】(1)由题意结合余弦定理得到关于c 的方程，解方程可得边长c 的值； (2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得cos B 的值，然后由诱导公式可得sin()2B π+的值.【过程详解】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以3c =. （2）因为sin cos 2A Ba b=， 由正弦定理sin sin a bA B =，得cos sin 2B B bb =，所以cos 2sin B B =.从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos 5B =.因此πsin cos 25B B ⎛⎫+==⎪⎝⎭【名师点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.35．（1）3A π=；（2）sin C 【要点分析】（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：222b c a bc +-=，从而可整理出cos A ，根据()0,A π∈可求得结果；（2）[方法一]由题意利用正弦定理边化角，然后结合三角形内角和可得1sin cos 222C C -=，然后结合辅助角公式可得64ππC =+，据此由两角和差正余弦公式可得sin C =【过程详解】（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=-， 即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-=， 由正弦定理可得：222b c a bc +-=， 2221cos 22b c a A bc +-∴==，()0,A π∈ ，3A π∴=.（2）[方法一]正弦定理+两角和差正余弦由（1）知，23B C π+=2b c +=，2sin 2sin 3πA C C ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，1cos 22C C -=，即sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 又20,,,3662C C ππππ⎛⎫⎛⎫∈-∈- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以64C ππ-=，即64ππC =+，则sin sin 644ππC ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．[方法二]正弦定理+方程思想2b c +=，得sin 2sin B C A ==2sin 2C -， 代入22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-，得23sin 2sin sin 242C C C ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得24sin 10C C -+=，则sin 4C =．由sin 2sin 0B C =>，得sin 4C >，所以sin 4C =． [方法三]余弦定理令c t a =．由2,b c b c a =+>，得t >将2b c =代入222b c a bc +-=中，可得2230c a -+=，即2310t -+=，解得6t =或6t =（舍去）．所以sin sin c C t a A ===从而sin 4C =． [方法四]摄影定理因为2c b =+，所以1cos 45cos 6022c a b a b ︒=+=+︒， 由射影定理得()180456075C ∠=︒-︒+︒=︒，所以sin sin 75C ︒==【整体点评】方法一：首先由正弦定理边化角，然后由两角和差正余弦公式求解sin C 的值； 方法二：首先由正弦定理边化角，然后结合题意列方程，求解方程可得sin C 的值； 方法三：利用余弦定理求得ct a=的值，然后结合正弦定理可得sin C 的值； 方法四：利用摄影定理求得C ∠的值，然后由两角和差正余弦公式求解sin C 的值； 【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.36．(1) 3B π=;(2)()82. 【要点分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B 的三角方程，最后根据A,B,C 均为三角形内角解得3B π=.(2)根据三角形面积公式1sin 2ABC S ac B =⋅ ，又根据正弦定理和1c =得到ABC S 关于C 的函数，由于ABC 是锐角三角形，所以利用三个内角都小于2π来计算C 的定义域，最后求解()ABC S C 的值域.【过程详解】(1)[方法一]【最优解：利用三角形内角和为π结合正弦定理求角度】由三角形的内角和定理得222A C Bπ+=-，。
专题16 三角函数与三角恒等变换-2018年高考数学母题题源系列 Word版含解析
专题十六 三角函数与三角恒等变换【母题原题1】【2018浙江，18】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （）．（Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=，求cos β的值． 【答案】（Ⅰ） , （Ⅱ）或（Ⅱ）由角的终边过点得，由得.由得，所以或.点睛：三角函数求值的两种类型：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.【母题原题2】【2017浙江，18】已知函数()()22f x sin x cos x x R =--∈（I ）求2f 3π⎛⎫⎪⎝⎭的值 （II ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间. 【答案】（I ）2；（II ）()f x 的最小正周期是，2+k +k k 63Z ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.【解析】试题分析：本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识，同时考查运算求解能力.满分14分.（Ⅰ）由函数概念2222222sin cos cos 33333f πππππ⎛⎫=--⎪⎝⎭，计算可得；（Ⅱ）化简函数关系式得()sin y A x ωφ=+，结合2T πω=可得周期，利用正弦函数的性质求函数的单调递增区间．（Ⅱ）由22cos2cos sin x x x =-与sin22sin cos x x x =得()cos2f x x x =-．2sin 26x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．所以()f x 的最小正周期是． 由正弦函数的性质得3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 解得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以，()f x 的单调递增区间是2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，．【母题原题3】【2016浙江，文11理10】已知2cos 2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A ＞0)，则A=______，b=________． 【答案】，【解析】22cos sin 2)14x x x π+=++，所以 1.A b == 【考点】降幂公式，辅助角公式．【思路点睛】解答本题时先用降幂公式化简2cos x ，再用辅助角公式化简cos2sin 21x x ++，进而对照()sin Αx b ωϕ++可得和的值．【命题意图】考查三角函数的概念、三角公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质，考查数学式子变形能力、运算求解能力、数形结合思想及分析问题与解决问题的能力．【命题规律】近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与图象和性质结合考查，往往先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度仍然以中低档为主，重在对基础知识的考查，淡化特殊技巧，强调通解通法. 【答题模板】求解2017年一类问题，一般考虑： 第一步：化简三角函数式成为()sin y A x ωϕ=+的形式. 第二步：代入计算函数值.第三步：将x ωϕ+视为一个整体，利用正弦函数的性质，按要求运算求解. 【方法总结】1. 三角函数恒等变换要注意：（1）观察式子：主要看三点① 整体观察：整个表达式是以正余弦为主，还是正切（大多数情况是正余弦），确定后进行项的统一（有句老话：切割化弦）② 确定研究对象：是以作为角来变换，还是以的表达式（例如）看做一个角来进行变换.③ 式子是否齐次：看每一项（除了常数项）的系数是否一样（合角公式第二条：齐一次），若是同一个角（之前不是确定了研究对象了么）的齐二次式或是齐一次式，那么很有可能要使用合角公式，其结果成为()()sin f x A x ωϕ=+的形式.例如：齐二次式：2sin 2cos sin 2y x x x =-+，齐一次式：sin cos 6y x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭（2）向“同角齐次正余全”靠拢，能拆就拆，能降幂就降幂：常用到前面的公式221cos21cos2cos ,sin 22αααα+-==，2sin cos sin2ααα=（还有句老话：平方降幂） 2.三角函数式的化简要遵循“三看”原则（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式； （2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”； （3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.3.变换技巧：(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝)2()2(βαβα+-+.（3）化简技巧：切化弦、“1”的代换等 4.,,A ωϕ的常规求法： （1）：①对于()sin y A x ωϕ=+可通过观察在一个周期中所达到的波峰波谷（或值域）得到 ② 对于()sin y A x b ωϕ=++可通过一个周期中最大，最小值进行求解：max min2y y A -= （2）：由2Tπω=可得：只要确定了()sin y A x ωϕ=+的周期，即可立刻求出，而的值可根据对称轴（最值点）和对称中心（零点）的距离进行求解① 如果()sin y A x ωϕ=+相邻的两条对称轴为(),x a x b a b ==<，则()2T b a =- ② 如果()sin y A x ωϕ=+相邻的两个对称中心为()()(),0,,0a b a b <，则()2T b a =- ③ 如果()sin y A x ωϕ=+相邻的对称轴与对称中心分别为(),,0x a b =，则4T b a =- 注：在()sin y A x ωϕ=+中，对称轴与最值点等价，对称中心与零点等价.（3）：在图像或条件中不易直接看出的取值，通常可通过代入曲线上的点进行求解，要注意题目中对的限制范围1．【浙江省金华十校2018年4月高考模拟】在平面直角坐标系中，角 的顶点与原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边过点 ，则 __________，__________．【答案】02.【浙江省金华十校2018年4月高考模拟】已知函数，则函数的最小正周期__________，在区间上的值域为__________．【答案】【解析】函数的解析式：∴函数f(x)的最小正周期，∴当时,，当时,，但取不到.所以值域为.3．【2018届浙江省绍兴市5月调测】已知函数，则____，该函数的最小正周期为_____．【答案】 0【解析】分析：由题意首先化简函数的解析式，然后结合函数的解析式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得：. 则，函数的最小正周期为： .4．【2017届四川省成都嘉祥外国语学校4月月考】在平面直角坐标系xOy 中，若角的始边为轴的非负半轴，其终边经过点()2,4P . （1）求tan α的值；（2）求()22sin 2124cos απαπα-+-⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）2；（2）53. 【解析】试题分析：（1）直接根据任意角三角函数的定义求解即可．（2）利用诱导公式化解，“弦化切”的思想即可解决．试题解析：(1)由任意三角函数的定义可得：4tan 22α==. (2)()22sin 2cos 124απαπα-+-⎛⎫+ ⎪⎝⎭原式2sin cos 2tan 1415sin cos tan 1213αααααα+++====+++5．【2017届江苏省南京师范大学附属中学模拟二】已知角的终边上有一点()1,2p ， （1）求tan 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值；（2）求5sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值． 【答案】（1）3; （2）310+-【解析】【试题分析】（1）先依据正切函数的定义求出1tan tan1142tan ,tan 31241tan tan 142παπααπα++⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭--进而求得；（2）依据1tan 2α=求得sin αα==555sin 2sin2cos cos2sin 2sin cos 666πππααααα⎛⎛⎫+=+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭()21112cos 1?2212252α⎛⎛⎫+-=-+⋅-⋅ ⎪⎝⎭⎭310+=-．解：根据题意1tan ,sin 2ααα=== （1）1tan tan142tan 3141tan tan 142παπαπα++⎛⎫+=== ⎪⎝⎭--； （2）555sin 2sin2cos cos2sin 666πππααα⎛⎫++ ⎪⎝⎭2sin cos αα⎛= ⎝⎭()212cos 1?2α+-1122152⎛⎛⎫=+⋅-⋅ ⎪⎝⎭⎭= 6．【2018届江苏省盐城中学全仿真模拟】在平面直角坐标系 中，以 轴为始边作角 ，角的终边经过点 .(I)求 的值；(Ⅱ)求的值. 【答案】(1)；(2). 【解析】分析：（1）由于角其终边经过点 ，故，，再利用两角和与差的正余弦公式即可；(2).则，.7．【浙江省杭州市2016-2017学年高二下学期期末】设A是单位圆O和x轴正半轴的交点，P，Q是圆O上两点，O为坐标原点，∠AOP=π6，∠AOQ=α，α∈[0，π2]．（1）若Q34,55⎛⎫⎪⎝⎭，求cos（α﹣π6）的值；（2）设函数f（α）=sinα•（OP OQ⋅），求f（α）的值域．【答案】（1（2）3 0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：（1）由三角函数定义得34cos,sin55αα==，再根据两角差余弦公式得cos（α﹣π6）的值；（2）先根据向量数量积得31sin 2OP OQ αα⋅=+，再利用二倍角公式、配角公式得()1π1sin 2264f αα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最后根据正弦函数性质求值域试题解析：（1）由已知得34πππcos ,sin cos cos cos sin sin 55666ααααα⎛⎫==∴-=⋅+=⎪⎝⎭（2）()11π1sin sin sin 22264f ααααα⎫⎛⎫=+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()πππ5π30,2,0,26664f ααα⎡⎤⎡⎤⎤⎡∈∴-∈-∴∈⎦⎣⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦8．【2018届浙江省绍兴市3月模拟】已知函数. （Ⅰ）求 的最小正周期；（Ⅱ）若，且，求 的值. 【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）第（Ⅰ）问，直接化简函数，再利用三角函数的周期公式求解. (2)第（Ⅱ）问，先解方程得到 的值，再求 的值.试题解析：（Ⅰ）. 即. 所以 的最小正周期 .（Ⅱ）由，得，又因为， 所以，即.所以. 9.【2018届浙江省杭州市第二次检测】已知函数(Ⅰ）求 的最小正周期和最大值; (Ⅱ)求函数 的单调减区间【答案】（Ⅰ）最小正周期是，最大值是2．（Ⅱ），【解析】试题分析：利用两角和与差的余弦公式，二倍角的三角函数公式和辅助角公式化简，即可得到的最小正周期和最大值先求出，再求单调区间解析：（Ⅰ）因为＋＝－），所以＝＋）=-.所以函的最小正周期是，最大值是2．（Ⅱ）因为，所以单调递减区间为，10．【2018届浙江省温州市9月一模】已知函数．（1）求的值；（2）求的最小正周期及单调递增区间．【答案】（1）；（2），（）．【解析】试题分析：（1）将代入，由两角和的余弦公式结合特殊角的三角函数可得结果；（2）将展开与相乘后利用余弦的二倍角公式以及辅助角公式可得，根据周期公式可得的最小正周期，根据利用正弦函数的单调性，解不等式即可得到单调递增区间.试题解析：（1）．（2）．所以，的最小正周期为，当（）时，单调递增，即的单调递增区间为（）．11.【腾远2018年（浙江卷）红卷】已知函数.（1）求的值；（2）当 时，求函数 的取值范围.【答案】（1）1；（2） . 【解析】分析：（1）由三角恒等变换的公式化简得 ，即可求解 的值；（2）由（1）得 ，当 时，得 ，即可求解 的取值范围. 详解：（1），则 .（2）由（1）得 ， 当 时，，则 ， 即 的取值范围为 .12．【2018届浙江省宁波市高三上期末】已知函数()22sin cos 12sin f x x x x =+-. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)最大值，最小值为（Ⅱ）因为34x ππ-≤≤，所以5321244x πππ-≤+≤. 当242x ππ+=，即8x π=时， ()f x 取得最大值； 当52412x ππ+=-，即3x π=-时，()221sin cos 3332f x f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.即()f x 的最小值为。
专题09三角恒等变换与求值文含解析00
专题09 三角恒等变换与求值文2018年高考全景展示1.【2018年文北京卷】在平面坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O y始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是（）A. B. C. D.2．【2018年全国卷Ⅲ文】函数的最小正周期为（）A. B. C. D.3.【2018年新课标I 卷文】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则（）A. B. C. D.4．【2018年全国卷II 文】已知，则__________．5．【2018年浙江卷】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．6．【2018年文北京卷】已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值. 7．【2018年江苏卷】已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．2017年高考全景展示1.【2017课标3，文6】函数1ππ()sin()cos()536f x x x=++-的最大值为（）A．65B．1 C．35D．15 2.【2017课标3，文4】已知4sin cos3αα-=，则sin2α=（）A．79- B．29-C．29D．793. 【2017山东，文4】已知3cos4x=,则cos2x=（）A.14- B.14C.18- D.184.【2017江苏，5】若π1tan(),46α-=则tanα= .5.【2017课标1，文15】已知π(0)2a∈，，tan α=2，则πcos()4α-=__________．6.【2017北京，文16】已知函数())2sin cos3f x x-x xπ=-.（I）f(x)的最小正周期；（II）求证：当[,]44xππ∈-时，()12f x≥-．2016年高考全景展示1.【2016高考新课标2文数】函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为（ ） （A ）4 （B ）5（C ）6（D ）72.[2016高考新课标Ⅲ文数]若tan 13θ= ，则cos 2θ=（ ） （A ）45-（B ）15- （C ）15 （D ）453.【2016高考新课标1文数】已知θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,则tan(θ–π4)= . 4.【2016高考浙江文数】已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，则A =______，b =______．5.【2016高考四川文科】0750sin = .6.【2016高考北京文数】（本小题13分）已知函数)0(2cos cos sin 2)(>+=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π. （1）求ω的值；（2）求)(x f 的单调递增区间.。
专题15 三角恒等变换 -2018年全国2卷理科数学高考模拟题分类汇编
专题15三角恒等变换【母题原题1】【2018课标2卷理15题】已知，，则__________．【答案】【母题原题2】【2016课标II ，理9】若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=( ).A.725B.15C.15-D.725-【答案】D【解析】 因为π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭)3cos sin 5αα+=，所以cos sin αα+得，.1871+sin2sin22525αα=⇒=.故选D ．【命题意图】通过考查三角恒等变换公式等相关知识，考查转化思想和运算求解能力.【命题规律】 一般以小题的形式考查，主要从公式的变用、逆用以及角度的关系等角度，考查方程思想和运算求解能力【答题模板】解答本类题目,以2018年试题为例,一般考虑如下三步： 第一步：结合目标代数式和同角三角函数关系式分析； 第二步：将两个方程平方相加； 第三步：得结论。
【方法总结】1．深层次领悟公式的功能、规律与内涵对三角公式，知其结构特征仅是第一层面要求，重要的是要知晓公式的功能及揭示的规律与内涵． 如1±sin2α＝(sin α±cos α)2有并项的功能，cos2α＝cos 2α－sin 2α有升幂的功能，sin2α＝2sin αcos α有将角由大化小的功能，两角和与差的正切公式，揭示的是同名不同角的正切函数的关系等．2．余弦的差角公式是本节公式之源，掌握其证明过程以及和差倍半公式的推演方法是很必要的． 3．三角恒等证明分有条件的恒等证明和无条件的恒等证明．对于有条件的恒等证明，需要注意的问题有二：一是仔细观察等式两边结构上的联系与差异，探寻消除差异(函数的差异、角的差异)的方法；二是充分利用条件，特别是将条件变形整理后使用． 4．熟知一些恒等变换的技巧(1)公式的正用、逆用及变形用．(2)熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，α3是2α3的半角，α2是α4的倍角等．(3)在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，尤其要重视常数“1”的各种变形，例如：1＝tan π4，1＝sin 2α＋cos 2α等．(4)在进行三角函数化简、求值、恒等式证明时，常常采用切化弦、异名化同名、异角化同角、高次降低次的方法，达到由不统一转化到统一，消除差异的目的．总之，三角恒等变换说到底就是“四变”，即变角、变名、变式、变幂．通过对角的分拆，达到使角相同；通过转换函数，达到同名(最好使式中只含一个函数名)；通过对式子变形，达到化简(尽可能整式化、低次化、有理化)；通过幂的升降，达到幂的统一．1．【2019江西都昌县第一中调研】已知，则 （）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】，故选C.2．【2018福建省莆田第九中学模拟】若，则（ ）A ．B ．C ．D ． 0 【答案】C 【解析】.故答案为：C.3．已知，则（）A． B． C． D．【答案】B4．【2018黑龙江省哈尔滨师范大学附属中模拟】已知，则=（ )A． B． C． D．【答案】B【解析】分析：首先根据差角公式将题中所给的式子拆开，化简得到，之后将其平方，求得，利用正弦的倍角公式求得结果.详解：因为，所以，将式子两边平方得，所以，故选B.5．若，且，则（）A． B． C． D．【答案】C6．【江西师大附中2018届高三年级测试】已知，则（）A． B． C． D．或【答案】B【解析】分析：根据角的范围利用同角三角函数的基本关系求出cos（α）的值，再根据sinα=sin[（α）+]，利用两角差的正弦公式计算求得结果．详解：∵，，∴∈（，π），∴cos（）=﹣，或（舍）∴sinα=sin[（）+]=sin（）cos+cos（）sin=-=，故选：B．7．【湖北省华中师范大学第一附属中学2018届高三5月押题】已知，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】分析：利用余弦的二倍角公式可得，进而利用同角三角基本关系，使其除以，转化成正切，然后把的值代入即可．详解：由题意得.∵∴故选A.8．，则（）A． B． C． D．【答案】B9．【2018安徽省江南十校高三冲刺联考】为第三象限角，，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】分析：先由两角和的正切公式求出，再利用同角三角函数基本关系式进行求解．详解：由，得，由同角三角函数基本关系式，得，解得又因为为第三象限角，所以，则．10．的值为A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】11. 【河北省唐山市2017—2018学年度高三年级第三次模拟】已知，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】分析：利用“拆角”技巧可得，利用两角差的正切公式可得结果.详解：，，故选D.。
2018届高考数学专题3.2三角恒等变换同步单元双基双测B卷理
专题3.2 三角恒等变换（测试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1. 已知2cos 2sin (2sin 1)5ααα+-=，(,)2παπ∈，则tan()4πα+的值为（ ）A ．17B ．13C ．27D ．23【答案】A 【解析】考点：1、二倍角公式的应用；2、两角和的正切公式．2. 已知角βα，的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，),0(,πβα∈，角β的终边与单位圆交点的横坐标是135-，角βα+的终边与单位圆交点的纵坐标是35，则cos α的值为（ ） A ．5665-B ．513-C ．6556 D ．135【答案】C 【解析】试题分析：由题意可知135cos -=β，()53sin =+βα，因为),0(,πβα∈所以1312sin =β，()54cos -=+βα，所以()[]()()6556sin sin cos cos cos =+++=-+=ββαββαββαα.考点：三角函数的定义，和差角公式. 3. 已知α为锐角，若1sin 2cos 25αα+=-，则tan α=（ ） A ．3 B ．2 C ．12 D ．13【来源】【百强校】2017届河南省天一大联考高三上学期段测一数学（理）试卷（带解析） 【答案】A【解析】试题分析：22222222sin 2cos 22sin cos cos sin 2tan 1tan 1sin cos sin cos tan 15ααααααααααααα++-+-===-+++，解得tan 3α=.考点：三角恒等变换． 4. 在ABC ∆中，π4B =，则sin sin A C ⋅的最大值是（ ） A ．124+ B ．34 C ．22 D ．224+【答案】D 【解析】考点：三角函数的最值.5. 【2018河南林州一中调研】已知锐角θ满足2sin 263θπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，则5cos 6πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（） A. 19-4545 D. 19 【答案】C 【解析】02πθ<<， 024θπ∴<<，则562612πθππ<+<， 由2sin 263θπ⎛⎫+=⎪⎝⎭ 得： 5cos 26θπ⎛⎫+=⎪⎝⎭ 5cos cos sin 6233ππππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ sin262πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭25452sin cos 226263θπθπ⎛⎫⎛⎫-++=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.选C【点睛】本题考查有关三角函数求值问题，借助诱导公式、同角三角函数关系、和角、差角、二倍角三角函数公式进行求值.利用同角函数关系特别是平方关系求值时，要注意角的范围，开方时取的正负号，三角函数求值问题注意两个问题，一是角的关系，二是名的关系，本题抓住了二倍角的关系，利用二倍角的正弦公式，达到了求值的目的.6. 【2018河北武邑中学二调】下列式子结果为3的是（ ）①tan25tan353tan25tan35︒+︒+︒︒；②()2sin35cos25cos35cos65︒︒+︒︒；③1tan151tan15+︒-︒；④2tan61tan6ππ-.A. ①②B. ③C. ①②③D. ②③④ 【答案】C故选：Ｃ点睛：本题考查三角函数的恒等变换，根据式子的结构特点合理选择三角公式即可.7.已知31)6sin(=-απ，则)3(2cos απ+的值是（ ） A.97 B.31 C.31- D.97- 【答案】D. 【解析】 试题分析：∵1sin()63πα-=，∴27cos(2)cos[2()]12sin ()3669πππααα-=-=--=，∴27cos[2()]cos(2)cos[(2)]cos(2)33339ππππααπαα+=+=--=--=-． 考点：三角恒等变形.8. 若113sin cos αα+=，则sin cos αα=（ ） A ．13- B ．13 C ．13-或1 D ．13或-1【来源】【百强校】2017届浙江温州市普通高中高三8月模拟考试数学试卷（带解析） 【答案】A 【解析】考点：三角函数的同角关系．9.【2018吉林百校联盟联考】 已知7cos 3sin 26ππαα⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 12πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A. 423- B. 234 C. 443- D. 434 【答案】B【解析】由题意可得： sin 3sin 6παα⎛⎫-=-+⎪⎝⎭， 即： sin 3sin 12121212ππππαα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 结合两角和差正余弦公式有：sin cos cos sin 3sin cos 3cos sin 1212121212121212ππππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，整理可得： tantan46tan 2tan 2tan 22341212461tan tan46ππππππαππ-⎛⎫⎛⎫+=-=--=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+. 本题选择B 选项. 10. 已知()340,0,cos ,tan 2253a ππβαβα<<-<<-=-=，则sin β=（ ）A ．725 B ．725- C ．2425 D ．2425- 【答案】D 【解析】试题分析：因为sin 4tan cos 3ααα==，结合22sin cos 1αα+=及02πα<<，得43sin ,cos 55αα==，又2πβ-<<，所以()()()240,,sin 1cos 5αβπαβαβ-∈-=--=，所以()()()433424sin sin sin cos cos sin 555525βααβααβααβ⎛⎫=--=---=⨯--⨯=-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，故选D ． 考点：1、同角三角函数关系式；2、两角差的正弦公式. 11. 已知()20,,sin cos 324x x x πππ⎛⎫⎛⎫∈-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则tan x 等于 （ ） A ．12 B ．2- C ．22D ．2 【答案】D 【解析】考点：1、两角差的正弦公式；2、倍角公式；3、同角三角函数间的基本关系；4、诱导公式． 12. 设(0,),(0,)24ππαβ∈∈，且1sin 2tan cos 2βαβ+=，则下列结论中正确的是（ ） A. 24παβ-= B. 24παβ+=C. 4παβ-= D. 4παβ+=【答案】C 【解析】试题分析：由1sin 2tan cos 2βαβ+=可得222(cos sin )cos sin tan cos sin cos sin ββββαββββ++==--，即可得1tan tan tan()1tan 4βπαββ+==+-.由于(0,),(0,)444πππββ∈∴-∈.又(0,)2πα∈.由正切函数的单调性可得4παβ=+，即4παβ-=.故选C.考点：1.三角函数的恒等变形.2.三角函数的单调性. 二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．在ABC ∆中，若=+=C B C B A tan tan ,cos cos 2sin 则 。
【高三数学试题精选】2018届高考数学简单的三角恒等变换复习课件及试题
A105 B．－105
c．－155 D155
[答案] c
[解析]∵5π2θ3π，∴csθ0，∴csθ＝－15
∵5π4θ2 3π2，∴sinθ2 0，
又csθ＝1－2sin2θ2，∴sin2θ2＝1－csθ2＝35，
∴sinθ2＝－155
[答案]π2
[解析]∵α，β∈(0，π2)，sinα＝35，csβ＝35，
∴csα＝45，sinβ＝45，
∴cs(α＋β)＝csαcsβ－sinαsinβ＝45×35－35×45＝0，
∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π2
9．(2018海南五校联考)设函数f(x)＝sinx＋csx，f′(x)是f(x)的导数，若f(x)＝2f′(x)，则sin2x－sin2xcs2x＝________
＝3，故选c
4．在△ABc中，若sinAsinB＝cs2c2，则△ABc是( )
A．等边三角形
B．等腰三角形
c．直角三角形
D．既非等腰又非直角的三角形
[答案] B
[解析]∵sinAsinB＝cs2c2，
∴12[cs(A－B)－cs(A＋B)]＝12(1＋csc)，
∴cs(A－B)－cs(π－c)＝1＋csc，
6．(2018天津蓟县模拟)函数f(x)＝cs2x＋3sinxcsx在区间[－π4，π3]上的最大值为( )
A12 B1＋32
c．1 D32
[答案] D
[解析] f(x)＝1＋cs2x2＋32sin2x
＝sin2x＋π6＋12
∵－π4≤x≤π3，∴－π3≤2x＋π6≤5π6，
∴－32≤sin2x＋π6≤1，
∴c s(A－B)＝1，
高三数学-2018年全国各省市高考模拟数学试题汇编——三角解答题 精品
1．(2018年“天津耀华、东北育才、大连育明、哈尔滨三中”四校联考数学第17题，本题满分12分)已知定义在R 上的函数)0,0,0(cos sin )(>>>+=b a x b x a x f ωωω周期为.3)4(,2)(,=≤ππf x f（1）写出f (x )的表达式；（2）写出函数f (x )的单调递增区间；（3）说明f (x )的图象如何由函数y=2sin x 的图象经过变换得到.2．(2018年江苏省盐城市高三第三次调研考试数学第17题，本题满分12分)已知55,8,,011AC AB AD DB CD AB ===⋅=．（1）求AB AC -；（2）设∠BAC=θ，且已知cos(θ+x)= 4/5，4x ππ-<<-，求sinx ．3．(2018年山东省潍坊市高三统一考试数学第17题，本题满分12分)已知A 、B 、C 的坐标分别为A （3，0），B （0，3），C （ααsin ,cos ），).23,2(ππα∈（I ）若|,|||=求角α的值；（II ）若αααtan 12sin sin 2,12++-=⋅求BC AC 的值.4．（北京西城区2018年4月抽样测试——高三数学第16题，本题满分14分） 在△ABC 中，三个内角是A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，其中c =10，且.34cos cos ==a b B A （I ）求证：△ABC 是直角三角形；（II ）设圆O 过A 、B 、C 三点，点P 位于劣弧AC 上，∠PAB=60°.求四边形ABCP 的面积.5．（北京东城区2018年4月高三年级综合练习数学第16题，本题满分13分）在△ABC 中，若.sin sin )cos (cos sin B A B A C +=+（Ⅰ）求∠C 的度数；（Ⅱ）在△ABC 中，若角C 所对的边c=1，试求内切圆半径r 的取值范围.6．(2018年黄冈市高三模拟第18题)（本小题满分12分）已知△ABC 中， 三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若△ABC 的面积为S ，且2S=（a+b ）2－c 2，求tanC 的值。
【高三数学试题精选】简单的三角恒等变换复习试题(含解析2018高考数学一轮)
＝2cs 5°－sin 30°－5° sin 65°
＝2cs 5°－12cs 5°＋32sin 5°cs 25°
＝32sin 5°＋32cs 5°cs 25°
＝3 sin 30°sin 5°＋cs 30°cs 5° cs 25°
＝3cs 25°cs 25°＝3
及|a|＝|b|，得4sin2x＝1
又x∈0，π2，从而sin x＝12，
所以x＝π6
(2)f(x)＝a b＝3sin x cs x＋sin2x
＝32sin 2x－12cs 2x＋12
＝sin2x－π6＋12，
当x＝π3∈0，π2时，sin2x－π6取最大值1
所以f(x)的最大值为32
B组 能力突破
∵⊥(A→－n)，∴ (A→－n)＝0，
即2cs α＋(sin α＋5)＝0，①
又sin2α＋cs2α＝1，②
由①②联立方程解得
cs α＝－255，sin α＝－55，
∴A→＝－255，－55
(2)∵cs(β－π)＝210，∴cs β＝－210，
又∵0＜β＜π，
∴sin β＝7210，且π2＜β＜π
答案c
2．(教材改编)若sinθ＋π4＝a则csθ－π4等于
( )
A．－a B．a
c．1－a D．1＋a
解析csθ－π4＝csπ4－θ＝sinπ2－π4－θ
＝sinθ＋π4＝a
答案B
3．(2018 潍坊模拟)把函数＝sin x(x∈R)的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，再把所得图象点的横坐标伸长到原的2倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数为
答案3
4．(2018 汕头模拟)已知向量A→＝(cs α，sin α)(α∈[－π，0])，向量＝(2,1)，n＝(0，－5)，且⊥(A→－n)．
专题16 三角恒等变换-2018年江苏高考理科数学真题及相似题训练
专题16 三角恒等变换【母题原题1】【2018江苏，理16】已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=．（1）求cos 2α的值； （2）求tan()αβ-的值．分析：先根据同角三角函数关系得2cos α，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得tan 2α，再利用两角差的正切公式得结果.详解：点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 【母题原题2】【2016江苏，理15】在ABC △中，AC =6，4πcos .54B C ==， （1）求AB 的长；（2）求πcos(6A -)的值.【答案】（1） 【解析】【考点】同角三角函数的基本关系、正余弦定理、两角和与差的正余弦公式【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先应从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，同时应明确角的范围、开方时正负的取舍等.【母题原题3】【2015江苏，理15】在ABC ∆中，已知60,3,2===A AC AB . （1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值.【答案】（1（2【解析】【考点定位】余弦定理，二倍角公式【命题意图】 高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查三角函数的性质（周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值等），体现数形结合的思想，函数与方程的思想等的应用，均可能出现填空题与解答题中，难度中低档为主，主要有两种考查题型：（1）根据三角函数的解析式确定其性质；（2）根据三角函数的性质求相关的参数值（或取值范围）．【命题规律】三角函数式的化简与求值在客观题中进行考查通常可单独命题进行考查，试题难度中低档为主，小巧灵活，重视转化思想的应用；在解答题中，常常与三角函数的图象和性质结合、与正弦定理和余弦定理结合，以中档题为主，坚持以“能力立意”的命题趋势，主要考查考生的等价变换能力、运算求解能力、逻辑思维能力、转化的思想． 【方法总结】1. 同角三角函数的基本关系的基本功能就是转化功能，利用它可以使函数种类减少，次数降低，项数减少等，从而达到简化运算的目的．常用有五种转化途径：（1）正弦与余弦的互化；（2）、“1”和正弦、余弦平方和的互化，即“221sin cos θθ=+”；（3）化正弦、余弦为正切，即sin tan cos θθθ=；（4）化正切为正弦、余弦，即sin tan cos θθθ=；（5）正弦、余弦和（差）与积的互化，即()2sin cos 12sin cos θθθθ±=±． 2. 二倍角公式的正用、逆用、变形用是公式的种主要应用手段，特别是二倍角的余弦公式，其变形公式在求值与化简中有广泛的应用，在综合使用两角和与差、二倍角公式化简求值时，要注意以下几点：(1)熟练掌握公式的正用、逆用和变形使用；(2)擅于拆角、配角；(3)注意二倍角的相对性；(4)注意角的范围；(5)熟悉常用的方法和技巧，如切化弦、异名化同名、异角化同角等．掌握二倍角的两个特殊变式：（1）sin 2cos 22παα⎛⎫=-⎪⎝⎭＝22cos sin 44ππαα⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）cos 2sin 22sin cos 244πππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．1．【江苏省盐城中学2018届高三全仿真模拟检测数学试题】在平面直角坐标系中，以轴为始边作角，角的终边经过点.(I)求的值；(Ⅱ)求的值. 【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）由于角其终边经过点，故，，再利用两角和与差的正余弦公式即可； （2）直接利用公式即可. 解析：(1)由于角其终边经过点，点睛：三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立．使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系．2．【江苏省盐城中学2018届高三考前热身2数学试卷】已知向量，且共线，其中.（1）求的值；（2）若，，求的值.【答案】(1)-3.(2) .【解析】试题分析：（1）首先利用向量的坐标运算和向量共线的充要条件求出tanθ的值，进一步求出结果；（2）根据第一步的结论，利用三角函数关系式的恒等变换进一步求出tanΦ=1，再根据角的范围求出Φ的值.详解：（1）∵，∴，即∴（2）由（1）知，又，∴，∴∴，即，∴，即又，∴.点睛：本题考查的知识要点有向量的坐标运算，向量共线的充要条件，三角函数关系式的恒等变换利用已知条件求出函数的值．属于基础题型. 本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用．常用的3切互化公式有： sin2θ+cos2θ=1．常用的还有三姐妹的应用，一般，，这三者我们成为三姐妹，结合，可以知一求三.3．【江苏省扬州树人学校2018届高三模拟考试（四）数学试题】在中，角，，的对边分别为，，，已知，，．（1）求；（2）求的值．【答案】(1) .(2) .∴．点睛：（1）解三角形时要根据条件选择使用正弦定理还是余弦定理，求解过程中要注意三角形中有关知识的合理运用，如三角形内角和定理，三角形中的边角关系等．（2）解三角形经常和三角变换结合在一起考查，根据变换求值时要注意三角函数值的符号，再合理利用公式求解．4．【江苏省南京市2018届高三第三次模拟考试数学试题】在平面直角坐标系中，锐角的顶点为坐标原点,始边为轴的正半轴，终边与单位圆的交点分别为．已知点的横坐标为，点的纵坐标为．（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.又β为锐角，所以－＜2α－β＜，所以2α－β＝．点睛：（1）本题主要考查三角函数的坐标定义，考查同角的三角关系，考查三角恒等变换,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理计算能力.(2)第2问易错，再求得sin(2α－β) 后，容易错误地得到2α－β＝或研究三角问题，一定要注意角的问题，所以先要求出－＜2α－β＜，再得出2α－β＝．5．【江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研（二）数学试题】在△中，三个内角，，的对边分别为，设△的面积为，且.（1）求的大小；（2）设向量，，求的取值范围．【答案】(1) .(2) .点睛：本题在求的值域时，容易漏掉导致出错.始终要牢记一个原则，函数的问题，定义域优先.只要是处理函数的问题，必须注意定义域优先的原则.6．【江苏省无锡市2018届高三第一学期期末检测数学试卷】在中，角的对边分别为，，. （1）求的值； （2）若，求的周长. 【答案】（1）.（2）15.又，所以，.，.所以的周长为15.7．【江苏省南通、徐州、扬州等六市2018届高三第二次调研（二模）测试数学（文理）试题】在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin a αα=，， ()sin cos b ββ=-，， 122c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，． （1）若a b c +=，求()sin αβ-的值；（2）设5π6α=， 0πβ<<，且()//a b c +，求β的值． 【答案】(1) 12-；(2) π2β=.∴22a bc +=，即2221a a b b +⋅+=.∴()12sin 11αβ+-+=，即()1sin 2αβ-=-. （2）∵5π6α=∴31,2a ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭依题意， 1sin ,cos 2b c ββ⎛+=--+ ⎝⎭. ∵a // ()b c +∴3311cos sin 02222ββ⎛⎫⎛⎫-+---= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得， 11sin 22ββ=. ∴π1sin 32β⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ∵0πβ<< ∴ππ2π333β-<-<．∴ππ36β-=，即π2β=．8．【2018年5月2018届高三第三次全国大联考（江苏卷）-数学】设向量,,记． （1）求函数的单调递增区间；（2）求函数在上的值域． 【答案】(1)()．(2).9．【江苏省如皋市2017--2018学年度高三年级第一学期教学质量调研（三）数学（理）试题】在ABC ∆中， CA CB CA CB +=-.(1) 求角C 的大小；(2)若CD AB ⊥，垂足为D ，且4CD =，求ABC ∆面积的最小值.【答案】（1）2C π∠=（2）()min 16ABC S ∆= 【解析】试题分析：（1）由CA CBC A C B +=-，两边平方22CA CB CA CB +=-，整理可得0CA CB ⋅=，即CA CB ⊥，从而可得2C π∠=；（2）在直角ADC ∆与直角BDC ∆中中， 4sin sin CD AC A A== ， 4sin sin CD BC B B == ，从而可得114481622sin sin sin cos sin2ABC S CA CB A B A A A∆=⋅=⋅⋅==，根据三角函数的有界性可得ABC ∆面积的最小值.试题解析：（1）由CA CB CA CB +=-，两边平方22CA CB CA CB +=-，10．【江苏省兴化市楚水实验学校、黄桥中学、口岸中学三校2018届高三12月联考数学试题】已知向量()sin ,cos a αα= ， ()1,3b =， 2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，若a b ⊥， （1）求α的值；（2）若()3sin ,,562ππαββ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，求角β的大小．【答案】（1）23πα=；（2【解析】试题分析：（1）由a b ⊥，可得sin 0a b αα⋅==， 从而得sin tan cos ααα==，进而可得 23πα=；（2）由62ππβ<<且23πα=，可得62ππαβ<-<，可()4c o s 5αβ-=，根据。
2018届高考数学专题3.2三角恒等变换同步单元双基双测A卷理
专题3.2 三角恒等变换（测试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分） 1. )613sin(π-的值是（ ） A ．23 B ．23- C ．21 D ．21-【答案】D 【解析】试题分析：根据三角函数的诱导公式可知，131sin sin sin 6662πππ⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ． 考点：考查了三角函数的诱导公式．2. oooosin 20cos10cos160sin10- =( ) （A ）32-（B ）32（C ）12- （D ）12【答案】D【解析】原式=oooosin 20cos10cos 20sin10+ =osin 30=12，故选D. 【考点定位】三角函数求值. 3. 若1tan 3θ=，则cos 2θ= ( ) A.45-B. 15-C.15D.45【来源】【百强校】2017届广东省仲元中学高三9月月考数学（理）试卷（带解析）.doc 【答案】D考点：弦化切【思路点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”。
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等。
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 4. 【2018安徽马鞍山联考】已知()tan 4cos 2,22ππθπθθ⎛⎫-=-<⎪⎝⎭，则tan2θ=（ ）A. 157-B. 157C. 158-D. 158【答案】B本题选择B 选项.点睛：三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式sin tan cos x x x=化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)5. 已知2)4tan(=+πx ，则xx2tan tan 的值为（ ）A ．94B ．32C ．95D ．59【答案】A 【解析】试题分析：211tan tan 441213x x ππ⎡⎤-⎛⎫=+-== ⎪⎢⎥+⨯⎝⎭⎣⎦，22tan tan 21tan x x x =-，所以2tan 1tan 4tan 2x 29x x -==。
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2018年全国各地高考数学模拟试题《三角恒等变换》试题汇编（含答案解析）1．（2018•玉溪模拟）已知tan（α+）=﹣3，α∈（0，）．（1）求tanα的值；（2）求sin（2α﹣）的值．2．（2018春•岳阳楼区校级期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=2，B=2A．（Ⅰ）求cosA及边c的值；（Ⅱ）求cos（B﹣）的值．3．（2018•玉溪模拟）已知α∈（0，π）且cos（α﹣）=．求cosα4．（2018•北京模拟）已知函数f（x）=2sin（ax﹣）cos（ax﹣）+2cos2（ax﹣）（a＞0），且函数的最小正周期为．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．5．（2018•铁东区校级二模）已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（2）求函数f（x）在区间上的最值．6．（2018•江苏模拟）已知三点A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈（0，π）．若，求（1）cosα+sinα的值；（2）的值．7．（2018•河南一模）△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c．已知：（1﹣tanA）（1﹣tanB）=2．（1）求角C；（2）若b=2，c=4，求△ABC的面积S．△ABC8．（2018•通州区三模）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求证：当时，﹣1≤f（x）≤2．9．（2018•昌平区二模）已知函数．（I）求函数f（x）的最小正周期；（II）求函数f（x）在区间上的最值及相应的x值．10．（2018•亭湖区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，以ox轴为始边作角α，角的终边经过点P（﹣2，1）．（I）求cosα的值；（Ⅱ）求的值．11．（2018•河西区校级模拟）已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（Ⅱ）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性．12．（2018•商丘二模）在△ABC中，内角A，B，C所对一对的边分别为a，b，c，若sin（A+C）=2sinAcos（A+B），且C=．（Ⅰ）求证：a，b，2a成等比数列；（Ⅱ）若△ABC的面积是2，求c边的长．13．（2018•长安区二模）已知向量=（sinx，3cosx），=（3cosx，cosx），设函数f（x）=+．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和最值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间．14．（2018•兰州模拟）已知向量，函数．（1）求函数y=f（x）的图象对称轴的方程；（2）求函数f（x）在上的最大值和最小值．15．（2018•全国模拟）已知函数f（x）=sin（x+φ）+cos（x+φ）（0＜|φ|＜π）在[0，]上单调递增，且满足f（x）=f（﹣x）．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）若f（x0）=1，求sin（2x0﹣）的值．16．（2018•浉河区校级三模）已知向量=（，=（cosx，cosx），x∈R，设f（x）=．（1）求函数f（x）的解析式及单调递增区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a=1，b+c=2．f（A）=1，求△ABC的面积．17．（2018•江苏模拟）已知函数．（1）求f（x）的最小正周期和对称轴的方程；（2）求f（x）在区间上的最小值．18．（2018•南开区一模）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且2bcosC=2a+c．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若sin（）cos（）﹣sin2（）=，求cosC的值．19．（2018•大兴区一模）已知函数f（x）=sinx（cosx+sinx）﹣．（I）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）令g（x）=af（x）+b，x∈[，]，其中a＞0．若g（x）的值域为[2，5]，求a和b的值．20．（2018•杭州二模）已知函数f（x）=sin（x）+cos（x﹣）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）求函数y=f（﹣x）的单调减区间．21．（2018•海淀区校级模拟）已知函数（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在上的值域．22．（2018•上海模拟）已知y=cosx（1）若，且α∈[0，π]，求的值（2）求函数y=f（2x）﹣2f（x）的最小值23．（2018•铁东区校级一模）已知f（x）=sinx，，，，．（1）求的值．（2），求g（x）的值域．24．（2018•天津二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b ﹣c=1，cosA=，△ABC的面积为2．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．25．（2018•浦江县模拟）已知函数f（x）=cos2x﹣2sin2（x﹣α），其中0且f（）=﹣．（Ⅰ）求α的值；（Ⅱ）求f（x）的最小正周期和单调递减区间．26．（2018•四平模拟）已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）若存在满足[f（t）]2﹣2f（t）﹣m＞0，求实数m的取值范围．27．（2018•河西区三模）已知函数f（x）=2cos2x﹣cos（2x+）﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和对称轴方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）在[]上的单调性．28．（2018•天津一模）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，sinB=2sinA，cosC=．（Ⅰ）求c和sinA的值；（Ⅱ）求cos（2A）的值．29．（2018•红桥区一模）已知函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）+2cos2（x﹣）﹣1，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值及相应的x的值．30．（2018•丰台区一模）己知函数．（Ⅰ）求f（x）的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的单调递减区间．31．（2018•北辰区模拟）在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，a=3，求△ABC的面积．32．（2018•江苏二模）在平面直角坐标系xOy中，设向量，sinα），，cosβ），，．（1）若，求sin（α﹣β）的值；（2）设，0＜β＜π，且∥，求β的值．33．（2018•石景山区一模）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最小值和最大值．34．（2018•虹口区一模）已知函数，其中x∈R，ω＞0，且此函数的最小正周期等于π．（1）求ω的值，并写出此函数的单调递增区间；（2）求此函数在的最大值和最小值．35．（2018•北京模拟）已知函数f（x）=1﹣2sin2x（1）=；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．36．（2018•道里区校级一模）已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的值域；（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=，a=4，b+c=5，求△ABC的面积．37．（2018•海淀区一模）已知．（I）求的值；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．38．（2018•南京三模）在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q．已知点P的横坐标为，点Q的纵坐标为．（1）求cos2α的值；（2）求2α﹣β的值．39．（2018•顺义区一模）已知函数．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求f（x）在区间上的最大值．40．（2018•海淀区二模）已知函数f（x）=（Ⅰ）写y=f（x）的相邻两条对称轴的距离；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[0，a]上单调递增，求a的最大值．参考答案与试题解析1．【分析】（1）由题意利用两角和的正切公式求得tanα的值．（2）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式，求得sin（2α﹣）的值．【解答】解：（1）∵tan（α+）=﹣3，α∈（0，），∴tanα＞0，且=﹣3，求得tanα=2．（2）∵sin2α===，cos2α===﹣，∴sin（2α﹣）=sin2α•﹣cos2α•=+=．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式的应用，属于基础题．2．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理与二倍角公式求得cosA，再利用余弦定理求得边长c的值；（Ⅱ）由二倍角公式求得cosB，再利用三角恒等变换求得cos（B﹣）的值．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，a=3，b=2，∴=，又B=2A，∴=，=，解得cosA=；又a2=b2+c2﹣2bccosA，9=24+c2﹣2•2•c•，c2﹣8c+15=0，解得c=3或c=5；（Ⅱ）∵B=2A，∴cosB=cos2A=2cos2A﹣1=，∴sinB=；∴cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=×+×=．【点评】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，是基础题．3．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sin（α﹣）的值，再利用两角差的余弦公式，求得cosα的值．【解答】解：∵α∈（0，π），∴，又，∴，∴=．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式的应用，属于基础题．4．【分析】（Ⅰ）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求a的值．（Ⅱ）x∈[0，]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质求，可求f（x）最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2sin（ax﹣）cos（ax﹣）+2cos2（ax﹣）（a＞0），化简可得：f（x）=sin（2ax﹣）+cos（2ax﹣）+1=﹣cos2ax+sin2ax+1=2sin（2ax﹣）+1∵函数的最小正周期为．即T=由T=，可得a=2．∴a的值为2．故f（x）=2sin（4x﹣）+1；（Ⅱ）x∈[0，]时，4x﹣∈[，]．当4x﹣=时，函数f（x）取得最小值为1﹣．当4x﹣=时，函数f（x）取得最大值为2×1+1=3∴f（x）在[0，]上的最大值为3，最小值为1．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于基础题5．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期和对称轴方程．（2）直接利用单调性求出结果．【解答】解：（1）∵函数=sin （2x﹣）﹣2sin（x﹣）cos（x﹣）=sin（2x﹣）﹣sin（2x﹣）=sin（2x﹣）+cos2x=sin2x•﹣cos2x•+cos2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）．∴，令：，解得：．函数f（x）的最小正周期为π，对称轴方程为：．（2）∵，∴．因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，当时，f（x）取最大值1．又∵，当时，f（x）取最小值．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．6．【分析】（1）根据平面向量的坐标表示与数量积运算求得cosα+sinα的值；（2）由三角函数的平方关系求得sinα、cosα的值，再计算的值．【解答】解：（1）A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），又，∴（cosα﹣3，sinα）•（cosα，sinα﹣3）=cosα（cosα﹣3）+sinα（si nα﹣3）=1﹣3（cosα+sinα）=，∴cosα+sinα=；（2）∵cosα+cosα=，∴1+2sinαcosα=，∴sinαcosα=﹣，又α∈（0，π），∴sinα＞0，cosα＜0；由sin2α+cos2α=1，解得sinα=，cosα=﹣；∴=sinαcos+cosαsin=×+（﹣）×=．【点评】本题考查了平面向量的数量积与同角的三角函数计算问题，是基础题．7．【分析】（1）由已知整理可得：tanAtanB﹣1=tanA+tanB，利用三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正切函数公式可求tanC=1，结合范围C∈（0，π）可求C=．（2）由已知，利用正弦定理可得sinB=，利用大边对大角可求B，利用三角形内角和定理可求A，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵（1﹣tanA）（1﹣tanB）=2，整理可得：tanAtanB﹣1=tanA+tanB，∴tanC=tan[π﹣（A+B）]=﹣=﹣=1，∵C∈（0，π）∴C=．（2）∵b=2，c=4，由（1）可得C=，∴由正弦定理，可得：sinB===，∵b＜c，可得：B=，A=π﹣B﹣C，=bcsinA=sin（+）=．∴△ABC的面积S△ABC【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正切函数公式，正弦定理，大边对大角，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．8．【分析】（Ⅰ）利用诱导公式、倍角公式及辅助角公式化简，再由周期公式求周期；（Ⅱ）由x的范围求得相位的范围，则f（x）的范围可求，结论得证．【解答】（I）解：∵=sinxcosx+cos2x==，∴f（x）的最小正周期为π；（II）证明：∵，∴．∴．则．故﹣1≤f（x）≤2．【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是基础题．9．【分析】（I）直接利用二倍角公式变形，再由辅助角公式化积即可求函数f（x）的最小正周期；（II）结合已知条件求出，进而可求出函数f（x）在区间上的最值及相应的x值．【解答】解：（Ⅰ）==，∴f（x）的最小正周期是π；（Ⅱ）∵，∴0≤2x≤π，∴，当时，f（x）max=2．当时，f（x）min=﹣1．【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是基础题．10．【分析】（I）利用任意角的三角函数的定义，求得α+的正弦值和余弦值，再利用两角和差的三角公式求得cosα的值．（Ⅱ）利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再利用两角和差的三角公式求得的值．【解答】解：（I）由于角其终边经过点P（﹣2，1），则x=﹣2，y=1，r=|OP|=．故cos（α+）==﹣，sin（α+）==．∴=．（Ⅱ）∵=．则sin2α=2sinαcosα=﹣，cos2α=2cos2α﹣1=﹣，∴．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的三角公式的应用，属于基础题．11．【分析】（1）首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出结果．（Ⅱ）利用正弦型函数的性质求出函数的单调区间．【解答】解：（1）函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+），=，由于函数的最小正周期为π，故ω==1，（Ⅱ）所以：f（x）=，令：（k∈Z），解得：（k∈Z），由于x在区间[0，]上，所以：函数的单调递增区间为：[]．函数的单调递减区间为：[]．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．12．【分析】（1）由已知结合三角形内角和定理可得sinB=﹣2sinAcosC，进一步得到b=﹣2acosC，再由C的值可得b=a，两边平方后可得a，b，2a成等比数列；（2）由已知及三角形面积公式可得ab=，结合b=，联立两式解得a，b，再由余弦定理求得c．【解答】（1）证明：∵A+B+C=π，sin（A+C）=2sinAcos（A+C），∴sinB=﹣2sinAcosC，在△ABC中，由正弦定理得，b=﹣2acosC，∵，∴b=a，则b2=2a2=a•2a，∴a，b，2a成等比数列；（2）解：S=absinC=ab=2，则ab=，由（1）知，b=，联立两式解得a=2，b=2，由余弦定理得，×．∴c=．【点评】本题考查三角形的解法，考查正弦定理及余弦定理的应用，是中档题．13．【分析】（Ⅰ）由平面向量的数量积的坐标运算写出f（x），降幂后利用辅助角公式化积，可得函数f（x）的最小正周期和最值；（Ⅱ）直接利用复合函数的单调性求函数f（x）的单调递减区间．【解答】解：（Ⅰ）∵=（sinx，3cosx），=（3cosx，cosx），∴f（x）=+===．∴f（x）的最小正周期为π，最大值为7，最小值为1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，k∈Z．∴k，k∈Z．∴函数f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）．【点评】本题考查平面向量的数量积的坐标运算，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．14．【分析】（1）根据函数．利用向量的坐标运算即可得到解析式，化简可求解图象对称轴的方程；（2）根据x在上，求解内层函数的范围，结合三角函数的性质可得最值．【解答】解：（1）由已知=，对称轴的方程为，即．（2）因为，则，所以，所以．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，向量的乘积运算，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．15．【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换求出函数的关系式．（Ⅱ）利用函数的关系式的变换和函数的性质求出结果．【解答】解：（Ⅰ）由函数满足满足f（x）=f（﹣x）．得知函数f（x）关于对称，又函数f（x）在上单调递增，所以f（x）在取得最大值．又，=，所以，故（k∈Z），由于0＜|φ|＜π，所以：．（Ⅱ）由f（x0）=1，知，所以：，=sin[2（）﹣]，=﹣cos2（），=，=﹣．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用及函数的求值．16．【分析】（1）直接利用向量共线的充要条件，把三角函数关系式通过恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调递增区间．（2）利用（1）的解析式，首先确定A的值，进一步利用余弦定理和三角形的面积公式求得结果．【解答】解：（1）向量=（，=（cosx，cosx），x∈R，f（x）=．=，=，=，令：（k∈Z），解得：（k∈Z），故函数的单调递增区间为：（k∈Z）．（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，f（A）=1，则：（0＜A＜π），解得：A=，利用余弦定理：，a2=b2+c2﹣2bccosA，且a=1，b+c=2．解得：bc=1所以△ABC的面积为：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的恒等变换，向量共线的充要条件的应用，正弦型函数的性质单调性的应用，余弦定理及三角形面积公式的应用，属于基础题型．17．【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性、图象的对称性，求出正f（x）的最小正周期和对称轴的方程．（2）利用弦函数的定义域和值域，求得f（x）在区间上的最小值．【解答】解：（1）∵函数=sin2x•cos（2π﹣）﹣cos2x•sin（2π﹣）=sin2x•cos+cos2x•sin=sin（2x+），故它的最小正周期为=π．令2x+=kπ+，求得x=+，k∈Z．（2）在区间上，2x+∈[，]，故当2x+=时，函数f（x）取得最小值为sin=﹣．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，得2sinBcosC=2sinA+sinC，再由两角和的正弦函数公式化简，求出cosB的值，进而求出角B；（Ⅱ）利用三角函数的诱导公式化简求出cosA，sinA的值，再由两角差的余弦函数公式计算得答案．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理，得2sinBcosC=2sinA+sinC，在△ABC中，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，∴2cosBsinC=﹣sinC，又∵C是三角形的内角，可得sinC＞0，∴2cosB=﹣1，可得cosB=，∵B是三角形的内角，B∈（0，π），∴B=；（Ⅱ）∵sin（）cos（）﹣sin2（）=，∴，∴，即，∴．∵B=，∴cosC====．【点评】本题考查了正弦定理的应用，考查了三角函数的诱导公式的运用，是中档题．19．【分析】（Ⅰ）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，结合复合函数的单调性求得函数的增区间；（Ⅱ）g（x）=af（x）+b=．由x的范围求得相位的范围，进一步得到关于a，b的方程，求解得答案．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sinx（cosx+sinx）﹣====．由，k∈Z，得，k∈Z．∴f（x）的单调递增区间为[，]，k∈Z；（Ⅱ）g（x）=af（x）+b=．当x∈[，]时，2x﹣∈[，]，∴，解得a=6，b=﹣1．【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．20．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值，求得f（x）的最小正周期和最大值．（Ⅱ）利用正弦函数的单调区间，求得函数y=f（﹣x）的单调减区间．【解答】解：（Ⅰ）∵sin（x+）=cos（x﹣），∴f （x）=2sin（x+）=﹣2sin（x+）．所以函数f （x）的最小正周期是2π，最大值是2．（Ⅱ）因为 f （﹣x）=2sin（x﹣），令2kπ+≤x﹣≤2kπ+，求得+2kπ≤x≤+2kπ，所以单调递减区间为[+2kπ，+2kπ]（k∈Z）．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，正弦函数的单调区间，属于中档题．21．【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（Ⅱ）利用正弦型函数的性质求出结果．【解答】解：（Ⅰ），=+1，=2sin（2x+）+1，所以函数的最小正周期T=．（Ⅱ）由于，则：，所以，即，所以函数的值域为f（x）．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．22．【分析】（1）根据两角和差的余弦公式进行计算即可（2）利用一元二次函数的性质利用配方法进行转化求解即可．【解答】解：（1）若，且α∈[0，π]，则cosα=，则sinα===，则=cos（α﹣）=cosαcos+sinαsin==+．（2）函数y=f（2x）﹣2f（x）=cos2x﹣2cosx=2cos2x﹣2cosx﹣1=2（cosx﹣）2﹣，∵﹣1≤cosx≤1，∴当cosx=时，函数取得最小值，最小值为﹣．【点评】本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的余弦公式以及转化一元二次函数求最值是解决本题的关键．23．【分析】（1）由题意，可得，即可求解求的值．（2），利用同角三角函数关系式化简，即可求解值域．【解答】解：（1）∵，∴，∵，∴，∴，，又，∴，∴∴=．（2）令，则∴g（x）的值域为．【点评】本题考查了知识点是两角和与差的公式的应用，构造思想和计算能力，计算难度大，属于中档题．24．【分析】（Ⅰ）由已知求得sinA，结合三角形的面积公式求得bc，再由余弦定理求解a；（Ⅱ）由（Ⅰ）求得sin2A，cos2A的值，然后展开两角差的余弦求解cos（2A﹣）的值．【解答】解：（Ⅰ）由cosA=，0＜A＜π，得sinA=，∴S=，即bc=6．又，解得a=3；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，cos2A=，sin2A=2sinAcosA=，故cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=．【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查三角形的解法，是中档题．25．【分析】（Ⅰ）根据函数的解析式以及f（）=﹣，求得α的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由已可得，f（）=cosπ﹣2sin2（﹣α）=﹣﹣2cos2α=﹣．其中0，∴cosα=，∴α=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，函数f（x）=cos2x﹣2sin2（x﹣α）=cos2x﹣2sin2（x ﹣）=cos2x﹣2•=cos2x+sin2x﹣1=2sin（2x+）﹣1，∴函数f（x）最小正周期为=π．令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，可得函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，属于中档题．26．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x ﹣）+，由周期公式可求函数f（x）的最小正周期，由（k∈Z），即可解得单调递增区间．（2）当时，可得：，解得：，利用二次函数的性质即可得解．【解答】解：（1）∵=，∴函数f（x）的最小正周期T=π．∵由（k∈Z），得（k∈Z），∴单调递增区间为（k∈Z）．（2）当时，可得：，解得：．存在，满足F（t）﹣m＞0的实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1）．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了二次函数的图象和性质，属于基本知识的考查．27．【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用可得f（x）=sin（2x+）．利用周期公式可求f（x）的最小正周期．令2x+=kπ+，k∈Z，解得对称轴方程．（Ⅱ）结合x的范围利用正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）f（x）=2cos2x﹣cos（2x+）﹣1=cos2x﹣cos2x+sin2x=sin（2x+） (3)分∵ω=2，∴函数f（x）的最小正周期T==π，…5分令2x+=kπ+，k∈Z，解得：x=+，k∈Z，∴对称轴方程为：x=+，k∈Z…7分（Ⅱ）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得：﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，设A=[]，B={x|﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z}，可得：A∩B=[﹣，]，…9分∴当x∈[]时，f（x）在区间[﹣，]上单调递增；在区间[，]上单调递减…14分【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．28．【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理求得c，再由正弦定理求得sinA；（Ⅱ）结合（Ⅰ）求得cosA，进一步得到sin2A，cos2A，然后展开两角和的余弦可得cos（2A）的值．【解答】解：（Ⅰ）由a=3，sinB=2sinA，得b=2a=6，又cosC=，∴=36．∴c=6．由cosC=，得sinC=，由正弦定理可得：，即，得sinA=；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，sinA=，∵a＜c，∴cosA=．则sin2A=2sinAcosA=，cos2A=．∴cos（2A）=cos2Acos﹣sin2Asin=．【点评】本题考查三角形的解法，考查两角和的余弦，是中档题．29．【分析】（Ⅰ）化简解析式可得f（x）=2sin（2x+），由周期公式即可求T的值．（Ⅱ）由x∈，可求．从而可求最大值和最小值及相应的x的值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=2sin（x+）cos（x+）+2cos2（x﹣）﹣1=sin（2x+）+cos（2x﹣）=cos2x+sin2x=2sin（2x+）T==π．…7 分（Ⅱ）因为x∈，所以．所以当2x=，即x=时，y max=2；当2x=，即x=时，．…（13分）所以当x=时，函数有最大值是2；当x=时，函数有最小值是﹣．【点评】本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质，属于中档题．30．【分析】（Ⅰ）根据分式中分母不能为0，可得定义域，利用二倍角公式化简即可f（x）的最小正周期；（Ⅱ）根据三角函数的单调性即可求解f（x）的单调递减区间．【解答】解：（Ⅰ）由cosx≠0，即x≠，∴f（x）的定义域为{x|x≠，k∈Z}．函数=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=sin （2x+）．∴f（x）的最小正周期T=．由（Ⅰ）知f（x）=sin（2x+）．由≤2x+，k∈Z．可得：≤x≤∴f（x）的单调递减区间为[，]，k∈Z．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．31．【分析】（Ⅰ）由已知展开两角和的正切求得tanA，结合同角三角函数的基本关系式求得sinA，cosA的值，再由倍角公式求出sin2A，cos2A的值，代入两角和的余弦求得cos（2A+）的值；（Ⅱ）由已知与正弦定理求得b，再由两角和的正弦求得sinC，代入三角形面积公式得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，即．且A为三角形内角，∴A∈（0，），由，解得，，∴，，∴；（Ⅱ）由正弦定理可知，，∴．∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB．∴．【点评】本题考查两角和与差的正弦、余弦和正切，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是中档题．32．【分析】（1）利用向量的数量积转化求解两角差的三角函数即可．（2）通过向量平行，转化求解角的大小即可．【解答】解：（1）因为=（cosα，sinα），=（﹣sinβ，cosβ），，．所以||=||=||=1，且•=﹣cosαsinβ+sinαcosβ=sin（α﹣β）．……（3分）因为|+|=||，所以|+|2=2，即2+2•+2=1，所以1+2sin（α﹣β）+1=1，即．……（6分）（2）因为，所以．故=（，cos）．……（8分）因为∥，所以．化简得，，所以．…（12分）因为0＜β＜π，所以．所以，即．……（14分）【点评】本题考查向量的数量积与三角函数的化简求值考查计算能力．33．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）通过角的范围求解相位的范围，利用正弦函数的单调性求解函数的最值即可．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）===………………（5分）所以周期为．………………（6分）（Ⅱ）因为，所以．………………（7分）所以当时，即x=π时f（x）max=1．当时，即时f（x）min=﹣2．…………（13分）【点评】本题考查两角和与差的三角函数，正弦函数的单调性以及函数的周期的求法，考查转化思想以及计算能力．34．【分析】（1）利用诱导公式和辅助角化简，根据函数的最小正周期等于π．即可求解ω的值和单调递增区间；（2）根据，求解内层函数的范围，结合三角函数的性质即可求解最值．【解答】解：函数=sinωx+cosωx=2sin （ωx），（1）∵函数的最小正周期等于π．即∴ω=2．可得f（x）=2sin（2x），由2x，k∈Z得：≤x≤故得函数的单调递增区间为[，]，k∈Z（2）∵f（x）=2sin（2x），当，（2x）∈[]∴当2x=时，函数f（x）取得最大值为2．当2x=时，函数f（x）取得最小值为﹣1．【点评】本题考查了三角函数的图象及性质的应用，化简能力．属于基础题．35．【分析】利用二倍角公式化简函数f（x），再计算的值和x∈[﹣，]时f（x）的最大与最小值．【解答】解：函数f（x）=1﹣2sin2x=cos2x，（1）=cos（2×）=；故答案为：；（2）x∈[﹣，]，∴2x∈[﹣，]，∴cos2x∈[0，1]，∴当x=﹣时，f（x）取得最小值0，x=0时，f（x）取得最大值1，∴函数f（x）在区间上的最大值为1，最小值为0．【点评】本题考查了二倍角公式的应用问题，也考查了三角函数的图象与性质，是基础题．36．【分析】（1）利用倍角公式降幂，再由两角差的正弦变形，结合x的范围即可求得f（x）的值域；（2）由f（）=求得A，结合余弦定理及已知求得bc，代入面积公式求得△ABC的面积．【解答】解：（1）f（x）=sin2x+sinxcosx===．∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[]，∴sin（2x﹣）∈[﹣]，则f（x）∈[0，]；（2）由f（）=，得sin（A﹣）+，∴sin（A﹣）=0，∵A﹣∈（﹣，），则A﹣=0，即A=．由a=4，b+c=5，a2=b2+c2﹣2bc•cosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bc•cosA，得16=25﹣2bc﹣2bc×，即bc=3．∴．【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了余弦定理在求解三角形中的应用，是中档题．37．【分析】（I）直接将x=带入计算即可．（Ⅱ）利用二倍角和辅助角公司化简，即可求f（x）的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）直接将x=带入，可得：==2．（Ⅱ）由=因为函数y=sinx的单调递增区间为（k∈Z），令（k∈Z），解得（k∈Z），故f（x）的单调递增区间为（k∈Z）．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．38．【分析】（1）利用三角函数的定义，求出cosα，然后利用二倍角公式求解即可．（2）利用三角函数的定义，通过两角和与差的三角函数化简求解即可．【解答】（本小题满分14分）解：（1）因为点P的横坐标为，P在单位圆上，α为锐角，所以cosα=，………………………………（2分）所以cos2α=2cos2α﹣1=．………………………………（4分）（2）因为点Q的纵坐标为，所以sinβ=．………………………………（6分）又因为β为锐角，所以cosβ=．………………………………（8分）因为cosα=，且α为锐角，所以sinα=，因此sin2α=2sinαcosα=，……………………………（10分）所以sin（2α﹣β）=×﹣×=．……………………………（12分）因为α为锐角，所以0＜2α＜π．又cos2α＞0，所以0＜2α＜，又β为锐角，所以﹣＜2α﹣β＜，所以2α﹣β=．…………………………………（14分）【点评】本题考查二倍角公式以及三角函数的定义的应用，考查计算能力．39．【分析】（I）利用和与差的公式和二倍角，辅助角公式化简，即可求f（x）的最小正周期．（II）根据x在上，求解内层函数的范围，结合三角函数的性质可得最大值．【解答】解：（1）函数=sin2xcos+cos2xsin﹣cos2x ﹣1=sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1∴f（x）的最小正周期T=．（2）由x∈上，∴（2x﹣）∈[，]故得当2x﹣=时，即x=时，函数f（x）取得最大值为：sin（）﹣1=．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．40．【分析】（Ⅰ）展开两角差的正弦，降幂后再由辅助角公式化积，求得函数周期，则y=f（x）的相邻两条对称轴的距离可求；（Ⅱ）由x的范围求出相位的范围，再由集合思想方法列式求解．【解答】解：（Ⅰ）∵===．∴函数f（x）的最小正周期．则曲线y=f（x）的相邻两条对称轴的距离为=；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知．当x∈[0，a]时，∈．∵y=sinx在上单调递增，且f（x）在[0，a]上单调递增，∴⊆，即，解得0．故a的最大值为．【点评】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．。