《分层法》例题详解

例：如图1所示一个二层框架，忽略其在竖向荷载作用下的框架侧移，用分层法计算框架的弯矩图，括号内的数字，表示各梁、柱杆件的
线刚度值（
EI
i
l ）。

图1
解：1、图1所示的二层框架，可简化为两个如图2、图3所示的，只带一层横梁的框架进行分析。

图2 二层计算简图
图3 底层计算简图
2、计算修正后的梁、柱线刚度与弯矩传递系数
采用分层法计算时，假定上、下柱的远端为固定，则与实际情况有出入。

因此，除底层外，其余各层柱的线刚度应乘以0.9的修正系数。

底
层柱的弯矩传递系数为1
2
，其余各层柱的弯矩传递系数为
1
3。

各层梁的弯
矩传递系数，均为1
2。

图4 修正后的梁柱线刚度
图5 各梁柱弯矩传递系数
3、计算各节点处的力矩分配系数
计算各节点处的力矩分配系数时，梁、柱的线刚度值均采用修正后的结果进行计算，如：
G节点处：
7.63
0.668
7.63 3.79
GH GH
GH
GH GD
Gj
G
i i
i i
i
μ====
++
∑
GD
3.79
0.332
7.63 3.79
GD GD
GH GD
Gj
G
i i
i i
i
μ====
++
∑
H节点处：
7.63
0.353
7.63 3.7910.21
HG HG
HG
HG HE HI
Hj
H
i i
i i i
i
μ====
++++
∑
3.79
0.175
7.63 3.7910.21
HI HI
HI
HG HE HI
Hj
H
i i
i i i
i
μ====
++++
∑
10.21
0.472
7.63 3.7910.21
HE HE
HE
HG HE HI
Hj
H
i i
i i i
i
μ====
++++
∑
同理，可计算其余各节点的力矩分配系数，计算结果见图6、图7。

图6 二层节点处力矩分配系数
图7 底层节点处力矩分配系数
4、采用力矩分配法计算各梁、柱杆端弯矩
（1）第二层：
①计算各梁杆端弯矩。

先在G、H、I节点上加上约束，详见图8
图8 二层计算简图
计算由荷载产生的、各梁的固端弯矩（顺时针转向为正号），写在各梁杆端下方，见图9：
213.13kN m 12F
GH
ql M =-=-⋅
213.13kN m 12
F HG
ql M ==⋅ 27.32kN m 12
F HI
ql M
=-=-⋅
27.32kN m 12
F IH
ql M
==⋅ 在节点G 处，各梁杆端弯矩总和为：
13.13kN m F
G GH M M ==-⋅
在节点H 处，各梁杆端弯矩总和为：
13.137.32 5.81kN m F F H HG HI M M M =+=-=⋅
在节点I 处，各梁杆端弯矩总和为：
7.32kN m F I IH M M ==⋅
②各梁端节点进行弯矩分配，各两次，详见图9 第一次弯矩分配过程：
放松节点G ，即节点G 处施加力矩13.13kN m ⋅，乘以相应分配系数，得到梁端+8.76kN m ⋅和柱端+4.37kN m ⋅，+8.76kN m ⋅按
1
2
传到GH 梁H 端； 放松节点I ，即在节点I 处施加力矩7.32kN m -⋅，乘以相应分配系数
0.935和0.065，得到梁端 6.32kN m
-⋅和柱端+1.00kN m
⋅， 6.32kN m
-⋅按1
2
传
到IH梁H端；
放松节点H，相应的在节点H处新加一个外力偶矩，其中包括GH 梁右端弯矩、IH梁左端弯矩、GH梁和IH梁传来的弯矩。

其值为
(13.13+4.387.32 3.16)kN m=7.03kN m
---⋅-⋅，乘以分配系数，HI梁分配
3.56kN m
-⋅、HG梁分配 2.73kN m
-⋅、HE柱分配 1.32kN m
-⋅， 3.56kN m
-⋅按1 2
传到I端， 2.73kN m
-⋅按1
2
传到G端。

第一次分配过程完成。

第二次弯矩分配过程：
重复第一次弯矩分配过程，叠加两次结果，得到杆端最终弯矩值。

③计算各柱的杆端弯矩。

二层柱的远端弯矩为各柱的近端弯矩的1 3
（即传递系数为1
3
），带*号的数值是各梁的固端弯矩，各杆分配系数写
在图中的长方框内
图9 二层弯矩分配传递过程（2）第一层：
①计算各梁杆端弯矩。

先在D 、E 、F 节点上加上约束，详见图10
图10 底层计算简图
计算由荷载产生的、各梁的固端弯矩（顺时针转向为正号），写在各梁杆端下方：
217.81kN m 12F
DE
ql M =-=-⋅
217.81kN m 12
F ED
ql M ==⋅ 28.89kN m 12
F EF ql M
=-=-⋅
28.89kN m 12
F FE
ql M
==⋅ 在节点D 处，各梁杆端弯矩总和为：
17.81kN m F
D D
E M M ==-⋅
在节点E 处，各梁杆端弯矩总和为：
17.818.898.92kN m F F E ED EF M M M =+=-=⋅
在节点I 处，各梁杆端弯矩总和为：
8.89kN m F F FE M M ==⋅
②各梁端节点进行弯矩分配，各两次，分配以及传递过程同第二层，
但弯矩传递时要注意传递系数的差别。

③计算各柱的杆端弯矩。

二层柱的远端弯矩为各柱的近端弯矩的1 3
（即传递系数为1
3
），底层柱的远端弯矩为近端弯矩的
1
2
（即传递系数为
1
2
），带*号的数值是各梁的固端弯矩，各杆分配系数写在图中的长方框内。

图11 底层弯矩分配传递过程
5、将二层与底层各梁、柱杆端弯矩的计算结果叠加，就得到各梁、柱的最后弯矩图，详见图12。

图12 弯矩图（单位：kN m
）
6、力矩再分配
由以上各梁、柱的杆端弯矩图可知，节点处有不平衡力矩，可以将不平衡力矩再在节点处进行一次分配，此次分配只在节点处进行，并且在各杆件上不再传递。

在本题中，由于不平衡力矩相对较小，力矩可不再分配。

分式知识点和典型习题
（一）、分式定义及有关题型
题型一：考查分式的定义
1、下列代数式中：y x y
x y x y x b
a b a y x x -++-+--1
,
,,21,22π，是分式的有： .
2、下列分式中，最简分式有（ ）
32222
2222222212,,,,312a x y m n m a ab b x x y m n m a ab b
-++-++---- A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 3、下列各式：
2b a -，x x 3+，π
y +5，()1432+x ，b a b a -+，)(1
y x m -中，是分式的共有（ ）
题型二：考查分式有意义的条件 1、当x 有何值时，下列分式有意义
（1）
4
4+-x x （2）
2
32+x x （3）
1
22-x （4）
3||6--x x
（5）x
x 11-
题型三：考查分式的值为0的条件 1、当x 取何值时，下列分式的值为0.
（1）3
1
+-x x （2）
4
2||2--x x （3）
6
53222----x x x x
题型四：考查分式的值为正、负的条件 1、（1）当x 为何值时，分式x
-84
为正；
（2）当x 为何值时，分式2
)1(35-+-x x 为负；
（3）当x 为何值时，分式
3
2+-x x 为非负数.
（二）分式的基本性质及有关题型
1．分式的基本性质：M
B M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=
2．分式的变号法则：
b
a
b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数
1、不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.
（1）y x y
x 4
13132
21+- （2）
b
a b
a +-04.003.02.0
（3）b a b
a 10
141534.0-+
题型二：分数的系数变号
2、不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.
（1）y
x y
x --+- （2）b
a a ---
（3）b
a ---
题型三：考查分式的性质 1、若分式
x
y
x +中x 、y 的值都增加到原来的3倍，则分式的值（ ） A 、不变 B 、是原来的3倍 C 、是原来的31 D 、是原来的9
1
2、若分式xy
y x 2
2+中x 、y 的值都增加到原来的3倍，则分式的值（ ）
A 、不变
B 、是原来的3倍
C 、是原来的31
D 、是原来的9
1
题型三：化简求值题 1、已知：511=+
y x ，求
y
xy x y
xy x +++-2232的值. 2、已知：311=-b a ，求a ab b b ab a ---+232的值.
3、已知：21=-x
x ，求221
x
x +的值. 4、若0)32(|1|2=-++-x y x ，求
y
x 241
-的值.
5、已知与互为相反数，代数式的值。

6、若0106222=+-++b b a a ，求
b
a b
a 532+-的值. 7、如果21<<x ，试化简
x x --2|2|x
x x x |
||1|1+
---.
（三）分式的运算
1．确定最简公分母的方法：
①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.
2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；
②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.
题型一：通分
1、将下列各式分别通分. （1）
c
b a
c a b ab c 225,
3,2--； （2）a b b b a a 22,--；
（3）2
2,
21,
1
2
2
2
--+--x x x
x x
x x ； （4）a
a -+21
,
2
题型二：约分 1、约分： （1）3
22016xy y x -； （2）n m m n --2
2； （3）6
222---+x x x x .
题型三：分式的混合运算 1、计算：
（1）4
2232)()()(a
bc ab c c b a ÷-⋅-；
（2）2
2233)()()3(x
y x y y x y x a +-÷-⋅+；
（3）
m
n m
n m n m n n m ---+-+22；
（4）11
2
---a a a ；
(5）)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++
++++-x x x x x x ； （6）)12()2
1444(222+-⋅--+--x x
x x x x x
题型四：化简求值题 1、先化简后求值
（1）已知：1-=x ，求分子)]1
21()144[(4
8
122x x x x -÷-+--的值；
（2）已知：4
32
z y x ==，求
2
2232z y x xz yz xy ++-+的值；
题型五：求待定字母的值 例、若
1
11
312-+
+=
--x N
x M x x ，试求N M ,的值.
（四）、整数指数幂与科学记数法
题型一：运用整数指数幂计算 计算：（1）3132)()(---⋅bc a
（2）2322123)5()3(z xy z y x ---⋅
（3）24
2
53])
()
()()([
b a b a b a b a +--+-- （4）6223)(])()[(--+⋅-⋅+y x y x y x
（5）20082007024)25.0()31(|3
1|)5
1()5
13
1
(⋅-+-+-÷⋅--
题型二：化简求值题
【例2】已知51=+-x x ，求（1）22-+x x 的值；（2）求44-+x x 的值.
题型三：科学记数法的计算
【例3】计算：（1）223)102.8()103(--⨯⨯⨯；（2）3223)102()104(--⨯÷⨯.
（五）、分式中的变形求值
1、变形代入： ①若
2=+a b b a ，则b
a b
a 22-+的值为_______。

②已知1111x y
x y
+-=-+，则2(3)(3)x y x +++的值为_______。

③已知0=++c b a ，且0≠abc ，求2
222222221
11c b a b c a a c b -++
-++-+的值为__________。

2、整体代入： ①若
22237y y ++的值为1
4，则21461y y +-的值为___________。

②已知
b
a b a +=
-311，则a b
b a -的值为_______。

变式：已知b a b a +=
+5
11，则a
b b a +的值为_______。

③已知115x y -=，则323x xy y
x xy y
--+-的值为的值为 。

已知31
211=-y x ，则x
xy y y xy x ---+32432的值为 。

已知532232=---+y xy x y xy x ，则y x 1
1-的值为______________。

3、x
x 1
±
型的变形： ①若13x x
+=，则242
1x x x =++__________。

变式1：若51=--x x ，则=+-2
x x __________。

4、设比值： ①若234
234
a b c +++==，且18a b c ++=，则2a b c -+=__________。

②若
a c c
b b a ==，则=--++c
b a c
b a 3223 。

5、消元思想：
①已知0634=--z y x ，072=-+z y x （0≠xyz ），则2
222
2275632z
y x z y x ++++=_____________。

②如果11=+b a ，11=+c b ，则=+a
c 1
________。

6、裂项： ①若5=+xy y x ，6=+yz z y ，7=+xz
z
x ，则z y x 111++的值为________。

7、取倒：
①若11
32=+-x x x
，则=+-1924
2x x x ______________。

②已知31=+b a ab ，41=+c b bc ，51=+c a ac ，则bc
ac ab abc ++=_____________。

第二讲 分式方程
【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;
3.分式方程的应用题
【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;
2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.
3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.
（一）分式方程题型分析
题型一：用常规方法解分式方程 1、解下列分式方程
（1）
x
x 311=-； （2）
0132=--x x ； （3）11
4112=---+x x x ； （4）x x x x -+=++4535
提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.
题型二：特殊方法解分式方程
2、解下列方程
3、解下列方程组 （1）
4441=+++x x x x ； （2）5
6
9108967+++++=+++++x x x x x x x x 提示：（1）换元法，设
y x x =+1；（2）裂项法，6
1
167++=++x x x .
题型三：求待定字母的值 例、若分式方程12
2-=-+x a
x 的解是正数，求a 的取值范围.
⎪⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎨⎧=
+=
+=+)
3(4111)2(311
1)1(211
1x z
z y
y x
题型五：解分式方程 1．解下列方程： （1）021211=-++-x
x
x x ； （2）
3
4
23-=--x x x ； （3）1
7137222
2--+
=--
+x x x x x
x （4）
22
3
22=--+x x x ； （5）
21
23524245--+=--x x x x （6）
4
1
215111++
+=+++x x x x
（二）分式方程的特殊解法
解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下： 一、交叉相乘法 二、化归法 例1．解方程：2
31+=
x x
例2．解方程：
01
2112=---x x
三、左边通分法 四、观察比较法 例3：解方程：871
78=----x
x x 例4．解方程：
4
17
425254=-+-x x x x
五、分离常数法 六、分组通分法 例5．解方程：8
7
329821+++
++=+++++x x x x x x x x 例6．解方程：
4
1
315121+++=+++x x x x
（三）分式方程求待定字母值的方法
1、若分式方程x
m
x x -=--221无解，求m 的值。

2、若关于x 的方程
11122+=-+-x x x k x x 不会产生增根，求k 的值。

3、若关于x 分式方程
432212-=++-x x k x 有增根，求k 的值。

4、若关于x 的方程
1151221--=+-+-x k x x k x x 有增根1=x ，求k 的值。

5、当a= 时，关于x 的方程
23ax a x +-=54
的解是x=1．
6、当分式2223211x x x x x +++--与分式的值相等时，x 须满足 ．
分式方程应用题
一．行程问题
（1）一般行程问题
1、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km 的普通公路，另一条是全长480Km 的高速公路。

某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km ，由高速公路从甲地到
乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。

2、我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度。

3、一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度。

（2）水航问题
1、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。

已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。

2、A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A 地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，求船速。

二．工程问题
1、要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，刚好在规定日期内完成，乙单独做则要超过3天。

现在甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成。

问规定日期是多少天？
2、某工人原计划在规定时间内恰好加工1500个零件，改进了工具和操作方法后，工作效率提高为原来的2倍，因此加工1500个零件时，比原计划提前了5小时，问原计划每小时加工多少个零件？
3、某市为治理污水，需要铺设一段全长3000米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成了任务，实际每天铺设多长管道？
4、进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务．这是记者与驻军工程指挥官的一段对话:
5、一台甲型拖拉机4天耕完一块地的一半，加一天乙型拖拉机，两台合耕，1天耕完这块地的另一半。

乙型拖拉机单独耕这块地需要几天？
通过这段对话,请你求出该地驻军原来每天加固的米数.
6、某中学库存960套旧桌凳，修理后捐助贫困山区学校．现有甲、乙两个木工小组都想承揽这项业务．经协商后得知：甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用20天；乙小组每天比甲小组多修8套；学校每天需付甲小组修理费80元，付乙小组120元．
（1）求甲、乙两个木工小组每天各修桌凳多少套．
（2）在修理桌凳过程中，学校要委派一名维修工进行质量监督，并由学校负担他每天10元的生活补助．现有以下三种修理方案供选择：
① 由甲单独修理；② 由乙单独修理；③ 由甲、乙共同合作修理．
你认为哪种方案既省时又省钱？试比较说明．
7、某工程队(有甲、乙两组)承包人民路中段的路基改造工程，规定若干天内完成．
(1) 已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍少16天．如果甲、乙两组合做24天完成，那么甲、乙两组合做能否在规定时间内完成?
(2) 在实际工作中，甲、乙两组合做完成这项工程的6
5后，工程队又承包了东段的改造工程，需抽调一组过去，从按时完成中段任务考虑，你认为抽调哪一组最好？请说明理由．
三．利润（成本、产量、价格、合格）问题
1、某煤矿现在平均每天比原计划多采330吨，已知现在采煤33000吨煤所需的时间和原计划采23100吨煤的时间相同，问现在平均每天采煤多少吨。

2、某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒装粽子，节日期间每盒按进价增
加20%作为售价，售出了50盒；节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子，整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价．
3、今年我市遇到百年一遇的大旱，全市人民齐心协力积极抗旱。

某校师生也活动起来捐款打井抗旱，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？
在“情系海啸”捐款活动中，某同学对甲、乙两班捐款情况进行统计，得到如下三条信息：信息一：甲班共捐款300元，乙班共捐款232元
4
信息二：乙班平均每人捐款钱数是甲班平均每人捐款钱数的
5
信息三：甲班比乙班多2人
请你根据以上三条信息，求出甲班平均每人捐款多少元？
4、某市从今年1月1日起调整居民用天燃气价格，每立方米天燃气价格上涨25%．小颖家去年12月份的燃气费是96元．今年小颖家将天燃气热水器换成了太阳能热水器，5月份的用气量比去年12月份少10m³，5月份的燃气费是90元．求该市今年居民用气的价格．
5、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款。

小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，
（1）这个八年级的学生总数在什么范围内？
（2）若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？
6、某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书数量比第一次多10本．当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？
7、小亮在购物中心用12.5元买了若干盒饼干，但他在一分利超市发现，同样的饼干，这里要比购物中心每盒便宜0.5元．因此当他第二次买饼干时，便到一分利超市去买，如果
用去14元，买的饼干盒数比第一次买的盒数多2
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，•问他第一次在购物中心买了几盒饼干？。