沪科版九年级数学上册第二十二章 专题训练 相似三角形的五种基本模型

专题训练相似三角形的五种基本模型

►模型一平行线型

1．如图5－ZT－1，在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2AD，DE∥BC交AC于点E，若线段DE＝5，则线段BC的长为()

A．7.5 B．10

C．15 D．20

图5－ZT－1

2．如图5－ZT－2，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，E是DC延长线上的点，连接AE，交BC于点F.

(1)求证：△ABF∽△ECF；

(2)如果AD＝5 cm，AB＝8 cm，CF＝2 cm，求CE的长．

图5－ZT－2

3．［2016·枞阳县白云中学期中］如图5－ZT－3，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC 于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D.

(1)求证：AE·BC＝BD·AC；

(2)如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的长．

图5－ZT－3

►模型二相交线型

4．如图5－ZT－4所示，已知AC和BD相交于点E，且CE·AE＝BE·DE.求证：△ABE∽

△DCE.

图5－ZT－4

5．［2016·黄山市期末］如图5－ZT－5，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，连接DE并延长交BC的延长线于点F，连接DC，BE，若∠BDE＋∠BCE＝180°.请写出图中的两对相似三角形(不另外添加字母和线)，并选择其中的一对进行证明．

图5－ZT－5

►模型三子母型

6．如图5－ZT－6所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.

(1)写出图中的相似三角形；

(2)选择其中的一对相似三角形说明它们相似的理由．

图5－ZT－6

7．［2017·马鞍山市期末］如图5－ZT－7，△BAC，△AGF为等腰直角三角形，且△BAC≌△AGF，∠BAC＝∠AGF＝90°.若△BAC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF，AG 与边BC的交点分别为D，E.请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明．

图5－ZT －7

► 模型四 旋转型

8．如图5－ZT －8，△ABC 与△AEF 中，AB ＝AE ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，AB 交EF 于点D.给出下列结论：

①∠AFC ＝∠C ；②DE ＝CF ；③△ADE ∽△FDB ； ④∠BFD ＝∠CAF.

其中正确的结论是__________(填序号)．

图5－ZT －8

9．［2017·庐阳区四模］如图5－ZT －9，在△ABC 中，∠ABC ＝30°，∠ACB ＝90°，DE ∥AB ，交AC 于点D ，交BC 于点E ，F 是AB 的中点，连接CF ，交DE 于点G.

(1)求证：CD·CF ＝CG·CA ； (2)求证：DG ＝EG ；

(3)将△CDE 绕点C 逆时针旋转得△CD 1E 1，CG 旋转到CG 1，如图②，连接AD 1，G 1F ，E 1B ，求G 1F

E 1B

的值．

图5－ZT －9

► 模型五 一线三等角型 10．［2017·蜀山区中考一模］如图5－ZT －10，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝3，点D 在BC 上且BD ＝2CD ，E ，F 分别在AB ，AC 上运动且始终保持∠EDF ＝45°，设BE ＝x ，CF ＝y ，则y 与x 之间的函数关系用图象表示为( )

图5－ZT －10

图5－ZT －11

11．［2017·江西］如图5－ZT －12，正方形ABCD 中，点E ，F ，G 分别在AB ，BC ，CD 上，且∠EFG ＝90°.求证：△EBF ∽△FCG .

图5－ZT －12

12．如图5－ZT －13，点B 在线段AC 上，点D ，E 在AC 的同侧，∠A ＝∠C ＝90°，BD ⊥BE ，AD ＝BC.

(1)求证：AC ＝AD ＋CE ；

(2)若AD ＝3，AB ＝5，点P 为线段AB 上的动点，连接DP ，作PQ ⊥DP ，交直线BE 于点Q.当点P 与A ，B 两点不重合时，求DP

PQ

的值．

教师详解详析

1．[解析] C ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AB ＝DE BC .又∵BD ＝2AD ，DE ＝5，∴

DE

BC ＝

AD 3AD ＝1

3

，∴BC ＝15.故选C. 2．解：(1)证明：∵DC ∥AB ，

∴△ABF ∽△ECF .

(2)∵AD ＝BC ，AD ＝5 cm ，AB ＝8 cm ，CF ＝2 cm ，∴BF ＝3 cm. 由(1)知△ABF ∽△ECF ，∴

AB CE ＝BF CF ，即8CE ＝32.∴CE ＝16

3

cm. 3．[全品导学号：80402192]

解：(1)证明：∵ED ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴AE AC ＝DE

BC .

∵BE 平分∠ABC ，∴∠DBE ＝∠EBC . ∵ED ∥BC ，∴∠DEB ＝∠EBC . ∴∠DBE ＝∠DEB ，∴DE ＝BD . ∴

AE AC ＝BD

BC

，即AE ·BC ＝BD ·AC . (2)设h △ADE 表示△ADE 中DE 边上的高， h △BDE 表示△BDE 中DE 边上的高， h △ABC 表示△ABC 中BC 边上的高． ∵S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，∴S △ADE S △BDE ＝3

2，

∴

h △ADE h △ABC ＝3

5

. ∵△ADE ∽△ABC ，∴DE BC ＝h △ADE h △ABC ＝3

5.

∵DE ＝6，∴BC ＝10.

4．证明：∵CE ·AE ＝BE ·DE ，∴CE BE ＝DE

AE

.

又∵∠AEB ＝∠DEC ，∴△ABE ∽△DCE . 5．解：△ADE ∽△ACB ，△FCE ∽△FDB . 答案不唯一，如对△ADE ∽△ACB 进行证明：

∵∠BDE ＋∠BCE ＝180°，∠BDE ＋∠ADE ＝180°， ∴∠ADE ＝∠BCE ，即∠ADE ＝∠ACB . 又∵∠DAE ＝∠CAB ，∴△ADE ∽△ACB .

6．解：(1)△ACD ∽△ABC ，△CDB ∽△ACB ，△ACD ∽△CBD . (2)答案不唯一，如选择△ACD ∽△ABC .理由： ∵∠A ＋∠B ＝90°，∠A ＋∠ACD ＝90°，

∴∠ACD ＝∠B .

又∵∠A ＝∠A ，∴△ACD ∽△ABC .

7．解：(答案不唯一)△ABE ∽△DAE ，△DAE ∽△DCA .