高中数学第九章直线平面简单几何体B第20课直线与平面所成的角和二面角1教案
直线与平面所成的角教案
直线与平面所成的角教案教学目标：1.理解直线与平面所成角的概念。
2.学会通过角的性质计算直线与平面所成角的大小。
3.能够应用直线与平面所成角的性质解决相关问题。
教学重点：教学难点：通过角的性质计算直线与平面所成角的大小。
教学准备：投影仪、PPT等教具。
教学过程：Step 1：引入1.引导学生回顾直线与直线所成角的概念及性质。
2.提问：直线与平面之间有什么关系？学生回答。
3.引导学生思考，直线与平面所成角有什么特点？学生讨论。
Step 2：定义及性质1.展示PPT，介绍直线与平面所成角的定义：在平面内，以一条线段与平面的法线为边，从线段的其中一端点起，可以画出一个角，称为直线与平面所成角。
2.介绍直线与平面所成角的性质：a.直线与平面所成角的大小只取决于直线与平面的夹角，与直线的长度无关。
b.直线与平面所成的角等于这条直线在平面上的投影与这条直线的夹角。
c.直线与平面所成角的度数范围是0°~180°。
Step 3：例题讲解1.案例一：已知一条直线与一个平面的夹角为60°，求直线在平面上的投影与这条直线的夹角。
解题思路：根据直线与平面所成角的性质，直线与平面所成的角等于直线在平面上的投影与直线的夹角。
所以，所求的角度为60°。
2.案例二：一根竖直的路灯杆上蜘蛛丝斜依在路灯杆上，它与平地成45°的角，它离地面高度为5米，求蜘蛛丝的长度。
解题思路：根据直线与平面所成角的性质，直线与平面所成的角等于直线在平面上的投影与直线的夹角。
所以，设蜘蛛丝的长度为x米，根据三角函数的定义，我们有tan 45°=5/x，解方程得x=5米。
Step 4：让学生自主探究1.将学生分成小组，每个小组选择一个与我们日常生活密切相关的例子，让学生尝试计算直线与平面所成角的大小，并讲解解题思路和方法。
Step 5：归纳总结1.学生回答问题：直线与平面所成角的度数范围是多少？直线与平面所成角的大小只与直线与平面的夹角有关吗？2.引导学生归纳总结直线与平面所成角的定义及性质。
(第20课)直线与平面所成的角和二面角(1)
课 题：9．7直线与平面所成的角和二面角(一)教学目的：1.理解并掌握斜线在平面内的射影、直线和平面所成角的概念2.根据概念先找直线射影后确定线面夹角从而熟练求解直线和平面所成角3.培养化归能力、分析能力、观察思考能力和空间想象能力等4.培养立体感、数学美感，提高学生学习数学特别是立体几何的兴趣 教学重点：线面夹角的概念及利用概念分步求夹角教学难点：直线和平面所成角的概念及12cos cos cos θθθ=⋅的应用授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节有三个知识点：直线与平面所成的角、二面角、两平面垂直的性质要求学生掌握直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念并能灵活运用勾股定理、正余弦定理和向量代数方法计算有关的角和距离了解异面直线距离的概念和计算在学生已初步掌握向量工具的基础上，可用向量工具解决立体几何中的一些较难的问题，一方面可进一步显示向量工具的威力，另外也为解决空间的度量问题找到了通法，减少学生学习度量问题的困难过去学生解这类问题，主要方法是构造三角形，应用勾股定理、余弦定理和正弦定理求解这种解法需要对图形进行平移、投影等转化技能，而且不同的问题需要不同的技巧实践证明，没有向量工具，学生求解这类问题比较困难有了向量运算工具，很多较难的空间计算问题，就有了统一的方法求解、但如果全用向量处理夹角相距离问题，虽有通法，但有时在解决一些较难问题时，运算量较大并需要一定的技巧，学所以在教材具体编写时，不是都用向量计算方法，有些直接使用勾股定理和三角能解决的问题，就不再使用向量方法了教学过程：一、复习引入：1．平面几何中，点、线段在直线上射影的概念及性质：2．直线和平面的位置关系（平行、相交和直线在平面内）二、讲解新课： 1 斜线,垂线,射影⑴垂线 自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影. 这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.⑵斜线 一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,斜线和平面的交点叫斜足段叫这点到这个平面的斜线段⑶射影 过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,的直线叫做斜线在这个平面内的射影垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线直线与平面垂直射影是点斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上2．射影长相等定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线中 ⑴射影相交两条斜线相交；射影较长的斜线段也较长 ⑵相等的斜线段射影相等，较长的斜线段射影较长 ⑶垂线段比任何一条斜线段都短 ⑴OB=OC ⇒AB=AC OB >OC ⇒AB >AC⑵AB=AC ⇒OB=OC AB >AC ⇒OB >OC ⑶OA <AB ，OA <AC3．直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角直线和平面所成角范围： [0，2π]（2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角证明：设平面α的一条斜线l 在α内的射影为l '，角θ是l 与l '所成的角直线OD 是平面α内与l '不同的任意一条直线，过点l 上的点A 引AC 垂直于OD ，垂足为C因为AB<AC ， 所以AOAC AOAB <，即AOC ∠<sin sin θ,因此AOC ∠<θ4．公式已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角，且a 与α相交成ϕ1角，a 在α上的射影c 与b 相交成ϕ2角，则有θϕϕcos cos cos 21=OCBAα用几何法研究：在平面α的斜线a 上取一点P ，过点P 分别作直线c 、b 的垂线PO 、PB ，垂足为O 、B连接OB ，则OB ⊥b.在直角△AOP 中，AP AO =1cos ϕ. 在直角△ABC 中，AO AB =2cos ϕ.在直角△ABP 中，AP AB =θcos .所以 θϕϕcos cos cos 21==⋅=APAB AOAB APAO所以θϕϕcos cos cos 21=成立用向量运算研究：如图，A P 是平面α的斜线，A 是斜足，P O 垂直于平面α，O 为垂足，则直线A O 是斜线在平面α内的射影A B 是平面α内的任意一条直线，且O B A B ⊥，垂足为B ，又设A P 与A O 所成角为1θ，A B 与A O 所成角为2θ，A P 与A B 所成角为θ，则易知：1||||cos AO AP θ= ，212||||cos ||cos cos AB AO AP θθθ==又∵||||cos A B A P θ=，可以得到：12cos cos cos θθθ=⋅，则同样可以得到：平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角； 三、讲解范例：例1 如图，已知A B 是平面α的一条斜线，B 为斜足，,AO O α⊥为垂足，BC 为α内的一条直线，60,45ABC O BC ∠=∠=，求斜线A B 和平面α所成角解：∵A O α⊥，由斜线和平面所成角的定义可知，A B O ∠为A B 和α所成角， 又∵12cos cos cos θθθ=⋅，ODCBA1A∴cos cos 601cos cos cos 45222ABC ABO C BO∠∠===÷=∠，∴45BAO ∠= ，即斜线A B 和平面α所成角为45 ．例2．如图，在正方体1AC 中，求面对角线1A B 与对角面11BB D D 所成的角解法一：连结11A C 与11B D 交于O ，连结O B ，∵111DD A C ⊥，1111B D A C ⊥，∴1A O ⊥平面11BB D D ， ∴1A BO ∠是1A B 与对角面11BB D D 所成的角， 在1Rt A BO ∆中，1112A O AB =，∴130A B O ∠=．解法二：由法一得1A BO ∠是1A B 与对角面11BB D D 所成的角，又∵11cos cos 452ABB ∠==，11cos 3B B B BO BO∠==，∴1111cos cos cos 23A B B A B O B B O∠∠===∠，∴130A B O ∠= ．说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影，后求斜线与其射影的夹角另外，在条件允许的情况下，用公式21cos cos cos θθθ=⋅求线面角显得更加方便解法三：建立空间直角坐标系，用向量计算例3．已知空间四边形A B C D 的各边及对角线相等，求A C 与平面BC D 所成角的余弦值解：过A 作A O ⊥平面BC D 于点O ，连接,,CO BO DO ，∵A B A C A D ==，∴O 是正三角形BC D 的外心， 设四面体的边长为a ，则3C O a =，CA∵90AOC ∠= ，∴A CO ∠即为A C 与平面BC D 所成角，∴cos 3AC O ∠=，所以，A C 与平面BCD 所3．例4 如图，已知AP ⊥BP ，PA ⊥PC ，∠ABP =∠ACP =60º，PB =PC =2BC ，D 是BC 中点，求AD 与平面PBC 所成角的余弦值. 解：∵AP ⊥BP ，PA ⊥PC ，∴AP ⊥PBC 连PD ，则PD 就是AD 在平面PBC 上的射影 ∴∠PDA 就是AD 与平面PBC 所成角又∵∠ABP =∠ACP =60º，PB =PC =2BC ，D 是BC 中点，∴PD=BC 27, PA=6BC ∴AD=BC 231∴31217cos ==∠ADPD PDA∴AD 与平面PBC 217四、课堂练习： 1 选择题（1）一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是（ ）（A ）（0º,90º） （B ）[0º,90º] （C ）[0º,180º] （D ）[0º,180º)（2）两条平行直线在平面内的射影可能是①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④两个点. 上述四个结论中，可能成立的个数是 （ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 （3）从平面外一点P 引与平面相交的直线，使P 点与交点的距离等于1，则满足条件的直线条数不可能是（ ）（A ）0条或1条 （B ）0条或无数条（C ）1条或2条 （D ）0条或1条或无数条答案：（1）B (2)C (3)D 2．填空题（1）设斜线与平面α所成角为θ，斜线长为l ，则它在平面内的射影长是 . （2）一条与平面相交的线段，其长度为10cm ，两端点到平面的距离分别是2cm ，E13cm ，这条线段与平面α所成的角是 .（3）若（2）中的线段与平面不相交，两端点到平面的距离分别是2cm ，3cm ，则线段所在直线与平面α所成的角是 .答案：（1）θcos l （2）030 （3）101arcsin3．若P 为⊿ABC 所在平面外一点，且P A =PB =PC ，求证点P 在⊿ABC 所在平面内的射影是⊿ABC 的外心.分析：斜线段长相等，则射影长也相等从而由PA =PB =PC ，点P 的射影到⊿ABC 的三个顶点的距离相等，所以射影为⊿ABC 的外心.五、小结 ：我们学习了有关平面的斜线、射影和直线与平面成角的几个概念，射影定理中的三个结论成立的前提是这些斜线段及垂线段必须是从平面外同一点向平面所引而得到的．否则，结论不成立．线面夹角的概念及解题步骤：先找垂线，后找射影最后确定夹角在具体解题时，关键是求斜线在平面内的射影六、课后作业：在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、A 1D 1的中点，求：（1）D 1B 1与面AC 所成角的余弦值； （2）EF 与面A 1C 1所成的角； （3）EF 与面AC所成的角．解：（1）设正方体的边长为a ，则在1Rt D BD ∆中，1,DB D B ==.∴1cos 3D B D ∠==.（2）45°．（3）45°． 七、板书设计（略）八、课后记：在具体解题时往往找不出夹角，关键是不能求斜线在平面内的射影，通过练习，使学生在不同的视图中能较熟练地找出射影。
直线与平面所成的角的教案
直线与平面所成的角教学目标：1. 理解直线与平面所成的角的定义及其性质；2. 学会运用直角三角形的知识求解直线与平面所成的角；3. 能够运用直线与平面所成的角解决实际问题。
教学重点：直线与平面所成的角的定义及其性质，求解直线与平面所成的角的方法。
教学难点：直线与平面所成的角的求解，将实际问题转化为直线与平面所成的角的问题。
教学准备：直角三角形模型，平面模型，直线模型。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入直线与平面所成的角的概念，让学生思考在日常生活中遇到的直线与平面所成的角，如楼梯的扶手与地面的夹角等。
2. 引导学生观察直角三角形，让学生认识到直角三角形中的直角就是直线与平面所成的角。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解直线与平面所成的角的定义：直线与平面相交时，直线与平面内的任意一条直线所成的角，称为直线与平面的角。
2. 讲解直线与平面所成的角的性质：直线与平面所成的角是直线与平面内的所有角中最小的角。
3. 讲解求解直线与平面所成的角的方法：利用直角三角形，将直线与平面所成的角转化为直角三角形中的角。
三、实例分析（10分钟）1. 分析实例：楼梯的扶手与地面的夹角。
2. 引导学生运用直角三角形求解直线与平面所成的角。
3. 分析实例：墙角的直角。
4. 引导学生运用直角三角形求解直线与平面所成的角。
四、课堂练习（5分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
2. 引导学生运用直线与平面所成的角的知识解决实际问题。
五、总结与拓展（5分钟）1. 总结直线与平面所成的角的定义、性质和求解方法。
2. 拓展思维：直线与平面所成的角在现实生活中的应用，如建筑设计、导航等。
教学反思：通过本节课的学习，学生应掌握直线与平面所成的角的定义、性质和求解方法，并能运用所学知识解决实际问题。
在教学过程中，要注意引导学生观察实例，培养学生的空间想象能力。
结合练习题和实际问题，提高学生的运用能力。
六、直线与平面所成的角的测量教学目标：1. 学会使用工具（如量角器）测量直线与平面所成的角；2. 理解测量直线与平面所成角的方法及其原理；3. 能够准确地测量直线与平面所成的角。
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二、例题
1.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求: （1）面A1ABB1与面ABCD所成角的大小；（2） 平面C1BD与面ABCD所成的角的大小；（3） 二面角A-B1D1-C的大小.
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2.已知二面角的 l 平 面角为 ，在平面 内 有一射线 AB与棱 成l 锐角 ，与平面 成 角 ，
则必有 （ ）
A.sin sin sin B.sin sin cos
C.cos cos sin D.cos cos cos
B
A
O
C
3.如图，二面角 l 的 平面角为 ,
PA⊥于A点，PB⊥ 于B点，PA=a,PB=b,
求点P到棱 l的距离.
P
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B O
A
.如图:PA⊥平面ABC，
AC⊥BC,PA=AC=1,BC= 2 ,求二面角A-
PB-C的大小.
P
D
A
C
H
B
求二面角大小的步骤为； （1）找出或作出二面角的平面角； （2）证明其符合定义；
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（3）计算.
2.一个平面———二面角 l 的 棱 ，l 且与
两个半平面的交线分别是射线OA、OB，O为
垂足，则————叫二面角 l 的 平面角.
3.平面角是————的二面角叫做直二面角. 相交成————的两个平面，叫互相垂直的 平面.
二面角的大小用其平面角来度量，平面 角需具备如下三个特征（1）顶点在棱上； （2）两边在两面内；（3）两边垂直于 棱.
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直线与平面所成的角 与二面角（二）
直线与平面所成的角和二面角(一)
备课时间 ： 上课时间：课题： 直线与平面所成的角和二面角(一) 课型：新授课. 第 教时 教学目的：1.理解并掌握斜线在平面内的射影、直线和平面所成角的概念2.根据概念先找直线射影后确定线面夹角从而熟练求解直线和平面所成角.3.培养化归能力、分析能力、观察思考能力和空间想象能力等.4.培养立体感、数学美感，提高学生学习数学特别是立体几何的兴趣. 教学重点：线面夹角的概念及利用概念分步求夹角.教学难点：直线和平面所成角的概念及12cos cos cos θθθ=⋅的应用.教学过程： 一、复习引入：1．平面几何中，点、线段在直线上射影的概念及性质： 2．直线和平面的位置关系（平行、相交和直线在平面内）. 二、讲解新课：1.斜线,垂线,射影⑴垂线、垂线段； ⑵斜线、斜线段.⑶斜线在这个平面内的射影、斜线段在这个平面内的射影.特殊情况： 直线与平面平行，直线在平面的射影是一条直线； 直线与平面垂直射影是点； 2．直线和平面所成角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角. 注意：（1）一直线垂直于平面，所成的角是直角.（2）一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角（3）直线和平面所成角范围：[0，2π] 3．公式已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角，且a 与α相交成ϕ1角，a 在α上的射影c 与b 相交成ϕ2角，则有θθθcos cos cos 21=证明：在平面α的斜线a 上取一点P ，过点P 分别作直线c 、b 的垂线PO 、P B ，垂足为O 、B ，连接O B ，则O B ⊥b . 在直角△A OP 中，AP AO =1cos θ.在直角△ABC 中，AO AB=2cos θ. 在直角△AB P 中，AP AB =θcos ，所以θθθcos cos cos 21==⋅=APABAO AB AP AO 即：θθθcos cos cos 21=成立.可以得到：平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角；三、讲解范例：例1.如图，已知AB 是平面α的一条斜线，B 为斜足，,AO O α⊥为垂足，BC 为α内的一条直线，60,45ABC OBC ∠=∠=，求斜线AB 和平面α所成角. 解：∵AO α⊥，由斜线和平面所成角的定义可知，ABO ∠为AB 和α所成角， 又∵12cos cos cos θθθ=⋅，∴cos cos 601cos cos cos 45222ABC ABO CBO ∠∠===÷=∠，∴45BAO ∠=，即斜线AB 和平面α所成角为45．例2．已知空间四边形ABCD 的各边及对角线相等，求AC 与平面BCD 所成角的余弦值. 解：过A 作AO ⊥平面BCD 于点O ，连接,,COBO DO ， ∵AB AC AD ==，∴O 是正三角形BCD 的外心， 设四面体的边长为a ，则CO=， ∵90AOC ∠=，∴ACO ∠即为AC 与平面BCD 所成角，∴cos ACO ∠=，所以，AC 与平面BCD 四、课堂练习：教科书课后练习1、2题 五、课时小结：平面的斜线、射影和直线与平面成角的几个概念；线面夹角的概念及解题步骤： 先找垂线，后找射影最后确定夹角 六、作业布置：教科书中习题9.7第1题 七、课后反思：感谢您的阅读，祝您生活愉快。
直线与平面所成的角的教案
直线与平面所成的角教学目标：1. 了解直线与平面所成角的概念及其几何特征。
2. 学会使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角。
3. 能够运用直线与平面所成的角解决一些简单的问题。
教学重点：1. 直线与平面所成角的定义及其几何特征。
2. 测量直线与平面所成角的方法。
教学难点：1. 理解直线与平面所成角的定义，能够正确判断直线与平面所成的角。
2. 熟练使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角。
教学准备：1. 三角板2. 量角器3. 教学课件或黑板教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入新课：回顾直线与平面的位置关系，思考直线与平面可以形成哪些角。
2. 提问：什么是直线与平面所成的角？它具有哪些几何特征？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解直线与平面所成角的定义：直线与平面相交时，直线与平面内的任意一条直线所形成的角。
2. 讲解直线与平面所成角的几何特征：它是直线与平面相交的特殊角，具有大小和方向。
3. 讲解测量直线与平面所成角的方法：使用三角板和量角器。
三、实例演示（5分钟）1. 演示如何使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角。
2. 让学生分组进行实践，测量不同直线与平面所成的角。
四、课堂练习（5分钟）1. 布置练习题：测量给定直线与平面所成的角。
2. 学生独立完成练习题，教师巡回指导。
五、总结与布置作业（5分钟）1. 总结本节课的主要内容：直线与平面所成角的定义、几何特征和测量方法。
2. 布置作业：巩固测量直线与平面所成角的方法，解决一些简单的问题。
教学反思：本节课通过讲解和实例演示，让学生掌握了直线与平面所成角的定义、几何特征和测量方法。
在实践环节，学生能够独立使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角，解决了实际问题。
但在教学过程中，要注意引导学生正确理解直线与平面所成角的定义，避免混淆。
可以增加一些拓展练习，提高学生的应用能力。
六、直线与平面所成角的计算教学目标：1. 理解直线与平面所成角的计算方法。
直线与平面所成的角教案
直线与平面所成的角教案
【教学目标】
1. 知识与技能：了解平面的斜线的定义，理解直线与平面所成角的概念，并会求直线与平面所成的角．
2.过程与方法：注重培养学生的读图、作图的能力，培养学生的空间想象力．
3.情感态度与价值观：激发学生的学习兴趣,培养学生勤于思考、勤于动手的良好品质。
培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”的过程中获取新知。
【教学重点】
直线与平面所成的角．
【教学难点】
斜线与平面所成角的求法．
【教学方法】
问题探索法及启发式讲授法。
直线与直线直线与平面平面与平面所成的角教案
【课题】9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角【教学目标】知识目标：（1）了解两条异面直线所成的角的概念；（2）理解直线与平面垂直、直线与平面所成的角的概念，二面角及其平面角的概念．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．【教学重点】异面直线的概念与两条异面直线所成的角的概念、直线与平面所成的角的概念、二面角及其平面角的概念．【教学难点】两条异面直线所成的角的概念、二面角的平面角的确定．【教学设计】两条异面直线所成的角可用来刻画两条异面直线之间的位置关系，它是本节教学的难点．学生一般会有疑问：异面直线不相交怎么能成角？教学时要讲清概念．例1是求异面直线所成的角的巩固性题目，一般来说，这类题目要先画出两条异面直线所成的角，然后再求解．斜线在平面内的射影是本节的重要概念之一，是理解直线与平面所成的角的基础．要讲清这一概念，可采取“一边演示，一边讲解，一边画图”的方法，结合图形讲清斜线、斜足、斜线段、垂足、垂线段、斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影．要讲清斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影的区别．两个平面相交时，它们的相对位置可用两个平面所成的角来确定．教材从观察建筑房屋、修筑河堤两个实例，结合实验引入二面角的概念，二面角的概念可以与平面几何中的角的概念对比进行讲解．二面角的平面角的大小只与二面角的两个面的相对位置有关，而与平面角的顶点在棱上的位置无关．因此二面角的大小可以用它的平面角来度量．规定二面角的范围为[0,180]．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间*揭示课题9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角*创设情境 兴趣导入在图9−30所示的长方体中，直线1BC 和直线AD 是异面直线，度量1CBC ∠和1DAD ∠，发现它们是相等的．如果在直线AB 上任选一点P ，过点P 分别作与直线1BC 和直线AD 平行的直线，那么它们所成的角是否与1CBC ∠相等？图9−30介绍 质疑引导 分析了解 思考启发 学生思考0 5 *动脑思考 探索新知我们知道，两条相交直线的夹角是这两条直线相交所成的最小的正角．经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角．如图9−31（1）所示，m '∥m 、n '∥n ，则m '与n '的夹角θ就是异面直线m 与n 所成的角．为了简便，经常取一条直线与过另一条直线的平面的交点作为点O （如图9−31（2））(1)讲解 说明 引领 分析思考 理解带领 学生 分析nm'm'noθ过 程行为 行为 意图 间*运用知识 强化练习在如图所示的正方体中，求下列各对直线所成的角的度数：（1）1DD 与BC ； （2）1AA 与1BC ．提问 指导思考 解答领会知识21 *创设情境 兴趣导入正方体1111ABCD A B C D -中（图9−33），直线1BB 与直线AB 、BC 、CD 、AD 、AC 所成的角各是多少？可以发现，这些角都是直角．图9−33质疑 引导 分析思考启发 学生思考26*动脑思考 探索新知如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，那么就称直线l 与平面α垂直，记作α⊥l ．直线l 叫做平面α的垂线，垂线l 与平面α的交点叫做垂足.画表示直线l 和平面α垂直的图形时，要把直线l 画成与平行四边形的横边垂直（如图9−34所示），其中交点A 是垂足．图9−34讲解说明引领 分析思考 理解带领 学生 分析309.3.1题图过程行为行为意图间*创设情境兴趣导入将一根木棍P A直立在地面α上，用细绳依次度量点P与地面上的点A、B、C、D的距离（图9−35），发现P A最短．质疑思考带领学生分析32*动脑思考探索新知如图9−35所示，PAα⊥，线段P A叫做垂线段，垂足A 叫做点P在平面α内的射影．直线PB与平面α相交但不垂直，则称直线PB与平面α斜交，直线PB叫做平面α的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．点P与斜足B之间的线段叫做点P到这个平面的斜线段．过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面内的射影．如图9−35中，直线AB是斜线PB在平面α内的射影．从上面的实验中可以看到，从平面外一点向这个平面引垂线段和斜线段，垂线段最短．因此，将从平面外一点P到平面α的垂线段的长叫做点P到平面α的距离．讲解说明引领分析仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析40*创设情境兴趣导入如图9−36所示，炮兵在发射炮弹时，为了击中目标，需要调整好炮筒与地面的角度．质疑思考带领学生分析42图9−35过程行为行为意图间图9−36*动脑思考探索新知斜线l与它在平面α内的射影l'的夹角，叫做直线l与平面α所成的角．如图9−37所示，PBA∠就是直线PB与平面α所成的角．规定：当直线与平面垂直时，所成的角是直角；当直线与平面平行或直线在平面内时，所成的角是零角．显然，直线与平面所成角的取值范围是[0,90]．【想一想】如果两条直线与一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？图9−37讲解说明引领分析仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析47*巩固知识典型例题例2如图9−38所示，等腰∆ABC的顶点A在平面α外，底边BC在平面α内，已知底边长BC=16，腰长AB=17，又知点A到平面α的垂线段AD=10．求（1）等腰∆ABC的高AE的长；（2）斜线AE和平面α所成的角的大小（精确到1º）．分析三角形AEB是直角三角形，知道斜边和一条直角边，利用勾股定理可以求出AE的长；AED∠是AE和平面α所成的角，三角形ADE是直角三角形，求出AED∠的正弦值即可求出斜线AE和平面α所成的角．解(1) 在等腰∆ABC中，AE BC⊥，故由BC=16可得BE=8.在Rt∆AEB中，∠AEB=90°，因此222217815AE AB BE=-=-=.（2）联结DE.因为AD是平面α的垂线，AE是α的斜线，说明强调引领观察思考主动求解通过例题进一步领会图9−38过 程行为 行为 意图 间所以DE 是AE 在α内的射影.因此AED ∠是AE 和平面α所成的角. 在Rt ∆ADE 中，102sin 153AD AED AE ∠===， 所以42AED ∠≈︒.即斜线AE 和平面α所成的角约为42︒. 【想一想】为什么这三条连线都画成虚线？讲解 说明 思考 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 55*运用知识 强化练习长方体ABCD −1111A B C D 中，高DD 1=4cm ，底面是边长为3cm 的正方形，求对角线D 1B 与底面ABCD 所成角的大小（精确到1′）.练习9.3.2图提问 巡视 指导思考 求解及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况60 *创设情境 兴趣导入在建筑房屋时，有时为了美观和排除雨水的方便，需要考虑屋顶面与地面形成适当的角度（如图9−39（1））；在修筑河堤时，为使它经济且坚固耐用，需要考虑河堤的斜坡与地面形成适当的角度（如图9−39（2））．在白纸上画出一条线，沿着这条线将白纸对折，然后打开进行观察．质疑引导分析思考启发 思考63 *动脑思考 探索新知平面内的一条直线把平面分成两部分，每一部分叫做一个半平面．（2）图9−39（1）过 程行为 行为 意图 间从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．以直线l （或CD ）为棱，两个半平面分别为αβ、的二面角，记作二面角l αβ--（或CD αβ--）（如图9−40）．过棱上的一点，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正角叫做二面角的平面角．如图9−41所示，在二面角α−l −β的棱l 上任意选取一点O ，以点O 为垂足，在面α与面β内分别作OM l ⊥、ON l ⊥，则MON ∠就是这个二面角的平面角． 讲解 说明引领 分析 仔细 分析 讲解 关键 词语思考 理解 记忆带领 学生 分析70 *创设情境 兴趣导入用纸折成一个二面角，在棱上选择不同的点作出二面角的平面角，度量它们是否相等，想一想是什么原因． 质疑 思考 启发 思考 72 *动脑思考 探索新知二面角的平面角的大小由αβ、的相对位置所决定，与顶点在棱上的位置无关，当二面角给定后，它的平面角的大小也就随之确定．因此，二面角的大小用它的平面角来度量．当二面角的两个半平面重合时，规定二面角为零角；当二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角为平角．因此二面角取值范围是[0,180]．平面角是直角的二面角叫做直二面角．例如教室的墙壁与地面就组成直二面角，此时称两个平面垂直．平面α与平面β垂直记作αβ⊥ 讲解 说明 引领 分析 思考 理解 记忆 带领 学生 分析76 *巩固知识 典型例题例3 在正方体1111ABCD A B C D -中（如图9−42），求二面角1D AD B --的大小．说明 强调观察图9−40CD图9−41loNM βαCD过 程行为 行为 意图 间图9−42解 AD 为二面角的棱， 1AA 与AB 是分别在二面角的两个面内并且与棱AD 垂直的射线，所以1A AB ∠为二面角1D AD B --的平面角．因为在正方体1111ABCD A B C D -中，1A AB ∠是直角．所以二面角1D AD B --为90°. 引领 讲解 说明思考 主动 求解通过例题进一步领会81*运用知识 强化练习在正方体1111ABCD A B C D -中，求二面角1A DD B --的大小.提问 巡视 指导思考 求解及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况86 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题：异面直线所成的角、二面角的平面角的概念？ 结论：经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角．过棱上的一点，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正角叫做二面角的平面角． 质疑 归纳强调 回答 及时了解学生知识掌握情况 87 *归纳小结 强化思想引导回忆练习9.3.3题继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题(3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的异面直线实例【教师教学后记】第9。
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【课 题】直线和平面所成的角与二面角（1） 【教学目标】1、理解并掌握斜线在平面内的射影、直线和平面所成角的概念2、学会作斜线在平面上的射影,正确找出直线和平面所成的角；3、正确理解最小角定理的含义，会灵活运用公式12cos cos cos θθθ=⋅；【教学重点】 【教学难点】 【教学过程】一、复习引入1、斜线,垂线,射影⑴垂线：自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影。
这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。
⑵斜线：一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线。
斜线和平面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段。
⑶射影：过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影。
垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影。
直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线。
直线与平面垂直射影是点。
斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上。
二、讲解新课（一）最小角定理如图，AO 是平面α的斜线，A 是斜足，OB 垂直于平面α，B 为垂足，则直线AB 是斜线在平面α内的射影。
设AC 是平面α内的任意一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ。
下面我们来研究12,,θθθ之间的关系。
不妨设AO 为单位长，则11||||cos cos AB AO θθ==， 212||||cos cos cos AC AB θθθ==但||||cos cos AC AB θθ==，所以在上述公式中，由于20cos 1θ<<，所以1cos cos θθ<，而余弦函数在()0,π内为减函数，所以1θθ<。
最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成的角中最小的角；（二）直线和平面所成的角定义：一个平面的斜线和它在平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或在平面内，就说直线和平面所成的角是0︒的角。
直线与平面所成的角二面角
二面角课题：二面角课时： 2课型：新授课教学目的：1、掌握二面角的概念，二面角的平面角的概念，会找一些简单图形的二面角的平面角；2、会用不同的方法作二面角，并能根据已知条件进行计算.教学重点：掌握二面角的概念，二面角的平面角的概念，会找一些简单图形的二面角的平面角.教学难点：如何找图形中的二面角的平面角.教学方法：讲练结合教具：直尺、三角板.一、复习引入1、 平面几何中角是怎样定义的？从一点出发的两条射线所组成的图形.如图： 表示为：AOB ∠2、 “异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”是怎样定义的？(1)斜线在平面内的射影：设O 是斜线上不同于斜足A 的任一点，过O 作α⊥OB 于B ,则AB 所在的直线叫做斜线OA 在平面α上的射影.(2)直线和平面所成的角：一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做这条直线和这个平面所成的角(或斜线与平面的夹角).(3)直线和平面所成的角及异面直线所成的角的范围是：[] 90,0 3、 让学生缓慢打开自己的课本，观察被打开的部分与未打开部分的书面之间的角度有什么变化？观察这两个平面相交成一定的角度.在日常生活中，有许多问题与两个平面相交所成的角有关，比如：修建水坝时为了使水坝坚固耐久，必须使水坝面和水平面成适当的角度，因而有必要研究两个平面所成的角(二面角).ABO二、新课讲解 ﹙一﹚、二面角1. 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面.表示方法：二面角βα--l 或βα--AB .2. 二面角的平面角：一个平面垂直于二面角βα--l 的棱l ,且与两个半平面的交线分别是射线OA 、OB ,O 为垂足,则AOB ∠叫做二面角βα--l 的平面角.3. 二面角的范围是: 1800≤≤θ.当两个半平面重合时 0=θ，相交时1800<<θ，共面时180=θ.﹙二﹚定义巩固： 1.判断下列命题的真假：(1)两个相交平面组成的图形叫做二面角 . ( ) (2)角的两边分别在二面角的两个面内，则这个角是二面角的平面角. ( ) (3)二面角的平面角所在平面垂直于二面角的棱. ( )AαβBO2.如图 ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD,则(1)面PAB 与面ABCD 所成二面角的平面角是 , (2)面PBC 与面ABCD 所成二面角的平面角是 ， (3)面PAD 与面PCD 所成的二面角的平面角是 ， (4)面PAC 与面ACD 所成的二面角的平面角是 .﹙三﹚要点整理1、二面角平面角作法：①定义法 ②三垂线定理及其逆定理 ③作垂面法④射影面积法：θcos ⋅原射影＝S S . 2、求二面角大小的基本步骤： (1)作二面角的平面角θ； (2)证明该角为平面角；AαβBOlBAβαl OPαβABOlPABCDO(3)归纳到三角形求角.例1、 四边形ABCD 为 90=∠ABC 的直角梯形。
(完整word版)2019-2020年高二数学第九章直线、平面、简单几何体复习教案
2019-2020年高二数学第九章直线、平面、简单几何体复习教案一、平面1．平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性2．平面的画法及其表示方法：①常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画②一般用一个希腊字母、、……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面等3．空间图形是由点、线、面组成的点、线、面的基本位置关系如下表所示：图形符号语言文字语言（读法）点在直线上点不在直线上点在平面内点不在平面内直线、交于点直线在平面内直线与平面无公共点直线与平面交于点平面、相交于直线（平面外的直线）表示或4平面的基本性质公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式：．如图示：应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面．公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线推理模式：且且唯一如图示：应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：不共线存在唯一的平面，使得应用：①确定平面；②证明两个平面重合“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面推理模式：存在唯一的平面，使得，推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面推理模式：存在唯一的平面，使得推论3经过两条平行直线有且只有一个平面推理模式：存在唯一的平面，使得5平面图形与空间图形的概念:如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形二、空间直线1 空间两直线的位置关系（1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点；（3）异面——不在任何．．一个平面内，没有公共点；2公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式：．3等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等4等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等5空间两条异面直线的画法ab1AA6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式：,,,A B l B lααα∉∈⊂∉⇒与是异面直线7．异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）．为了简便，点通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线垂直，记作．9．求异面直线所成的角的方法：几何法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求 向量法：用向量的夹角公式 10两条异面直线的公垂线、距离和两条异面直线都垂直相交．．．．的直线，我们称之为异面直线的公垂线 理解：因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义．两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离．两条异面直线的公垂线有且只有一条 计算方法：①几何法；②向量法 三、直线与平面平行和平面与平面平行 1．直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；符号表示为:， （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；符号表示为: ，（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类．符号表示为: ．2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：,,////l m l m l ααα⊄⇒Ø．3 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．推理模式：//,,//l l m l m αβαβ=⇒I Ø．4．平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行．5．图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的．6．平行平面的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行．推理模式：：，，，，． 7平行平面的判定定理推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行． 推理模式：,,,,,,//,////a b P a ba b P a b a a b b ααββαβ'''''''==⇒I I 刎刎．8．平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 推理模式：//,,//a b a b αβγαγβ==⇒I I ．9面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面． 推理模式：．四、直线与平面垂直和平面与平面垂直 1 线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足 直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a ⊥α 2直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 3 直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行4 三垂线定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；（2）推理模式：,,PO O PA A a PA a a OA αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭I5．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直推理模式： ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭I ．注意：⑴三垂线指PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理 ⑵要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用 6 两个平面垂直的定义：两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面 7．两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 推理模式：，．8．两平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 推理模式：,,,l a a l αβαβα⊥=⊥I Ø9向量法证明直线与平面、平面与平面垂直的方法：①证明直线与平面垂直的方法：直线的方向向量与平面的法向量平行； ②证明平面与平面垂直的方法：两平面的法向量垂直 五、空间向量及其运算1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算空间向量的加法、减法与数乘向量运算： ;;运算律：⑴加法交换律：⑵加法结合律： ⑶数乘分配律：3 平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使＝λ4 共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作．当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．5． 共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数λ，使＝λ推论：如果为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线上的充要条件是存在实数t 满足等式．其中向量叫做直线的方向向量 6空间直线的向量参数表示式： 或，中点公式．7．向量与平面平行：已知平面和向量，作，如果直线平行于或在内，那么我们说向量平行于平面，记作：．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的8．共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使 推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使 ① 或对空间任一点，有②或,(1)OP xOA yOB zOM x y z =++++=u u u r u u u r u u u r u u u u r③上面①式叫做平面的向量表达式9 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使10 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：11．向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作： 12．向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即．已知向量和轴，是上与同方向的单位向量，作点在上的射影，作点在上的射影，则叫做向量在轴上或在上的正射影 的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅u u u u r u u u r r r r r ．13．空间向量数量积的性质：（1）．（2）．（3）．14．空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r．（2）（交换律）．（3）（分配律）六、空间向量的坐标运算 1 空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示； （2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面； 2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标． 3．空间向量的直角坐标运算律： （1）若，，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++r r，112233(,,)a b a b a b a b -=---r r， 123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈r，， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈r r， 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=r r．（2）若，，则212121(,,)AB x x y y z z =---u u u r．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标4 模长公式：若，，则222123||a a a a a a =⋅=++r r r 222123||b b b b b b =⋅=++r r r5．夹角公式：112233222222123123cos ||||a b a b a b a a a b b b ⋅⋅==⋅++++r r rr r ．6．两点间的距离公式：若，，则2222212121||()()()AB AB x x y y z z ==-+-+-u u u r u u u r ，或222,212121()()()A B d x x y y z z =-+-+-七、空间角1．异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）．为了简便，点通常取在异面直线的一条上 异面直线所成的角的范围： 2．求异面直线所成的角的方法：（1）几何法；（2）向量法 3．直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角 一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角 直线和平面所成角范围： [0，]（2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角4．公式：平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角，且a与α相交ϕ2ϕ1cba θPαO ABb ′O b a成ϕ1角，a在α上的射影c与b相交成ϕ2角，则有5 二面角：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为，两个面分别为的二面角记为；6．二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线，则叫做二面角的平面角（2）一个平面垂直于二面角的棱，且与两半平面交线分别为为垂足，则也是的平面角说明：①二面角的平面角范围是；②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直7．二面角的求法：⑴几何法；⑵向量法8求二面角的射影公式：，其中各个符号的含义是：是二面角的一个面内图形F的面积，是图形F在二面角的另一个面内的射影，是二面角的大小9．三种空间角的向量法计算公式：⑴异面直线所成的角：；⑵直线与平面(法向量)所成的角：；⑶锐二面角：，其中为两个面的法向量八、空间距离1点到平面的距离：已知点是平面外的任意一点，过点作，垂足为，则唯一，则是点到平面的距离即一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离结论：连结平面外一点与内一点所得的线段中，垂线段最短2 异面直线的公垂线：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线．3．公垂线唯一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线4．两条异面直线的公垂线段：两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做两条异面直线的公垂线段；5．公垂线段最短：两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条；6．两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度说明：两条异面直线的距离即为直线到平面的距离即两条异面直线的距离等于其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离7直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离)8．两个平行平面的公垂线、公垂线段：（1）两个平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线（2）两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的的部分，叫做两个平面的公垂线段（3）两个平行平面的公垂线段都相等（4）公垂线段小于或等于任一条夹在这两个平行平面间的线段长9．两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离10．七种距离：点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这三种距离，点到平面的距离有时用“体积法”来求10用向量法求距离的公式：⑴异面直线之间的距离：，其中⑵直线与平面之间的距离：，其中是平面的法向量⑶两平行平面之间的距离：，其中是平面的法向量⑷点A到平面的距离：，其中，是平面的法向量另法：点平面d=则⑸点A到直线的距离：d=⑹两平行直线之间的距离：d=，其中，是的方向向量九、棱柱1 多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线2．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体3．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等4．棱柱的概念：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱两个互相平行的面叫棱柱的底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高（公垂线段长也简称高）5．棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱底面的是正多边形的直棱柱叫正棱柱棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……6．棱柱的性质（1）棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形；直棱柱侧面都是矩形；正棱柱侧面都是全等的矩形；（2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形；（3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形7 平行六面体、长方体、正方体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体长方体，棱长都相等的长方体叫正方体．8．平行六面体、长方体的性质(1)平行六面体的对角线交于一点且互相平分．(2)长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱长的平方和特别地，正方体的一条对角线长等于棱长的倍。
高中数学必修一第九章直线平面简单几何体(B)(第课)直线与平面所成的角和二面角(二)公开课教案课件课
αO A B CαO AB 课 题：9．7直线与平面所成的角和二面角(二)教学目的：1.理解二面角及其平面角的概念,能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角.2.掌握二面角的平面角的一般作法:(1)根据定义;(2)作二面角棱的垂面;(3)利用三垂线定理或逆定理 教学重点：二面角的概念和二面角的平面角的作法 教学难点：二面角的平面角的一般作法及其寻求 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入： 1 斜线,垂线,射影⑴垂线 自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影. 这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.⑵斜线 一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线斜线和平面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段⑶射影 过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上2．射影长相等定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线中 ⑴射影相交两条斜线相交；射影较长的斜线段也较长⑵相等的斜线段射影相等，较长的斜线段射影较长 ⑶垂线段比任何一条斜线段都短⑴OB=OC ⇒AB=AC OB >OC ⇒AB >AC⑵AB=AC ⇒OB=OC AB >AC ⇒OB >OC ⑶OA <AB ，OA <AC3．直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角.直线和平面所成角范围： [0，2π] （2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角4．公式：已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角，且a 与α相交成ϕ1角，a 在α上的射影c与b 相交成ϕ2角，则有θϕϕcos cos cos 21=.二、讲解新课：1 二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--；二面角的图形表示：第一种是卧式法，也称为平卧式：J第二种是立式法，也称为直立式：l B'O'A'B O A βα2．二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角DCBAE1A 说明：（1）二面角的平面角范围是[0,180]；（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直 三、讲解范例：例1 在正四面体ABCD 中，求相邻两个平面所成的二面角的平面角的大小解：取BC 的中点E，连接,AE DE ，∵正四面体ABCD ，∴,BC AE BC ED ⊥⊥于E ， ∴AED ∠为二面角A BC D --的平面角， 方法一：设正四面体的棱长为1， 则1AE DE AD ===，由余弦定理得1cos 3AED ∠= 方法二：（向量运算）令AB a =，,AC b AD c ==，棱长为1， ∵1111[()][]2224EA ED a b c a b ⋅=-+⋅--=， 又∵3||||EA ED ==，∴1cos 3AED ∠= 即相邻两个平面所成的二面角的平面角的大小为1arccos 3． 例2．在棱长为1的正方体1AC 中， （1）求二面角11A B D C --的大小；（2）求平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角大小解：（1）取11B D 中点1O ，连接11,AO CO ， ∵正方体1AC ，∴111111,B D AO CO B D ⊥⊥， ∴1AO C ∠即为二面角11A B D C --的平面角，1A在AOC ∆中，112AO CO AC ===， 可以求得11cos 3AO C ∠=即二面角11A B D C --的大小为1arccos 3．（2）过1C 作1C O BD ⊥于点O ，∵正方体1AC ，∴1CC ⊥平面ABCD ，∴1COC ∠为平面1C BD 与平面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角，可以求得：1tan COC ∠=所以，平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C--的平面角大小为．说明：求二面角的步骤：作——证——算——答例3．已知：二面角l αβ--且,A A α∈到平面β的距离为A 到l 的距离为4，求二面角l αβ--的大小解：作AO l ⊥于点O ，AB ⊥平面β于点B ，连接BO ， ∵AB β⊥于点B ，AO l ⊥于点O ，∴l OB ⊥，∴AOB ∠即为二面角l αβ--的平面角， 易知，4AB AO ==，∴60AOB ∠=即二面角l αβ--的大小为60．说明：利用三垂线定理作二面角的平面角是解决二面角问题中一种重要的方法，其特征是其中一个平面内一点作另一个平面的垂线平面角的方法，即：定义法、垂面法、三垂线法例4．如图，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，若2AB BC BD ==，求二面角lBOAβαD CBPAB ACD --的正弦值分析：要求二面角的正弦值，首先要找到二面角的平面角解：过D 作DE AC ⊥于E ，过E 作EF AC ⊥交BC 于F ，连结DF ， 则C 垂直于平面DEF ，FED ∠为二面角B AC D --的平面角， ∴AC DF ⊥，又AB ⊥平面BCD ，∴AB DF ⊥，AB CD ⊥，∴DF ⊥平面ABC ，∴DF EF ⊥，DF BC ⊥， 又∵AB CD ⊥，BD CD ⊥，∴CD ⊥平面ABD ，∴CD AD ⊥， 设BD a =，则2AB BC a ==， 在Rt BCD ∆中，1122BCD S BC DF BD CD ∆=⋅=⋅，∴32DF a =， 同理，Rt ACD ∆中，1522DE a =， ∴3102sin 51522aDF FED DE a ∠===， 所以，二面角B AC D --的正弦值为105． 四、课堂练习： 1如图所示，已知PA ⊥面ABC ，,PBC ABC S S S S ∆∆'==，二面角P BC A--的平面角为θ， 求证：cos S S '⋅=证明：过P 作BC 的垂线，垂足为D ，连接AD ∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，BC PD ⊥ ∴BC AD ⊥∴PDA ∠为二面角P BC A --的平面角， 即PDA θ∠=∵PA ⊥面ABC ∴PA AD ⊥ ∵PAD ∆是直角三角形 ∴cos ADPAD PD∠=A BC D E FD CFHBAE 又∵11,22PBC ABC S BC PD S S BC AD S ∆∆'=⋅==⋅= ∴cos S PAD S '∠= ∴cos S Sθ'=即cos S S θ'⋅=说明：这是推广的射影定理，也是求二面角平面角的一种方法2．如图，在空间四边形ABCD 中，BCD ∆是正三角形，ABD ∆是等腰直角三角形，且90BAD ∠=，又二面角A BD C --为直二面角，求二面角A CDB --的大小解：过A 作AH BD ⊥于H∵二面角A BD C --为直二面角 ∴AH ⊥面BCD取CD 中点E ，F 为DE 中点，连接,HF AF ∵BE CD ⊥ ∴//HF BE ∴EF CD ⊥ ∴HF CD ⊥∴AFH ∠为二面角A BD C --的平面角 令ABa =，则,222AH a BE a ===∴HF =∴在Rt AHF ∆中tan AH AFH HF ∠==∴AFH ∠= 即二面角A CD B --的大小为arctan33．设A 在平面BCD 内的射影是直角三角形BCD 的斜边BD的中点O ，1,AC BC CD ===1）AC 与平面BCD 所成角的大小；（2）二面角A BC D --的大小；（3）异面直线AB 和CD 的大小 解：（1）∵AO ⊥面BCD ∴AO CO ⊥ ∴ACO ∠为AC 与面BCD所成角∵1,BC CD ==∴BD =∴122CO BD == ∴cos 2ACO ∠=O EDCFBA∴6ACO π∠=即AC 与平面BCD 6（2）取BC 中点E ，连接,OE AE ∴//OE CD ∵CD BC ⊥ ∴OE BC ⊥ 又∵AO ⊥面BCD ∴AE BC ⊥∴AEO ∠为二面角A BC D --的平面角又∵11222OE CD AO === ∵AO OE ⊥∴tan AO AEO OE ∠==∴AEO ∠= 即二面角A BC D --的大小为arctan2（3）取AC 的中点E ，连接,EF OF ，则//,//EF AB OE CD ∴OE 与EF 所成的锐角或直角即为异面直线AB 和CD 所成角 易求得45OEF ∠=即异面直线AB 和CD 所成角为45五、小结 ：1.二面角的定义、画法.2.二面角的平面角的定义、作法.3.求简单的二面角的大小. 六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。
高三数学《直线和平面所成的角与二面角》第一课时 说课稿
《直线和平面所成的角与二面角》第一课时直线与平面所成的角说课稿各位专家、同仁：您们好！今天我说课的课题是立体几何第九章中《直线和平面所成的角与二面角》第一课时的直线与平面所成的角，现在我就教材分析、学情分析、教学策略、教学设计四个方面进行说明。
恳请在座的各位专家、同仁批评指正。
一．教材分析1．地位作用：直线与平面所成的角，它是在学生学过平面几何中的角、空间中两异面直线所成的角之后，又要重点研究学习的一种空间的角。
异面直线所成的角、直线与平面所成的角及后面将学习的二面角都是立体几何的重要概念，也都是学生进一步研究空间多面体的基础和发展构建空间概念的依据。
因此，它起着承上启后的作用。
同时，也是培养学生的空间想象力和逻辑思维能力的重要素材。
而要得到以上三角均需化归为平面中相交直线的夹角来求得，复习异面直线所成的角有利于学生进行对比联系，掌握直线与平面所成角同时也为后继学习作好铺垫。
平面外的直线和其在平面内的射影的夹角是直线与平面内任意直线所成角中的最小值、平面外的直线和其在平面内的射影的夹角的大小仅取决于直线与平面的位置说明了直线与平面所成角概念的合理性，教学中需让学生理解，才能真正认同和掌握概念。
应用概念求解直线与平面所成角中关键是找出直线在平面中的射影，在教学中需量化，强调解题步骤。
2．教学目标认知目标：理解并掌握斜线在平面内的射影、直线和平面所成角的概念，根据概念先找直线射影后确定线面夹角从而熟练求解直线与平面所成角；理解最小角的发现过程并能灵活变形利用其解题。
能力目标：培养化归能力、分析能力、观察发现思考能力和空间想象能力等。
情感目标：培养学生立体感、数学美感；培养学生积极参与、勤于动手实验、乐于探索的科学精神。
3. 重点、难点分析理解直线与平面所成角的概念及利用概念分步求夹角是本课时的重点，而对最小角定理的理解及应用，学生不易接受，因此是本课的难点，而突破难的关键可利用自制几何实物模型和多媒体课件进行“创设情景”和“演示实验”通过学生亲自动手实验做观察发现最小角定理，教师再引导理论证明，使学生对最小角定理由感性认识上升到理性认识。
高二数学教案(线面角和二面角)(最新人教版优质教案)( 含解析 )
1.斜线、斜足、射影的概念斜线：与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线P A ；斜足：斜线和平面的交点，图中点A ：线面角问题定位1求下列直线与平面所成角的大小。
答案解答根据规定，一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°.原因分析线面角精准突破射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线P A在平面α上的射影为直线AO.2.直线与平面所成的角：(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，如图中∠P AO规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°.(2)取值范围：设直线与平面所成的角为θ，0°≤θ≤90°3.求直线与平面所成角的步骤：(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影；(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角；(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．常用方法：直接法（定义法）平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。
等积法（利用公式sinθ=h／l）其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，l是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。
2判断正误：(1)如果两条直线与一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行.( )(2)如果两条直线平行，那么这两条直线与同一个面所成的角相同.( )答案(1)错误；(2)正确解答(1)不一定平行，可能是相交，平行，异面。
(2)正确.3线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为( ) A．30° B．45° C．60° D．120°答案C。
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课 题：9．7直线与平面所成的角和二面角(一)教学目的：1.理解并掌握斜线在平面内的射影、直线和平面所成角的概念2.根据概念先找直线射影后确定线面夹角从而熟练求解直线和平面所成角3.培养化归能力、分析能力、观察思考能力和空间想象能力等4.培养立体感、数学美感，提高学生学习数学特别是立体几何的兴趣教学重点：线面夹角的概念及利用概念分步求夹角教学难点：直线和平面所成角的概念及12cos cos cos θθθ=⋅的应用授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：本节有三个知识点：直线与平面所成的角、二面角、两平面垂直的性质 要求学生掌握直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念并能灵活运用勾股定理、正余弦定理和向量代数方法计算有关的角和距离了解异面直线距离的概念和计算在学生已初步掌握向量工具的基础上，可用向量工具解决立体几何中的一些较难的问题，一方面可进一步显示向量工具的威力，另外也为解决空间的度量问题找到了通法，减少学生学习度量问题的困难过去学生解这类问题，主要方法是构造三角形，应用勾股定理、余弦定理和正弦定理求解图形进行平移、投影等转化技能，而且不同的问题需要不同的技巧实践证明，没有向量工具，学生求解这类问题比较困难有了向量运算工具，很多较难的空间计算问题，就有了统一的方法求解、但如果全用向量处理夹角相距离问题，虽有通法，但有时在解决一些较难问题时，运算量较大并需要一定的技巧，学生掌握这些技能同样会有困难所以在教材具体编写时，不是都用向量计算方法，有些直接使用勾股定理和三角能解决的问题，就不再使用向量方法了 教学过程： 一、复习引入：1．平面几何中，点、线段在直线上射影的概念及性质：2．直线和平面的位置关系（平行、相交和直线在平面内）二、讲解新课： 1 斜线,垂线,射影⑴垂线 自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影. 这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.⑵斜线 一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,个平面的斜线斜线和平面的交点叫斜足段叫这点到这个平面的斜线段⑶射影 过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,的直线叫做斜线在这个平面内的射影点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上2．射影长相等定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线中 ⑴射影相交两条斜线相交；射影较长的斜线段也较长 ⑵相等的斜线段射影相等，较长的斜线段射影较长 ⑶垂线段比任何一条斜线段都短⑴OB=OC ⇒AB=AC OB >OC ⇒AB >AC⑵AB=AC ⇒OB=OC AB >AC ⇒OB >OC⑶OA <AB ，OA <AC3．直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角直线和平面所成角范围： [0，2π] （2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角证明：设平面α的一条斜线l 在α内的射影为l '，角θ是l 与l '所成的角 直线OD 是平面α内与l '不同的任意一条直线，过点l 上的点A 引AC 垂直于OD ，垂足为C 因为AB<AC ，所以AOACAO AB <，即AOC ∠<sin sin θ,因此∠<θ 4．公式已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角，且a 与α相交成ϕ1角，a 在α上的射影c 与b 相交成ϕ2角，则有θϕϕcos cos cos 21=OCBAα用几何法研究：在平面α的斜线a 上取一点P ，过点P 分别作直线c 、b 的垂线PO 、PB ，垂足为O 、B 连接OB ，则OB ⊥b.在直角△AOP 中，AP AO=1cos ϕ. 在直角△ABC 中，AO AB=2cos ϕ.在直角△ABP 中，APAB=θcos .所以 θϕϕcos cos cos21==⋅=APABAO AB AP AO所以θϕϕcos cos cos 21=成立用向量运算研究：如图，AP 是平面α的斜线，A 是斜足，PO 垂直于平面α，O 为垂足，则直线AO 是斜线在平面α内的射影设AB 是平面α内的任意一条直线，且OB AB ⊥，垂足为B ，又设AP 与AO 所成角为1θ，AB 与AO 所成角为2θ，AP 与AB 所成角为θ，则易知：1||||cos AO AP θ=，212||||cos ||cos cos AB AO AP θθθ==又∵||||cos AB AP θ=，可以得到：12cos cos cos θθθ=⋅，则同样可以得到：平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角； 三、讲解范例：例1 例1．如图，已知AB 是平面α的一条斜线，B 为斜足，,AO O α⊥为垂足，BC 为α内的一条直线，60,45ABC OBC ∠=∠=，求斜线AB 和平面α所成角解：∵AO α⊥，由斜线和平面所成角的定义可知，ABO ∠为AB 和α所成角，又∵12cos cos cos θθθ=⋅，ODCBA1A∴cos cos 601cos cos cos 452ABC ABO CBO ∠∠===÷=∠，∴45BAO ∠=，即斜线AB 和平面α所成角为45．例2．如图，在正方体1AC 中，求面对角线1A B 与对角面11BB D D 所成的角解法一：连结11AC 与11B D 交于O ，连结OB ，∵111DD AC ⊥，1111B D AC ⊥，∴1AO ⊥平面11BB D D ， ∴1A BO ∠是1A B 与对角面11BB D D 所成的角， 在1Rt A BO ∆中，1112AO A B =，∴130A BO ∠=． 解法二：由法一得1A BO ∠是1AB 与对角面11BB D D 所成的角， 又∵112cos cos 452ABB ∠==，11cos B B B BO BO ∠== ∴1111cos cos cos A BB A BO B BO ∠∠===∠，∴130A BO ∠=．说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影，后求斜线与其射影的夹角另外，在条件允许的情况下，用公式21cos cos cos θθθ=⋅求线面角显得更加方便解法三：建立空间直角坐标系，用向量计算例3．已知空间四边形ABCD 的各边及对角线相等，求AC 与平面BCD 所成角的余弦值解：过A 作AO ⊥平面BCD 于点O ，连接,,CO BO DO ，∵AB AC AD ==，∴O 是正三角形BCD 的外心， 设四面体的边长为a ，则CO =，CA∵90AOC ∠=，∴ACO ∠即为AC 与平面BCD 所成角，∴cos ACO ∠=，所以，AC 与平面BCD例4 如图，已知AP ⊥BP ，P A ⊥PC ，∠ABP =∠ACP =60º，PB =PC =2BC ，D是BC 中点，求AD 与平面PBC 所成角的余弦值.解：∵AP ⊥BP ，P A ⊥PC ，∴AP ⊥PBC连PD ，则PD 就是AD 在平面PBC 上的射影 ∴∠PDA 就是AD 与平面PBC 所成角 又∵∠ABP =∠ACP =60º，PB =PC =2BC ，D 是BC 中点，∴PD=BC 27, PA=6BC ∴AD=BC 231 ∴31217cos ==∠ADPDPDA ∴AD 与平面PBC 31217四、课堂练习： 1（1）一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是（ ） （A ）（0º,90º） （B ）[0º,90º] （C ）[0º,180º] （D ）[0º,180º) （2）两条平行直线在平面内的射影可能是①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④两个点. 上述四个结论中，可能成立的个数是 （ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 （3）从平面外一点P 引与平面相交的直线，使P 点与交点的距离等于1，则满足条件的直线条数不可能是（ ） （A ）0条或1条 （B ）0条或无数条（C ）1条或2条 （D ）0条或1条或无数条 答案：（1）B (2)C (3)D 2．填空题（1）设斜线与平面α所成角为θ，斜线长为l ，则它在平面内的射影长是 . （2）一条与平面相交的线段，其长度为10cm ，两端点到平面的距离分别是2cm ，E1A 3cm ，这条线段与平面α所成的角是 .（3）若（2）中的线段与平面不相交，两端点到平面的距离分别是2cm ，3cm ，则线段所在直线与平面α所成的角是 . 答案：（1）θcos l （2）030 （3）101arcsin3．若P 为⊿ABC 所在平面外一点，且P A =PB =PC ，求证点P 在⊿ABC 所在平面内的射影是⊿ABC 的外心. 分析：斜线段长相等，则射影长也相等从而由P A =PB =PC ，点P 的射影到⊿ABC 的三个顶点的距离相等，所以射影为⊿ABC 的外心.五、小结 ：我们学习了有关平面的斜线、射影和直线与平面成角的几个概念，射影定理中的三个结论成立的前提是这些斜线段及垂线段必须是从平面外同一点向平面所引而得到的．否则，结论不成立．线面夹角的概念及解题步骤：先找垂线，后找射影最后确定夹角在具体解题时，关键是求斜线在平面内的射影 六、课后作业：在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、A 1D 1的中点，求：（1）D1B 1与面AC 所成角的余弦值； （2）EF 与面A 1C 1所成的角； （3）EF 与面AC所成的角．解：（1）设正方体的边长为a ，则在1Rt D BD ∆中，1,DB D B ==. ∴1cos 3D BD ∠==. （2）45°．（3）45°． 七、板书设计（略）八、课后记：在具体解题时往往找不出夹角，关键是不能求斜线在平面内的射影，通过练习，使学生在不同的视图中能较熟练地找出射影。