高中数学曲线公式大全
高中数学有关圆-椭圆-双曲线-抛物线的详细知识点
<一>圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。
（1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0此方程可用于解决两圆的位置关系：配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4其圆心坐标：（-D/2,-E/2）半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2此方程满足为圆的方程的条件是:D^2+E^2-4F>0若不满足,则不可表示为圆的方程（2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。
⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。
⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。
圆与直线的位置关系判断平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。
利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2;x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)其实只要保证X方Y方前系数都是1就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)这可以作为一个结论运用的且r=根号（圆心坐标的平方和-F）<二>椭圆的标准方程椭圆的标准方程分两种情况：当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；其中a>0，b>0。
高中数学圆锥曲线性质与公式总结
1 r22
1 a2
1 b2
(r1 | OP |, r2
| OQ |)
.
16．若椭圆
x2 a2
y2 b2
1（a＞b＞0）上中心张直角的弦
L
所在直线方程为
Ax By
1
( AB
0)
,则(1)
1 a2
1 b2
A2 B2 ;(2)
L
2 a4 A2 b4B2 a2 A2 b2B2
或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过 M 引一
条直线与椭圆相交于 P、Q 两点，则直线 A1P、A2Q(A1 ,A2 为对称轴上的两顶点)的交点 N 在直线 l ：x a2 (或 m
y b2 )上. m
40．设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相
1
则直线
BC
有定向且 kBC
b2 x0 a2 y0
（常数）.
x2 20．椭圆 a2
y2 b2
1
(a＞b＞0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点 F1PF2 ，则椭圆
的焦点三角形的面积为 SF1PF2
b2
tan 2
， P(
a c
c2 b2 tan 2 , b 2 tan ) 2c 2
应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MF⊥NF.
41．过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，
A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MF⊥NF.
高中所有数学公式、高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条、三角函数公式大全
高中数学常用公式及结论1 元素与集合的关系:U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.A A ∅⇔≠∅Ø2 集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有21n -个；非空子集有21n -个；非空的真子集有22n-个.3 二次函数的解析式的三种形式：(1) 一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;(2) 顶点式2()()(0)h f x a a k x =-+≠;（当已知抛物线的顶点坐标(,)h k 时，设为此式） (3) 零点式12()()()(0)f x a x x x a x =--≠；（当已知抛物线与x 轴的交点坐标为12(,0),(,0)x x 时，设为此式）（4）切线式：02()()(()),0x kx d f x a x a =-+≠+。
（当已知抛物线与直线y kx d =+相切且切点的横坐标为0x 时，设为此式）4 真值表： 同真且真，同假或假5 常见结论的否定形式;原结论 反设词 原结论反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个大于 不大于 至少有n 个 至多有（1n -）个 小于 不小于 至多有n 个 至少有（1n +）个 对所有x ，成立 存在某x ，不成立p 或q p ⌝且q ⌝对任何x ，不成立 存在某x ，成立p 且q p ⌝或q ⌝6 四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.）原命题 互逆 逆命题 若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ 互 互互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否否命题 逆否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ充要条件： (1)、p q ⇒，则P 是q 的充分条件，反之，q 是p 的必要条件；（2）、p q ⇒，且q ≠> p ，则P 是q 的充分不必要条件； (3)、p ≠> p ，且q p ⇒，则P 是q 的必要不充分条件；4、p ≠> p ，且q ≠> p ，则P 是q 的既不充分又不必要条件。
高中抛物线数学公式有哪些
高中抛物线数学公式有哪些高中抛物线数学公式有哪些高中抛物线数学公式1、抛物线：y=ax__+bx+c就是y等于ax的平方加上bx再加上c。
a0时，抛物线开口向上;a0时抛物线开口向下;c=0时抛物线经过原点;b=0时抛物线对称轴为y轴。
2、顶点式y=a(x+h)__+k就是y等于a乘以(x+h)的平方+k，-h是顶点坐标的x，k是顶点坐标的y，一般用于求最大值与最小值。
3、抛物线标准方程:y^2=2px它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0)。
4、准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程：y^2=2pxy^2=-2p__^2=2pyx^2=-2py。
高考数学冲刺策略1、拓实基础，强化通性通法。
高考对基础知识的考查既全面又突出重点。
抓基础就是要重视对教材的复习，尤其是要重视概念、公式、法则、定理的形成过程，运用时注意条件和结论的限制范围，理解教材中例题的典型作用，对教材中的练习题，不但要会做，还要深刻理解在解决问题时题目所体现的数学思维方法。
2、抓住重点内容，注重能力培养。
高中数学主体内容是支撑整个高中数学最重要的部分，也是进入大学必须掌握的内容，这些内容都是每年必考且重点考的。
象关于函数(含三角函数)、平面向量、直线和圆锥曲线、线面关系、数列、概率、导数等，把它们作为复习中的重中之重来处理，要一个一个专题去落实，要通过对这些专题的复习向其他知识点辐射。
3、细心审题、耐心答题，规范准确，减少失误。
计算能力、逻辑推理能力是考试大纲中明确规定的两种培养的能力。
可以说是学好数学的两种最基本能力，在数学试卷中的考查无处不在。
并且在每年的阅卷中因为这两种能力不好而造成的失分占有相当的比例。
所以我们在数学复习时，除抓好知识、题型、方法等方面的教学外，还应通过各种方式、机会提高和规范学生的运算能力和逻辑推理能力。
4、定期重复巩固。
即使是复习过的数学内容仍须定期巩固，但是复习的次数应随时间的增长而逐步减小，间隔也可以逐渐拉长。
高中数学复习----双曲线知识讲解及结论大全
的弦中点的轨迹方程是
1 / 34
x2 a2
−
y2 b2
=
x0 x a2
−
y0 y b2
.
15 ． 若
PQ
是双曲线
（ ＞ x2
a2
−
y2 b2
=1
b
a
＞0）上对中心张直角的弦，则
1 r12
+
1 r22
=
1 a2
−
1 b2
(r1
=| OP |, r2
=| OQ |) .
16 ． 若 双 曲 线
x2 a2
，则双曲线的焦点角形的面积为
S∆F1PF2
=
b2
cot
γ 2
，
P(± a c
c2
+
b2
cot 2
γ 2
,
±
b2 c
cot
γ 2
)
.
21．若
P
为双曲线
x2 a2
−
y2 b2
= 1 （a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,
F2
是焦
点 ，则 （或 ） , ∠PF1F2 = α , ∠PF2F1 = β
径的圆，除去实轴的两个端点.
6．以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
7．以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.
8．设 P 为双曲线上一点，则△PF1F2 的内切圆必切于与 P 在同侧的顶点.
9．双曲线
x2 a2
−
y2 b2
= 1（a＞0,b＞0）的两个顶点为
A1(−a, 0) ,
=
b2 a2
.
．若 13 P0 (x0,
高中数学圆锥曲线有好用的公式
高中数学圆锥曲线有什么好用的公式吗那些考试拿高分的，一定是简单的题目做得又快又对，这样他们才有时间去思考难题。
因此，适当地掌握一些教材中没有提到，但是可以加速解题过程的公式和定理，对提高解题速度，尤其是选择和填空题的解题速度极为有效。
下面就来简单总结一下与圆锥曲线有关的好用公式：1.利用椭圆的焦点三角形快速求离心率通过这一简单的结论，我们可以把一些出现在选择和填空题中的求离心率类的题目迅速解决，只需要画出图，找出角度，代入公式，避免了a，b，c换来换去的繁琐运算，为我们后面的大题节约时间。
我们先证明一下这个公式：通过这一简单的结论，我们可以把一些出现在选择和填空题中的求离心率类的题目迅速解决，只需要画出图，找出角度，代入公式，避免了a，b，c换来换去的繁琐运算，为我们后面的大题节约时间。
【我们先不使用这个定理来解决这个问题】：【在知道公式的情况下】翻译的图像和条件不变：那我们比较这两种做法，显然第一种需要用数学三招去思考，去动点脑筋去想，但如果利用好这个公式，我们几乎不需要思考，只需要熟练的计算即可迅速解出答案！2.利用椭圆的切线方程快速解题只需记下这个简单的结论，在圆锥曲线中椭圆这一章中，遇到切线问题就可以思路更清晰，解题更迅速噢。
【直接记住结论解题】再盯住已经转化过的目标，要求上述式子的最小值，联想有关的定理和定义，我们想到了利用函数的性质或者不等式的方法求最值，所以要把x1•x2，y1•y2，x1+x2换成与m有关的代数式。
利用这个定理，有效的缩短了解题时间，让我们对这一类型的题目处理起来更得心应手。
不仅是椭圆，在圆上这个定理也是成立的：大家记住了吗？3.利用双曲线的焦点三角形快速求离心率通过这一简单的结论，我们可以把一些出现在选择和填空题中的求离心率类的题目迅速解决，只需要画出图，找出角度，代入公式，避免了a，b，c换来换去的繁琐运算，为我们后面的大题节约时间。
我们先证明一下这个公式：因为上次椭圆的已经进行简便性验证了，那么同学们多记这4个字——椭加双减，再加上本身这个公式就很好记，结合三角形对比一下，多记4个字又可以解决一类题，投资回报比是很高的！利用本质教育的第一招翻译，翻译出图形：再利用本质教育的第三招盯住目标立马联想我们背过的公式：椭加双减3.二次曲线弦长万能公式（另外一个类似，可以证明）这就是泽宇老师在录播课中提到的“韦达定理模式”，解大题的时候，把以上证明过程写出来即可。
高中数学素材：圆锥曲线知识点与公式
第1节 椭圆【知识梳理】1．椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数(12122PF PF a F F +=>)，这个动点P 的轨迹叫椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距． 若1212PF PF F F +=，则动点P 的轨迹为线段12F F ；若1212PF PF F F +<，则动点P 的轨迹无图形．2．椭圆的标准方程与几何性质 3．椭圆的通径以及有关最值过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为22b a ．①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点． ②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．距离的最大值为a c +，距离的最小值为a c −．[使用点到点的距离公式证明] 4．点与椭圆的位置关系对于椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，点00()P x y ，在椭圆内部，等价于2200221x y a b +<，点00()P x y ，在椭圆外部，等价于2200221x y a b+>．5．椭圆焦点三角形的面积为2tan2S b θ=⋅（θ为焦距对应的张角）1(0)F c −，，2(0F证明：设12,PF m PF n ==()()()()()()122222221222cos 2121cos 1sin 32F PF m n a b c m n mn mn S mn θθθ+==+−−= + = ，： 1222222sin cossin 22tan 1cos 22cos 2F PF S b b b θθθθθθ⇒=⋅=⋅=+ ．6．椭圆的切线（1）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00()P x y ，处的切线方程是00221x x y y a b+=； （2）过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>外一点00()P x y ，，所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b+=； （3）椭圆 22221(0)x y a b a b+=>>与直线0Ax By C ++= 相切的条件是22222A a B b c +=.第二讲 双曲线【知识梳理】1．双曲线定义在平面内，到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数2a （a 大于0且122a F F <）的动点P 的轨迹叫作双曲线．这两个定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲1(0)F c −，，2(0)F c ，1(0)F c −，，F 2|2(F c c a b ==+12||2(F F c c =={y y a y a 或≤−≥轴和原点对称2．双曲线的通径过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为22ba ．3．点与双曲线的位置关系对于双曲线22221(0)x y a b a b −=>>，点00()P x y ，在双曲线内部，等价于2200221x y a b−>．点00()P x y ，在双曲线外部，等价于2200221x y a b −<结合线性规划的知识点来分析．4．双曲线常考性质性质一 双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数b ；顶点到两条渐近线的距离为常数ab c; [使用点到直线的距离公式即可证明]性质二 双曲线上的任意点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数222a b c；证明 设11()P x y ，是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是0ay bx −=和0ay bx +=，点11()P x y ，和222a b c =． 5. 双曲线焦点三角形面积为2tan 2b θ（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）6. 双曲线的切线点00()M x y ，在双曲线22221x y a b−=(00)a b ，>>上，过点M 作双曲线的切线方程为00221x x y y a b−=．若点00()M x y ，在双曲线22221x y a b −=(00)a b ，>>外，则点M 对应切点弦方程为00221x x y ya b −=第3节 抛物线【知识梳理】1．抛物线定义平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 22(0)y px p =>22(0)y px p =−>22(0)x py p =>22(0)x py p =−>0)，0y ≥，x R ∈0y ≤，x R ∈ 所以p 的值永远大于0．另外，焦半径使用定义即可证明．3．抛物线的通径过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．对于抛物线22(0)y px p =>，由()2pA p ，，()2p B p −，，可得||2AB p =，故抛物线的通径长为2p ．4．弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：0p y k =证明（点差法）：设11()A x y ，，22()B x y ，为抛物线22(0)y px p =>上两点，则2112y px =，2222y px =作差得21211202y y p px x y y y −==−+,其中00()M x y ，是AB 中点．或者说，若设AB 的斜率为k ，则AB 中点纵坐标0py k=．[焦点在y 轴上的抛物线，同理]111||[||||][||||]||222MN AC BD AF BF AB =+=+=，90ANB ∠=°，故以AB 为直径的圆与准线l 相切．设E 是AF 的中点，则E 的坐标为11222p x y +（，），则点E 到y 轴的距离为12221AF p x d ＝+= 故以AF 为直径的圆与y 轴相切，同理以BF 为直径的圆与y 轴相切.（2）在ACN △与AFN △中，||||||||AN AN AC AF ==，；在Rt ABN △中，NAM ANM ∠=∠90CAN ANM ACN AFN AFN ACN FN AB ∠=∠∠=∠=°⊥，△≌△，因为2()D p y F −＝，，1()C p y F −＝，，所以212+=0DF CF p y y =，所以FC FD ⊥．（3）设直线AB 的方程为2p x ty =+与抛物线22y px =联立得：22()2py p ty =+，即2220y pty p −−=，故212y y p =−，2221212224y y p x x p p ==． （4）11211122OA y y p k y x y p===，2222212122222OD y y py py pk p p p y y y ==−=−==−，则A 、O 、C 三点共线，同理B 、O 、C 三点共线．上述证明方式并非唯一，多种方法均可证明，不再赘述．6．抛物线的切线问题点00()M x y ，在抛物线22y px =(0)p >上，过点M 作抛物线的切线方程为00()y yp x x =+．点00()M x y ，在抛物线22y px =(0)p >外，过点M 对应切点弦方程为00()y yp x x =+． 点00()M x y ，在抛物线22x py =(0)p >内，过点M 作抛物线的弦AB ，分别过A B 、作抛物线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线00()x xp y y =+．第4节 焦长与焦半径体系【知识梳理—椭圆篇】1．焦半径公式设椭圆22221(00)x y a b a b +=>>，的右焦点为2(0)F c ，，11()A x y ，是椭圆上任意一点，则21212222121222221221212121222)1(2)(a cx x ac c b cx x a b a ax b c cx x y c x AF +−=++−−=−++−=+−=11cax a ex a=−=−．其中e 为椭圆的离心率，焦半径公式也可由第二定义快速得到2211()a AF e x a ex c=−=−,同理可以推出其他焦半径公式．焦点在y 轴上的椭圆和双曲线的时候，同理也可推出焦半径公式．总结：在椭圆和双曲线中，11()A x y ，到焦点的距离为1AF a ex =±（焦点在x 轴上） 1AF a ey =±（焦点在y 轴上）[长短记忆法：画图看长短来判断谁加谁减．] [口诀记忆法: 左加右减，上加下减，长正短负]焦半径范围：根据公式21AF a ex =−里面坐标x 1的范围，可得2AF 的范围为2a c AF a c −≤≤+． 2．焦点弦长公式椭圆焦点弦长公式．在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中，结合椭圆的焦点弦公式，过右焦点F的弦长为221212 ||()()2()a aMN e x e x a e x x c c =−+−=−+．3．椭圆焦长以及焦比问题焦长公式：A 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，1F 、2F 是左、右焦点，12AF F ∠为α，AB过1F ，c 是椭圆半焦距，则：（1）21||cos b AF a c α=−；（2）21||cos b BF a c α=+；（3）2222222222||cos sin ab ab AB a c b c αα==−+．图1-1-1证明 （1）如图1-1-1所示，12||||2AF AF a +=；12||||2BF BF a +=，故22||||||4AB AF BF a ++=； （2）设1||AF m =，1||BF n =，2||2AF a m =-，2||2BF a n =-，由余弦定理得 222(2)(2)2(2)cos m c a m m c α+--=⋅；整理得21||cos b AF a c α=-① 同理：222(2)(2)2(2)cos(180)n c a n n c α︒+--=⋅-；整理得21||cos b BF a c α=+②①+②得，则过焦点的弦长：2222222222||cos sin ab ab AB m n a c b c αα=+==-+③焦比定理 过椭圆22221x y a b +=的左焦点1F 的弦21||cos b AF a c α=−，21||cos b BF a c α=+，令11||||AF F B λ=，即221cos cos cos 1b b e ac a c λλαααλ-=⇒=-++④，代入焦长公式①可得21(1)||2b AF aλ+=⑤．推论 根据公式1cos 1e λαλ-=+，利用tan k α=把角度替换掉可以得到e =注意：1．整个焦长体系只需要记住上面~①⑤的公式，其他要熟悉推导，涉及到的面积问题记住是焦长当底即可；当直线过右焦点，或者上焦点、下焦点时，要熟悉此时的公式会如何变化，详见后面记忆方法处．2．学习焦长焦比体系要非常熟悉推导过程[定义+余弦定理+abc 的平方关系]，在处理解答题的时候，若用本模块公式到必须给出必要证明．3．公式1cos 1e λαλ-=+和21(1)||2b AF a λ+=这两个公式属于结论公式，一般用上能很快解题，所以在解小题的时候要优先考虑这两个公式．和角度相关优先想第一个，只和长度相关优先想第二个．4．焦长公式利用极坐标或第二定义都能更快证明，这个问题大家可以自己去掌握，解答题中的证明建议以余弦定理的方式为主；其他证法本文不在阐述，读者可以自己去掌握．[长短记忆法: 画图，看长短来记忆．当焦点在x 轴上的时候，焦长为2cos b a c α±，其中α为焦长所在直线的倾斜角或者其补角，为方便判断，一般选用锐角记为α．例如上图，如果记12AF F ∠为α,那么根据草图1||AF 为长边，则分母小即可得到21||cos b AF a c α=-,不管交于左右都是如此，交于y 轴的话需要把cos α换成sin α．焦比公式，如果1cos 1e λαλ-=+,λ为两个焦长之比，可以选=λ长短也可以=λ短长,但是公式里面要正负对齐，如果α选的是锐角，那么左侧是正的，右侧也要为正的，此时=λ长短;反之α选钝角，右侧=λ短长最后一个公式一样的，2(1)2b a λ+，代入的=λ长短算出来的就是长边，如果代入的=λ短长,算出来就是短边]1．双曲线焦长以及焦比问题周长问题：双曲线22221x y a b-=(00)a b ，>>，的两个焦点为1F 、2F ，弦AB 过左焦点1F （A 、B 都在左支上），||AB l =，则2ABF △的周长为42a l +（如图）图1-2-1 图1-2-2 图1-2-3 设A 是双曲线22221x y a b-=(00)a b ，>>上一点，设12AF F ∠为α，直线AB 过点1F ．(1)直线和渐近线平行时，此时1cos e α=． (2)当AB 交双曲线于一支时，则21cos b AF a c α=+；21cos b BF a c α=−．2222222222||cos sin ab ab AB a c b c αα==−+，22222||cos ab AB a c α=-，2221cos 01cos a c e αα->⇒<< 令11||||BF F A λ=，即221cos cos cos 1b b e a c a c λλαααλ-=⇒=-++，代入弦长公式可得21(1)||2b AF aλ+=． 当AB 交双曲线于两支时，21cos b AF a c α=+；21cos b BF a c α=−；22222||cos ab AB c a α=-，2221cos 0cos a c e αα-<⇒>（图1-2-3），令11||||BF F A λ=，221cos (1)cos cos 1b b e c a a c λλαλααλ+=⇒=>-+-，代入弦长公式可得21(1)||2b BF aλ-=．=λ长（其中）短 [总结：焦点在x 轴上的时候，直线和双曲线交于单支的时候，公式形式和椭圆完全一样； 直线和双曲线交于双支的时候，公式形式有所变化，具体参考上面书写] 因为双曲线的部分考题会涉及渐近线，不过焦点的时候要注意，注意鉴别．1．||||1cos 1cos p pAF BF αα==−+；． 2．1222||sin p AB x x p α=++=． 3．22sin AOBp S △α=． 4．设||||AF BF λ=，则11cos ;||12AF p λλαλ−+==+． 5．设AB 交准线于点P ，则||cos ||AF PA α=；||cos ||BF PB α=． 证明1．||||||||||||cos 1cos AC AF p AF p FD AC AF θθ= ⇒===−−，同理||1cos pBF α=+． 2．22||||||1cos 1cos sin p p pAB AF BF ααα=+=+=-+． 3．设O 到AB 的距离为d ，则 sin 2pd α=，故22112||sin 22sin 22sin AOB p p p S AB d ααα===△． 4．||1cos 1cos ||1cos 1AF BF αλλλααλ+−=⇒=⇒=−+，1||1cos 2p AF p λα+==−． 5．||2A p AF x =+，||2B p BF x =+，||cos ||AF PA α=，||cos ||BF PB α=． 关于抛物线22x py =的焦长公式及定理（A 为直线与抛物线右交点，B 为左交点，90 α<为AB 倾斜角）1．||1sin p AF α=−；||1sin pBF α=+．2．1222||cos pAB y y p α=++=． 3．22cos AOBp S α=△．4．设||||AF BF λ=，则1sin 1λαλ−=+；1||2AF p λ+=．5．设AB 交准线于点P ，||||sin ;sin ||||AF BF PA PB αα==． [总结：抛物线焦点在x 轴的时候的，焦长为1cos p α±，1cos 1λαλ−=+，焦长为12p λ+，记忆方法参考椭圆模块；当焦点在y 轴上的时候cos 换成sin]。
高中数学曲线公式大全
高中数学曲线公式大全圆锥曲线公式:椭圆1、中心在原点,焦点在x轴上的椭圆标准方程:其中x ＆suｐ２;/ａ&suｐ2;+y&sｕp2;/b&ｓup2;=1,其中a＆g ｔ;b&gｔ;0,c²=ａ＆sup2;-b&suｐ2;2、中心在原点,焦点在y轴上的椭圆标准方程:y＆suｐ2;/a&ｓｕp２;＋x＆suｐ2;/b＆sup2;=１,其中a＆gt;ｂ＆gt;0,c＆sup2;＝a＆sｕp2;—b&sｕp2;参数方程:x＝ａcｏs＆ｔｈeta;;ｙ=ｂsin＆ｔheta;(＆ｔhｅta;为参数,0≤θ＆le;2＆pi;)圆锥曲线公式:双曲线1、中心在原点,焦点在ｘ轴上的双曲线标准方程:x²/a—y＆sｕｐ２;/b＆suｐ２;=１,其中a＆gt;0,b>０,ｃ&sｕp2;＝a＆sup2;+ｂ＆ｓuｐ2;。
2、中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程:y＆ｓｕp2;／a＆sup2;—x&ｓｕp2;/b＆suｐ2;＝1,其中ａ>0,b&ｇt;０,c²=a²＋b&ｓｕp2;、参数方程:ｘ=asｅc&theｔa;;y＝btan&tｈｅtａ;(&thet ａ;为参数)圆锥曲线公式:抛物线参数方程:x＝2ｐｔ&sｕｐ2;;y=2ｐt(t为参数)t=1/ｔa ｎ&thｅｔａ;(ｔａn＆theｔa;为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特别地,t可等于0直角坐标:y＝ax＆sｕｐ２;+ｂｘ+ｃ(开口方向为y轴,a≠０)x=ａy＆sup2;+by+c(开口方向为x轴,a≠0) 离心率椭圆,双曲线,抛物线这些圆锥曲线有统一的定义:平面上,到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
高中数学椭圆与双曲线中点弦斜率公式及推广
每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每椭圆与双曲线中点弦斜率公式及其推论圆锥曲线中点弦问题是问题在高考中的一个常见的考点.其解题方法一般是利用点差法和韦达定理，设而不求.但一般来说解题过程是相当繁琐的.若能巧妙地利用下面的定理则可以方便快捷地解决问题.定理1(椭圆中点弦的斜率公式)：设00(,)M x y 为椭圆22221x y a b+=弦AB （AB 不平行y 轴）的中点，则有：22AB OM b k k a⋅=-证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212ABy y k x x -=-，22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b --+=整理得：2221222212y y b x x a-=--，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=-+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012001222OMy x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a⋅=-定理2(双曲线中点弦的斜率公式)：设00(,)M x y 为双曲线22221x y a b-=弦AB每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每（AB 不平行y 轴）的中点，则有22AB OMb k k a⋅= 证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212ABy y k x x -=-，22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b ---=整理得：2221222212y y b x x a -=-，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012001222OMy x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a⋅= 例1、已知椭圆22221x y a b-=，的一条弦所在的直线方程是30x y -+=，弦的中点坐标是2,1M -（），则椭圆的离心率是（ ） A 、12B、2 C、分析：本题中弦的斜率 1AB k =且12OMk =-，根据定理有2212b a =，即2222112a c e a -=-=，解得e =，所以B 答案正确.例2、过椭圆221164x y +=内的一点(2,1)M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在的直线方程.解：设弦所在的直线为AB ，根据椭圆中点弦的斜率公式知14AB OM k k ⋅=-，显然12OM k =，所以12AB k =-，故所求的直线方程为11(2)2y x -=--，即240x y +-=.每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每例3、过椭圆2216436x y +=上的一点(8,0)P -作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点的轨迹方程.解：设PQ 的中点为(,)M x y ，则OM y k x=，8PQ y k x =+，由椭圆中点弦的的斜率公式得9816y y x x ⋅=-+，即所求的轨迹方程为29(8)16y x x =-+例4、已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，A 、B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线l 与x 轴交于0(,0)P x ，求证：22220a b a b x a a---<<. 证明：设AB 的中点为11(,)M x y ，由题设可知AB 与x 轴不垂直，10y ∴≠，由椭圆的中点弦斜率公式得:2121ABx b k a y =-⋅2121l a y k b x ∴=，所以直线l 的方程为：211121()a y y y x x b x -=-，令0y =解得21022a x x a b =-，1||x a <，2022a a x a a b ∴-<<-，即：22220a b a b x a a ---<<例5、已知双曲线2212y x -=，经过点(1,1)M 能否作一条直线l ，使l 交双曲线 于A 、B 两点且点M 是线段AB 的中点，若存在这样的直线l ，求出它的方程； 若不存在，说明理由.解：若存在这样的直线l 的斜率为k ，则1OM k =，由双曲线中点弦的斜率公式知：2k =，此时l 的方程为：12(1)y x -=-，即21y x =-，将它代入双曲线方程2212y x -=并化简得：22430x x -+=，而该方程没有实数根.故这样的直线每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每l 不存在.定理1推论：若A 、B 是椭圆22221x y a b+=上关于中心对称的两点，P 是椭圆上任一点，当PA 、PB 的斜率PA k 和PB k 都存在时，有22PA PB b k k a⋅=-. 证明：如图：连结AB ，取PB 中点M ，连结OM ，则OM PA ，所以有OM PA k k =，由椭圆中点弦斜率公式得：22OM PBb k k a ⋅=-.所以22PA PB b k k a⋅=-.类似地可以证明定理2推论：若A 、B 是双曲线22221x y a b-=上关于中心对称的两点，P 是双曲线上的任一点，当PA 、PB 的斜率PA k 和PB k 都存在时，有22PA PBb k k a⋅=.。
高中数学总结——常用公式与推论
高中数学总结——公式与推论（理科）张皓翔成都二十中一．关于函数1. 抽象函数的周期（1）f（a±x)=f(b±x) T=|b-a|（2）f（a±x)=-f(b±x) T=2|b-a|（3）f(x-a)+f(x+a)=f(x) T=6a（4）f(x-a)=f(x+a) T=2a（5）f(x+a)=-f(x) T=2a2．奇偶函数概念的推广及其周期：（1）对于函数f（x），若存在常数a，使得f（a-x）=f（a+x），则称f（x）为广义（Ⅰ）型偶函数，且当有两个相异实数a，b同时满足时，f（x）为周期函数T=2|b-a|（2）若f（a-x）=-f（a+x），则f（x）是广义（Ⅰ）型奇函数，当有两个相异实数a，b同时满足时，f（x）为周期函数T=2|b-a|3.抽象函数的对称性（1）若f（x)满足f（a+x）+f（b-x）=c则函数关于（，）成中心对称（充要）（2）若f（x）满足f（a+x）=f（b-x）则函数关于直线x=成轴对称（充要）4.洛必达法则，设连续可导函数f(x)和g(x)5.常见奇函数（1）. y=sinx y=tanx（2）. y=x n(n∈2k+1 k∈Z)（3）. y=lg(√1+x2−x)−x→y=lg√1+(ax2)±ax y=lg b−axb=ax（4）. f(x)=a x−1(a>0 且 a≠1)a x+1（5）. f(x)=|x+a|−|x−a|6.抽象函数模型（1）.f(x+y)=f(x)+f(y) f(x)=kx（2）.f(x+y)=f(x)f(y) f(x)=a x)=f(x) -f(y) f(x)=log a x（3）.f(xy)=f(x)+f(y) f(xy二、三角函数1.三角形恒等式（1）在△中，（2）正切定理&余切定理：在非Rt△中，有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC（3）（4）(5)2．任意三角形射影定理（又称第一余弦定理）：在△ABC中a＝bcosC＋ccosB；b＝ccosA＋acosC；c=acosB＋bcosA3. 任意三角形内切圆半径r=（S为面积），外接圆半径欧拉不等式：R>2r4．梅涅劳斯定理如下图，E.D.F三点共线的充要条件是5．塞瓦定理如下图，AD、BE、CF三线共点的充要条件是6. 斯特瓦尔特定理：如下图，设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有A²DC+AC²BD-AD²BC＝BC DC BD7、和差化积公式（只记忆第一条）sinα+sinβ=2sin cossinα-sinβ=2cos sincosα+cosβ=2cos coscosα-cosβ=-2sin sin8、积化和差公式sinαsinβ=-cosαcosβ=sinαcosβ=cosαsinβ=9、万能公式10．三角混合不等式：若x∈（0，),sinx＜x＜tanx当x→0时sinx x tanx11.海伦公式变式如下图，图中的圆为大三角形的内切圆，大三角形三边长分别为a.b.c，大三角形面积为12.双曲函数定义双曲正弦函数sinhx=，双曲余弦函数coshx=易知（1）奇偶性：sinhx为奇函数，coshx为偶函数（2）导函数：（sinhx）’=coshx，（coshx）’=sinhx（3）两角和：sinh（x+y）=sinhxcoshy+coshxsinhycosh（x+y）=coshxcoshy+sinhxsinhy（4）复数域：sinh（ix）=isin（x）cosh（ix）=icos（x）（5）定义域：x∈R（6）值域：sinhx∈R，coshx∈[1，+∞）13.三角形三边a.b.c成等差数列，则14.三角形不等式（1）在锐角△中，（2）在△中，（3）在△中，sinA>sinB cos2A>cos2B15．ASA的面积公式：三、数列（所有通过递推关系得出通项后都要检验首项）1.A n+1=kA n+f(n)两边同除以k n+1，构造数列｛｝，通过累加法得出通项公式2. A n+1=kA n+C设一常数x，A n+1+x=k（A n+x）A n+1 =kA n+（k-1）x则（k-1）x=C，求出x=，得到等比数列｛｝,公比为k3．不动点法：形如A n+1=（d≠0，当d=0时，则是第二种情况），设函数f(x)=，x=的根称为f(x)的不动点，（1）若函数f（x）有2个不动点α，β则数列{}是一个等比数列，A’n==，A n=（2）若函数f（x）只有一个不动点α则数列{}数一个等差数列，A’n=（3）若函数f（x）没有不动点，则数列{A n}是周期数列，周期自己找4．特征方程法：形如A n+2=pA n+1+qA n称为二阶递推数列，我们可以用它的特征方程x²-px-q=0的根来求它的通项公式（1）若方程有两根x1，x2，则A n=x1n-1+x2n-1 (,可根据题目确定)（2）若只有一个根x0A n=(+n)x0n-1(,可根据题目确定)5．变系数一阶递推数列四、不等式1.权方和不等式（赫德尔不等式推出）当且仅当2.黎曼和-定积分不等式级数与定积分之间的关系设可积函数f(x)当f(x)为减时，当f(x)为增时，3．琴生不等式函数的平均数与平均数的函数之间的关系当f(x)为凹函数，即f’’（x）>0时当f(x)为凸函数，即f’’（x）<0时当且仅当x1=x2=∧=x n时，等号成立4.卡尔松不等式5．排序不等式当且时，其中以上可概括为顺序和≥乱序和≥倒序和5．切比雪夫总和不等式（排序不等式推出）当a n与b n逆序时当a n与b n顺序时不等式反向6．舒尔不等式（Schur不等式）x t（x-y）（x-z）+y t（y-x）（y-z）+z t（z-x）(z-y)≥0当x=y=z时，等号成立配Schur法（Schur分拆法）三元齐三次对称轮换式f(x,y,z)≥0的充要条件是因为f(x,y,z)=a+b+cxyz 三元齐四次对称轮换式f(x,y,z)≥0的充要条件是因为f(x,y,z)=三元齐五次对称轮换式f(x,y,z)≥0的充要条件是因为f(x,y,z)=7．常用对数不等式当x〉-1时，当且仅当x=0时等号成立8.伯努利不等式当x≥-1，n≥0时或n为正偶数，x∈R时（1+x）n≥1+nx当n=0或1，或x=0时等号成立9．uvw法和pqr法（解决三元对称轮换式）uvw法：令a+b+c=3u,ab+bc+ca=3v2,abc=w3，得到新不等式pqr法：令a+b+c=p ,ab+bc+ca=q ,abc=r，得到新不等式当a.b.c为非负实数时，用uvw法；当a,b,c∈R时，用pqr法10.SOS法（配方法）不解释11．拉格朗日乘数法（解决条件极值问题）已知f(x,y,z)=0，求F（x,y,z）的极值构造拉格朗日函数L=F（x,y,z）+λf(x,y,z)对F（x,y,z）分别关于x,y,z，λ求偏导，得到四元方程组，其中对F（x,y,z）关于λ求偏导所得方程即f(x,y,z)=0解四元方程组所得解，即F（x,y,z）的极值点，从而算出极值。
高中数学课件-双曲线公式
M F1 o F2
7.双曲线的弦长AB=_________ 8.焦点X轴，双曲线中点弦斜率K=________
焦点Y轴，双曲线中点弦斜率K=_________
y = kx + m
x2
a 2
-
y2 b2
消去y，得: =1
_________
1.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线_________
重合：无交点；平行：有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,
Δ两个交点）
Δ=0
直线与双曲线_________
Δ<0
直线与双曲线_________
M
F1 O F2 x
有共同渐近线的双曲线方程
y M
F2 x
O
F1
4.焦点在y轴上,双曲线方程_______ 焦点在x轴上,双曲线方程_______
5.双曲线定义: | |MF1| - |MF2| | =______
（1）若2a=2c,则轨迹是什么？ （2）若2a>2c,则轨迹是什么？ （3）若2a=0,则轨迹是什么？
性
双 曲
质
图象
线
x2 a2
y2 b2
1
(a 0,b 0)
范围
对称性 顶点 渐近线 a,b,c关系 及离心率
y2 x2 a2 b2 1 (a 0,b 0)
2.若双曲线的渐近线方程是y＝ a x，则双曲线标
准方程设为_________
b
3.与可双设曲为线__ax_22__b_y22___1
y
高中数学公式大全圆锥曲面的方程与性质公式
高中数学公式大全圆锥曲面的方程与性质公式高中数学公式大全：圆锥曲面的方程与性质公式在高中数学学习中，圆锥曲面是一个重要的内容，它包括了圆锥、椭圆、抛物线和双曲线。
在本文中，我们将详细介绍圆锥曲面的方程与性质公式。
希望对你的学习有所帮助。
一、圆锥曲面的方程与性质公式1. 圆锥的方程圆锥的方程可以根据其形状分为三种情况：直线、圆和椭圆。
（1）直线：直线是圆锥的一种特殊情况，其方程可以表示为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。
（2）圆：圆锥的方程可以表示为x² + y² = r²，其中r为半径。
（3）椭圆：椭圆的方程可以表示为$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$，其中a、b分别为椭圆的长半轴和短半轴。
2. 椭圆的性质公式椭圆的离心率可以表示为$\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}$，其中a、b分别为椭圆的长半轴和短半轴。
（2）焦点坐标：椭圆的焦点坐标可以表示为$(\pm ae,0)$，其中e为椭圆的离心率。
（3）直径方程：椭圆的直径方程可以表示为$\dfrac{x}{a}-\dfrac{y}{b}=\pm1$。
3. 抛物线的方程与性质公式抛物线的方程可以表示为$y^2=4ax$，其中a为常数。
（1）焦点坐标：抛物线的焦点坐标可以表示为$(a,0)$。
（2）准线方程：抛物线的准线方程可以表示为$x=-\dfrac{a}{2}$。
（3）焦半径方程：抛物线的焦半径方程可以表示为$y=\pm\dfrac{x^2}{4a}$。
4. 双曲线的方程与性质公式双曲线的方程可以表示为$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$，其中a、b分别为双曲线的长半轴和短半轴。
双曲线的离心率可以表示为$\sqrt{1+\dfrac{b^2}{a^2}}$，其中a、b分别为双曲线的长半轴和短半轴。
（2）焦点坐标：双曲线的焦点坐标可以表示为$(\pm ae,0)$，其中e为双曲线的离心率。
高考数学中的圆锥曲线知识点总结
高考数学中的圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是高中数学中比较重要和难度较大的一部分内容，也是高考数学必考的一个知识点。
它是由圆锥（一种立体图形）与平面相交所得到的一类曲线，在空间中可以表现为椭圆、双曲线和抛物线三种不同形态。
下面本文将对这一知识点进行总结，帮助同学们更好地掌握和应用这一重要知识点。
一、椭圆1. 定义椭圆是平面上到两个确定点F1和F2的距离的和等于定值2a 的所有点的轨迹。
2. 公式椭圆的标准方程为：(x² / a²) + (y² / b²) = 1其中，a、b均为正数，a代表椭圆短轴一半长度，b代表椭圆长轴一半长度。
3. 性质（1）椭圆的长轴和短轴分别是椭圆的最长直径和最短直径；（2）椭圆的两个焦点F1和F2在椭圆的长轴上，且满足距离为2a；（3）椭圆的离心率e的值在[0，1)之间；（4）椭圆的对称轴分别是椭圆的长轴和短轴；（5）椭圆的直径有两个对称轴，有四个半轴；（6）椭圆的周长为4aE(e)，其中E(e)为第二类完全椭圆积分，用数值表或计算器可得。
二、双曲线1. 定义双曲线是平面上到两个确定点F1和F2的距离的差为定值2a 的所有点的轨迹。
2. 公式双曲线的标准方程为：(x² / a²) - (y² / b²) = 1其中，a、b均为正数，a代表双曲线的距离两点的差的一半，b 代表双曲线离心率的倒数。
3. 性质（1）双曲线有两个相交且交点为对称中心的对称轴；（2）双曲线的长轴是对称轴之间的距离，短轴是横截距；（3）双曲线的离心率e的值在（1，+∞）之间；（4）双曲线的渐近线是与双曲线无限靠近但不相交的直线。
三、抛物线1. 定义抛物线是平面上到一个定点F到直线L的距离等于点P到直线L距离的平方的一半的所有点的轨迹。
2. 公式抛物线的标准方程有两种：（1）矩形坐标系下为：y = ax²（2）平面直角坐标系下为：(x - h)² = 4p(y - k)其中，a、p均为正数，a代表抛物线开口的方向，p代表抛物线的几何意义。
高中数学极点极线及高中圆锥曲线必备公式
极点极线定义已知圆锥曲线С: Ax +By +Cx+Dy+E=0与一点P(x0,y 0) [ 其中 A +B x0+x≠0,点．P．不．在．曲．线．中．心．和．渐．近．线．上．]. 则称点P 和直线L:A?x0x+B?y0y+C? 2 +D?y2+y+E=0是圆锥曲线С的一对极点和极线x0+x y0+y 即在圆锥曲线方程中, 以x0x 替换x ，以2替换x，以y0y 替换y , 以2替换y 则可得到极点P(x0,y 0) 的极线方程L.特别地：(1) 对于圆(x-a) +(y-b) =r , 与点P(x 0 ,y 0) 对应的极线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=r ；x y x0x y0y(2) 对于椭圆+ =1，与点P(x0,y 0)对应的极线方程为0 + 0 =1 ；a b a bx y x 0x y 0y(3) 对于双曲线 a -b =1，与点 P(x 0,y 0)对应的极线方程为 a 0 -b 0 =1 ；(4) 对于抛物线 y =2px ，与点 P(x 0,y 0) 对应的极线方程为 y 0y=p(x 0+x) ； 性质 一般地,有如下性质 [焦．点．所．在．区．域．为．曲．线．内．部． ]: ① 若极点 P 在曲线С上,则极线 L 是曲线С在P 点的切线；② 若极点 P 在曲线С外,则极线 L 是过极点 P 作曲线С的两条切线的切点连线；③ 若极点 P 在曲线С内,则极线 L 在曲线С外且与以极点 P 为中点的弦平行 [仅是 斜率相 等 ]( 若是 圆 , 则此时中 点 弦的 方程 为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=x 0x y 0y x 0 y 0；若是椭圆,则此时中点弦的方程为 a x x +b y y =x a +y bx 0x y 0y x 0 y 0双曲线,则此时中点弦的方程为 a x0x -b y0y =x a 0 -y b 0 ；若是抛物线 ,则此时中点弦的 方程为 y 0y-p(x 0+x)=y 0 -2px 0) ；(x 0-a) +(y 0-b) 若是④当P(x0,y 0)为圆锥曲线的焦点F(c,0) 时，极线恰为该圆锥曲线的准线．．；⑤极点极线的对偶性:Ⅰ.已知点P和直线L是关于曲线С的一对极点和极线,则L上任一点Pn对应的极线Ln必过点P,反之亦然,任意过点P的直线Ln对应的极点Pn必在直线L上[图．Ⅱ.过点P作曲线C的两条割线L1、L2，L1交曲线C于AB，L2交曲线C于MN，则直线AM、BN的交点T，直线AN、BM的交点S必都落在点P 关于曲线C的极线L 上[ 图．中．点．P．与．直．线．S．．T是．一．对．极．点．极．线．；．点．T．与．直．线．S．．P是．一．对．极．点．极．线．] ；即OP = OR OROQⅢ. 点 P 是曲线 C 的极点，它对应的极线为 L ，则有 :1）若C 为椭圆或双曲线，O 是C 的中心，直线 OP 交C 与R ，交L 于Q ，则OP?OQ=OR如图中学数学中极点与极线知识的现状与应用虽然中学数学中没有提到极点极线,但事实上,它的身影随处可见,只是没有点破而已.教材内改名换姓,“视”而不“见” .由④可知椭圆x a +y b =1的焦点的极a线方程为: x= . 焦点与准线是圆锥曲线一章中的核心内容, 它揭示了圆锥曲线c的统一定义, 更是高考的必考知识点. 正是因为它太常见了, 反而往往使我们“视”而不“见” .圆锥曲线基础必备1、长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理长轴=2“，短轴= 2b,焦距= 2c.则：a2 =b2 -^c2 1、准线方程准焦距.〃方、"方涂以r..& 0・ 刁2sm —cos — sm 0_ 2 2 1 +cos0 2 cos 2—2 & 所以：椭圆的焦点三角形的面积为S 胚恶=b tail-.4.焦三角形计面积"半角正切進乘焦三角形：以椭圆的两个焦点巧・耳为顶点，另一个顶点」 在椭圆上的三角形称为焦三角形•半角是指—Z 与P 巧的一半. 则焦三角形的面积为： 证明：设阿| =小|昭| = S 由余弦定理:m 2 +n 2 - 2mn cos^= 4c 2=4a即：-2mn - = 2mn - 4b 2,故: Sgf =-m n sin0 =-』+ cos& l + cos0又:0 =tan —三、椭圆的相关公式 切线平分焦周角, 切点连线求方程, 弦与中线斜率积, 细看中点弦方程,称为弦切角定理① 极线屯理须牢记② 准线去除准焦距③ 恰似弦中点轨迹④艮卩：2D = (1+ cos0)mn .1、 切线平分焦周角，称为弦切角定理弦切角定理：切线平分椭圆焦周角的外角，平分双 曲线的焦周角.焦周角是焦点三角形中，焦距所对应的角.弦切角是指椭圆的弦与其切线相交于椭圆上时它 们的夹角，当弦为焦点弦时（过焦点的弦），那么切 线是两个焦点弦的角平 分线.第6页2. 切点连线求方程，圾线定理须牢记若旳（X05）在椭圆卡+$ = 1外，则过昨作椭圆的两 条切线，切点、为P 』,巧，则点耳和切点弦马•勺分别称 为椭圆的极点和极线.切点弦耳乃的直线方程即极线方程是笫？页3、弦与中线斜■率积.准线去涂准焦距|弦指椭圆内的一弦•中线指弦AB 的中点M 与 原点O 的连线，即2AB 得中线•这两条直线的斜率的VY - Q 2於乘积，等于准线距离去除准焦^p= — .其k k_ p 结杲是：0M = T =~V第8页（称为极线定理）4、细看中点弦方程，恰似弦中点、轨迹|中点、弦AB 的方程:在椭圆中，若弦的中点、为弦仙称为中点弦，则中点弦的方程就是弦中点M 的轨迹方程：在椭圆中，过椭圆内点 p 皿、m 的弦AB , 其中点、M 的方程就是 S . y o y … /( y 2. 一7*+矿二正+歹，仍为椭圆.这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞 混了.第9页是直线方程.圆锥曲线必背口诀（红字为口诀）-双曲线一、双曲线定义双曲线有四定义.差比交线反比何1、定义1:（差）平面内，到两个定点唇码的距离之差的绝对值为定值2“（小于这两个定点间的距离冈砂）的点的轨迹称为双曲线。
高考数学圆锥曲线部分重要公式及结论
高中数学圆锥曲线部分重要公式及结论（椭圆部分）● 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.● PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.● 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.● 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.● 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.● 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.● 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.● 椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).● 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.● 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.● AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a xb K AB -=。
● 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.● 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.● 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.● 过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.● 若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,21PF F β∠=，则tan t 22a c co a c αβ-=+. ● 设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.● 若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e 1时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.● P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.● 椭圆220022()()1x x y y a b--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.● 已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +. ● 过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. ● 已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a---<<.● 设P 点是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2PF F S b γ∆=.● 设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PABa b S b a γ∆=-. ● 已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点. ● 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.● 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.● 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). ● （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） ● 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. ● 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.（双曲线部分）● 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.● PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.● 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.● 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）● 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. ● 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b -=.● 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.● 双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c● 当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a=-. ● 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a=--● 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.● 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.● AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
高中数学曲线公式大全
高中数学曲线公式大全数学中的曲线是我们学习数学中非常重要的一部分内容，它们在解决实际问题和理论推导中起着重要作用。
在高中数学教学中，学习曲线的相关公式是必不可少的知识点。
本篇文章将为大家整理总结高中数学曲线公式大全，帮助大家更好地理解和掌握这些重要知识。
一、直线的一般式和斜率截距式直线是曲线学习的基础，首先我们来了解直线的一般式和斜率截距式。
直线的一般式表达形式为Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数且A和B不同时为0；而直线的斜率截距式表达形式为y=kx+b，其中k为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距。
掌握这两种表达形式，可以帮助我们快速描述和分析直线的性质和特点。
二、二次函数的顶点式和一般式在曲线学习中，二次函数也是一个重要的知识点。
二次函数的顶点式表达形式为y=a(x-h)²+k，其中(a,h,k)为顶点的坐标，a为二次函数的开口方向和开口程度；而二次函数的一般式表达形式为y=ax²+bx+c，其中(a,b,c)为一般式的系数。
通过这两种表达形式，我们可以更好地理解和分析二次函数的性质和变化规律。
三、圆的标准方程和一般方程圆也是曲线学习中的重要内容之一，圆的标准方程和一般方程是我们必须掌握的知识。
圆的标准方程表达形式为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心的坐标，r为圆的半径；而圆的一般方程表达形式为x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中(D,E,F)为一般方程的系数。
了解这两种表达形式，有助于我们解答圆的相关问题和定位圆的位置。
四、椭圆的标准方程和离心率椭圆是曲线学习中的难点内容，椭圆的标准方程和离心率是我们需要学习和理解的知识点。
椭圆的标准方程表达形式为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(h,k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴；而离心率e是描述椭圆形状的重要参数，它等于c/a，其中c为椭圆的焦点到中心的距离。
高考数学复习之双曲线二级结论大全
双曲线1. 122PF PF a 2.标准方程22221x y a b3.111PF e d4P PT PF ．点处的切线平分△1F 2 在点处的内角P .5PT PF ．平分△1F 2 在点处的内角，则焦点在直线上的射影点的轨迹是以实轴为直P PT H 径的圆，除去实轴的两个端点. 6PQ .．以焦点弦为直径的圆必与对应准线相交 7PF ．以焦点半径1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切. 8P PF ．设为双曲线上一点，则△1F 2 的内切圆必切于与在同侧的顶点P .9．双曲线22221 x y a b（＞＞）的两个顶点为a 0,b 01 (,0)A a ,2 ( ,0)A a ，与轴平行的直线y 交双曲线于P 1、P 2 时A 1P 1 与A 2P 2交点的轨迹方程是 22221 x y a b.10．若000 (,)P x y 在双曲线 22221 x y a b（＞＞）上，则过a 0,b 00P 的双曲线的切线方程是00 221 x x y y a b.11．若000 (,)P x y 在双曲线 22221 x y a b（＞＞）外，则过作双曲线的两条切线切a 0,b 0Po 点为P 1、P 2 ，则切点弦P 1P 2的直线方程是 00 221 x x y ya b . 12AB ．是双曲线 22221 x y a b （＞＞）的不平行于对称轴且过原点的弦，为的a 0,b 0M AB 中点，则22 OM AB b k k a.13．若000 (,)P x y 在双曲线 22221 x y a b（＞＞）内，则被所平分的中点弦的方程是a 0,b 0Po2200002222 x x y y x y a b a b.14．若000 (,)P x y 在双曲线 22221 x y a b（＞＞）内，则过的弦中点的轨迹方程是a 0,b 0Po 2200 2222x x y y x y a b a b . 15PQ ．若是双曲线 22221 x y a b（＞＞）上对中心张直角的弦，则b a 0 122222 12 1111(||,||)r OP r OQ r r a b . 16．若双曲线22221 x y a b （＞＞）上中心张直角的弦所在直线方程为b a 0L 1Ax By (0)AB ,(1)则 2222 11 A B a b ;(2) 424222222 || a A b B La Ab B .17．给定双曲线1C ：222222b x a y a b （＞＞）a b 0,2C ： 2222222 22 () a b b x a y ab a b,则对(i)1C 上任意给定的点 00 (,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M222200 2222 (,) a b a b x ya b a b .(ii)对2C 上任一点 ''' 00 (,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'P 点.18．设 00 (,)P x y 为双曲线22221 x y a b（＞＞）上一点，a 0,b 0P 1P 2 为曲线的动弦且弦C ,PP 1,PP 2 斜率存在，记为k 1 ,k 2 ,P 则直线1P 2通过定点00 (,)M mx my (1)m 的充要条件是212211 m b k k m a.19．过双曲线 22221 x y a b（＞＞）上任一点a 0,b o 00 (,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于两点，则直线有定向且B,C BC 2020BC b xk a y （常数）.20．双曲线22221 x y a b（＞＞）的左右焦点分别为a 0,b o F 1，F 2 ，点为双曲线上任意一点P 12 F PF，则双曲线的焦点角形的面积为 122cot 2F PF S b，2222 (cot ,cot ) 22 a b P c bc c .21P ．若为双曲线 22221 x y a b（＞＞）右（或左）支上除顶点外的任一点a 0,b 0,F 1 ,F 2是焦点, 12 PF F , 21PF F ，则 tan t 22 c a co c a （或 tan t 22 c aco c a）.22．双曲线 22221 x y a b（＞＞）的焦半径公式：a 0,b o 1 (,0)F c ,2(,0)F c 当 00 (,)M x y 在右支上时， 10 ||MF ex a , 20 ||MF ex a .当 00 (,)M x y 在左支上时， 10 ||MF ex a , 20||MF ex a .23．若双曲线22221 x y a b （＞＞）的左、右焦点分别为a 0,b 0F 1、F 2 ，左准线为，则当L 1＜e≤ 21 时，可在双曲线上求一点，使得P PF 1 是到对应准线距离P d 1 与PF 2的比例中项.24．P 为双曲线 22221 x y a b（＞＞）上任一点a 0,b 0,F 1,F 2 为二焦点，A 为双曲线左支内一定点，则 21 ||2||||AF a PA PF ,当且仅当2 ,,A F P 三点共线且P 在左支时，等号成立.25．双曲线22221 x y a b （＞＞）上存在两点关于直线a 0,b 0l ：0()y k x x 对称的充要条件是 22220 222 ()0 a b a x k k a b k b且.26．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28P ．是双曲线sec tanx a y b（＞，＞）上一点，则点对双曲线两焦点张直角的充要a 0b 0P 条件是2211tan e . 29A,B ．设为双曲线2222 x y k a b（＞＞，a 0,b 0 0,1k k ）上两点，其直线与双曲AB 线 22221 x y a b相交于 ,P Q ,则 AP BQ .30．在双曲线 22221 x y a b 中，定长为（2m0m ）的弦中点轨迹方程为 22 222222222 222222 1cosh sinh ,coth ,00 1sinh cosh coth ,00 x y ay a t b t t x t a b bx m x y bx a t b t t y t a b ay时，弦两端点在两支上 ，时，弦两端点在同支上 31．设为双曲线S 22221 x y a b（＞＞）的通径，定长线段的两端点在双曲线右a 0,b 0L A,B 支上移 动，记 |AB|=l ， 00 (,)M x y 是中点， 则当AB l S 时，有20min ()2 a l x c e 222 (c a b ,c e a);当 l S 时，有22 0min()42a x b l b .32．双曲线 22221 x y a b（＞＞）与直线a 0,b 00Ax By C 有公共点的充要条件是 22222 A a B b C .33．双曲线220022 ()()1 x x y y a b （＞＞）与直线a 0,b 0 0Ax By C 有公共点的充要条件是 22222 00 ()A a B b Ax By C .34．设双曲线 22221 x y a b（＞＞）的两个焦点为a 0,b 0F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2 中，记 12 F PF , 12 PF F ,12 F F P ，则有sin(sin sin )ce a .35．经过双曲线22221 x y a b（＞＞）的实轴的两端点a 0,b 0A 1 和A 2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于P 1 和P 2，则2 1122 ||||P A P A b .36．已知双曲线22221 x y a b（＞＞），b a 0O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ .（）1 2222 1111 ||||OP OQ a b ;2|OP|（）2+|OQ|2的最小值为 22224a b b a ;3（）OPQ S 的最小值是 22 22 a b b a.37．MN 是经过双曲线 22221 x y a b（＞＞）过焦点的任一弦交于两支，若是经过a 0,b 0()AB 双曲线中心且平行于的弦，则O MN 2 ||2||AB a MN . 38MN ．是经过双曲线22221 x y a b（＞＞）焦点的任一弦交于同支，若过双曲线中心a b 0() O 的半弦 OP MN ，则222 2111||||a MN OP b a .39．设双曲线22221 x y a b（＞＞）a 0,b 0,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过引一条直线与双曲线相交于、两点，则直线M P Q A 1P A 、2Q(A 1,A 2 为两顶点的交点)N在直线l ：2a x m上.40F P Q A ．设过双曲线焦点作直线与双曲线相交、两点，为双曲线长轴上一个顶点，连 结和分别交相应于焦点的双曲线准线于、两点，则⊥AP AQ F M N MF NF. 41F P Q,A ．过双曲线一个焦点的直线与双曲线交于两点、1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1 P A 和2 Q M A 交于点，2 P A 和1 Q N MF NF.交于点，则⊥42．设双曲线方程22221 x y a b,k(k≠0)则斜率为的平行弦的中点必在直线l ：y kx 的共轭直线'y k x 上而且,2'2b kk a. 43A B C D ．设、、、为双曲线 22221 x y a b（＞＞）上四点、所在直线的倾斜a 0,b o ,AB CD 角 分别 为, ， 直线与相 交 于AB CD P,P ,且不 在 双曲 线上则 2222 2222||||cos sin ||||cos sinPA PB b a PC PD b a.44．已知双曲线22221 x y a b（＞＞）a 0,b 0,P F 点为其上一点1 ,F 2为双曲线的焦点，12 F PF 的内（外）角平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于、，当跑遍整个双曲线时，、形R S P R S 成的轨迹方程是 222 x y a (2222222 222a yb x xc c y a y b x c ). 45．设△三顶点分别在双曲线ABC 上，且为AB 的直径，l 为的共轭直径所在的直AB 线，l 分别交直线、于和，又为AC BC E F D l 上一点，则与双曲线CD 相切的充要条件是为的中点D EF .46．过双曲线22221 x y a b（＞＞）的右焦点作直线交该双曲线的右支于两点，a 0,b 0F M,N 弦的垂直平分线交轴于，则MN x P || ||2PF e MN . 47．设A （x 1,y 1）是双曲线 22 221 x y a b （＞＞）上任一点，过作一条斜率为a 0,b 0A 2121b xa y 的直线，又设是原点到直线的距离L d L ,12 ,r r 分别是到双曲线两焦点的距离，则A12rr d ab .48．已知双曲线 22 221 x y a b （＞＞）和a 0,b 02222 x y a b（01 ），一条直线顺次与 它们相交于、、、四点，则A B C D │AB│=|CD│.49．已知双曲线 22221 x y a b（＞＞）、是双曲线上的两点，线段的垂直平分a 0,b 0,A B AB 线与轴相交于点x 0 (,0)P x ,则 220 a b x a 或 220a b x a.50．设点是双曲线P 22221 x y a b（＞＞）上异于实轴端点的任一点a 0,b 0,F 1、F 2为其焦点记12 F PF ，则(1)2 122 |||| 1cos b PF PF.(2) 122cot 2 PF F S b . 51B m,o P Q A ．设过双曲线的实轴上一点（）作直线与双曲线相交于、两点，为双曲线实轴的左顶点，连结和分别交相应于过点的直线：AP AQ B MN x n于，两点则M N , 90MBN2222() a n m a ma mb n a . 52L ．是经过双曲线 22221 x y a b（＞＞）焦点且与实轴垂直的直线，、是双曲a 0,b 0F A B 线的两个顶点，是离心率点e , P L ，若APB，则 是锐角且1sin e或1sin arc e（当且仅当 ||PF b 时取等号）.53L ．是经过双曲线 22221 x y a b（＞＞）的实轴顶点且与轴垂直的直线，、a 0,b 0A x E F是双曲线的准线与轴交点点x , P L，是离心率，e EPF ，是与轴的交点H L X c 是半焦距，则 是锐角且1sin e 或1sin arc e （当且仅当 ||abPA c时取等号）. 54L ．是双曲线 22221 x y a b（＞＞）焦点a 0,b 0F 1 且与轴垂直的直线，、是双曲线准x E F 线与轴交点，x H L x 是与轴的交点，点 P L ，EPF,e 离心率为，半焦距为，则c 为锐角且21sin e 或21sin arc e （当且仅当 221 ||b PF a c c 时取等号）.55．已知双曲线 22221 x y a b（＞＞），直线通过其右焦点a 0,b 0L F 2 ,A 且与双曲线右支交于、B A B F 两点，将、与双曲线左焦点1连结起来，则222 112(2) ||||a b F A F B a（当且仅当 AB x .⊥轴时取等号） 56A B ．设、是双曲线22221 x y a b（＞＞）的长轴两端点，是双曲线上的一点，a 0,b 0P PAB,PBA ,BPA ，、分别是双曲线的半焦距离心率，则有c e (1)2 222 2|cos | || |s |ab PAa c co .(2)2tan tan 1e .(3) 22222cot PAB a b S b a .57A B ．设、是双曲线 22221 x y a b（＞＞）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的a 0,b 0区域）、外部的两点，且A x 、B x 的横坐标2A B x x a ，（）若过点引直线与双曲线这一1A 支相交于、P Q 两点，则 PBA QBA ；（）若过引直线与双曲线这一支相交于、2B P Q 两点，则180PBA QBA . 58A B ．设、是双曲线22221 x y a b（＞＞）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的a 0,b 0 区域），外部的两点，（）若过点引直线与双曲线这一支相交于、1A P Q 两点，（若交双B P 曲线这一支于两点，则、不关于轴对称），且P Q x PBA QBA ，则点、的横坐标A B A x 、B x 满足2 A B x x a ；（）若过点引直线与双曲线这一支相交于、两点，且2B P Q 180PBA QBA ,A B 则点、的横坐标满足2A B x x a .59．设',A A 是双曲线22221 x y a b的实轴的两个端点，'QQ 是与'AA 垂直的弦，则直线AQ 与 ''AQ 的交点的轨迹是双曲线P 22 221 x y a b.60．过双曲线 22221 x y a b （＞＞）的右焦点a 0,b 0F 作互相垂直的两条弦、则AB CD, 2228 |||| ||abAB CD a ba b ； 22 ||||4cAB CD a a b a 61．到双曲线22 221 x y a b （＞＞）两焦点的距离之比等于a 0,b 0c a b（为半焦距）的动点c M 的轨迹是姊妹圆222()()x ec y eb .62．到双曲线22221 x y a b（＞＞）的实轴两端点的距离之比等于a 0,b 0 c a b （为半焦距）c 的动点的轨迹是姊妹圆M222 ()x c y b .63．到双曲线22 221 x y a b （＞＞）的两准线和轴的交点的距离之比为a 0,b 0xc a b（为半c 焦距）的动点的轨迹是姊妹圆222 ()()b x a y e（为离心率）e . 64P ．已知是双曲线 22 221 x y a b（＞＞）上一个动点，a 0,b 0',A A 是它实轴的两个端点且, AQ AP , ''AQ A P ，则点的轨迹方程是Q 222 241 x b y a a.65．双曲线的一条直径过中心的弦的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之()长的比例中项.66．设双曲线 22221 x y a b （＞＞）实轴的端点为a 0,b 0' ,A A , 11 (,)P x y是双曲线上的点过P 作斜率为2121b xa y 的直线l ，过' ,A A 分别作垂直于实轴的直线交l 于' ,M M,1则（）''2 ||||AM A M b .2（）四边形 ''AMA M 面积趋近于2ab .67．已知双曲线22221 x y a b（＞＞）的右准线a 0,b 0l 与轴相交于点x E ，过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于、A B ,两点点C 在右准线l 上，且 BC x 轴，则直线经过线段AC EF .的中点 68．OA 、OB 是双曲线2222 ()1 x a y a b（＞＞且a 0,b 0, a b ）的两条互相垂直的弦，O 为 坐标原点，则（）直线必经过一个定点1AB 2222 (,0)ab b a.(2)O A O B 以、为直径的两圆的另一个交点的轨迹方程是Q 22 2222222 ()() a b a b x y b a b a （除原点）。
【高中数学】圆锥曲线解题技巧+7大题型汇总+常用公式推论!
【高中数学】圆锥曲线解题技巧+7大题型汇总+常用公式推论！学好圆锥曲线的几个关键点1、牢记核心知识点核心的知识点是基础，好多同学在做圆锥曲线题时，特别是小题，比如椭圆，双曲线离心率公式和范围记不清，焦点分别在x轴，y轴上的双曲线的渐近线方程也傻傻分不清，在做题时自然做不对。
2、计算能力与速度计算能力强的同学学圆锥曲线相对轻松一些，计算能力是可以通过多做题来提升的。
后期可以尝试训练自己口算得到联立后的二次方程，然后得到判别式，两根之和，两根之积的整式。
当然也要掌握一些解题的小技巧，加快运算速度。
3、思维套路拿到圆锥曲线的题，很多同学说无从下手，从表面感觉很难。
老师建议：山重水复疑无路，没事你就算两步。
大部分的圆锥曲线大题，都有共同的三部曲：一设二联立三韦达定理。
一设：设直线与圆锥曲线的两个交点，坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），直线方程为y=kx+b。
二联立：通过快速计算或者口算得到联立的二次方程。
三韦达定理：得到二次方程后立马得出判别式，两根之和，两根之积。
走完三部曲之后，在看题目给出了什么条件，要求什么。
例如涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．总结起来：找值列等量关系，找范围列不等关系，通常结合判别式，基本不等式求解。
4、题型总结圆锥曲线中常见题型总结这类问题主要采用分析判别式，有△＞0，直线与圆锥曲线相交；△=0，直线与圆锥曲线相切；△＜0，直线与圆锥曲线相离．若且a=0，b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点．注意：设直线方程时一定要考虑斜率不存在的情况，可单独提前讨论。
这类问题主要利用向量的相等，平行，垂直去寻找坐标间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合应用，体现数形结合的思想，达到简化计算的目的。
弦长问题主要记住弦长公式：设直线l与圆锥曲线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则：1）定点问题可先运用特殊值或者对称探索出该定点，再证明结论，即可简化运算；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得这类常见的解法有两种：几何法和代数法．（1）若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法；（2）若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．轨迹问题一般方法有三种：定义法，相关点法和参数法。
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高中数学曲线公式大全
圆锥曲线公式：椭圆
1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：其中x²/a²+y²/b²=1,其中
a>b>0,c²=a²-b²
2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：y²/a²+x²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²
参数方程：x=acosθ;y=bsinθθ为参数，0≤θ≤2π
圆锥曲线公式：双曲线
1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：x²/a-y²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².
2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：y²/a²-x²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².
参数方程：x=asecθ;y=btanθθ为参数
圆锥曲线公式：抛物线
参数方程:x=2pt²;y=2ptt为参数t=1/tanθtanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率特别地，t可等于0
直角坐标:y=ax²+bx+c开口方向为y轴，a≠0x=ay²+by+c开口方向为x轴，a≠0
离心率
椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
且当01时为双曲线。
圆锥曲线公式知识点总结
圆锥曲线椭圆双曲线抛物线
标准方程x²/a²+y²/b²=1a>b>0 x²/a²-y²/b²=1a>0,b>0 y²=2pxp>0
范围x∈[-a,a] x∈-∞，-a]∪[a,+∞ x∈[0,+∞
y∈[-b,b] y∈R y∈R
对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称
顶点 a,0,-a,0,0,b,0,-b a,0,-a,0 0,0
焦点 c,0,-c,0 c,0,-c,0 p/2,0
【其中c²=a²-b²】【其中c²=a²+b²】
准线x=±a²/c x=±a²/c x=-p/2
渐近线——————y=±b/ax —————
离心率e=c/a,e∈0,1 e=c/a,e∈1,+∞ e=1
焦半径∣PF₁∣=a+ex ∣PF₁∣=∣ex+a∣ ∣PF∣=x+p/2
∣PF₂∣=a-ex ∣PF₂∣=∣ex-a∣
焦准距p=b²/c p=b²/c p
通径2b²/a 2b²/a 2p
参数方程x=a·cosθ x=a·secθ x=2pt²
y=b·sinθ，θ为参数y=b·tanθ，θ为参数 y=2pt,t为参数
过圆锥曲线上一点x0·x/a²+y0·y/b²=1 x0x/a²-y0·y/b²=1 y0·y=px+x0 x0,y0的切线方程
斜率为k的切线方程y=kx±√a²·k²+b² y=kx±√a²·k²-b² y=kx+p/2k 感谢您的阅读，祝您生活愉快。