2021年全国各地高考数学分类汇编大全(猿辅导高二数学张煜晨13 立体几何 )

全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全

（13 立体几何 ）

一、选择题

1．（2018 北京文、理）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（

）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 1．【答案】C

【解析】由三视图可得四棱锥 P - ABCD ， 在四棱锥 P - ABCD 中， PD = 2 ， AD = 2 ， CD = 2 ， AB = 1 ，

由勾股定理可知， PA = 2 2 ， PC = 2 2 ，

PB = 3， BC = 5 ，

则在四棱锥中，直角三角形有，

△PAD ， △PCD ， △PAB 共三个，故选 C ．

2．（2018 浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8 3.答案：C

解答：该几何体的立体图形为四棱柱，

(1+ 2) ⨯ 2

V = ⨯ 2 = 6 .

2

正视图

俯视图

侧视图

3 （2018 上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设 AA ₁是正六棱柱的一条侧棱，

如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点， 以 AA ₁为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）

（A ）4 （B ）8 （C ）12 （D ）16

2 21

1

42 + 225

4．（2018 浙江）已知四棱锥S−ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S−AB−C 的平面角为θ 3，则（）

A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ1

4.答案：D

解答：作SO 垂直于平面ABCD ，垂足为O ，取AB 的中点M ，连接SM .过O 作ON 垂直于直线SM ，可知θ2 =∠SEO ，θ3 =∠SMO ，

过SO 固定下的二面角与线面角关系，得θ3 ≥θ2 .

易知，θ3 也为BC 与平面SAB 的线面角，即OM 与平面SAB 的线面角，

根据最小角定理，OM 与直线SE 所成的线线角θ1 ≥θ3 ，

所以θ2 ≤θ3 ≤θ1 .

5．（2018 全国新课标Ⅰ文）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N

在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，

从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（）

A．2B．2C．3 D．2

5.答案：B

解答：三视图还原几何体为一圆柱，如图，

将侧面展开，最短路径为M , N 连线的距离，

所以MN == 2 ，所以选B.

6．（2018 全国新课标Ⅰ文）在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AB =BC = 2 ，AC1 与平面BB1C1C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为（）

A．8 B．6C．8D．8

175

2 23

3 17 5

5 6. 答案：C 解答：

连接 AC 1 和 BC 1 ，∵ AC 1 与平面 BB 1C 1C 所成角为30 ，∴ ∠AC 1B = 30 ，∴

AB

BC 1

= tan 30 = 2 ，∴ CC 1 = 2 2 ，∴V = 2⨯ 2⨯ 2 = 8 2 ，∴选 C.

7．（2018 全国新课标Ⅰ理）已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 α 所成的角都相等，则

α 截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）

A ． 3 3 4 7. 答案：A

B ． 2 3 3

C ．

3 2

4 D ． 3 2

解答：由于截面与每条棱所成的角都相等，所以平面α 中存在平面与平面 AB 1D 1 平行（如图），而在与 平面 AB 1D 1 平行的所有平面中，面积最大的为由各棱的中点构成的截面 EFGHMN ，而平面 EFGHMN

的面积 S = 1 ⨯ 2 ⨯ 2 ⨯ 3 ⨯ 6 = 3 3

.

2 2 2 2 4

8．（2018 全国新课标Ⅰ文）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1 ，O 2 ，过直线O 1O 2 的平面截该

圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）

A ．12 2π

B ．12π

C ． 8 2π

D ．10π

8. 答案：B

解答：截面面积为8 ，所以高h = 2 2 ，底面半径r =

2 ，所以表面积为

S = π ⋅ ( 2)2 ⋅ 2 + 2π ⋅ 2 ⋅ 2 =12π .

9．（2018 全国新课标Ⅰ理）某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为 A ，圆柱表面上的点 N 在左视图上的 对应点为 B ，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为（ ） A ． 2 B ． 2 C ．3 D ．2

9. 答案：B

解答：三视图还原几何体为一圆柱，如图，将侧面展开， 最短路径为 M , N 连线的距离， 所以 MN = = 2 ，所以选 B.

, BC 1 2 2 42 + 22

10．（2018 全国新课标Ⅱ文）在正方体ABCD -A

1

B

1

C

1

D

1

中，E 为棱CC

1

的中点，则异面直线AE与CD 所成角的正切值为（）

A．

2

2

10．【答案】C

B．

3

2

C．

5

2

D．

7

2

【解析】在正方体ABCD -A

1

B1C1D1 中，CD∥AB ，所以异面直线AE 与CD 所成角为∠EAB ，

设正方体边长为2a ，则由E 为棱CC

1

的中点，可得CE =a ，所以BE = 5a ，

则tan ∠EAB =

BE

=

AB

5a

=

2a

5

．故选C．

2

11．（2018 全国新课标Ⅱ理）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA

1

=

与DB1所成角的余弦值为（）

3 ，则异面直线AD1

A．

1

5

B．

5

6

C．

5

5

D．

2

2

11．【答案】C

【解析】以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD

1

为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，

则D(0, 0, 0)，A(1, 0, 0)，B1 (1,1, 3)，D1 (0, 0, 3)，∴AD1 =(-1, 0, 3)，DB1 =(1,1, 3)，

cos< AD , DB > = AD1 ⋅DB1=-1 + 3 =

5

，∴异面直线AD 与DB 所成角的余弦值为

5

，故选C．

1 1

AD

1

DB

1

2 ⨯ 5 5 1 1 5

12．（2018 全国新课标Ⅲ文、理）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）

12.答案：A

解答：根据题意，A 选项符号题意；

13．（2018 全国新课标Ⅲ文、理）设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4 的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为9 ，则三棱锥D -ABC 体积的最大值为（）

A．12 B．18 C．24 D．54

13．答案：B

解答：如图，∆ABC 为等边三角形，点O 为 A ， B ， C ， D 外接球的球心，G 为∆ABC 的重心，由S∆ABC = 9 ，得AB = 6 ，取BC 的中点H ，∴ AH =AB ⋅ sin 60︒= 3 3 ，∴

AG =

2

AH = 2

3

，∴球心O 到面ABC 的距离为d = = 2 ，∴三棱锥D -ABC 体

3

3 3 3 3

3

342 - (2 3)2