北京交通大学矩阵分析年考题答案--资料

矩阵分析复习(最终版)

3 1 1 2.求 A 0 4 0 的最小多项式，并写出 A 的 Jordan 形. 1 1 5 0 4 0 1 A J 二、设 A 1 4 0 . （1）求 e A （2）求可逆矩阵 Q 和若当型 J A ，使Q e Q e 0 0 2
《矩阵分析》复习题目及参考答案
made by 寒烟
提示：参考答案为个人所做，仅供参考.
1 3 1 一、1. 设 A 4 1 5
1 3 2 4 3 5
1 3 1 . （1）求 || A ||1 和 || A || 4 1 5
（2）证明 A 的谱半径 ( A) || A ||
i
可求的 A 的特征值为 1 2 1 ，从而谱半径考虑到端点处的收敛性，可以判定 f ( A) 是收敛的. 进一步有，
当 1 ，有 rank ( A E ) 1 ,且可逆矩阵P，使得P AP J A ,
1
其中
- 1 1 JA= . -1
k k 1
从而，幂级数 f ( x) 的收敛半径 R 1 ，且收敛区间为 [1,1] .
再考虑矩阵幂级数 f ( A)
k
k 1

1
2
2 1 Ak ，其中 A 1 0
令 | E A |
2 1 ( 1)2 0 1
( A) max i 1 R
故最小多项式为 mA ( ) ( 4) 初等因子组为 4、 ( 4)2
2
4 4 1 从而 Jordan 标准形为 4
二、
4 0 1 0 2 （1） E A 1 4 2 0 0 2 ( 2)

矩阵分析及其应用答案

P25⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∴+-=-=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-=-=∈∈∀+=-+-=--+=+-+=+∈∀11-11-11-00011-11-11-000),,(),,()()(0110101111011011100110011101)()3(0100,0010,10012)()()()()(,)()()()()(,)1.(1421121121121121122121121221121121121111211211212211212121212121该基下的对应的矩阵为同理：变换的像分别求上一组基的线性以取这样的一组基这是一个三维空间，可可以写为）对于空间（的线性变换是根据定义可知，设设E E E E E E T E E E T E E E T E E E T E E E a a a a W W W T X T B X X B BX X B X T FW X X T X T B X X B B X X B B X B X X B X B BX X X X B X X T WX X T T T T TT TT TTT T T T λλλλλλ()()()()()()()()()()()()()()123123123123-1123123123123123123123123-1123-1123115.,,,,,,,,101110-121,,=,,,,,=,,,,,,,,,,,,,,=,T A T B A P P T T P T P AP P AP B P APηηηηηηεεεεεεεεεηηηηηηεεεεεεηηηηηηηηηεεεεεεηη==⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭=⎡⎤⎣⎦=⎡⎤⎣⎦===解：由题意知：其中，设则则由()()()23-1123123-11-1,=,,,,-110100010100010=100010=110010=1101-1100110100110101010101001110110110101-12111P P B P AP ηηηηεεε-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得到-111132⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1.16(1)证明：()()()()()()()221223131212122T f t T f t x x x x t t x x t t +=+++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ Q ()()()22123231312T x x t x t x x x x t x x t ⎡⎤++=+++++⎣⎦()()2123011,,1011,,110Tx x x t t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∴()()22121213112232T f t f t T x x t x t x x t x t ⎡⎤+=+++++⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2212123122T x x t t x t t ⎡⎤=++++⎣⎦()()221231212,,2,,TT x x x t t t t ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦()()221231212011,,1012,,110Tx x x t t t t ⎡⎤⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()()()()2223131212122x x x x t t x x t t =+++++++∴()()12T f t f t +=⎡⎤⎣⎦()()12T f t T f t +⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()2123T f t T x x t x t λλλλ=++⎡⎤⎣⎦()()2123,,,,T T x x x t t λλλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦()()2123011,,101,,110Tx x x t t λλλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()()2231312x x x x t x x t λλλ=+++++()T f t λ=⎡⎤⎣⎦ ∴T 是[]3F x 的线性变换（2）解： ()()2123T f t T xx tx t=++⎡⎤⎣⎦ ()()()21231x T x T t x T t =++()()()()2212311T f t x t t x t x t =+++++⎡⎤⎣⎦∴()21T t t =+；()21T t t =+；()21T t t =+∴()()220111,,1011,,110T t t t t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∴T 在基21,,t t 下的矩阵A 为011101110⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（3）解：()()211112111E A λλλλλλ---=--=-+--1232;1λλλ===-()112=1,1,1Tλξ=时，可以求得特征向量()()2323==1,1,0=1,0,1TTλλξξ=---1时，可以求得特征向量，故111=110101P ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦()()21231,,t t P ∂∂∂=令，，()()2221111,,1101011,1,1t t t t t t ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=++--则T 在基1∂=21t t ++，2∂=1t -，3∂=21t -下的矩阵为对角矩阵.P45第二章内积空间练习题1.解：（1）Q ()11221x y x y αβ,=++，∴()11221x y x y λαβλλ,=++。

矩阵分析习题及答案0 (1)

矩阵分析习题与解答1．名词解释：（1）单纯矩阵（2）正规矩阵(举3例) （3）向量范数（4）矩阵A 的最大奇异值2．设有Hermite 矩阵A . 试证：A 是正定的充要条件，是存在可逆矩阵Q 使.H A Q Q =证明：必要性：设H A Q Q =, 则对0,n x x C ≠∈, 有(),0HHHx Ax x Q Qx Qx Qx ==>, 这里Q 可逆, 故正定.充分性：因为A 是Hermite 矩阵, 所以A 是正规矩阵, 因此存在酉矩阵U 使1,H n U AU λλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O其中1n λλL ，，是A 的特征值; 又A 正定, 所以1L n λλ，，都大于0; 因此H A U U ⎫⎪= ⎪⎪ ⎝OO令H Q U ⎫⎪= ⎪ ⎝O则.HA Q Q =3．设矩阵x X y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 以及222()234Y f X x y z xy yz zx ==+++++,试求： (1)()()T dtr XX dX ; (2)T dY dX .解：222T x xy xz XX yxy yz zx zyz ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 222()T T tr XX x y z X X =++= ()()()()2(22)2T TTT tr XX d tr XX tr XX x x y y z z X dX tr XX ⎛⎫∂ ⎪∂ ⎪⎛⎫⎪∂ ⎪= ⎪ ⎪∂ ⎪⎪⎝⎭⎪∂ ⎪∂⎭=⎝= ()224223234224,223,234TT T Y x x y z dY Y y x z dX y z y x Y z x y z y x z z y x ⎛⎫∂ ⎪∂++ ⎪⎛⎫∂ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪∂ ⎪ ⎪++⎝⎭∂ ⎪ ⎪∂⎝⎭=++++++4．设A 为m m ⨯Jordan 块, 即1,1A λλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭OO O求矩阵指数Ate .解法一: 1111λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭OO O OOO,记1,1H λλ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪Λ== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭OOO, 则 At t Ht =Λ+, 即Ht At t =-Λ 将x e 在t λ处展成Talor 级数,有()0!t nxn e e x t n λλ∞==-∑,因此有矩阵指数()00!!00001001!(1)!1000001!10000t nAtn t n nn m t e e At t n e H t n t t m e t λλλ∞=∞==-Λ=⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎪⎛⎫ ⎪⎢⎥⎪-⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎪ ⎪=+++⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑∑L L L L O M L L O MO M M O M L故可得22122212!(m 2)!(m 1)!12!(m 2)!112!1m m m At tt t t t t tt e e t t t λ---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L O M O O .解法二:00t t t tAt t t t t λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭OO O O OOOO00t t t tt t t t At e ee eλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==O O O O O OOO()()000!!!nn t t n t n t n n tt n e t en e t n λλλλλλλλ∞⎛⎫⎪ ⎪= ⎪∞⎪ ⎪⎝⎭=∞=⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑O OO O OO OO2212200212!(m 2)!(m 1)!12!(m 2)!112!1m m m tt t t t t t tt et t t ---⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O O OL L O M O O 故可得22122212!(m 2)!(m 1)!12!(m 2)!112!1m m m At tt t t t t tt e e t t t λ---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L O M O O .5．求常系数线性微分方程组在初始条件下的解.解：常系数线性方程组可以写为,()()X t AX t =&, 其中0123A ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦, 12()()()x t X t x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 对其两端取Laplace 变换, 得()(0)()sX s X AX s -=,所以1()()(0)X s sI A X -=-, 取Laplace 反变换, 得11()()(0)X t L sI A X --⎡⎤=-⎣⎦,由于()(0)At X t e X =, 所以11(())At e L sI A --=-.由于123s sI A s -⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦, ()131(s 1)(s 2)(s 1)(s 2)2(s 1)(s 2)(s 1)(s 2)s sI A s -+⎡⎤⎢⎥++++⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥++++⎣⎦2111s 1s 2s 1s 22221s 2s 1s 2s 1⎡⎤--⎢⎥++++=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥++++⎣⎦2212221112s 1s 2s 1s 22221222s 2s 1s 2s 1t tt t At t tt t e ee e e L e e e e ---------⎡⎤--⎢⎥⎡⎤--++++==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦--⎢⎥++++⎣⎦满足初始条件下的解为2222221232(0)122243t tt t t t At ttt t tt e e e e e e e x e ee e e e ------------⎡⎤⎡⎤---⎡⎤⋅==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦6 任一方阵可以表示成两个对称矩阵乘积的形式。

矩阵分析报告课后习题解答(整理版)

第一章线性空间与线性变换（以下题目序号与课后习题序号不一定对应，但题目顺序是一致的，答案为个人整理，不一定正确，仅供参考，另外，此答案未经允许不得擅自上传）（此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别）1.9.利用子空间定义，)(A R 是m C 的非空子集，即验证)(A R 对m C 满足加法和数乘的封闭性。

1.10.证明同1.9。

1.11.rankA n A N rankA A R -==)(dim ,)(dim （解空间的维数）1.13.提示：设),)(-⨯==n j i a A n n ij （，分别令T i X X ),0,0,1,0,0( ==(其中1位于i X 的第i 行），代入0=AX X T ，得0=ii a ；令T ij X X )0,0,10,0,1,0,0( ==（其中1位于ij X 的第i 行和第j 行），代入0=AX X T ，得0=+++jj ji ij ii a a a a ，由于0==jj ii a a ，则0=+ji ij a a ，故A A T -=，即A 为反对称阵。

若X 是n 维复列向量，同样有0=ii a ，0=+ji ij a a ，再令T ij i X X ),0,1,0,0,,0,0( ='=(其中i 位于ij X 的第i 行，1位于ij X 的第j 行），代入0=AX X H ，得0)(=-++ij ji jj ii a a i a a ，由于0==jj ii a a ，ij ji a a -=，则0==ji ij a a ，故0=A1.14.AB 是Hermite 矩阵，则AB BA A B AB H H H ===)(1.15.存在性：令2,2HH A A C A A B -=+=，C B A +=，其中A 为任意复矩阵，可验证C C B B H H -==,唯一性：假设11C B A +=，1111,C C B B HH -==，且C C B B ≠≠11,，由1111C B C B A H H H -=+=，得C A A C B A A B HH =-==+=2,211（矛盾)第二章酉空间和酉变换（注意实空间与复空间部分性质的区别）2.8 法二：设~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(X e e e e e e e n T n i ==（1在第i 行）；~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(Y e e e e e e e n T n j ==（1在第j 行）根据此题内积定义⎩⎨⎧≠===j i j i X Y e e H j i 01),~~（故n e e e ,,21是V 的一个标准正交基。

矩阵分析

矩阵分析课后习题答案第二章内积空间14 . 设A , B 均为厄米特矩阵, 证明: AB 为厄米特矩阵的充要条件是AB = BA .证明： H A A =,H B B =()HH H AB AB B A AB =⇔=即 AB BA =17 . 证明:两个正规矩阵相似( 酉等价) 的充要条件是特征多项式相同.证明：设A , B 是两个n 阶的正规矩阵，如果A 与B 是酉等价的，则存在酉矩阵Q ，使得1H B Q AQ Q AQ -==()11E B E Q AQ Q E A Q E A λλλλ--⇒-=-=-=-即A , B 有相同的特征多项式反之，A , B 有相同的特征多项式，因而有相同的特征值集合{}12,,,n λλλA ,B 是正规矩阵，则存在酉矩阵1Q 及2Q ，使得1111122n Q AQ Q BQ λλλ2--⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ 则有 ()()11111121121212B Q Q A Q Q Q QA Q QP A P------=== 易知，112p Q Q -=是酉矩阵，即A , B 是酉相似的。

第三章矩阵的标准形6 . 在复数域上, 求下列矩阵的约当标准形:()11 -1 2 3 7 -3 3 0 8 4 5 -2⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥ 3 -3 6 ; (2) -2 -5 2; (3) 3 -1 6; (4) -⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥2 -2 4-4 -10 3-2 0 -5⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥2 -2 1 ⎢⎥⎢⎥-1 -1 1⎣⎦解 (1) 特征矩阵为λλλ-1 1 -2⎡⎤⎢⎥-3 +3 - 6⎢⎥⎢⎥-2 2 -4⎣⎦所以行列式因子为()()121D D λλλ==，，()()232D λλλ=-不变因子为()()()()()()()()()231123121,D D d D d d D D λλλλλλλλλλλ== ==, ==-2全部初级因子为()2,,λλλ-故约当标准型为 2J 0 0⎡⎤⎢⎥=0 0 0⎢⎥⎢⎥0 0 0⎣⎦(2) 特征矩阵为λλλ -3 - 7 3⎡⎤⎢⎥ 2 +5 -2⎢⎥⎢⎥ 4 10 - 3⎣⎦所以行列式因子为()()211D D λλ==，()()31()()D i i λλλλ=--+不变因子为()()()()()()()()()231123121,1()()D D d D d d i i D D λλλλλλλλλλλ== ==1, ==--+全部初级因子为1,,i i λλλ- - +故约当标准型为 J i i 1 0 0⎡⎤⎢⎥=0 0⎢⎥⎢⎥0 0 -⎣⎦(3) 特征矩阵为5λλλ -3 0 -8⎡⎤⎢⎥ -3 +1 -6⎢⎥⎢⎥ 2 0 +⎣⎦所以行列式因子为()()()()1231,1,1D D D λλλλλ3= =+ =+不变因子为()()()()()()()()()2231123121,1D D d D d d D D λλλλλλλλλλ== ==+1, ==+全部初级因子为21,1)λλ+ (+故约当标准型为 J -1 0 0⎡⎤⎢⎥= 0 -1 0⎢⎥⎢⎥ 0 1 -1⎣⎦(4) 特征矩阵为λλλ -4 - 5 2⎡⎤⎢⎥ 2 +2 -1⎢⎥⎢⎥ 1 1 - 1⎣⎦所以行列式因子为()()211D D λλ==，()()331D λλ=-不变因子为()()()()()()()()()3231123121,D D d D d d D D λλλλλλλλλ== ==1, ==-1全部初级因子为()31λ-故约当标准型为 J 1 0 0⎡⎤⎢⎥=1 1 0⎢⎥⎢⎥0 1 1⎣⎦8 . 证明: ( 1)方阵A 的特征值全是零的充要条件是存在自然数m ,使得A m = 0; ( 2) 若A m = 0 , 则1A E +=.证明：(1) 如λ为A 的任一特征值，A 为n 阶方阵，则m λ为m A 的特征值，若0m A =则m n E A E λλλ-==，即A 的特征值为0。

研究生《矩阵分析》试题答案及评分标准

解：（1）由 (T1,T2 ,T3 ) (1,2 ,3 )A, 可得 1 2 1 1 0 1 1
A (1 , 2 , 3 )1 (T1 ,T 2 ,T 3 ) 0 1 1 1 1 2 1 1 1 1 0 1
0 1 10 1 1 0 1 1 1 2 1 1 1 2 1 3 2. 1 3 11 0 1 2 4 4
2 1, 1, 3, 7T ，求W1 W2 与W1 W2 的维数，并求W1 W 2 。（10 分）
解： W1 W2 L1, 2 L1 2 L1, 2 , 1, 2
1 1 2 1
1 -1 2 1
A1,2,1,2 12
设 W1 W2, x11 x22 x33 x44,化为齐次线性方程组
1 1 2 1
(1,2 ,1,2 )X 41

0
，即
2 1
1 1
1 0
1 3
X

0
。
0 1 1 7
x1 k, x2 4k, x3 3k, x4 k, k1 4k2 k5,2,3,4T ,即解得 W1 W2 k5,2,3,4T .
注：计算W1 W2 维数 4 分，计算W1 W2 的维数 2 分，求集合W1 W 2 4 分。
3. 设 R3 中，线性变换 T 为： Ti i , i 1, 2, 3, 其中 1 (1, 0, 1)T , 2 (2,1,1)T , 3 (1,1,1)T 与
2

1

1 0
1 1
12
注：矩阵 B, C, 各 3 分, A BC 计算 2 分。
1 0 0 -1

矩阵分析所有习题及标准答案

于是 B=(1/2)(A+A*),C=(1/2)(A-A*). 证毕
注:令T=-iC,则T*=iC*=i(-C)=T,即THnn.由此推出:A可唯一地写为A=B+iT,其中B,THnn.
习题3*1试证：向量长度的齐次性
#3*1:试证 k k , k C, Cn
证:令=(a1,…,an)T ,则 k=(源自1,…,an)T.1
1 1
(1 , 1 , 1 , 1)T ; 2222
2
2 2
(1 , 1 , 1 , 1)T ; 22 2 2
3
3 3
( 1 , 1 , 1 , 1)T 22 22
1,2,3就是所要求的标正基.
习题3*5(i)用归纳法证明 1+3+5+…+(2n-1)2=n2
证:对k用归纳法证明.k=1时结论显然成立. 若n-1时结论成立
U=(A+E)(A-E)-1Unn.
习n.题试3证-2:6A设*AA的为特正征规值矩为阵|特1征|2值,…为,|1,n…|2,.
证:因为A是正规矩阵,所以存在UUnn 使得 A=Udiag(1,…,n)U*,
其中1,…, n是A的特征值.于是, A*A=Udiag(|1|2,…,|n|2)U*.
因对角矩阵diag(|1|2,…,|n|2)酉相似于A*A, 故A*A的特征值为 |1|2,…,|n|2
习题3-27
#3-27(1):A*A,AA*都是半正定Hermite矩阵. (2):若ACmn,则A*A,AA*的非零特征值相同
(它们的谱可能不一样)
证:(1): (A*A)*=A*A,(AA*)*=AA*.
xCn,x*(A*A)x =(Ax)*Ax=(Ax,Ax)0.

矩阵分析所有习题及标准答案

习题3-16
#3-16:设若A,BHnn,且A为正定Hermite矩阵, 试证:AB与BA的特征值都是实数.
证1:由定理3.9.4,A1/2是正定矩阵,于是 A-1/2(AB)A1/2=A1/2BA1/2=MHmn, 即AB相似于一个Hermite矩阵M. ∴ (AB)=(M)R,得证AB的特征值都是实数. 又 A1/2(BA)A-1/2=A1/2BA1/2=MHmn, 即BA相似于一个Hermite矩阵M. ∴ (BA)=(M)R,得证BA的特征值都是实数.
习题3-25
#3-25:A*=-A(ASHnn) U=(A+E)(A-E)-1Unn. (ASHnnAE的特征值全不为0,从而AE可逆)
解: U*=U-1 ((A-E)*)-1(A+E)*=(A-E)(A+E)-1 (-A-E)-1(-A+E)=(A-E)(A+E)-1 (A+E)-1(A-E)=(A-E)(A+E)-1 (A-E)(A+E)=(A+E)(A-E) A2-E=A2-E
n
j
nn使U*AU=R为 3 1 6 #3-3(1):已知A= ,试求UU 2 0 5 上三角矩阵. 解:det(E-A)=(+1)3给出=-1是A的3重特征值. 显然,1=(0,1,0)T是A的一个特征向量.作酉矩阵 V=(1,2,3),2=(1,0,0)T,3=(0,0,1)T,则
习题3-14
#3-14:若AHmn,A2=E,则存在UUnn使得 U*AU=diag(Er,-En-r).
证:存在UUnn使得 A=Udiag(1,…,n)U*, (*) 其中1,…,n是A的特征值的任意排列. ∵ A2=E=Udiag(1,…,1)U* 和 A2=Udiag(1,…,n)U*Udiag(1,…,n)U* =Udiag(12,…,n2)U* ∴ i2=1,即i=1,i=1,…,n,. 取1,…,n的排列使特征值1(设共有r个)全排在前面,则(*)式即给出所需答案.

交大运筹学2套往年试卷及答案(包含各题型_期末考试绝对有用)

北京交通大学考试试题答案（A卷）——运筹学A一、单选题5分，每题1分。

二1．设甲、乙产品的产量分别为x1，x2件，线性规划模型为：max z=3x1+2x2s.t. 2x1+4x2≤1603x1+2x2≤180x1 , x2≥0标准型及单纯形计算如下：max z=3x1+2x2s.t. 2x1+4x2+x3=1603x1+2x2+x4=180x1 , x2, x3, x4≥60最优方案为甲生产50件，乙生产15件，或甲生产60件，乙生产0件，或上述两种方式的凸组合。

最大利润为180。

15分，模型5分，标准型与初始表5分，计算3分，结论2分。

2．影子价格分别为0和14分，各2分，计算错误扣1分。

3．产品丙的检验数为－1，不值得生产。

5分，公式2分，计算2分，结论1分。

4．原料B 的灵敏度范围0-240，最多应购买60千克。

6分，公式2分，计算3分，结论1分。

三、（15分）①正确列出运价表如右：7分 ②最小元素法方案3分 ③位势法求检验数4分 ④给出正确的调运方案1分四、（10分）分配甲、乙、丙三个人去完成A 、B 、C 、D 四项任务，每个人完成各项任务的时间如表所示。

其中任务D 必须完成，且每个人只能完成一项任务，每项任务只能由一个人完成。

试确定最优分配方案，使完成任务的总时间最少。

①正确列出效益表如右：5分 ②匈牙利法计算结果3分 ③给出正确的分配方案2分第五题定义状态：s1=x1+s2 s2=x2+s3 s3=x3 故 s1<=8（3分） k=3时f3(s3)=Max {4*x3} ，此时 0<=x3<=s3即x3=s3时f3(s3)=4＊s3（3分）k=2时f2(s2)=Max {3*x2+f3(s3)}= Max {3*x2+4*(s2-x2)} 0<=x2<=s2即x2=0时f2(s2)=4＊s2（3分）k=3时f1(s1)=Max {x1*x1+ f2(s2)}=Max{x1*x1-4*x1+4*s1} ，此时0<=x1<=s1 由于s1<=8，故x1=s1＝8时f1(s1)=64（3分）因此，x1=8, x2=0, x3=0时z取得最大值，最大值为64。

研究生课程-《矩阵分析》试题及答案

第一套试题答案一（10分）、证明：（1）设11k x +22k x +33k x =0， ①用σ作用式①两端，有111k x λ+222k x λ+333k x λ=0 ②1λ⨯①-②，有21223133()()0k x k x λλλλ-+-= ③再用σ作用式③两端，有2122231333()()0k x k x λλλλλλ-+-= ④ ③⨯2λ-④，有313233()()0k x λλλλ--=。

由于123,,λλλ互不相等，30x ≠，因此30k =，将其代入④，有20k =，利用①，有10k =。

故1x ，2x ，3x 是线性无关的。

（2）用反证法。

假设1x +2x +3x 是σ的属于特征值λ的特征向量，于是有123123()()x x x x x x σλ++=++即112223123()x x x x x x λλλλ++=++112223()()()0x x x λλλλλλ-+-+-=由于1x ，2x ，3x 线性无关，因此123λλλλ===，这与123,,λλλ互不相等矛盾。

所以，1x +2x +3x 不是σ的特征向量。

二（10分）、解:2312321232()()1;()(2);()(2)()1;()(2);()(2)1()(2)(2)A D D D d d d A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ==-=-==-=-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭的行列式因子分别为，不变因子分别为，于是的Smith 标准形为.三（10分）、解:11121634E A λλλλ+⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪---⎝⎭210001000(1)λλ⎛⎫ ⎪≅- ⎪ ⎪-⎝⎭A λλ2矩阵的初等因子为: -1, (-1)，100:011001J ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭故约当标准形为。

四（12分）、解：令()()()1120,E A λλλλ-=-++=得特征值123112λλλ==-=-，，，解齐次方程组()0,E A x -=()2;Tii α=1得基础解系解齐次方程组()0,E A x --=()101;Tα=-2得基础解系解齐次方程组()20,E A x --=()1;T ii α=-3得基础解系αααααα123123由于，，已两两正交，将，，单位化得()()()11121011623T T Tp i i p p i i --123=，=，= ()1,(2)1.3H U p p p U AU ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭123令分，则五（10分）、解：(){}11(1),01,()TAx o i N A span ξξ===解齐次方程组得基础解系，，；又(){}{}()232323010,,,,100,,00H H R A span o span A o i ξξξξξξ⎛⎫⎪===-= ⎪ ⎪-⎝⎭这里，；显然(),0,iji j ξξ=≠当时；()().HN A R A ⊥故有()()()()()()()()()333(2)dim dim dim 3dim ,Q H H H H N A R A C N A R A N A R A C N A R A C ++=+==+=是的子空间且故。

矩阵分析2004-06(A)

北京交通大学2003-2004学年第二学期硕士考试矩阵分析试卷 A一、（10分）设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=341122121221A ，分别求A 的列空间)(A R 和A 的核)(A N 的一组基。

二、（18分）设σ是线性空间 R 3的线性变换，它在R 3中的基321,,ααα下的矩阵表示是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=2126617215111A ，（1）求σ在基321143αααβ+-=，321222αααβ+--=，3213αααβ-+=下的矩阵表示B ；（2）求2004B ；（3）求行列式)2cos(A 的值.三、（10分）设⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0111021ii A ，求矩阵范数1A ，∞A ， 2A ，F A .（这里12-=i ）；四、（10分）求矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=97963422644121121112A 的满秩分解。

五、（10分）求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=121200011A 的正交三角分解RU A =，其中U 是酉矩阵，R 是正线下三角矩阵。

六、证明题（共14分，每小题7分）（1）设A 是秩为r 的n 阶Hermite 矩阵，且E A =2（单位矩阵），证明：存在酉矩阵U ，使得=U A U H3⎪⎪⎭⎫⎝⎛--r n rE E 00；（2）设A 是正规矩阵，证明：2)(A A =ρ.七、（共28分每小题7分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=315111001A ，（1）求A E -λ的Smith 标准形（写出具体步骤）；（2）写出A 的最小多项式、A 的初等因子和A 的Jordan 标准形J ；（3）求相似变换矩阵P ： J AP P =-1；（4）求1-P ，并计算tAe .。

矩阵分析复习题

矩阵分析复习题矩阵分析复习题矩阵分析是线性代数中的一个重要分支，它研究的是矩阵的性质和运算。

在实际应用中，矩阵分析被广泛应用于各个领域，如物理学、工程学和计算机科学等。

为了更好地掌握矩阵分析的知识，我们需要进行一些复习题的训练。

下面，我将给大家提供一些矩阵分析的复习题，希望能够帮助大家巩固知识。

1. 矩阵的转置运算是指将矩阵的行和列互换。

请问，对于一个m×n的矩阵A，它的转置矩阵AT是多少？答案：AT是一个n×m的矩阵，它的第i行第j列的元素等于原矩阵A的第j行第i列的元素。

2. 矩阵的加法运算是指将两个矩阵的对应元素相加得到一个新的矩阵。

请问，对于两个m×n的矩阵A和B，它们的和矩阵C是多少？答案：C是一个m×n的矩阵，它的第i行第j列的元素等于矩阵A的第i行第j列的元素加上矩阵B的第i行第j列的元素。

3. 矩阵的乘法运算是指将两个矩阵按照一定规则相乘得到一个新的矩阵。

请问，对于一个m×n的矩阵A和一个n×p的矩阵B，它们的乘积矩阵C是多少？答案：C是一个m×p的矩阵，它的第i行第j列的元素等于矩阵A的第i行的元素与矩阵B的第j列的元素的乘积之和。

4. 矩阵的逆运算是指对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。

请问，对于一个2×2的可逆矩阵A，它的逆矩阵A-1是多少？答案：设A=[a b; c d]，其中a、b、c、d是矩阵A的元素。

如果ad-bc≠0，则A的逆矩阵A-1=[d/|A| -b/|A|; -c/|A| a/|A|]，其中|A|=ad-bc。

5. 矩阵的特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念。

请问，对于一个n×n的矩阵A，它的特征值和特征向量的定义是什么？答案：设矩阵A的特征值为λ，特征向量为x，则有Ax=λx。

特征值λ是一个标量，特征向量x是一个非零向量。

通过以上的复习题，我们可以巩固矩阵分析的基本知识。

北京交通大学研究生矩阵分析期末考试试卷(7份)

北京交通大学2004-2005学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A)专业班级学号姓名一．（12分）3[]R x 表示由次数小于3的多项式组成的线性空间。

在3[]R x 中取两个基：21231,1,(1)x x ααα==-=-；21232,2,(2)x x βββ==-=-。

（1）求123,,βββ到123,,ααα的过度矩阵，（2）求21x x ++ 在123,,ααα下的坐标。

二．（14分）设T 是n R 的线性映射，对任意12(,,,)T n n x x x x R =∈ 满足11(0,,,)n Tx x x -= 。

（1）证明0n T =；（2）求T 的核()N T 及值域()R T 的基和维数。

三．（12分）设1023510224i A i i i -⎛⎫ ⎪=++ ⎪ ⎪-⎝⎭，120x i -⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，i =。

计算11, , , Ax Ax A A ∞∞。

四．（10分）求矩阵1123101032160113A -⎛⎫⎪-- ⎪=⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭的满秩分解。

五．（12分）求矩阵011110101A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的正交三角分解A UR =，其中U是酉矩阵，R 是正线上三角矩阵。

六．（16分，1、2小题各5分， 3小题6分）证明题：1．设A 是n 阶正规矩阵，且满足2320A A E -+=。

证明A 是Hermite 矩阵，并写出A 的Jordan 标准形的形式。

2．设A 是正定Hermite 矩阵，且A 是酉矩阵，证明A E =。

3．证明：若A 是Hermite 矩阵，则iA e 是酉矩阵。

七．（24分）设100011101A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭。

（1）求E A λ-的Smith 标准形；（2）写出A 的最小多项式， A 的初等因子和Jordan 标准形；（3）求相似变换矩阵P 使得1P AP J -=；（4）求1P -矩阵函数()f A ，并计算tA e 。

矩阵分析报告课后习题解答(整理版)

第一章线性空间与线性变换（以下题目序号与课后习题序号不一定对应，但题目顺序是一致的，答案为个人整理，不一定正确，仅供参考，另外，此答案未经允许不得擅自上传）（此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别）1.9.利用子空间定义，)R对m C满足加(AR是m C的非空子集，即验证)(A法和数乘的封闭性。

1.10.证明同1.9。

1.11.rankA n A N rankA A R -==)(dim ,)(dim （解空间的维数）1.13.提示：设),)(-⨯==n j i a A n n ij （，分别令T i X X ),0,0,1,0,0( ==(其中1位于i X 的第i 行），代入0=AX X T ，得0=ii a ；令T ij X X )0,0,10,0,1,0,0( ==（其中1位于ij X 的第i 行和第j 行），代入0=AX X T ，得0=+++jj ji ij ii a a a a ，由于0==jj ii a a ，则0=+ji ij a a ，故A A T -=，即A 为反对称阵。

若X 是n 维复列向量，同样有0=ii a ，0=+ji ij a a ，再令T ij i X X ),0,1,0,0,,0,0( ='=(其中i 位于ij X 的第i 行，1位于ij X 的第j 行），代入0=AX X H ，得0)(=-++ij ji jj ii a a i a a ，由于0==jj ii a a ，ij ji a a -=，则0==ji ij a a ，故0=A1.14.AB 是Hermite 矩阵，则AB BA A B AB H H H ===)(1.15.存在性：令2,2HH A A C A A B -=+=，C B A +=，其中A 为任意复矩阵，可验证C C B B H H -==,唯一性：假设11C B A +=，1111,C C B B HH -==，且C C B B ≠≠11,，由1111C B C B A H H H -=+=，得C A A C B A A B HH =-==+=2,211（矛盾)第二章酉空间和酉变换（注意实空间与复空间部分性质的区别）2.8 法二：设~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(X e e e e e e e n T n i ==（1在第i 行）；~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(Y e e e e e e e n T n j ==（1在第j 行）根据此题内积定义⎩⎨⎧≠===j i j i X Y e e H j i 01),~~（故n e e e ,,21是V 的一个标准正交基。

矩阵分析课后习题答案

矩阵分析课后习题答案矩阵分析是一门重要的数学学科，广泛应用于各个领域，如物理学、工程学和经济学等。

通过矩阵分析，我们可以更好地理解和解决实际问题。

然而，学习矩阵分析过程中，经常会遇到各种复杂的习题，给学生带来困扰。

在这篇文章中，我将为大家提供一些常见矩阵分析课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地掌握这门学科。

1. 矩阵乘法的性质矩阵乘法是矩阵分析中的基础概念，了解其性质对于解决复杂的习题非常重要。

下面是几个常见的矩阵乘法性质的答案：- 乘法结合律：对于三个矩阵A、B和C，满足(A*B)*C = A*(B*C)。

- 乘法分配律：对于三个矩阵A、B和C，满足A*(B+C) = A*B + A*C。

- 乘法单位元：对于任意矩阵A，满足A*I = I*A = A，其中I为单位矩阵。

2. 矩阵的转置和逆矩阵矩阵的转置和逆矩阵是矩阵分析中常见的概念，它们在解决线性方程组和求解特征值等问题中起到重要作用。

以下是一些常见的矩阵转置和逆矩阵的答案：- 矩阵的转置：矩阵A的转置记作A^T，即将A的行变为列，列变为行。

- 逆矩阵的存在性：如果一个n阶矩阵A存在逆矩阵A^-1，那么AA^-1 =A^-1A = I，其中I为单位矩阵。

- 逆矩阵的计算：对于2阶矩阵A = [a b; c d]，如果ad-bc≠0，则A的逆矩阵为A^-1 = 1/(ad-bc) * [d -b; -c a]。

3. 矩阵的特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念，它们在解决线性方程组和矩阵对角化等问题中起到关键作用。

以下是一些常见的特征值和特征向量的答案：- 特征值和特征向量的定义：对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x和一个标量λ，使得Ax = λx，那么λ称为A的特征值，x称为对应于λ的特征向量。

- 特征值的计算：特征值可以通过解方程|A-λI|=0来计算，其中I为单位矩阵。

- 特征向量的计算：对于给定的特征值λ，可以通过求解(A-λI)x=0来计算对应的特征向量。

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