高中数学_简单的线性规划问题教学设计学情分析教材分析课后反思

3.3.2简单的线性规划问题（第一课时）教学设计
一．教学目标
（1）知识与技能：使学生了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；理解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；
（2）过程与方法：在实验探究的过程中，培养学生的数据分析能力、探究能力、合情推理能力；在应用图解法解题的过程中，培养学生运用数形结合思想解题的能力。

（3）情态、态度与价值观：让学生体会数学源于生活，服务于生活；体会数学活动充满着探索与创造，培养学生动手操作、勇于探索的精神。

二．教学重点
线性规划问题的图解法；寻求有实际背景的线性规划问题的最优解.
三．教学难点
用图解法求最优解的探索过程；数形结合思想的理解.
四．教学过程设计
PPT 展示：“线性规划之父”数学家乔治·伯纳德·丹齐格
课首语：同学们！上节课我们学习了二元一次不等式（组）与平面区域，本节课我们来学习——简单的线性规划问题，首先，看引例并完成第一问。

（一）引入
引例：某工厂用A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h ，每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h.该产每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天工作8h 计算，尝试解决以下问题：
（1）列出满足日生产条件的数学关系式
师生活动：
教师：请同学们认真审题，根据上节课学习的内容,先根据问题的需要选取起关键作用的、关联较多的两个量，并用字母表示，然后将问题中有关的限制条件，用不等式表示，得到满足题意的一个二元一次不等式组。

学生口答：设甲、乙分别生产x 、y 件，由已知条件可得：
28,416,412,(1)
0,0.x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩
（2）在平面直角坐标系中画出上式所表示的平面区域
师生活动：
请同学们画出上述二元一次不等式组对应的平面区域，请一名同学到黑板上画出，其余同学在下面画（教师巡视）。

【设计意图】
问题情景使学生复习了上节课建立线性规划模型的三个步骤：列表→建立数学关系式→画平面区域，同时引入新课，让学生感到数学是自然的、有用的。

这时可放手让学生去做，再次经历从实际问题中抽象出数学问题的过程。

教师利用多媒体课件展示，作出平面区域。

（二）问题探究
问题1：阴影区域中的任一点是否都对应一种日生产安排？试说明理由。

【设计意图】
一是让学生明白本题中的x 、y 必须是非负整数；二是为下一步代点解决利润最大问题作铺垫和导引。

问题2：若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，如何安排生产使利润最大？
师：设甲、乙分别为x 、y 件，那么，利润用x 、y 表示成什么式子？
生：利润为23x y +
师：本题中x 、y 为非负整数，求利润最大值，最直接的求法是什么？
生：将阴影区域内的整点代入23x y +，所得值中最大的即为最大利润，此时x 、y 的值即对应利润最大时的生产安排。

2800,41600,41200,
0,0.
x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ 师：若x 、y 需满足的不等式组（1）式变为上式还能代点解决吗？
生：能。

师：若x 、y 是满足题意的实数，上述方法是否可行？
生：不行，
【设计意图】
让学生体会随着满足题意的整点的增多，虽然从理论上通过代点求最大值仍可行，但可操作性变差；而当阴影区域内任一点都满足题意时，代点法无法解决问题。

通过问题的“层层递进”设置，逐步引起思维冲突，激发学生的求知欲望，调整探究思路，寻找解决问题的新方法。

师：既然如此，能否寻求一种一般性的解决方案？
生：设23z x y =+
师：设23z x y =+，问题就转化为：x 、y 在满足（1）式且为非负整数时，求z 的最大值问题；为什么要设23z x y =+?
生：设23z x y =+后，23z x y =+是关于x 、y 的二元一次方程，表示直线。

师：一条直线吗？
生：无数条
师：这无数条直线有何特征？
生：平行，斜率相等，都为23
- 师：也就是说，23z x y =+表示斜率为23
-的一族平行直线；那么，z 在其中又“扮演”什么角色呢？（将方程23z x y =+变形为斜截式：233z y x =-
+） 生：3
z 是直线23z x y =+在y 轴上的截距 师：根据解析几何的知识，已知斜率，我们要确定直线233z y x =-
+，只需什么条件？ 生：直线所经过的一点
师：只需一点，直线233
z y x =-+确定，此时z 也确定了；也就是说，要求z 的最大值，只需在阴影区域内找一点，使直线233
z y x =-+在y 轴上的截距最大，如何找点呢？ （打开几何画板演示，作这族平行线中最特殊的一条直线23y x =-，拖动23y x =-移动，引导学生观察上移、下移时在y 轴上截距的变化规律，最终找到M （4,2），该点使z 取到最大值14，问题得以解决）
【设计意图】
精心设计“问题链”，依次“抛” 出问题，层层展开，让学生明白为什么要设z ？为什么要将23z x y =+变形？为什么要平移？从而从根本上把握图解法的思维过程，体会由“数”到“形”的思想方法；“小问题”，“多层次”，“多角度”的问题设计原则，有利于难点的突破。

（教师借助PPT ，结合本例，介绍线性约束条件、线性目标函数、线性规划、可行解、可行域和最优解等概念）
（三）规范、总结
师：下面我们共同来书写本题的解题过程（借助PPT 完成）
解：设甲,乙两种产品分别生产x,y 件,利润为z 万元，由己知条件可得:
2841641200
x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩
目标函数为23z x y =+
如图，作出可行域.
将目标函数23z x y =+变形为：233z y x =-+，得到斜率为23
-，在y 轴上截距为3
z 且随z 值变化的一族平行线. 如图,当直线23z x y =+过可行域内M 点时,截距
3z 最大,此时z 最大. 联立4x =,280x y +-=,解得M(4,2),此时, max 243214z =⨯+⨯=
答：每天生产甲产品4件，乙产品2件，工厂可获最大利润。

师:以上这种解决线性规划问题的方法叫做图解法,下面我们共同根据以上解题过程总结一下图解法的步骤.
师生:设量列式→作可行域→移线找点→求解作答
(教师强调今后用图解法解决线性规划问题要按四步进行,规范书写解题过程)
【设计意图】
规范解题过程, 总结方法步骤
（四）变式思考，深化探究思路
线性约束条件不变2841641200
x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩
1．目标函数变成4z x y =+，则z 的最大值为________,最优解为_________.
2. 目标函数变成2z x y =+，则z 的最大值为________,最优解为_________.
师生活动：学生思考，教师巡视，然后由学生回答，教师提出问题：为何题2有两个最优解？
激发学生思考，教师借助几何画板进行演示，使学生感受目标函数对应的直线与相应边界所在直线的相对位置关系，会影响最优解的个数，教师适时对问题进行拓展，“抛”出问题：若x 、y 为满足题意的实数，最优解又有多少个？
【设计意图】规范方法并检验学生对图解法的理解程度，使学生感受目标函数对应直线与相应边界所在直线的相对位置关系，会影响最优解的取到位置及个数，教师通过几何画板演示，让学生直观体会在移线找点环节要通过比较二者斜率的大小关系来判断位置关系。

3．将目标函数变成2z x y =-，则z 的最小值为________,最优解为_________.则z 的最大值为________,最优解为_________.
师生活动：学生思考，教师巡视，然后由学生回答，教师引导学生比较此题和上两题的区别并借助几何画板演示，学生发现平移直线时若按上题的方法找纵截距的最大值便会出现问题，通过思考、讨论，找到本题需取截距最小的原因.
【设计意图】通过目标函数的不同变式，让学生熟悉求最值的方法，尤其是直线中纵截距的符号为负的情况．借助“几何画板”呈现目标函数的图形变化，注意在移线找点环节要关注z 随平移的变化规律。

从而提高课堂效率，建立精准的数形联系．
（五）课堂检测
已知x 、y 满足约束条件5315153，x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩
35（1）求的最大值和最小值，z x y =+
2（2）求的最大值和最小值，z x y =-
师生活动：请两名学生上黑板分别做出，其余学生在下面做，教师强调要严格按照图解法的步骤来书写解题过程，教师巡视；待学生全部做完后，师生共同来查找问题，整改问题，同时规范解题步骤和过程。

（3）（课下思考题）
5() 如图，若只在点B 处取到最大值，则a 的取值范围为__________.z ax y a R =+∈
师生活动：教师读题，要求学生根据本节课所学原理课
下完成。

【设计意图】检测题主要考查学生对本节课重点知识的掌握情况，检查学生能否运用所学知识解决问题的能力；课下思考题的设置是让学生应用本节课总结的方法和规律解题，这是本节内容的一个提高与拓展.
（六）归纳梳理，体会探究价值
通过设置问题，由学生和教师共同总结本节课所学到的知识.
1．解决线性规划问题的方法和步骤分别是什么？
２．在移线找点环节，要确定最优解的个数和其对应的点在可行域的位置，我们需要关注什么？
师生活动：通过设置问题由学生总结学习的内容，教师作补充说明，尤其是图解法的解题方法与步骤以及移线找点环节需关注的两个方面。

【设计意图】通过总结，培养学生数学交流和表达的能力，养成及时总结的良好习惯，并将所学知识纳入已有的认知结构.
（七）作业布置
1.课本P91 1，2
2.同步练习册P67基础达标1-5
3.完成课下思考题
学情分析
本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，通过实例理解了平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系表示简单的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化成数学问题。

从数学知识上看，问题涉及多个已知数据，多个字母变量,多个不等关系。

学生在学习过程中可能遇到以下疑虑和困难：
（1）将实际问题抽象成线性规划问题；
（2）用图解法解线性规划问题中，为什么要将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题？如何想到要这样转化？
（3）数形结合思想的深入理解.
效果分析
本节课遵循了新课标理念与设计思想，以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探究相结合的教学方法.通过多角度设置问题，激发学生解决问题的欲望；提供“观察、探索、交流”的机会，引导学生独立思考，有效地调动了学生思维，使学生在开放的活动中获取直接经验.
根据本节课教材内容的特点，充分调动了学生的学习兴趣，借助信息技术工具，通过精心设计“问题链”，依次“抛”出问题，层层展开，深入探究将目标函数与直线方程进行转
化的思想方法，以“几何画板”软件为平台，通过直线的平行移动的演示，观察截距的变化，求出目标函数的最值.让学生学会用“数形结合”思想方法建立起代数问题和几何问题间的密切联系，师生互动、讲练结合，从而突出了重点、突破了教学难点,实现了教学目标，收到了预期的效果。

教学反思
本节课内容是应用图解法解决简单的线性规划问题，由于学生对代数问题等价转化为几何问题需要一个过程，因此在对教材的处理上有一定的难度.但是，通过前面的学习，学生已经理解：1.有序实数对),(y x 与平面直角坐标系中的点是一一对应的，因此二元一次方程的解),(y x 与直线上点的坐标之间是一一对应的；2.以二元一次不等式的解为坐标的点都在平面直线的某一侧.而且，学生也已经掌握了用直线定界，用特殊点定域的方法画出平面区域.同时，由于前面对直线方程的系统学习，学生也已经明确了0=++C By Ax 中
C B A 、、所表示的意义，
有了将二元一次方程和二元一次不等式转化为直线和平面区域的意识.
鉴于以上几点，在本节课中，除了要完成教育教学知识点的讲授外，在学生的能力和情感方面，我也设定了以下几个目标：
1.在应用图解法解题的过程中培养学生的观察能力、理解能力；培养学生的分析问题、解决问题的能力和探索能力.
2.让学生体验数学活动中充满着探索与创造，培养学生勤于思考、勇于探索的精神.同时，学会用运动的观点观察事物，了解事物之间从一般到特殊、从特殊到一般的辩证关系.
针对我所教的两个班（一个实验班，一个平行班）学生所具备的数学基础知识和分析问题、解决问题的能力不同，本节课我对实验班的教学方法是以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探索相结合的教学方法.而对平行班的学生，主要是教师引导，教师与学生双主体式的教学方式.在此，就实验班的教学设计作出如下说明：
1.构建问题情境，激发学生解决问题的欲望.
2.提供“观察、探索、探讨”的机会，通过设置“问题链”引导学生独立思考，有效调动学生的思维，使学生在开放的活动中获取知识.
3.利用多媒体辅助教学，直观生动地呈现图解法求最优解的过程，既加大课堂信息量，又提高教学效率.
4.指导学生会疑、会议、会思、会变.在教学过程中，重视学生的探索经历和发现新知的体验，使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略.
一节好课不但要有充分的准备、好的设计、正确的教学理念，同时教师的综合素质显得尤为重要.教学中不但要体现教师的主导作用，更应发挥学生的主体作用.在本节课的教学之前，我主要针对以下几个问题展开深入的思考：
1.课堂气氛“度”的把握？
2.如何控制学生课堂讨论的范围？
3.对优等生和后进生如何合理分组？分组后后进生的积极性又如何有效调动？
4.情境设置与问题引导怎样才能与教学实际有效结合，使得教学过程能够大体按照课前设置的去运行，使得教学效果尽量达到最优化？
5.课后练习和书面作业的布置难度的把握？
本节课在精心的准备下取得了良好的教学效果，学生的达成度也很高.这节课的成功教学使我深深的明白，作为一名教师，尤其是青年教师，我们一定要在深入研究教材的基础上，花更多的时间去研究我们的学生，挖掘他们的潜力，使他们的优点得以展示，以此来激励他们更加努力的学习.
教材分析
本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》第三节《简单的线性规划问题》的第一课时. 主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法．
线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，广泛地应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。

简单的线性规划关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成. 教科书利用生产安排的具体实例，介绍了线性规划问题的图解法，引出线性规划等概念，后续课时举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配中的应用.
本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思想.
评测练习
已知x 、y 满足约束条件5315153，
x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩
35（1）求的最大值和最小值，z x y =+
2（2）求的最大值和最小值，z x y =-
师生活动：请两名学生上黑板分别做出，其余学生在下面做，教师强调要严格按照图解法的步骤来书写解题过程，教师巡视；待学生全部做完后，师生共同来查找问题，整改问题，同时规范解题步骤和过程。

（3）（课下思考题）
5() 如图，若只在点B 处取到最大值，则a 的取值范围为__________.z ax y a R =+∈
课标分析 1. 了解线性规划模型的特征：一组决策变量(,)x y 表示一个方案；约束条件是一次不等式组；目标函数是线性的，求目标函数的最大值或最小值．熟悉线性约束条件（不等式组）的几何表征是平面区域（可行域）．体会可行域与可行解、可行域与最优解、可行解与最优解的关系．
2.使学生学会从实际优化问题中抽象、识别出线性规划模型．能理解目标函数的几何表征（一组平行直线）．能依据目标函数的几何意义，运用数形结合方法求出最优解和线性目标函数的最大（小）值，其基本步骤为设量列式、做可行域、移线找点、求解作答.
3.教学中不但要教教材,还要教教材中的蕴含的方法.在探究如何求目标函数的最值时，通过以下几方面让学生领悟数形结合思想、化归思想在数学中的应用.(1)不定方程的解与平面内点的坐标的结合，进而产生了直线的方程.(2)线性目标函数解析式与直线的斜截式方程的结合.(3)线性目标函数的函数值与直线的纵截距的结合.(4)二元一次不等式(组)的解集与可行域的结合.(5)线性目标函数在线性约束条件下的最值与直线过可行域内的点时纵截距的最值的结合.这样就能使学生对数形结合思想的理解更透彻,为以后解析几何的学习和研究奠定基础, 使学生从更深层次理解“以形助数”的作用以及具体方法.
4. 在线性规划问题的探究过程中，使学生经历观察、分析、操作、归纳、概括的认知过程，培养解决运用已有知识解决新问题的能力.
基于以上分析，确定本节课的教学三维目标为：
（1）知识与技能：使学生了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；理解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；（2）过程与方法：在实验探究的过程中，培养学生的数据分析能力、探究能力、合情推理能力；在应用图解法解题的过程中，培养学生运用数形结合思想解题的能力。

（3）情态、态度与价值观：让学生体会数学源于生活，服务于生活；体会数学活动充满着探索与创造，培养学生动手操作、勇于探索的精神。