2023年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编-圆锥曲线1-3

数学名校选填压轴题好题-圆锥曲线

一、单选题

1．已知直线2140ax by -+=平分圆2242110C x y x y +---=：的面积，过圆外一点()P a b ，向圆做切线，切点为Q ，则PQ 的最小值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7

【答案】A

【解析】圆2242110C x y x y +---=：化为标准方程为()()2

2

2116x y -+-=，

所以圆心()21

C ，，半径4r =， 因为直线2140ax by -+=平分圆2242110C x y x y +---=：的面积，

所以圆心()21

C ，在直线2140ax by -+=上，故22140a b -+=， 即7=+b a ，在Rt PQC 中，

()()2

2

2

2

22116PQ PC r a b =-=-+--

()()()2

2

2

2261628242216a a a a a =-++-=++=++，

当2a =-时，2

PQ 最小为16，PQ 最小为4． 故选：A ．

2．（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）已知双曲线22

22:1x y C a b

-=（0a >，0b >）的左

右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 为双曲线C 中第一象限上的一点，12F PF ∠的平分线与x 轴交于Q ，若21

4

OQ OF =，则双曲线的离心率范围为（ ）

A ．()1,2

B ．()1,4

C ．

)

2

D ．

)

4

【答案】B

【解析】设双曲线的半焦距为()0c c ＞， 离心率为e ， 由21

4OQ OF =，则154

QF c =，234QF c =，

因为PQ 是12F PF ∠的平分线， 所以12:5:3PF PF =, 又因为122PF PF a -=， 所以125,3PF a PF a ==，

所以53222a a c a c +>⎧⎨<⎩，解得14c a <<，即14e <<，

所以双曲线的离心率取值范围为(1,4). 故选：B

3．（2022·湖北武汉·高三开学考试）已知椭圆Γ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的两个焦点为1F ，2F ，过2

F 的直线与Γ交于A ，B 两点.若223AF F B =，12AB AF =，则Γ的离心率为（ ）

A ．1

5

B

C

D

【答案】C

【解析】设2F B m =,则23AF m =,124AB AF m ==. 由椭圆的定义可知1225BF BF a m +==,所以25m a =

,所以26

5

AF a =,145AF a =.

在△ABF 1中,2

2

2

2221111

8481555cos 8424255a a a AB AF BF A a a AB AF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

+- ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭==

=⨯⨯. 所以在△AF 1F 2中,22

21212122cos F F AF AF AF AF A =+-,

即2222

4441

425554

a a a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理可得：2

2225c e a ==,

所以e =故选：C

4．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测）已知双曲线1C ：()22

2210,0x y a b a b

-=>>与抛物线2C ：

()220y px p =>有公共焦点F ，过F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，延长FA 与抛物线2C 相交

于点B ，若点A 为线段FB 的中点，双曲线1C 的离心率为e ，则2e =（ ）

A B C D 【答案】B

【解析】根据题意，作图如下：

因为双曲线1C 和抛物线2C 共焦点，故可得2

2

2

4

p a b +=，

又(),0F c 到b y x

a =的距离d

b ==，即AF b =，又A 为BF 中点，则2BF b =， 设点(),B x y ，则22p b x =+

，解得22p x b =-；由222

4

p a b +=可得OA a =， 则由等面积可知：11

22BF OA OF y ⨯⨯=⨯⨯，解得4ab y p =，则42,2p ab B b p ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则2,A A ab x b y p ==，又点A 在渐近线b y x a

=上，即22b ab a p =，即22a pb =，

又2

2

2

44p a b =+，联立得4

22

4

0a a b b --=，即222210b a a b -+=，解得22b a =

故22

21b e a =+. 故选：B.

5．（2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测）直线10x y -+=经过椭圆

()22

22

10x y a b a b +=>>的左焦点F ，交椭圆于A 、B 两点，交y 轴于C 点，若2FC AC =，则该椭圆的离心率是（ ）

A B C ．2 D 1

【答案】A

【解析】由题意可知，点(),0F c -在直线10x y -+=上，即10c -=，可得1c =， 直线10x y -+=交y 轴于点()0,1C ，