谓词逻辑的推理规则和证明方法

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第七章谓词逻辑

整个公式中，
是自由出现。
z
约束出现，
x
既有约束出现又有自由出现，
y
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变元的约束讨论
❖ 从约束变元的概念可以看出，P(x1,x2, … ,xn)是n元谓词，它有n个相互独立的自由变元。
❖ 若对其中k个变元进行约束，则P成为n-k元谓词。
❖ 当k = n，即谓词公式中没有自由变元出现时，则该公式就成为一个命题。
请将下列命题符号化： (1) 某些实数是有理数。 (2) 没有不犯错误的人。 (3) 尽管有人聪明，但未必一切人都聪明。
解：(1) R(x)：x是实数。Q(x)：x是有理数。 (x)(R(x)Q(x) )
(2) M(x)：x是人。F(x)：x犯错误。 (x)(M(x)F(x))
(3) M(x)：x是人。S(x)：x聪明。 (x)(M(x)S(x)) (x)(M(x)S(x))
某种性质或具有某种关系，需要引入量词。例如： (1) 某些人会跳舞； (2) 所有人都会跳舞；
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量词
❖ [定义]量词表示数量的词
1.全称量词: 表示任意的,所有的,每一个，凡是 x 表示对个体域中所有的x……
2.存在量词: 表示存在, 有的, 至少有一个，有些 x 表示在个体域中存在x……
❖ 在∀x A(x)和∃x A(x)中： ❖ 紧跟量词的x称为量词的指导变元或作用变元 ❖ A称为量词的辖域或作用域
回答：(1)(2)是谓词合式。
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谓词逻辑
❖7.1.1 谓词与命题函数
▪ 1. 谓词 ▪ 2. 命题函数
❖7.1.2 量词
▪ 1. 全称量词 ▪ 2. 存在量词
❖7.1.3 谓词合式
❖7.1.4 约束元与自由元

谓词基本推理公式

谓词基本推理公式
谓词逻辑是逻辑学中的一种形式系统，它使用谓词来表达命题的性质和关系。

基本推理公式是谓词逻辑中的一些基本规则，用于推导命题的真假。

以下是几个常用的谓词逻辑基本推理公式：
1. 交换律：A→B ↔ B→A
2. 结合律：(A→B)→C ↔ A→(B→C)
3. 吸收律：A→(B∧C) ↔ (A→B)∧(A→C)
4. 分配律：(A∧B)→C ↔ A→(B→C)
5. 重写律：A→B ↔ ¬B→¬A
6. 否定引入律：¬(A∧B) ↔ (¬A∧¬B)
7. 否定消去律：¬¬A ↔ A
8. 双条件引入律：A↔B ↔ (A→B)∧(B→A)
9. 双条件消去律：A↔B ↔ (A∧B)∨(¬A∧¬B)
10. 全称量词引入律：∀x(P(x)) ↔ P(y)/y (y属于某个集合)
11. 存在量词引入律：∃x(P(x)) ↔ P(y)/y (y属于某个集合)
这些基本推理公式是谓词逻辑的基础，可以用于推导其他命题的真假。

在具体使用时，需要根据命题的具体情况进行选择和应用。

谓词逻辑基本推理公式

谓词逻辑基本推理公式
谓词逻辑的基本推理公式包括：
1. 全称量词规则：如果个体域中每一个个体具有性质A，则存在一个个体具有性质A。

即，能找出一个就表示存在。

公式为A ( c ) ⇒∃ x A
( x )A(c)\Rightarrow\exists xA(x)A(c)⇒∃xA(x)。

规则成立的条件是c是个体域中某个确定的个体，代替c的x不在A©中出现过。

2. 存在量词规则：如果个体域中存在个体具有性质A，则至少存在一个个体具有性质A。

公式为∃ x A ( x ) ∀ y A ( y )\exists xA(x)\forall yA(y)∃x A(x)∀yA(y)。

3. 归结推理：将公式中的量词的指导变元及其辖域中的该变元换成该公式中没有出现的个体变元，公式的其余部分不变。

4. 代入规则：把公式中的某一自由变元，用该公式中没有出现的个体变元符号替代，且要把该公式中所有的该自由变元都换成新引入的这个符号。

5. 解释（赋值）：谓词公式A的个体域D是非空集合，则每一个常项指定D中一个元素；每一个n元函数指定Dn到D的一个函数；每一个n元谓词指定Dn到{0,1}的一个谓词。

按这个规则做的一组指派，称为A的一个解释或赋值。

以上是谓词逻辑的基本推理公式，通过这些公式可以推导出更复杂的逻辑推理结果。

第3章基于谓词逻辑的机器推理4

第三章基于谓词逻辑的机器推理
然后把上述各语句翻译为谓词公式： (1) x(R(x)→L(x)) (2) x(D(x)→乛L(x)) (3) x(D(x)∧I(x)) (4) x(I(x)∧乛R(x)) 已知条件
第三章基于谓词逻辑的机器推理
求题设与结论否定的标准型，得 (1)乛R(x)∨L(x) (2)乛D(y)∨乛L(y)
Kills ( Jack , Tuna ) False

Kills ( Jack , Tuna )

False
第三章基于谓词逻辑的机器推理
例设已知： (1)能阅读者是识字的； (2)海豚不识字； (3)有些海豚是很聪明的。试证明：有些聪明者并不能阅读。首先，定义如下谓词： R(x)：x能阅读。I(x)：x是聪明的。 L(x)：x识字。D(x)：x是海豚。
B: Dog（y） Owns(x,y) Animallover(x)
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第三章基于谓词逻辑的机器推理
3. 2 归结演绎推理
x Animallover(x) y Animal (y) ¬ Kills(x,y) x, y {¬[Animallover(x) Animal (y) ]¬Kills(x,y)} ¬Animallover(x) ¬ Animal (y) ¬ Kills(x,y) }
C:Animallover(x) Animal (y) Kills(x,y) False D: Kills(Jack,Tuna) Kills(Tom,Tuna)
E: Cat(Tuna)
F: Cat(x) Animal (x)
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第三章基于谓词逻辑的机器推理
3. 2 归结演绎推理

离散数学第2章谓词逻辑

命题“凡人要死。”符号化为：(x)F (x) ⑵ 令G(x)：x是研究生。命题“有的人是研究生。”符号化为：(x)G(x)
在命题函数前加上量词(x)和(x)分别叫做个体变元x 被全称量化和存在量化。一般地说，命题函数不是命题，如果对命题函数中所有命题变元进行全称量化或存在量化，该函数就变成了命题。这一结论在例2.3中得到验证。
为假。 ⑵ 如果5大于3，则2大于6。解：设G(x,y)： x大于y a：5，b：3，c：2，d：6 该命题符号化为：G(a,b)→G(c,d) G(a,b)表示5大于3，它是真命题。G(c,d)表示2大于6，
ห้องสมุดไป่ตู้这是个假命题。所以G(a,b)→G(c,d)为假。
(3) 2 是无理数, 而 3 是有理数解：设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数符号化为 F( 2) G( 3) 真值为 0 (4) 如果2>3，则3<4 解：设 F(x,y): x>y, G(x,y): x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4) 真值为1
谓词：刻划个体性质或个体之间相互关系的模式叫做谓词。谓词常用大写英文字母表示，叫做谓词标识符。
例如可以用F，G，H表示上面三个命题中谓词： F：„是优秀共产党员。 G：„比„高。 H：„坐在„和„的中间。
第2章谓词逻辑
一元谓词：与一个个体相关联的谓词。如上例中的F。二元谓词：与两个个体相关联的谓词。如上例中的G。三元谓词：与三个个体相关联的谓词。如上例中的H。
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第2章谓词逻辑
课外作业
• 教材P59-60页: 练习题（需要做在练习本上）（1）（2） a)、c) 、d)、e)、 f)、i)、k)、l)
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谓词逻辑的基本原理和推理方法

谓词逻辑的基本原理和推理方法谓词逻辑是数理逻辑的一种形式，它主要研究陈述句的真值和推理关系。

本文将探讨谓词逻辑的基本原理和推理方法，以帮助读者进一步理解和运用这一重要的逻辑体系。

一、谓词逻辑的基本原理谓词逻辑是由Richard Montague在20世纪50年代提出的，它是一种基于谓词和量词的逻辑形式。

谓词是描述个体和关系的词汇，而量词则表示个体的范围。

基于这些基本元素，谓词逻辑涉及命题的真值判断和逻辑推理。

1. 命题的真值判断在谓词逻辑中，命题的真值可以通过公式化的方式进行判断。

具体而言，谓词逻辑使用谓词和个体常量构建公式，通过赋值给个体常量和谓词变量来确定命题的真假。

这种方法可以使我们更加准确地判断复杂命题的真值。

2. 逻辑运算符谓词逻辑中常用的逻辑运算符包括否定、合取、析取、蕴涵和双条件。

通过这些逻辑运算符，我们可以对命题进行复合运算，并获得更加精确的逻辑推理。

3. 量词的运用量词在谓词逻辑中起着重要作用，它用来限定命题的个体范围。

通常使用的量词有普遍量词和存在量词，分别表示“对于所有的”和“存在一个”。

量词的运用使得我们能够对具有普遍性或存在性的命题进行精确的描述和推理。

二、谓词逻辑的推理方法谓词逻辑在推理中有着广泛的应用。

下面介绍几种常用的推理方法。

1. 求解真值通过给定谓词和量词的赋值，可以求解命题的真值。

这种方法可以通过证明或反证法来进行，根据不同的情况选择合适的推理策略。

2. 归结推理归结推理是一种通过消解规则进行推理的方法。

它通过将多个命题进行归结，从而得到新的命题。

这种方法在人工智能领域得到广泛应用。

3. 等词推理等词推理是一种通过等词的等同性进行推理的方法。

它通过推导两个等词相等的命题，从而间接地得出新的命题。

等词推理在代数逻辑和数学中有着重要的应用。

4. 形式化推理形式化推理是一种将命题转化为形式逻辑公式来进行推理的方法。

通过将推理过程形式化，可以减少人为因素的干扰，提高推理的准确性和可靠性。

离散数学-谓词演算的推理规则

解： P(x) ：x 是液体， G(x)：x是金属， R(x, y)：x 溶解 y ，
xG(x) y p(y) R(y, x)
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例2、将下列命题译成自然语言，并确定其真值。
(个体域为 Z ) (1) xyG(x, y) ，其中G(x, y) : xy y 解：对任意正整数 x ，存在正整数 y，
F(x),G(x, y) 中的 x 是约束变元， G(x, y) 中的 y是自由变元； y 的辖域是F( y) ， F( y) 中的 y 是约束变元； R(x, y, z)中的 x, y, z 都是自由变元。
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例5、设个体域为 A a,b,c将下面谓词公式中的
量词消除，写出与之等值的命题公式。 (1) xP(x) xR(x) 解 xP(x) xR(x)
§2.3 谓词演算的推理规则
重点：全称指定规则（US）（Universal Specification）存在指定规则（ES）（Existential Specification）全称推广规则（UG）（Universal Generalization）存在推广规则（EG）（Existential Specification）
3
3、全称推广规则（UG）
A( y) xA(x) 要求：（1）y是个体域中任一个体，且都有A( y)为真。
4、存在推广规则（EG）
A( y) xA(x)
要求：(1) y 是个体常元或变元，
(2)在公式A(y)中，y不出现在量词 x或x
的辖域内。
4
注：考察以下推理过程
① xyP x, y
②
yP(c, y)
谓词公式；辖域，约束变项，自由变项；代换实例；重言式，矛盾式，可满足式。 2、应用。 (1) 求某些公式在给定解释下的真值。 (2) 判断某些简单公式的类型。

离散数学第二章(第3讲)

2、规则使用说明
（1）用US,ES在推导中去掉量词，用UG,EG使结论量化（加上量词）。（2）在使用ES,US时,要求谓词公式必须是前束范式
（3）推导中既用ES，又用US，则必须先用ES ，后用US方可取相同变元，反之不行。
xP(x) P(c) xQ(x) Q(c)
（4）推导中连续使用US规则可用相同变元 xP(x) P(c) xQ(x) Q(c)
（x）(M(x)D(x))，M(s) D(s)
(1) x(M(x)D(x))
P
(2) M(s) D(s)
US(1)
(3) M(s)
P
(4) D(s)
T(2)(3)I
（2）CP 规则证明
例证明: x (P(x)Q(x)) x P(x) xQ(x)
(1) x P(x)
附加前提
(2) x (P(x)Q(x))
x(P(x)(Q(x)S(x))),x(P(x)T(x))，Q(c)T(c)P(c)S(c)
推理形式如下：
(1) P(c)
附加前提
(2) x(P(x)(Q(x)S(x)))
P
(3) P(c)(Q(c)S(c))
US (2)
(4) Q(c)S(c)
T(1)(3) I
(5) Q(c)T(c)
P
(6) Q(c)
T (6)(10) I
T(1) E
(3) xP(x)
T (2) I
(4) P(a)
ES (3)
(5) xQ(x)
T(2) I
(6) Q(a)
US (5)
(7) x( P(x) Q(x) )
P
(8) P(a) Q(a)
US(7)

离散数学2_谓词逻辑

解决这个问题的方法：
在表示命题时，既表示出主语，也表示出谓语，就可以解决上述问题。这就提出了谓词的概念。令S(x)表示x是大学生，a:小张，b:小李命题P表示成S(a):小张是大学生。命题Q表示成S(b):小李是大学生。从符号S(a)、S(b)可看出小张和小李都是大学生的共性. 令N(x):x是自然数。I(x):x是整数。表示所有的。推理如此实现： A: x(N(x)→I(x)) N(8)→I(8) B :N(8) N(8) C :I(8) I(8) 符号 S(x)、N(x)、I(x)就是所谓的谓词。
பைடு நூலகம்
• 对约束变元和自由变元有如下几点说明： (1).对约束变元用什么符号表示无关紧要。就是说xA(x)与yA(y)是一样的。这类似于计算积分与积分变元无关，即积分 ∫f(x)dx 与∫f(y)dy 相同。 (2).一个谓词公式如果无自由变元，它就表示一个命题。例如 A(x)表示x是个大学生。xA(x)或者 xA(x)就是个命题了，因为它们分别表示命题“有些人是大学生”和“所有人都是大学生”。
• 下面都是合式公式： P、(P→Q)、(Q(x)∧P)、 x(A(x)→B(x))、xC(x) • 而下面都不是合式公式： xyP(x) 、P(x)∧Q(x)x • 为了方便，最外层括号可以省略，但是若量词后边有括号，则此括号不能省。 • 注意：公式x(A(x)→B(x))中x后边的括号不是最外层括号，所以不可以省略。
2-1.5 量词
• 例如：有些人是大学生。所有事物都是发展变化的。 “有些”,“所有的”,就是对客体量化的词。 • 定义：在命题中表示对客体数量化的词，称之为量词。 • 定义了两种量词： (1).存在量词：记作，表示“有些”、“一些”、 “某些”、“至少一个”等。 (2).全称量词：记作，表示“每个”、“任何一个”、“一切”、“所有的”、“凡是”、

离散数学27谓词演算的推理理论

14
六、例题
例：给定下面2个推理,找出错误.
（1） 1．x (F(x) G(x)) P
2．F(y) G(y)
US(1)
3．x F(x)
P
4．F(y)
ES(3)
5．G(y)
T(2)(3) I
6．xG(x)
UG(5)
（2） 1．xy F(x, y)
P
2．y F(z, y)
US(1)
3．F(z, c)
ES(2)
4．x F(x, c)
UG
5．yx F(x, y)
EG
*在上面推理中（1）中从3到4有错，（2）中从2到3有错
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六、例题
希望在应用上述规则时，千万注意条件，否则会犯错误。下面给出几个谓词逻辑中构造证明的例子。
例：证明苏格拉底三段论“凡人都是要死的，张三是人，所以张三要死。” 首先将命题符号化：
EG(5)
*以上结论显然错的，其原因是违背条件（1），2步与4步中的c不应相同。
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四、存在量词指定规则
又如，在实数集中，xy(x>y)是真命题，请看下面推导：
1．xy(x>y)
P
2．y（z>y）
US(1)
3．z>c
ES(2)
4．x(x>c)
UG(3)
而x(x>c)是假命题。
*结论是错的，其原因是违背了（3），对2使用ES规
解： F（x）：x为学术会成员。G（x）：x是专家。
H（x）：x是工人。
R（x）：x是青年人。
前提：x (F(x) G(x) H(x)), x (F(x) R(x))
结论：x (F(x) R(x) G(x))

谓词逻辑推理定律

谓词逻辑推理定律首先，让我们了解什么是谓词逻辑。

谓词逻辑是一种逻辑分析方法，用于分析一些断言或句子的真假性。

谓词逻辑推理是指根据给定的谓词逻辑语句推理出另一个谓词逻辑语句的过程。

通常情况下，谓词逻辑推理被用于解决语义相关问题，如逻辑谬误，语言理解等。

谓词逻辑推理定律是用于谓词逻辑推理过程中所应注意的一些基本原则，它们能够帮助我们合理地进行推理，确保推理的合法性和准确性。

下面我们将详细介绍几个常见的谓词逻辑推理定律。

1. 否定演算规律：一个命题与它的否定命题不能同时成立。

例如，如果说“所有动物都能呼吸”，那么这么说就是错误的：“所有动物不能呼吸”。

因此，被推理的命题不能同时成立为“真”和“假”。

2. 否定引入规律：在一个推理中，当我们不能证明一个命题时，我们可以推出它的否定命题是真的。

例如，如果一个人说“我已经搜索了整个屋子，但是没有找到我的钥匙”，那么我们可以推断出：“我的钥匙不在我的房子里”。

因为如果钥匙在房子里，就一定会被找到。

3. 等价规律：如果两个命题具有相同的真值，那么它们具有等价关系。

例如，命题“猫是哺乳动物”和“所有哺乳动物都是猫”就是等价的。

4. 分配律：如果一个逻辑命题包含多个逻辑操作符，将它们分成两个组合不影响其含义。

例如，命题“(p∧q)∨r”和“(p∨r)∧(q∨r)”就是等价的。

5. 归纳法则：当推理一组命题时，我们通常可以通过研究一组具有相似特征的实例来了解整个集合的性质。

例如，如果我们希望证明所有偶数之和是偶数，我们可以归纳地首先证明2和4之和为6，接着证明6和6之和为12，以此类推。

通过这种归纳方法，我们可以得出结论：所有偶数之和是偶数。

6. 相反法则：只有证明命题的逆否命题为真，才能真正证明该命题为真。

例如，如果我们想证明“如果人类能够站立，那么他们就能够行走”，我们可以相反地批判性地假设人类不能行走，然后我们就可以推断出，他们也不能站立。

以上谓词逻辑推理定律是推理过程中注意的基本原则。

谓词与自然演绎推理

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永真蕴含式对于谓词公式 P 和 Q ，若 P→Q 永
真，则称P永真蕴含Q，且称Q为P的逻辑结论，称P为Q的前提。
记作：P Q。
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常用的永真蕴含式
化简式 P∧QP P∧QQ 附加式 PP∨ Q QP∨ Q
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析取三段论 ~P, P ∨ Q Q 假言推理 P, P→ Q Q 拒取式 ~Q, P → Q ~ P
Artificial Intelligence
谓词及其推理
主要内容
谓词逻辑的基本概念谓词公式的解释谓词公式的永真性和可满足性谓词公式的等价性与永真蕴含推理及其方法
2
谓词逻辑的基本概念
命题一阶谓词连词量词合式公式量词辖域与约束变元
3
谓词公式的解释
定义：设D为谓词公式P的个体域，若对P中的个体常量、函数和谓词按如下规则赋值：
5
例1、设个体域D={1,2},求公式
A= (x)(y)P(x,y)
在D上的解释，并指出在每一种解释下A的值。
6
解：设：P(1,1)=T, P(1,2)=F, P(2,1)=T, P(2,2)=F 则它们是A在D上的一个解释。因为 x=1或2时有y=1使得A的真值为T，故在此解释下公式A的真值为T。
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又设： P(1,1)=T, P(1,2)=T, P(2,1)=F, P(2,2)=F 它们是A在D上的另一个解释。因为对D中的所有x (x=1, x=2) ，不存在y，使得A的真值为T，故在该解释下，公式A的真值为F。
8
例2、设个体域D={1,2}，求公式
B= (x) (P(x) → Q(f(x),b))
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推理方法解决的主要问题

离散数学---谓词逻辑推理

S(x): x 是理科生； T(x): x 是优等生。要引入的个体常项是：c : 小张。前提：x(P(x)(Q(x)S(x)))、x(P(x)T(x))、 Q(c)T(c)
结论：P(c)S(c)，
推理举例(续)
西华大学
前提：x(P(x)(Q(x)S(x)))、 x(P(x)T(x))、Q(c)T(c) 结论：P(c)S(c)，证明: (1). x(P(x)(Q(x)S(x))) P规则 (2). P(c)(Q(c)S(c)) 全称量词消除规则 (3). P(c) CP规则 (4). Q(c)S(c) (2)(3)I (5). Q(c)T(c) P规则 (6). Q(c) (5)I (7). S(c) (4)和(6) I
在证明的任何步骤上一阶公式中的任何子公式都可用与之等值的公式置换得到证明的公式序列的另一公式证明的公式序列的另公式
第二章谓词逻辑
西华大学
第3节一阶逻辑推理理论
推理的定义
西华大学
称蕴涵式(A1A2…Ak)B为推理的形式结构， A1, A2, …, Ak为推理的前提，B为推理的结论。若(A1A2…Ak)B为永真式，则称从前提A1,
// 前提
(2). P(a)Q(a) // 全称量词消除规则
举例：全称量词消除规则
西华 B 大学
指出下列推导中的错误，并加以改正： (1). x P(x)Q(x) // 前提 (2). P(y)Q(y) // 全称量词消除规则
量词 x 的辖域为 P(x) ，而非 P(x)Q(x) ，所以不能直接使用全称量词消除规则。
举例：全称量词消除规则
西华 A 大学
指出下列推导中的错误，并加以改正： (1). (x)(P(x)Q(x))// 前提 (2). P(a)Q(b) // 全称量词消除规则

05-L.02 谓词逻辑的归结推理

离散数学基础2017-11-19•一些基本定义：−谓词公式中原子或原子的否定形式称为文字。

−文字的析取式称为子句。

−不包含任何文字的子句称为空子句。

»空子句是不可满足的。

−若干相互形成合取关系的子句以集合元素的形式构成集合，称为子句集。

•定理：谓词公式的子句集化归−任何谓词公式都可应用谓词逻辑等值式及推理规则化成相应的子句集。

−过程（构造性证明）：(1)蕴涵消去：消去条件蕴涵符号；(2)否定词深入：否定词直接作用在原子上；(3)变量标准化：处于不同量词辖域的约束变量根据易名规则使用不同的变量名；(4)消去存在量词：对不受约束的存在量词，使用常量符号例化；对被约束的存在量词，引入Skolem函数建立依赖；(5)化为前束形：（前缀）（母式），前缀包含全称量词串，母式中不包含任何量词；(6)将母式化为合取范式；(7)消去全称量词（自由变量默认全称量化）；(8)由(6)中各极大项构成子句；(9)变量分离：使各子句不含同名变量。

•例：∀xP(x)→∀x∃y((P(x)∨Q(x))→R(x, y))¬ ∀xP(x) ∨ ∀x∃y(¬(P(x) ∨ Q(x)) ∨ R(x, y)) 蕴涵消去∃x¬P(x) ∨ ∀x∃y ((¬P(x) ˄ ¬Q(x)) ∨ R(x, y))否定词深入∃x¬P(x) ∨ ∀z∃y ((¬P(z) ˄ ¬Q(z)) ∨ R(z, y))变量标准化¬P(c) ∨ ∀z((¬P(z) ˄ ¬Q(z)) ∨ R(z, f Skolem(z))消去存在量词∀z(¬P(c) ∨ ((¬P(z) ˄ ¬Q(z)) ∨ R(z, f Skolem(z))) 化为前束形∀z((¬P(c) ∨ ¬P(z) ∨ R(z, f Skolem(z)) ˄(¬P(c) ∨ ¬Q(z) ∨ R(z, f Skolem(z)))将母式化为合取范式¬P(c) ∨ ¬P(z) ∨ R(z, f Skolem(z), ¬P(c) ∨ ¬Q(z) ∨ R(z, f Skolem(z) 消去全称量词 {¬P(c) ∨ ¬P(u) ∨ R(u, f Skolem(u), ¬P(c) ∨ ¬Q(v) ∨ R(v, f Skolem(v)} 变量分离−说明：»子句中的变量总是被默认为全称量化的；»化归得到的子句集不等价于原公式；»考虑到量词消去和引入规则的应用，若公式 A 在逻辑上遵循公式集 S，则也遵循由 S 变换成的子句集。

6谓词逻辑推理

本定理说明：任何公式的前束范式都是存在的，但一般说来并不是唯一的。
例4 求下列公式的前束范式
(1) x(M(x)F(x))
解 x(M(x)F(x)) x(M(x)F(x))
（量词否定等值式）
x(M(x)F(x)) 后两步结果都是前束范式，说明公式的前束范式不惟一.
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一阶逻辑的常用推理规则
(1)命题演算中的所有推理规则都是谓词演算中的推理规则，谓词演算的所有永真式也是谓词推理规则。
前提引入、结论引入、置换规则、假言推理、附加、化简、拒取式、假言三段论、析取三段论、构造性两难、合取引入等等。
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一阶逻辑的常用推理规则
为了构造推理系统，还要给出4条重要的推理规则, 即消去量词和引入量词的规则：
A1 ,A2 ,… ,Ak → B 若为永真式，则称推理正确，否则称推理不正确。
在一阶逻辑中称永真式的蕴涵式为推理定律，若一个推理的形式结构正是某条推理定律，则这个推理显然是正确的。
在一阶逻辑的推理中，某些前提与结论可能是受量词限制，为了使用命题逻辑中的等值式和推理定律，必须在推理过程中有消去和添加量词的规则，以便使谓词演算公式的推理过程可类似于命题演算中推理理论那样进行。
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有限个体域上消去量词
设个体域为有限集D={a1, a2,…, an}, 则 xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an) xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an)
例: 个体域D={a,b,c}, 则消去下面公式中的量词 xyF(x,y) x (F(x,a)∧F(x,b)∧F(x,c)) (F(a,a)∧F(a,b)∧F(a,c))∨ (F(b,a)∧F(b,b)∧F(b,c))∨ (F(c,a)∧F(c,b)∧F(c,c))

离散数学谓词逻辑三段论逻辑推理例题证明

(3)(F(x，y)R(x，y))∧R(x，y)。
(4)xyF(x，y)xyF(x，y)。
2.5 谓词演算的等价式与蕴涵式
2.5.1 等价式 2.5.2 蕴涵式
2.5.1 等价式
定义2.13 设A和B是谓词公式，若AB为逻辑有效式，则称A和B是等价的，记为AB。
下面给出一些常见的基本谓词公式等价式。
2.4.2 谓词公式的分类
定义2.11 设A是一谓词公式，如A在任何解释下都是真的，称A为永真式或逻辑有效式；如A在任何解释下都是假的，称A为矛盾式；若至少存在一个解释使A为真，称A是可满足式。
例2 判断下列公式的类型(永真式、矛盾式、可满足式)：
(1)xF(x)xF(x)。
(2)xF(x)(xyG(x，y)xF(x))。
定理2.8 任何谓词公式的前束范式都存在。
例1 求下列公式的前束范式： (1)xF(x)∧xG(x)。 (2)xF(x)yG(x，y)。 (3)xF(x)xG(x)。 (4)xF(x)xG(x)。 (5)(xP(x)∨yQ(y))xR(x)。
1、全称量词消去规则(US)
若个体域为{a1，a2，…，an}，则有下式成立： (1)xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an)； (2)xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an)。
若个体域为{a1，a2，…，an}，则有下式成立： (1)xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an)； (2)xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an)。
例4 证明x(P(x)∨Q(x))，xP(x) ├ xQ(x)。
例5 (1)只要今天天气不好，就一定有考生不能提前进入考场，当且仅当所有考生提前进入考场，考试才能准时进行。所以，如果考试准时进行，那么天气就好。

数学逻辑中的命题公式和谓词公式的证明方法

数学逻辑是数学的一门重要分支，研究数学结论的正确推导。

其中，命题公式和谓词公式是数学逻辑中的两个重要概念。

在数学推理过程中，如何对命题公式和谓词公式进行证明是一个关键问题。

命题公式是一种具有确定真值的陈述句，可以用来表示一个简单命题或复合命题。

在数学逻辑中，命题公式的证明可以通过直接证明、反证法和数学归纳法等多种方法完成。

直接证明是最基本的证明方法之一。

它首先假设命题公式为真，然后根据命题公式的逻辑结构进行推演，逐步得出结论。

例如，要证明命题公式“若A成立，则B成立”。

可以通过对A成立的理由进行推理，得出B成立的结论。

直接证明的优点是简单直观，易于理解和操作。

反证法是另一种常用的证明方法。

反证法的基本思想是假设待证明的命题公式不成立，然后通过推理找出一个矛盾，从而推出原命题必然成立。

例如，要证明一个命题公式P成立，可以假设P不成立，然后推出与前提矛盾的结论，从而得出P成立。

反证法的优点是可以解决一些复杂的问题，特别适用于涉及否定命题的证明。

数学归纳法是一种特殊的证明方法，常用于证明具有重复结构的命题公式。

数学归纳法有两个基本步骤：先证明基本情况成立，再通过假设某一情况成立来推导下一情况成立。

这种证明方法常用于证明等式、不等式、恒等式等。

谓词公式是一种包含变量的命题公式，它可以用来表示一般陈述。

在数学逻辑中，谓词公式的证明通常与量词、谓词逻辑等概念相关。

谓词公式的证明需要借助于量词的使用。

数学逻辑中常用的量词有全称量词和存在量词。

全称量词表示“对于所有的”，存在量词表示“存在一个”。

在证明谓词公式时，需要根据给定的条件对变量进行限定，然后通过推导得出结论。

当然，对于不同类型的谓词公式，其证明方法也各不相同，有时需要采用特定的证明技巧。

总之，数学逻辑中的命题公式和谓词公式是数学证明的基础。

在证明命题公式时，可以采用直接证明、反证法和数学归纳法等多种方法，而谓词公式的证明则需要借助于量词的运用。

在实际的数学推理中，根据具体的问题和命题的特点选择合适的证明方法，可以更加有效地推导和证明数学结论。

谓词公式的推理

谓词公式的推理
谓词公式推理是逻辑推理的一种形式，它基于谓词逻辑进行推理。

谓词逻辑是一种用于描述和推理事物状态的逻辑系统。

谓词公式由一个或多个谓词符号（或称为函数符号）和变量符号组成，用于描述个体（或对象）的属性或关系。

谓词公式推理主要基于规则，这些规则告诉我们在什么条件下可以接受一个特定的结论。

在谓词逻辑中，常用的推理规则包括：
1. 替换规则：允许在公式中替换变量符号，而不改变公式的真值。

2. 附加规则：允许将一个公式附加到另一个公式上，从而形成更复杂的公式。

3. 分离规则：允许从两个公式中分离出一个子公式，前提是这两个公式在某些条件下都为真。

4. 普遍附加规则：允许在公式中添加一个普遍量词，前提是该公式在某些条件下为真。

5. 普遍分离规则：允许从公式中分离出一个普遍量词，前提是该公式在某些条件下为真。

这些规则可以组合使用，以进行复杂的推理。

例如，可以使用附加规则和分离规则来推导出一个结论，然后使用替换规则来将结论中的变量符号替换为具体的值。

总的来说，谓词公式推理是一种强大的逻辑工具，可用于描述和推理事物的属性和关系。

它广泛应用于数学、哲学、计算机科学等领
域。