用配方法求解一元二次方程 优秀教案

用配方法求解一元二次方程

【学情分析】

学生的知识技能基础：学习过开平方，知道一个正数有两个平方根，会利用开方求一个正数的两个平方根，并且也学习了完全平方公式。又学习了一元二次方程的概念，并经历了用估算法求一元二次方程的根的过程，初步理解了一元二次方程解的意义；

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，经历了用计算器估算一元二次方程解的过程，解决了一些简单的现实问题，感受到解一元二次方程的必要性和作用，基于学生的学习心理规律，在学习了估算法求解一元二次方程的基础上，学生自然会产生用简单方法求其解的欲望；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

【教学任务分析】

本课的具体学习任务：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。但这仅仅是这堂课的教学目标，或者说是一个近期目标。而数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。方程教学的远期目标：“让学生经历由具体问题抽象出方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想”，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。

【教学目标】

1. 会用开方法解形如n m x =+2)()0(≥n 的方程，理解配方法，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程；

2. 经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，增强学生的数学应用意识和能力；

3. 体会转化的数学思想方法；

4. 能根据具体问题中的实际意义检验结果的合理性。

【教学过程】

一、复习回顾

活动内容：

1．如果一个数的平方等于4，则这个数是 ，若一个数的平方等于7，则这个数

是 。一个正数有几个平方根，它们具有怎样的关系？

2．字母表示因式分解的完全平方公式。

活动目的：通过前两个问题，引导学生复习开平方和完全平方公式，为学生后面配方法的学习作好铺垫。

实际效果：第1和第2问两三个学生口答，由于问题较简单，学生很快回答出来。

二、自主探究

（1）你能解哪些一元二次方程？

（2）你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？

52=x ； 5322=+x ； 5122=++x x ； 222107)6(=++x 。

（3）上节课，我们研究梯子底端滑动的距离)(m x 满足方程015122=-+x x ，你能仿照上面几个方程的解题过程，求出x 的精确解吗？你认为用这种方法解这个方程的困难在哪里？

活动目的：利用实际问题，让学生初步体会开方法在解一元二次方程中的应用，为后面学习配方法作好铺垫；培养学生善于观察分析、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识。

实际效果：在复习了开方的基础上，学生很快口答出了第1问，为解决第二问做了准备。第2问让学生合作解决，学生在交流如何求原来正方形的边长时，产生了不同的方法，有的学生直接开方先求出了新正方形的边，再减增加的边长，求出原来的正方形的边长；有的同学用了方程，设原正方形的边长为xcm ，根据题意列出了一元二次方程48)3(;64)3(22=+=+x x 然后两边开方，根据实际情况求出了原来正方形的边长，这样，再一次经历了用一元二次方程解决实际问题的过程，并初步了解了开方法在一元二次方程中的简单应用。在第2问的基础上，学生很快解决了第3问。但学生在解决第4问时遇到了困难，他们发现等号的左端不是完全平方式，不能直接化成n m x =+2)( )0(≥n 的形式，因此大部分同学认为这个方程不能用开方法解，那么如何解决这样的方程问题呢？这就是我们本节课要来研究的问题（自然引出课题），为后面探索配方法埋好了伏笔。

三、讲授新课

活动内容1：做一做：（填空配成完全平方式，体会如何配方）

填上适当的数，使下列等式成立。（选4个学生口答）

22)6(_____12+=++x x x 22)3(____6-=+-x x x

22___)(____8+=++x x x 22___)(____4-=+-x x x

问题：上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？对于形如ax x +2的式子如何配成完全平方式？（小组合作交流）

活动目的：配方法的关键是正确配方，而要正确配方就必须熟悉完全平方式的特征，在此通过几个填空题，使学生能够用语言叙述并充分理解左边填的是“一次项系数一半的平方”，右边填的是“一次项系数的一半”，进一步复习巩固完全平方式中常数项与一次项系数的关系，为后面学习掌握配方法解一元二次方程做好充分的准备。

实际效果：由于在复习回顾时已经复习过完全平方式，所以大部分学生很快解决四个小填空题。通过小组的合作交流，学生发现要把形如ax x +2的式子如何配成完全平方式，只要加上一次项系数一半的平方，即加上2)2

(a 即可。而且讲解中小组之间互相补充、互相竞争，气氛热烈，使如何配成完全平方式的方法更加透彻。事实上，通过对配方的感知的过程，学生都能用自己的语言归纳总结出配成完全平方式的方法，这就为下一环节“用配方法解一元二次方程”打好基础。由此也反映出学生善于观察分析的良好品质，而这种品质是在学生自觉行为中得到培养的，体现了学生良好的情感、态度、价值观。

活动内容2：解决例题

（1）解方程：x 2+8x-9=0.（师生共同解决）

解：可以把常数项移到方程的右边，得

x 2+8x ＝9

两边都加上（一次项系数8的一半的平方），得

x 2+8x ＋42=9＋42．

（x+4）2=25

开平方，得 x+4=±5，

即 x+4=5，或x+4=-5．

所以 x1=1， x2=-9．

（2）解决梯子底部滑动问题：015122=-+x x （仿照例1，学生独立解决）

解：移项得 x 2+12x=15，

两边同时加上62得，x 2+12x+62=15+36，即(x+6)2=51

两边开平方，得x+6=±51 所以：6511-=x ，6512--=x ，但因为x 表示梯子底部滑动的距离所以6512--=x 不合题意舍去。