人教版八年级数学上册 第27章 相似专题练习：相似三角形的基本模型(含答案)

小专题(三) 相似三角形的基本模型

下面仅以X 字型.A 字型.双垂型.M 字型4种模型设置练习，帮助同学们认识相似三角形的基本模型，并能从复杂的几何图形中分辨出相似三角形，进而解决问题． 模型1 X 字型及其变形

(1)如图1，对顶角的对边平行，则△ABO ∽△DCO ；

(2)如图2，对顶角的对边不平行，且∠OAB ＝∠OCD ，则△ABO ∽△CDO .

1．(滨州中考)如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝6，点E 在对角线BD 上，且BE ＝1.8，连接AE 并延长交DC 于点F ，则CF CD ＝1

3

．

2．如图，已知∠ADE ＝∠ACB ，BD ＝8，CE ＝4，CF ＝2，求DF 的长．

解：∵∠ADE ＝∠ACB ， ∴180°－∠ADE ＝180°－∠ACB ， 即∠BDF ＝∠ECF . 又∵∠BFD ＝∠EFC ， ∴△BDF ∽△ECF . ∴

BD CE ＝DF CF ，即84＝DF 2

. ∴DF ＝4.

模型2 A 字型及其变形

(1)如图1，公共角所对应的边平行，则△ADE ∽△ABC ；

(2)如图2，公共角的对边不平行，且有另一对角相等，则△ADE ∽△ABC ；

(3)如图3，公共角的对边不平行，两个三角形有一条公共边，且有另一对角相等，则△ACD ∽△ABC .

3．(潍坊中考)如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D ，E 分别为边AB ，AC 上的点，AC ＝3AD ，AB ＝3AE ，点F 为BC 边上一点，添加一个条件：答案不唯一，如：∠A ＝∠BDF ，∠A ＝∠BFD ，∠ADE ＝∠BFD ，∠EDA ＝∠BFD ，DF ∥AC ，BD AE ＝BF ED ，BD DE ＝BF AE 等，可以使得△FDB 与△ADE

相似．(只需写出一个)

4．(福州中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，BC ＝5－1

2

，在AC 边上截取AD ＝BC ，连接BD .

(1)通过计算，判断AD 2与AC ·CD 的大小关系；

(2)求∠ABD 的度数．

解：(1)∵AD ＝BC ＝5－1

2

， ∴AD 2＝(

5－12)2＝3－5

2. ∵AC ＝1， ∴CD ＝1－

5－12＝3－5

2

. ∴AD 2＝AC ·CD . (2)∵AD 2

＝AC ·CD ， ∴BC 2＝AC ·CD ，即BC AC ＝CD BC .

又∵∠C ＝∠C ，∴△ABC ∽△BDC . ∴

AB BD ＝AC BC

. 又∵AB ＝AC ，∴BD ＝BC ＝AD .

∴∠A ＝∠ABD ，∠ABC ＝∠C ＝∠BDC .

设∠A＝∠ABD＝x，

则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，

∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x.

∴∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°.

解得x＝36°.

∴∠ABD＝36°.

模型3双垂型

直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.

5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AC＝8，BC＝6，DE＝3，则AD的长为(C)

A．3

B．4

C．5

D．6

6．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD＝3，AC＝35，则斜边AB的长为(B) A．3 6 B．15

C．9 5 D．3＋3 5

7．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝9，BD＝4，那么CD＝6，AC＝313．

模型4M字型及其变形

(1)如图1，Rt△ABD与Rt△BCE的斜边互相垂直，则有△ABD∽△CEB；

(2)如图2，点B，C，E在同一条直线上，∠ABC＝∠ACD，则再已知一组条件，可得△ABC与△DCE相似．

8．如图，已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 的中点，且AC ⊥CE ，ED ＝1，BD ＝4，求AB 的长．

解：∵AB ⊥BD ，ED ⊥BD ， ∴∠B ＝∠D ＝90°. ∴∠ACB ＋∠A ＝90°. ∵AC ⊥CE ，

∴∠ACB ＋∠ECD ＝90°. ∴∠A ＝∠ECD . ∴△ABC ∽△CDE . ∴

AB CD ＝BC DE

. 又∵C 是线段BD 的中点，ED ＝1，BD ＝4，

∴BC ＝CD ＝2. ∴AB ＝4.

9．如图，在正方形ABCD 中，E 为边AD 的中点，点F 在边CD 上，且∠BEF ＝90°.

(1)求证：△ABE ∽△DEF ；

(2)若AB ＝4，延长EF 交BC 的延长线于点G ，求BG 的长．

解：(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴∠A ＝∠D ＝90°.

∴∠ABE ＋∠AEB ＝90°. ∵∠BEF ＝90°，

∴∠AEB ＋∠DEF ＝90°. ∴∠ABE ＝∠DEF . ∴△ABE ∽△DEF .

(2)∵AB ＝AD ＝4，E 为AD 的中点，

∴AE＝DE＝2.

由(1)知，△ABE∽△DEF，

∴AB

DE＝

AE

DF，即

4

2＝

2

DF.

∴DF＝1.∴CF＝3. ∵ED∥CG，

∴△EDF∽△GCF.

∴ED

CG＝

DF

CF，即

2

GC＝

1

3.

∴GC＝6.

∴BG＝BC＋GC＝10.