三元柯西不等式公式
思维拓展 柯西不等式与权方和不等式的应用(新高考通用)学生版--2025届新高考数学一轮复习
思维拓展 柯西不等式与权方和不等式(精讲+精练)一、知识点梳理一、柯西不等式1.二维形式的柯西不等式(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2(a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)2.二维形式的柯西不等式的变式(1)a 2+b 2⋅c 2+d 2≥ac +bd (a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)(2)a 2+b 2⋅c 2+d 2≥ac +bd (a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)(3)(a +b )(c +d )≥(ac +bd )2(a ,b ,c ,d ≥0,当且仅当ad =bc 时，等号成立.)3.扩展：a 21+a 22+a 23+⋯+a 2n b 21+b 22+b 23+⋯+b 2n ≥(a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n )2，当且仅当a 1:b 1=a 2:b 2=⋯=a n :b n 时，等号成立.注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对a 2+b 2+c 2，并不是不等式的形状，但变成13•12+12+12 •a 2+b 2+c 2 就可以用柯西不等式了.二、权方和不等式权方和不等式：若a ,b ,x ,y >0，则a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ，当且仅当a x =by 时，等号成立.证明1：∵a ,b ,x ,y >0要证a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y 只需证ya 2+xb 2xy ≥(a +b )2x +y即证xya 2+y 2a 2+x 2b 2+xyb 2≥xya 2+2xyab +xyb 2故只要证y 2a 2+x 2b 2≥2xyab (ya −xb )2≥0当且仅当ya −xb =0时，等号成立即a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ，当且仅当a x =by时，等号成立.证明2：对柯西不等式变形，易得a 2x +b 2y(x +y )≥(a +b )2在a ,b ,x ,y >0时，就有了a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y当a x =by时，等号成立．推广1：a 2x +b 2y +c 2z ≥(a +b +c )2x +y +z ,当a x =b y =c z时，等号成立．2025届新高考数学一轮复习推广:2：若a i >0,b i >0，则a 21b 1+a 22b 2+⋯+a 2nb n ≥(a 1+a 2+⋯+a n )2b 1+b 2+⋯+b n，当a i =λb i 时，等号成立.推广3：若a i >0,b i >0,m >0，则a m +11b m 1+a m +12b m 2+⋯+a m +1nb m n≥(a 1+a 2+⋯+a n )m +1b 1+b 2+⋯+b nm，当a i =λb i 时，等号成立.二、题型精讲精练1实数x 、y 满足x 2+y 2=4，则x +y 的最大值是.2设x ,y ,z ∈R ，且x +y +z =1.(1)求(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2的最小值；(2)若(x -2)2+(y -1)2+(z -a )2≥13成立，证明：a ≤-3或a ≥-1.3已知a >1,b >12，且2a +b =3，则1a -1+12b -1的最小值为()A.1B.92C.9D.12【题型训练-刷模拟】1.柯西不等式一、单选题4(2024·全国·模拟预测)柯西不等式最初是由大数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky 和Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数 a 1,a 2,a 3 和 b 1,b 2,b 3 ，有a 21+a 22+a 23 b 21+b 22+b 23 ≥a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3 2等号成立当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a3b 3已知 x 2+y 2+z 2=14 ，请你用柯西不等式，求出 x +2y +3z 的最大值是()A.14B.12C.10D.85(23-24高二下·山东烟台·阶段练习)已知空间向量OA =1,12,0 ,OB =1,2,0 ,OC =0,1,12，OP =xOA +yOB +zOC ，且x +2y +z =2，则OP 的最小值为()A.2B.3C.2D.4二、填空题6(2024·山西·二模)柯西不等式是数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量a=x 1,y 1 ，b =x 2,y 2 ，由a ⋅b ≤a b 得到x 1x 2+y 1y 2 2≤x 21+y 21 x 22+y 22 ，当且仅当x 1y 2=x 2y 1时取等号.现已知a ≥0，b ≥0，a +b =9，则2a +4+b +1的最大值为.7(22-23高二下·浙江·阶段练习)已知x 2+y 2+z 2=1，a +3b +6c =16，则x -a 2+y -b 2+z -c 2的最小值为.8(22-23高一·全国·课堂例题)若不等式x +y ≤k 5x +y 对任意正实数x ，y 都成立，则实数k 的最小值为.9(22-23高三上·河北衡水·期末)若⊙C ：x -a 2+y -b 2=1，⊙D ：x -6 2+y -8 2=4，M ，N 分别为⊙C ，⊙D 上一动点，MN 最小值为4，则3a +4b 取值范围为．10已知正实数a ，b ，c ，d 满足a +b +c +d =1，则1a +b +c +1b +c +d +1c +d +a +1d +a +b的最小值是．三、解答题11(2024·四川南充·三模)若a ，b 均为正实数，且满足a 2+b 2=2.(1)求2a +3b 的最大值；(2)求证：4≤a 3+b 3 a +b ≤92.12(2024·四川·模拟预测)已知a ,b ,c 均为正实数，且满足9a +4b +4c =4．(1)求1a +1100b-4c 的最小值；(2)求证：9a 2+b 2+c 2≥1641.13(2024高三·全国·专题练习)已知实数a，b，c满足a+b+c=1．(1)若2a2+b2+c2=12，求证：0≤a≤2 5；(2)若a，b，c∈0,+∞，求证：a21-a +b21-b+c21-c≥12．2.权方和不等式一、填空题14已知x>-1，y>0且满足x+2y=1，则1x+1+2y的最小值为．15已知x>0，y>0，且x+y=1则x2x+2+y2y+1的最小值是．16已知a>0，b>0，且2a+2+1a+2b=1，则a+b的最小值是．17(23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a,b,x,y>0，则a2x+b2y≥(a+b)2x+y，当且仅当ax=by时等号成立.根据权方和不等式，函数f x =2x+91-2x0<x<12的最小值．18(2023高三·全国·专题练习)已知正数x，y，z满足x+y+z=1，则x2y+2z+y2z+2x+z2x+2y的最小值为19(2023高三·全国·专题练习)已知x+2y+3z+4u+5v=30，求x2+2y2+3z2+4u2+5v2的最小值为20(2023高三·全国·专题练习)已知θ为锐角，则1sinθ+8cosθ的最小值为.21(2023高三·全国·专题练习)已知正实数x、y且满足x+y=1，求1x2+8y2的最小值.22(2024高三·全国·专题练习)已知a>1,b>1，则a2b-1+b2a-1的最小值是．23(2023高三·全国·专题练习)已知实数x，y满足x>y>0，且x+y=2，M=3x+2y+12x-y的最小值为.24(2024高三·全国·专题练习)已知x,y>0,1x+22y=1，则x2+y2的最小值是．25(2023高三·全国·专题练习)已知正数x,y满足4x+9y=1，则42x2+x+9y2+y的最小值为。
柯西不等式的小结
柯西不等式的小结浙江省余姚中学 徐鹏科 315400柯西不等式是数学分析和数学物理方程研究中一个非常重要的不等式，普通高中数学新课程把它列入选修内容，然而对于浙江等省份而言，又是高考报考第一类大学的加试内容。
因此对其作一小结很有必要，通过几年的教学与实践，应该说把握这块知识已不是困难的事。
新课程选修４-５中，施行类比的数学思想方法得到的柯西不等式一般形式为： 设123123,,,,;,,,,n n a a a a b b b b 是实数，则222222222123123112233()()()n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++++++≥++++当且仅当0(1,2,3,,)i b i n == 或存在一个实数k 使(1,2,3,,)i i a kb i n == 时等号成立。
课本提供的证时方法是构造函数2221122()()()()n n f x a x b a x b a x b =++++++ ，利用()f x 非负性来完成不等式的证明。
笔者认为，课本从二维向量类比到三维向量后得到了三维形式的柯西不等式，如果再增加从三维向量到n 维向量的类比，那么柯西不等式的一般形式也就此可得，这是我们作为教师应该想到的地方。
在这里必须指出，大多学生在学习柯西不等式时会遇到的困难不少，不等式形式的记忆，不等式应用的灵活性，会使学家生置身于云里雾里。
笔者在教学中为学生记忆方便，编了如下的顺口溜：“大端括号乘括号，小端括号添平方，末平方的平方和，已平方的和串积，莫忘何时能相等。
”实践证明，效果是明显的。
柯西不等式是一个公式，公式总涉及到应用的问题，公式的应用不外乎“顺用”、“逆用”、“变用”这三种用法，下面来举例说明，由于篇幅有限每道例题只作分析，读者阅后自证较易。
首先要掌握“顺用”，这里指的是从大到小的应用例1、 设12,,,n x x x R +∈ ，且121n x x x +++= 。
思维拓展 柯西不等式与权方和不等式的应用(新高考通用)解析版
思维拓展 柯西不等式与权方和不等式(精讲+精练)一、知识点梳理一、柯西不等式1.二维形式的柯西不等式(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2(a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)2.二维形式的柯西不等式的变式(1)a 2+b 2⋅c 2+d 2≥ac +bd (a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)(2)a 2+b 2⋅c 2+d 2≥ac +bd (a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)(3)(a +b )(c +d )≥(ac +bd )2(a ,b ,c ,d ≥0,当且仅当ad =bc 时，等号成立.)3.扩展：a 21+a 22+a 23+⋯+a 2n b 21+b 22+b 23+⋯+b 2n ≥(a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n )2，当且仅当a 1:b 1=a 2:b 2=⋯=a n :b n 时，等号成立.注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对a 2+b 2+c 2，并不是不等式的形状，但变成13•12+12+12 •a 2+b 2+c 2 就可以用柯西不等式了.二、权方和不等式权方和不等式：若a ,b ,x ,y >0，则a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ，当且仅当a x =by 时，等号成立.证明1：∵a ,b ,x ,y >0要证a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y 只需证ya 2+xb 2xy ≥(a +b )2x +y即证xya 2+y 2a 2+x 2b 2+xyb 2≥xya 2+2xyab +xyb 2故只要证y 2a 2+x 2b 2≥2xyab (ya −xb )2≥0当且仅当ya −xb =0时，等号成立即a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ，当且仅当a x =by时，等号成立.证明2：对柯西不等式变形，易得a 2x +b 2y(x +y )≥(a +b )2在a ,b ,x ,y >0时，就有了a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y当a x =by时，等号成立．推广1：a 2x +b 2y +c 2z ≥(a +b +c )2x +y +z ,当a x =b y =c z时，等号成立．推广:2：若a i >0,b i >0，则a 21b 1+a 22b 2+⋯+a 2nb n ≥(a 1+a 2+⋯+a n )2b 1+b 2+⋯+b n，当a i =λb i 时，等号成立.推广3：若a i >0,b i >0,m >0，则a m +11b m 1+a m +12b m 2+⋯+a m +1nb m n≥(a 1+a 2+⋯+a n )m +1b 1+b 2+⋯+b nm，当a i =λb i 时，等号成立.二、题型精讲精练1实数x 、y 满足x 2+y 2=4，则x +y 的最大值是.解：x 2+y 2 12+12 ≥x +y 2，则8≥x +y 2所以x +y ≤22，当且仅当x =y =2时等号成立.答案：222设x ,y ,z ∈R ，且x +y +z =1.(1)求(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2的最小值；(2)若(x -2)2+(y -1)2+(z -a )2≥13成立，证明：a ≤-3或a ≥-1.【分析】(1)根据条件x +y +z =1，和柯西不等式得到(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2≥43，再讨论x ,y ,z 是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的x ,y ,z 代入原不等式，便可得到参数a 的取值范围.【详解】(1)[(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2](12+12+12)≥[(x -1)+(y +1)+(z +1)]2=(x +y +z +1)2=4故(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2≥43等号成立当且仅当x -1=y +1=z +1而又因x +y +z =1，解得x =53y =-13z =-13时等号成立，所以(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2的最小值为43.(2)因为(x -2)2+(y -1)2+(z -a )2≥13，所以[(x -2)2+(y -1)2+(z -a )2](12+12+12)≥1.根据柯西不等式等号成立条件，当x -2=y -1=z -a ，即x =2-a +23y =1-a +23z =a -a +23 时有[(x -2)2+(y -1)2+(z -a )2](12+12+12)=(x -2+y -1+z -a )2=(a +2)2成立.所以(a +2)2≥1成立，所以有a ≤-3或a ≥-1.3已知a >1,b >12，且2a +b =3，则1a -1+12b -1的最小值为()A.1B.92C.9D.12【详解】因为2a +b =3，所以4a +2b =6由权方和不等式a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y可得1a -1+12b -1=44a -4+12b -1=224a -4+122b -1≥2+1 24a -4+2b -1=9当且仅当24a -4=12b -1，即a =76,b =23时，等号成立．【答案】C【题型训练-刷模拟】1.柯西不等式一、单选题4(2024·全国·模拟预测)柯西不等式最初是由大数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky 和Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数 a 1,a 2,a 3 和 b 1,b 2,b 3 ，有a 21+a 22+a 23 b 21+b 22+b 23 ≥a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3 2等号成立当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a3b 3已知 x 2+y 2+z 2=14 ，请你用柯西不等式，求出 x +2y +3z 的最大值是()A.14 B.12C.10D.8【答案】A 【分析】利用柯西不等式求出即可.【详解】由题干中柯西不等式可得x +2y +3z 2≤x 2+y 2+z 2 12+22+32 =14×14=196，所以x +2y +3z 的最大值为14，当且仅当x =1,y =2,z =3时取等号.故选：A5(23-24高二下·山东烟台·阶段练习)已知空间向量OA =1,12,0 ,OB =1,2,0 ,OC =0,1,12，OP =xOA +yOB +zOC ，且x +2y +z =2，则OP 的最小值为()A.2B.3C.2D.4【答案】B【分析】由空间向量的坐标表示计算OP =xOA +yOB +zOC ，然后由柯西不等式求解即可.【详解】因为OP =xOA +yOB +zOC =x 1,12,0 +y 1,2,0 +z 0,1,12 =x +y ,12x +2y +z ,12z ，所以OP 2=x +y 2+12x +2y +z 2+12z 2=13x +y 2+12x +2y +z 2+12z 2 1+1+1 ≥13x +y +12x +2y +z +12z2=1332x +3y +32z 2=34x +2y +z 2=3，当且仅当x +y =12x +2y +z =12z 时等号成立，即x =2,y =-1,z =2时等号成立.所以OP ≥3，所以OP 的最小值为 3.故选：B二、填空题6(2024·山西·二模)柯西不等式是数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量a=x 1,y 1 ，b =x 2,y 2 ，由a ⋅b ≤a b 得到x 1x 2+y 1y 2 2≤x 21+y 21 x 22+y 22 ，当且仅当x 1y 2=x 2y 1时取等号.现已知a ≥0，b ≥0，a +b =9，则2a +4+b +1的最大值为.【答案】6【分析】令x 1=2,y 1=1,x 2=a +2,y 2=b +1，代入公式即可得解.【详解】令x 1=2,y 1=1,x 2=a +2,y 2=b +1，又a ≥0，b ≥0，a +b =9，所以2a +4+b +1 2≤2+1 a +2+b +1 =3×12=36，所以2a +4+b +1≤6，当且仅当2⋅b +1=a +2，即a =6,b =3时取等号，所以2a +4+b +1的最大值为6.故答案为：67(22-23高二下·浙江·阶段练习)已知x 2+y 2+z 2=1，a +3b +6c =16，则x -a 2+y -b 2+z -c 2的最小值为.【答案】9【分析】根据柯西不等式求解最小值即可.【详解】∵a +3b +6c =16≤12+32+6 2a 2+b 2+c 2=4a 2+b 2+c 2∴a 2+b 2+c 2≥4,当且仅当a 1=b 3=c6时等号成立，即a =1,b =3,c =6，∵x -a 2+y -b 2+z -c 2=1-2xa +by +cz +a 2+b 2+c 2≥1-2x 2+y 2+z 2a 2+b 2+c 2+a 2+b 2+c 2=1-2a 2+b 2+c 2+a 2+b 2+c 2=a 2+b 2+c 2-1 2≥9，当且仅当a x =b y =c z 时等号成立，可取x =14,y =34,z =64故答案为：98(22-23高一·全国·课堂例题)若不等式x +y ≤k 5x +y 对任意正实数x ，y 都成立，则实数k的最小值为.【答案】305/1530【分析】运用柯西不等式进行求解即可.【详解】由柯西不等式的变形可知5x +y =x 215+y21≥x +y15+1，整理得x +y5x +y≤305，当且仅当x15=y 1，即y =25x 时等号成立，则k 的最小值为305.故答案为：3059(22-23高三上·河北衡水·期末)若⊙C ：x -a 2+y -b 2=1，⊙D ：x -6 2+y -8 2=4，M ，N 分别为⊙C ，⊙D 上一动点，MN 最小值为4，则3a +4b 取值范围为．【答案】15,85【分析】先根据MN 的最小值求出CD =7，即a -6 2+b -8 2=49，再使用柯西不等式求出取值范围.【详解】由于MN 最小值为4，圆C 的半径为1，圆D 的半径为2，故两圆圆心距离CD =4+1+2=7，即a -6 2+b -8 2=49，由柯西不等式得：a -6 2+b -8 2 ⋅32+42 ≥3a -6 +4b -8 2，当且仅当a -63=b -84，即a =515,b =685时，等号成立，即3a +4b -50 2≤25×49，解得：15≤3a +4b ≤85.故答案为：15,8510已知正实数a ，b ，c ，d 满足a +b +c +d =1，则1a +b +c +1b +c +d +1c +d +a +1d +a +b的最小值是．【答案】163/513【分析】利用配凑法及柯西不等式即可求解.【详解】由题意可知，1a +b +c +1b +c +d +1c +d +a +1d +a +b=133a +b +c +d ×1a +b +c +1b +c +d +1c +d +a +1d +a +b=13a +b +c +b +c +d +c +d +a +d +a +b ×(1a +b +c +1b +c +d +1c +d +a +1d +a +b)≥131+1+1+1 2=163，当且仅当a =b =c =d =14时取“=”号．所以原式的最小值为163．故答案为：163.三、解答题11(2024·四川南充·三模)若a ，b 均为正实数，且满足a 2+b 2=2.(1)求2a +3b 的最大值；(2)求证：4≤a 3+b 3 a +b ≤92.【答案】(1)26(2)证明见解析【分析】(1)利用柯西不等式直接求解；(2)由分析法转化为求证4≤4+2ab -2a 2b 2≤92，换元后由函数单调性得证.【详解】(1)由柯西不等式得：a 2+b 2 22+32 ≥2a +3b 2，即2a +3b 2≤26，故2a +3b ≤26，当且仅当3a =2ba 2+b 2=2 ，即a =22613b =32613时取得等号，所以2a +3b 的最大值为26.(2)要证：4≤a 3+b 3 a +b ≤92，只需证：4≤a 4+b 4+ab a 2+b 2 ≤92，只需证：4≤a 2+b 2 2+ab a 2+b 2 -2a 2b 2≤92，即证：4≤4+2ab -2a 2b 2≤92，由a ，b 均为正实数，且满足a 2+b 2=2可得2=a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时等号成立，即0<ab ≤1，设ab =t ∈(0,1]，则设f t =-2t 2+2t +4,t ∈0,1 ，∵f (x )在0,12 上单调递增，在12,1 上单调递减，又f (0)=f (1)=4,f 12=94，∴4≤f t ≤92，即4≤a 3+b 3 a +b ≤92.12(2024·四川·模拟预测)已知a ,b ,c 均为正实数，且满足9a +4b +4c =4．(1)求1a +1100b-4c 的最小值；(2)求证：9a2+b2+c2≥1641.【答案】(1)12 5(2)证明见解析【分析】(1)结合已知等式，将1a+1100b-4c化为1a+9a+1100b+4b-4，利用基本不等式，即可求得答案；(2)利用柯西不等式，即可证明原不等式.【详解】(1)因为a,b,c均为正实数，9a+4b+4c=4，所以1a+1100b-4c=1a+1100b+9a+4b-4=1a+9a+1100b+4b-4≥21a×9a+21100b ×4b-4=125，当且仅当1a=9a1100b=4b，即a=13,b=120,c=15时等号成立．(2)证明：根据柯西不等式有9a2+b2+c232+42+42≥(9a+4b+4c)2=16，所以9a2+b2+c2≥16 41．当且仅当3a3=b4=c4，即a=441,b=c=1641时等号成立，即原命题得证.13(2024高三·全国·专题练习)已知实数a，b，c满足a+b+c=1．(1)若2a2+b2+c2=12，求证：0≤a≤2 5；(2)若a，b，c∈0,+∞，求证：a21-a +b21-b+c21-c≥12．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)由题意可得b+c=1-a，又12-2a2=b2+c2，结合基本不等式可得12-2a2≥1-a22，化简求得0≤a≤25，得证；(2)法一，由已知条件得a21-a +1-a4≥2a21-a⋅1-a4=a，同理可得b21-b+1-b4≥b，c21-c+1-c 4≥c，三式相加得证；法二，根据已知条件可得121-a+1-b+1-c=1，所以a21-a+b2 1-b +c21-c=121-a+1-b+1-ca21-a+b21-b+c21-c，利用柯西不等式求解证明.【详解】(1)因为a+b+c=1，所以b+c=1-a．因为2a2+b2+c2=1 2，所以12-2a2=b2+c2≥b+c22=1-a22，当且仅当b=c时等号成立，整理得5a2-2a≤0，所以0≤a≤2 5．(2)解法一：因为a+b+c=1，且a，b，c∈0,+∞，所以1-a>0，1-b>0，1-c>0，所以a21-a+1-a4≥2a21-a⋅1-a4=a，同理可得b21-b+1-b4≥b，c21-c+1-c4≥c，以上三式相加得a21-a+b21-b+c21-c≥54a+b+c-34=12，当且仅当a=b=c=13时等号成立．解法二：因为a+b+c=1，且a，b，c∈0,+∞，所以1-a>0，1-b>0，1-c>0，且121-a+1-b+1-c=1，所以a21-a+b21-b+c21-c=121-a+1-b+1-ca21-a+b21-b+c21-c≥121-a⋅a1-a+1-b⋅b1-b+1-c⋅c1-c2=12a+b+c2=12，当且仅当a=b=c=13时等号成立．2.权方和不等式一、填空题14已知x>-1，y>0且满足x+2y=1，则1x+1+2y的最小值为．【答案】9 2【分析】由x>-1知：x+1>0，为保证分母和为定值，对所求作适当的变形1x+1+2y=1x+1+42y，然后就可以使用权方和不等式了.【解析】1a-2b +4b=1a-2b+123b≥1+122a-2b+3b=14+46(等号成立条件，略).15已知x>0，y>0，且x+y=1则x2x+2+y2y+1的最小值是．【答案】1 4【解析】x2x+2+y2y+1≥x+y2x+y+3=14当xx+2=yy+1，即x=23,y=13时，等号成立．16已知a >0，b >0，且2a +2+1a +2b=1，则a +b 的最小值是．【答案】12+2【解析】1=2a +2+1a +2b ≥2+1 22a +2b +2当2a +2=1a +2b，即a =2,b =12时，等号成立，a +b min =12+2．17(23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a ,b ,x ,y >0，则a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ，当且仅当a x =b y 时等号成立.根据权方和不等式，函数f x =2x +91-2x 0<x <12的最小值．【答案】25【分析】由f x =2x +91-2x =42x +91-2x ，再利用权方和不等式即可得解.【详解】由0<x <12，得1-2x >0，由权方和不等式可得f x =2x +91-2x =42x +91-2x ≥2+3 22x +1-2x=25，当且仅当22x =31-2x ，即x =15时取等号，所以函数f x =2x +91-2x 0<x <12的最小值为25.故答案为：25.18(2023高三·全国·专题练习)已知正数x ，y ，z 满足x +y +z =1，则x 2y +2z +y 2z +2x +z 2x +2y 的最小值为【答案】13【分析】根据权方和不等式可得解.【详解】因为正数x ，y 满足x +y +z =1，所以x 2y +2z +y 2z +2x +z 2x +2y ≥x +y +z 2y +2z +z +2x +x +2y =13，当且仅当x y +2z =y z +2x =z x +2y 即x =y =z =13时取等号.故答案为：13.19(2023高三·全国·专题练习)已知x +2y +3z +4u +5v =30，求x 2+2y 2+3z 2+4u 2+5v 2的最小值为【答案】60【分析】应用权方和不等式即可求解.【详解】x 2+2y 2+3z 2+4u 2+5v 2=x 21+2y 22+3z 23+4u 24+5v 25≥x +2y +3z +4u +5v 21+2+3+4+5=30215=60当且仅当x =y =z =u =v 时取等号故答案为：6020(2023高三·全国·专题练习)已知θ为锐角，则1sin θ+8cos θ的最小值为.【答案】55【分析】利用权方和不等式：b n +1a n +d n +1c n ≥b +d n +1a +cn求解.【详解】1sin θ+8cos θ=132sin 2θ12+432cos 2θ12≥1+432sin 2θ+cos 2θ12=532=55当且仅当1sin 2θ=4cos 2θ即sin θ=55，cos θ=255时取“=”.故答案为：5521(2023高三·全国·专题练习)已知正实数x 、y 且满足x +y =1，求1x 2+8y 2的最小值.【答案】27【分析】设x =cos 2α，y =sin 2α，α∈0,π2 ，由权方和不等式计算可得.【详解】设x =cos 2α，y =sin 2α，α∈0,π2，由权方和不等式，可知1x 2+8y 2=13cos 2α 2+23sin 2α 2≥1+2 3cos 2α+sin 2α2=27，当且仅当1cos 2α=2sin 2α，即x =13，y =23时取等号，所以1x 2+8y 2的最小值为27.故答案为：2722(2024高三·全国·专题练习)已知a >1,b >1，则a 2b -1+b 2a -1的最小值是．【答案】8【分析】利用权方和不等式求解最值即可.【详解】令a +b -2=t >0，则a 2b -1+b 2a -1≥a +b 2a +b -2=t +2 2t =t +4t +4≥24+4=8，当a +b -2=2a b -1=ba -1时，即a =2,b =2时，两个等号同时成立，原式取得最小值8．故答案为：823(2023高三·全国·专题练习)已知实数x ，y 满足x >y >0，且x +y =2，M =3x +2y +12x -y的最小值为.【答案】85/1.6【分析】巧妙运用权方和不等式求解和式的最小值问题，关键是找到所求式的两个分母与题设和式的内在联系.【详解】要求最小值，先来证明权方和不等式，即：∀a >0,b >0,x >0,y >0,有a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ,当且仅当a x =by时取等号.证明：利用柯西不等式：m ,n ,x ,y >0,(m 2+n 2)(x 2+y 2)≥(mx +ny )2，当且仅当m x =ny时取等号，要证a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ,只须证(x +y )a 2x +b 2y≥(a +b )2，因a >0,b >0,x >0,y >0,则(x +y )a 2x +b 2y =[(x )2+(y )2]ax2+b y2≥x ⋅a x +y ⋅by2=(a +b )2,当且仅当xax=yby时，即a x =by时取等号.不妨令m (x +2y )+(2x -y )=n (x +y ),整理得(m +2)x +(2m -1)y =nx +ny ，则m +2=n 2m -1=n,解得m =3n =5 ,则M =3x +2y +12x -y =93x +6y +12x -y =93x +6y +12x -y=323x +6y +122x -y ≥(3+1)25(x +y )=85，当且仅当33x +6y =12x -y 时等式成立，由33x +6y =12x -y x +y =2解得：x =32y =12，即当x =32,y =12时，M =3x +2y +12x -y 的最小值为85.故答案为：85.24(2024高三·全国·专题练习)已知x ,y >0,1x +22y=1，则x 2+y 2的最小值是．【答案】33【分析】利用权方和不等式求解最值即可.【详解】由题意得，1=1x +22y=132x 212+232y 212≥1+232x 2+y 212=33x 2+y2．(权方和的一般形式为：a m +11b m 1+a m +12b m 2+a m +13b m 3+⋯+a m +1nb m n ≥a 1+a 2+a 3+⋯+a n m +1b 1+b 2+b 3+⋯+b nm,a i >0,b i >0,当且仅当a i =λb i 时等号成立)当1x 2=2y 21x +22y=1，即x =3,y =32时，x 2+y 2取得最小值33．故答案为：3325(2023高三·全国·专题练习)已知正数x ,y 满足4x +9y =1，则42x 2+x +9y 2+y的最小值为【答案】118【分析】运用权方和不等式求和式的最小值，关键在于找到所求和式的两个分母与题设和式之间的联系，满足条件则迅速求解.【详解】要求最小值，先来证明权方和不等式，即：∀a >0,b >0,x >0,y >0,有a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ,当且仅当ax =by时取等号.证明：利用柯西不等式：m ,n ,x ,y >0,(m 2+n 2)(x 2+y 2)≥(mx +ny )2，当且仅当m x =ny时取等号，要证a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ,只须证(x +y )a 2x +b 2y≥(a +b )2，因a >0,b >0,x >0,y >0,则(x +y )a 2x +b 2y =[(x )2+(y )2]ax2+b y2≥x ⋅a x +y ⋅by2=(a +b )2,当且仅当xax=yby时，即a x =by时取等号.故由42x 2+x +9y 2+y =4242x 2+x +929y 2+y =42x 28+4x +92y 29+9y ≥4x +9y24x +9y+17=118当且仅当4x8+4x =9y9+9y 时取等号.由4x +9y =14x 8+4x =9y 9+9y,解得：x =172y =17 ，即当x =172,y =17时，42x 2+x +9y 2+y的最小值为118.故答案为：118.。
(完整版)高中物理-公式-柯西不等式
(完整版)高中物理-公式-柯西不等式一、柯西不等式的定义柯西不等式是线性代数中的一种重要不等式，其用于描述向量内积的性质。
柯西不等式的一般形式如下：对于任意两个n维实向量x和y，有不等式：x·y ≤ ||x|| ||y||其中，x·y表示x和y的内积，||x||和||y||分别表示x和y的模长。
二、柯西不等式的证明要证明柯西不等式，可以采用以下方法之一：方法一：使用向量投影通过向量投影的定义，可以得出：x·y = ||x|| ||y|| cosθ其中，θ为x和y之间的夹角。
由于cosθ的取值范围为[-1,1]，所以有：x·y ≤ ||x|| ||y||方法二：使用Cauchy-Schwarz不等式柯西不等式也可以通过Cauchy-Schwarz不等式（柯西-施瓦茨不等式）来证明。
Cauchy-Schwarz不等式的一般形式如下：(x1y1 + x2y2 + ... + xnyn)^2 ≤ (x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)(y1^2 + y2^2 + ... + yn^2)将Cauchy-Schwarz不等式应用于内积的情况下，可以得到柯西不等式。
三、柯西不等式的应用柯西不等式在物理学中有广泛的应用，特别是在向量分析和线性代数中。
在向量分析中，柯西不等式可用于证明向量的正交性，以及判断向量是否共线等问题。
在线性代数中，柯西不等式可用于证明向量的线性无关性，以及求解线性方程组等问题。
总结：柯西不等式作为一种重要的不等式，在高中物理研究中具有重要的意义。
掌握柯西不等式的定义、证明和应用，对于深入理解向量内积的性质以及推导相关定理都具有重要的帮助。
柯西不等式公式四个
柯西不等式公式四个在数学中，柯西不等式是一组非常重要的公式，它们涉及到向量、序列、乃至实数和复数的不等式。
这些公式常常被用于解决各种数学问题，极大地推动了数学的发展和应用。
柯西不等式公式主要分为四类，下面我们逐一介绍。
一、向量内积柯西不等式向量内积柯西不等式是柯西不等式的最基本形式，它给出了两个向量内积的上界，即：|a·b|≤|a||b|其中，a和b是两个向量，·表示向量的内积（即点积），|a|和|b|表示它们的模长。
这个不等式的意义是：两个向量的内积的绝对值不会超过它们的模长的乘积。
这个不等式有很多重要应用，比如可以用来证明三角函数的单位圆定理，也可以用来推导出共振频率公式等。
二、平均值不等式平均值不等式是柯西不等式的推广形式，它给出了n个正实数的算术平均值与几何平均值之间的关系。
具体来说，对于任意n个正实数a1,a2,…,an，平均值不等式给出：(a1+a2+⋯+an)/n ≥√(a1a2⋯an)这个不等式的意义是：n个正实数的算术平均值不会小于它们的几何平均值。
这个不等式也有很多应用，比如在概率论中可以用来证明柯西-施瓦茨不等式，还可以用来证明熵的基本不等式等。
三、积分柯西不等式积分柯西不等式是柯西不等式在函数空间中的推广形式，它给出了两个函数的积分乘积的上界。
具体来说，对于两个Lebesgue可积函数f和g，积分柯西不等式给出：|∫fgdx| ≤ (∫f^2dx)^1/2 (∫g^2dx)^1/2这个不等式的意义是：两个函数f和g的积分的绝对值不会超过它们L^2范数的乘积。
这个不等式可以用来证明傅里叶分析、正交多项式等。
四、复数柯西不等式复数柯西不等式是柯西不等式在复数域中的推广形式，它给出了一个复数序列的绝对值平方序列与形如一个无限和的级数的关系。
具体来说，对于任意自然数n和一个复数序列c1,c2…cn，复数柯西不等式给出：|c1z1+c2z2+‧‧‧cnzn|²≤(|c1|+|c2|+‧‧‧+|cn|)×(|z1|²+|z2|²+‧‧‧+|zn|²)其中，zi是任意复数，|zi|表示它的模长。
三元柯西不等式公式
三元柯西不等式公式三元柯西不等式（also known as Cauchy-Schwarz inequality in three terms）是数学中一种重要的不等式，用于描述向量空间中的内积关系。
在数学和物理学中有广泛的应用，其形式为：(a·b)，≤√(a·a)√(b·b)√(c·c)其中，a、b、c表示三个向量，·表示内积运算，表示向量的模。
为了证明三元柯西不等式，我们可以利用内积的性质和乘法的乘法运算规则来推导。
首先，我们先来回顾一下向量的内积运算。
对于向量a=(a₁,a₂,a₃)和b=(b₁,b₂,b₃)的内积a·b，其计算方法为：a·b=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃接下来，我们使用三元柯西不等式的形式进行证明。
首先，我们首先将右侧的不等式取平方：(a·b)，²≤(a·a)(b·b)(c·c)接下来，我们对原始的不等式两边分别进行平方，即：a·b，²=(a·b)·(a·b)=(a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃)·(a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃)=a₁²b₁²+a₂²b₂²+a₃²b₃²+2a₁a₂b₁b₂+2a₁a₃b₁b₃+2a₂a₃b₂b₃接下来，我们来研究右侧的每一项，我们发现有一项可以重写为向量的内积形式：2a₁a₂b₁b₂=(a₁b₂+a₂b₁)²=a₁²b₂²+2a₁a₂b₁b₂+a₂²b₁²将其代入式子中，我们有：a·b，²=a₁²b₁²+a₂²b₂²+a₃²b₃²+a₁²b₂²+2a₁a₃b₁b₃+2a₂a₃b₂b₃+a₂²b₁²=a₁²b₁²+a₂²b₂²+a₃²b₃²+a₁²b₂²+2a₁a₃b₁b₃+2a₂a₃b₂b₃+b₁²a₂²+b₁²a₃²然后，我们可以将这些项进行重新排序，即：a·b，²=(a₁²b₁²+2a₁a₃b₁b₃+b₁²a₃²)+(a₁²b₂²+2a₂a₃b₂b₃+b₁²a₂²)+(a₂²b₂²+2a₁a₃b₁b₃+b₁²a₃²)=(a₁b₁+a₃b₃)²+(a₁b₂+a₂b₁)²+(a₂b₂+a₃b₃)²现在，我们可以看到每一个括号内都是一个内积的平方项，即：a·b，²=(a·c)²+(a·b)²+(b·c)²最后，我们可以发现，右侧的项都大于等于零，所以整个不等式成立，即：a·b，≤√(a·a)√(b·b)√(c·c)这就是三元柯西不等式的证明过程。
高考数学复习课件三维形式的柯西不等式
变式2：已知x ( 2 , 1 )， 32
求２ １ 2 x 4 2 x 4 2 3 x的最
变式3：已知x, y, z R，求( x 2 y 4)2 ( x
( x 4 y 4)2的最小值.
构造二次函数 f ( x) (a12 a22 an2 ) x 2 2(a1b1 a 2b2 anbn )
(b12 b22 bn2 )
又f ( x) (a1 x b1 )2 (a2 x b2 )2 (an x bn )2
∴二次函数 f x 的判别式△≤0 ,
即 4(a1b1 a2b2 anbn )2 4(a12 a22 an2 ) (b12 b22 bn2 ) ≤
例4(09浙江自选模块)已知正数x, y, z满足x y z (1)求证: x2 y2 z2 1 ;
y 2z z 2x x 2y 3 (2)求4x 4 y 4z2的最小值.
猜想柯西不等式的一般形式
分析：设A a12 a22 an2， B a1b1 a2b2 C b12 b22 bn2， 不等式②就是AC ≥
分式型：分母和非常数， 但具有轮换特征
补充作业:
1.
2
1.已知 abc 是互不相等的正数
2
2
9
ab bc ca abc
2. 已知 2x 3 y 4z 10,求x2 y2 x2的最小值。
3.设 a, b, c R 且 a b c 3.求 a2 b2 c2 b 2c c 2a a 2
例 4 已知 a,b,c,d 是不全相等的正数，证明： a2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
证明： (a2 2 c2 d 2 )(b2 c2 d 2 a2 )
柯西不等式推广公式(一)
柯西不等式推广公式(一)柯西不等式推广公式什么是柯西不等式？柯西不等式是数学中的一种基本不等式，用于描述向量的内积性质。
它可以用来证明其他数学定理以及解决实际问题。
柯西不等式的原始形式是针对两个向量的，即对于向量a和向量b，有以下不等式成立：|a·b| ≤ ||a|| × ||b||该不等式表明，两个向量的内积的绝对值不会超过两个向量的模的乘积。
柯西不等式的推广公式除了上述原始形式的柯西不等式，还存在许多推广公式。
以下是几种常见的推广公式：1.几何形式的柯西不等式：对于n维实数空间中的n个向量a1，a2，…，an，有以下不等式成立：|a1·a2| +|a2·a3| + … + |an·a1| ≤ √(a1·a1) × √(a2·a2)× … × √(an·an) 这个公式表明，n个向量两两之间的内积的绝对值的和不会超过这n个向量模的乘积的开方。
2.数学分析中的柯西不等式：对于n维实数空间中的两个函数f(x)和g(x)，以及一个非零值为常数的函数h(x)，有以下不等式成立：|∫[a,b] f(x) × g(x) × h(x) dx| ≤(∫[a,b] f(x)² × h(x) dx × ∫[a,b] g(x)² × h(x)dx)^(1/2) 这个公式表明，对于给定的函数f(x)和g(x)，它们的乘积的积分的绝对值不会超过这两个函数分别平方并乘以常数函数积分的乘积的开方。
3.组合数学中的柯西不等式：对于n个实数a1，a2，…，an和n个实数b1，b2，…，bn，有以下不等式成立：(a1² + a2² + … + an²) × (b1² + b2² + … + bn²) ≥ (a1 × b1 + a2 × b2 + … + an × bn)² 这个公式表明，对于给定的两组实数，它们的平方和的乘积应大于等于这两组实数逐一相乘的和的平方。
柯西不等式高中公式推导过程
柯西不等式高中公式推导过程
一、高中柯西不等式公式
柯西不等式的二维形式相比于均值不等式来说更加简单，因为它没有类似于均值不等式拼凑所具有的技巧性，在目前考柯西不等式的试卷中，即便出现也很容易解出，此外，柯西不等式还是解决三元不等式最值的好帮手，在高一数学中有一类值域问题，即函数由两个根式相加的形式组成，且满足x的系数互为相反数，这种题目可用三角换原来解，但是用柯西不等式更为简单，希望有关内容能引起学生重视。
柯西不等式和均值不等式比较，它并不要求变量始终满足正数；和均值不等式类似，利用柯西不等式求最值依旧要满足特定的等式要求，使用柯西不等式时满足“定”“等”即可。
下图为柯西不等式：
区别于均值不等式，可以把柯西不等式记作：和有最大值，积有最小值，求最大值时需要补项，使得右侧为定值即可。
以上四题为利用柯西不等式求最大值，至于式子前补多少系数需要根据条件中的等式决定，如不确定系数可利用待定系数法设出系数，根据右侧的定值来确定系数的值。
二、柯西不等式的形式
1. 一般形式
2. 二维形式
3. 向量形式、三角形式、概率论形式、积分形式。
三元型不等式
三元型不等式(1)3.(2)⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩多对一三元基本不等式构造基本不等式配凑型互倒乘开三元基本不等式消元型转化为二元基本不等式代入型基本不等式的推广.()acbc ab c b a cb a ++≥++≥++32222证明：（1）公式ac bc ab c b a ++≥++222.结论证明：由基本不等式ac bc ab c b a ac c a bc c b ab b a ++≥++⇔⎪⎭⎪⎬⎫≥+≥+≥+222222222222，当c b a ==成立.（2）公式()ac bc ab c b a ++≥++32.结论证明：由()ac bc ab ac bc ab c b a c b a 3332222222++≥+++++=++()时成立，当c b a ac bc ab c b a ==++≥++⇔32.（3）公式()32222c b a cb a ++≥++.结论证明：由()2222222333222c b a ac bc ab c b a c b a ++≤+++++=++，()时成立，当c b a c b a c b a ==++≤++⇔22223.综上所述.当c b a ==时，()ac bc ab c b a c b a ++≥++≥++32222成立.例1.已知0,0,0>>>c b a ，求证.c b a ca b c a b ++≥++222【解析】间接利用基本不等式--配凑法.c b a c c a b b c a a b c b a c a b c a b 222222222++≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++++当c b a ==时，c b a ca b c a b ++≥++222成立.例2.已知10,0,0=++>>>c b a c b a ，，求证.36941≥++cb a 【解析】间接利用基本不等式--已知和目标互为倒数乘开法或者柯西不等式.证明.法一(互倒乘开).()9994441941941++++++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=++c b c a b c b a a c a b c b a c b a c b a 369419294242=+++++≥ca a c cb bc b a a b 当且仅当c a a c c b b c b a a b 9,94,4===，即18,12,632===⇔==c b a c b a 成立.法二(柯西不等式).()()()2332211232221232221b a b a b a b b b a a a ++≥++++当且仅当332211b a b a b a ==成立.()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=++222222321941941c b a c b a c b a c b a c b a ()3632132122=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≥c c b b a a ，当且仅当cc b b a a 321==，即18,12,632===⇔==c b a c b a 成立.例3.（2013山东）设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当z xy取得最大值时，2x y z +-的最大值为（）A．0B．98C．2D．94【解析】间接利用基本不等式--代入消元类解析.，1342434322=-≥+-=+-=xy y x x y y x xy y xy x xy z 当且仅当222y z y x ==，取得最大值2)1(224222+--=-=-+y y y z y x ，当且仅当2,2,1===z x y 成立.例4.（2010四川理数）设0a b c >>>，则221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值是（）A.2B.4C.D.5【解析】间接利用基本不等式--配凑消元法222222510)(112510)(112c ac a b a a ab ab ab a c ac b a a ab a +-+-+++-=+--++()()()()()45412)(125)(11222≥-+=-++--≥-+-+++-=c a c a abab b a a b a a c a b a a ab ab b a a 当且仅当()52,22,25,1,1===⇔==-=c b a c a b a a ab 成立。
三元柯西不等式公式证明
三元柯西不等式公式证明咱们先来说说三元柯西不等式，这可是数学里挺有意思的一部分呢！三元柯西不等式是这样的：(a₁² + a₂² + a₃²)(b₁² + b₂² + b₃²) ≥(a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃)²。
要证明这个不等式，咱们可以从简单的思路入手。
想象一下，咱们在一个三维的空间里，有两个向量，一个是 (a₁, a₂, a₃) ，另一个是(b₁, b₂, b₃) 。
咱们先来看看向量的模长。
向量 (a₁, a₂, a₃) 的模长的平方就是a₁² + a₂² + a₃²，向量 (b₁, b₂, b₃) 的模长的平方就是 b₁² + b₂² +b₃²。
那这两个向量的数量积呢？就是 a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。
咱们知道，两个向量的数量积不会超过它们模长的乘积。
也就是说，|a·b| ≤ |a|×|b| 。
把这个放到咱们的三元柯西不等式里，两边平方一下，不就得到了(a₁² + a₂² + a₃²)(b₁² + b₂² + b₃²) ≥ (a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃)²嘛！再给您举个例子来理解。
比如说，有个小朋友在做搭积木的游戏。
他有三种不同形状的积木，分别用长度 a₁, a₂, a₃来表示，另一个小朋友也有三种不同形状的积木，长度是 b₁, b₂, b₃。
然后他们比谁搭的积木长度总和更长。
按照三元柯西不等式，如果第一个小朋友的积木长度平方和乘以第二个小朋友的积木长度平方和，那肯定比他们两个积木长度对应相乘再相加的平方要大或者相等。
就好像第一个小朋友的积木组合方式特别多，可能性更丰富，总的长度可能性的范围也就更大。
咱们再从代数的角度来证明一下。
将 (a₁² + a₂² + a₃²)(b₁² + b₂² + b₃²) 展开，得到：a₁²b₁² + a₁²b₂² + a₁²b₃² + a₂²b₁² + a₂²b₂² + a₂²b₃² + a₃²b₁² +a₃²b₂² + a₃²b₃²然后把 (a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃)²展开，得到：a₁²b₁² + 2a₁b₁a₂b₂ + 2a₁b₁a₃b₃ + a₂²b₂² + 2a₂b₂a₃b₃ +a₃²b₃²用前面展开的式子减去后面展开的式子，通过一系列的化简和整理，最终可以得到一个非负的式子，这就证明了前面的式子大于等于后面的式子。
高中数学复习系列---柯西不等式
高中数学复习系列---不等式（柯西不等式）【柯西不等式的主要内容】 1. 柯西主要贡献简介：柯西（Cauchy ），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等. 2.二维形式的柯西不等式： 若,,,a b c d R ∈，则 当且仅当 时, 等号成立. 变式10.若,,,a b c d R ∈，则||2222bd ac d c b a ++⋅+或bd ac d c b a ++⋅+2222；变式20.若,,,a b c d R ∈，则222222()()a b c d a c b d +++-+- ；变式30.（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：222212122323()()()()x x y y x x y y -+-+-+-≥3. 一般形式的柯西不等式：设n 为大于1的自然数，,i i a b R∈(=i 1,2,…,n )，则： .当且仅当 时, 等号成立. (若0=i a 时，约定0=i b ，=i 1,2,…,n ). 变式10.设,0(1,2,,),i i a R b i n ∈>= 则：∑∑∑≥=i i ni iib a b a 212)( .当且仅当 时, 等号成立. 变式20. 设0(1,2,,),i i a b i n ⋅>= 则：∑∑∑≥=ii i ni i i b a a b a 21)(. 当且仅当n b b b === 21时,等号成立. 如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个定理肯定很重要. 而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方面都有联系. 所以, 它的重要性是不容置疑的！ ☆ 柯西不等式的应用：例1. 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=. 试求a 的最值例2 在实数集内 解方程22294862439x y z x y y ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩例3 设P 是三角形ABC 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC 外接圆 的半径，证明：22212x y z a b c R++≤++例4 (证明恒等式) 已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。
柯西不等式6个基本公式和例题
柯西不等式是一个重要的数学不等式，广泛应用于数学分析、概率论和其他领域。
它由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西在1821年提出，是数学分析中的一项重要成果。
柯西不等式在实际问题中具有重要的应用价值，特别是在概率论和统计学中的应用，能够帮助人们更好地理解和解决实际问题。
一、柯西不等式的基本原理1. 柯西不等式是数学分析中的一个重要定理，它描述了内积空间中向量的长度和夹角之间的关系。
具体来说，对于内积空间中的任意两个向量a和b，柯西不等式可以表达为：|⟨a, b⟨| ≤ ||a|| ||b||2. 其中，⟨a, b⟨表示向量a和b的内积（或称点积），||a||和||b||分别表示向量a和b的长度。
柯西不等式告诉我们，两个向量的内积的绝对值不会大于它们长度的乘积。
二、柯西不等式的六个基本公式3. 柯西不等式有许多不同的形式和推广，但最基本的形式是针对实数向量空间的柯西不等式。
具体来说，对于实数向量空间中的任意两个向量a=(a1, a2, ..., an)和b=(b1, b2, ..., bn)，柯西不等式可以表达为：|a1b1 + a2b2 + ... + anbn| ≤ √(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)√(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)4. 在复数向量空间中，柯西不等式的形式稍有不同。
对于复数向量空间中的任意两个向量a=(a1, a2, ..., an)和b=(b1, b2, ..., bn)，柯西不等式可以表达为：|a1b1* + a2b2* + ... + anbn*| ≤ √(|a1|^2 + |a2|^2 + ... + |an|^2) √(|b1|^2 + |b2|^2 + ... + |bn|^2)5. 在积分的应用中，柯西不等式的形式也有所不同。
对于连续函数f和g，柯西不等式可以表达为：|∫(f*g)dx| ≤ √(∫f^2 dx) √(∫g^2 dx)6. 这些是柯西不等式的基本形式，它们描述了向量的长度和夹角之间的关系，以及函数的积分之间的关系。
柯西不等式推广公式(二)
柯西不等式推广公式(二)柯西不等式推广公式1. 柯西不等式的基本形式柯西不等式是数学中一个重要的不等式，它表达了两个向量内积的性质。
公式：对于任意两个向量a和b，其内积结果满足以下不等式：•|a·b| ≤ |a|·|b|其中，a·b表示向量a和b的内积，|a|和|b|分别表示向量a和b的模。
2. 柯西不等式的推广公式柯西不等式可以推广到多个向量的情况，以下是柯西不等式的推广公式：公式：对于n个向量a1, a2, …, an，其内积结果满足以下不等式：•|a1·a2 + a1·a3 + … + a1·an + a2·a3 + … + a2·an + … + an-1·an| ≤ √(|a1|^2 + |a2|^2 + … +|an|^2)·√(1 + 1 + … + 1) = √(n)·√(|a1|^2 + |a2|^2 + … + |an|^2)其中，·表示向量的内积，|ai|表示向量ai的模，n表示向量的个数。
3. 推广公式的解释和示例推广公式表达了n个向量的内积之和的绝对值与这些向量模的乘积之间的关系。
不等式右侧的项相当于n个向量模的乘积的平方根，由于有n个向量，所以需要乘以√n。
不等式左侧的项是n个向量两两内积之和的绝对值，其绝对值不会超过两两内积的绝对值之和。
举例说明，假设有三个向量a1 = (1, 2), a2 = (3, 4), a3 = (5, 6)。
根据柯西不等式的推广公式，计算左侧和右侧的值：左侧：|a1·a2 + a1·a3 + a2·a3| = |(1, 2)·(3, 4) + (1, 2)·(5, 6) + (3, 4)·(5, 6)| = |3 + 10 + 27| = 40 右侧：√(3^2 + 4^2)·√(1 + 1 + 1) = √(9 + 16)·√3 = √25·√3 = 5√3根据计算结果可知，左侧的值40小于右侧的值5√3，符合柯西不等式的推广公式。
初中数学柯西不等式
初中数学柯西不等式哎呀，今天咱们来聊聊柯西不等式，这个名字听上去是不是很高大上？别担心，听我慢慢说，保证你听了会心一笑，心里也明白了。
这可是数学里的一颗璀璨明珠，光彩夺目得让人忍不住想要靠近。
柯西不等式就是在说，哎，咱们做事情的时候，得把所有的因素都考虑进去。
就像打篮球一样，得考虑到队友的位置、对手的防守，才能把球投进篮筐，不然的话，哎哟，球飞得比我还远，尴尬得很。
柯西不等式最经典的就是“( (a_1^2 + a_2^2 + ldots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 +ldots + b_n^2) geq (a_1b_1 + a_2b_2 + ldots + a_nb_n)^2 )”，听起来是不是有点绕口？其实它的意思就是，两个“和”的乘积，永远大于等于它们的乘积的平方。
简单说，就是你的努力和队友的努力结合在一起，肯定能得到一个更好的结果。
你想想，要是你自己去打球，光靠自己可不行，得有个默契的搭档一起配合，才能拿下比赛，赢得喝彩。
你知道吗，这个不等式就像是一种奇妙的魔法，能把你的努力和别人努力的结果结合起来，给你带来意想不到的惊喜。
就像小时候和小伙伴一起去捉迷藏，有的人藏得特别隐蔽，而你们几个找的时候，大家一合力，总能把那小子给找出来。
这个过程就是柯西不等式的魅力所在，让我们懂得了团结的力量。
说到这，不禁让我想起了“众人拾柴火焰高”这句老话，真是一点没错。
咱们在生活中其实处处都能看到柯西不等式的影子。
比如说，咱们去参加聚会，大家一起带食物。
你带一盘水饺，我带一碗沙拉，朋友再带一瓶饮料，最后一桌子丰盛的美食摆在眼前，吃得可开心了。
每个人的贡献结合在一起，结果就是一场丰盛的盛宴。
这就像柯西不等式告诉我们的，单打独斗固然精彩，但大家齐心协力，那效果可就绝了。
再说了，学习也是一样啊。
一个人在教室里拼命学习，成绩再好，也未必能比得上一群人一起讨论的火花。
这就是个体和集体的碰撞，碰撞出来的智慧闪烁着光芒。
柯西不等式推广公式
柯西不等式推广公式柯西不等式是一个基本的不等式，被广泛应用于数学和物理学中。
它主要用于证明算术平均-几何平均不等式、拓展欧几里得距离等诸多数学定理。
然而，柯西不等式有时候需要进行改进和推广。
推广公式：设 $a_1, a_2, ..., a_n$ 和 $b_1, b_2, ..., b_n$ 是$n$ 个实数，且 $p_1, p_2, ..., p_n$ 是正实数，且$\sum_{i=1}^n p_i = 1$，则有：$(\sum_{i=1}^n p_ia_i)^2 (\sum_{i=1}^n p_ib_i)^2 \geq(\sum_{i=1}^n p_ia_ib_i)^2$这个公式称为所谓的加权柯西不等式。
接下来，我们简单分析并证明这个推广公式。
因为 $p_1, p_2, ..., p_n$ 是正实数，所以不妨设 $\sum_{i=1}^n p_i = 1$。
根据柯西不等式，我们有：$(\sum_{i=1}^n a_ib_i)^2 \leq (\sum_{i=1}^na_i^2)(\sum_{i=1}^n b_i^2)$这个不等式的证明可以用数学归纳法，也可以用 Cauchy-Schwarz 不等式的几何解释。
如果你不清楚这些内容，建议先去学习一下柯西不等式的基本内容。
我们将上式改写为：$(\sum_{i=1}^n p_ia_ib_i)^2 \leq (\sum_{i=1}^np_ia_i^2)(\sum_{i=1}^n p_ib_i^2)$由于 $\sum_{i=1}^n p_i = 1$，所以：$\sum_{i=1}^n p_ia_i^2 = \sum_{i=1}^n p_i(a_i^2)$$\sum_{i=1}^n p_ib_i^2 = \sum_{i=1}^n p_i(b_i^2)$故有：$(\sum_{i=1}^n p_ia_i)^2 (\sum_{i=1}^n p_ib_i)^2$$= (\sum_{i=1}^n p_i^2 a_i^2)(\sum_{i=1}^n p_i^2 b_i^2)$ $\geq (\sum_{i=1}^n p_ia_ib_i)^2$这就证明了加权柯西不等式。
《柯西不等式》知识点
《柯西不等式》知识点《柯西不等式》知识点所谓柯西不等式是指:设ai,bi∈R(i=1,2…,n,),则(a1b1+a2b2+…anbn)2≤(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2),等号当且仅当==…=时成立。
柯西不等式证法:柯西不等式的一般证法有以下几种：(1)柯西不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai,bi，则有(∑ai^2)*(∑bi^2)≥(∑ai*bi)^2.我们令f(x)=∑(ai+x*bi)^2=(∑bi^2)*x^2+2*(∑ai*bi)*x+(∑ai^2)则我们知道恒有f(x)≥0.用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有Δ=4*(∑ai*bi)^2-4*(∑ai^2)*(∑bi^2)≤0.于是移项得到结论。
(2)用向量来证.m=(a1,a2......an)n=(b1,b2......bn)mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+......+bn^2)^(1/2)乘以cosX.因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.....+bn^2)^(1/2)这就证明了不等式.柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法.柯西不等式应用:可在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的方面得到应用。
巧拆常数：例：设a、b、c为正数且各不相等。
求证：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)分析：∵a、b、c均为正数∴为证结论正确只需证：2*(a+b+c)1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)又9=(1+1+1)(1+1+1)证明：Θ2(a+b+c)1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=(a+b)+(a+c)+(b+c)]1/(a+b)+1/(b+c)+1/ (c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9又a、b、c各不相等，故等号不能成立∴原不等式成立。
一般形式的柯西不等式 课件
【解析】由柯西不等式，得 1x＋4y＋9z＝(x＋y＋z)1x＋4y＋9z≥ x·1x＋ y·2y＋ z·3z2＝ 36， 当且仅当 x2＝14y2＝19z2， 即 x＝16，y＝13，z＝12时，等号成立． 所以1x＋4y＋9z≥36.
一般形式的柯西不等式
1．定理 1.三维形式的柯西不等式： (a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋b23)≥_(_a_1b_1_＋__a_2_b_2＋__a_3_b_3_)_2 _， 当 且 仅 当 __b_i_＝__0_(i_＝__1_,2_,_3_)_ 或 _存__在__一__个__数__k_，__使__得__a_i＝__k_b_i_
(n＋1)·1＋x12x1＋1＋x22x2＋…＋1＋x2nxn＝(1＋x1＋1＋x2＋…＋1 ＋xn)·1＋x21x1＋1＋x22x2＋…＋1＋x2nxn
≥ 1＋x1· 1x＋1 x1＋ 1＋x2· 1x＋2 x2＋…＋
1＋xn·
xn 2 1＋xn
＝(x1＋x2＋…＋xn)2＝1. 所以1＋x21x1＋1＋x22x2＋…＋1＋xn2xn≥n＋1 1.
三维柯西不等式求最值
【例1】 已知x，y，z∈R且2x＋3y＋6z＝12，求x2＋y2＋ z2的最小值．
【解题探究】 利用三维柯西不等式可解．
【解析】由三维柯西不等式，得 (x2＋y2＋z2)(22＋32＋62)≥(2x＋3y＋6z)2＝122＝144， 所以 x2＋y2＋z2≥14494，
当且仅当2x＝3y＝6z， 2x＋3y＋6z＝12，
与二维柯西不等式的应用一样，巧用条件x＋y＋z＝1，构 造与三维柯西不等式一致的形式解决问题．
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三元柯西不等式公式
三元柯西不等式公式是指对于任意的三个实数a,b,c和任意的三个非负实数x,y,z，有如下不等式成立：
ax + by + cz ≤ √(a^2 + b^2 + c^2) * √(x^2 + y^2 + z^2)其中，等号成立条件是a:x = b:y = c:z或者a:y = b:z = c:x
或者a:z = b:x = c:y。
这个不等式可以看作是欧几里得空间中的向量长度与内积之间的关系。
左边的ax + by + cz可以看作是向量(a,b,c)与向量(x,y,z)的内积，右边的√(a^2 + b^2 + c^2) * √(x^2 + y^2 + z^2)可以看作是向量(a,b,c)和向量(x,y,z)的长度的乘积。
这个不等式的拓展有很多。
比如对于n个实数a1, a2, ..., an
和n个非负实数x1, x2, ..., xn，有如下不等式成立：
a1x1 + a2x2 + ... + anx ≤ √(a1^2 + a2^2 + ... + an^2) * √(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)
其中，等号成立的条件类似于三元柯西不等式，即ai:x1 = a2:x2 = ... = an:xn。
这个不等式可以推广到更多维度的情况。
三元柯西不等式也可以推广到复数的情况。
对于任意的三个复数a,b,c和任意的三个非负实数x,y,z，有如下不等式成立：|ax + by + cz| ≤ √(|a|^2 + |b|^2 + |c|^2) * √(|x|^2 + |y|^2 + |z|^2)
其中，|a|表示复数a的模。
等号成立的条件与实数的情况类似。
这些推广和拓展进一步扩展了柯西不等式在数学和物理等领域的
应用。