数学初中竞赛 数与式 专题训练(含答案)

数学初中竞赛 数与式 专题训练

一．选择题

1．已知100个整数a 1，a 2，a 3，…，a 100满足下列条件：a 1＝1，a 2＝﹣|a 1+1|，a 3＝﹣|a 2+1|，……a 100＝﹣|a 99+1|，则a 1+a 2+a 3+…+a 100＝（ ）

A ．0

B ．﹣50

C ．100

D ．﹣100

2．a 为绝对值小于2019的所有整数的和，则2a 的值为（ ）

A ．4036

B ．4038

C ．2

D ．0

3．多项式a 3﹣b 3+c 3+3abc 有因式（ ）

A ．a +b +c

B ．a ﹣b +c

C ．a 2+b 2+c 2﹣bc +ca ﹣ab

D ．bc ﹣ca +ab

4．由（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）＝a 3﹣a 2b +ab 2+a 2b ﹣ab 2+b ＝a 3+b 3，即（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）＝a 3+b 3．我们把这个等式叫做立方公式．下列应用这个立方公式进行的变形不正确的是（ ）

A ．（x +4y ）（x 2﹣4xy +16y 2）＝x 3+64y 3

B ．（a +1）（a 2﹣a +1）＝a 3+1

C ．（2x +y ）（4x 2﹣2xy +y 2）＝8x 3+y 3

D ．（x +3）（x 2﹣6x +9）＝x 3+27

5．已知x ＝﹣，则x 3+12x 的算术平方根是（ ） A ．0

B ．2

C ．

D ．2 6．如果

，p ，q 是正整数，则p 的最小值是（ ） A ．15 B ．17 C ．72 D ．144

7．式子|x ﹣2|+|x ﹣4|+|x ﹣4|+|x ﹣8|的最小值是（ ）

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

8．如果对于某一特定范围内x 的任意允许值，s ＝|2﹣2x |+|2﹣3x |+|2﹣5x |的值恒为一常数，则此常数值为（ ）

A ．0

B ．2

C ．4

D ．6

9．如果实数a 满足：﹣2014＜a ＜0，则|x ﹣a |+|x +2014|+|x ﹣a +2014|的最小值是（ ）

A ．2014

B ．a +2014

C ．4028

D ．a +4028

10．在，，0.2012，，这5个数中，有理数的个数为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

11．现有一列数a 1，a 2，a 3，…，a 2008，a 2009，a 2010，其中a 2＝﹣1，a 31＝﹣7，a 2010＝9，且满足任意相邻三个数的和为相等的常数，则a 1+a 2+a 3+…+a 98+a 99+a 100的值为（ ）

A ．0

B ．40

C ．32

D ．26

12．以下三个判断中，正确的判断的个数是（ ）

（1）x 2+3x ﹣1＝0，则x 3﹣10x ＝﹣3

（2）若b +c ﹣a ＝2+

，c +a ﹣b ＝4﹣，a +b ﹣c ＝﹣2，则a 4+b 4+c 4﹣2（a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2）

＝﹣11

（3）若a 2＝a 1q ，a 3＝a 2q ，a 4＝a 3q ，则a 1+a 2+a 3+a 4＝

（q ≠1） A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

二．填空题

13．如果（x +3）（x +a ）﹣2可以因式分解为（x +m ）（x +n ）（其中m ，n 均为整数），则a 的值是 ． 14．已知互不相等的实数a ，b ，c 满足，则t ＝ ． 15．将1、2、3……、20这20个自然数，任意分为10组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作x ，另一个记作y ，代入代数式（|x ﹣y |+x +y ）中进行计算，求出其结果，10组数代入后可求得10个值，则这10个值的和的最小值是 ．

16．若对于某一特定范围内的x 的任一允许值，P ＝|1﹣2x |+|1﹣3x |+…+|1﹣9x |+|1﹣10x |为定值，则这个定值是 ．

17．甲、乙两同学进行数字猜谜游戏，甲说一个数a 的相反数是它本身，乙说一个数b 的倒数也是它本身，则a ﹣b ＝ ．

18．已知a 2+4a +1＝0，且，则m ＝ ．

19．对于任意实数a 、b 、c 、d ，定义有序实数对（a ，b ）与（c ，d ）之间的运算“△”为：（a ，b ）△（c ，d ）＝（ac +bd ，ad +bc ）．如果对于任意实数u 、v ，都有（u ，v ）△（x ，

y ）＝（u ，v ），那么（x ，y ）为 ．

20．设p 是给定的奇质数，正整数k 使得

也是一个正整数，则k ＝ ．（结果

用含p 的代数式表示）

三．解答题

21．a ，b ，c 是三角形三边长，且a 2﹣16b 2﹣c 2+6ab +10bc ＝0，求证：a +c ＝2b ．

22．阅读材料：把代数式x 2﹣6x ﹣7因式分解，可以如下分解： x 2﹣6x ﹣7

＝x 2﹣6x +9﹣9﹣7

＝（x ﹣3）2﹣16

＝（x ﹣3+4）（x ﹣3﹣4）

＝（x +1）（x ﹣7）

（1）探究：请你仿照上面的方法，把代数式x 2﹣8x +7因式分解；

（2）拓展：把代数式x 2+2xy ﹣3y 2因式分解：

当＝ 时，代数式x 2+2xy ﹣3y 2＝0．

23．阅读下列材料：

我们知道|x |的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即|x |＝|x ﹣0|，也就是说，|x |表示在数轴上数x 与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为|x 1﹣x 2|表示在数轴上数x 1与数x 2对应的点之间的距离；

例1．解方程|x |＝2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2，所以方程|x |＝2的解为x ＝±2．

例2．解不等式|x ﹣1|＞2．在数轴上找出|x ﹣1|＝2的解（如图1），因为在数轴上到1