高一数学必修一化根式为分数指数幂
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一：化根式为分数指数幂例1化简下列各式
；
1
()
xy-分析：将根式化为指数幂的形式，再利用有利数指数幂的运算性质进行化简．
解：
（１）原式＝
1111111
2236363
a b a b
-+-+
⋅==
（２）原式＝
11
111331
21
33
222222
()()()()()
xy x y xy xy x y xy
--
-
⋅⋅⋅=⋅
＝
11
22
()()()1
xy xy xy
-
⋅==
评注：化简根式，尤其是根式中又有分数指数幂的代数式，通常化根式为分数指数幂，然后根据运算法则运算，同时要注意结果形式的统一．
二：活用乘法公式
例１化简：
1
3
2111
3333
11
111
x x x x
x x x x
-+-
+-
+++-
解：原式＝
121121111
333333333
2111
3333
(1)(1)(1)(1)(1)(1)
111
x x x x x x x x x
x x x x
-+++-++-
+-
+++-
＝
121211
333333
11
x x x x x x
-+-+--=-=
评注：要观察式中各项的结构，发现1,1
x x
-+分别是“立方差”和“立方和”，于是各个击破，达到化简之目的．计算过程中利用乘法公式进行因式分解，往往是计算简便．三：巧妙换元
例４化简
3
2
2
1
3
1
1
)
1
1
1
1
(
)
1
(
2
2
2
2
2
2
+
-
-
+
+
-
-
+
÷
-
-
-
+
-
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x．
分析：观察全式便能发现在此式中，形式上出现最多的是
x
x
1
+,而由乘法公式可知：
2
)
1
(
1
2
2
2-
+
=
+
x
x
x
x．若令
1
x a
x
+=，原式的形式会变得相当简单．这种局部换元的方法在代数变形中是十分有效的．
解：设
x
x
1
+＝a，则
原式＝1)1()11(1
21)11(2222
2222
+--∙-+--=+-+-÷---a a a a a a a a a a a a a a ＝)1(22+--a a a ＝a －１＝x
x 1
+
－１ 评注：通过换元，可把分数指数幂转化为整数指数幂，把复杂运算转化为简单熟悉的运算，快速解决问题．
四：利用性质
例５ 计算：（１）211
3
2
2
110
()(2)
(2
)3
4
27
---⋅-；（２）11
2
111222
111a a a a a -
---+--+ 解：（１）原式＝2211332239643427
()()()()24272964
--⋅-=⋅-
＝2132
34273297()()2964231616
⋅-=⋅-
= （２）原式＝
11111111
2
2
2
22
111112
2
2
2
2
(1)(1)1(1)
1a a a a a
a
a a a a a a
a
a a a
-
-
-
----
--+-+-
=
-
-+-+
＝112
2
0a
a
-
-
-= 评注：在指数运算中，利用()
()n
n a b
b
a
-=这个性质，颠倒底数的分子分母的位置，直接把负指数幂化为整指数幂，反之亦然．若能巧妙利用1p
p
a a -⋅=这个性质进行代换，则
可化难为简．简化运算过程．
五：整体代入 例１ 若2
12
1-+x
x ＝３ ．求
2
3
222
32
3-+-+--
x x x x 的值．
分析：从已知条件中解出a 的值，然后再代入求值，这种方法不可取，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入．
解：∵ 2
12
1-
+x x ＝３，两边平方得112
2
2()9x x -
+=， ∴1
x x -+＝７
∴22
12()249247x x
x x --+=+-=-=
将2
12
1-
+x
x ＝３两边立方得 2
32
3-
+x
x ＝18