线性代数经典考题难题

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线性代数试题及详细答案

线性代数试题及详细答案线性代数试题及详细答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：线性代数（试卷一）一、填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。

2. 若122211211=a a a a ，则=16030322211211a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则CAB =-1。

4. 若A 为n m ?矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是_________5. 设A 为86?的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为__2___________。

6. 设A 为三阶可逆阵，=-1230120011A，则=*A 7.若A 为n m ?矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是8.已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A 9. 向量α=(2,1,0,2)T-的模（范数）______________。

10.若()Tk 11=α与()T121-=β正交，则=k二、选择题（本题总计10分，每小题2分）1. 向量组r ααα,,,21Λ线性相关且秩为s ，则(D) Ａ．s r = Ｂ．s r ≤Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A(A)Ａ．8 Ｂ．8-Ｃ．34 Ｄ．34-3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( d )Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R <Ｃ．)()(A R B R =Ｄ．)()(A R B R ≥4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()*kA 等于_____。

线性代数第五版第一章常见试题及解答

线性代数第五版第一章常见试题及解答第一篇：线性代数第五版第一章常见试题及解答一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．二阶行列式A．k≠-1 C．k≠-1且k≠3 答案：C 2．设行列式a2A．-3 C．1 答案：D k-122k-1≠0的充分必要条件是（）B．k≠3 D．k≠-1或≠3 a1b2=1，a2b1a1c2=2，则a2B．-1 D．3c1a1b2+c2=（）b1+c1⎧3x1+kx2-x3=0⎪4x2-x3=0有非零解,则 k=（）3.如果方程组⎨⎪4x2+kx3=0⎩A.-2 C.1 答案：B a11a12a22a32a13B.-1 D.2 a115a11+2a12a13a23，则D1的值为（）a334．设行列式D=a21a31A．-15 C．6 答案：Ca23=3，D1=a215a21+2a22a33a315a31+2a32B．-6 D．15 5.设3阶方阵A=[α1,α2,α3]，其中αi（i=1, 2, 3）为A的列向量，且|A|=2，则|B|=|[α1+3α2,α2,α3]|=（）A.-2 C.2 答案：CB.0 D.6 ⎧x+x2=06.若方程组⎨1有非零解，则k=（）kx-x=02⎩1A.-1 C.1B.0 D.2 答案：A 0-101-1中元素a21的代数余了式A21=（）7．3阶行列式aij=1-110A．-2 B．-1 C．1 D．2 答案：C a11a12a132a112a122a138.已知a21a22a23=3，那么a21a22a23=（）a31a32a33-2a31-2a32-2a33A.-24 B.-12 C.-6 D.12 答案：B01-119．行列式-101-11-101第二行第一列元素的代数余子式A21=（-11-10A．-2 B．-1 C．1 D．2 答案：B xyz2x2y2z10.设行列式403=1,则行列式401=（）1113111A.23 B.1 C.2 D.83 答案：A 11.已知2阶行列式a1a2b2b,则b1b21b=m ,b12c1c=n 2a1+c=（1a2+c2A.m-n B.n-m C.m+nD.-（m+n）答案：B））3 0 -2 0 2.计算行列式 2 10 5 0 0 0 -2 0-2 3 -2 3=（）A.-180 B.-120 C.120 D.180二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

线性代数选择题30道(含答案)

仅有零解。 10．若n阶矩阵A，B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向
量，则（） A.A与B相似 B.
，但|A-B|=0
C.A=B
D.A与B不一定相似，但|A|=|B|
11. 已知矩阵，则
12. 设四阶行列式，则其中x的一次项的系数为 ( ) (B) －1 (C) 2 (D) －2
(A) 1
(A) (B)
(C) (D)
16.设矩阵A，B，C，X为同阶方阵，且A，B可逆，AXB=C，则矩
阵X=（） A.A-1CB-1 C.B-1A-1C
B.CA-1B-1 D.CB-1A-1
17.设是四维向量，则（）
A.一定线性无关 B.一定线性相关
C.一定可以由线性表示 D.一定可以由线性表出
18.设A是n阶方阵，若对任意的n维向量x均满足Ax=0,则（）
13. 设分块矩阵，其中的子块A1, A2为方阵，O为零矩阵，若A可逆，则
()
(A) A1可逆，A2不一定可逆
(B) A2可逆，A1不一定可逆
(C) A1,A2都可逆
(D) A1,A2都不一定可逆
14. 用初等矩阵左乘矩阵，相当于对A进行如下何种初等变换 ( ) (A) (B) (C) (D)
15. 非齐次线性方程组在以下哪种情形下有无穷多解. ( )
27.若A为（），则A必为方阵.
A.分块矩阵
B. 可逆矩阵
C. 转置矩阵
D.线性方程组的系数矩阵
28.当k满足(
)时，
只有零解.
A. k=2或k=-2
B. k≠2
C. k≠－2
D. k≠2且k≠－2
29.设A为n阶可逆阵，则下列(
)恒成立.

大学数学线性代数题库及答案解析

大学数学线性代数题库及答案解析1. 求解方程组a) 3x + 2y - z = 7-x + 3y + 2z = -112x - y + 4z = 5解析：首先，我们可以使用增广矩阵表示方程组：[ 3, 2, -1, 7;-1, 3, 2, -11;2, -1, 4, 5 ]接下来，通过行初等变换将矩阵化为阶梯形：[ 3, 2, -1, 7;0, 7/4, 3/4, -21/4;0, 0, 9/7, 4/7 ]从第三行可以得到 z = 4/7，代入第二行可得 y = -21/7，再代入第一行可以得到 x = 3。

因此，方程组的解为 x = 3, y = -3, z = 4/7。

b) 2x + 3y + 2z = 10x - y + z = 44x + 2y + z = 12解析：同样，我们使用增广矩阵表示方程组：[ 2, 3, 2, 10;1, -1, 1, 4;4, 2, 1, 12 ]通过行初等变换将矩阵化为阶梯形：[ 2, 3, 2, 10;0, -5, -1, -6;0, 0, 0, 0 ]从第二行可以得到 -5y - z = -6，即 z = -6 + 5y。

我们可以令 y = t，其中 t 为任意常数。

则得到 z = -6 + 5t。

将 z 的值代入第一行可以得到x = 4 - 3t。

因此，方程组的解可以表示为 x = 4 - 3t, y = t, z = -6 + 5t。

2. 求解线性方程组的向量空间a) 给定矩阵 A = [1, 2, -1; 2, 4, -2; 3, 6, -3]，求解 A 的列空间。

解析：列空间由矩阵 A 的列向量张成。

我们可以计算矩阵 A 的列向量组的极简形式：[ 1, 2, -1;2, 4, -2;3, 6, -3 ]通过初等行变换得到：[ 1, 2, -1;0, 0, 0;0, 0, 0 ]可以看出，第一列是主列，而第二列和第三列都是自由列。

因此，矩阵 A 的列空间可以表示为 Span{[1, 2, -1]}。

线性代数试题及答案解析

线性代数试题及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 矩阵A和矩阵B相乘，得到的结果矩阵的行列数为（）。

A. A的行数乘以B的列数B. A的行数乘以B的行数C. A的列数乘以B的列数D. A的列数乘以B的行数答案：D解析：矩阵乘法中，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。

2. 向量α和向量β线性相关，则下列说法正确的是（）。

A. α和β可以是零向量B. α和β可以是任意向量C. α和β中至少有一个是零向量D. α和β中至少有一个是另一个的倍数答案：D解析：线性相关意味着存在不全为零的系数，使得这些系数乘以对应的向量和为零向量，因此至少有一个向量是另一个向量的倍数。

3. 对于n阶方阵A，下列说法不正确的是（）。

A. A的行列式可以是0B. A的行列式可以是负数C. A的行列式可以是正数D. A的行列式一定是正数答案：D解析：方阵的行列式可以是正数、负数或0，因此选项D不正确。

4. 矩阵A和矩阵B相等，当且仅当（）。

A. A和B的对应元素相等B. A和B的行数相等C. A和B的列数相等D. A和B的行数和列数都相等答案：A解析：两个矩阵相等，必须满足它们具有相同的行数和列数，并且对应元素相等。

5. 向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是（）。

A. 由这些向量构成的矩阵的行列式不为0B. 这些向量不能构成齐次方程组的非零解C. 这些向量不能构成齐次方程组的非平凡解D. 这些向量可以构成齐次方程组的平凡解答案：C解析：向量组线性无关意味着它们不能构成齐次方程组的非平凡解，即唯一的解是零向量。

6. 矩阵A可逆的充分必要条件是（）。

A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式为任何非零数答案：A解析：矩阵可逆当且仅当其行列式不为0。

7. 矩阵A的特征值是（）。

A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λI|=0的λ值答案：D解析：矩阵的特征值是满足特征方程|A-λI|=0的λ值。

线性代数考试题及答案

线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，线性无关的向量集合的最小维度是：A. 1B. 2C. 3D. 向量的数量答案：D2. 矩阵A的行列式为0，这意味着：A. A是可逆矩阵B. A不是可逆矩阵C. A的所有行向量线性相关D. A的所有列向量线性无关答案：B3. 线性变换T: R^3 → R^3，由矩阵[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]表示，其特征值是：A. 1, 2, 3B. 0, 1, 2C. -1, 1, 2D. 0, 3, 6答案：D4. 矩阵A与矩阵B相乘，结果矩阵的秩最多是：A. A的秩B. B的秩C. A和B的秩之和D. A的秩和B的列数中较小的一个答案：D5. 给定两个向量v1和v2，它们的点积v1·v2 > 0，这意味着：A. v1和v2垂直B. v1和v2平行或共线C. v1和v2的夹角小于90度D. v1和v2的夹角大于90度答案：C6. 对于任意矩阵A，下列哪个矩阵总是存在的：A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 特征矩阵答案：C7. 线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件是：A. A是方阵B. A的行列式不为0C. B是零向量D. A是可逆矩阵答案：D8. 矩阵的特征值和特征向量之间的关系是：A. 特征向量对应于特征值B. 特征值对应于特征向量C. 特征向量是矩阵的行向量D. 特征值是矩阵的对角元素答案：A9. 一个矩阵的迹（trace）是：A. 所有元素的和B. 主对角线上元素的和C. 所有行的和D. 所有列的和答案：B10. 矩阵的范数有很多种，其中最常见的是：A. L1范数B. L2范数C. 无穷范数D. 所有上述范数答案：D二、简答题（每题10分，共20分）1. 请解释什么是基（Basis）以及它在向量空间中的作用是什么？答：基是向量空间中的一组线性无关的向量，它们通过线性组合可以表示空间中的任何向量。

线性代数考试题及答案

线性代数考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 设A为3阶方阵，且|A|=2，则|-2A|=（）A. -4B. -8C. 4D. 82. 设向量α=(1,2,3)，β=(4,5,6)，则向量α与β的点积为（）A. 32B. 14C. 22D. 43. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 & 9\end{bmatrix}\]，则矩阵A的秩为（）A. 1B. 2C. 3D. 04. 设A为3阶方阵，且A的行列式为0，则A（）A. 可逆B. 不可逆C. 有逆矩阵D. 没有逆矩阵5. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}\]，B=\[\begin{bmatrix}2 & 0\\1 & 2\end{bmatrix}\]，则AB-BA=（）A. \[\begin{bmatrix}0 & 0\\0 & 0\end{bmatrix}\]B. \[\begin{bmatrix}-2 & 0\\-2 & 0\end{bmatrix}\]C. \[\begin{bmatrix}2 & 0\\2 & 0\end{bmatrix}\]D. \[\begin{bmatrix}0 & 2\\2 & 0\end{bmatrix}\]二、填空题（每题5分，共20分）6. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}\]，B=\[\begin{bmatrix}5 & 6\\7 & 8\end{bmatrix}\]，则AB=（）。

7. 设向量α=(1,2,3)，β=(2,3,4)，则向量α与β的叉积为（）。

线性代数试题及答案

线性代数试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. [1 0; 0 0]B. [1 2; 3 4]C. [1 0; 0 1]D. [0 1; 1 0]2. 矩阵的秩是指什么？A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中线性无关的行或列的最大数目D. 矩阵的对角线元素的个数3. 线性方程组有唯一解的条件是什么？A. 方程个数等于未知数个数B. 方程组是齐次的C. 方程组的系数矩阵是可逆的D. 方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩4. 向量空间的基具有什么性质？A. 基向量的数量必须为1B. 基向量必须是正交的C. 基向量必须是线性无关的D. 基向量必须是单位向量5. 特征值和特征向量的定义是什么？A. 对于矩阵A，如果存在非零向量v，使得Av=λv，则λ是A的特征值，v是A的特征向量B. 对于矩阵A，如果存在非零向量v，使得A^Tv=λv，则λ是A 的特征值，v是A的特征向量C. 对于矩阵A，如果存在非零向量v，使得A^-1v=λv，则λ是A 的特征值，v是A的特征向量D. 对于矩阵A，如果存在非零向量v，使得Av=v，则λ是A的特征值，v是A的特征向量6. 线性变换的矩阵表示是什么？A. 线性变换的逆矩阵B. 线性变换的转置矩阵C. 线性变换的雅可比矩阵D. 线性变换的对角矩阵7. 以下哪个不是线性代数中的基本概念？A. 向量B. 矩阵C. 行列式D. 微积分8. 什么是线性方程组的齐次解？A. 方程组的所有解B. 方程组的特解C. 方程组的零解D. 方程组的非平凡解9. 矩阵的迹是什么？A. 矩阵的对角线元素的和B. 矩阵的行列式C. 矩阵的秩D. 矩阵的逆10. 什么是正交矩阵？A. 矩阵的转置等于其逆矩阵B. 矩阵的所有行向量都是单位向量C. 矩阵的所有列向量都是单位向量D. 矩阵的所有行向量都是正交的答案：1-5 C C C C A；6-10 D D C A A二、简答题（每题10分，共20分）11. 请简述线性代数中的向量空间（Vector Space）的定义。

(完整)线性代数习题集(带答案)

第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( )。

（A) 24315 （B ） 14325 （C ） 41523 (D ）24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k ，则排列12j j j n 的逆序数是（）。

(A ）k (B)k n - (C ）k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( ）项.（A ） 0 (B ）2-n (C ） )!2(-n （D) )!1(-n4．=001001001001000（ )。

(A ） 0 (B)1- （C) 1 （D ） 25.=001100000100100( ）。

(A) 0 （B ）1- （C ） 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). （A) 0 （B)1- (C) 1 (D) 27。

若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （ ). (A) 4 (B ） 4- (C) 2 （D) 2-8．若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a ( ）.（A ）ka (B)ka - (C ）a k 2 （D)a k 2-9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x （ ).（A) 0 （B ）3- (C ） 3 (D ） 210。

若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为（）.(A ）1- （B)2- （C ）3- （D ）011。

若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). （A)1- (B ）2- （C)3- （D ）012。

线性代数试题(完整试题与详细答案)

线性代数试题（完整试题与详细答案）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（）A ．-2B ．-1C ．1D ．22．设A 为2阶矩阵，若A 3=3，则=A 2（） A ．21 B ．1 C ．34 D ．23．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=-1C （） A ．AB B ．BA C ．11--B AD ．11--A B4．已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 的行列式1-=A ，则=-1*)(A （） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛----d c b aB ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b dC ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb d D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（）A ．n r =)(AB ．m r =)(AC ．n r <)(AD ．m r <)(A 7．已知3阶矩阵A 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（） A ．A B ．AE - C ．A E -- D ．A E -2 8．下列矩阵中不是．．初等矩阵的为（）A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1010110019．4元二次型4332412143212222),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（） A ．1B ．2C ．3D ．410．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ，则二次型Ax x T 的规范形为（）A ．232221z z z ++ B ．232221z z z ---C ．232221z z z --D ．232221z z z -+二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

线性代数中常见的难题,易错题目解析

线性代数中常见的难题,易错题目解析
1、代数精度：在数值分析中，精度指的是数值计算中所得结果的可靠性，也就是说计算结果是否正确取决于数值计算的精度。

此题目可能会难以回答，要求学生根据自身的数学定义和知识框架来理解和作答，其中的考点是数值计算的精度与数值计算成果的可靠性之间的关系。

2、矩阵的秩：矩阵的秩是矩阵的数学定义，它表示某个矩阵的列数减去它的0行的数目，考察学生对该数学概念的理解程度。

因此，求解矩阵的秩需要对矩阵中的元素进行运算，并判断结果来计算矩阵的秩。

3、线性方程组的系数矩阵：系数矩阵是一个线性方程组的重要概念，表示该线性方程组的解的性质。

系数矩阵的求解主要是根据矩阵操作的行列式计算方法、决定系统的可解性来确定系数矩阵的结构。

4、矩阵乘法：矩阵乘法是线性代数最重要的基本概念之一，它以秩、矩阵维数和矩阵中元素的乘法计算来表示两个矩阵的乘积结果。

矩阵乘法可以有效地解决实际问题，是解决线性方程组最常用的工具之一。

5、矩阵求逆：矩阵求逆是线性代数中常见的概念，它表示将矩阵转换成单位矩阵的变换。

考生在面对本题时，除了熟悉矩阵求逆的基本概念外，还需要掌握大量的乘法和除法运算，以及应用消元法计算矩阵求逆的过程。

6、行列式：行列式是一种矩阵形式的数形式，它由矩阵中各元素的行列式代数计算所构成的一种数字的结果。

通过行列式可以判断矩阵的可逆性、行列式的值与矩阵元素有关。

学生在解答本题时，要掌握行列式的基本概念和行列式的计算方法，以及应用行列式来确定矩阵的可逆性的过程。

线性代数中常见的难题、易错题目解析

线性代数中常见的难题、易错题目解析线性代数是数学的一个重要分支，包括线性方程组、矩阵论、特征值分解等内容，已经成为许多学科的必备的基础知识。

随着学科的发展，线性代数也成为了一门杂而乱的学科，其中很多难题和易错题目都会困扰学习者。

本文将从难题、易错题的解析的角度，介绍如何解决线性代数中常见的难题和易错题目。

一、难题1、求解方程组求解方程组是一个具有挑战性的问题，如果把它当做一个整体去理解和求解，那么将是一个棘手的问题。

一般来说，可以用矩阵的乘法法则进行求解，或者用换元法来求解，或者用逐步求解法求解，最后结合容易理解的思想，来解决更加复杂的多元方程组。

2、求矩阵的特征值、特征向量矩阵的特征值和特征向量非常重要，求解特征值和特征向量十分困难。

特征值是矩阵行列式的解，而特征向量则是将特征值代入矩阵方程来求解，这两个问题会有一定的耦合性，有时候也不容易像前者一样能够得出精确的解。

因此，对矩阵的特征值和特征向量求解，一般来说要尽可能的用矩阵的几何性质，来解决相关的问题。

3、找到向量的基础向量的基础是要证明一组给定的向量可以线性表示其他所有的向量，也就是说，它们能够形成一个若干个线性无关向量的基础。

但是在找到向量的基础时，有时会出现向量冗余的情况，我们要在构造基础时尽可能消除冗余，使用一些四元数计算可以大大减少搜索时间，然后在手动检查和调整时，来增强搜索的精确性和准确性。

二、易错题1、矩阵相乘的几何意义很多学生常常弄混矩阵的相乘的几何意义，将它和普通的算术乘法混为一谈。

实际上，矩阵的相乘有重要的几何意义，也就是图像的变换，图像可以用平移、旋转、缩放等形式来表示，而所有的变换就是矩阵乘法的几何意义。

2、判断一个矩阵是否是对称矩阵对称矩阵是比较常见的一类矩阵，但是给出一个矩阵之后数学家要判断它是否是对称矩阵，也是一个相当难的问题。

其实并不难，只要把它乘自身的转置就可以得到判断的答案，如果转置之后的矩阵和原矩阵相同，那么它就是一个对称矩阵，反之则不是。

线性代数试题和答案（精选版）

线性代数试题和答案（精选版）线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003，则A-1等于（）A.130012001B.1002 00 1 3C. 1 3 00 010 00 1 21200130013.设矩阵A= 312101214---，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<n< p="">B.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334B.3426C.023035--D.111120102第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。

近年线性代数考研题目及答案

近年线性代数考研题目及答案线性代数是数学中一个重要的分支，广泛应用于科学、工程和经济等领域。

考研中的线性代数题目通常包括矩阵运算、向量空间、线性变换、特征值问题等。

以下是一些近年线性代数考研题目及答案的示例：1. 题目：设矩阵A是一个3×3的实对称矩阵，且满足A^2 - 2A - 3I = 0，其中I是单位矩阵。

证明A的特征值都为3。

答案：首先，由于A是实对称矩阵，它必定存在一组正交的特征向量。

设λ为A的一个特征值，对应的特征向量为v。

根据特征值的定义，我们有Av = λv。

将题目中的等式A^2 - 2A - 3I = 0两边同时乘以v，得到A(Av) - 2Av - 3v = 0，即A(λv) - 2(λv) - 3v = 0，这可以化简为λ^2v - 2λv - 3v = 0。

由于v非零，我们可以除以v得到λ^2 - 2λ - 3 = 0。

解这个二次方程，我们得到λ = 3或λ= -1。

由于A^2 - 2A - 3I = 0，我们可以推断出A的特征值不可能为-1，因此A的特征值只能是3。

2. 题目：设向量组α1, α2, ..., αn线性无关，证明向量组α1 + α2, α2 + α3, ..., αn-1 + αn, αn + α1也是线性无关的。

答案：假设存在一组标量k1, k2, ..., kn，使得k1(α1 + α2)+ k2(α2 + α3) + ... + kn(αn + α1) = 0。

我们可以将这个等式重新排列，得到(k1 + kn)α1 + (k2 - k1)α2 + ... + (k1 -kn)αn = 0。

由于α1, α2, ..., αn线性无关，我们可以得出k1 + kn = 0，k2 - k1 = 0，...，k1 - kn = 0。

这意味着k1 = k2 = ... = kn = 0，因此向量组α1 + α2, α2 + α3, ..., αn-1 + αn,αn + α1是线性无关的。

线性代数考试题库及答案(一)

线性代数考试题库及答案(一)1.下面是线性代数考试题库及答案的第一部分专项同步练第一章行列式的格式正确版本：一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。

3.n阶行列式的展开式中含a11a12的项共有(D) (n-1)。

项。

4.1/1 = (D) 2.5.1/(-1) = (B) -1.6.在函数f(x) = (2x-1)/(2-x^3)中x^3项的系数是(A) 0.7.若D = |a11 a12 a13| |a21 a22 a23| |1 a32 a33|，则D1 =2a11a33 - 4a13a31 - 2a12a32.8.若 |a11 a12| |a21 a22| = a，则 |a12 a11| |ka22 ka21| = (-k^2)a。

9.已知4阶行列式中第1行元依次是-4.0.1.3，第3行元的余子式依次为-2.5.1.x，则x = 3.10.若D = |4 3 1 5| |-1 3 4 1| |2 -1 6 3| |-2 1 3 4|，则D中第一行元的代数余子式的和为(B) -2.11.若D = |-1 5| |3 -2|，则D = (A) -1.12.k等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组x1 + kx2 + x3 = 0，kx1 + x2 + x3 = 0，x2 + x3 = 0有非零解。

(B) -2.二、填空题1.2n阶排列24…(2n)13…(2n-1)的逆序数是n(2n-1)。

2.在六阶行列式中项a32a41a25a13a56a64的符号为-。

改写后的文章：线性代数考试题库及答案第一部分专项同步练第一章行列式一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。

线性代数期末考试精彩试题(卷)+问题详解解析汇报合集

×××大学线性代数期末考试题一、填空题〔将正确答案填在题中横线上.每一小题2分,共10分〕1. 假如022150131=---x ,如此=χ__________. 2．假如齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解,如此λ应满足.3．矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，,满足CB AC =,如此A 与B 分别是阶矩阵.4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性. 5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ,如此=-1A .二、判断正误〔正确的在括号内填"√〞,错误的在括号内填"×〞.每一小题2分,共10分〕1. 假如行列式D 中每个元素都大于零,如此0〉D .〔〕2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合.〔〕3. 向量组m a a a ，，， 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,如此向量组s a a a ，，， 21线性相关.〔〕4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ,如此A A =-1.〔〕 5. 假如λ为可逆矩阵A 的特征值,如此1-A 的特征值为λ. < >三、单项选择题 <每一小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内.每一小题2分,共10分>1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,如此=T A A 〔〕.①n2②12-n ③12+n ④42. n 维向量组s ααα，，， 21〔3 ≤ s ≤ n 〕线性无关的充要条件是〔〕. ①s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ②s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④s ααα，，， 21中不含零向量3. 如下命题中正确的答案是< >.① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ,B 均为n 阶方阵,下面结论正确的答案是< >.① 假如A ,B 均可逆,如此B A +可逆 ② 假如A ,B 均可逆,如此 A B 可逆 ③ 假如B A +可逆,如此 B A -可逆 ④ 假如B A +可逆,如此 A ,B 均可逆5. 假如4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的根底解系,如此4321νννν+++是0=X A 的〔〕①解向量② 根底解系③ 通解 ④ A 的行向量四、计算题 < 每一小题9分,共63分>1. 计算行列式x ab c d a x b c d a b x c d abcx d++++.解·2. 设B A AB 2+=,且A ,410011103⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= 求B .解.A B E A =-)2(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=--111122112)2(1E A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-=-322234225)2(1A E A B3. 设,1000110001100011⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=B ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2000120031204312C 且矩阵X 满足关系式'(),X C B E -=求X . 4. 问a 取何值时,如下向量组线性相关？123112211,,221122a a a ααα⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=-==- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭.5. λ为何值时,线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++223321321321x x x x x x x x x λλλλ有唯一解,无解和有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解.①当1≠λ且2-≠λ时,方程组有唯一解； ②当2-=λ时方程组无解③当1=λ时,有无穷多组解,通解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=X 10101100221c c 6. 设.77103 ,1301 ,3192 ,01414321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αααα 求此向量组的秩和一个极大无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示.7. 设100010021A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求A 的特征值与对应的特征向量.五、证明题 <7分>假如A 是n 阶方阵,且，I AA =T，1-=A 证明 0=+I A .其中I 为单位矩阵. ×××大学线性代数期末考试题答案一、填空题1. 52. 1≠λ3. n n s s ⨯⨯，4. 相关5. E A 3- 二、判断正误1. ×2. √3. √4. √5. × 三、单项选择题1. ③2. ③3. ③4. ②5. ① 四、计算题 1. 2.A B E A =-)2(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=--111122112)2(1E A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-=-322234225)2(1A E A B3. 4.)22()12(812121212121212321-+=------=a a aa aa a a ，，当21-=a 或1=a 时,向量组321a a a ，，线性相关. 5.① 当1≠λ且2-≠λ时,方程组有唯一解； ②当2-=λ时方程组无解③当1=λ时,有无穷多组解,通解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=X 10101100221c c 6.如此 ()34321=a a a a r ，，，,其中321a a a ，，构成极大无关组,321422a a a a ++-= 7.特征值1321===λλλ,对于λ1＝1,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-020*******A E λ,特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001l k 五、证明题∴()02=+A I , ∵()0=+A I一、选择题〔此题共4小题,每一小题4分,总分为16分.每一小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求〕1、设A ,B 为n 阶方阵,满足等式0=AB ,如此必有〔〕<A>0=A 或0=B ; <B>0=+B A ；〔C 〕0=A 或0=B ; <D>0=+B A . 2、A 和B 均为n 阶矩阵,且222()2A B A AB B +=++,如此必有〔〕 <A> A E =；<B>B E =；〔C 〕A B =.<D> AB BA =.3、设A 为n m ⨯矩阵,齐次方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是〔〕 <A>A 的列向量线性无关； <B>A 的列向量线性相关；〔C 〕 A 的行向量线性无关； <D>A 的行向量线性相关.4、 n 阶矩阵A 为奇异矩阵的充要条件是〔〕 <A>A 的秩小于n ；<B>0A ≠；<C> A 的特征值都等于零；<D>A 的特征值都不等于零；二、填空题〔此题共4小题,每题4分,总分为16分〕5、假如4阶矩阵A 的行列式5A =-,A *是A 的伴随矩阵,如此*A =.6、A 为n n ⨯阶矩阵,且220A A E --=,如此1(2)A E -+=.7、方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+43121232121321x x x a a 无解,如此a =.8、二次型2221231231213(,,)2322f x x x x x tx x x x x =++++是正定的,如此t 的取值X 围是. 三、计算题〔此题共2小题,每题8分,总分为16分〕9、计算行列式1111111111111111x x D y y+-=+-10、计算n 阶行列式四、证明题〔此题共2小题,每一小题8分,总分为16分.写出证明过程〕 11、假如向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关.证明： <1> 1α能有23,αα线性表出； <2>4α不能由123,,ααα线性表出.12、设A 是n 阶矩方阵,E 是n 阶单位矩阵,E A +可逆,且1()()()f A E A E A -=-+. 证明〔1〕 (())()2E f A E A E ++=；〔2〕 (())f f A A =.五、解答题〔此题共3小题,每一小题12分,总分为32分.解答应写出文字说明或演算步骤〕13、设200032023A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求一个正交矩阵P 使得1P AP -为对角矩阵.14、方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++040203221321321xa x x ax x x x x x 与方程组12321-=++a x x x 有公共解. 求a 的值.15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,1η,2η,3η是它的三个解向量,且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321η,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+432132ηη求该方程组的通解.解答和评分标准一、选择题1、C ；2、D ；3、A ；4、A.二、填空题5、-125;6、2π；7、-1；8、53>t . 三、计算题9、解：第一行减第二行,第三行减第四行得：第二列减第一列,第四列减第三列得：00011000011x x D y y-=- 〔4分〕按第一行展开得按第三列展开得2201x D xyx y y-=-=. 〔4分〕10、解：把各列加到第一列,然后提取第一列的公因子⎪⎭⎫⎝⎛+∑=n i i x 13,再通过行列式的变换化为上三角形行列式2212113313nn n n i i n x x x x D x x x =+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+∑〔4分〕1133n n i i x -=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑〔4分〕四、证明题 11、证明：<1>、因为332,ααα，线性无关,所以32αα，线性无关., 又321ααα，，线性相关,故1α能由32αα，线性表出. <4分> 123()3r ααα=，，,〔2〕、〔反正法〕假如不,如此4α能由321,ααα，线性表出, 不妨设3322114ααααk k k ++=.由〔1〕知,1α能由32αα，线性表出, 不妨设32211αααt t +=.所以3322322114)(αααααk k t t k +++=,这明确432,ααα，线性相关,矛盾. 12、证明〔1〕1(())()[()()]()E f A E A E E A E A E A -++=+-++1()()()()()()2E A E A E A E A E A E A E -=++-++=++-= 〔4分〕〔2〕1(())[()][()]f f A E f A E f A -=-+由〔1〕得：11[()]()2E f A E A -+=+,代入上式得11()()22E A E A A =+--= 〔4分〕五、解答题 13、解：〔1〕由0E A λ-=得A 的特征值为11λ=,22λ=,35λ=. 〔4分〕〔2〕11λ=的特征向量为1011ξ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,22λ=的特征向量为2100ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 35λ=的特征向量为3011ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 〔3分〕〔3〕因为特征值不相等,如此123,,ξξξ正交. 〔2分〕〔4〕将123,,ξξξ单位化得1011p ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭,2100p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,3011p ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭〔2分〕〔5〕取()123010,,00P p p p ⎛⎫ ⎪ ⎪ == ⎝ 〔6〕1100020005P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭〔1分〕14、解：该非齐次线性方程组b Ax =对应的齐次方程组为因3)(=A R ,如此齐次线性方程组的根底解系有1个非零解构成,即任何一个非零解都是它的根底解系. 〔5分〕另一方面,记向量)(2321ηηηξ+-=,如此直接计算得0)6,5,4,3(≠=T ξ,ξ就是它的一个根底解系.根据非齐次线性方程组解的结构知,原方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=543265431k k x ηξ,R k ∈. 〔7分〕15、解：将①与②联立得非齐次线性方程组:假如此非齐次线性方程组有解, 如此①与②有公共解, 且③的解即为所求全部公共解.对③的增广矩阵A 作初等行变换得:→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=112104102101112a a a A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11000)1)(2(0001100111a a a a a . 〔4分〕1°当1a =时,有()()23r A r A ==<,方程组③有解, 即①与②有公共解, 其全部公共解即为③的通解,此时⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→0000000000100101A ,如此方程组③为齐次线性方程组,其根底解系为: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101,所以①与②的全部公共解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101k ,k 为任意常数. 〔4分〕2° 当2a =时,有()()3r A r A ==,方程组③有唯一解, 此时⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→0000110010100001A ,故方程组③的解为:011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭,即①与②有唯一公共解011x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. 〔4分〕线性代数习题和答案第一局部选择题 <共28分>一、单项选择题〔本大题共14小题,每一小题2分,共28分〕在每一小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内.错选或未选均无分. 1.设行列式a a a a 11122122=m,aa a a 13112321=n,如此行列式aa a a a a 111213212223++等于〔〕A.m+nB. -<m+n>C. n -mD. m -n2.设矩阵A =100020003⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,如此A -1等于〔〕A. 13000120001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B. 10001200013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ C. 130********⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D. 12000130001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,A*是A的伴随矩阵,如此A *中位于〔1,2〕的元素是〔〕A.–6B. 6C. 2D.–24.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,如此必有〔〕A.A =0B. B≠C时A=0C.A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.3×4矩阵A的行向量组线性无关,如此秩〔A T〕等于〔〕A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,如此〔〕A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1〔α1+β1〕+λ2〔α2+β2〕+…+λs〔αs+βs〕=0C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1〔α1-β1〕+λ2〔α2-β2〕+…+λs〔αs-βs〕=0D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r,如此A中〔〕A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,如此如下结论错误的答案是〔〕A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆,如此必有〔〕A.秩<A><nB.秩<A>=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n<≥3>阶方阵,如下陈述中正确的答案是〔〕A.如存在数λ和向量α使Aα=λα,如此α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α,使<λE-A>α=0,如此λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1,λ2,λ3是A的3个互不一样的特征值,α1,α2,α3依次是A的属于λ1,λ2,λ3的特征向量,如此α1,α2,α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k,如此必有〔〕A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵,如此如下结论错误的答案是〔〕A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行〔列〕向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵,C是实可逆矩阵,B=C T AC.如此〔〕A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有一样的特征值D. A与B合同14.如下矩阵中是正定矩阵的为〔〕A.2334⎛⎝ ⎫⎭⎪B.3426⎛⎝ ⎫⎭⎪ C.100023035--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ 第二局部非选择题〔共72分〕二、填空题〔本大题共10小题,每一小题2分,共20分〕不写解答过程,将正确的答案写在每一小题的空格内.错填或不填均无分. 15.11135692536=.16.设A =111111--⎛⎝ ⎫⎭⎪,B =112234--⎛⎝ ⎫⎭⎪.如此A +2B =. 17.设A =<a ij >3×3,|A |=2,A ij 表示|A |中元素a ij 的代数余子式〔i,j=1,2,3〕,如此<a 11A 21+a 12A 22+a 13A 23>2+<a 21A 21+a 22A 22+a 23A 23>2+<a 31A 21+a 32A 22+a 33A 23>2=.18.设向量〔2,-3,5〕与向量〔-4,6,a 〕线性相关,如此a=.19.设A 是3×4矩阵,其秩为3,假如η1,η2为非齐次线性方程组Ax=b 的2个不同的解,如此它的通解为.20.设A 是m ×n 矩阵,A 的秩为r<<n>,如此齐次线性方程组Ax=0的一个根底解系中含有解的个数为.21.设向量α、β的长度依次为2和3,如此向量α+β与α-β的内积〔α+β,α-β〕=.22.设3阶矩阵A 的行列式|A |=8,A 有2个特征值-1和4,如此另一特征值为.A =010********---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,α=212-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪是它的一个特征向量,如此α所对应的特征值为. 24.设实二次型f<x 1,x 2,x 3,x 4,x 5>的秩为4,正惯性指数为3,如此其规X 形为.三、计算题〔本大题共7小题,每一小题6分,共42分〕25.设A =120340121-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,B =223410--⎛⎝ ⎫⎭⎪.求〔1〕AB T ；〔2〕|4A |. 26.试计算行列式3112513420111533------.27.设矩阵A =423110123-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,求矩阵B 使其满足矩阵方程AB =A +2B . 28.给定向量组α1=-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪2103,α2=1324-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪,α3=3021-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪,α4=0149-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 试判断α4是否为α1,α2,α3的线性组合；假如是,如此求出组合系数.29.设矩阵A =12102242662102333334-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 求：〔1〕秩〔A 〕；〔2〕A 的列向量组的一个最大线性无关组.30.设矩阵A=022234243----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T 和对角矩阵D ,使T -1AT =D . 31.试用配方法化如下二次型为标准形f<x 1,x 2,x 3>=x x x x x x x x x 12223212132323444+-+--,并写出所用的满秩线性变换.四、证明题〔本大题共2小题,每一小题5分,共10分〕32.设方阵A 满足A 3=0,试证明E -A 可逆,且〔E -A 〕-1=E +A +A 2.33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解,ξ1,ξ2是其导出组Ax=0的一个根底解系.试证明〔1〕η1=η0+ξ1,η2=η0+ξ2均是Ax=b 的解；〔2〕η0,η1,η2线性无关. 答案：一、单项选择题〔本大题共14小题,每一小题2分,共28分〕1二、填空题〔本大题共10空,每空2分,共20分〕15. 616. 337137--⎛⎝ ⎫⎭⎪17. 418. –1019. η1+c<η2-η1>〔或η2+c<η2-η1>〕,c 为任意常数 20. n -r21. –522. –223. 124. z z z z 12223242++-三、计算题〔本大题共7小题,每一小题6分,共42分〕25.解〔1〕AB T=120340*********-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=861810310⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪. 〔2〕|4A |=43|A |=64|A |,而|A |=1203401212-=-. 所以|4A |=64·〔-2〕=-128 26.解 311251342011153351111113100105530------=-----=5111111550----=5116205506255301040---=---=+=. 27.解 AB =A +2B 即〔A -2E 〕B =A ,而〔A -2E 〕-1=2231101211431531641--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪-.所以B=<A-2E>-1A=143153164423110123-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪=3862962129-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.28.解一----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪2130130102243419053213010112013112−→−--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪1035011200880014141035011200110000−→−⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪1002010100110000,所以α4=2α1+α2+α3,组合系数为〔2,1,1〕.解二考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3,即-++=-=-+=+-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪230312243491231223123x x xx xx xx x x.方程组有唯一解〔2,1,1〕T,组合系数为〔2,1,1〕.29.解对矩阵A施行初等行变换A−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102000620328209632−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102032830006200021712102032830003100000=B.〔1〕秩〔B〕=3,所以秩〔A〕=秩〔B〕=3.〔2〕由于A与B的列向量组有一样的线性关系,而B是阶梯形,B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组,故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组.〔A的第1、2、5列或1、3、4列,或1、3、5列也是〕30.解A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为ξ1=〔2,-1,0〕T, ξ2=〔2,0,1〕T. 经正交标准化,得η1=25555//-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,η2=2515451553///⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.λ=-8的一个特征向量为ξ3=122-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,经单位化得η3=132323///.-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪所求正交矩阵为T=25521515135545152305323////////--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪. 对角矩阵D=100010008-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.〔也可取T=25521515130532355451523////////---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.〕31.解 f<x1,x2,x3>=〔x1+2x2-2x3〕2-2x22+4x2x3-7x32=〔x1+2x2-2x3〕2-2〔x2-x3〕2-5x32.设y x x xy x xy x11232233322=+-=-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪,即x y yx y yx y112223332=-=+=⎧⎨⎪⎩⎪,因其系数矩阵C=120011001-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪可逆,故此线性变换满秩.经此变换即得f<x1,x2,x3>的标准形 y12-2y22-5y32.四、证明题〔本大题共2小题,每一小题5分,共10分〕32.证由于〔E-A〕〔E+A+A2〕=E-A3=E,所以E-A可逆,且〔E-A〕-1= E+A+A2.33.证由假设Aη0=b,Aξ1=0,Aξ2=0.〔1〕Aη1=A〔η0+ξ1〕=Aη0+Aξ1=b,同理Aη2= b, 所以η1,η2是Ax=b的2个解.〔2〕考虑l0η0+l1η1+l2η2=0, 即〔l0+l1+l2〕η0+l1ξ1+l2ξ2=0.如此l0+l1+l2=0,否如此η0将是Ax=0的解,矛盾.所以l1ξ1+l2ξ2=0. 又由假设,ξ1,ξ2线性无关,所以l1=0,l2=0,从而l0=0 .所以η0,η1,η2线性无关.。

大一线性代数考试题库及答案解析

大一线性代数考试题库及答案解析一、选择题1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为多少？A. 1/2B. 2C. 1/4D. 1答案：C解析：根据行列式的性质，一个矩阵的逆矩阵的行列式等于原矩阵行列式的倒数。

因此，|A^(-1)| = 1/|A| = 1/2。

2. 向量α=(1,2,3)和β=(-1,0,1)是否共线？A. 是B. 否答案：A解析：若向量α和β共线，则存在一个实数k使得β=kα。

将向量α和β的对应分量相除，得到-1/1=0/2=1/3，显然不存在这样的实数k，因此向量α和β不共线。

二、填空题3. 设矩阵B是一个3×3的矩阵，且B的秩为2，则矩阵B的零空间的维数为____。

答案：1解析：矩阵B的零空间的维数等于矩阵的列数减去矩阵的秩，即3-2=1。

4. 若线性方程组Ax=b有唯一解，则系数矩阵A的秩等于____。

答案：n解析：若线性方程组Ax=b有唯一解，则系数矩阵A的秩等于未知数的个数n。

三、解答题5. 给定向量组α1=(1,2,3)，α2=(4,5,6)，α3=(7,8,9)，求证向量组α1，α2，α3线性相关。

答案：证明：首先计算向量组α1，α2，α3的行列式：|α1 α2 α3| = |1 2 3||4 5 6||7 8 9| = 0由于行列式为0，根据行列式的性质，向量组α1，α2，α3线性相关。

6. 设矩阵C为3×3的矩阵，且C的行列式为0，求证矩阵C不可逆。

答案：证明：根据矩阵的逆矩阵的定义，若矩阵C可逆，则存在矩阵C^(-1)使得CC^(-1)=I。

但是，由于|C|=0，根据行列式的性质，不存在矩阵C^(-1)使得CC^(-1)=I，因此矩阵C不可逆。

四、计算题7. 计算矩阵D=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 &9\end{bmatrix}的行列式。

线性代数较难试题

一、设A 相似于对角阵，0λ是A 的特征值，0X 是A 对应于0λ的特征向量.证明：(1) 秩0()A I λ-= 秩20()A I λ-；(2) 不存在Y ，使得00()A I Y X λ-=.证：(1)设A0010k =diag{,,,,,},,1,,.k n i i k n λλλλλλ+Λ≠=+ 则220000,()().A II A I I λλλλ-Λ--Λ-故 00100k ()()(diag{0,,0,,,}k n rank A I rank I rank λλλλλλ+-=Λ-=--n k =-.同理，222200100k ()()(diag{0,,0,(),,()}k n rank A I rank I rank λλλλλλ+-=Λ-=--0().n k rank A I λ=-=-（2）如存在Y ，使得00)(X Y I A =-λ，则2000()()A I Y A I X λλθ-=-=，由（1）知方程组20()A I X λθ-=与0()A I X λθ-=同解。

从而0()A I Y λθ-=，即0X θ=，与0X 为特征向量矛盾。

二、已知线性方程组n n A X b ⨯= 对任何b 的取值都有解的充要条件是n n A ⨯为可逆阵。

证明：充分性:设A 可逆，则对任意b ，1X A b -=.必要性:解法一: 当 b 取遍所有基本向量组中的向量后, 原方程组都有解, 以这些解向量作为列向量构做矩阵B , 显然 AB =I , 其中 I 为单位阵, 故而 A 可逆.解法二: 由题目假设知任何n 维向量 b 都能由 A 的列向量组线性表出, 所以向量空间 R n 的维数不会超过A 的列向量组的秩, 由此得出: A 的列向量组的秩为n , 即A 可逆.三、设βα,为3元单位列向量，且0=βαT ，记T T A ββαα+=。

证明：(1) 齐次线性方程组0=AX 有非零解；(2) A 相似于矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000010001。