矩阵的秩及其求法-求秩的技巧
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第五节：矩阵的秩及其求法之迟辟智美创作
一、矩阵秩的概念 1. k 阶子式 界说1 设 在A 中任取k 行k 列交叉处元素按原相对
位置组成的
阶行列式，称为A 的一个k 阶子式.
例如共有个二阶子式，有 个三阶子式
矩阵 A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而
为 A 的一个三阶子式.显然， 矩阵 A 共有 个k 阶子式. 2. 矩阵的秩
界说2 设 有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 ,称r 为矩阵A 的秩，记作R (A )或秩(A ).
规定： 零矩阵的秩为 0 .
注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式
所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶子式均为 0，r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 .
(2) 有行列式的性质，
(3) R(A ) ≤m , R (A ) ≤n , 0 ≤R (A ) ≤min { m , n } .
(4) 如果An ×n , 且 则 R ( A ) = n .反之，如 R ( A ) = n ,则
()
n
m ij a A ⨯={})
,min 1(n m k k ≤≤4
3
334=C C 1
015
643
213-=D n
m ⨯()
n
m ij
a A ⨯=0,
r D ≠()().
T R A R A =0,A ≠0.
A ≠
因此，方阵 A 可逆的充沛需要条件是 R ( A ) = n . 二、矩阵秩的求法 1、子式判别法(界说).
例1 设 为阶梯形矩阵，求R (B ).
解 由于 存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则R (B ) = 2.
结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数.
例如
一般地，行阶梯形矩阵的秩即是其“台阶数”——非零行的行数. 例2 设 如果 求
a .
解 或
例3
则
2、用初等变换法求矩阵的秩
定理2矩阵初等变换不改变矩阵的秩. 即则
注： 只改变子行列式的符号. 是 A 中对应子式的k 倍.
是行列式运算的性质.
0202
1≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001021B ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=100010011C 125034000D ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭212350815300072000
0E ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
⎪⎪⎪
⎭