浙江省北斗联盟2022-2023学年高二下学期期中联考物理试题

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杭州地区(含周边)重点中学2022-2023学年高二下学期期中联考物理试题(解析版)

5. 如图，一个带电小球电荷量为+q 以初速度 v0 从斜面 AB 的顶端水平抛出，经过时间 t 恰好落在斜面底端 B 点，若在图中区域加竖直向下的匀强电场 E，且 qE mg ，小球仍以 v0 水平抛出，则（）
A. 小球恰好落在 B 点 C. 小球下落时间为 2t 【答案】D 【解析】【详解】由题意
A. 通过外电阻 R 的电流方向周期性变化
B. 用多用电表的交流挡测量 R 两端的电压时，电表示数周期性变化
C. 当线圈由图示位置转过 180°的过程中，通过电阻 R 的电荷量为零
D.
当线圈由图示位置转过
180°的过程中，电阻
R
上产生的热量
Q
2
RB
R
2S 2
r 2
【答案】D
【解析】
【详解】A．线圈与外电路之间通过换向器连接，所以外电路中的电流方向恒定不变，故 A 错误；
B. 小球落在水平面 BC 上
D. 小球下落时间为 t 2
tan gt 2v0
得
t 2v0 tan g
加竖直电场后，小球加速度变为 2g，则小球运动时间变为 t ，将落到斜面上，不会到达 B 点。 2
故选 D。 6. 如图表示某电场等势面的分布情况，下列说法正确的是（）
A. 将试探电荷放在电场中的 A 点，试探电荷受的静电力的方向沿该处曲线的切线方向
B．功率是标量，对应的国际制单位是瓦特（W），故 B 错误；
C．电流强度是标量，对应的国际制单位是安培（A），故 C 错误；
D．时间是标量，对应的国际制单位是秒（s），故 D 错误。
故选 A。 2. 如图是一辆前驱汽车受驱动力的示意图，下列关于该汽车的受力说法正确的是（）
A. 当汽车加速前进时，汽车前轮受到地面向前的摩擦力大于前轮对地面向后的摩擦力 B. 当汽车加速前进时，汽车前轮受到地面向前的摩擦力等于前轮对地面向后的摩擦力 C. 只有汽车匀速前进时，汽车前轮受到地面向前的摩擦力等于前轮对地面向后的摩擦力 D. 汽车后轮对地面的摩擦力方向与汽车运动方向相反【答案】B

2024学年浙江省北斗星盟高二上学期12月联考物理试题及答案

2023学年第一学期浙江北斗星盟阶段性联考高二年级物理试题考生须知：1.本卷共8页满分100分，考试时间90分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、学号和姓名；考场号、座位号写在指定位置；3.本卷部分题目以相同题号不同试题呈现，请学习选择性必修Ⅰ同学完成对应题号为（选必一）的试题，请学习选择性必修Ⅱ同学完成对应题号为（选必二）的试题，切勿重复答题，重复答题的只计一题得分；4.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；5.考试结束后，只需上交答题纸。

选择题部分一、选择题Ⅰ（本题共13小题，每小题3分，共39分。

每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.2023年诺贝尔奖颁发给了研究“阿秒激光”的三位科学家，已知1阿秒等于1810s -，则以下关于“阿秒”的说法正确的是（）A.它是国际单位制的基本单位B.它是国际单位制的导出单位C.1阿秒时间内光在真空中前进的距离是10310m-⨯D.1阿秒时间内光在真空中前进的距离是340m2.在科学发展中，许多科学家对物理学的发展作出了巨大贡献，下列表述正确的是（）A.伽利略的理想斜面实验说明物体的运动不需要力来维持B.牛顿进行了著名的“月-地检验”并通过实验测出了引力常量C.笛卡尔通过分析第谷观测的天文数据得出行星运动规律D.库仑利用扭秤实验成功测量了静电力常量k 的数值3.轩轩用遥控器控制万向扭变小汽车在客厅地面上做匀速圆周运动，以下说法正确的是（）A.研究扭变小汽车的运动轨迹和周期可将小汽车视为质点B.研究扭变小汽车轮子的万向转动情况，小汽车可视为质点C.从位置A B →和C D →，两过程位移相同D.从位置A B →和B C →，两过程平均速度相同4.如图所示为天鹅速降水面后水平向前滑翔过程，图中天鹅脚掌前伸并向上倾斜，压出一路水花，由以上信息，则以下说法正确的是（）A.天鹅受到重力、水对脚掌向上的浮力作用B.天鹅在水面滑翔过程一定做的是匀减速直线运动C.天鹅所受的重力与水对天鹅脚掌的浮力是一对平衡力D.天鹅脚掌对水的力与水对脚掌的力始终大小相等5.萱萱拆下扭变小汽车的充电电池，发现有“700mAh 6V ”字样，如图所示；再翻看遥控车说明书，其上标有：续航时间：30-40min ；充电时间：60-120min ，待机时间14d ，由以上信息，下列说法正确的是（）A.该电池的输出电压一定是6VB.该电池待机时的放电电流可能为2.1mAC.“700mAh ”中的“mAh ”是电能的单位D.该电池能对外提供的最大电能是4200J6.如图甲是我国自行研制的CPU “龙芯”系列，是微型集成电路。

浙江省北斗星盟2023-2024学年高二下学期5月期中地理试题

长株潭城市群位于长江中游，包括长沙、株洲、湘潭三市，是湖南省经济发展的核心增长极。下图为长株潭城市群示意图，下表为20202022年长株潭三市常住人口（单位：万人）统计表。完成下面小题。
年份
2020年
2021年
2022年
长沙
1006.08
1023.93
1042.06
株洲
390.31
388.33
387.11
【解析】
【14题详解】
由图可知，2011年我国幼儿园的数量增幅最大，但不是幼儿园的数量达到最大，A错误；2020年之后我国出生人数同比增幅为负值，出生人数没有回升，C错误；由图可知，2007幼儿园增幅为负值，幼儿园数量递减，所以2022年幼儿园数量不是近二十年来首次递减，D错误；由图可知，幼儿园数量变化与出生人数变化大致呈正相关关系，B正确。故选B。
省份
人口自然增长率（‰）
城市化率（％）
人均地区生产总值（元/人）
甲
5.75
66.20
51096
乙
0.04
73.40
118496
丙
0.08
57.07
62106
丁
3.71
54.81
52321
3.表中省份是（）
A.甲—黑龙江B.乙—河南C.丙—贵州D.丁—浙江
4.下列关于四个省份说法正确的是（）
①甲省出现逆城市化，人口外流严重②乙省青壮年迁入多，死亡率较低
5.图中景观形成过程是（）
A.流水沉积流水侵蚀风力侵蚀
B.流水沉积风力侵蚀流水侵蚀
C.流水沉积流水沉积风力沉积
D.流水沉积风力侵蚀流水沉积
6.辫状水系的形成条件有（）
①流量变化大②含沙量大③地势起伏大④河道较深

2022-2023学年浙江省A9协作体高二下学期期中联考物理试题

2022-2023学年浙江省A9协作体高二下学期期中联考物理试题1.下列物理量是矢量且单位用国际单位制基本单位表示正确的是（）A．电流强度I，AB．磁感应强度B，C．动量P，N sD．电势，2.下列关于书中的几幅图片说法正确的是（）A．真空冶炼炉是利用交变电流直接产生热能，从而融化炉内金属的B．运输毫安表时正负极连接导线是利用了电磁驱动C．显像管颈部的偏转线圈产生的水平磁场能使电子束在水平方向偏转D．根据穿过铅板的正电子的轨迹变化可以知道空间的磁场方向是垂直纸面向里3.蟾蜍在湖边平静的水面上鸣叫，形成如图所示的水波。

已知水波的传播速度与水的深度成正比，蟾蜍的鸣叫频率为1451Hz。

下列说法正确的是（）A．水底下的潜水员听到蟾蜍声频率变大B．在深水区，水波更容易发生衍射现象C．水面上飘落的树叶会被水波推向岸边D．测得图中蟾蜍左边位置到岸边的距离是1m，大约有20个波峰，则此处水波的波速约为7.3m/s4.下列四幅图中关于机械振动和机械波的说法正确的是（）A．粗糙斜面上的金属球在弹簧的作用下运动，该运动是简谐运动B．实线为t1 =0时刻的波形图，虚线为t2 =0.5s时刻的波形图，该波的周期大于0.5s，则这列波可能沿x轴正方向传播，波速为1m/sC．一列水波经过孔时可以发生衍射，若增大AB之间的距离，则衍射现象会更明显D．如图为两列振幅均为1cm的相干水波某时刻的波峰和波谷位置（实线表示波峰，虚线表示波谷），则此时刻C点（BD中点）位移为0，处于振动减弱区5.如图，长直导线MN置于三角形金属线框abc上，彼此绝缘且分别固定，线框被导线分成面积相等的两部分。

导线通入由M到N的电流，当电流随时间线性增大时，线框中（）A．没有产生感应电流B．感应电流方向为abcaC．感应电流逐渐增大D．金属线框所受的安培力大小不变6.如图所示是用折射率为n的某种材料制成的圆弧状光学元件，其圆心角为120°，内径为，外径为R。

浙江省浙东北(ZDB)联盟2023-2024学年高二下学期期中联考物理试题含答案

2023学年第二学期浙东北（ZDB）联盟期中联考高二年级物理学科试题（答案在最后）考生须知：1．本卷共6页满分100分，考试时间90分钟。

2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。

3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。

4．考试结束后，只需上交答题纸。

5．可能用到的相关参数：重力加速度取10m/s2。

选择题部分一、单选题（本题共13小题，每小题3分，共39分。

在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.简谐运动属于下列哪种运动（）A.匀速直线运动B.匀加速直线运动C.匀变速运动D.非匀变速运动【答案】D【解析】【详解】做简谐运动的物体速度随时间周期性变化，根据ka x=-m可知加速度随位移变化而变化，而位移随时间周期性变化，加速度也作周期性变化，是非匀变速运动，故D 正确，ABC错误。

故选D。

2.在天文学上，由地球上接收到遥远天体发出的光波的频率可以判断遥远的天体相对于地球的运动速度。

这是利用了波的（）A.折射B.干涉C.衍射D.多普勒效应【答案】D【解析】【分析】【详解】多谱勒效应是指波源或观察者发生移动，而使两者间的距离发生变化，使观察者收到的频率发生了变化，所以由地球上接收到遥远天体发出的光波的频率可以判断遥远的天体相对于地球的运动速度。

这是利用了波的多普勒效应，则D正确；ABC错误；故选D。

3.火车的鸣笛声由空气传到铁轨中，则关于其频率和波长的变化情况，描述正确的是A.频率不变，波长变短B.频率不变，波长变长C.频率变小，波长变长D.频率变大，波长变短【答案】B【解析】【详解】波的频率是由波源决定的，所以波从一种介质进入另一种介质时，频率不变．则声波由空气进入铁轨中，波速变大，频率不变，由波速公式v=λf得知，声波的波长变长．故B正确，ACD错误．故选B4.火箭利用喷出的气体进行加速，是利用了高速气体的哪种作用（）A.产生的浮力B.向外的喷力C.反冲作用D.热作用【答案】C【解析】【详解】火箭发射时，燃料燃烧，产生高温燃气，燃气通过喷管向后高速喷出，燃气对火箭产生推力，在燃气推动火箭的力的作用下，火箭升空，这是利用了反冲作用。

浙江省杭州2023-2024学年高二下学期期中物理试题含答案

浙江省杭州2023-2024学年高二下学期期中物理试题选择题部分（答案在最后）一、单选题Ⅰ（本题共13题，每题3分，共39分。

不选、错选、多选均不得分）1.诺贝尔物理学奖2023年颁发给三位“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲实验方法”的科学家，1阿秒=10-18秒。

在国际单位制中，时间的单位是（）A.小时B.秒C.分钟D.阿秒【答案】B【解析】【详解】在国际单位制中，时间的单位是秒，符号s。

故选B。

2.温州轨道交通S1线是温州市第一条建成运营的城市轨道交通线路，于2019年投入运营，现已成为温州市民出行的重要交通工具之一、如图是温州S1线一车辆进站时的情景，下列说法正确的是（）A.研究某乘客上车动作时，可以将该乘客视为质点B.研究车辆通过某一道闸所用的时间，可以将该车辆视为质点C.选进站时运动的车辆为参考系，坐在车辆中的乘客是静止的D.选进站时运动的车辆为参考系，站台上等候的乘客是静止的【答案】C【解析】【详解】A．研究某乘客上车动作时，不能忽略乘客的形状和大小，不能将该乘客视为质点，故A错误；B．研究车辆通过某一道闸所用的时间，不能忽略车辆的形状和大小，不能将该车辆视为质点，故B错误；C．选进站时运动的车辆为参考系，坐在车辆中的乘客位置没有变化，是静止的，故C正确；D．选进站时运动的车辆为参考系，站台上等候的乘客位置发生变化，是运动的，故D错误。

故选C。

3.在足球运动中，足球入网如图所示，则（）A.踢香蕉球时足球可视为质点B.足球在飞行和触网时惯性不变C.足球在飞行时受到脚的作用力和重力D.触网时足球对网的力大于网对足球的力【答案】B【解析】【详解】A．在研究如何踢出“香蕉球”时，需要考虑踢在足球上的位置与角度，所以不可以把足球看作质点，故A错误；B．惯性只与质量有关，足球在飞行和触网时质量不变，则惯性不变，故B正确；C．足球在飞行时脚已经离开足球，故在忽略空气阻力的情况下只受重力，故C错误；D．触网时足球对网的力与网对足球的力是相互作用力，大小相等，故D错误。

浙江省北斗联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题(含答案)

第二学期北斗联盟期中联考高二年级数学学科试题考生须知：1．本卷共四页满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。

3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效：4．考试结束后，只需上交答题纸。

一、单选题（每小题5分共40分）1．集合{}1,2,3,4A =，{}25B x x =∈<<N ，则A B = （）A ．{}234，，B ．{}34，C ．{}345，，D ．{}2345，，，2．已知空间两条不同直线m 、n ，两个不同平面α、β，下列命题正确的是（）①m α⊥，n α⊥则m n ∥②m α∥，n β∥，αβ∥则m n ∥③m α⊥，m β⊥则αβ∥④n α⊥，n β∥则αβ⊥A ．①③B ．②④C ．①③④D ．①④3．已知非零向量a ，b ，则“两向量a ，b 数量积大于0”是“两向量a ，b夹角是锐角”的（）条件A ．必要B ．充分C ．充要D ．即不充分也不必要4．东阳市一米阳光公益组织主要进行“敬老”和“助学”两项公益项目，某周六，组织了七名大学生开展了“筑梦前行，阳光助学”活动后，大家合影留念，其中米一同学想与佳艳、刘西排一起，且要排在她们中间，则全部排法有（）种。

A ．120B ．240C ．480D ．7205．已知等差数列{}n a ，前n 项和为n S ，5a 、2020a 是方程2230x x --=两根，则2024S =（）A ．2020B ．2022C ．2023D ．20246．空间点()1,1,1A -，()1,2,3B -，()1,2,4C 则点A 到直线BC 的距离d =（）A B C D 7．已知4tan 3θ=-，()3π,4πθ∈，则sin θ=（）A ．45B ．45-C ．35D ．35-8．三棱锥P ABC -中，PA PB PC ===，1AC AB ==，120CAB ∠=︒则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（）A ．9πB ．9π2C ．18πD ．36π二、多选题（每小题6分，共18分，多选．错选0分少选则根据比例得分）9．已知直线1l ：1110A x B y C ++=和直线2l ：2220A x B y C ++=，则下列说法正确的是（）A ．若20A =，则2l 表示与x 轴平行或重合的直线B ．直线1l 可以表示任意一条直线C ．若12210A B A B -=，则12l l ∥D ．若12120A A B B +=，则12l l ⊥10．已知正项等比数列{}n a 的公比为()0q q >，前n 项积为n T ，且满足71a >，781a a <，则下列说法正确的是（）A ．01q <<B ．1q >C ．14131T T <<D ．{}n T 存在最大值11．已知定义域为R 的函数()f x 不恒为零，满足等式()()()2xf x x f x '=+，则下列说法正确的是（）A ．()00f =B ．()f x 在定义域上单调递增C ．()f x 是偶函数D ．函数()f x '有两个极值点三、填空题（每小题5分共15分）12．复数34i z =+，则2iz+的虚部为______．13．一学校对高二女生身高情况进行采样调查，抽取了10个同学的身高：161，160，152，155，170，157，178，175，172，162，则估计这些女生的上四分位数是______14．三角形ABC ，AB c =，BC a =，CA b =，D 为AB 边上一点，2CD =，AC CD ⊥，45BCD ∠=︒，则)b +的最大值为______四、解答题（共77分）15．（本题13分）函数()212ln 2f x x x x =--，[]1,3x ∈，求()f x 的最大值和最小值16．（本题15分）如图多面体ABCDEF ，底面ABCD 为菱形，EF AB ∥，22AB AF EF ===，120FAB ∠=︒，60ABC ∠=︒，平面ABEF ⊥平面ABCD（1）求证BD CE⊥（2）求平面BDE 与平面ADF 所成锐角的余弦值17．（本题15分）（1）求圆O ：221x y +=和圆M ：22680x y y +-+=的公切线（2）若与抛物线24xy =相交，求弦长18．（本题17分）在高等数学中对于二阶线性递推式21n n n a pa qa ++=+求数列通项，有一个特殊的方法特征根法：我们把递推数列21n n n a pa qa ++=+的特征方程写为2x px q =+①，若①有两个不同实数根α，β，则可令1112n n n a c c αβ--=+；若①有两个相同的实根α，则可令()112n n a c nc α-=+，再根据1a ，2a 求出1c ，2c ，代入即可求出数列{}n a 的通项。

浙江省北斗联盟2022-2023学年高二下学期期中联考物理试题

浙江省北斗联盟2022-2023学年高二下学期期中联考物理试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列属于矢量，且其国际单位制单位用基本单位表示正确的是（）A．力：N B．功：22⋅kg m/sC．磁感应强度：N/A m⋅D．电场强度：3⋅kg m/As2．下列说法中正确的是（）A．图甲中，伽利略对自由落体运动的研究中，猜想运动速度与下落时间成正比，并直接用实验进行了验证B．图乙中，落在球网中的足球受到弹力是由于球网发生了形变C．图丙中，铁块所受重力可以分解为下滑力和对斜面的压力D．图丁中，轰炸机水平匀速飞行中等时间隔投弹，不计空气阻力，所投炸弹落到平地的落地点不等间距3．人们有时用“打夯”的方式把松散的地面夯实，如图所示。

两人通过轻绳对重物施加拉力，重物离开地面一定高度后停止施力，最后重物自由下落把地面砸深。

不计空气阻力，下列说法正确的是（）A．停止施力后重物立即开始下落B．停止施力时重物的速度等于重物刚落到地面时的速度C．重物“砸”地面的力大于重物的重力D．重物先对地面产生作用力，然后地面再对重物产生作用力4．如图为自行车气嘴灯及其结构图，弹簧一端固定在A端，另一端栓接重物，当车轮高速旋转时，重物由于离心运动拉伸弹簧后才使触点M、N接触，从而接通电路，LED 灯就会发光。

下列说法正确的是（）A．气嘴灯做圆周运动时，重物受到重力、弹力和向心力的作用B．匀速行驶时，若LED灯转到最低点时能发光，则在最高点时也一定能发光C．增大重物质量可使LED灯在较低转速下也能发光D．B点比A更靠近车轮的转轴5．据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2022年9月1日18时26分，航天员陈冬成功开启问天实验舱气闸舱出舱舱门。

至19时09分，航天员陈冬、航天员刘洋成功出舱。

出舱的航天员与空间站形成的组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动，周期约90分钟。

浙江省G5联盟2024年高二4月期中物理试题含答案

绝密★考试结束前2023学年第二学期浙江G5联盟期中联考高二年级物理学科试题考生须知：1．本卷共8页满分100分，考试时间90分钟。

2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。

3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。

4．考试结束后，只需上交答题纸。

选择题部分一、选择题Ⅰ（本题共13小题，每小题3分，共39分。

每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．下列物理量中为矢量且单位符号正确的是（）A．电流（A）B．电场强度（C）C．磁通量（wb）D．磁感应强度（T）2．2024年2月27日，某电动垂直起降航空器完全模拟一家人从深圳蛇口邮轮母港飞至珠海九洲港码头，将单程2.5到3小时的地面车程缩短至20分钟。

该航空器最大航程250公里，最大巡航速度200公里/小时，最多可搭载5人，则下列说法中正确的是（）A．航程250公里代表位移B．最大巡航速度200公里/小时指的是瞬时速度C．计算航空器在两地飞行时间时不能视作质点D．航空器升空过程中，以某一乘客为参考系，其他乘客都向上运动3．下列说法符合物理学史的是（）A．奥斯特发现了电磁感应现象B．赫兹预言了电磁波的存在C．法拉第最先提出了微观领域的能量量子化概念D．英国物理学家卡文迪许测量出了引力常量G的数值4．质量为m的链球在抛出前的运动情景如图所示，假设在运动员的作用下，链球与水平面成一定夹角的斜面上从1位置匀速转动到最高点2位置，则链球从1位置到2位置的过程中下列说法正确的是（）A ．链球需要的向心力保持不变B ．链球在转动过程中机械能守恒C ．运动员的手转动的角速度等于链球的角速度D ．运动员的手转动的线速度大于链球的线速度5．如图所示，质量为m 的磁铁贴吸于固定的竖直金属板上，初始时作用于磁铁的推力F 既平行于水平面也平行于金属板，此时金属板对磁铁的作用力为1F 。

现保持推力F 的大小不变，将作用于磁铁的推力F 方向改为垂直金属板，此时金属板对磁铁作用力为2F 。

浙江省金华市卓越联盟2023-2024学年高二下学期5月期中联考物理试题

绝密★考试结束前2023学年第二学期金华市卓越联盟5月阶段性联考高二年级物理试题命题人：义乌三中审题人：兰溪五中考生须知：1．本卷共8页满分100分，考试时间90分钟。

2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。

3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。

4．考试结束后，只需上交答题纸。

选择题部分一、选择题Ⅰ（本题共13小题，每小题3分，共39分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．现代健身人群，常控制卡路里（cal ）的摄入来达到健身效果。

已知1cal 4.2J =下列用国际单位制中的基本单位来表示卡路里的单位正确的是（）A ．N m ⋅B ．N m s ⋅⋅C ．21kg m s -⋅⋅D ．22kg m s -⋅⋅ 2．下列高中物理教材中的插图涉及到光的全反射原理的是（）A ．甲图，水中气泡看上去特别明亮B ．乙图，火焰在肥皂膜上形成明暗相间条纹像C ．丙图，相机特制滤光片能减弱汽车玻璃表面反射光D ．丁图，显微镜下光经过大头针的图像3．如图，甲、乙、丙、丁分别为神州十六号载人飞船发射升空、箭船分离、太阳帆板张开以及舱内宇航员的照片，下列说法正确的是（）A ．甲图中火箭体积较大，所以不能看作质点B ．乙图中研究箭船分离姿态时，火箭和飞船都能看作质点C．丙图中研究太阳帆板张开时，可以将飞船看作质点D．丁图中研究宇航员在发射轨道上的位置时，可以将其看作质点4．如图所示，过玻璃球球心的平面内，一束红、蓝复合光入射到玻璃球表面。

a、b是该复合光经两次折射和一次反射后的出射光，则a、b两种光判断错误的是（）A．a一定是蓝光B．b一定是蓝光C．从玻璃球出射的折射角相等D．b在玻璃中传播时间一定大5．护鸟小卫士在学校的绿化带上发现一个鸟窝静止搁在3根对称的树叉之间，若鸟窝的质量为m，与3根树叉均接触，重力加速度为g，则可推断出（）A．鸟窝与树叉之间一定只有弹力的作用B．鸟窝所受重力与鸟窝对树叉的力是一对平衡力C．树叉对鸟窝的弹力指向鸟窝的重心D．3根树叉对鸟窝的合力大小等于m g6．在“研究温度不变时气体压强跟体积关系”的实验时，推动活塞，注射器内空气体积减小，多次测量得到注射器内气体的p V图线，如图实线是一条双曲线，虚线为实验所得图线。

2022-2023学年浙江省七彩阳光联盟高二下学期4月期中联考物理试题

2022-2023学年浙江省七彩阳光联盟高二下学期4月期中联考物理试题1.下列属于国际单位制中基本单位符号的是（）A．C B．A C．T D．V2.如图所示，几种器件分别是加油站静电释放器、可变电容器、真空冶炼炉、手机无线充电器，关于这几种器件下列说法正确的是（）A．在加油站给车加油前，要触摸一下静电释放器，是为了要利用静电B．图中可变电容器是通过转动动片使两组铝片的板间距离发生变化C．为使真空冶炼炉中金属熔化更容易，应当在线圈中通入较大恒定电流D．无线充电器给手机充电是利用电磁感应的互感现象3.从1985年开始，全国两会有在3月召开的惯例，今年中华人民共和国第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日在北京召开，某司机通过车载收音机收听相关新闻，他接收的无线电波频率是则下列说法中正确的是（）A．赫兹最早预言了电磁波的存在，并通过自己的实验证实了电磁波的存在B．无线电波的传播速度是340m/s，司机收听到的新闻信息比在人民大会堂实时信息有所滞后C．无线电波与光一样都是电磁波，都能发生干涉、衍射现象D．由于汽车外壳是金属，则在雷电天气，在空旷地面上人在车子里比在木屋里更不安全4. 2023年9月23日至2023年10月8日将在浙江杭州举行第19届亚运会，地处亚运村西南侧且相距约36公里的富阳区水上运动中心为亚运会赛艇、皮划艇（含静水、激流回旋）项目比赛场地及训练场地，同时通过布设不同的灯光、投影、水幕等，打造集大型水景秀、灯光秀、裸眼3D光影秀等场景为一体的夜游光影版《富春山居图》，呈现“五十里春江花月夜”盛景，夜游水上运动中心是游客一个不错的选择。

下列有关光的现象说法正确的是（）A．将蓝光与红光调到亮度一样时，在叠加区域可能发生干涉现象B．蓝光和红光在水中的传播速度不同，蓝光速度更大一些C．蓝光与红光以同一入射角斜射入水中，红光偏离原来方向的夹角更大D．电影院观看3D电影时，观众戴的眼镜就是一对透振方向互相垂直的偏振片5.如图所示四幅图片是教材中的插图，则下列说法中正确的是（）A．图甲中转动手柄使磁铁转动起来，由于电磁感应里面铝框也会跟着一起转动，稳定后铝框一定比磁铁转动慢B．图乙为一强磁小圆柱体从有裂缝的铝管中静止释放，因为铝管不闭合，强磁体做自由落体运动C．图丙为磁流体发电机，A极板相当于电源的正极D．图丁为显像管原理示意图，电子束向A点偏转，可知偏转线圈此时产生的磁场垂直纸面向里6.如图是某一弹簧振子做简谐运动的振动图像，根据图像，下列说法正确的是（）A．振幅为2m，周期为0.8sB．振子从B点开始振动0.9s的路程大于9cmC．振子在A、C、E、G点的加速度相同D．振子在B、D、F点时弹簧的弹性势能一定为07.平时我们所处的地球表面，实际上可将其视为电场强度大小为100V/m的匀强电场，在地面立一金属杆后空间中的等势面如图所示。

浙江省七彩阳光新高考研究联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考物理试题含答案

2023学年第二学期浙江七彩阳光新高考研究联盟期中联考高二年级物理学科试题（答案在最后）考生须知：1.本卷共8页，满分100分，考试时间90分钟。

2.题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。

3.有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。

4.试结束后，只需上交答题纸。

选择题部分一、选择题I（本题共13小题，每小题3分，共39分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，选对得3分，选错得0分）1.物理学中有很多以优秀物理学家名字命名的单位，下列几个单位中所对应的物理量是矢量的是（）A.特斯拉B.韦伯C.库仑D.安培【答案】A【解析】【详解】A．特斯拉是磁感应强度的单位，磁感应强度是矢量，A正确；B．韦伯是磁通量的单位，磁通量是标量，B错误；C．库仑是电量的单位，电量是标量，C错误；D．安培是电流强度的单位，电流强度是标量，D错误。

故选A。

2.物理学是一门以实验为基础的学科，很多生活中的应用都来自于物理学。

对于下列教材中所列的实验和生活用品，说法正确的是（）A.图甲中，两根通电方向相反的长直导线相互排斥，是通过电场的相互作用来实现的B.图乙中，人们常用电磁炉来吃火锅，是利用了电热丝加热的原理来给锅体供热的C.法拉第利用图丙所示的实验装置发现了电流的磁效应D.图丁中，生活中常用微波炉来加热食物，微波是一种电磁波，具有能量【答案】D【解析】【详解】A ．甲图中，两根通电方向相反的长直导线产生的磁场方向相反，所以两导线相互吸引，相互吸引的作用是通过磁场实现的，A 错误；B ．乙图中，电磁炉是利用电磁感应原理加热的，B 错误；C ．奥斯特利用丙图实验装置发现了电流的磁效应现象，C 错误；D ．丁图中，生活中常用微波炉来加热食物，微波是一种电磁波，微波具有能量，D 正确。

故选D 。

3.如图所示，等腰三角形ABC 中，底边AC 长为l ，30A C ∠=∠=︒．分别在A 、B 两点固定两个点电荷，已知固定在A 点的电荷为正电荷，电荷量为Q ．将一带正电的试探电荷放置在C 点，其受到的电场力垂直于AC 向上，已知静电力常量为k ，则固定在B 点的点电荷的电性以及C 点的电场强度大小分别是（）A.正由，23l B.负电，23lC.正电，23lD.负电，23l 【答案】B【解析】【分析】【详解】对电荷C 受力分析如图；可知B 点的电荷带负电；C 点场强22tan 3033C A Q E E kl l ==⋅= 故选B 。

杭州北斗联盟物理答案(高二)

2023学年第一学期杭州北斗联盟期中联考
高二年级物理学科参考答案
命题：淳安县第二中学吕娉审稿：富阳区新登中学朱文武
选择题部分
一、选择题Ⅰ（本题共13小题，每小题3分，共39分。

每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
题号12345678910111213答案
C
D
B
A
C
C
D
C
D
B
C
B
D
二、选择题Ⅱ（本题共2小题，每小题3分，共6分。

全部选对的得3分，选对但不选全的得2分，有选错的得0分）
题号1415答案
AB
AD
非选择题部分
三、非选择题（本题共6小题，共55分）
16.（每空2分）（1）BC （2）AD （3）丙9.517.（每空2分）（1）0.600（0.598-0.602均可）（2）甲
（3）（4）C
18.（9分）【答案】（1）3m/s 2，方向沿斜面向下；（2）
；（3）2m ，【详解】（1）外力未撤掉时物体斜面上运动的加速度大小为a 1，根据牛顿第二定律可得
11
sin30cos30F mg mg ma μ+︒-︒=（1分）。

浙江省杭州市北斗联盟2023-2024学年高二上学期期中联考物理试题含解析

2023学年第一学期杭州北斗联盟期中联考高二年级物理学科试题（答案在最后）考生须知：1.本卷共8页满分100分，考试时间90分钟。

2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。

3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。

4.考试结束后，只需上交答题纸。

选择题部分一、选择题I （本题共13小题，每小题3分，共39分。

每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.下列物理量中为标量的是（）A.加速度B.库仑力C.电势D.电场强度【答案】C 【解析】【详解】A ．加速度是既有大小又有方向的矢量，故A 错误；B ．库仑力是既有大小又有方向的矢量，故B 错误；C ．电势是只有大小没有方向的标量，故C 正确；D ．电场强度是既有大小又有方向的矢量，故D 错误。

故选C 。

2.用国际单位制的基本单位表示电场强度的单位，下列正确的是（）A.N/CB.V/mC.kg•m/（C•s 2）D.kg•m/（A•s 3）【答案】D 【解析】【详解】电场强度FE q=，电场力的单位为N ，电量的单位为C ，所以电场强度的单位是N/C ，而23/1/11/kg m s N C kg m A s A s⋅==⋅⋅⋅，D 正确．3.杭州第19届亚运会将于2023年9月23日-10月8日在杭州举行，下列有关运动项目的描述正确的是（）A.自行车比赛中，研究自行车车轮的转动时自行车可视为质点B.篮球比赛中，篮球在空中飞行和进篮时惯性不变C.跳水运动员下落时，运动员看到水面迎面扑来，是选择水面为参考系的缘故D.蹦床比赛中，运动员刚接触蹦床时的速度最大【答案】B【解析】【详解】A．自行车比赛中，研究自行车车轮的转动时，自行车大小形状不可忽略，不可视为质点，故A错误；B．篮球比赛中，篮球在空中飞行和进篮时质量不变，惯性不变，故B正确；C．跳水运动员下落时，运动员看到水面迎面扑来，是自己为参考系的缘故，故C错误；D．蹦床比赛中，运动员刚接触蹦床时重力大于蹦床的弹力，继续下降，当其重力等于蹦床的弹力时，速度最大，故D错误。

杭州北斗联盟2024年高二上学期期中联考物理答案

绝密★考试结束前2024学年第一学期杭州北斗联盟期中联考高二年级物理学科参考答案一、选择题题号123456789101112131415答案D D C C B B C D A C D A C BC CD非选择题部分16．（1）左（2）C（3）3.7（4）C（5）D17．（1）（a）C（b）×1090（2）0.289或0.290或0.291a B24I（3）（a）正极（b）5.06或5.07或5.08，0.10或0.11（保留两位小数）18．【答案】（1）20m/s（2）160N(3)0.5【详解】（1）该同学从静止开始沿斜直雪道匀变速下滑，进入水平雪道，匀减速滑行停下，由X AB＝12（0+V m）t解得最大速度v m=20m/s-----------(2分)（2）该同学和滑雪板在斜直雪道AB上的加速度大小a=v m t2=206m/s2=103m/s2-----------(1分)由牛顿第二定律可得该同学和滑雪板在斜直雪道上受到的平均阻力Ff的大小mgsin37°-F f=ma得F f=160N-----------(2分)（3）设水平雪道的加速度为a’末端的速度大小为，则v m2−v12=2a’x解得a’=2.5m/S2F f’=ma解得得F f'=150N-----------(2分)该同学在水平面上的运动，x1=60m设防滑毯上滑动x2=10m−F f’X1−μmgX2=0−12mV2解得μ=0.5-----------(2分)高二物理学科试题第1页(共××页)高二物理学科试题第2页(共××页)19.【答案】（1）f 0.4N F =；（2）0.58N F =；（3）0.348W P =【详解】（1）设绳子拉力为1T ，对物体A 由受力平衡可得:1A sin T m g θ=-----(1分)对物体B 由受力平衡可得1f T qE F =+-----(1分)联立解得f 0.4N F =----(1分)（2）对物体A 施加沿斜面向下的恒定拉力F 后，设绳子拉力为2T ，由牛顿第二定律得A 2A sin F m g T m a θ+-=----(1分)2B B T m g qE m a μ--=----(1分)联立解得0.58N F =----(1分)（3）由电场力做功和电势能变化关系有p 0.06JE W qEd ∆=-==电解得0.3m d =----(1分)由运动学公式有v 2=2ax解得0.6m /s v =----(1分)则A 到达N 点时拉力F 的瞬时功率为P Fv =解得0.348W P =----(1分)20．【答案】（1）；（2），；（3）≤H≤，小滑块最终停在点【详解】（1）刚好可以绕环内侧做完整的圆周运动，可知在圆环轨道最高点时有mg =mv D 2R解得v D =gR =2m/s----(2分)（2）小滑块从点第一次到达点过程，根据动能定理可得mg ⋅2R −μmgL =12mv E 2−12mv D2解得v E =3m/s ----(1分)滑块在传送带上的加速度大小为a =μmgm=2.5m/s 2小滑块首次滑上传送带速度减为零时与点的距离为x 1=v E22a =1.8m----(2分)由于v E =3m/s >v =2m/s可知小滑块速度减为零后，反向加速到与传送带共速，接着做匀速直线运动回到点；小滑块第一次在传送带上向右减速到速度为零所用时间为t 1=v E a=1.2s该过程小滑块与传送带发生的相对位移为Δx 1=x 1+x 传=x 1+vt 1=4.2m 小滑块开始向左加速到与传送带共速所用时间为t 2=v a=0.8s该过程小滑块与传送带发生的相对位移为Δx 2=x '传−x 2=vt 2−v2t 2=0.8m则小滑块首次滑上传送带并返回点的过程中，与传送带间因摩擦产生的热量为Q =μmg(Δx 1+Δx 2)=2.5J----(2分)（3）为保证小滑块始终不脱离轨道，并能滑上传送带，可知滑块首次进入竖直圆环轨道一定得经过点，滑块刚好经过点时对应的高度为，从释放到点过程，根据动能定理可得mgH 1−μmgcos θ⋅H 1sin θ−mg ⋅2R =12mv D2解得H 1=----(2分)高二物理学科试题第3页(共××页)根据以上分析可知，小滑块第一次从传送带上返回点时速度为，设小滑块第一次返回圆环轨道的高度低于圆心处高度，则有−μmgL −mg ℎ=0−12mv 2解得ℎ=0.15m <R =2m 假设成立；设小滑块第一次滑上传送带到达点速度刚好为零，此时对应释放高度为，根据动能定理可得mgH 2−μH 2θ−μmgL −μmg ⋅EF =0−0解得H 2=----(2分)综上分析可知，当小滑块从倾斜轨道上静止释放的高度应满足≤H ≤小滑块能滑上传送带，并始终不脱离轨道，且小滑块从传送带上第一次返回到点前已经与传送带共速，即第一次返回点的速度大小为，小滑块从圆环轨道返回再次滑上传送带的速度小于，根据对称性可知，之后每次从传送带上返回点速度大小都等于滑上传送带时的速度大小，最终小滑块将停在水平粗糙直轨道上，设小滑块从传送带上第一次返回点到最终停下，在上通过的路程为，则有−μmgs =0−12mv 2解得s =0.8m =4L 可知小滑块最终停在点。

2022-2023学年浙江省北斗联盟高二(下)期中数学试卷【答案版】

2022-2023学年浙江省北斗联盟高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ={−2，−1，0，1，2}，B ={x|−√3≤x ≤1}，则A ∩B ＝（） A ．{﹣2，﹣1，0，1} B ．{﹣1，0，1}C ．{0，1}D ．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．设复数z 满足z •（1+2i ）＝5，则z 的虚部是（） A ．2B ．2iC ．﹣2D ．﹣2i3．沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如右图）．在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的．已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需总时长为1小时，当上方圆锥中沙子漏至圆锥高度的一半时，所需时间为（）A ．13小时B ．78小时C ．2627小时D ．89小时4．平面向量a →与b →相互垂直，已知a →=（6，﹣8），|b →|=5，且b →与向量（1，0）的夹角是钝角，则b →=（） A ．（﹣3，﹣4） B ．（4，3）C ．（﹣4，3）D ．（﹣4，﹣3）5．定义运算：|a 1a 2a3a 4|=a 1a 4﹣a 2a 3，将函数f （x ）=|√3cos x21sin x 2|的图象向左平移m （m ＞0）的单位后，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（） A ．π3B ．2π3C ．4π3D ．7π36．概率论起源于博弈游戏.17世纪，曾有一个“赌金分配“的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定，各出赌金48枚金币，先赢3局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局．向这96枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率“的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（）A ．甲48枚，乙48枚B ．甲64枚，乙32枚C ．甲72枚，乙24枚D ．甲80枚，乙16枚7．若a ＝log 23，b ＝log 34，c ＝log 45，则a 、b 、c 的大小关系是（） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a8．已知函数f(x)=|x|e x ，若关于x 的方程f 2（x ）﹣mf （x ）﹣m +1＝0恰有4个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（） A ．(1，1+1e )B ．(1−1e ，1)C ．(1，e 2+1e 2−1)D ．(e 2+1e 2+e，1)二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知数列{a n }，下列结论正确的有（） A ．若a 1＝2，a n +1＝a n +n +1，则a 3＝7 B ．若a 1＝1，a n +1＝3a n +2，则a 4＝53 C ．若S n =3n +12，则数列{a n }是等比数列D ．若a 1=1，a n+1=2a n2+a n(n ∈N ∗)，则a 5=1510．如图所示，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，Q 为DB 的中点，直线A 1C 交平面C 1BD 于点M ，则下列结论正确的是（）A ．C 1，M ，Q 三点共线B ．A 1C ⊥平面C 1BDC ．直线A 1C 1与平面ABC 1D 1所成角的为π6D ．直线A 1C 和直线BC 1是共面直线11．已知顶点在原点O 的抛物线x 2＝2py ，（p ＞0），过抛物线焦点F 的动直线l 交抛物线于A 、B 两点，当直线l 垂直于y 轴时，△ABO 面积为8．下列结论正确的是（） A ．抛物线方程为x 2＝8yB ．若AB ＝12，则AB 的中点到x 轴距离为4C ．△ABO 有可能为直角三角形D ．|AF |+4|BF |的最小值为1812．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个命题：平面内与两定点的距离的比为常数k（k＞0且k≠1）的点的轨迹为圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知O（0，0），A（3，0），圆C：（x﹣2）2+y2＝r2（r＞0）上有且只有一个点P满足|P A|＝2|PO|．则r的取值可以是（）A．1B．2C．3D．4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，且a3+a6＝40，S2＝10，则a1＝．14．写出一个满足下列条件的正弦型函数：f（x）＝．（1）最小正周期是π；（2）f（x）在[0，π4]上单调递增；（3）∀x∈R，都存在x0使得f（x）≤f（x0）＝2．15．点F1是抛物线C：y2＝4x的焦点，点F2为抛物线C的对称轴与其准线的交点，过F2作抛物线C的切线，切点为A，若点A恰好在以F1，F2为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为．16．已知△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA＝EB＝3，AD＝2，∠AEB＝60°，则多面体E﹣ABCD的外接球的表面积为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知：b=√5，c=√2，∠B＝45°．（1）求边BC的长和三角形ABC的面积；（2）在边BC上取一点D，使得cos∠ADB=45，求tan∠DAC的值．18．（12分）为了应对国家电网用电紧张的问题，了解我市居民用电情况，我市统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：kW•h），并将得到数据按如下方式分为9组：[0，40），[40，80），…，[320，360]，绘制得到如下的频率分布直方图：（1）试估计抽查样本中用电量在[160，200）的用户数量；（2）为了解用户的具体用电需求，统计部门决定在样本中月均用电量为[0，40）和[320，360]的两组居民用户中随机抽取两户进行走访，求走访对象来自不同的组的概率． 19．（12分）已知数列{a n }满足a 1+2a 2+3a 3+…+na n ＝（n ﹣1）•2n +1+2（n ∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式：（2）设b n =an(a n +1)(a n+1+1)，求数列{b n }}的前n 项和S n ．20．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，点B 1在底面ABC 内的射影恰好是点C ，D 是AC 的中点，且满足DA ＝DB ．（1）求证：AB ⊥平面BCC 1B 1；（2）已知AC ＝2BC ＝2，直线BB 1与底面ABC 所成角的大小为π3，求二面角C ﹣BD ﹣C 1的大小．21．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1过点M(3，√2)，且右焦点为F （2，0）．（1）求双曲线C 的方程：（2）过点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，交y 轴于点P ，若PA →=mAF →，PB →=nBF →，求证：m +n 为定值．（3）在（2）的条件下，若点Q 是点P 关于原点O 的对称点，求三角形QAB 的面积的取值范围． 22．（12分）已知函数f （x ）＝alnx +1x，a ∈R ．（1）当a ＝1时，求函数f （x ）的单调区间；（2）若f （x ）有经过原点的切线，求a 的取值范围及切线的条数，并说明理由．（3）设函数g （x ）＝f （x ）﹣x 的两个极值点分别为x 1，x 2，且满足g(x 1)−g(x 2)x 1−x 2≤2ee 2−1a ﹣2，求实数a 的取值范围．2022-2023学年浙江省北斗联盟高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ={−2，−1，0，1，2}，B ={x|−√3≤x ≤1}，则A ∩B ＝（） A ．{﹣2，﹣1，0，1} B ．{﹣1，0，1}C ．{0，1}D ．{﹣2，﹣1，0，1，2}解：因为A ={−2，−1，0，1，2}，B ={x|−√3≤x ≤1}，则A ∩B ＝{﹣1，0，1}．故选：B ．2．设复数z 满足z •（1+2i ）＝5，则z 的虚部是（） A ．2B ．2iC ．﹣2D ．﹣2ij 解：因为z •（1+2i ）＝5，所以z =51+2i =5(1−2i)(1+2i)(1−2i)=1−2i ，所以z 的虚部是﹣2．故选：C ．3．沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如右图）．在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的．已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需总时长为1小时，当上方圆锥中沙子漏至圆锥高度的一半时，所需时间为（）A ．13小时B ．78小时C ．2627小时 D ．89小时解：如图，依题意可知R ＝2r ，V 大=13πR 2ℎ=43πr 2ℎ，V 小=13πr 2⋅12ℎ=16πr 2ℎ， ∴V 大−V 小V 大=78，1小时×78=78小时，故选：B ．4．平面向量a →与b →相互垂直，已知a →=（6，﹣8），|b →|=5，且b →与向量（1，0）的夹角是钝角，则b →=（） A ．（﹣3，﹣4）B ．（4，3）C ．（﹣4，3）D ．（﹣4，﹣3）解：平面向量a →与b →相互垂直，a →=（6，﹣8），|b →|=5，且b →与向量（1，0）的夹角是钝角，设b →=（x ，y ），则{a →⋅b →=6x −8y =0x 2+y 2=25，解得{x =4y =3或{x =−4y =−3，设c →=（1，0），当b →=（4，3）时，此时cos ＜b →，c →＞=b →⋅c→|b →|⋅|c →|=45＞0，∵向量夹角范围为[0，π]，∴此时夹角为锐角，舍去，当b →=（﹣4，﹣3）时，此时cos ＜b →，c →＞=b →⋅c→|b →|⋅|c →|=−45＜0，∴此时夹角为钝角．故选：D ． 5．定义运算：|a 1a 2a3a 4|=a 1a 4﹣a 2a 3，将函数f （x ）=|√3cos x21sinx 2|的图象向左平移m （m ＞0）的单位后，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（） A ．π3B ．2π3C ．4π3D ．7π3解：将函数f （x ）=|√3cos x21sinx 2|=√3sin x 2−cos x 2=2sin （x 2−π6）的图象向左平移m （m ＞0）个单位长度后，所得图象对应的函数的解析式为y ＝2sin[12（x +m ）−π6]＝2sin （12x +12m −π6）．再根据所得图象关于y 轴对称，可得12m −π6=k π+π2，即m ＝2k π+4π3，k ∈z ，则m 的最小值是4π3，故选：C ．6．概率论起源于博弈游戏.17世纪，曾有一个“赌金分配“的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定，各出赌金48枚金币，先赢3局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局．向这96枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率“的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（） A ．甲48枚，乙48枚 B ．甲64枚，乙32枚C ．甲72枚，乙24枚D ．甲80枚，乙16枚解：根据题意，前三局比赛中，博弈水平相当的甲、乙，即两人获胜的概率均为12，假设两人继续进行比赛：甲获取96枚金币的概率P 1=12+12×12=34，乙获取96枚金币的概率P 2=12×12=14，则甲应该获得96×34=72枚金币；乙应该获得96×14=24枚金币；故选：C ．7．若a ＝log 23，b ＝log 34，c ＝log 45，则a 、b 、c 的大小关系是（） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a解：∵a ＝log 23＞log 22√2=32， b ＝log 34＜log 33√3=32，∴a ＞b ， ∵44＞35，∴4log 34＞5，∴b ＝log 34＞54， ∴c ＝log 45＜log 44√2=54，∴b ＞c ， ∴a ＞b ＞c ，故选：D ．8．已知函数f(x)=|x|e x ，若关于x 的方程f 2（x ）﹣mf （x ）﹣m +1＝0恰有4个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（） A ．(1，1+1e)B ．(1−1e，1)C ．(1，e 2+1e 2−1)D ．(e 2+1e 2+e，1)解：当x ≥0时，f （x ）=xe x ≥0，f （0）＝0，f ′（x ）=1−xe x ，由f ′（x ）＞0得0＜x ＜1，此时函数为增函数，由f ′（x ）＜0得x ＞1，此时函数为减函数，且当x →+∞，f （x ）→0，即当x ＝1时，f （x ）取得极大值f （1）=1e，当x ＜0时，f （x ）=−xe x ＞0，f ′（x ）=−1−x e x =x−1ex ＜0，恒成立，即此时f （x ）为减函数，且当x →﹣∞，f （x ）→+∞．则f （x ）的图象如图：设f （x ）＝t ，则由图象知，当t ＞1e 或t ＝0时，方程f （x ）＝t 有1个解，当t =1e时，方程f （x ）＝t 有2个解，当0＜t ＜1e时，方程f （x ）＝t 有3个解．当t ＜0时，方程f （x ）＝t 有0个解．f 2（x ）﹣mf （x ）﹣m +1＝0恰有4个不相等的实数根，即t 2﹣mt ﹣m +1＝0有两个不同的根，当t ＝0时，m ＝1，此时方程为t 2﹣t ＝0，得t ＝0或t ＝1，此时方程f 2（x ）﹣mf （x ）﹣m +1＝0只有2个根，不满足条件．则t 2﹣mt ﹣m +1＝0有两个不同的根，其中t 1＞1e 或0＜t 2＜1e 时，设g （t ）＝t 2﹣mt ﹣m +1，则{ g(0)=1−m ＞0g(1e )=1e 2−m e −m +1＜0−−m 2=m 2＞0，即{m ＜1m ＞1+e2e 2+e m ＞0，即e 2+1e 2+e ＜m ＜1，即实数m 的取值范围是（e 2+1e 2+e，1）．故选：D ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知数列{a n }，下列结论正确的有（） A ．若a 1＝2，a n +1＝a n +n +1，则a 3＝7 B ．若a 1＝1，a n +1＝3a n +2，则a 4＝53 C ．若S n =3n +12，则数列{a n }是等比数列D ．若a 1=1，a n+1=2a n2+a n(n ∈N ∗)，则a 5=15解：对于A ，由a 1＝2．a n +1＝a n +n +1可得，a 2＝4，a 3＝7．正确；对于B ，由a 1＝1，a n +1＝3a n +2可得，a 2＝5，a 3＝17，a 4＝53．正确；对于C ，由S n ＝3n +12可得，a 1＝S 1=72，a 2＝S 2﹣S 1＝6，a 3＝S 3﹣S 2＝18，显然a 22≠a 1a 3，所以数列{a n }不是等比数列，错误．对于D ，由a 1＝1，a n +1=2a n 2+a n 可得，a 2=23，a 3=12，a 4=25，a 5=13，错误．故选：AB ．10．如图所示，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，Q 为DB 的中点，直线A 1C 交平面C 1BD 于点M ，则下列结论正确的是（）A ．C 1，M ，Q 三点共线B ．A 1C ⊥平面C 1BDC ．直线A 1C 1与平面ABC 1D 1所成角的为π6D ．直线A 1C 和直线BC 1是共面直线解：由于A 1C 为正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体对角线，A 1C 在平面ACC 1A 1内，据此可得平面ACC 1A 1⊥平面BC 1D 于C 1Q ，又A 1C 交平面C 1BD 于点M ，故点M 在C 1Q 上，故A 项正确；很明显BD ⊥平面ACC 1A 1，A 1C ⊂平面ACC 1A 1，故A 1C ⊥BD ，同理，A 1C ⊥BC 1，BD ∩BC 1于点B ，故A 1C ⊥平面C 1BD ，故B 项正确；设正方体的棱长为1，直线A 1C 与平面ACC 1A 1的夹角为θ，则A 1C 1=√2，点A 1到平面ACC 1A 1的距离为12A 1D =√22，故sinθ=12，θ=π6，C 项正确；直线A 1C 与直线BC 1为异面直线，故D 项错误．故选：ABC ．11．已知顶点在原点O 的抛物线x 2＝2py ，（p ＞0），过抛物线焦点F 的动直线l 交抛物线于A 、B 两点，当直线l 垂直于y 轴时，△ABO 面积为8．下列结论正确的是（） A ．抛物线方程为x 2＝8yB ．若AB ＝12，则AB 的中点到x 轴距离为4C ．△ABO 有可能为直角三角形D ．|AF |+4|BF |的最小值为18解：当直线l 垂直于y 轴时，△ABO 面积为p 22=8，p ＝4，故A 正确；若AB ＝12，则A 、B 两点到准线距离之和为12，则AB 的中点到准线距离为6，故AB 的中点到x 轴距离为6﹣2＝4，B 正确；设直线AB ：y ＝kx +2，联立x 2＝8y ，可得x 2﹣8kx ﹣16＝0，由韦达定理知x 1x 2＝﹣16，y 1y 2=x 128⋅x 228=(x 1x 2)264=4，所以OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=−12＜0，故∠AOB ＞90°．一定是钝角三角形，C 错误；|AF|+4|BF|=y 1+2+4(y 2+2)=y 1+4y 2+10≥2√4y 1y 2+10=18，D 正确．故选：ABD ．12．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个命题：平面内与两定点的距离的比为常数k （k ＞0且k ≠1）的点的轨迹为圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知O （0，0），A （3，0），圆C ：（x ﹣2）2+y 2＝r 2（r ＞0）上有且只有一个点P 满足|P A |＝2|PO |．则r 的取值可以是（） A ．1B ．2C ．3D ．4解：设P （x ，y ），由|P A |＝2|PO |，得（x ﹣3）2+y 2＝4x 2+4y 2，整理得（x +1）2+y 2＝4，又点P 是圆C ：（x ﹣2）2+y 2＝r 2（r ＞0）上有且仅有的一点，所以两圆相切，圆（x +1）2+y 2＝4的圆心坐标为（﹣1，0），半径为2，圆C ：（x ﹣2）2+y 2＝r 2（r ＞0）的圆心坐标为（2，0），半径为r ，两圆的圆心距为3，当两圆外切时，r +2＝3，得r ＝1，当两圆内切时，|r ﹣2|＝3，得r ＝5．故选：A ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且a 3+a 6＝40，S 2＝10，则a 1＝52．解：由题意可得{2a 1+7d =a 3+a 6=402a 1+d =S 2=10，解得a 1=52．故答案为：52．14．写出一个满足下列条件的正弦型函数：f （x ）＝ 2sin(2x −π4) （答案不唯一，f （x ）＝2sin （2x +φ），−π2+2k π≤φ≤2k π，k ∈Z 都可以）．（1）最小正周期是π；（2）f （x ）在[0，π4]上单调递增；（3）∀x ∈R ，都存在x 0使得f （x ）≤f （x 0）＝2．解：设f （x ）＝A sin （ωx +φ），A ＞0，ω＞0，因为∀x ∈R ，都存在x 0使得f （x ）≤f （x 0）＝2，所以f （x ）mx ＝2，所以A ＝2，因为f （x ）最小正周期为π，所以T =π=2πω，ω＝2，则f （x ）＝2sin （2x +φ ）， x ∈[0，π4]，2x +φ∈[φ，φ+π2]，因为f （x ）在[0，π4]上单调递增，所以∃k ∈Z ，[φ，φ+π2]⊆[−π2+2kπ，π2+2kπ]，所以−π2+2kπ≤φ≤2kπ，当k ＝0时，−π2≤φ≤0，不妨取φ=−π4，此时f(x)=2sin(2x −π4)．故答案为：2sin(2x −π4) （答案不唯一，f （x ）＝2sin （2x +φ），−π2+2k π≤φ≤2k π，k ∈Z 都可以） 15．点F 1是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点F 2为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过F 2作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以F 1，F 2为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为 √2−1 ．解：由题意知F 1（1，0），F 2（﹣1，0），不妨设A （x x ，y 0）．（y 0＞0），则A 在函数y =2√x 上，故y ′=1√x ，所以k AF 2=y 0x 0+1=2√x 0x 0+1=1x ，所以切线AF 2的方程为y ﹣y 0=1x （x ﹣x 0），直线过F 2，则﹣2√x 0=1x （﹣1﹣x 0），解得x 0＝1，所以A （1，2），|AF 1|＝2，|AF 2|＝2√2，又点A 恰好在以F 1，F 2为焦点的椭圆上，所以2a ＝|AF 1|+|AF 2|＝2+2√2，2c ＝2，所以e =2c2a =22+22=√2−1．故答案为：√2−1．16．已知△EAB 所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，EA ＝EB ＝3，AD ＝2，∠AEB ＝60°，则多面体E ﹣ABCD 的外接球的表面积为 16π ．解：设球心到平面ABCD 的距离为d ，则∵△EAB 所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，EA ＝EB ＝3，∠AEB ＝60°， ∴E 到平面ABCD 的距离为3√32， ∴R 2＝（√4+92）2+d 2＝12+（3√32−d ）2，∴d =√32，R 2＝4，∴多面体E ﹣ABCD 的外接球的表面积为4πR 2＝16π．故答案为：16π．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知：b =√5，c =√2，∠B ＝45°．（1）求边BC 的长和三角形ABC 的面积；（2）在边BC 上取一点D ，使得cos ∠ADB =45，求tan ∠DAC 的值．解：（1）在△ABC 中，由余弦定理知，b 2＝a 2+c 2﹣2ac •cos B ， ∴5＝a 2+2﹣2√2a ×√22，解得a ＝3或﹣1（舍），∴BC ＝3，∴△ABC 的面积S =12ac •sin B =12×3×√2×√22=32．（2）在△ABC 中，由正弦定理知，bsinB=c sinC，∴√5sin45°=√2sinC，∴sin C =√55，∵b=√5＞c=√2，∴C为锐角，cos C=2√5 5，∵cos∠ADB=45，∴sin∠ADB=35，∴sin∠DAC＝sin（∠ADB﹣∠C）＝sin∠ADB•cos∠C﹣cos∠ADB•sin∠C=35×2√55−45×√55=2√525，由图可知，∠DAC为锐角，∴cos∠DAC=11√5 25，∴tan∠DAC=sin∠DACcos∠DAC=211．18．（12分）为了应对国家电网用电紧张的问题，了解我市居民用电情况，我市统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：kW•h），并将得到数据按如下方式分为9组：[0，40），[40，80），…，[320，360]，绘制得到如下的频率分布直方图：（1）试估计抽查样本中用电量在[160，200）的用户数量；（2）为了解用户的具体用电需求，统计部门决定在样本中月均用电量为[0，40）和[320，360]的两组居民用户中随机抽取两户进行走访，求走访对象来自不同的组的概率．解：（1）由直方图可得，样本落在[0，40），[40，80），[80，120），[120，160）的频率分别为0.02，0.15，0.27，0.23，落在[200，240），[240，280），[280，320），[320，360]的频率分别为0.09，0.06，0.04，0.01．因此，样本落在[160，200）的频率为：1﹣（0.02+0.15+0.27+0.23+0.09+0.06+0.04+0.01）＝0.13样本中用电量在[160，200）的用户数为200×0.13＝26；（2）由题可知，样本中用电量在[0，40）的用户有4户，设编号分别为1，2，3，4；在[320，360]的用户有2户，设编号分别为a，b，则从6户中任取2户的样本空间为：Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（1，a），（1，b），（2，3），（2，4），（2，a），（2，b），（3，4），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b），（a，b）}，共有15个样本点．设事件A＝“走访对象来自不同分组”，则A ＝{（1，a ），（1，b ），（2，a ），（2，b ），（3，a ），（3，b ），（4，a ），（4，b ）}，所以n （A ）＝8，从而P(A)=n(A)n(Ω)=815． 19．（12分）已知数列{a n }满足a 1+2a 2+3a 3+…+na n ＝（n ﹣1）•2n +1+2（n ∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式：（2）设b n =a n(a n +1)(a n+1+1)，求数列{b n }}的前n 项和S n ．解：（1）∵a 1+2a 2+3a 3+…+na n ＝（n ﹣1）•2n +1+2（n ∈N *）， ∴当n ≥2时，有a 1+2a 2+3a 3+…+（n ﹣1）a n ﹣1＝（n ﹣2）•2n +2，两式相减得：na n ＝（n ﹣1）•2n +1﹣（n ﹣2）•2n ＝n •2n ，即a n ＝2n ，n ≥2，又当n ＝1时，有a 1＝2也适合上式， ∴a n ＝2n ；（2）由（1）可得：b n =a n (a n +1)(a n+1+1)=2n(2n +1)(2n+1+1)=12n +1−12n+1+1， ∴S n =121+1−122+1+122+1−123+1+⋯+12n +1−12n+1+1=13−12n+1+1．20．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，点B 1在底面ABC 内的射影恰好是点C ，D 是AC 的中点，且满足DA ＝DB ．（1）求证：AB ⊥平面BCC 1B 1；（2）已知AC ＝2BC ＝2，直线BB 1与底面ABC 所成角的大小为π3，求二面角C ﹣BD ﹣C 1的大小．（1）证明：D 是AC 的中点，DA ＝DB ，所以AB ⊥BC ，因为B 1在底面ABC 内的射影恰好是点C ，所以B 1C ⊥平面ABC ，因为AB ⊂平面ABC ，所以AB ⊥B 1C ，因为BC ∩B 1C ＝C ，BC ⊂平面BCC 1B 1，B 1C ⊂平面BCC 1B 1，所以AB ⊥平面BCC 1B 1．（2）解：设BC 1∩B 1C ＝F ，取BD 中点E ，连接EF 、EC ，因为AC ＝2BC ＝2，所以BC ＝BD ＝CD ＝1，所以CE ⊥BD ，由（1）知FC ⊥平面ABC ，所以CE 是EF 在平面ABC 内投影，所以BD ⊥EF ，所以∠FEC 是二面角C ﹣BD ﹣C 1的平面角，由（1）知B 1C ⊥平面ABC ，所以BC 是BB 1在平面ABC 内投影，所以∠B 1BC 是直线BB 1与底面ABC 所成角，∠B 1BC =π3，所以B 1C ＝BC •tan π3=√3，因为四边形BB 1C 1C 是平行四边形，所以FC =12•B 1C =√32，又因为CE ＝BC •sin60°=√32，所以FC ＝CE ，因为FC ⊥CE ，所以∠FEC ＝45°．故二面角C ﹣BD ﹣C 1的大小45°．21．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1过点M(3，√2)，且右焦点为F （2，0）．（1）求双曲线C 的方程：（2）过点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，交y 轴于点P ，若PA →=mAF →，PB →=nBF →，求证：m +n 为定值．（3）在（2）的条件下，若点Q 是点P 关于原点O 的对称点，求三角形QAB 的面积的取值范围．（1）解：∵右焦点为F （2，0），∴左焦点为F ′（﹣2，0）． ∵双曲线过M(3，√2)，∴2a ＝|MF ′|﹣|MF |=√(3+2)2+(√2)2−√(3−2)2+(√2)2=√27−√3=2√3，得a =√3，则b 2＝c 2﹣a 2＝4﹣3＝1，则双曲线方程为x 23−y 2=1．（2）证明：双曲线的渐近线为y =±√33x ，由题意得直线l 的斜率存在，且|k |＞√33，设直线l ：x ＝ty +2，t =1k，0＜|t |＜√3，将x ＝ty +2代入x 23−y 2=1消去x 可得：（3﹣t 2）y 2﹣4ty ﹣1＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则判别式Δ＞0，且y 1+y 2=4t 3−t 2，y 1y 2=−13−t 2，而点P （0，−2t ），则PA →=（x 1，y 1+2t ），AF →=（2﹣x 1，﹣y 1）， ∵PA →=mAF →，PB →=nBF →，∴y 1+2t =−my 1，则m ＝﹣1−2ty 1，同理n ＝﹣1−2ty 2，则m +n ＝﹣1−2ty 1−1−2ty 2=−2−2t ⋅y 1+y 2y 1y 2=−2−2t ⋅4t3−t 2−13−t 2=−2+8＝6为定值．（3）解：由（2）可得Q （0，2t），|PQ |=4|t|，|y 1﹣y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√16t 2(3−t 2)2+43−t 2=2√3⋅√1+t 23−t 2， S △QAB ＝|S △APQ ﹣S △BPQ |=12|PQ |•|x 1﹣x 2|=2|t|•|ty 1﹣ty 2|=4√3⋅√1+t 23−t 2=434√1+t −√1+t ，∵0＜|t |＜√3，令u =√1+t 2∈（1，2），而函数y =4u−u 在（1，2）上为减函数， ∴0＜4u −u ＜3， ∴04√1+t √1+t 2＜3，则S △QAB =434√1+t 2−√1+t4√33，即三角形QAB 的面积的取值范围是（4√33，+∞）． 22．（12分）已知函数f （x ）＝alnx +1x ，a ∈R ．（1）当a ＝1时，求函数f （x ）的单调区间；（2）若f （x ）有经过原点的切线，求a 的取值范围及切线的条数，并说明理由．（3）设函数g （x ）＝f （x ）﹣x 的两个极值点分别为x 1，x 2，且满足g(x 1)−g(x 2)x 1−x 2≤2ee 2−1a ﹣2，求实数a 的取值范围．解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝lnx +1x ，x ＞0，∴f′（x）=1x−1x2=x−1x2，当x＞1时，f′（x）＞0，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；（2）f（x）＝alnx+1x，x＞0，显然原点不在曲线上，设切点为（x0，y0），∵f′（x）=ax−1x2=ax−1x2，∴f′（x0）=ax0−1x02=y0x0=alnx0+1x0x0，∴a−1x0=alnx0+1x，即a（1﹣lnx0）=2x，显然a≠0，∴2a=x0﹣x0lnx0，设g（x）＝x﹣xlnx，∴g′（x）＝1﹣（1+lnx）＝﹣lnx，当x＞1时，g′（x）＜0，当0＜x＜1时，g′（x）＞0，∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴g（x）max＝g（1）＝1，∴当2a＞1，即0＜a＜2时，不存在切线；当a＝0时，f（x）=1x，此时不存在过原点的切线，当2a =1或2a＜0，即a＝2或a＜0时，有且仅有一条切线，当0＜2a＜1，即a＞2时，存在两条切线；综上所述：0≤a＜2时，不存在切线，a＝2或a＜0时，有且仅有一条切线，a＞2时，存在两条切线．（3）g（x）＝f（x）﹣x＝alnx+1x−x，x＞0，∴g′（x）=ax−1x2−1=−x2+ax−1x2=−x2−ax+1x2，∵x1，x2是函数g（x）的两个极值点，∴x1，x2是方程x2﹣ax+1＝0的两个正根，∴{Δ=a 2−4＞0x 1+x 2=a ＞0x 1x 2=1，即a ＞2，x 1+x 2＝a ，x 1x 2＝1，不妨设0＜x 1＜1＜x 2，则g （x 1）﹣g （x 2）＝a （lnx 1﹣lnx 2）+1x 1−1x 2−（x 1﹣x 2）＝2alnx 1+1x 1−x 1﹣（x 1−1x 1）＝2alnx 1+2（1x 1−x 1）， ∴g(x 1)−g(x 2)x 1−x 2=2alnx 1+2(1x 1−x 1)x 1−1x 2=−2+2alnx 1x 1−1x1，要证明g(x 1)−g(x 2)x 1−x 2≤2ee 2−1a ﹣2，只要证﹣2+2alnx 1x 1−1x1≤2ee 2−1a ﹣2，即证lnx 1x 1−1x 1≤1e−1e，令h （x ）=lnxx−1x，0＜x ＜1， ∴h ′（x ）=(1−1x2)−(1+1x2)lnx(x−1x )2＞0，∴h （x ）在（0，1）上单调递增，且h （1e）=−11e −e=1e−1e ， ∴h （x 1）≤h （1e ）∴0＜x 1≤1e∴a ＝x 1+x 2＝x 1+1x 1≥e +1e．。