高中数学三角恒等变换习题及答案

第三章 三角恒等变换

一、选择题

1．函数y ＝sin α＋cos α⎪⎭⎫ ⎝

⎛

2π ＜ ＜ 0α的值域为( )．

A ．(0，1)

B ．(－1，1)

C ．(1，2]

D ．(－1，2)

2．若0＜α＜β＜4π

，sin α＋cos α＝a ，sin β＋cos β＝b ，则( )． A ．a ＜b

B ．a ＞b

C ．ab ＜1

D ．ab ＞2

3．若θθtan ＋2tan 1－＝1，则θθ

2sin ＋12cos 的值为( )．

A ．3

B ．－3

C ．－2

D ．－

2

1

4．已知 α∈⎪⎭⎫

⎝

⎛2π3 ，π，并且sin α＝－

2524，则tan 2α等于( )． A ．34 B ．43 C ．－43 D ．－34

5．已知tan (α＋β)＝3，tan (α－β)＝5，则tan 2α＝( )． A ．－

4

7

B ．

4

7 C ．－

7

4 D ．

7

4 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＞sin A sin B ，则该三角形是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形

D ．锐角或直角三角形

7．若0＜α＜2π＜β＜π，且cos β＝－31，sin (α＋β)＝97

，则sin α 的值是( )．

A ．

271

B ．

27

5

C ．3

1

D ．

27

23 8．若cos (α＋β)·cos (α－β)＝31

，则cos 2 α－sin 2 β 的值是( )．

A ．－

3

2

B ．3

1

C ．－3

1

D ．

3

2 9．锐角三角形的内角A ，B 满足tan A －A 2sin 1

＝tan B ，则有( )． A ．sin 2A －cos B ＝0 B ．sin 2A ＋cos B ＝0 C ．sin 2A －sin B ＝0

D ．sin 2A ＋sin B ＝0

10．函数f (x )＝sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛4π＋x －sin 2⎪⎭⎫ ⎝

⎛4π－x 是( )．

A ．周期为 π 的偶函数

B ．周期为π 的奇函数

C ．周期为2 π的偶函数

D ．周期为2π的奇函数

二、填空题 11．已知设α∈⎪⎭⎫ ⎝

⎛2π,

0，若sin α＝53，则2cos ⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+4πα＝ ． 12．sin 50°(1＋3tan 10°)的值为 ． 13．已知cos ⎪⎭⎫ ⎝

⎛-

6πα＋sin α＝534，则sin ⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+6π7α的值是 ． 14．已知tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4π＝2

1

，则

αα

α2cos ＋1cos －2sin 2

的值为 ．

15．已知tan α＝2，则cos ⎪⎭

⎫

⎝

⎛2π3＋

2α的值等于 ． 16．sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4πsin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α － 4π＝61，α∈⎪⎭

⎫

⎝⎛ π，2π，则sin 4α 的值为 ．

三、解答题

17．求cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°的值．

18．求值：①(tan10°－3)︒

︒

50sin 10cos ； ②︒

︒

︒20cos 20sin －10cos 2．

19．已知cos ⎪⎭

⎫ ⎝⎛x ＋ 4π＝53

，127π＜x ＜47π，求x x x tan －1sin 2＋2sin 2的值．

20．若sin α＝55，sin β＝10

10

，且α，β 均为钝角，求α＋β 的值.

参考答案

一、选择题 1．C

解析：∵ sin α＋cos α＝2sin (α＋4π

)，又 α∈(0，2

π)，∴ 值域为(1，2]． 2．A

解析：∵ a ＝2sin (α＋4π)，b ＝2sin (β＋4π)，又4π＜α＋4π＜β＋4π＜2

π

． 而y ＝sin x 在［0，2

π］上单调递增，∴ sin (α＋4π)＜sin (β＋4π

)．即a ＜b ．

3．A 解析：由

θ

θtan ＋2tan 1－＝1，解得tan θ＝－21

，

∴ θθ2sin ＋12cos ＝22

2

sin ＋ cos sin － cos )(θθθθ＝θθθθsin ＋ cos sin － cos ＝θθ tan ＋ 1 tan － 1＝

⎪

⎭⎫

⎝⎛⎪

⎭⎫

⎝⎛21 － ＋ 121 － － 1＝3． 4．D

解析：sin α＝－

2524，α∈(π，2

π3)，∴ cos α＝－257

，可知tan α＝724． 又tan α＝

2

tan － 12

tan

22

α

α

＝

7

24

． 即12 tan 22α＋7 tan 2α

－12＝0． 又 2α∈⎪⎭

⎫ ⎝⎛4π ，

2π，可解得 tan 2α

＝－34． 5．C

解析：tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]＝)－()＋(－)

－()＋＋(βαβαβαβαtan tan 1tan tan ＝－7

4．

6．C

解析：由cos A cos B ＞sin A sin B ，得cos (A ＋B )＞0⇒cos C ＜0， ∴ △ABC 为钝角三角形． 7．C