高考数学知识点向量

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数学新高考向量知识点

数学新高考向量知识点随着数学新高考改革的推进，数学科目的考试内容也有所调整。

其中，向量是一个重要的知识点。

向量既是高中数学教学中的一个重要概念，也是大学数学学习的基础。

它在物理、工程、计算机科学等领域中都有广泛的应用。

本文将介绍数学新高考向量知识点，帮助大家更好地理解和应用向量。

一、向量的定义和性质向量是有大小和方向的量，常用带有箭头的小写拉丁字母表示，如u、v等。

向量的模表示向量的大小，用两个竖线表示，如|u|、|v|等。

向量可以用坐标表示，也可以用起点和终点表示。

向量之间的运算有加法、减法、数乘等。

向量的加法满足交换律和结合律。

向量还有数量乘法和点乘等性质。

二、向量的坐标表示和表示方式的转化向量可以通过坐标表示，也可以通过起点和终点表示。

坐标表示时，起点设为原点(0,0)，向量的终点的坐标表示为(a,b)，则向量的坐标表示为(a,b)。

相反，通过坐标表示的向量可以通过起点和终点表示，起点设为原点(0,0)，向量的终点的坐标为(a,b)。

三、向量的线性相关与线性无关如果存在不全为0的实数k1、k2，使得k1u+k2v=0，则向量u和向量v是线性相关的；如果只有当k1=k2=0时，才能使得k1u+k2v=0成立，则向量u和向量v是线性无关的。

四、向量的数量积和夹角公式向量的数量积又称为点积，用符号"·"表示。

设向量u=(x1,y1,z1)，向量v=(x2,y2,z2)，则向量u和向量v的数量积为u·v=x1x2+y1y2+z1z2。

向量u和向量v的夹角为θ，则夹角余弦cosθ=(u·v)/(|u||v|)。

五、向量的叉积和面积公式向量的叉积又称为向量积，用符号"×"表示。

设向量u=(x1,y1,z1)，向量v=(x2,y2,z2)，则向量u和向量v的叉积为u×v=(y1z2-y2z1)i-(x1z2-x2z1)j+(x1y2-x2y1)k。

高考数学常考知识点之空间向量

空间向量1．空间向量的概念：具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下 b a AB OA OB +=+=b a -=-=)(R a OP ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)( 3 共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．4．共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 t +=a ．其中向量a 叫做直线l 的方向向量.5．向量与平面平行：已知平面α和向量a ，作OA a = ，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α ．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的6．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+推论：空间一点P 位于平面M AB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+ 或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++ ① ①式叫做平面MAB 的向量表达式7 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB =++8 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,O A aO B b == ，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <> ；且规定0,a b π≤<>≤ ，显然有,,a b b a <>=<> ；若,2a b π<>= ，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥ . 9．向量的模：设OA a = ，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a .10．向量的数量积： a b ⋅= ||||cos ,a b a b ⋅⋅<> ．已知向量AB a = 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B '' 叫做向量AB 在轴l 上或在e 上的正射影.可以证明A B '' 的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅ ．11．空间向量数量积的性质：（1）||cos ,a e a a e ⋅=<> ．（2）0a b a b ⊥⇔⋅= ．（3）2||a a a =⋅ ．12．空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ ．（2）a b b a ⋅=⋅ （交换律）（3）()a b c a b a c⋅+=⋅+⋅ （分配律）．空间向量的坐标运算一．知识回顾：（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）.①令a =(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b =，则),,(332211b a b a b a b a ±±±=+))(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ332211b a b a b a b a ++=⋅ a ∥)(,,332211R b a b a b a b ∈===⇔λλλλ332211b a b a b a ==⇔ 0332211=++⇔⊥b a b a b a b a222321a a a ++==(=⋅=)232221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a b a b a ++⋅++++=⋅⋅>=< ②空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.（2）法向量：若向量a 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥a ，如果α⊥那么向量叫做平面α的法向量.（3）用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α.②利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，则21,n n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n n 方向相同，21,n n 反方，则为其夹角）.③证直线和平面平行定理：已知直线≠⊄a 平面α，α∈⋅∈⋅D C a B A ,，且CDE 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ⋅使μλ+=.（常设μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕，若μλ,不存在，则直线AB 与平面相交）.AB。

数学高考向量知识点

数学高考向量知识点向量是数学中的重要概念，也是高考中常考的内容之一。

掌握向量的性质和运算法则，对解答高考数学题目大有裨益。

本文将围绕向量的基本概念、向量的运算、向量的数量积和向量的应用等几个方面进行论述。

一、基本概念向量是由大小和方向共同决定的量，常用有向线段来表示。

其中，向量的大小称为向量的模，用 ||AB|| 表示，向量的方向可以用有向线段所在的直线或者与直线垂直的平面来表示。

二、向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足如下运算法则：设向量AB和向量BC，可得向量AC=AB+BC。

向量的加法满足交换律、结合律和有零元素法则。

2. 向量的乘法向量的乘法包括数量积和向量积两种，下面将分别进行介绍。

三、向量的数量积向量的数量积，也叫内积或点积，表示为：AB·CD=|AB||CD|cosθ。

其中，|AB| 和 |CD| 分别为向量AB和CD的模，θ为向量AB和CD的夹角。

数量积具有以下性质：1. 具有交换律：AB·CD=CD·AB；2. 具有分配律：k(AB+CD)=kAB+kCD；3. 具有数乘结合律：(k1k2)AB=k1(k2AB)。

四、向量的应用1. 平面向量的共线条件和判别方法若向量a和b共线，则存在唯一的实数k，使得a=k*b。

利用这一特性，可以通过计算向量的比值来判断向量是否共线。

2. 平面向量的垂直条件和判别方法若向量a和b垂直，则a·b=0。

可以利用这一条件来判定向量是否垂直。

3. 向量的投影设有向线段AB和单位向量u，向量u在向量AB上的投影为投影向量，记作 proj_uAB。

投影向量的长度等于向量AB与单位向量u的数量积。

4. 平面向量的夹角平面向量的夹角可以通过向量的数量积来计算。

若向量a和b的夹角为θ，则a·b=|a||b|cosθ。

本文所介绍的是数学高考中的向量知识点，通过学习向量的基本概念、向量的运算、向量的数量积和向量的应用等内容，相信大家可以更好地掌握并应用相关知识，提升解题能力。

高考数学平面向量考点及知识点总结解析(理科)

平行且|a|＝1，则 a＝a0.假命题的个数是
()
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0 的模相同，
但方向不一定相同，故①是假命题；若 a 与 a0 平行，则 a 与 a0
的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a＝－|a|a0，
故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是 3.
3．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，则图中与 OC 相等的向量有________．
答案： AB， ED，FO
4．如图，△ABC和△A′B′C′是在各边的
1 3
处相交的两个全等
的等边三角形，设△ABC的边长为a，图中列出了长度均为
a 3
的若干个向量，则
(1)与向量GH 相等的向量有________； (2)与向量GH 共线，且模相等的向量有________； (3)与向量 EA共线，且模相等的向量有________．解析：向量相等⇔向量方向相同且模相等．向量共线⇔表示有向线段所在的直线平行或重合．答案：(1) LB， HC (2) EC， LE ， LB，GB， HC (3) EF ，FB， HA， HK ， KB
HF
＝
1 4
AH ，∴ AH ＝45 AF ， AF ＝ AD＋ DF ＝b＋12a，∴ AH ＝45
b＋12a＝25a＋45b，故选B. 答案：B
4. [考点二] 已知a，b是两个不共线的非零向量，且a与b起点
相同．若a，tb，
1 3
(a＋b)三向量的终点在同一直线上，则t
＝________.
解析：∵a，tb，
与向量 b 相同，且|aa|＝|bb|，所以向量 a 与向量 b 方向相同，故

数学高考知识点向量笔记

数学高考知识点向量笔记在高中数学中，向量是一个非常重要的概念，它不仅仅在数学理论中有着广泛的应用，还在物理、工程等实际问题中起着重要的作用。

因此，熟练掌握向量的相关知识点对于高考数学的复习和考试都至关重要。

本文将从向量的基本概念、运算规则、坐标表示法、共线定理和数量积等几个方面进行讲解。

一、向量的基本概念在数学中，向量是具有大小和方向的量，可以用一个有向线段来表示。

可以将其分为有向线段和自由向量两种形式，有向线段是具体的线段，而自由向量只有大小和方向，没有具体的起点和终点。

二、向量的运算规则向量的运算有两种，分别是加法和乘法。

向量的加法是将两个向量相加得到一个新的向量，其运算规则为将两个向量的对应分量相加得到新的向量的对应分量。

而向量的乘法有数量积和矢量积两种。

数量积是两个向量相乘得到一个数，其运算规则为将两个向量的对应分量相乘再相加得到一个数。

矢量积是两个向量相乘得到一个新的向量，其运算规则为将两个向量的对应分量进行交叉相乘再相加得到新的向量的对应分量。

三、向量的坐标表示法在平面直角坐标系中，可以用顺序数对表示一个向量，这个数对叫做向量的坐标。

具体来说，如果一个向量的起点在原点，终点在点P(x,y)，则这个向量的坐标就是(x,y)。

通过向量的坐标表示法，我们可以方便地对向量进行运算和计算。

四、共线定理对于两个向量来说，如果它们的方向相同或者相反，那么它们是共线向量；而如果它们的方向垂直，那么它们是正交向量。

如果两个向量共线，那么它们的大小成比例；而如果两个向量正交，那么它们的数量积为零。

共线定理是向量运算中的一个重要定理，可以用来解决一些几何问题。

五、数量积在向量的运算中，数量积是一个非常重要的概念。

它是将两个向量的对应分量相乘再相加得到一个数。

数量积有很多重要的性质和应用，比如向量的模可以通过数量积来计算，向量的夹角也可以通过数量积来计算。

另外，如果两个向量的数量积为零，那么它们是正交向量；如果两个向量的数量积大于零，那么它们的夹角小于90度；如果两个向量的数量积小于零，那么它们的夹角大于90度。

数学高考向量知识点总结

数学高考向量知识点总结一、向量的概念与表示1. 向量的概念：向量是具有大小和方向的物理量，是指在空间中的矢量。

2. 向量的表示：向量通常用加粗的小写字母（例如a）或者以字母上方加→（例如→a）表示。

二、向量的运算1. 向量的加法：如果a和b是两个向量，那么它们的和记作a+b，它的几何意义是以a和b的起点为端点的对角线的方向和长度。

2. 向量的数乘：数k与向量a相乘的结果是一个新向量，记为ka。

当k>0时，ka的方向与a的方向相同；当k<0时，ka的方向与a的方向相反。

3. 向量的线性组合：设k1，k2，…，kn是任意n个数，a1，a2，…，an是任意n个向量，那么向量C=k1a1+k2a2+…+knan称为向量a1，a2，…，an的线性组合。

三、向量的数量积1. 向量的数量积定义：设a和b是两个向量，那么它们的数量积记作a·b，它的数值等于|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别是向量a和b的模长，θ是a和b之间的夹角。

2. 向量的数量积性质：（1）交换律：a·b=b·a（2）分配律：a·(b+c)=a·b+a·c（3）数乘结合：(ka)·b=k(a·b)（4）模长的平方：|a|^2=a·a（5）向量夹角余弦的大小：a·b=|a||b|cosθ3. 向量的正交性：如果a·b=0，则称向量a和b正交，也就是说，两个向量的夹角为90°。

四、向量的叉乘1. 向量的叉乘定义：设a和b是两个向量，那么它们的叉乘记作a×b，它的结果是一个新的向量，其模长等于|a||b|sinθ，方向垂直于a和b所在的平面，并满足右手定则。

2. 向量的叉乘性质：（1）分配律：a×(b+c)=a×b+a×c（2）数乘结合：(ka)×b=k(a×b)（3）零向量叉乘：a×0=0×a=0（4）相等向量叉乘：a×a=0（5）模长的平方：|a×b|^2=|a|^2|b|^2-(a·b)^2（6）向量的三角函数关系：a×b=|a||b|sinθn五、空间平面与直线的向量方程1. 空间平面的向量方程：设A(x1,y1,z1)是平面上的一点，n=[A,B,C]是平面的法向量，那么平面的向量方程可以表示为r·n=d，其中r=[x,y,z]是平面上任意一点的位置向量。

高考数学向量知识点梳理

高考数学向量知识点梳理向量是数学中一种重要的概念，广泛应用于多个学科领域，尤其是在高考数学中，向量是一个非常基础且重要的知识点。

本文将对高考数学中的向量知识点进行梳理和总结，帮助同学们更好地掌握和理解这一内容。

一、向量的定义与运算1.1 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，用有向线段来表示。

向量通常用字母加箭头表示，如→AB。

1.2 向量的表示方法：①点表示法：向量可以由起点A和终点B表示，即→AB；②坐标表示法：向量也可以通过坐标表示，如向量→AB的坐标表示为( x1, y1) - ( x2, y2 )。

1.3 向量的运算：在向量的运算中，主要涉及以下几种基本运算：①向量的加法：→AB + →CD = →AC；②向量的减法：→AB - →CD = →AD；③向量的数乘：k×→AB = →AC，其中k为实数；④向量的共线与共面性：若→AB = k×→CD，则向量→AB与→CD共线；⑤向量的数量积：①两个向量的数量积等于它们长度的乘积与它们夹角的余弦值的乘积；②数量积满足交换律，即→AB·→CD =→CD·→AB；③若两个向量的数量积为零，则它们垂直。

二、向量的性质和定理2.1 向量的模与单位向量：向量的模表示向量的长度，记作|→AB|。

单位向量是模为1的向量，记作→e。

2.2 向量的平行与垂直关系：两个向量平行的充分必要条件是它们的方向相同或者相反，记作→AB ∥ →CD。

两个向量垂直的充分必要条件是它们的数量积为零，记作→AB⊥→CD。

2.3 向量投影：向量→AB在→CD上的投影表示为向量→AD，投影的长度为|→AD|。

2.4 向量的夹角公式：设向量→AB的方向角为α，向量→CD的方向角为β，则有以下夹角公式：① α + β =π，向量方向相反；② α -β = π/2，向量垂直；③ α -β = π/2，向量互余。

三、平面向量的坐标表示对于平面向量→AB，可以用坐标表示来描述它的位置。

高考数学向量知识点

高考数学向量知识点数学是高考必考科目之一，而数学中的向量是一个重要的概念。

下面将介绍高考数学中与向量相关的知识点，帮助同学们更好地备考。

1. 向量的定义与表示方法向量是有大小和方向的量，可以用有向线段表示，通常用字母加上一个→符号表示。

如向量AB用→AB表示。

2. 向量的运算2.1 向量的加法向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点相连，然后以相同的比例延长或缩短，最后连接延长后的两个终点，新向量的起点为原两个向量的起点，终点为延长后的终点。

2.2 向量的减法向量的减法可以看作是向量的加法的逆运算。

即两个向量相减，可以转化为一个向量加上另一个向量的相反向量。

2.3 向量的数量积（点乘）向量的数量积是一个标量，记作AB·CD。

计算方法为相乘后再对应分量相加，即AB·CD = |AB| * |CD| * cosθ，其中|AB|表示向量AB的长度，θ表示两个向量的夹角。

2.4 向量的向量积（叉乘）向量的向量积是一个向量，记作AB×CD。

计算方法为用右手定则，首先将AB和CD两向量的起点放在同一点，则向量积的方向垂直于两个向量所在的平面，同时满足右手定则，即右手握住AB，手指弯曲并指向CD，则大拇指的方向就是向量积的方向；向量积的大小为|AB×CD| = |AB| * |CD| * sinθ。

3. 向量的共线与垂直3.1 向量的共线如果两个向量的夹角为0或180度，则称这两个向量共线。

即向量A与向量B共线，表示为A∥B。

3.2 向量的垂直如果两个向量的数量积等于0，则称这两个向量垂直。

即向量A与向量B垂直，表示为A⊥B。

4. 向量在几何问题中的应用4.1 平面向量的表示平面上的点可以用平面上的两个向量表示，一般选取坐标轴上的两个单位向量，分别表示x轴和y轴的方向，然后用这两个向量的线性组合表示平面上的点。

4.2 平面向量的运用平面向量可以用于求解几何问题，如求解线段的中点坐标、判断三角形是否共线等问题。

文科数学高考向量知识点

文科数学高考向量知识点导言在文科数学高考中，向量是一个重要的知识点。

向量具有方向和大小，广泛应用于几何、物理等领域。

掌握好向量的相关知识，不仅可以帮助我们解决各种几何问题，还可提升我们的思维能力和逻辑思维能力。

本文将介绍一些文科数学高考向量的重点知识点。

一、基本概念向量由方向和大小组成，通常用有向线段表示。

常见的表示方法包括箭头表示法和坐标表示法。

在二维平面上，一个向量可以由两个有序实数表示，即坐标。

而在三维空间中，一个向量可以由三个有序实数表示。

需要注意的是，向量是没有具体位置的，只有方向和大小。

二、向量的加法和减法向量相加的结果仍然是一个向量，它的大小等于两个向量大小的和，方向与第一个向量一致。

向量相减的结果也是一个向量，它的大小等于两个向量大小的差，方向与第一个向量相反。

三、向量的数量积向量的数量积也称为点积，是向量的一种重要运算。

两个向量的数量积等于两个向量的模的乘积与它们夹角的余弦值的积。

数量积的结果是一个实数。

需要注意的是，数量积满足交换律和分配律。

四、向量的夹角和正交性两个非零向量的夹角定义为它们之间的最小正角。

两个向量夹角为零时，表示它们的方向相同或相反；夹角为π/2时，表示它们互相垂直或正交。

若两个向量的数量积为零，则它们一定正交。

五、向量的模、单位向量和方向角向量的模表示向量的大小，记作|AB|。

单位向量是模为1的向量，一个向量除以它的模就得到了一个单位向量。

方向角是一个向量与某一坐标轴正向之间的夹角。

需要注意的是，两个相互垂直的单位向量叫做正交单位向量。

六、向量的线性相关与线性无关若存在一组实数使得线性组合等于零向量，则称这组向量线性相关。

若不存在这样的实数，则称这组向量线性无关。

需要注意的是，如果向量组中至少有一个向量是其他向量的倍数，则这组向量线性相关。

七、平面向量的坐标表示平面上的一个向量可以由其两个坐标表示，即(x,y)。

常见的坐标表示法包括向量的分解表示和向量的坐标表示。

高考空间向量知识点

高考空间向量知识点空间向量是高考数学中的重要内容之一。

本文将围绕空间向量的定义、向量的共线性与共面性、向量的线性运算以及向量的数量积等知识点展开详细论述。

一、空间向量的定义空间向量是具有大小和方向的有向线段，可以表示为A→。

空间中的向量通常用坐标表示，比如向量A可以表示为(A₀, A₁, A₂)，其中A₀、A₁、A₂分别表示向量A在x、y、z轴上的投影。

二、向量的共线性与共面性1. 共线性空间中的三个向量A→、B→、C→共线的条件是存在实数k₁、k₂，使得A→=k₁B→+k₂C→成立。

此时，向量A、B、C共线。

2. 共面性空间中的四个向量A→、B→、C→、D→共面的条件是存在实数k₁、k₂、k₃，使得A→=k₁B→+k₂C→+k₃D→成立。

此时，向量A、B、C、D共面。

三、向量的线性运算1. 向量的加法设有向量A→(A₀, A₁, A₂)和B→(B₀, B₁, B₂)，则A→+B→=(A₀+B₀, A₁+B₁, A₂+B₂)。

2. 向量的减法设有向量A→(A₀, A₁, A₂)和B→(B₀, B₁, B₂)，则A→-B→=(A₀-B₀, A₁-B₁, A₂-B₂)。

3. 向量的数乘设有向量A→(A₀, A₁, A₂)和实数k，则kA→=(kA₀, kA₁, kA₂)。

四、向量的数量积1. 定义向量A→(A₀, A₁, A₂)和向量B→(B₀, B₁, B₂)的数量积记为A→·B→=A₀B₀+A₁B₁+A₂B₂。

数量积是一种标量。

2. 性质(1) A→·B→=B→·A→；即数量积的交换律成立。

(2) A→·(B→+C→)=A→·B→+A→·C→；即数量积的分配律成立。

(3) k(A→·B→)=(kA→)·B→=A→·(kB→)；即数量积的数乘性质成立。

五、空间向量的应用1. 三角关系的解题空间向量可以用于解决三角关系的几何问题。

高考数学向量基底知识点

高考数学向量基底知识点在高考数学中，向量是一个非常重要的概念。

而向量基底又是向量空间中的一个关键要素。

掌握向量基底的相关知识点，不仅有助于理解向量的性质和运算法则，还能更好地应用于解决各种数学问题。

一、向量基底的定义及性质向量基底是向量空间的一组基本向量，它可以线性组合成该向量空间中的任意向量。

具体来说，设V为一个向量空间，如果存在V中的n个向量，记作{v₁, v₂, ..., vn}，且这些向量之间线性无关，那么{v₁, v₂, ..., vn}就称为向量空间V的一个基底。

一个向量空间的基底具有以下性质：1.基底中的向量个数n是确定的；2.基底中的向量必须线性无关；3.基底所张成的向量空间是整个向量空间V。

二、向量基底的存在性对于一个给定的向量空间V，是否存在某个基底，这涉及到一个重要的结论——任意向量空间都有基底存在。

这是一个非常重要的结论，我们可以利用这个结论来解决各种数学问题。

在数学中，一个命题通常都有多种证明方法。

而对于任意向量空间都有基底存在这个命题，我们可以用反证法来证明：假设向量空间V没有基底存在，即无法找到一组线性无关的向量张成整个向量空间V。

那么我们可以不断往V中添加新的向量，要么这些新的向量线性相关，要么线性无关但无法张成整个向量空间V。

因为向量的个数是有限的，所以这个过程必定在某一步达到一个矛盾，找到了一组线性无关的向量，它们能够张成整个向量空间V。

因此，反证法证明了任意向量空间都有基底存在。

三、向量基底的选择在实际应用中，为了方便计算和表示，我们通常会选择一组特定的基底。

最常见的基底有标准基底、单位基底和正交基底等。

1.标准基底：对于n维向量空间Rⁿ，它的标准基底由n个基本单位向量组成。

例如：R²的标准基底是{(1,0), (0,1)}；R³的标准基底是{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}。

2.单位基底：单位基底的特点是向量的模长都为1。

空间向量高考知识点总结

空间向量高考知识点总结一、空间向量的定义与性质1. 空间向量的定义：空间中的向量是指有大小和方向的线段，可以用有向线段来表示，通常用小写字母表示。

2. 空间向量的性质：空间中的向量满足向量的相等、相反、共线和共面的性质。

3. 空间向量的运算：空间向量的加法、数量乘法、内积和叉乘等运算。

二、空间向量的坐标表示1. 空间向量的坐标表示：空间中的向量可以用坐标表示，一般用三元组表示。

2. 空间向量的坐标运算：空间向量的坐标运算包括向量相加、数量乘法和点积等运算。

三、空间向量的数量积1. 空间向量的数量积定义：两个向量的数量积又称内积，记作a·b，表示为|a||b|cosθ，其中θ为a、b之间的夹角。

2. 空间向量的数量积的性质：数量积具有对称性、分配律和数量乘法结合律等性质。

3. 空间向量的数量积的几何意义：数量积可以用来计算向量的夹角、向量的投影以及向量的长度等。

4. 空间向量的数量积的应用：数量积可以用来解决空间中的几何问题，如判断两个向量的方向、判断点的位置、计算三角形的面积等。

四、空间向量的叉积1. 空间向量的叉积定义：两个向量的叉积，记作a×b，是另一个向量c，其大小等于以a、b为邻边的平行四边形的面积，方向垂直于a和b所在的平面。

2. 空间向量的叉积的性质：叉积具有反对称性、分配律和数量乘法结合律等性质。

3. 空间向量的叉积的几何意义：叉积可以用来计算平行四边形的面积、判断向量的方向以及判断向量的共线性等。

4. 空间向量的叉积的应用：叉积可以用来计算平行四边形和平行六面体的体积、判断三角形的面积、判断四边形的面积等。

五、空间向量的应用1. 空间向量在几何中的应用：空间向量可以用来解决空间中的共线、共面、投影、距离、面积、体积等几何问题。

2. 空间向量在物理中的应用：空间向量可以用来描述力的合成、速度的方向、加速度的方向、质心的位置等物理问题。

3. 空间向量在工程中的应用：空间向量可以用来解决工程中的坐标系、平面构图、体积计算、力矩计算等问题。

数学高考大题向量知识点

数学高考大题向量知识点数学高考大题-向量知识点在数学高考中，向量是一个重要的知识点。

考察向量的题目涉及到向量的定义、运算、性质等方面。

下面我们将逐一介绍。

1. 向量的定义和表示方法向量是有大小和方向的量，可以用有序数对来表示。

如一个向量A 可以表示为(A1, A2)，其中A1表示向量在x轴上的分量，A2表示向量在y轴上的分量。

2. 向量的加法和减法向量的加法就是将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。

向量的减法类似，只是将对应分量相减。

例如，向量A(A1, A2)和向量B(B1, B2)的和为(A1+B1, A2+B2)，差为(A1-B1, A2-B2)。

3. 向量的数量积和向量的夹角向量的数量积是向量与标量的乘积，结果是一个数。

向量A(A1, A2)和向量B(B1, B2)的数量积为A1*B1+A2*B2。

向量的夹角是指通过顶点连线形成的两个向量之间的夹角。

夹角的计算公式为cosθ=(A1*B1+A2*B2)/(|A|*|B|)，其中|A|表示向量A的模，|B|表示向量B的模。

4. 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算是指将向量进行平移、旋转、缩放等操作。

平移是通过向量加减法来实现的。

旋转是通过变换向量的分量来实现的。

缩放是通过乘以一个标量来实现的。

5. 向量的线性相关与线性无关如果存在不全为0的实数k1，k2，使得k1*A+k2*B=0，则称向量A和B线性相关；否则，称向量A和B线性无关。

6. 向量的共线如果两个向量A和B的夹角为0度或180度，则称它们共线。

共线的向量可以用倍数关系表示，即向量A=k*B，其中k为倍数。

上述是数学高考中常见的向量知识点。

在解答相关题目时，应首先理解向量的定义和表示方法，熟练掌握向量的加减法和数量积的计算方法。

在进行平面向量的坐标运算时，要灵活运用平移、旋转和缩放的操作。

另外，对于线性相关与线性无关的判断，需要应用线性代数的知识，将向量组的系数矩阵进行行列变换，判断矩阵的秩是否等于向量个数，从而确定向量的线性相关性。

高考数学向量综合知识点

高考数学向量综合知识点高考数学中，向量是一个重要的知识点，它涉及到许多与几何图形、平面和空间的性质相关的概念和计算方法。

向量的综合知识点是高考命题中常出现的考点之一，也是考生需要重点掌握的内容。

一、向量的定义和基本性质向量是有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。

它的定义包括长度和方向两个要素，通常用字母加有向线段符号表示。

向量的长度叫做模，用两个竖线表示。

向量的方向用大小写的字母表示。

向量的模和方向共同确定一个向量，即向量的定义。

向量具有一些基本性质。

两个向量相等，当且仅当它们的模相等且方向相同。

向量的加法满足交换律和结合律。

即：对任意的两个向量a和b，有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。

向量的减法则是指两个向量相加，其中一个向量可以写成模相等，方向相反的形式。

二、向量的数量积向量的数量积也叫点积，表示为a·b。

它是两个向量的模的乘积，再乘以它们的夹角的余弦。

即a·b=|a||b|cosθ。

向量的数量积具有交换律和分配律。

数量积可以用来求解两个向量的夹角。

对于已知的两个向量a和b，它们的夹角θ的cos值等于它们的数量积除以两个向量的模的乘积。

即cosθ=(a·b)/(|a||b|)。

这一性质在空间几何的问题中应用广泛。

三、向量的向量积向量的向量积也叫叉积，表示为a×b。

它是两个向量的模的乘积，再乘以它们的夹角的正弦，同时方向垂直于a和b确定的平面，其大小等于由a和b所确定的平行四边形的面积，方向沿法线方向。

即a×b=|a||b|sinθn。

向量的叉积具有反交换律，即a×b=-b×a。

向量的数量积和向量积之间有一个重要的关系：对于任意的两个向量a和b，有|a×b|=|a||b|sinθ。

这个关系在计算平面形状的面积和体积时具有重要的意义。

四、应用举例向量综合知识点的应用非常广泛。

在几何中，可以利用向量的定义和性质求解线段长度、夹角的大小及其余弦值。

高考数学中的向量相关知识点

高考数学中的向量相关知识点高考数学中，向量是一个非常重要的概念，涉及到的知识点比较多，包括向量的定义、数量积、向量积等等。

在这篇文章中，我们将从多个方面来探讨高考数学中的向量相关知识点。

一、向量的定义及性质在数学中，向量是一种有大小和方向的物理量，用一个箭头来表示。

向量的大小叫做模，也称向量的长度，用双竖线来表示。

向量的方向由箭头的指向决定，在数轴上，可以用一个角度来表示。

对于两个向量，我们可以进行加法运算，得到一个新的向量，称为它们的和向量。

同时，向量的减法也可以转化为加法运算。

即 a-b=a+（-b）。

向量的一些重要性质如下：1.同向反向：若两个向量的方向相同，则它们互为同向向量；若两个向量的方向相反，则它们互为反向向量。

2.共线平行：若两个非零向量的方向相同或相反，则它们互为共线向量；若两个向量的方向不同，则它们互为不共线向量。

如果两个向量的方向相同，且它们的长度比例相同，则它们互为平行向量。

3.零向量：长度为零的向量，叫做零向量或零向量。

二、向量的数量积数量积是向量中的一个重要概念，它由两个向量的模相乘，并乘以它们的夹角余弦值。

即A·B=|A||B|cosθ，其中A和B是两个向量，|A|和|B|是它们的模，θ是它们的夹角。

向量的数量积有以下性质：1.交换律：A·B=B·A2.分配律：A·（B+C）=A·B+A·C3.结合律：k（A·B）=（kA）·B=A·（kB），其中k是一个常数。

4.若θ为90°，则A·B=05.若A·B=0，则我们称向量A和B是正交的，也称A与B互相垂直。

三、向量的向量积向量积是向量中的另一个重要概念，它由两个向量的模相乘，并乘以它们的夹角正弦值。

向量积通常用符号A×B来表示。

向量积有以下性质：1.叉乘是一个向量，它的方向垂直于所乘向量的两个向量。

高考数学几何与向量知识点

高考数学几何与向量知识点在高考数学中，几何与向量是一个重要的考点，也是学生们备考中需要重点关注的内容。

掌握几何与向量的知识，不仅能够帮助学生顺利应对考试，还能够培养学生的空间想象力和逻辑思维能力。

本文将为大家概述高考数学几何与向量的知识点，帮助大家更好地掌握这部分内容。

一、几何知识点1. 直线与平面的位置关系在平面内，直线与平面可以有不同的位置关系，包括平行、相交、重合等。

学生需要了解直线与平面的方程，并能够根据方程判断它们的位置关系。

2. 角的概念与性质角是几何学中基本的概念，包括锐角、直角、钝角等。

学生需要熟悉角的性质，包括角的大小、角的平分线、角的对称性等。

3. 三角形的性质三角形是几何学中的基本图形，学生需要掌握三角形的各类性质，包括边长关系、角度关系、中线、高线等。

4. 圆的性质圆是几何学中的另一个基本图形，学生需要掌握圆的各类性质，包括圆心角、弧长、扇形面积等。

5. 二次函数的图像与性质二次函数在几何学中的应用很广泛，学生需要掌握二次函数的图像、顶点、对称轴等基本性质，以及函数的平移、缩放等变换。

二、向量知识点1. 向量的定义与性质向量是几何学中的一个重要概念，学生需要了解向量的定义，包括向量的模长、方向、相等等。

2. 向量的运算向量间可以进行加法、减法、数乘等运算，学生需要掌握向量的运算法则，并能够灵活应用到具体问题中。

3. 线性相关与线性无关学生需要了解向量的线性相关和线性无关的概念，以及相关定理和判别法。

4. 平面向量的坐标表示向量可以通过坐标来进行表示，学生需要掌握平面向量的坐标表示方法，并能够根据坐标计算向量的模长、方向等。

5. 向量的点积与叉积向量的点积和叉积是向量运算中的两个重要概念，学生需要了解它们的定义、性质，以及应用到几何学中的具体问题。

以上是高考数学几何与向量的知识点概述，对于备考的学生来说，掌握这些知识是非常重要的。

在备考过程中，建议学生注重理论的学习与掌握，同时要灵活运用所学知识解决实际问题。

高考数学向量部分知识点梳理

高考数学平面向量部分知识点梳理一、向量的概念： (1)向量的基本要素：大小和方向. (2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a ；坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜. (4)特殊的向量：零向量a ＝O ⇔｜a ｜＝O. 单位向量aO 为单位向量⇔｜aO ｜＝1.(5)相等的向量：大小相等，方向相同 (ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）⎩⎨⎧==⇔2121y y x x(6) 相反向量：a=-b ⇔b=-a ⇔a+b=0(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b.平行向量也称为共线向量. (8)向量的运算：运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1.平行四边形法则2.三角形法则1212(,)a b x x y y +=++ a b b a +=+()()a b c a b c ++=++ AC BC AB =+向量的减法三角形法则1212(,)a b x x y y -=--()a b a b -=+- AB BA =- ,AB OA OB =- 数乘向量1.a λ是一个向量,满足:||||||a a λλ=2.λ>0时, a a λ与同向;λ<0时, a a λ与异向;λ=0时, 0a λ=. (,)a x y λλλ=()()a a λμλμ=()a a a λμλμ+=+ ()a b a b λλλ+=+ //a b a b λ⇔=向量的数量积 a b ∙是一个数 1.00a b ==或时， 0a b ∙=.2.00||||cos(,)a b a b a b a b ≠≠= 且时，1212a b x x y y ∙=+a b b a ∙=∙()()()a b a b a b λλλ∙=∙=∙ ()a b c a c b c +∙=∙+∙ 2222||||=a a a x y =+ 即 ||||||a b a b ∙≤二、重要的公式、定理： (1)平面向量基本定理：e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e1＋λ2e2.(2)两个向量平行的充要条件：a ∥b ⇔a ＝λb(b ≠0)⇔x1y2－x2y1＝O. (3)两个向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b ＝O ⇔x1x2＋y1y2＝O.(4)线段的定比分点公式：设点P 分有向线段21P P所成的比为λ，即P P 1＝λ2PP ，则 OP ＝λ+111OP ＋λ+112OP (线段的定比分点的向量公式)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.1,12121λλλλy y y x x x (线段定比分点的坐标公式) 当λ＝1时，得中点公式：OP ＝21（1OP ＋2OP ）或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2,22121y y y x x x(5)平移公式：设点P(x ，y)按向量a ＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P ′（x ′，y ′），则P O '＝OP +a 或⎩⎨⎧+='+='.,k y y h x x曲线y ＝f （x ）按向量a ＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为： y －ｋ＝f （x －ｈ) (6)正、余弦定理：正弦定理：.2sin sin sin R C cB b A a ===余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA ， b2＝c2＋a2－2cacosB ， c2＝a2＋b2－2abcosC. （7）三角形面积计算公式：设△ABC 的三边为a ，b ，c ，其高分别为ha ，hb ，hc ，半周长为P ，外接圆、内切圆的半径为R ，r.①S △=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S △=Pr ③S △=abc/4R ④S △=1/2sinC ·ab=1/2ac ·sinB=1/2cb ·sinA ⑤S △=()()()c P b P a P P --- [海伦公式]⑥S △=1/2（b+c-a ）ra[如下图]=1/2（b+a-c ）rc=1/2（a+c-b ）rb（8）三角形的五个“心”：①重心：三角形三条中线交点.②外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.③内心：三角形三内角的平分线相交于一点.④垂心：三角形三边上的高相交于一点.⑤旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.三、常用的判定：（1）已知⊙O 是△ABC 的内切圆，若BC=a ，AC=b ，AB=c [注：s 为△ABC 的半周长,即2c b a ++]则：①AE=a s -=1/2（b+c-a ）②BN=b s -=1/2（a+c-b ） ③FC=c s -=1/2（a+b-c ）综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边.特例：已知在Rt △ABC ，c 为斜边，则内切圆半径r=c b a abc b a ++=-+2. （2）在△ABC 中，有下列等式成立C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++(3)在△ABC 中，D 是BC 上任意一点，则DCBD BC BCAB BD AC AD ⋅-+=222（4）平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.)(22222b a b a b a +=-++四、空间向量：（1）概念：具有大小和方向的量叫做向量（2）运算：b a AB OA OB +=+=；b a OB OA BA -=-=；)(R a OP ∈=λλ （3）运算律：加法交换律：a b b a+=+；加法结合律：)()(c b a c b a ++=++；数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(（4）共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a//．共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对于任意一点O ，点P在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 t OA OP +=a ．其中向量a 叫做直线l 的方向向量.向量与平面平行：已知平面α和向量a，作OA a = ，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α ．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量（说明：空间任意的两向量都是共面的）（6）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+ 或对空间任一点O ，有O P O M x M A y M B =++ 叫做平面MAB 的向量表达式（7）空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++（8）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b，在空间任取一点O ，作,OA a OB b == ，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <> ；且规定0,a b π≤<>≤ ，显然有,,a b b a <>=<> ；若,2a b π<>= ，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥ . 向量的模：设OA a = ，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a .（9）向量的数量积： a b ⋅= ||||cos ,ab a b ⋅⋅<> ．已知向量AB a = 和轴l ，e是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，作点B在l 上的射影B '，则A B '' 叫做向量AB 在轴l 上或在e上的正射影.可以证明A B '' 的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅ ．（10）空间向量数量积的性质：||cos ,a e a a e ⋅=<> ；0a b a b ⊥⇔⋅= ；2||a a a =⋅ ．（11）空间向量数量积运算律：()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ ；a b b a ⋅=⋅ （交换律）；()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）．五、空间向量的坐标运算：（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令a =(a1,a2,a3),),,(321b b b b =，则),,(332211b a b a b a b a ±±±=+))(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ332211b a b a b a b a ++=⋅ a ∥)(,,332211R b a b a b a b ∈===⇔λλλλ332211b a b ab a ==⇔ 0332211=++⇔⊥b a b a b a b a222321a a a a a a ++=⋅=(用到常用的向量模与向量之间的转化：aa a a a a ⋅=⇒⋅=2)232221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a ba b a ++⋅++++=⋅⋅>=<②空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.（2）法向量：若向量a 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥a ，如果α⊥a 那么向量a 叫做平面α的法向量. （3）用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α的距离为||||n n AB ⋅.②利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，则21,n n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n n 方向相同，则为补角，21,n n反方，则为其夹角）.③证直线和平面平行定理：已知直线≠⊄a 平面α，α∈⋅∈⋅D C a B A ,，且CDE 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ⋅使CE CD AB μλ+=.（常设CE CD AB μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕，若μλ,不存在，则直线AB 与平面相交）.α▲nBCAαβ▲n 2n 1αCED AB。

新高考数学向量知识点归纳总结

新高考数学向量知识点归纳总结在新高考数学中，向量是一个重要的知识点，它在几何和代数中都有广泛的应用。

本文将对新高考数学中的向量知识点进行归纳总结，包括向量的定义、向量的表示、向量的运算和向量的应用等内容。

一、向量的定义向量是具有大小和方向的量，它可以用有向线段表示。

向量通常用字母小写加箭头表示，如：→AB表示由点A指向点B的向量。

向量的起点和终点分别称为向量的始点和终点，记作A和B。

二、向量的表示1. 坐标表示法：向量可以用坐标表示，如向量→AB的坐标表示为(AB)。

2. 分量表示法：向量可以用横坐标和纵坐标表示，如向量→AB的分量表示为(AB) = (x, y)。

三、向量的运算1. 向量的加法：设有向量→AB和→CD，可以用平行四边形法则进行向量的加法，即将→AB和→CD的起点放在一起，将→AB的终点与→CD的起点相连，形成一个新的向量→AC。

向量的加法满足交换律和结合律。

2. 向量的减法：向量的减法可以通过将减去的向量取负后与被减向量相加来实现，即→AB - →CD = →AB + (-→CD)。

3. 数乘：向量的数乘是指向量与一个实数的乘积，将向量的模长与方向同时进行缩放。

四、向量的应用1. 向量的平移：将平面上的向量平移至另一点，可以通过向量的加法来实现。

2. 向量的共线与共面关系：如果两个向量平行或共线，则它们存在倍数关系；如果三个向量共面，它们的混合积为零。

3. 向量的垂直关系：两个向量垂直，意味着它们的点积为零。

4. 向量的投影：向量在某一方向上的投影就是该向量在该方向上的分量。

5. 向量的模长和方向角：向量的模长是指向量的长度，记作|→AB|，可以通过勾股定理计算；向量的方向角是指向量与某一坐标轴的夹角。

综上所述，新高考数学中的向量知识点涵盖了向量的定义、表示、运算和应用等内容。

了解和掌握这些知识点对于解决与向量相关的数学问题具有重要意义。

希望本文的归纳总结能够帮助各位同学在新高考数学的学习中更好地理解和应用向量知识。

高职高考向量知识点

高职高考向量知识点一、引言高职高考作为一种职业技能水平考试，旨在培养和选拔高素质的技能型人才。

在数学科目中，向量是一个重要的知识点，它在实际问题中具有广泛的应用。

本文将详细介绍高职高考中向量的基本概念、性质以及相关应用。

二、向量的概念与表示1. 向量的定义：向量是有方向和大小的量，可以用带箭头的线段来表示。

2. 向量的表示方法：向量可以用坐标表示、法线表示或者分解成分量表示。

三、向量的运算1. 向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则。

2. 向量的减法：向量的减法可以转化为加法，即将减去的向量取相反数，然后进行向量的加法运算。

3. 向量的数乘：向量的数乘是将向量的大小与方向同时进行伸缩。

四、向量的性质1. 平行向量：具有相同或相反的方向的向量称为平行向量。

2. 共线向量：共线向量是指两个或多个向量在同一直线上。

3. 相等向量：具有相同大小和相同方向的向量称为相等向量。

4. 零向量：大小为零的向量称为零向量，它的方向是任意的。

五、向量的应用1. 几何意义：向量可以用来描述平面或空间中的点、线、面等几何图形。

2. 物理应用：在物理学中，向量用来描述物体的位移、速度、加速度等物理量。

3. 工程应用：向量可以应用于工程问题中，如力的平衡、力的合成等。

六、向量积1. 向量的数量积：向量的数量积满足交换律和分配律，可以用来求两个向量夹角的余弦。

2. 向量的向量积：向量的向量积结果是一个新的向量，其大小等于两个向量构成的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形。

七、向量的解析几何表达式1. 向量的解析几何表达式：向量的解析几何表达式是将向量的起点移至坐标原点，以坐标表示向量。

2. 向量的线性相关与线性无关关系：若存在不全为0的实数k1、k2、……、kn，使得k1a1+k2a2+……+knan=0，则向量组a1、a2、……、an是线性相关的。

八、总结向量作为高职高考数学的一个重要知识点，涉及到向量的概念、运算、性质以及应用等方面。