【风险管理】市场风险测度：VaR方法

~
N (i , i )
i 1,2
在置信度99%的水平下，1日的VaR值为：
VaRi (1;99) 2.33 i Si
从1日VaR值到10日VaR值
1日VaR值的推导以资产组合价值的日分布为基础。 从理论上，可以根据资产组合价值的10日分布来 计算10日VaR值。
一般，如果假定市场是有效的，资产在10天内的 每导日出1收0日益或Rt独其立他同任分何布期，间则的可Va以R值从。1日VaR直接推
布为某种可分析的密度函数f（R）；然后利用历史 数据来估计假定的分布函数的参数。 分析性的方差-协方差方法假定风险因子服从对数 正态分布，即风险因子收益的对数服从正态分布。
正态分布可以用两个参数来完全刻画，因此必须从 如下条件中推导出正态分布的均值和方差： 风险因子的多变量分布 资产组合的构成
Lecture 4 市场风险测度：VaR方法
在险价值的界定
VaR是度量一项投资或投资组合可能产生的 下跌风险的方法。
VaR，描述的是在给定的概率水平下（即所 谓的“置信水平”），在一定的时间内，持 有一种证券或资产组合可能遭受的最大损失。
VaR值是下述问题的答案： 在较低的概率下，比如1%的可能性，既定
j 1 i1
如果持有期较长，则VaR使用收益率的漂移修正， 则：
方差-协方差方法
如果假定R服从均值为μ、标准差为σ的正态分布，
则：
f (R)
1
e
1 2
(
R

2
)
2
2
如果c代表置信水平，如99%，则可以把R*界定为
下述形式：
Pr ob(R R) R f (R)dR Pr ob( R ) 1 c

（2）选择将市场风险因子变化纳入模型的方法 非参数VaR 参数VaR
风险因子的选择
美元/人民币远期合约 •美元/人民币远期汇率
美元/人民币期权 •美元/人民币远期汇率 •美元利率 •人民币利率 •美元/人民币汇率的波动率
将市场风险因子变化纳入模型的方法: 方差-协方差方法
方差-协方差方法是一种参数VaR方法。 参数VaR方法简化了VaR的推导，直接假定收益分
Rt
ln(
St ) St 1
ln(1
St St1 ) ~ St 1
St St 1
同时，假定两种股票的收益率服从正态分布，
均值、标准差分别为μi、σi，两种股票收益率间 的相关系数为ρ。
单个资产的VaR—1日VaR
每种股票收益的边际变化服从单变量正态分布：
Ri

Si Si
的价格s1、s2，因此资产组合的收益率 Rv为：
Rv

n1S1 n2 S2 v
S1 S1
n2 S2 v
S 2 S2
2
1 R1 2 R2
i Ri
i 1
R是i 第i种股票的收益率；i 是资产组合中投资
于第i种股票的比重。
（2）风险因子的分布：假定价格服从对数正态分布， 即时期（t-1，t）的收益服从正态分布：
10日收益R(10)=∑Rt服从正态分布，均值和方差
分别为：
10 10

2 10
10
2
则可以得到：
VaR(10; c) 10VaR(1; c)
单资产VaR的一般计算公式
如果持有期为∆t、置信度为c，则：
VaR (1 c) V t
其中，a（·）表示标准正态累积分布函数的逆函 数。
推导分布的基本方法3种： 历史模拟方法 分析性的方差-协方差方法 蒙特卡洛方法
以上方法都包含两个基本步骤：
VaR计算的基本步骤
（1）风险因子的选择 资产组合价值的变动是一些能够影响每项工具 价格的市场因素的变动所造成的。 风险因子的具体组成取决于资产组合的构成情 况，需要作出一定的判断。
时间内实际损失可能超过的最大损失是多少？
在险价值的定义
在险价值的计算，如在99%的置信水平下，市场 价值在1天内可能遭受的最大损失
P VaR=2.33σ
f（x） 期望利润
1％
在险价值的计算
计算VaR值，首先需要得出资产组合价值在既 定期间内的远期分布，或者说是资产组合价值 变动的分布。
只有完成第一步之后，才能计算分布的均值以 及分割点。
1％
投资组合的VaR
收益正态分布资产的线性组合，也服从正态分
布：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Rv ~ N (v , v )
2
其中：v
i

2 v

12
2 1

22
2 2

212
cov( R1,
R2
)
i 1

12
2 1

22
2 2

212 1
2
则投资组合的99%置信水平下的1日和10日VaR

(R ) 是一个服从标准正态分布N（0，1）的 变量。因此，R*的推导非常简单，查标准累积正态 函数表即可。
R*可以表示为： R
根据VaR的定义： VaR ( R) V V
常见的置信水平函数的临界值
c
R
值分别为：
VaRv (1;99) 2.33 vV
VaRv (10;99) 10VaRv (1;99) 2.33 10 vV
投资组合VaR的一般计算公式
如果持有期为∆t、置信度为c，则：
MM
VaR (1 c) t V
i j i j ij
如果持有期较长，收益率的均值发生漂移，则 VaR的计算就应当使用收益率的漂移来进行修正， 则： VaR ('R ) V [ (1 t) R ]V
( t (1 c) t ) V
收益率漂移的修正
P f（x）
VaR
收益率漂移μ ∆t

99.97%
-3.43
99.87%
-3.00
99%
-2.33
95
-1.65
例：股票资产组合
一个由两种股票（微软和埃克森）构成的资产组 合，微软公司股票为n1股，股价为s1，埃克森公 司股票为n2股，股价为s2。则资产组合的价值为：
V n1S1 n2S2 （1）风险因子的选择：风险因子为两种股票各自